第4讲 函数的图象 讲义-2027届高三数学二轮专题复习

该高中数学讲义聚焦函数图象高考核心考点，涵盖图象变换、由式识图、由图答题及零点交点问题，按“变换规律—识图方法—读图策略—应用突破”逻辑架构知识点，通过考点梳理、方法指导（如四步法、三抓）、真题训练（例题与变式）环节，帮助学生系统构建知识网络，突破图象综合应用难点。 资料以“数学眼光”引导学生观察图象特征，“数学思维”训练逻辑推理能力，创新设计“画图四步法”“读图三抓”等策略，如通过定义域、奇偶性、特殊值、趋势四步分析函数图象，配合分层练习（基础例题到综合变式），确保高效突破考点，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第4讲 函数的图象 图象变换·由式识图·由图答题·图象法解零点与交点 一、图象的变换 1. 平移与伸缩. 对 的变换”左加右减”,对函数值的变换”上加下减”;伸缩时”横向看分母”: 是把 横坐标压缩为原来的 .遇到复合式先化成同形再比较:如 ,,变换关系立刻现形. 2. 对称. 与 关于 轴对称; 关于 轴对称; 关于直线 对称.与 对称的曲线互为反函数——注意只有原函数单调,反函数才仍是函数的图象.关于直线 对称时,点 落到 ;一般地关于 对称,. 3. 旋转与翻折. 曲线绕原点旋转 后仍是某个函数的图象,等价于原曲线与任何斜率为 的直线至多一个交点(竖直线转回去就是 方向).翻折两条: 保留 轴上方、把下方翻上去; 保留 轴右侧、把左侧作镜像(结果必为偶函数). 【通法】变换题先把解析式化成标准形(同底、拆常数),平移伸缩方向才不会错. 【通法】判断旋转后是否为函数:转回去看原曲线与斜率 直线的交点个数. 【通法】验证对称式:取图象上具体点,按对称公式落点后代入检验. 例1（多选·★★★☆☆） 为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点（ ） A. 横坐标变成原来的（纵坐标不变） B. 横坐标变成原来的2倍（纵坐标不变） C. 向上平移1个单位长度 D. 向左平移1个单位长度 【切入点】两个解析式不同底也不同形,先各自化成 的变形,变换关系自然显露. ;又 . 所以目标图象是 ,源图象是 :向上平移 个单位,或者把横坐标变成原来的 (因为 即把 换成 ). 故选 AC. 【易错】“横坐标变成原来的 ”对应 ,别反写成 : 的图象才是把 横向压缩一半.变换作用在 上时,方向与直觉相反. 【答案】AC 例2（多选·★★★☆☆） 若函数与函数的图象关于y轴对称，则（ ） A. 与有相同的零点 B. 为偶函数 C. 与有相同的极值点 D. 对任意的，都有 【切入点】“ 与 关于 轴对称”即 .先写出 ,再逐项用定义检验. . A. 的零点为 ;,零点相同,对; B.,记 ,则 ,为偶函数,对; C. 的极值点由 得 ; 得 ,极值点不同,错; D.: 时 ,两因子同正; 时两因子同负,故恒有 (仅 取等),对. 故选 ABD. 【关键】对称不改变”根的集合”,只把每个根 搬到 ;而极值点位置会跟着搬,故”相同极值点”这类说法必须代导数核对. 【答案】ABD 变式1（多选·★★★☆☆） 下列函数的图象绕坐标原点沿逆时针旋转后得到的曲线仍为一个函数的图象的有（ ） A. B. C. D. 【切入点】旋转后竖直线方向,转回原坐标系就是斜率 的方向.所以”旋转后仍是函数图象”等价于:原曲线与任何直线 至多一个交点. A. 与 斜率不同,恰一个交点,对; B. 与 : 当 时有两根,存在两条交线的情形,错; C.()与 :,即 ,而 在 上单调递增,至多一解,对; D. 与 :,左边 的导数 ,单调递增,至多一解,对. 故选 ACD. 【关键】“旋转后是否为函数”这类空间操作题,把旋转逆向”转回去”:竖直线变斜线,问题落在熟悉的”曲线与直线交点个数”上;单调函数与任何直线至多两个交点还不够,必须逐条验证至多一个. 【答案】ACD 变式2（多选·★★★☆☆） 若函数与函数的图象关于直线对称，则函数的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【切入点】 关于直线 的对称曲线要是函数图象.对称把点 搬到 : 图象上的点 落到 .若两个不同的 落到同一竖直线上(横坐标相同但纵坐标不同),对称曲线就不是函数图象. 横坐标 相同 ⟺ 取相同的值.所以对称曲线是函数图象 ⟺ 任取两个函数值相等的点,纵坐标也相等,即 —— 是单调函数! 逐项看单调性: A. 单调递增,对; B.,导数 ,递增,对; C.,导数 在 时为负,先减后增,不单调,错; D.,导数 (因为 当 ),递减,对. 故选 ABD. 【关键】“对称后仍是函数”翻译成”原函数值相等必推出自变量相等”,这正是严格单调的定义——复杂对称问题落回单调性. 【答案】ABD 变式3（单选·★★★★☆） 已知函数与的图象关于直线对称，函数，，若方程在区间上有解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 与 关于 对称 ⟹ . 严格单调,而单调函数满足 ——先把嵌套方程降维. (),, 在 上递增. 若 且 ,由递增得 ,矛盾;若 ,同理 ,矛盾.故 . 于是 问题变成:x 取遍 时 的取值范围. 记 ,则 : 在 上递增、 上递减,,. 故 ,.故选 C. 【关键】单调函数的嵌套方程 必等价于 :两次使用单调性”夹”出来.这一步把无形的嵌套降成普通方程;剩下的就是算清楚 在给定区间上的最值(注意 恰在 内). 【答案】C 二、由式识图:画图四步法 1. 一看定义域. 分母不为零、真数大于零、开方非负——先确定图象的”存在范围”,顺带发现断点与竖直渐近线.识图与作图,永远从定义域开始. 2. 二看奇偶性. 分子分母奇偶搭配:奇除偶得奇,偶除偶得偶,奇除奇也得偶.两个常用”积木”: 是奇函数(它的倒数结构 互为相反);、 中 是偶、 是奇.确认奇偶后只需分析半边,另一半对称过去. 3. 三看特殊值. 、、 的正负与大小,直接决定图象经过哪些”路标”,也常用来在选项间排位. 4. 四看趋势. 、 时的极限决定”端头”走向.比快慢的口诀:指数最横,幂居中,对数最慢(趋于 时);取倒数、除以大幂又另当别论,拿不准就抓分子分母的主导项. 5. 两个”恒过定点”公式. 恒过 ; 恒过 ——令真数/指数部分取 或 即得.识图题里定点就是现成的路标. 【通法】作图四步:定义域 奇偶性 特殊值 趋势(极限),按顺序走,不跳步. 【通法】奇偶性判断先拆分子分母:奇偶搭配口诀“奇除偶得奇,偶除偶得偶”. 【通法】极限拿不准时,比分子分母的主导项:谁阶数高听谁的. 【通法】含参数图象过定点:令对数真数取 、指数取 ,参数自动消失. 例3（作图·★☆☆☆☆） 试分析函数的图象特征(定义域、奇偶性、关键点、变化趋势),并画出它的大致图象。 【切入点】按四步走:定义域 奇偶 特殊值 趋势. ①定义域:; ②奇偶性: 与 都是偶函数, 是偶函数,图象关于 轴对称,只分析 ; ③特殊值:; ④趋势: 时 但 更快,故 ; 时 、,故 . 所以两端上翘,中间有”谷”:求导 ,在 处取极小值 图象:两支对称的”单谷”曲线,谷底 ,过 ,两侧上趋 . 【易错】 时别被 带偏:要比的是两股力量谁快, 是二阶无穷大,稳压对数,所以是 而非 . 【答案】偶函数;两端趋于 ;在 处取最小值 例4（作图·★☆☆☆☆） 试分析函数的图象特征,并画出它的大致图象。 【切入点】分子 的结构眼熟——先验它的奇偶性,分母 是偶函数,奇偶一除便知全局. ①定义域:分母 恒成立,且 ,故定义域为 ; ②奇偶性:记 ,则 分子为奇函数,分母为偶函数,故 是奇函数,图象关于原点对称; ③特殊值:;; ④趋势: 时分子 增长缓慢,分母 爆炸,故 . 图象:过原点的奇函数曲线,右侧先升到约 再缓慢回落趋近 ,左侧对称. 【关键】 的奇偶性用”共轭配对”验证:分子有理化后变成倒数,取对数恰好变号.这个函数今后还会以反双曲正弦的身份出现,先记住它是奇函数、且单调递增. 【答案】奇函数;过原点;右侧峰值约 ,两侧趋近于 变式4（作图·★☆☆☆☆） 试分析函数的图象特征,并画出它的大致图象。 【切入点】四步法:偶函数;抓 与 两个端头;再定峰的位置. ①定义域 ; ② 偶、 偶 ⟹ 偶,只分析 ; ③趋势: 时 ,,商趋于 ; 时对数慢于幂,商趋于 ; ④峰:,零点 ,即 ,最大值 图象:两支对称曲线,在 处俯冲向 ,在 处达到最高点 ,向两端缓慢贴近 轴. 【易错】 时 的极限:分母趋于 但分子趋于 ,整体是” 除以 “,结果是 ,不要与”“之后又想除以更大的幂而犹豫——商趋于 是确定的. 【答案】偶函数; 时趋于 ;在 处取最大值 ;两端趋近 变式5（作图·★★☆☆☆） 试分析函数的图象特征,并画出它的大致图象。 【切入点】分母 偶,分子 奇 ⟹ 奇函数.端头看分母的指数爆炸. ①定义域 ;②奇函数,过原点; ③特殊值:; ④趋势: 时 ,(指数压制幂);左侧由对称性趋近 ; ⑤峰:求导 令分子为零,数值解得 ,峰值 . 图象:过原点的”驼峰”曲线,右峰约 ,两侧沿 轴趋近 ,左半边对称. 【关键】 是”指数压幂”的基本盘:不论 多大, 最终胜出.导数方程没有初等解时,作图题只需数值估出峰位与峰高,标在图上即可. 【答案】奇函数;过原点;峰值约 ;两端沿 轴趋近 变式6（作图·★★☆☆☆） 函数在AI神经网络中作为激活函数使用,可提升模型的非线性拟合能力.试分析的图象特征,并画出它的大致图象。 【切入点】 分母不对称,函数不奇不偶.抓三个信息:、 的走势、 的归宿. ①定义域 ;; ② 右侧:,分母趋近 ,故 ,图象以直线 为渐近线; ③左侧: 时 ,分母爆炸,,且分子为负,故从 方向贴近 轴; ④中间起伏:求导 分子在 附近可取负值(如 时 ),数值解 得 ,极小值 . 图象:从左侧沿 轴下方贴近 ,下探到约 ,回升穿过原点后弯向渐近线 . 【关键】“S 形 + 斜渐近线”是这类 sigmoid 家族函数的招牌:右端贴 ,左端贴 .判断增减时别默认”激活函数必增”——分子分母都不对称时,左侧完全可以有一小段下降. 【答案】过原点;右侧以 为渐近线;左侧趋近 且在 处有极小值约 变式7（单选·★★★☆☆） 若幂函数的图象经过点，则函数的零点个数为（ ） A. B. C. D. 【切入点】先定幂函数:图象过一点,代入 解指数.零点则转化为两图象交点. 由 过 : 故 . 的零点 (). 记 ,则 ,,,,, 三个变号区间 、、 内各有一根,共 个(且都不为 ,与 的定义域相容). 故选 C. 【关键】幂函数定指数:把底数写成同一个幂(),指数比对即可.数零点个数:整数点变号 + 零点不在定义域外,一步都不能省——本题 恰好不是根,否则要剔除. 【答案】C 三、由图答题:读图三抓 1. 抓特殊点. 与坐标轴的交点、峰谷点、图上标注的字母点,都是现成的方程: 就是 轴截距,零点就是图象与 轴交点的横坐标. 2. 抓渐近线与趋势. 竖直渐近线位置就是分母零点的位置;曲线端头的走向定分子与分母的”阶数高矮”:右端趋近 说明分母阶数高,趋于斜线说明同阶. 3. 抓正负区间. 图象在 轴上、下方的分布直接给出因式的符号.三次函数 读图三件套:①端头定 (右端上翘 );② 轴截距即 ;③两个极值点 是 的两根,用韦达定理 、 定 的符号. 【通法】读图先立方程:每个图上特征(交点、渐近线、峰谷)都翻译成一条等式或不等式. 【通法】三次函数读图:端头定 ,截距定 ,极值点用 的两根配合韦达定理定 . 【通法】分式函数读图:竖直渐近线看分母零点,水平渐近线看分子分母的阶数之比. 例5（单选·★★☆☆☆） 函数的图像如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】三次函数读图三件套:端头定 ,截距定 ,极值点定 . ①端头: 时 ,故 ,A 错; ②截距:,图中 轴截距在原点上方,故 ,D 错; ③极值点:图中极大值点、极小值点都在 轴右侧,即 的两根 均为正: B 对; C 错. 故选 B. 【关键】“极值点都在 轴右侧”这句图象信息,价值等同两条韦达定理——读图题的核心功夫就是把几何特征翻译成根的分布条件. 【答案】B 例6（单选·★★★☆☆） 函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【切入点】分式函数读图两锚点:竖直渐近线 定 ,两个端头的走向定 ;再用 轴截距 定 . ①竖直渐近线:图中虚线 ()处图象断开,即分母零点 ,故 ,得 ; ② 轴截距:,而 ,故 ; ③右端趋势: 时 ,图中右支从下方贴近 轴(值为负),故 . 综上 ,,. (验证零点 :,与图中 在正半轴一致.) 故选 C. 【关键】 型:竖直渐近线只听分母的;大 时函数值符号只听最高阶项 的(分子一次、分母二次,商约等于 ).两个锚点足够定三个参数的符号. 【答案】C 变式8（单选·★★☆☆☆） 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【切入点】先抓奇偶:图象关于原点对称.四个选项分子分母各不相同,逐对验奇偶、再比衰减速度. ①图象关于原点对称 ⟹ 为奇函数. A、C 的分子 :其中 偶、 偶( 满足 ),分子为偶函数,除以偶分母得偶函数,与图不符,A、C 错; B、D 的分子 ,奇函数; ②分衰减速度:B 的分母 指数爆炸,如 时 ;D 的分母 ,. 图中 处函数值仍接近 、只是缓慢下降,B 衰减过快,只有 D 相符. 故选 D. 【易错】 是偶函数: 是奇、 是奇,乘起来得偶.四个选项里奇偶一验就砍掉一半,剩下的靠”衰减快慢”这种趋势细节决胜——读图题两个维度都要抓. 【答案】D 变式9（单选·★★☆☆☆） 已知且，与成正比例关系，其图象如图所示，且，则 = （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【切入点】“ 与 成正比例”先写成方程 ;图上的点 给出 ;再把 代回去. 由图:直线过原点与点 ,故 . 把 代入: 所以 ,而 ,得 (满足 且 ). 故选 B. 【关键】指数恒等式 是这类”对数式代入”的钥匙:先写成 ,再把 的表达式往指数上放,对数立刻被吃掉. 【答案】B 变式10（填空·★★☆☆☆） 已知函数的图象恒过定点，且函数的图象在处的切线也经过点，则 = ______． 【切入点】对数图象过定点:令真数 .定点既是切线经过的点,切线方程就好写了. 令 ,即 ,得 ,故定点 . :,,. 处的切线: 切线过 : 【关键】“图象恒过定点”与”切线经过定点”对接:前者找点,后者写线.切线方程用点斜式一步到位,别绕道设切点. 【答案】 四、图象法解零点与交点 1. 化归为交点. 的根,就是曲线 与 的交点横坐标.拆分的诀窍:让一边尽量简单(常数、直线、反比例线),另一边承载全部复杂.含参时”参数放右边”,水平线 上下平移,交点个数一目了然. 2. 换元解套. 形如 的复合方程,先解出内层 的值,再逐个解 ;总数等于每层的根数相乘,但要去掉”落在定义域外/超出值域”的无效值.记牢参照曲线 :极大值 ,左支从 升到 、右支从 降到 ,每个 恰对应两个 . 3. 单调性兜底. 图象只能”看出”交点个数,要”说清”个数还得靠运算:单调区间上的根至多一个;严格单调函数与水平线至多一个交点;分离参数后判断新函数的单调性是最后一步的标准动作. 4. 两个特殊图象. 取整函数 :周期为 的锯齿,每段 上从 升到 (左端取到、右端取不到),零点是 ;分段函数作图必须两支都画全,拼接点是否取到用实心/空心圆区分. 【通法】零点个数 = 交点个数:把复杂一边拆到水平线或直线上,平移找交点. 【通法】复合方程先解内层,再数外层;每层根数相乘后逐个检查值域与定义域. 【通法】分离参数 :a 的范围 = 的值域(配合单调性与极值),端点开闭单独验. 【通法】端点、拼接点、重根都要单独代入检验,开闭区间一字之差答案全变. 例7（单选·★★★☆☆） 已知曲线与曲线只有一个公共点，则 = （ ） A. B. 1 C. e D. 【切入点】把 从对数里拆出来:. 是缩放系数,图象上下拉伸——只有一个公共点的临界情形是相切. 记 ,则 故 在 上严格递增,至多一个零点 (满足 ), 在其两侧先减后增, 是最小值. “只有一个公共点” ⟺ 最小值恰为 (相切): 与 相除得 . 记 :当 时 ,故 ;当 时 ,故 ;而 .所以 只有唯一解 . 故切点 ,代入 得 ,即 . 此时 恒成立,两曲线恰有一个公共点 .故选 B. 【关键】“唯一交点”在两曲线都升降的场景里就是相切: 的最小值为 .两个方程(函数值相等 + 切线斜率相等)相除消去 ,得到只含 的方程,是处理相切问题的标准消参手法. 【答案】B 例8（填空·★★★★☆） 已知函数，当关于的方程的不同实数根的个数最多时，实数的取值范围是______． 【切入点】换元解套:令 ,先解二次方程,再数每层 的根.参照曲线 :,极大值 ,每个 恰对应两个 . 令 ,方程 的两根 判别式为正 ⟺ . “不同实数根个数最多”即两层根数都拉满:两个 都要落在 内且互不相等,此时每个 给出 个 ,共 个根. 条件:(设 ,两根为正时): (若 ,两根均为负,每个 时 只有右支一个根,总数只有 ,不是最多.) 所以根数最多( 个)的范围是 边界核对: 时两根重合只剩一层,共 个根; 时 只给出 个根(),共 个,都要去掉. 【关键】分层计数 = 内层根数 外层根数,但”重根”“越界”都要扣: 时右支顶部只碰一个 .开闭区间端点必须逐个代入回验. 【答案】 例9（填空·★★★★☆） 已知表示不超过的最大整数，，若在区间恰有两个零点，则t的取值范围是______． 【切入点】 是周期 的锯齿:零点位置固定在 ().问题变成:区间 里恰含两个 型的半整数. 先看方向: 时 ,区间 为空,不合;故 . 零点向右每隔 一个.恰有两个零点,即区间 恰好”套住”相邻的两个零点 与 (),并排除两侧邻居.四个条件: 整理得 逐个 检验交集: :; :; :(左端点恰好取到); :,交集为空; 时右窗口在正半轴之外,也为空. 综上 . 【关键】周期性零点问题 = “区间里数格点”:把零点列成等差数列,再按”含哪两个、排除哪两个”分情形列不等式;端点开闭逐一核( 时左端 恰好取不到,才保住恰两个). 【答案】 变式11（单选·★★☆☆☆） 已知函数，则方程根的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【切入点】分段函数分段解,拼图计数. 即 . :,即 , 或 ,两根均在 内; :,,一根. 共 个根.故选 D. 【易错】 属于左段,分段方程解出后必须回段检验: 在 内有效;若抛物线解出正根则要舍去. 【答案】D 变式12（填空·★★★☆☆） 已知函数是奇函数，则函数的零点个数为___________． 【切入点】先用奇函数补全 段的解析式,再画图数 的交点. 时,,由奇函数 ,即 ,. : :,,其中 有效(另一根为正,舍),1 个; :,即 ,,,1 个. 共 个零点. 【易错】 是重根: 只算一个零点,别按两个计——重根在”个数”问题里永远只占一个位. 【答案】 变式13（单选·★★★☆☆） 已知实数满足，则函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【切入点】 藏在方程 里,先估出 所在区间,再画 与水平线 数交点. 记 :单调递增,,,故 . 的零点 ⟺ . 记 :,极大值 ,极小值 ; 图象走向: 趋 ,升至峰 ,降至谷 ,再升向 . 水平线 ,:恰好穿过”峰与谷之间”,与三段各交一次,共 个交点. 故选 D. 【关键】隐含参数先定位到区间(零点存在性定理),剩下的交给”三次曲线 + 水平线”的经典图形:水平线落在极大值与极小值之间时恰有三个交点. 【答案】D 变式14（填空·★★★☆☆） 函数有两个不同的零点,则实数a的取值范围是__________. 【切入点】 代入 ,零点处 ,可以分离参数:,问题变成水平线 与 的交点. (). 求导: ( 恒成立),所以 在 与 上都严格递减. 分三段看值域: :分子分母同负,; 时 ,一直降到 ,取遍 , 时恰 1 根; :,从 一路降到 时的 , 时恰 1 根; :, 时 ,到 时降到 , 时恰 1 根. 于是: ⟹ 恰 2 个零点; ⟹ 恰 1 个;: 仅 1 个. 故 . 【关键】分离参数后 的符号一步判定: 恒正让 在两支上都严格递减,值域衔接干净,“根的个数”立刻变成”值域是否覆盖”——这是分式分离参数的最大红利. 【答案】 变式15（填空·★★★☆☆） 已知函数且有三个零点，则实数的取值范围是______. 【切入点】 的交点按 与 分开数;正半轴的临界情形是 与 相切,切点条件落在 的最大值上. :负半轴 而 ,且 时 、 单调递减,恰 1 交点;正半轴: 记 ,最大值 .水平线 : 即 时两个正交点,合计 个零点 ✓; 时无正交点. :正半轴 递减、 递增,恰 1 交点;负半轴:令 ,方程化为 ,即 此时两个负交点,合计 个零点 ✓. 综上 . 【关键】“ 与 交几个”的临界值由 的最大值 (在 处)给出: 就是相切阈值.对称地, 时把负半轴换成 ,同一把尺子再量一次. 【答案】 变式16（填空·★★★☆☆） 若函数恰有两个零点，则的取值范围是__________． 【切入点】 的零点满足 ,右端必须非负,而绝对值打开只有两种可能——其中一种是死路. 零点满足 . 绝对值打开: ①,即 ;此时 (若 则 无解),绝对值方向自洽 ✓; ②,即 ,无实根. 所以零点恰是 的根,且每根自动满足 . 方程 有实根 ⟺ : 时两根 都与 同号(两根之积 、之和 ),故 恒成立,恰 个零点; 时方程为 ,只有 个(重)零点,不合; 时无实根,零点个数为 ,不合. 故 . 【关键】含绝对值方程先把”右端非负”立为规矩,再讨论打开方向;本题第二条路直接撞死在 上,全部零点只能来自一条方程——讨论范围瞬间收窄.重根只算一个零点,端点 要单独剔除. 【答案】 变式17（填空·★★★★☆） 设，函数.若恰有一个零点，则a的取值范围是_______. 【切入点】零点方程 的右端必须非负:先圈出候选范围 或 ,再按定义域与 的符号分段,平方后逐段清点. 定义域 . 情形一 :定义域为 ,方程化为 .令 : 恰 个零点,合题. 情形二 : 恒成立,定义域缩为 .平方整理得 判别式 ,无实根,零点个数为 ,不合. 情形三 :定义域为 或 ,与候选范围求交,分三块清点. ① 块(右端为 ):平方整理得方程(甲): 时两根同为负且都在定义域内,贡献 个零点,超载,不合; 时恰一根负根,贡献 个. ② 块(只有 时非空;右端为 ):方程与(甲)完全相同,它的正根 时 恰落在 内(如 时 , 时 ),又贡献 个零点,合计 个,不合; 时 ,越出右端非负范围,无效. ③ 块(右端为 ,实际起点为 ):平方整理得方程(乙): 时(乙)在 处的值为 ,其正根必在 左侧,该段无有效零点; 时 恰是根,连同①的负根共 个,不合; 时(乙)在 处的值为 ,正根落在有效范围内,连同①共 个,不合; 时(乙)退化为 , 有效,同样 个,不合; 时①已超载. 综上:恰有 个零点 . 【关键】平方前先让右端非负、平方后逐根回代定义域,两道闸门缺一不可.本题最隐蔽的是②: 时定义域多出 一段,它与①共用同一个二次方程、共享正根——正是它把所有 挡在答案外面. 【答案】 变式18（填空·★★★☆☆） 已知函数，若存在实数，使函数至少有两个不同的零点，则的取值范围是___________. 【切入点】 的零点就是水平线 与 图象的交点.画全两支:左支直线 (仅 ),右支抛物线 (仅 ),平移水平线数交点. 直线支的函数值域是 ;抛物线支在 上,值域 ,但它能否取遍要分情况:抛物线的左半支 只有当 时才存在. 若 :取 (即 ),抛物线 的两根为 ;因 ,两根中较小者 恰好就是抛物线支的左端点,故两根都落在抛物线支上,恰 2 个零点,合题. 若 :取 (区间非空,因 ):水平线与直线支交 1 次(),与抛物线支至少交 1 次( 时 在支上),合计至少 2 个零点,合题. 若 :直线支要求 ,此时 的左根 不在支上,右根 也不在,抛物线支 0 交;当 时直线支 0 交、抛物线支只剩右根 1 个:任何水平线至多 1 个交点,不合. 综上 . 【关键】分段图象 + 水平线 = 交点计数,但”抛物线支只有右半段”这个细节决定了大 时永远凑不齐两个交点:值域区间有重叠不代表交点真存在,横坐标范围必须逐支核对. 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲 函数的图象 图象变换·由式识图·由图答题·图象法解零点与交点 一、图象的变换 1. 平移与伸缩. 对 的变换”左加右减”,对函数值的变换”上加下减”;伸缩时”横向看分母”: 是把 横坐标压缩为原来的 .遇到复合式先化成同形再比较:如 ,,变换关系立刻现形. 2. 对称. 与 关于 轴对称; 关于 轴对称; 关于直线 对称.与 对称的曲线互为反函数——注意只有原函数单调,反函数才仍是函数的图象.关于直线 对称时,点 落到 ;一般地关于 对称,. 3. 旋转与翻折. 曲线绕原点旋转 后仍是某个函数的图象,等价于原曲线与任何斜率为 的直线至多一个交点(竖直线转回去就是 方向).翻折两条: 保留 轴上方、把下方翻上去; 保留 轴右侧、把左侧作镜像(结果必为偶函数). 例1（多选·★★★☆☆） 为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点（ ） A. 横坐标变成原来的（纵坐标不变） B. 横坐标变成原来的2倍（纵坐标不变） C. 向上平移1个单位长度 D. 向左平移1个单位长度 例2（多选·★★★☆☆） 若函数与函数的图象关于y轴对称，则（ ） A. 与有相同的零点 B. 为偶函数 C. 与有相同的极值点 D. 对任意的，都有 变式1（多选·★★★☆☆） 下列函数的图象绕坐标原点沿逆时针旋转后得到的曲线仍为一个函数的图象的有（ ） A. B. C. D. 变式2（多选·★★★☆☆） 若函数与函数的图象关于直线对称，则函数的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 变式3（单选·★★★★☆） 已知函数与的图象关于直线对称，函数，，若方程在区间上有解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、由式识图:画图四步法 1. 一看定义域. 分母不为零、真数大于零、开方非负——先确定图象的”存在范围”,顺带发现断点与竖直渐近线.识图与作图,永远从定义域开始. 2. 二看奇偶性. 分子分母奇偶搭配:奇除偶得奇,偶除偶得偶,奇除奇也得偶.两个常用”积木”: 是奇函数(它的倒数结构 互为相反);、 中 是偶、 是奇.确认奇偶后只需分析半边,另一半对称过去. 3. 三看特殊值. 、、 的正负与大小,直接决定图象经过哪些”路标”,也常用来在选项间排位. 4. 四看趋势. 、 时的极限决定”端头”走向.比快慢的口诀:指数最横,幂居中,对数最慢(趋于 时);取倒数、除以大幂又另当别论,拿不准就抓分子分母的主导项. 5. 两个”恒过定点”公式. 恒过 ; 恒过 ——令真数/指数部分取 或 即得.识图题里定点就是现成的路标. 例3（作图·★☆☆☆☆） 试分析函数的图象特征(定义域、奇偶性、关键点、变化趋势),并画出它的大致图象。 例4（作图·★☆☆☆☆） 试分析函数的图象特征,并画出它的大致图象。 变式4（作图·★☆☆☆☆） 试分析函数的图象特征,并画出它的大致图象。 变式5（作图·★★☆☆☆） 试分析函数的图象特征,并画出它的大致图象。 变式6（作图·★★☆☆☆） 函数在AI神经网络中作为激活函数使用,可提升模型的非线性拟合能力.试分析的图象特征,并画出它的大致图象。 变式7（单选·★★★☆☆） 若幂函数的图象经过点，则函数的零点个数为（ ） A. B. C. D. 三、由图答题:读图三抓 1. 抓特殊点. 与坐标轴的交点、峰谷点、图上标注的字母点,都是现成的方程: 就是 轴截距,零点就是图象与 轴交点的横坐标. 2. 抓渐近线与趋势. 竖直渐近线位置就是分母零点的位置;曲线端头的走向定分子与分母的”阶数高矮”:右端趋近 说明分母阶数高,趋于斜线说明同阶. 3. 抓正负区间. 图象在 轴上、下方的分布直接给出因式的符号.三次函数 读图三件套:①端头定 (右端上翘 );② 轴截距即 ;③两个极值点 是 的两根,用韦达定理 、 定 的符号. 例5（单选·★★☆☆☆） 函数的图像如图所示，则（ ） A. B. C. D. 例6（单选·★★★☆☆） 函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 变式8（单选·★★☆☆☆） 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 变式9（单选·★★☆☆☆） 已知且，与成正比例关系，其图象如图所示，且，则 = （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 变式10（填空·★★☆☆☆） 已知函数的图象恒过定点，且函数的图象在处的切线也经过点，则 = ______． 四、图象法解零点与交点 1. 化归为交点. 的根,就是曲线 与 的交点横坐标.拆分的诀窍:让一边尽量简单(常数、直线、反比例线),另一边承载全部复杂.含参时”参数放右边”,水平线 上下平移,交点个数一目了然. 2. 换元解套. 形如 的复合方程,先解出内层 的值,再逐个解 ;总数等于每层的根数相乘,但要去掉”落在定义域外/超出值域”的无效值.记牢参照曲线 :极大值 ,左支从 升到 、右支从 降到 ,每个 恰对应两个 . 3. 单调性兜底. 图象只能”看出”交点个数,要”说清”个数还得靠运算:单调区间上的根至多一个;严格单调函数与水平线至多一个交点;分离参数后判断新函数的单调性是最后一步的标准动作. 4. 两个特殊图象. 取整函数 :周期为 的锯齿,每段 上从 升到 (左端取到、右端取不到),零点是 ;分段函数作图必须两支都画全,拼接点是否取到用实心/空心圆区分. 例7（单选·★★★☆☆） 已知曲线与曲线只有一个公共点，则 = （ ） A. B. 1 C. e D. 例8（填空·★★★★☆） 已知函数，当关于的方程的不同实数根的个数最多时，实数的取值范围是______． 例9（填空·★★★★☆） 已知表示不超过的最大整数，，若在区间恰有两个零点，则t的取值范围是______． 变式11（单选·★★☆☆☆） 已知函数，则方程根的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 变式12（填空·★★★☆☆） 已知函数是奇函数，则函数的零点个数为___________． 变式13（单选·★★★☆☆） 已知实数满足，则函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 变式14（填空·★★★☆☆） 函数有两个不同的零点,则实数a的取值范围是__________. 变式15（填空·★★★☆☆） 已知函数且有三个零点，则实数的取值范围是______. 变式16（填空·★★★☆☆） 若函数恰有两个零点，则的取值范围是__________． 变式17（填空·★★★★☆） 设，函数.若恰有一个零点，则a的取值范围是_______. 变式18（填空·★★★☆☆） 已知函数，若存在实数，使函数至少有两个不同的零点，则的取值范围是___________. 学科网（北京）股份有限公司 $