第12讲 导数与极值·最值 讲义-2027届高三数学二轮专题复习

该高中数学高考复习讲义聚焦导数与极值、最值核心考点，按极值点判定、极值计算与反求、闭区间最值、导函数综合的逻辑层次构建知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生突破极值判定、参数反求等难点，体现复习的系统性和针对性。 资料突出数学思维与模型意识培养，如极值反求参数强调“导数值为0且两侧变号”的逻辑推理，设置基础到综合的分层例题与变式题。通过规范解题流程和即时反馈，保障复习效率，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供实用指导。

第12讲 导数与极值·最值 极值点的判定·极值的计算与反求·闭区间最值·极值与导函数综合 一、极值点与极值的判定 1. 概念链. 极值点是自变量的值 ,极值值是函数值 ——选择项写 这样的坐标时,它既不是极值点也不直接是极值,先分清问的是哪个. 2. 判定三步. ①解 得候选驻点;②看 在驻点两侧是否变号:正变负为极大,负变正为极小;③驻点不在定义域内或不变号(如 在 )时,不是极值点. 3. 导数不存在的点也可能是极值点. 在 处不可导却取极小值;含绝对值、分段函数的题目要把不可导点一并列入候选. 4. 已知极值反求参数. " 在 处取极值"给两条信息: 且两侧变号——解出参数后必须回验变号,只代 会引入增根. 例1（单选·★★☆☆☆） 函数的极小值点是（ ） A. B. C. D. 变式1（单选·★★☆☆☆） 已知函数的极小值为，则实数的值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 二、极值的计算与反向求参 1. 求极值的完整步骤. ①定定义域;②解 ;③列表验变号;④把驻点逐个代入 得极值,并指明极大/极小;无变号的驻点不计. 2. "在 处有极大值"反求参数. 两条方程: 与"该处确为极大";若题目还给出极值的具体数值,第三条方程 = 数值随之而来——联立解参,再回验. 3. 无极值点型. 恒定号(恒正或恒负)或虽有零点但不变号;对 型,常转化为" 与 是否相交"的图象问题,临界参数由相切给出. 4. 极值是局部概念,最值是整体概念. 闭区间上最大值 = 各极值与端点值中的最大者;开区间或 上有最值,通常在唯一极值点处取得——先单调后极值,最值水到渠成. 例2（解答·★★★☆☆） 已知函数在处的切线与直线平行．（1）求的值：（2）求的极值． 例3（解答·★★★★☆） 已知函数.（1）若，求的极值；（2）若对任意的恒成立，求的取值范围. 变式2（解答·★★★☆☆） 已知函数在处有极大值.（1）求实数的值；（2）若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围. 变式3（解答·★★★☆☆） 已知函数，曲线在点处的切线与平行．（1）求的值；（2）求的极值． 变式4（解答·★★★★☆） 已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）设函数，已知有两个极值点．①求的取值范围；②求证：． 变式5（解答·★★★★☆） 已知函数．（1）若在处取得极值0，求的值；（2）若有两个零点．（i）当时，曲线在点处的切线斜率为1，求的值；（ii）证明：． 三、闭区间上的最值 1. 标准流程. 求 在 上的最值:求出 内所有极值候选(驻点),再算端点 ,所有候选放在一起比大小——最值不需要验变号,候选点函数值直接比. 2. 开区间与无穷区间. 开区间 上的最值还要核对"端点极限值不超过候选值";单调函数在开区间上取不到最值(只有上/下确界),这是第10讲切线范围题的延续. 3. 含参最值的两类反问题. "最小值为 ,求参数":让极值候选等于 解参数;"区间上最大值在某点取得":把驻点与区间的相对位置分类,逐段比较端点值与驻点值. **4. 与 的比较." 由 (当且仅当 取等)派生出 ,进而 的严格版本需借助二阶导——熟这两条,极小值与指数式的比较就一两步. 例4（解答·★★★☆☆） 已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值. 变式6（解答·★★★★☆） 已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）设函数的最小值是2，求实数a的值． 变式7（解答·★★★★☆） 已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）记的极小值为，证明：． 四、极值与导函数的综合 1. 的值域就是"斜率的库存". "存在 使 "等价于 落在 的值域内; 含 时,值域下界由均值不等式(或求导)给出. 2. 极值条件反解模型函数. 多选题里" 在某点取极值"先把参数定死,模型函数具体化后,其余选项全部变成普通计算——先用足题设,再谈选项. 3. 对称与极值的联用. 关于某点对称(如 型)给出"成对驻点";函数值和的对称式 = 常数,是把双变量不等式压成单变量比较的杠杆. 4. 隐零点与常数. 极值条件最终化为 这类方程时,解不必显式求出:设出记号、利用方程化简目标式,常数自然现形. 例5（多选·★★★☆☆） 已知函数在处取得极大值，的导函数为，则（ ） A. B. 当时， C. D. 当且时， 变式8（多选·★★★☆☆） 已知函数在处取得极小值，为其导函数，则（ ） A. B. C. 的解集为 D. 变式9（单选·★★★☆☆） 已知函数，为的导函数，若，使得，则实数的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 变式10（填空·★★★★☆） 已知定义在上的函数，其导函数满足，且，若函数存在极大值，且极大值为，则的最小值是______. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 导数与极值·最值 极值点的判定·极值的计算与反求·闭区间最值·极值与导函数综合 一、极值点与极值的判定 1. 概念链. 极值点是自变量的值 ,极值值是函数值 ——选择项写 这样的坐标时,它既不是极值点也不直接是极值,先分清问的是哪个. 2. 判定三步. ①解 得候选驻点;②看 在驻点两侧是否变号:正变负为极大,负变正为极小;③驻点不在定义域内或不变号(如 在 )时,不是极值点. 3. 导数不存在的点也可能是极值点. 在 处不可导却取极小值;含绝对值、分段函数的题目要把不可导点一并列入候选. 4. 已知极值反求参数. " 在 处取极值"给两条信息: 且两侧变号——解出参数后必须回验变号,只代 会引入增根. 【通法】极值点对 ,极值值对 ,审题先分清. 【通法】驻点、定义域断点、不可导点都是极值候选,逐一验变号. 【通法】反求参数: 加变号回验,两关都过才算数. 例1（单选·★★☆☆☆） 函数的极小值点是（ ） A. B. C. D. 【切入点】乘积求导:,零点 与 . ,符号由 决定: 于 , 于 与 . 故 处 由负变正, 是极小值点;( 处由正变负,是极大值点.) 故选 C.注意 D 选项 是曲线上点的坐标: 是极小值值,而极值点是横坐标 . 【易错】"极值点是 "与"极值是 "是两回事;指数因子 恒正,定号时直接划掉——它的使命只是保证 处处存在. 【答案】C 变式1（单选·★★☆☆☆） 已知函数的极小值为，则实数的值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【切入点】: 于 为正、 为负、 为正,故 是极大值点、 是极小值点. 极小值 ,得 .故选 A. 【易错】开口向上的二次导数,极小值点在右根 ( 由负变正),别代成 ; 是极大值. 【答案】A 二、极值的计算与反向求参 1. 求极值的完整步骤. ①定定义域;②解 ;③列表验变号;④把驻点逐个代入 得极值,并指明极大/极小;无变号的驻点不计. 2. "在 处有极大值"反求参数. 两条方程: 与"该处确为极大";若题目还给出极值的具体数值,第三条方程 = 数值随之而来——联立解参,再回验. 3. 无极值点型. 恒定号(恒正或恒负)或虽有零点但不变号;对 型,常转化为" 与 是否相交"的图象问题,临界参数由相切给出. 4. 极值是局部概念,最值是整体概念. 闭区间上最大值 = 各极值与端点值中的最大者;开区间或 上有最值,通常在唯一极值点处取得——先单调后极值,最值水到渠成. 【通法】求极值四步:定义域、驻点、变号、代值. 【通法】反求参数:极值条件列方程,变号回验除增根. 【通法】无极值型:导数恒定号,临界参数由相切条件给出. 例2（解答·★★★☆☆） 已知函数在处的切线与直线平行．（1）求的值：（2）求的极值． 【切入点】(1) 切线斜率即 ;(2) 定 后按四步求极值. (1) ,.平行于 即斜率为 :,. (2) ,. 给 ,即 ;当 时 ,当 时 . 故 在 处取得极大值 无极小值. 【关键】 分解出 后,符号表一目了然;"无极小值"要说清理由: 时 , 从 附近升到极大再降向 ,不存在谷底. 【答案】(1) ; (2) 极大值 ,无极小值 例3（解答·★★★★☆） 已知函数.（1）若，求的极值；（2）若对任意的恒成立，求的取值范围. 【切入点】(1) 定 后按四步走;(2) 恒成立不等式构造 ,二次求导看 的符号结构—— 的符号直接决定 的方向. (1) :, 于 , 于 ,故极大值 无极小值. (2) 记 ,条件即 对 成立.注意 : 必要性:若 ,则 ,故 在 右侧附近递增,,,与 矛盾; 充分性:若 ,则对 ,,故 , 递减,结合 得 , 递减,结合 得 ,恒成立. 综上 . 【通法】" 起步的不等式",二次求导链条 一路"递减 + 端点归零"往下压:充分性是三段连环,必要性只看 的符号——一条题把"探路"与"压制"都演示了. 【答案】(1) 极大值 ,无极小值; (2) 变式2（解答·★★★☆☆） 已知函数在处有极大值.（1）求实数的值；（2）若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围. 【切入点】,零点 与 ;" 处有极大值"先给 ,再用变号定 . (1) 给 ,即 或 . :,零点 , 于 为负、 为正, 是极小值点,舍; :, 于 为负、两侧为正, 处由正变负,是极大值点,符合. 故 . (2) : 为极大值, 为极小值,且 时 , 时 . 有三个零点等价于 与水平线 有三个交点,即 故 的取值范围为 . 【易错】 的两个解 都要变号回验,舍去极小的 ——这正是" 只是必要条件"的现场教学;数零点时水平线夹在极大值与极小值之间,两端开区间别写闭. 【答案】(1) ; (2) 变式3（解答·★★★☆☆） 已知函数，曲线在点处的切线与平行．（1）求的值；（2）求的极值． 【切入点】(1) ,在 处等于 ;(2) 定 后按四步走. (1) ,得 . (2) ,. 给 ; 于 , 于 . 故极小值 无极大值. 【通法】 型的最小值点落在 为负的位置(),代入后 值出现 ——"驻点带对数、函数值带指数",是 与 互相抵消的常见搭档. 【答案】(1) ; (2) 极小值 ,无极大值 变式4（解答·★★★★☆） 已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）设函数，已知有两个极值点．①求的取值范围；②求证：． 【切入点】,其极值点是 的正根;韦达定理把 整体求出. (1) 时 ,零点 与 : 当 时 , 在 与 上递增,在 上递减; 当 时两零点重合, 在 上递增; 当 时 , 在 与 上递增,在 上递减. (2) ① 有两个正零点,需 得 . ②,由韦达定理 ,: 记 ():, 在 上递减,而 ,故 ,于是 命题得证. 【关键】韦达整体代入后, 化为 ,其中 在 上递减、下确界为 ; 恰是判别式归零、两极值点合并的位置,取不到——不等式的严格性正来自这里. 【答案】(1) 见解析; (2) ① ② 见解析 变式5（解答·★★★★☆） 已知函数．（1）若在处取得极值0，求的值；（2）若有两个零点．（i）当时，曲线在点处的切线斜率为1，求的值；（ii）证明：． 【切入点】(1) "在 处取得极值 "给两条方程 与 ;(2)(ii) 两个零点等价于"先减后增 + 谷底在 轴下方". (1) ,由 得 ;由 得 .此时 , 在 两侧由负变正, 确为极小值点,符合. (2) 有两个零点,则 必须有零点,故 ;令 得 , 在 递减、之后递增. (i) 时 且 : 代入第一式:,即 .由 知 ,故 . (ii) 两个零点等价于最小值为负: 两边取指数(底 保号): 得证. 【关键】(ii) 的证明就是"两零点条件"的代数化:谷底公式 一写,取对数不等式两边取指数即完成——第14讲《导数与零点》里,这一条会以"参数范围"的面目再来. 【答案】(1) ,; (2)(i) (ii) 见解析 三、闭区间上的最值 1. 标准流程. 求 在 上的最值:求出 内所有极值候选(驻点),再算端点 ,所有候选放在一起比大小——最值不需要验变号,候选点函数值直接比. 2. 开区间与无穷区间. 开区间 上的最值还要核对"端点极限值不超过候选值";单调函数在开区间上取不到最值(只有上/下确界),这是第10讲切线范围题的延续. 3. 含参最值的两类反问题. "最小值为 ,求参数":让极值候选等于 解参数;"区间上最大值在某点取得":把驻点与区间的相对位置分类,逐段比较端点值与驻点值. **4. 与 的比较." 由 (当且仅当 取等)派生出 ,进而 的严格版本需借助二阶导——熟这两条,极小值与指数式的比较就一两步. 【通法】闭区间最值:驻点值与端点值全员比大小. 【通法】反求参数:让极值等于给定值,回验定义域. 【通法】指数压对数:,等号在 . 例4（解答·★★★☆☆） 已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值. 【切入点】(1) 切线三步;(2) ,驻点 与 都在区间内,最值候选为两个端点加两个驻点. (1) ,,. 切线:,即 . (2) 区间 上: 于 为正、 为负、 为正,候选点:(端点)、(极大)、(极小)、(端点). 最大值在右端点取得,为 . 【易错】极大值点 落在区间内部,但它不是最大值——闭区间最值要"全员比大小":两个端点加两个极值候选一个不落;四个值都含 ,代 数值化最快. 【答案】(1) ; (2) 变式6（解答·★★★★☆） 已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）设函数的最小值是2，求实数a的值． 【切入点】(1) 切线三步,注意切线恰过原点;(2) "最小值为 "按 的符号讨论: 时 递减无下界,只有 有希望. (1) :,,. 切线:,化简得 . (2) : 给 , 在 递减、 递增, ( 时 在 上递减,值域无下界,不符合.)故 . 【关键】——"自变量取倒数、对数变符号";切线过原点不是巧合:. 【答案】(1) ; (2) 变式7（解答·★★★★☆） 已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）记的极小值为，证明：． 【切入点】(1)(2) 常规流程;(3) 极小值 (),与 的比较构造 ,二阶导定胜负. (1) :,,,. 切线:. (2) :当 时 , 在 上递增;当 时 在 上递减、 上递增. (3) 时极小值 .记 故 递增;又 ,故 于 、 于 , 在 处取最小值 所以 ,即 ,亦即 ,得证. 【通法】"对数压指数"的比较,构造差函数后用二阶导定一阶导的符号: 使 单调,唯一零点 把定义域劈成"减、增"两半,最小值落在零点上——这套"二阶导锁号"的流程,是压轴题比较类小问的万能钥匙. 【答案】(1) ; (2) 见解析; (3) 见解析 四、极值与导函数的综合 1. 的值域就是"斜率的库存". "存在 使 "等价于 落在 的值域内; 含 时,值域下界由均值不等式(或求导)给出. 2. 极值条件反解模型函数. 多选题里" 在某点取极值"先把参数定死,模型函数具体化后,其余选项全部变成普通计算——先用足题设,再谈选项. 3. 对称与极值的联用. 关于某点对称(如 型)给出"成对驻点";函数值和的对称式 = 常数,是把双变量不等式压成单变量比较的杠杆. 4. 隐零点与常数. 极值条件最终化为 这类方程时,解不必显式求出:设出记号、利用方程化简目标式,常数自然现形. 【通法】量词条件翻译成值域包含,再用 的最值. 【通法】多选先用极值条件定参,把抽象变具体. 【通法】对称式 = 常数是双变量压单变量的杠杆. 【通法】隐零点设记号,方程化简,不硬解. 例5（多选·★★★☆☆） 已知函数在处取得极大值，的导函数为，则（ ） A. B. 当时， C. D. 当且时， 【切入点】;" 处取极大值"先定 ,模型具体化后逐项清点;全程盯住对称结构 与 . A:,得 ,正确. B: 时 ; 等价于 ,即 ,故 在 上递减;由 得 ,与 B 的方向相反,错误. C: 关于 对称,故 ,正确. D:由对数相消, 又 于 (此时 ),,故 在 上单调递增. 设 且 ,即 ;由 得 ,于是 正确. 故选 ACD. 【关键】D 的胜利来自两条对称式的接力: 把"和"的上界变成"点"的比较,而 在 上的单调性把"点"的比较一步送出;极小值点 与极大值点 成对出现,是 分子 两根的镜像——对称结构看穿,四个选项全是口算. 【答案】ACD 变式8（多选·★★★☆☆） 已知函数在处取得极小值，为其导函数，则（ ） A. B. C. 的解集为 D. 【切入点】,,零点 与 ;" 处取极小值"把 定死. A:极小值点在右根,故 ,(此时 ,验证: 处由负变正,确为极小),正确; B:,,, 故 ,错误; C:, 即 ,因式分解 解集 ,正确; D: 时 ,而 在 上递增( 于 ),故 ; 又 , 在 上递增(),故 . 两式合并:,正确. 故选 ACD. 【关键】C 的因式分解 由"试根 "触发;D 中 的"双 "不是巧合——极小值与左侧对称位置的函数值恰好同值,夹逼立刻成立. 【答案】ACD 变式9（单选·★★★☆☆） 已知函数，为的导函数，若，使得，则实数的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【切入点】量词翻译:, 使 ,即 递增( 的孪生式恒正),故 ; 故 . 包含关系等价于 : 故 的最小值为 .故选 C. 【关键】 的值域下界 由均值不等式立得,且 处取到;"对任意/存在"的量词题,翻译成集合包含后只剩一次单调性. 【答案】C 变式10（填空·★★★★☆） 已知定义在上的函数，其导函数满足，且，若函数存在极大值，且极大值为，则的最小值是______. 【切入点】 移项即 ——凑导数一步定出 ;极值条件再把 挂到同一个驻点上. 由 得 ,积分(沿正半轴)得 由 :,故 ,即 . 于是 存在极大值要求 :若 ,则对 有 与 , 恒成立, 在定义域 上递增,无极值. 时 严格递减,唯一零点 满足 在 处由正变负,极大值为 故 . 于是 等价于 ,即 ;记该唯一根为 ( 严格递增), 在 递减、 递增,最小值 由 得 、,代入: 故 的最小值为 . 【关键】" 的根 "与第8讲欧米加常数是同一位老朋友:它不必求出数值, 与 两条"身份证"就够把 清算干净;极值存在性先把 锁死,否则后面全部白搭. 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $