第9讲 复合函数 讲义-2027届高三数学二轮专题复习

该高中数学讲义聚焦复合函数高考核心考点，按“识别与同增异减、对称性质、零点问题、复合不等式”逻辑层次展开，通过考点梳理（如拆层方法、同增异减法则）、方法指导（剥壳法解零点、宗量翻译析对称）、真题训练（例题与变式题）等环节，帮助学生构建知识体系，突破复合函数难点。 资料以“问题驱动-方法提炼-分层突破”为特色，如解复合零点时用“由外向内剥壳”策略，先解外层方程再求内层根，培养数学思维；通过宗量翻译表助学生用数学语言表达对称关系，设置不同难度例题适配各层次学生，确保高效复习，提升学生应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

第9讲 复合函数 复合的识别与同增异减·复合的对称·嵌套零点剥壳·复合不等式脱壳 一、复合的识别与同增异减 1. 拆层是第一步. 复合函数 :内层 决定自变量”走到哪”,外层 决定值”变成什么”.一切复合题先标注内外两层,再谈性质. 2. 同增异减. 内外两层单调性相同 ⟹ 复合后递增;相反 ⟹ 递减.求单调区间必须先求内层的定义域,区间不跨分段点、不进外层取不到的地方. 3. 含参先定型. 底数含参时(如 ),先用题设条件解出参数并判定 还是 ,外层增减才有着落,然后对内层用同增异减. 4. 多层复合. 三层及以上的复合,逐层标注增减;整体增减性只看”减层数”:奇数个减层则整体减,偶数个则增. 【通法】拆层、定内外增减、交定义域——三步出单调区间. 【通法】含参底数:先解参数定型,再谈区间. 【通法】多层复合逐层判,数”减”的层数定奇偶. 例1（单选·★★☆☆☆） 已知，则函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【切入点】先解出 :条件 中对数真数要求 ,故 ,于是 ,. 外层 递增,由同增异减, 的单调性与内层 相同. ,在 上递增. 故 的单调递增区间为 .故选 D. 【易错】别把 拆成 后讨论 ——指数函数的底数 天然要求 且 ;解出 后”外层递增”才成立. 【答案】D 例2（单选·★★★☆☆） 已知函数，则函数的单调递增区间为（ ） A. ， B. ，， C. ， D. ，， 【切入点】三层复合:,,.定义域先走一遍: 且 ,即 且 . 内层 的性态:,故 在 递减(值从 到 )、 递减(从 到 )、 递增. 于是 : 递增; 递减; 递增. 外层 : 时 递增, 时 递减. 逐段复合(减 减 增): :,增 增,递增 ✓; :,增 增,递增 ✓; :,增 减,复合递增 ✓; 其余区间均递减. 故递增区间为 、、.故选 B. 【关键】绝对值不改变”增减分段点”的位置,只把每段的值”翻到非负”;逐段列表再复合,比硬套口诀可靠——尤其 在 侧递减,整段方向要翻转. 【答案】B 变式1（单选·★★☆☆☆） 已知是定义域为的单调递增函数，且存在函数，使，若分别为方程和的根，则 = （ ） A. 8 B. 4 C. D. 【切入点】两条方程由 串在一起:把 整体喂进复合关系. 满足 .两边同取 : 左边用复合关系等于 ,于是 记 :——这正是 满足的方程.左边递增、右边递减,解唯一,故 ,即 故选 B. 【通法】链条式条件 的用法:对方程 两边同施加 ,把两条方程”焊接”成同一条;单调性保证解的唯一,等值即相等. 【答案】B 变式2（单选·★★☆☆☆） 已知函数的定义域为，则“是奇函数”是“是偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【切入点】判断”充分”与”必要”要分开做:先由 奇推 偶,再问 偶能否反推 奇. 充分: 奇时 , 确为偶函数 ✓. 必要: 偶推不出 奇——取 (偶函数),则 是偶函数,但 不是奇函数. 故” 是奇函数”是” 是偶函数”的充分不必要条件.故选 A. 【关键】乘积的偶性门槛很低:两个因子”同时变号”或”都不变号”都行——所以 奇只是一条路, 偶也是路;必要性用特值函数 一票否决. 【答案】A 二、复合的对称:宗量翻译与应用 1. 宗量翻译表. 为偶函数 ⟺ ⟺ 关于直线 对称; 为偶函数 ⟺ 轴 ; 为奇函数 ⟺ 中心 .口诀:括号里两个宗量取平均,得到对称轴(心)的横坐标. 2. 配对和形式. ⟺ 图象关于点 中心对称(横坐标平均为 ,函数值平均为 ); ⟺ 轴 . 3. 轴与中心联用出周期. 轴 与中心横坐标 相距 ⟹ 周期 ;两轴或两中心相距 ⟹ 周期 . 4. 对称的导数形式. 对恒等式两边求导:由 得 (导数关于轴”奇对称”);由 得 (导数关于中心”偶对称”). 【通法】宗量条件先翻译成轴/中心标签,再链式化简. 【通法】求大数处的值:周期折叠 + 对称配对. 【通法】求 :对恒等式两边求导,再代特殊值. 例3（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，，则 = （ ） A. 1 B. 0 C. D. 【切入点】两个宗量条件分别翻译: 为偶函数给轴 ; 为奇函数给中心 ;轴心相距 ⟹ 周期 . 中心对称式:. 取 :,得 ,由周期 ; 取 :,而 (周期),得 ; 取 :,得 ,故 ; . 一个周期内 ,而 ,故 故选 C. 【易错】 的值要靠中心对称式代 取出来,不是”偶函数给 “——此时 还是未知数;先中心后周期,次序别乱. 【答案】C 变式3（单选·★★★★☆） 已知定义在上的可导函数满足是偶函数；；，，则 = （ ） A. B. C. 1 D. 3 【切入点】 为偶函数给轴 ; 给中心 ;轴心相距 ⟹ 周期 . 求 :,故 ;中心式取 :,得 . 求 :由周期,. 对轴对称 两边求导:,即导数关于 奇对称;取 :. 故 .故选 B. 【关键】导数值要从”对称恒等式求导”里来:轴对称的导数关于轴奇对称,于是 ;中心对称的导数关于中心偶对称——两条对偶结论记熟,这类题就是口算. 【答案】B 变式4（单选·★★★★☆） 已知函数的定义域为，是奇函数，的导函数为，且，则 = （ ） A. B. C. D. 2 【切入点】先认出 的整体结构:由 对一切 成立,把 换成 ,得 . 对称与周期:,故 关于直线 对称;又 是奇函数,轴心相距 ⟹ 周期 . 逐项求值: ; ; 求 :对 两边求导得 ,即 ;取 :,故 ;再对周期 求导得 ,故 . 所以 .故选 A. 【关键】“ = 右侧式”这种宗量为 的定义,先整体换元还原成 关于单个变量的表达式,再谈性质;导数的对称性继承原函数:奇函数的导数是偶函数,轴对称函数的导数关于轴反对称. 【答案】A 变式5（填空·★★★★☆） 已知函数满足，当时，，则不等式的解集为______． 【切入点】:两个宗量平均为 ,轴 ;已知表达式在 上,先分析这段的符号,再用轴对称把 搬回来. 时 ,其符号与 相同: 时 ; 时 ; 时 . 时,由轴 :,而 ,故 的符号与 相同: 时为正, 时为负, 时为零. 于是 : : 负、 负,乘积为正 ✓; : 正、 正,乘积为正 ✓(含 与 两段); 与 :乘积非正,排除. 故解集为 . 【关键】“”就是” 与 同号”;轴对称把已知段之外的符号”镜像”回来—— 是符号迁移的桥. 【答案】 变式6（单选·★★★☆☆） 已知函数，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【切入点】 是”对称 + 单调”的标准结构:先验证 的值. 故 :图象关于点 中心对称,等价地 又 时 与 都递减,故 在 上递减. 于是 由递减脱壳:,即 ,解得 .故选 A. 【通法】“对称 + 单调”是复合不等式的黄金搭档:先用 把常数 写成两函数值之和,同减一项后化成 ,再按单调性脱壳;验证对称用一次 ,三十秒的事. 【答案】A 三、复合函数的零点:由外向内剥壳 1. 剥壳总纲. 的根:先解外层得目标值清单 ,再对每个目标值解内层方程,根数相加.次序永远是先外后内. 2. 清单靠图象. 画内层 的草图(标出分段点、最值、渐近线、对称轴),水平线 与它交几个点、交在哪,目标值一目了然;参数变化时让水平线动起来,按交点数分段讨论. 3. 分段的复合. 内层是分段函数时,按”内层取值落进外层哪一段”逐段讨论:每一段的值域决定外层目标值够不够得着,交界点归谁要单独核. 4. 计数不重不漏. 不同目标值解出的根若重合,只数一次;水平线与图象相切处是重根,也只算一个. 【通法】剥壳两步:外层出清单,内层数根,相加. 【通法】草图标注四件套:分段点、最值、渐近线、对称轴. 【通法】参数题:水平线从下往上扫,交点数变化处就是分界参数. 例4（单选·★★★☆☆） 已知函数若方程恰有2个实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】两支分段清点:左支 ()从 递增到 ;右支 ()从 升到最大值 ()再降回 . 水平线 的交点清点: 或 :左支 个、右支 个,共 个( 时右支给 也是 个); :左支 个、右支恰在最大值处 个,共 个 ✓; :左支 个、右支 个,共 个. 故恰有 个实根当且仅当 .故选 B. 【关键】整值答案来自”右支最大值恰好是 “这个卡口:水平线骑在极值点上,左右两支各交一次;这类题先画两支的值域区间,再让水平线扫一遍. 【答案】B 例5（填空·★★★☆☆） 已知函数若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________. 【切入点】 按内层 的取值分三段,每段算出复合后的解析式与值域,再让水平线 数根. 分段清点(记 ): :,故 ,值域 ; :,故 ,值域 ; :,故 ,值域 . 三段都递增,水平线 在每段至多交 点: 第一段给 根 ⟺ ;第二段 ⟺ ;第三段 ⟺ . 三段同时命中 ⟺ .故填 . 【易错】交界点 归第二段(右支是开区间 ),于是第三段在 时 取不到 ;值域端点的开闭,直接决定 与 的归属. 【答案】 变式7（单选·★★★★☆） 已知函数，若关于的方程有四个实根，，，（），则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值为16 【切入点】 有四根:左支 (关于 对称,最大 )给 根,右支 给 根,故 ;四个根的位置全部由对称性锁死. 清点各选项: A:左支两根关于 对称,;、,和随 变化,不恒为 ,错; B: 时左支只给峰点 根,合计 根,错; C:取 :、,左边 ,右边 ,不等式不成立,错; D:;右支 与 满足 ,即 .于是 等号当 (即 )时取得.最小值为 ,对. 故选 D. 【关键】四根题先把能”对称定死”的量锁住(左支和为 、右支倒数关系 ),剩下的化为均值不等式;判选项时用一个具体 (如 )做反例最快. 【答案】D 变式8（单选·★★★☆☆） 已知函数，若方程有三个不同根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】 满足 且严格递增,故 方程化为 恰有三根. 令 ,则 : 极小值 ,极大值 ;端点行为 时 , 时 . 三支单调段各交水平线 至多一次: 段值域 ; 段值域 ; 段值域 . 三段同时命中 ⟺ (端点处两支在 重合或 处相切,根数掉到 ).故选 A. 【易错】 时极大值点 被”两支同时”取到,只算一个根;极值点处的水平线永远要单独验一次根数. 【答案】A 变式9（填空·★★★☆☆） 已知函数，则至多有______个实数解. 【切入点】—— 永远是外层 的一个解,这是全题的枢纽.先解外层,再数内层. 的两支:左支 ()在 取最大 ;右支 ()从 严格递增到 . 取 解外层(目标值最丰富): 左支两解:递增段上 (即 ),递减段上 ;右支一解 .目标值共 个:. 再数内层 的根数: :仅 ,共 个; :,左支递增、递减两段各 个,右支 个,共 个; :右支 个;当 时左支两段各 个,再 个,共 个(如 :,成立). 合计至多 个. 其余情形均更少: 或 较小时 ,左支不再贡献; 时两支函数值都非负,目标值所剩无几. 故至多有 个实数解. 【关键】两层剥壳的核心是目标值清单,而 把” 送进清单”; 与 的大小比较决定左支贡献 个还是 个——取 做数值检验,交叉点立刻清楚. 【答案】7 变式10（填空·★★★☆☆） 已知为幂函数，且，若，则方程的实数解为________． 【切入点】复合方程先”化两层为一层”:由 ,右边凑成单个对数. ,故 . 为幂函数,设 ,由 :,. 方程 即 试 : ✓,故 是解. 唯一性:记 ,则 ;当 时 ,括号内不小于 ,为正,故 在 严格递增,又 时 ,差为负,不等于 . 故实数解为 . 【关键】两个”对数指数”幂 有一座桥: 使它们分别变成 ——试值 命中 这条勾股式差;严格性由 的单调性补足. 【答案】 四、复合不等式:脱去外层 1. 单调脱壳. 在 上增:; 递减则反向.若 只在 等区间单调,先确认 都在区间内,再脱壳. 2. 奇偶辅助. 奇且增:.一般步骤:移项整理成 的形状再脱壳. 3. 对称脱壳. 若 (关于点 对称),则 (配单调性);这是”和式不等式”的标准入口. 4. 常数函数化. 里的常数 ,要用已知等式改写成某个 :如 与 给出 ——常数一落地,单调脱壳立刻接上. 【通法】脱壳三件套:单调、奇偶、对称;先把不等式凑成 . 【通法】恒成立 + 参数:脱壳后化为二次式恒负,开口与判别式收口. 【通法】分段函数不等式:逐段列式再相并,回验分段条件. 例6（单选·★☆☆☆☆） 已知函数在上单调递增，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 在 上递增,复合不等式 直接脱壳:比较宗量. 故 的取值范围为 .故选 B. 【通法】增函数脱壳保号、减函数脱壳反号——复合不等式的第一课,一分钟内完成;后面所有花样,都是把不等式整理成这个形状. 【答案】B 变式11（填空·★★☆☆☆） 已知函数，若，则实数t的取值范围是__________． 【切入点】 在 上两片都递增,故 递增;找 对应的自变量:. (左端 是定义域的要求,别漏.)故填 . 【易错】脱壳之前先落定义域: 只在 有定义, 与 缺一不可;常数 要先找到它的” 坐标”. 【答案】 变式12（单选·★★☆☆☆） 已知，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【切入点】分段不等式逐段解:每段解完后,解集必须与该段的定义区间取交. :,与 无交,此段无解; : 或 ,与 取交: 或 . 故解集为 .故选 D. 【关键】第一段”无解”也是结果:解集与定义区间取交后为空就整体舍弃;易错点是只解第二段、忘了第一段根本进不去. 【答案】D 变式13（单选·★★★☆☆） 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【切入点】比较 与 ,先弄清 的单调性与 的值. 时 随 增大而减小,从 降到 ; 时 从 继续递减.两段在 处衔接(),故 在 上递减. ,于是 故选 A. 【关键】递减函数脱壳时不等号反向;确认”整段递减”要检查分段点衔接:,无缝才敢整体脱. 【答案】A 变式14（填空·★★★☆☆） 设函数，则满足的的取值范围是__________. 【切入点】 的定义域要求 且 ,故 ;去绝对值分段. :,,不等式化为 时 自动成立,解 得 ; :两对数均非负且 ,不可能. 故填 . 【关键】 是”错位比较”:两点相距 ,谁离 近谁的函数值小; 的分界点在 ,把 与 的比较交给 的单调性. 【答案】 变式15（单选·★★★☆☆） 已知，当时，有，则必有（ ） A. B. C. D. 【切入点】 在 递减(值从 到 )、 递增(值从 到 ), 是谷底;由 定位三点的区域. 定位: 最大而 最小,若 则 在 递增,有 ,矛盾,故 ; 若 ,则 且 在 递减,得 ,矛盾,故 ; 可正可负. 验 D: 时 ,,由 : 又 、,故 .即 恒成立. A、B 对 的位置断言过强;C 中 与 的大小无法比较——如 :,满足题设,但 ,C 不成立. 故选 D. 【关键】绝对值函数的”谷底”()把自变量分成两房:单调区间一左一右,谁大谁小直接翻译成”离谷底多远”;最值夹逼出的 是这类排序题的标准产物. 【答案】D 变式16（填空·★★★☆☆） 已知函数，若恒成立，则的取值范围是______． 【切入点】 是奇函数且递增,故 整理得 对一切 恒成立. :左边恒为 ✓; :开口向上, 时发散,不成立; :开口向下,顶点 处取最大值 综上 .故填 . 【易错】 时”二次式”退化为常数式,恰好恒负——讨论开口别把 忘在门外;三个分支的结论最后取并集. 【答案】 变式17（单选·★★★☆☆） 已知函数是定义在上的增函数，且为奇函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】 为奇函数给两条信息:(代 )与 后者把常数 函数化:对任意 ,取 得 . 原不等式 递增,脱壳:,即 右边在 上的最小值在 处取到:(抛物线峰在 ,离 更远). 故 ,选 A. 【关键】“ 为奇函数”翻译成配对和 后,常数 就有了函数身份 ;恒成立问题收口在”参数不小于右边的最小值”,抛物线的最值看区间端点. 【答案】A 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲 复合函数 复合的识别与同增异减·复合的对称·嵌套零点剥壳·复合不等式脱壳 一、复合的识别与同增异减 1. 拆层是第一步. 复合函数 :内层 决定自变量”走到哪”,外层 决定值”变成什么”.一切复合题先标注内外两层,再谈性质. 2. 同增异减. 内外两层单调性相同 ⟹ 复合后递增;相反 ⟹ 递减.求单调区间必须先求内层的定义域,区间不跨分段点、不进外层取不到的地方. 3. 含参先定型. 底数含参时(如 ),先用题设条件解出参数并判定 还是 ,外层增减才有着落,然后对内层用同增异减. 4. 多层复合. 三层及以上的复合,逐层标注增减;整体增减性只看”减层数”:奇数个减层则整体减,偶数个则增. 例1（单选·★★☆☆☆） 已知，则函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 例2（单选·★★★☆☆） 已知函数，则函数的单调递增区间为（ ） A. ， B. ，， C. ， D. ，， 变式1（单选·★★☆☆☆） 已知是定义域为的单调递增函数，且存在函数，使，若分别为方程和的根，则 = （ ） A. 8 B. 4 C. D. 变式2（单选·★★☆☆☆） 已知函数的定义域为，则“是奇函数”是“是偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、复合的对称:宗量翻译与应用 1. 宗量翻译表. 为偶函数 ⟺ ⟺ 关于直线 对称; 为偶函数 ⟺ 轴 ; 为奇函数 ⟺ 中心 .口诀:括号里两个宗量取平均,得到对称轴(心)的横坐标. 2. 配对和形式. ⟺ 图象关于点 中心对称(横坐标平均为 ,函数值平均为 ); ⟺ 轴 . 3. 轴与中心联用出周期. 轴 与中心横坐标 相距 ⟹ 周期 ;两轴或两中心相距 ⟹ 周期 . 4. 对称的导数形式. 对恒等式两边求导:由 得 (导数关于轴”奇对称”);由 得 (导数关于中心”偶对称”). 例3（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，，则 = （ ） A. 1 B. 0 C. D. 变式3（单选·★★★★☆） 已知定义在上的可导函数满足是偶函数；；，，则 = （ ） A. B. C. 1 D. 3 变式4（单选·★★★★☆） 已知函数的定义域为，是奇函数，的导函数为，且，则 = （ ） A. B. C. D. 2 变式5（填空·★★★★☆） 已知函数满足，当时，，则不等式的解集为______． 变式6（单选·★★★☆☆） 已知函数，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 三、复合函数的零点:由外向内剥壳 1. 剥壳总纲. 的根:先解外层得目标值清单 ,再对每个目标值解内层方程,根数相加.次序永远是先外后内. 2. 清单靠图象. 画内层 的草图(标出分段点、最值、渐近线、对称轴),水平线 与它交几个点、交在哪,目标值一目了然;参数变化时让水平线动起来,按交点数分段讨论. 3. 分段的复合. 内层是分段函数时,按”内层取值落进外层哪一段”逐段讨论:每一段的值域决定外层目标值够不够得着,交界点归谁要单独核. 4. 计数不重不漏. 不同目标值解出的根若重合,只数一次;水平线与图象相切处是重根,也只算一个. 例4（单选·★★★☆☆） 已知函数若方程恰有2个实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 例5（填空·★★★☆☆） 已知函数若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________. 变式7（单选·★★★★☆） 已知函数，若关于的方程有四个实根，，，（），则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值为16 变式8（单选·★★★☆☆） 已知函数，若方程有三个不同根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式9（填空·★★★☆☆） 已知函数，则至多有______个实数解. 变式10（填空·★★★☆☆） 已知为幂函数，且，若，则方程的实数解为________． 四、复合不等式:脱去外层 1. 单调脱壳. 在 上增:; 递减则反向.若 只在 等区间单调,先确认 都在区间内,再脱壳. 2. 奇偶辅助. 奇且增:.一般步骤:移项整理成 的形状再脱壳. 3. 对称脱壳. 若 (关于点 对称),则 (配单调性);这是”和式不等式”的标准入口. 4. 常数函数化. 里的常数 ,要用已知等式改写成某个 :如 与 给出 ——常数一落地,单调脱壳立刻接上. 例6（单选·★☆☆☆☆） 已知函数在上单调递增，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式11（填空·★★☆☆☆） 已知函数，若，则实数t的取值范围是__________． 变式12（单选·★★☆☆☆） 已知，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 变式13（单选·★★★☆☆） 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 变式14（填空·★★★☆☆） 设函数，则满足的的取值范围是__________. 变式15（单选·★★★☆☆） 已知，当时，有，则必有（ ） A. B. C. D. 变式16（填空·★★★☆☆） 已知函数，若恒成立，则的取值范围是______． 变式17（单选·★★★☆☆） 已知函数是定义在上的增函数，且为奇函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $