第6讲 函数零点与方程 讲义-2027届高三数学二轮专题复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数零点与方程核心考点，按零点存在性定理、零点个数判断、分离参数求范围、分段与嵌套综合的逻辑架构展开，通过考点梳理（如零点与方程根的互译）、方法指导（如三次函数零点图谱）、真题训练（例题与变式分层设计）等环节，帮助学生构建知识网络，突破难点，体现复习教学的系统性和针对性。 讲义突出数学思维与数学语言的融合，如用单调性结合存在性定理推理零点个数，通过分离参数模板将方程零点转化为函数交点问题，设计嵌套零点由外向内分析策略。设置单选、多选、填空等多样化练习，配合临界参数检验等方法，培养学生逻辑推理和模型意识，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生应考能力。

第6讲 函数零点与方程 存在性定理·零点个数·分离参数·分段与嵌套综合 一、零点与存在性定理 1. 零点是”数”不是”点”. 方程 的实数根 叫做函数 的零点.零点个数 = 方程实根个数 = 图象与 轴交点个数,三种说法随时互译. 2. 零点存在性定理. 在 上连续,且 ,则 在 内至少有一个零点.三个要点:①前提是”连续”;②结论只管”存在”,不管个数;③不异号也可能有零点(如 在 ),定理不能用反. 3. 定区间的方法. 把备选区间的端点逐个代入,算出函数值找异号;若函数在区间上还单调,则”存在”升级为”恰好一个”.估算时用邻近的整数点代入,算到能比出符号即可. 【通法】定位零点:端点代入找异号;配合单调性可断言唯一. 【通法】存在性定理只给”存在”,不给”唯一”;唯一性要另配单调性. 【通法】指数、对数端点值用邻近整值估算(、 这类)即可定号. 例1（单选·★★☆☆☆） 函数的零点所在的大致区间为（ ） A. B. C. D. 【切入点】端点代入,找异号区间. 在 时为正且增长快,零点应在右侧. ; . 在 上连续且 ,由零点存在性定理,零点在 内.故选 C. 【易错】 别算成 ;乘系数 后是 .代错一个端点,区间就选到别处——存在性定理的题,算功即得分. 【答案】C 例2（单选·★★★☆☆） 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 在 上递增(两减项都没有),先锁定增区间再代端点. ; . 连续且 ,零点在 内;又 单调递增,零点唯一.故选 B. 【关键】 这一步是唯一的估算点;记住 、,零点区间题基本秒杀. 【答案】B 变式1（单选·★★★☆☆） 函数的一个零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【切入点】:令 即 ,不易精解,按选项代端点. ; . 异号区间为 .故选 C. 【关键】 与 几乎相等,估算要稳:,故 ?注意方向——精确值 ,而 ,所以 ;卡位差 时用 反推更稳. 【答案】C 变式2（单选·★★★☆☆） 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【切入点】两端点代入:,,零点在 内,再细分. ; . 零点在 内.故选 B. 【关键】,记住 ;或者粗略地 与 直接比——同底幂用单调性排队,连数值都不用算. 【答案】B 二、零点个数的判断 1. 数零点的三条路. ①直接解方程(能解则解);②拆成 数交点(常见水平线 平移);③单调性 + 存在性定理:每个单调区间内至多一个零点,再看哪些区间端点异号——这是多选题里”说理”的标准套路. 2. 奇偶性省一半功夫. 偶函数的零点关于原点成对(),先数正半轴再翻倍;奇函数必有 (若 在定义域且连续),自带一个零点. 3. 三次函数的零点图谱. 有两个极值点时:极大值与极小值异号 ⟹ 3 个零点;同号 ⟹ 1 个;恰好有一个为 ⟹ 2 个.没有极值点(单调)时恰 1 个.这条图谱在多选题里反复出现. 【通法】多选判断零点个数:求导定形(增减区间、极值符号),再用”单调 + 异号”逐段清点. 【通法】三次函数:两极值同号 1 个零点,异号 3 个,极值之一为 则 2 个. 【通法】抽象不等式比中点值:用均值不等式( 时不取等,). 例3（多选·★★★☆☆） 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 在上单调递增 B. 的极大值为2 C. 有两个零点 D. 的图象关于原点对称 【切入点】:求导定形,四个选项逐个核对. . A.增区间 与 ,故在 上递增,对; B.极大值 ,对; C. 得 ,三个零点,"两个"错; D.,奇函数,图象关于原点对称,对. 故选 ABD. 【易错】C 是送分也是送命: 的根是 ,加上 共三个,"恰有两个零点"直接判错——三次函数没有极值异号时才谈一个零点. 【答案】ABD 例4（多选·★★★☆☆） 已知函数有两个零点，则（ ） A. 当时， B. C. 当时， D. 函数取最小值时， 【切入点】 有两个零点 ⟺ 与 有两交点 ⟺ ;逐项验证. A. 时 (切线不等式 ),故 ,对; B.,由均值不等式( 时不取等),于是 故 B 的">"应为"<",错; C. 时两根 ,可证 ,于是 ,对; D.数值验证: 时两根约为 与 ,; 与 时该距离都约 略大,最小值确在 附近取得,对. 故选 ACD. 【关键】B 的本质是"函数在中点的值"与"两端函数值的平均"谁大: 的图象向上弯,中点值永远小于两端平均——均值不等式一用,不等号方向立即确定,不必硬算. 【答案】ACD 变式3（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 恰有两个零点 C. 不等式的解集为 D. 若，则的最小值为2 【切入点】 是偶函数,且 时很好求导——先定形再验选项. 时 ,递增; A.对; B.,且 内 、 内 ,结合偶性恰两个零点 ,对; C. 偶且随 增大而增大,故 ,不是 ,错; D. 时 偶且 " 大者值大",可得 时成立(取 ), 的最小值为 ,对. 故选 ABD. 【关键】"偶函数 + 正半轴递增" = 的大小只由 决定:C 选项的不等式瞬间化为绝对值不等式; 与 相消的结构( 时恰好抵消)是零点 的来源. 【答案】ABD 变式4（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 若，且的对称中心为，则的极大值点为 B. 若，且，则函数有两个零点 C. 若有两个极值点，且，则只有一个零点 D. 若且，直线是过函数对称中心的切线，定点满足，则过点与相切的直线有三条 【切入点】三次函数族 :,对称中心横坐标 ;零点个数看极值符号. A.、对称中心 : 得 ; 得 .故 ,,极大值点 ,对; B. 且 即 :两极值点存在,但极值符号(从而零点个数)无法确定—— 与极大值可同号,错; C.两极值点处函数值同号 ⟹ 曲线穿过 轴只有一次,恰一个零点,对; D.对称中心处的切线与曲线的相对位置保证过点 的切线有三条(切点在中心两侧各一、外加 所在侧一支),对. 故选 ACD. 【关键】三次函数"零点个数 = 极值符号的函数":两极值异号 3 个、同号 1 个、有一个为 则 2 个(重根).多选题中凡出现"有两个零点""只有一个零点",先回到这幅图谱. 【答案】ACD 变式5（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 在点（2，a-4）处的切线方程为 B. 若有两个极值点，则 C. 当时，有两个零点 D. 当时，直线与的图象一定有三个不同的交点 【切入点】: 与 无关,先记下这个定点值. A.,,切线 ,整理为 ,对; B.两极值点 ⟺ 有两不同实根 ⟺ ,对; C. 时取 :,两极值点处极大值约 、极小值 ,异号,零点有 个而非 个,错; D. 时直线 过定点 ,而 ,即直线恒过曲线上一点; 二次因式的判别式 (因 ),又两根异于 ,故恰有三个不同交点,对. 故选 ABD. 【关键】C 的反例法是多选必备技能: 时两极值异号给出 3 个零点——取一个具体 (如 )数值验证即可推翻;D 中"直线过曲线上定点"后的因式分解,把交点个数化成二次方程判别式. 【答案】ABD 变式6（单选·★★☆☆☆） 已知函数则方程的实数根的个数为（ ） A. B. C. D. 【切入点】分段求解 ,每段解完回代定义域. :.若 ,得 ✓;若 则 ,无解.本段 个根; :,得 ,即 ✓,本段 个根. 共 个实数根.故选 B. 【易错】指数方程 解出负数要果断舍去();两段解出的根 与 都在各自段的范围内,必须回代检验而不是解完就走. 【答案】B 变式7（单选·★★★☆☆） 定义在上的奇函数满足：，当时，，则函数的零点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【切入点】 恰是 的展开: 时 递增。又 , 是偶函数;结合 得 ,符号分布一步画全。 的符号表: 或 时 ; 时 ; 时 。 零点方程即 ,逐段清点: ①:,,无零点; ②:,是零点; ③:,,且 递增、 递增,故 从 增到 , 内部无零点; ④:,,无零点; ⑤:,是零点; ⑥:,而 (此时 ):,段内 有负谷,故 先正后负再回到 ,由零点存在性定理,谷底附近恰有一个变号零点(位于 内); ⑦:,(此时 ),无零点。 合计 、 与 内的一个,共 个.故选 D. 【关键】两个"明零点"( 与 :它们同时让 与 )最容易被漏数;抽象条件 落地的第一跳是认出 ——乘积函数的导数结构一出现,单调性和奇偶性同时到手。 【答案】D 三、分离参数求范围 1. 标准动作. 恰有 个零点 ⟺ 与 有 个交点,其中 是把 完全分离出来的表达式.参数一旦分离,数形结合只剩一条曲线一条水平线. 2. 的三要素. 定义域(分离时约掉因子的要单独补查)、单调区间与极值、端头极限.水平线的临界位置就是极值;"恰有"两字决定端点的开闭——临界参数必须代回检验. 3. 常用分离模板. ;凡 只出现一次,都可以除过去;出现两次先用同构合并. 【通法】分离参数 ,数交点; 的单调区间、极值、端头极限一个都不能少. 【通法】“恰有”的端点开闭:临界参数代入重数一遍,重根、切点单独定. 【通法】分离后约掉的 值(定义域空洞)单独验:可能补回或删去交点. 例5（填空·★★★☆☆） 已知函数有两个零点，则实数的取值范围是__________． 【切入点】 即 . 时左边 、右边 ,不是零点,放心除过去. .令 (),求导: ( 恒成立),故 在三段定义域上都严格递增. 三段值域(注意 是定义域空洞,两侧分开算): :分子 与分母 同为负,; 时 , 时 ,值域 ; :分子为负、分母为正,;严格递增, 时 , 时 ,值域 ; :,从 增到 ,值域 . “有两个零点”即水平线 与 有两交点: 时,左支与右支各给一个,恰两个. 【关键】分离后的 带一个”定义域空洞”():两侧各成一单调支、各算各的值域.两支合起来恰好把 覆盖两次——这就是”两个零点”的全部来源. 【答案】 例6（填空·★★★☆☆） 已知函数恰好有3个零点，则实数的取值范围是__________. 【切入点】 只出现一次,分离到一边:。右端有漂亮的奇偶结构,先认出来。 记 :分子 是奇函数,分母 也是奇函数,商为偶函数,即 ,零点将关于原点对称;且 时 : 时 ,故 ; 时 、,故 ;数值抽查 、、,递增,值域为 ;由偶性, 段的值域同为 (如 )。 又 , 恒为零点。 于是"恰有 个零点" ⟺ 水平线 在正、负半轴各交一个 ⟺ :此时右半轴一解、左半轴对称一解,加 共 个; 取其他值时两半轴都无解,只剩 一个,不合。 【关键】 是"奇积木":它让分离后的 成为偶函数,零点自动成对;再补上 这个恒零点,"恰有三个"就翻译成"水平线落在单侧值域 内"。定正负号时动手代一个点(如 ),不要靠感觉。 【答案】 变式8（单选·★★★☆☆） 若函数有且仅有两个零点，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【切入点】 恰有两个零点:三次函数两零点必是"一个单根 + 一个二重根",重根落在极值点上. 设重根为 (,否则 只有一个零点),则 于是 令 ,记 : 得 , 最小值为 .故选 B. 【关键】"恰有两个零点"的三次函数 ⟺ 极值点恰好落在 轴上,参数全由极值点横坐标 表达;剩下的 求最值是纯计算,注意 排除 的边界. 【答案】B 变式9（填空·★★★☆☆） 已知有且仅有两个零点，则所有满足条件的的乘积为______． 【切入点】:右端非负要求 ,再分”取正、取负”两条曲线:(记 )与 (记 ).数两条曲线对水平线 的贡献. (): 递增,值域 ; ():,在 递减、 递增,最小值 ;两端 时 、,值域 . 清点: : 无贡献, 给 个,共 个,不合; : 给 个( 为 的解), 相切于 给 个,共 个 ✓; : 给 个、 给 个,共 个,不合; : 恰在端点 处取到()给 个; 有两解——(与 的解重合)及 内的 ,不同零点共 个 ✓. 故 ,满足条件的 有两个,其乘积为 . 【关键】两条曲线的值域要”分增长段单独算”: 在 从 降到 ,所以 的水平线也能在减段交到点——漏掉这段就会把 错误排除;端点 能否取到,直接决定 贡献的有无. 【答案】 变式10（多选·★★★☆☆） 函数的零点个数可以为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【切入点】,故 ,即 偶函数,零点成对.令 ,数 的零点再翻倍. 无定义(排除 处出现奇数个零点的可能). 的形态: 时 ; 时 爆炸压倒对数,;中间有一个峰. 峰的高度随 变化: 接近 (如 ): 的系数 很大,峰值高, 峰上穿过 轴,有两个 零点,对应 个 零点,D 对; 峰恰好落在 轴上:两个 零点重合,对应 个 零点,C 对; 大(如 ): 处处为负(可逐段验证),无零点,A 对; 偶函数零点成对,奇数个()不可能,B 错. 故选 ACD. 【关键】偶函数的零点只能成对(定义域不含原点时),"1 个"直接出局;剩下的 由"峰的高度"控制——峰高是 的连续函数,从负到正连续变化,三种情形都能取到. 【答案】ACD 变式11（填空·★★★☆☆） 已知函数有两个零点，则实数的取值范围是_____． 【切入点】 按 的符号分块讨论:两项能否同时为零. :两项 与 都非负,和为零要求 且 ,即 , 矛盾,无零点; : 只有一个零点,不合; :记 ,第二项 ,方程化为 两边平方:,整理 时退化为 ,仅零点 ,不合; 时判别式 ,两根 都满足原方程(回代可验),即恰有两个零点. 故 且 ,即 . 【易错】 时"两项非负"的论证很干净,但 时第二项变负,不能照抄;平方前要确认两边非负,平方后 的退化情形单独剔除——它恰是答案里挖掉的 . 【答案】 四、分段与嵌套综合 1. 分段函数零点的操作规程. 逐段解方程,解出的根回代本段定义域检验;水平线法时把每段的值域(含端点开闭)标在 轴上,平移水平线清点交点. 2. 嵌套零点由外向内. :先解外层:令 ,得目标值 的清单;再对每个目标值解 .总零点数等于各目标值对应根数之和;不同目标值的根若重合,重合处只数一次. 3. 绝对值与对称. 含 的零点问题先看偶性:能换成 的,数出 的根再翻倍;方程两侧的绝对值用"两边非负 ⟹ 可平方"化二次,平方后的重根、越界根逐个回验. 4. 递推型条件. 型:先平移出周期关系,把所有待定点挂靠到一个已知点;""这类整值条件,直接限定 取半整数值. 【通法】分段零点:逐段解、回代验、并集汇总;水平线法把各段值域标齐. 【通法】嵌套 :外层解目标集,内层逐个解;各块互斥则根数相加. 【通法】绝对值:两边非负才平方;平方后的重根与越界根逐个回验. 【通法】递推 + 整值:挂靠已知点,半整数点位逐一清点. 例7（填空·★★★☆☆） 已知方程有且仅有两个不相等的正实数根，则实数的取值范围是__________. 【切入点】:正根要求右端非负 ⟹ ;再按绝对值开方向分两类,化成两个二次方程. 开正:,即 开负:,即 所有根须满足 . 清点 ():(甲)为 ,根 ,都在 内 ✓;(乙)为 ,根 , 越界舍, 与(甲)重合.恰两个不同正根 ✓. 清点 ():(甲)为 ,根约 与 ,后者越界舍;(乙)为 ,正根约 ✓.恰两个 ✓. 边界 :(甲)判别式 ,只有一根,不足两个,排除. 时(甲)无根或根越界,总数不足. 故 . 【关键】(甲)(乙)两支的根必须逐个过""这道闸:大根(如 时的 )会被闸掉,这正是答案区间右端无界的原因—— 越大, 越小,闸门把(甲)的大根拦下,只剩小根配(乙)的小根. 【答案】 例8（填空·★★★☆☆） 若函数有且仅有一个零点，且，则实数的取值范围为________________. 【切入点】零点方程 ,按 、、 三块分离 ;唯一零点且为正,意味着负半轴必须干净. 块一 :,即 严格递减;(取不到), 时 (取不到),值域为 :每个 恰一根. 块二 :,即 严格递增,值域 :每个 恰一根. 块三 :,即 严格递增;数值抽查 ,,值域约为 :当 时负半轴会出现零点,违反"唯一零点且为正". 清点:块二给 根 ⟺ ;块一给 根 ⟺ ;块三给根 ⟺ (排除). 唯一正零点 ⟺ 只有块二给根: 且 不落在块一值域 内 ⟹ ; 或块一恰一根而块二无根: 且 为空;补上边界 :,此时块一、块二都无根,唯一零点 ✓. 故 . 【关键】"唯一零点且为正"是双重约束:正半轴恰好一根、负半轴一根都不能有.三块各自的 -值域像三张票,数一数每个 手里握了几张——恰好一张才入围,块三那张"负票"在 时加入,直接出局. 【答案】 例9（填空·★★☆☆☆） 已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围为_________. 【切入点】 由外向内:外层 的解是 (对数段)与 (二次段),于是内层只需解 ,共三组方程. 组一 :: 得 ;: 得 或 .共 个候选. 组二 :;:,有根且根 ⟺ (此时两根均非正). 时无根,只 一个. 组三 : 恒有一个;:,当 时判别式 ,两根 中恰一根(小根)为负,另一根为正舍去,故 个. 清点 :组一 个(、、)+组二 个()+组三 个( 与负根)= 个 ✓. 边界: 时,组二的二次方程 长出重根 ,组三的 有负根 ,总数变成 ,不合; 时组三 与组一完全重合,总数塌缩为 ,不合. 故 . 【关键】嵌套零点"由外向内"拆成三组普通方程;两处塌缩边界(组二二次方程在 长出根、组三在 与组一重合)分别卡住左右端点——嵌套题的端点几乎都藏在"根的重合与新生"上. 【答案】 例10（单选·★★★☆☆） 已知函数若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】 的零点 = 水平线 与 图象的交点. 的两段值域:左段 为 ;右段 ()单调递增,从 到 . 按 分档: :左段无交点(值域 不含非正数);右段方程 即 : 时判别式 无实根; 时根 不在 段内; 时两根之积 、之和 ,根不为正——即右段无正根,合计至多 个(常为零),不合; :左段 得 ✓,一个;右段判别式 ,两根一正一负,取正一个.合计 个 ✓; :左段 不在 内,无;右段 个.合计 个,不合. 故 .故选 B. 【关键】两段值域一高一低:左段管 、右段管全体,水平线 落在 内才"左右开弓"凑齐两个交点——参数 既是零点方程里的量又是水平线高度,一物两用. 【答案】B 变式12（填空·★★★☆☆） 若函数有6个零点，则a的取值范围为_____． 【切入点】 是偶函数( 与 ),零点成对;开方先隔离: 要求右端 .令 ,方程化为 个零点 ⟺ 恰有 个正根 ( 只贡献一个零点). 以 试算 : ,,,,, 即 在 、、 内各有根?逐段确认符号变化共三次,恰 个正根 ⟹ 个零点 ✓; 边界 :, 且 ,是切点(二重根),正根实数只此一个 ⟹ 只有 个零点,不合; :,正根 与 共 个,加 共 个零点,不合. 故 . 【关键】" 个零点 = 个正 根"的换元是解体的钥匙;端点 处 与 轴"相切"(重根)导致根数塌缩,而 时 恰好可分解为 露出第三个正根——两端一夹,区间自明. 【答案】 变式13（单选·★★★☆☆） 定义在上的函数满足：①对任意都有；②，则函数零点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【切入点】零点满足 。由 得 ,候选点只剩半整数 ();再用递推把 在所有候选点的值挂靠到两个已知值上。 记 。由 : 每右移 个单位下降 。 整点 ():,零点方程 ⟹ ,恰一个; 半整点 :,零点方程 ,得 ,即 ,恰一个。 两类格点各贡献一个零点,共 个.故选 B. 【关键】递推条件兑换成 后, 在整点序列与半整点序列上各自"等差下降";整值条件 把零点钉死在半整数格点上。两类格点分开清点,一个都不能重复计. 【答案】B 变式14（单选·★★★☆☆） 已知函数， ，若恰有个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】 的零点 = 水平线 与 的交点.先把 两段的值域与形状标清: 左段(): 递增,值域 ,; 右段():,,在 递减、 递增,极小值 ,右段值域 ,且 时 (取不到). 水平线清点: :左段无(值域不含),右段递减支、递增支各一个,共 个 ✓; :左段需 无解;右段两支各一个,共 个 ✓; :左段一个 + 右段两支各一个 = 个,超载,不合; :左段 得 ✓ 一个;右段递减支取不到(端点 极限 ),递增支 除 (舍)外还有 一个,合计 个 ✓; :左段一个 + 右段递减支取不到、递增支一个 = 个 ✓; 或 或 :左段无或右段不足,均不合. 故 .故选 B. 【易错】三处细节:① 时左段是 无解,别手滑算成一根;② 时右段递减支"差一点够到"——极限 取不到,但递增支在 处补上一根,合计仍是两个;③区间并集中 这段"三交点超载"被挖掉,左右端点一开一闭要逐个代验. 【答案】B 变式15（多选·★★★★☆） 定义在上的函数满足当时，，其中，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 当时，若在区间内恰有两个零点，则t的取值范围是 C. 存在正实数和，使得时，有 D. 当时，若在区间内恰有两个极值点，则t的取值范围是 【切入点】每段内 :两个因子的零点分别是 (不在段内)与 (恰在段端),故正零点恰为全体正整数;段内符号由 的奇偶决定. A. 与 分属相邻两段(或端点),段内符号 与 相反,乘积非正,对; B.零点集是全体正整数,“(t,2t) 恰含两个整数”逐段数: 时含 ; 时区间为 ,只含 ,不合格; 时含 ;故应为 ,选项给的 两端皆错,错; C.段内峰值约为 (量级 ,幂式衰减),而 是指数衰减, 充分大后指数衰减远快于幂式衰减,故 并非恒成立,错; D.极值点在每段内部满足 ,,两个驻点为 与 ;对 的奇偶分类后,两个极值点分别落在 与 内,代入 解得 ,对. 故选 AD. 【关键】分段无限函数:先把"零点集 = 正整数集"与"段内符号交替"这两件事实立起来,A、B 立刻化为整数计数;C、D 的极值估算用"峰值 趋于零"这一量级判断.分段无穷函数题,先抓骨架(零点、符号、峰值量级),再谈精细区间. 【答案】AD 变式16（填空·★★★☆☆） 设，函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为______. 【切入点】零点方程 ,分正负半轴消绝对值.右段()与 : 两条二次方程;左段()与 : 逐段数根,再按 的范围清点. 右段::两根积 、和 (当 ),恒有两正根, 个; :判别式 : :,判别式为正,两正根,再 个,共 个 ✓; :,判别式为正,又是 个,共 个——还需左段不给根; :第一方程 两正根、第二方程 重根 ,右段 个;左段 有解 与 共 个;合计 个,不合; :第二方程 无根,右段 个,继续看左段. 左段:( 时 ),即 : 两个候选根都要满足 : :第一个的分母 ,分子 ,根 ✓;第二个分母也大于零,根 ✓——左段 个,合计 个,超载,不合。重新核对: 时右段第一方程两根、第二方程两根——第二方程 在 时判别式 ,如 :,无根!(:, 在 取到.)所以 时第二方程判别式为负,右段仅 个,加左段 个,恰 个 ✓. 右段复核 :,判别式恒为正,两正根,右段 个,加左段超载,不合; 左段通式核对::,两个候选根 与 (分母都大于零)都是正数,不在 内,左段 个;右段:,判别式为正,两条二次方程各给两正根,共 个 ✓; :方程 :右段 ,左段 无(),共 个,不合. 综上 . 【关键】双绝对值分段题的正确姿势:右段消 、左段消 ,各自的解还要回本段验号.清点时按 分区间,每段"右段根数 + 左段根数"合计;第二方程的判别式 以 为界,是全题的节奏器. 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲 函数零点与方程 存在性定理·零点个数·分离参数·分段与嵌套综合 一、零点与存在性定理 1. 零点是”数”不是”点”. 方程 的实数根 叫做函数 的零点.零点个数 = 方程实根个数 = 图象与 轴交点个数,三种说法随时互译. 2. 零点存在性定理. 在 上连续,且 ,则 在 内至少有一个零点.三个要点:①前提是”连续”;②结论只管”存在”,不管个数;③不异号也可能有零点(如 在 ),定理不能用反. 3. 定区间的方法. 把备选区间的端点逐个代入,算出函数值找异号;若函数在区间上还单调,则”存在”升级为”恰好一个”.估算时用邻近的整数点代入,算到能比出符号即可. 例1（单选·★★☆☆☆） 函数的零点所在的大致区间为（ ） A. B. C. D. 例2（单选·★★★☆☆） 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 变式1（单选·★★★☆☆） 函数的一个零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 变式2（单选·★★★☆☆） 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 二、零点个数的判断 1. 数零点的三条路. ①直接解方程(能解则解);②拆成 数交点(常见水平线 平移);③单调性 + 存在性定理:每个单调区间内至多一个零点,再看哪些区间端点异号——这是多选题里”说理”的标准套路. 2. 奇偶性省一半功夫. 偶函数的零点关于原点成对(),先数正半轴再翻倍;奇函数必有 (若 在定义域且连续),自带一个零点. 3. 三次函数的零点图谱. 有两个极值点时:极大值与极小值异号 ⟹ 3 个零点;同号 ⟹ 1 个;恰好有一个为 ⟹ 2 个.没有极值点(单调)时恰 1 个.这条图谱在多选题里反复出现. 例3（多选·★★★☆☆） 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 在上单调递增 B. 的极大值为2 C. 有两个零点 D. 的图象关于原点对称 例4（多选·★★★☆☆） 已知函数有两个零点，则（ ） A. 当时， B. C. 当时， D. 函数取最小值时， 变式3（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 恰有两个零点 C. 不等式的解集为 D. 若，则的最小值为2 变式4（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 若，且的对称中心为，则的极大值点为 B. 若，且，则函数有两个零点 C. 若有两个极值点，且，则只有一个零点 D. 若且，直线是过函数对称中心的切线，定点满足，则过点与相切的直线有三条 变式5（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 在点（2，a-4）处的切线方程为 B. 若有两个极值点，则 C. 当时，有两个零点 D. 当时，直线与的图象一定有三个不同的交点 变式6（单选·★★☆☆☆） 已知函数则方程的实数根的个数为（ ） A. B. C. D. 变式7（单选·★★★☆☆） 定义在上的奇函数满足：，当时，，则函数的零点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 三、分离参数求范围 1. 标准动作. 恰有 个零点 ⟺ 与 有 个交点,其中 是把 完全分离出来的表达式.参数一旦分离,数形结合只剩一条曲线一条水平线. 2. 的三要素. 定义域(分离时约掉因子的要单独补查)、单调区间与极值、端头极限.水平线的临界位置就是极值;"恰有"两字决定端点的开闭——临界参数必须代回检验. 3. 常用分离模板. ;凡 只出现一次,都可以除过去;出现两次先用同构合并. 例5（填空·★★★☆☆） 已知函数有两个零点，则实数的取值范围是__________． 例6（填空·★★★☆☆） 已知函数恰好有3个零点，则实数的取值范围是__________. 变式8（单选·★★★☆☆） 若函数有且仅有两个零点，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 变式9（填空·★★★☆☆） 已知有且仅有两个零点，则所有满足条件的的乘积为______． 变式10（多选·★★★☆☆） 函数的零点个数可以为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 变式11（填空·★★★☆☆） 已知函数有两个零点，则实数的取值范围是_____． 四、分段与嵌套综合 1. 分段函数零点的操作规程. 逐段解方程,解出的根回代本段定义域检验;水平线法时把每段的值域(含端点开闭)标在 轴上,平移水平线清点交点. 2. 嵌套零点由外向内. :先解外层:令 ,得目标值 的清单;再对每个目标值解 .总零点数等于各目标值对应根数之和;不同目标值的根若重合,重合处只数一次. 3. 绝对值与对称. 含 的零点问题先看偶性:能换成 的,数出 的根再翻倍;方程两侧的绝对值用"两边非负 ⟹ 可平方"化二次,平方后的重根、越界根逐个回验. 4. 递推型条件. 型:先平移出周期关系,把所有待定点挂靠到一个已知点;""这类整值条件,直接限定 取半整数值. 例7（填空·★★★☆☆） 已知方程有且仅有两个不相等的正实数根，则实数的取值范围是__________. 例8（填空·★★★☆☆） 若函数有且仅有一个零点，且，则实数的取值范围为________________. 例9（填空·★★☆☆☆） 已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围为_________. 例10（单选·★★★☆☆） 已知函数若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式12（填空·★★★☆☆） 若函数有6个零点，则a的取值范围为_____． 变式13（单选·★★★☆☆） 定义在上的函数满足：①对任意都有；②，则函数零点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 变式14（单选·★★★☆☆） 已知函数， ，若恰有个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式15（多选·★★★★☆） 定义在上的函数满足当时，，其中，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 当时，若在区间内恰有两个零点，则t的取值范围是 C. 存在正实数和，使得时，有 D. 当时，若在区间内恰有两个极值点，则t的取值范围是 变式16（填空·★★★☆☆） 设，函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为______. 学科网（北京）股份有限公司 $