第3讲 对称性与周期性讲义-2027届高三数学二轮专题复习

该高中数学高考复习讲义聚焦对称性与周期性核心考点，涵盖对称轴、对称中心的判断，周期性推导及两者相互转化，按“定义-推导-应用”逻辑架构知识体系。通过考点梳理（如标准形识别）、方法指导（分离常数法等）、真题训练（例题与变式），帮助学生构建知识网络，突破综合应用难点。 讲义突出数学思维培养，如通过“两轴两心隔两倍”口诀及推导过程，引导学生理解对称与周期的逻辑联系。设置基础到综合的分层练习，配合具体函数对称中心求法等实例，提升学生用数学语言表达规律的能力，高效夯实考点，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第3讲 对称性与周期性 对称轴·对称中心·周期的推导与综合应用 一、对称性的判断与对称中心 1. 两类对称的标准形. 轴对称:(等价写法 、,轴为 ),图象关于直线 对称;中心对称:(等价写法 ),图象关于点 对称.一句话记:轴对称看”相等”,中心对称看”相加为定值”.拿到条件先凑成标准形,对称轴或对称中心可以直接读出来. 2. 奇偶性是特殊的对称. 偶函数就是关于 轴(即 )的轴对称,奇函数就是关于原点(即 )的中心对称.所以”奇偶 + 对称”的条件放在一起时,统一当作”轴和心”来处理,第三章的周期公式就都用得上. 3. 具体函数对称中心的三种求法. ①分离常数法:分式函数把分子凑成分母的幂,化成”整式 + 反比例型”,如 ,中心即渐近线交点;②恒等式法:设中心为 ,验证 对一切 成立,展开对比定 ;③换元法:多项式关于 对称,令 ,问题变成” 是否为偶函数”,看奇次项即可. 【通法】判断对称性:把条件凑成 或 ,轴 、心 直接读出. 【通法】分式函数求对称中心:分离常数化为反比例型,横坐标是竖直渐近线,纵坐标是两条水平渐近线的平均值. 【通法】含参式子定对称:代入 或 作恒等变形,比较同类项系数. 例1（单选·★★☆☆☆） 已知函数的定义域为，设甲：，乙：是偶函数，则甲是乙的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【切入点】要判断”甲是乙的什么条件”,两边都要推:先由甲推乙(充分性),再由乙推甲(必要性),哪边断了就缺哪边. 充分性:若对一切 有 ,则对任意 , 故 是偶函数,甲 乙; 必要性:若 是偶函数,则 .当 时 , 显然;当 时 ,,也成立,乙 甲. 两边都通,甲是乙的充要条件.故选 A. 【易错】推”乙 甲”时, 里的 总在正半轴,要用偶函数把正半轴的函数值”镜像”回负半轴:.偶函数的本质就是左右两半镜像相等. 【答案】A 例2（单选·★★☆☆☆） 函数图象的对称中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 【切入点】分母是 ,就把分子往 的幂上凑,分离出”整式 + 一坨简单的分式”. 由 ,得 把 看成整体, 的图象关于原点对称;再整体向左平移 (把 看成新变量)、向下平移 ,对称中心就是 .故选 D. 【关键】一般地, 分离后形如 ,对称中心就是 ——它恰是竖直渐近线 与水平渐近线 的交点.先求两条渐近线,中心就是它们的交点,这是最快的路子. 【答案】D 例3（单选·★★★☆☆） 已知函数的图象关于坐标原点对称，则的值为（ ） A. 20 B. 50 C. 70 D. 90 【切入点】图象关于坐标原点对称 是奇函数 .展开后按幂次对比系数. . 二项式展开: 相加时奇次项 全部抵消,得 恒为零需要两个系数同时为零:,,故 .故选 D. 【易错】常数项 恰好自动抵消,不要因此漏掉式中的 :它是原函数里两个 凑出来的,漏写会导致对比系数时误判.展开项多时按幂次从低到高逐项核对. 【答案】D 变式1（填空·★★★☆☆） 已知函数的图象关于点对称，则点的坐标为__________. 【切入点】 是”反比例型”:分子为常数.中心的横坐标由分母的零点给出,纵坐标用 算. 令分母为零:,得 ,,故中心的横坐标为 . 验证并定纵坐标:记 为增量, 两式相加: 故 ,,对称中心为 . 【关键】反比例型 的对称中心:横坐标是竖直渐近线 的位置;纵坐标是两条”端头”高度的平均值——本题 时 , 时 ,平均正是 ,与计算吻合. 【答案】 变式2（单选·★★☆☆☆） 已知函数的图象关于直线对称，则 = （ ） A. 2 B. 0 C. D. 【切入点】谈对称先看定义域: 要求 ,即 .定义域本身得先关于 对称,由此先把 锁定. 当 时,定义域为 (其中 ),两段”缺口”端点 与 关于 对称: (若 ,定义域为 ,同样要求 ,解出 与 矛盾,舍去.) 于是 .由轴对称,: 所以 ,得 ,. 故 .故选 C. 【易错】 里的真数必须大于零,把对称条件往具体点上代时,先确认所选的点在定义域内( 与 都满足 );用特殊值列方程,比硬展开恒等式省力且不易错. 【答案】C 变式3（填空·★★★☆☆） 已知，若函数的图象存在对称中心，则 = __________． 【切入点】“存在对称中心”先看定义域:,定义域是以 为端点的开区间,其中点 就是对称中心的横坐标. 设中心为 ,则 对一切增量 成立.计算两端: 相加,用平方差 : 要让上式恒等于常数 :当 时 (其中 ),故常数只能为 ,进而必须 ,即 . 此时对任意 都有对称中心 .故 . 【关键】“平方差吃掉一半结构”: 让表达式出现因子 ;而 不是常值函数(取两个不同的 一比便知),所以只能让它前面的系数 为零. 【答案】 变式4（填空·★★★☆☆） 若函数的图象关于对称，则 = __________，的最小值为______________． 【切入点】四次多项式关于 对称,令 ,问题变成” 是否为偶函数”——展开看奇次项系数是否为零. 以 (即 )代入两个因式: 乘积为偶函数 一次项与三次项系数为零. 三次项系数:,得 ; 一次项系数:,代入 得 . 故 . 求最小值:.求导: 驻点为 与 ,由对称性只需算 : 是对称轴上的”峰”(极大值),两侧驻点函数值相同且更小,故最小值为 . 【关键】换元 是把”对称”翻译回”奇偶”的通用手段:多项式关于 对称 以 为自变量时是偶函数(奇次项消失). 【易错】最小值不能只盯对称轴上的点: 恰是极大值.对称性只保证最值出现在轴上或关于轴对称的一对点上,必须求驻点逐一比较. 【答案】； 二、周期性的判断与推导 1. 周期藏在式子里. 若存在 ,使对定义域内一切 都有 ,则 是 的周期.拿到条件式要会”翻译”:自变量加了多少、函数值是正接还是反接,决定了周期是几. 2. 三个必背推论(证法都是”再代一次”). ①;②;③.以①为例:,把 换成 得 .规律:符号相反或取倒数,都要”再走一步”才回到正号,周期翻倍.另外 周期为 . 3. 递推式求周期:列队找循环. 形如 的连环递推,把 依次换成 、 往下写,出现 的循环即得周期.这与数列里”递推数列找周期”是同一件事. 【通法】见 或 :周期 ,直接用. 【通法】递推式:把 逐步替换迭代两三次,找循环,出现“负负得正”处就是周期. 【通法】判断“周期”命题要会两边下手:正向代入验证,反向构造反例(如 的导函数是周期函数而它自身不是). 例4（单选·★★☆☆☆） 已知的定义域为，满足，则 = （ ） A. 2 B. -2 C. 3 D. -3 【切入点】 是”符号相反”的递推,把 换成 再代回去. 在 中,把 换成 : 于是 ,周期 . ,故 .而 .故选 D. 【易错】别把周期记成 :式子里是 ,要”再走一步”符号才转正,周期是 .凡见负号、倒数,先想翻倍. 【答案】D 例5（单选·★★★☆☆） 已知定义域为的偶函数满足，且在上是单调递增函数，若函数，则下列结论正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 在上是单调递增函数 C. D. 【切入点】递推式 :把 依次换成 往下写,凑出循环. 原式记为①;把 换成 ,得 把①代入②: 再走一步:,周期 . 逐项判断: A..由 ,得 ,与 既不恒相等也不恒相反,A 错; B. 在 上递增,由 知 在 上递减. 时, 递减而 ()递增,故 递减,B 错; C.;,而 (偶),故 ,即 ,C 对; D.,不恒等于 ,D 错. 故选 C. 【关键】 的单调性不用求解析式:在区间上分别看 与 一减一增,“减 增”还是减.周期与对称把远处的信息搬回已知区间,是这类判断题的全部手段. 【答案】C 变式5（单选·★★☆☆☆） 已知函数是周期为的奇函数，且当时，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】周期为 ,先把 拉回 ,再用奇函数转正. ,故 .故选 A. 【关键】“大数求值三步”:模周期、定正负、落回已知段.每一步只做一件事,不混在一起想. 【答案】A 变式6（填空·★★★☆☆） 已知奇函数的周期为2，且当时，，则 = _____． 【切入点】,先用周期 挪进 ,再用奇函数把 段转到已知的 段. 记 ,由周期 : 由奇函数 ;又 ,故 所以 ,即 . 【易错】 上的解析式 不能直接代 里的自变量:先用周期把 挪到 ,再代解析式.对数值先估个范围()能避免挪错方向. 【答案】 变式7（单选·★★★☆☆） 已知及其导函数的定义域均为，且不是常函数，则命题“是周期函数”是“是周期函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【切入点】“ 周期 周期”对 两边求导即可;反向则要构造反例. 充分性: 两边求导,得 ,故 是周期函数. 必要性不成立:取 ,则 是周期函数,而 的值随 增大总体上一直增大,不重复,不是周期函数;且 不是常函数,符合题设. 所以” 是周期函数”是” 是周期函数”的充分不必要条件.故选 A. 【关键】求导保持周期、不产生周期:正弦部分求导还是周期函数,但”斜坡” 求导后变成常数消失了——反例正是靠这一点构造的. 【答案】A 三、对称与周期的相互推导 1. 两个几何特征锁定周期. 设两条对称轴为 ,两个对称中心为 (等高),一条对称轴 与一个对称中心 : ①两轴 周期 ;②两心(等高) 周期 ;③一轴一心 周期 . 口诀:两轴两心隔两倍,一轴一心隔四倍. 2. 推导的统一套路:写出两条对称式,代入消元. 例如轴 给出 ,心 给出 ;用其中一个式子把自变量挪到与另一个相同的位置,相加减就出现 .自己动手推两遍,比背结论牢固得多——考试考的往往就是推导本身. 3. 奇偶可以换算成轴与心. 奇函数 对称中心 ;偶函数 对称轴 .于是”奇函数,且 为偶函数”就是”一心()一轴()“,周期 ;同理”偶函数,且 “就是”一轴一心”,周期照样可求. 【通法】两轴或两心(等高):周期 ;一轴一心:周期 . 【通法】证明或使用时,老老实实写出两条对称式代入消元,不要死套结论(两心不等高时没有周期,见例10). 【通法】大数求值:先约周期,再用轴/心把余数位置的自变量挪进已知解析式的区间. 例6（单选·★★★☆☆） 已知定义在上的函数满足，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】 是轴 ; 即 ,是心 .一轴一心,先推周期再定值. 由轴对称:,即 ; 由心对称:. 把前式代入后式:,即 再走一步:,周期 . 求 :在 中取 :;又由轴 :,故 .C 对. 其余选项: 无法确定—— 时 只给出 ,而 自由;于是 、(轴 )、 都随之不定,A、B、D 均无法保证.故选 C. 【易错】 读出的心是 ,与题给的 不矛盾——它是”轴 + 心 “联合推出的新对称,同一组事实换了个写法.验证自己的推导时,拿 代一代最快. 【答案】C 例7（单选·★★★☆☆） 已知定义在实数集上的函数满足以下条件：①；②；③.则 = （ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【切入点】①是轴 ,②是心 :一轴一心 周期 ;③给出 ,先用它定出 . 推周期:轴 给出 ;心 给出 ,取 即 . 两式联合:,即 ,故 . 求 :心式中取 :,又 ,故 . 求和:由 ,一个周期内配对相消: 故每连续 项之和为 .而 ,前 项恰好 个完整周期,和为 ,只剩最后一项: 故选 A. 【关键】大跨度求和的标准动作:先证周期,再证”半周期配对相消”,最后总和 = 组数 + 余数项.余数项往往落在条件给过值的点上(本题 恰好定出 ). 【答案】A 变式8（单选·★★★☆☆） 若定义在上的偶函数满足，且当时，，则 = （ ） A. B. 0 C. D. 【切入点】偶函数 + (心 )——一轴一心,周期 . 由 ,又偶函数 ,故 ,即 ,周期 . ,故 .心式中取 :,故 故选 C. 【关键】“偶 + 心”转周期的推导链:对称式给 ,偶性把 改写成 ,周期立现. 【答案】C 变式9（单选·★★★☆☆） 已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则 = （ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 【切入点】 奇即心 ; 为偶 ,即 关于 对称——一心一轴,周期 . 由 (用奇函数把 改写:,),即 ,周期 . ,,,故 (奇函数);;(轴 : ). 和为 .故选 B. 【关键】“ 为偶(奇)函数”要翻译成 的轴(心): 为偶 轴 ; 为奇 心 .口令:内层的平衡点就是轴或心的位置. 【答案】B 变式10（多选·★★★☆☆） 定义在上的奇函数周期为2，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】奇 + 周期 :每个选项都把自变量用周期挪、用奇性变号,化到能比较为止. A. 正是周期 的定义,对; B.(周期 后用奇性),于是 B 相当于说 恒成立,即 ,不一定,B 错; C.,即 ,对; D.(周期 ),故 ,不一定为零,D 错. 故选 AC. 【易错】B 与 D 的错误同源:把”周期”用成了”对称”. 是轴 的语言,奇函数加周期一般给不出轴对称;只有 这种特例才同时满足. 【答案】AC 变式11（多选·★★★☆☆） 已知函数满足：都有，且的图象关于直线对称，若．则（ ） A. B. 是奇函数 C. D. 【切入点】把两个对称条件都翻译成” 与 “的关系:条件二是 的轴,要先”还原”回 自己的轴. 条件一:,心 ; 条件二: 关于 对称 对一切 成立 ,即 关于 对称. A.条件一中取 :;取 :,得 .A 对; B. 后条件一变成 ,这正是” 是奇函数”的定义(图象关于 对称).B 对; C.由轴 :;由下面推出的 :,故 ; 而 .C 错; D.把轴式 代入心式 :由轴,,故 半整数点一个周期(取 共 个点)的值: 其中 (上面算过),(轴 ),,其余由 逐个得出;八项之和为 . :前 项为 个完整周期,和为 ;余下 ,即 ,模 后对应 : D 对.故选 ABD. 【易错】条件二别读成” 关于 对称”: 的自变量被压缩了一半,它的轴 对应 的轴 .复合函数的对称,先还原回最外层函数再谈. 【答案】ABD 四、综合应用:求值、求和与解不等式 1. 大数值求值与求和三步法. ①由奇偶、对称、递推条件确定周期(或类周期关系);②把 这类大自变量模周期,化为小自变量;③用对称性、奇偶性把小自变量挪进已知解析式的区间.求和则先算一个周期内的和——常用手法是配对相消(如 ),再乘组数加余项. 2. 与 :轴心互换. 的对称性求导后会”变种”:对 求导得 , 关于 中心对称——轴变心;对 求导得 , 关于 对称——心变轴.横坐标都不变.反过来, 的轴对称积分后给 一个中心对称(差一个常数,常数用已知函数值定,见例10).另外, 周期 周期,反向不成立. 3. 抽象不等式:单调收尾. 对称与周期把函数信息集中到某个单调区间后,解不等式的最后一步永远是单调性:把常数改写成 (常用 、),用奇偶把负号变成自变量变号,再由单调”脱壳”,注意别丢定义域. 【通法】求值/求和:定周期 模周期 挪回已知段;求和先配对相消,算出一个周期内的和再乘组数加余项. 【通法】 与 轴心互换:轴变心、心变轴,横坐标不变;二阶反复即还原. 【通法】抽象不等式:常数写成 ,奇性移项,单调脱壳,定义域收尾. 例8（单选·★★★☆☆） 已知函数是定义在上的奇函数，函数的图象关于对称，若，则 = （ ） A. B. C. 0 D. 1 【切入点】 关于 对称,即 .把定义代进去,会发现公因子 被约掉——这是这类”乘积函数对称”的固定戏法. ,.由 : 即 关于点 中心对称. 求值:,得 ,由奇函数 . 再由心 :,即 .故选 D. 【关键】 若关于 对称,代入 后两边都有因子 ( 时约去, 单独验证也成立),剩下的就是 的对称——“带因子约因子”是处理乘积结构的通法. 【答案】D 例9（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，且，，，则 = （ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【切入点】 是轴 ;第三条 右边是个常数,把它当”类周期递推”迭代,同时用轴对称定出这个常数. 记 .由 得 ,迭代: 周期 .于是 ,即 . 由轴 :,故 . 在 中取 :,即 ,得 ,故 ,且 算一个周期:;(轴:);;;;.一个周期和为 . ,故 故选 D. 【关键】“和为常数”的递推 :迭代一次出周期 ;常数 常由”递推式取特殊值 + 对称轴上的值”联立定出.常数一旦定为 ,半周期反号立现. 【答案】D 例10（填空·★★★★☆） 已知函数及其导函数的定义域均为．若，，且的图象关于直线对称，则 = ______． 【切入点】两个条件各管一件事: 化标准形后是一个对称中心; 的对称轴 经”积分”给 另一个对称中心.两个心的纵坐标不同,得到的不是周期,而是”等差漂移”. 第一步:令 ,条件化为 ,即 关于 中心对称.取 得 ,即 ;取 得 ,即 . 第二步:设 ,求导 其中用了 关于 对称().故 为常数;取 :常数为 .于是 关于 中心对称. 第三步:由第一步 ,取 得 ;代入第二步 : 第四步:于是 .结合 ,: 规律:.所以 【关键】“ 轴对称 心对称”的证明就是构造 再求导;两个对称中心横距 、纵差 ,推出 :每平移 横距,函数值降 纵差. 【易错】两个心的纵坐标一个是 、一个是 ,不满足”等高”的前提,不能套”两心 周期”——套了就会得出自相矛盾的周期.结论与周期一字之差,先核对等高. 【答案】 变式12（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，，且，，则的最小值为（ ） A. 9 B. 12 C. 16 D. 18 【切入点】 是指数型函数方程:按 的模型代进去定 . 设 (,),代入: 又 ,得 ,故 (检验: 与 均满足). 于是 当 即 时取等.最小值为 .故选 D. 【关键】指数型方程 按幂函数模型猜形式、用特殊值定参数;“和式求最小”配基本不等式,取等条件 别忘验. 【答案】D 变式13（单选·★★★☆☆） 函数定义域为，且满足，若是偶函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【切入点】先用” 为偶”把 解出来,再看不等式两边自变量的结构. 由 :.代入 : 单调性:由基本不等式 , 且仅在 处取等,故 在 上单调递减;又 且 为奇函数. 解不等式:把第二项移到右边并用奇函数变号: 由单调递减,等价于 同号相乘: 且 ,或 且 ,即 或 .故选 B. 【关键】“奇函数 + 单调”解抽象不等式三板斧:移项凑成 ;奇性把负号变成自变量变号;单调性脱壳.最后 按”同号得正”分两支讨论. 【答案】B 变式14（填空·★★★★☆） 已知定义在上的偶函数满足，且时，，若是的一个零点，则a的值为____________． 【切入点】 的对称轴:把两边的自变量取中点,,轴为 .偶函数(轴 )+ 轴 ,两轴定周期. 两轴相距 ,周期 .验证:,又偶函数 ,故 . 零点模周期:,而 ,故 . 挪进已知段:先由偶函数得 ,再由周期 得 ,而 落在已知段 ,故 . 由 :,得 . 【易错】 的轴不是 : 与 关于 对称(取中点),或等价地写成 后读轴.读错了轴,周期与后面全错. 【答案】 变式15（填空·★★★★☆） 已知函数，的定义域为，且，，若的图像关于直线对称，则以下说法正确的有________．① ②③ ④ 【切入点】先用第二式把 用 表示,代回第一式,得到 自己的对称条件. 由 得 .代入 : 令 :,即 关于 中心对称. 又 关于 对称:.代入上式: 周期为 . ①.由周期 :;由轴 :.故 另一方面,;由周期 :,再由 ,得 . 两者正好互为相反数:,① 对; ②周期为 ,当然 ,② 对; ③先看 .由周期 得 ;由轴 得 ;再由周期 得 .故 .由心 取 :,即 ,故 ,③ 对; ④周期 下,( 为偶数);,故 .而 (心式),故 ,④ 对. 答案:②③④. 【关键】两个函数、两条关系式时,消元是第一步:把 全部换成 ,问题立刻变成”一个函数的对称 + 周期”.①的验证中”算出两个表达式再比”最稳妥,别凭感觉. 【答案】②③④ 变式16（多选·★★★★☆） 已知函数是定义在上的偶函数且在区间上单调，函数的图象关于点中心对称，则以下说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若在区间上是增函数，则在区间上是增函数 D. 若，则在区间上的零点之和为0 【切入点】 关于 对称 :代入后公因子 被约掉,得到的是 的轴对称,不是中心对称. ,,相加为零( 约去 ): 即 关于 对称.又 为偶函数(轴 ),两轴相距 ,周期 . A.周期是 而非 ,由现有条件推不出 ,A 错; B.,得 ;由轴 :,B 对; C.由轴 :,故 . 看 在 :记 (),则 . 在 递增, 随 递减,复合后 递减,再加负号, 在 递增,C 对; D. 时,零点按对称成片出现:轴 给 ;偶函数给 ;周期 不带来 内的新零点. 的零点为 (因式 )及 ,其和为 D 错.故选 BC. 【易错】 的对称中心在 ,代入约去 后剩 ——是”轴”.谁对称、对称成轴还是心,必须代进去算,凭”乘积函数”的表象猜会差一个类型. 【答案】BC 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲 对称性与周期性 对称轴·对称中心·周期的推导与综合应用 一、对称性的判断与对称中心 1. 两类对称的标准形. 轴对称:(等价写法 、,轴为 ),图象关于直线 对称;中心对称:(等价写法 ),图象关于点 对称.一句话记:轴对称看”相等”,中心对称看”相加为定值”.拿到条件先凑成标准形,对称轴或对称中心可以直接读出来. 2. 奇偶性是特殊的对称. 偶函数就是关于 轴(即 )的轴对称,奇函数就是关于原点(即 )的中心对称.所以”奇偶 + 对称”的条件放在一起时,统一当作”轴和心”来处理,第三章的周期公式就都用得上. 3. 具体函数对称中心的三种求法. ①分离常数法:分式函数把分子凑成分母的幂,化成”整式 + 反比例型”,如 ,中心即渐近线交点;②恒等式法:设中心为 ,验证 对一切 成立,展开对比定 ;③换元法:多项式关于 对称,令 ,问题变成” 是否为偶函数”,看奇次项即可. 例1（单选·★★☆☆☆） 已知函数的定义域为，设甲：，乙：是偶函数，则甲是乙的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 例2（单选·★★☆☆☆） 函数图象的对称中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 例3（单选·★★★☆☆） 已知函数的图象关于坐标原点对称，则的值为（ ） A. 20 B. 50 C. 70 D. 90 变式1（填空·★★★☆☆） 已知函数的图象关于点对称，则点的坐标为__________. 变式2（单选·★★☆☆☆） 已知函数的图象关于直线对称，则 = （ ） A. 2 B. 0 C. D. 变式3（填空·★★★☆☆） 已知，若函数的图象存在对称中心，则 = __________． 变式4（填空·★★★☆☆） 若函数的图象关于对称，则 = __________，的最小值为______________． 二、周期性的判断与推导 1. 周期藏在式子里. 若存在 ,使对定义域内一切 都有 ,则 是 的周期.拿到条件式要会”翻译”:自变量加了多少、函数值是正接还是反接,决定了周期是几. 2. 三个必背推论(证法都是”再代一次”). ①;②;③.以①为例:,把 换成 得 .规律:符号相反或取倒数,都要”再走一步”才回到正号,周期翻倍.另外 周期为 . 3. 递推式求周期:列队找循环. 形如 的连环递推,把 依次换成 、 往下写,出现 的循环即得周期.这与数列里”递推数列找周期”是同一件事. 例4（单选·★★☆☆☆） 已知的定义域为，满足，则 = （ ） A. 2 B. -2 C. 3 D. -3 例5（单选·★★★☆☆） 已知定义域为的偶函数满足，且在上是单调递增函数，若函数，则下列结论正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 在上是单调递增函数 C. D. 变式5（单选·★★☆☆☆） 已知函数是周期为的奇函数，且当时，，则的值为（ ） A. B. C. D. 变式6（填空·★★★☆☆） 已知奇函数的周期为2，且当时，，则 = _____． 变式7（单选·★★★☆☆） 已知及其导函数的定义域均为，且不是常函数，则命题“是周期函数”是“是周期函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 三、对称与周期的相互推导 1. 两个几何特征锁定周期. 设两条对称轴为 ,两个对称中心为 (等高),一条对称轴 与一个对称中心 : ①两轴 周期 ;②两心(等高) 周期 ;③一轴一心 周期 . 口诀:两轴两心隔两倍,一轴一心隔四倍. 2. 推导的统一套路:写出两条对称式,代入消元. 例如轴 给出 ,心 给出 ;用其中一个式子把自变量挪到与另一个相同的位置,相加减就出现 .自己动手推两遍,比背结论牢固得多——考试考的往往就是推导本身. 3. 奇偶可以换算成轴与心. 奇函数 对称中心 ;偶函数 对称轴 .于是”奇函数,且 为偶函数”就是”一心()一轴()“,周期 ;同理”偶函数,且 “就是”一轴一心”,周期照样可求. 例6（单选·★★★☆☆） 已知定义在上的函数满足，则（ ） A. B. C. D. 例7（单选·★★★☆☆） 已知定义在实数集上的函数满足以下条件：①；②；③.则 = （ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 变式8（单选·★★★☆☆） 若定义在上的偶函数满足，且当时，，则 = （ ） A. B. 0 C. D. 变式9（单选·★★★☆☆） 已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则 = （ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 变式10（多选·★★★☆☆） 定义在上的奇函数周期为2，则（ ） A. B. C. D. 变式11（多选·★★★☆☆） 已知函数满足：都有，且的图象关于直线对称，若．则（ ） A. B. 是奇函数 C. D. 四、综合应用:求值、求和与解不等式 1. 大数值求值与求和三步法. ①由奇偶、对称、递推条件确定周期(或类周期关系);②把 这类大自变量模周期,化为小自变量;③用对称性、奇偶性把小自变量挪进已知解析式的区间.求和则先算一个周期内的和——常用手法是配对相消(如 ),再乘组数加余项. 2. 与 :轴心互换. 的对称性求导后会”变种”:对 求导得 , 关于 中心对称——轴变心;对 求导得 , 关于 对称——心变轴.横坐标都不变.反过来, 的轴对称积分后给 一个中心对称(差一个常数,常数用已知函数值定,见例10).另外, 周期 周期,反向不成立. 3. 抽象不等式:单调收尾. 对称与周期把函数信息集中到某个单调区间后,解不等式的最后一步永远是单调性:把常数改写成 (常用 、),用奇偶把负号变成自变量变号,再由单调”脱壳”,注意别丢定义域. 例8（单选·★★★☆☆） 已知函数是定义在上的奇函数，函数的图象关于对称，若，则 = （ ） A. B. C. 0 D. 1 例9（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，且，，，则 = （ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 例10（填空·★★★★☆） 已知函数及其导函数的定义域均为．若，，且的图象关于直线对称，则 = ______． 变式12（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，，且，，则的最小值为（ ） A. 9 B. 12 C. 16 D. 18 变式13（单选·★★★☆☆） 函数定义域为，且满足，若是偶函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 变式14（填空·★★★★☆） 已知定义在上的偶函数满足，且时，，若是的一个零点，则a的值为____________． 变式15（填空·★★★★☆） 已知函数，的定义域为，且，，若的图像关于直线对称，则以下说法正确的有________．① ②③ ④ 变式16（多选·★★★★☆） 已知函数是定义在上的偶函数且在区间上单调，函数的图象关于点中心对称，则以下说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若在区间上是增函数，则在区间上是增函数 D. 若，则在区间上的零点之和为0 学科网（北京）股份有限公司 $