第十四章 全等三角形 章末强化试题 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 全等三角形章末强化卷，涵盖判定定理、性质应用，通过手工制作、斜坡测量等生活情境，融合探究性问题，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|SSS/SAS/ASA判定、角平分线性质|结合打碎模具（第3题）等情境考判定依据| |填空题|6|全等性质、格点图形、动态全等|方格纸中证角相等（第12题），运动点全等分类（第16题）| |解答题|9|测距离、中线构造全等、综合探究|测量斜坡高度（第18题）用AAS证全等，倍长中线探究（第22题）培养创新意识|

第十四章全等三角形章末强化试题 20262027学年上学期初中数学人教版（新教材）八年级上册 一、单选题 1.手工制作课上，老师在一张纸板上挖去了如图所示一个三角形，那么在甲、乙、丙三个同学制作的三 角形中，和老师的三角形全等的是( 33 丙0339> 33°者师， b甲。33 12 A.甲 B.乙 C.丙 D.乙和丙 2.如图所示，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC=∠BDE=9O°，点B,D,C在同一条直线上，且 AC=BE,AC⊥BE于点F,若AB=6,DE=9,则CD=() E A.3 B.6 C.7 D.9 3.如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他只要带第③块碎片去商店，就可以配出一 块与原来完全一样的三角形模具，这样做利用全等三角形的判定依据是() ③ ② A.SSS B,AAS C.ASA D.SAS 4.如图，已知∠AOB,以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交边OA,OB于点C,D;以点O为圆 心，大于OC长为半径画弧，分别交边OA,OB于点E,F;连接CF,DE,交点为G,作射线OG.则 下列结论一定正确的是() D F B A.EC=EG B.CF⊥OA C.OG=EG D.∠AOG=∠BOG 5.如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD,垂足为F.若∠ABC=30°，∠C=50°，则∠CDE的度数 为() D B E A.45° B.40° C.55 D.50° 6.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,交BC于点D,点E,G分别在边AB,AC上，连接DE,DG, 过D作DFLB于R,已知DE=DG,S,G=24,S.m=16 ,则△DEF的面积为() E G B D A.4 B.6 C.8 D.10 7.如图，在四边形ABCD中，BD是∠ADC的角平分线，F为AD上一点，连接CF,E为CF上一点， BE=BA,且AD=CD+CE,若∠CBD=a,则∠AFC一定等于() A E D A.180°-2d B.2a +60° c.2 D.45°+ 8.在数学活动课上，小明先以△ABC的顶点C为圆心任意长为半径作弧与AC,BC分别相交于点E,F, 再分别以E,F为圆心，以大于2EBF的长度为半径作弧，两弧在∠ACB内相交于点D,作射线CD, BP⊥CD于点P,连接AP,如图所示.小明探究发现：当AB的长，且BC与AC(BC>AC)的差都确 定时，△ABP的面积存在最大值，则当MB=I2,BC-AC=4时， Sm的最大值为〈） A.6 B.10 C.12 D.24 9.如图，AD是△ABC的边BC上的中线，点E在线段AD上，且DE=2AE,F是AD延长线上一点， ED=DF,连接BE、CF、CE,G是BC的中点，连接BG.则下列结论错误的是() E G A.CF=BE B.S.ABC =2S.BEC C.S.=S.me D.∠BEC+∠ECF=18O 10.如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=∠ACB=45°，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，过 点A作AF⊥AD,垂足是A,过点C作CF⊥BC,垂足是C,交AF于点F,连接EF,下列结论：① △ABD≌△ACF:②DE=EF ；③若 S.4DE=15 SACEF =6 SAANC=36 ,则 :④BD+CE=DE 其中正确的 是() D A.①④ B.②③ C.①②③ D.①②④ 二、填空题 11,如图，已知AD平分∠BAC,连接BD、CD,若要判定△ABD≌aACD,则需要添加的条件是： （只写一个) 12.如图，在2×2的方格纸中，∠1+∠2= 2 13.如图，OP平分∠AOB,PC⊥OA于点C,点D在OB上，若PC=2,OD=4,则△POD的面积为 D B 14.学习完《利用三角形全等测距离》后，七年级数学兴趣小组就“测量河两岸A、B两点间的距离” 设计了如下方案：如图，在点A所在河岸同侧的平地上取点O和点C,使得点B、A、O在同一直线上， 且OA=OC;在OC的延长线上确定一点D,借助测角仪测得∠OCB=∠OAD,测得OD=8m,OA=2m, 则AB的长为， m D 15.如图，△ABC≌△ADE,∠CAE=90°，连接BD,若AD=5,则图中阴影部分的面积为 E D 16.如图，已知线段AB=80米，射线AC⊥AB于点A,射线BD⊥AB于B,M点从B点向A运动，每 秒走2米，N点从B点向D运动，每秒走3米，M、N同时从B出发，若射线AC上有一点P,使得某 时刻△PAM和△MBN全等，则线段AP的长度为米. D M B 三、解答题 17.如图，已知：点E、C分别在线段AB、AD上，AE=AC,∠B=∠D B (I)求证：△ADE≌△ABC: (2)不添加任何字母，请你连接图中两点，得到一组全等的三角形是： 并给出证明 18.某校有一处斜坡，数学老师带领兴趣小组的学生测量了该斜坡上一点B距水平地面的高度BC,测量 方案如下： 主题 测量斜坡上一点B距水平地面的高度BC 测量方案 示意图 ①用皮尺测量斜坡上 点A、B之间的距离 AB=3米： ②准备一根长为3米 的竹竿，并在竹竿顶 O 部系一根足够长的绳 测量方案及示意图 子： ③将竹竿AD竖立在 点A处(AD=3 米)，拉直绳子，使 得绳子DE⊥AB: ④用皮尺测得AE=1 米 AD⊥AC,BC⊥AC,点A、E、B在一条直 说明 线上，图中所有点均在同一平面内. 请根据上述方案，求该斜坡上一点B距水平地面的高度BC, 19.小萌同学与爸妈周末去公园游玩一一荡秋千，如图所示，小萌坐在秋千的起始位置A处，与地面垂 直并交于点M,两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住 她，若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD,CE分别为14m和1.8m,∠B0C=90°，爸爸在C处接住小萌时. 777777777777777 (I)判断AOBD与△COE是否全等，并说明理由： (2)求C处距离地面的高度 20.如图，已知Rt△ABC≌Rt△DBE,其中∠C=∠DEB=90°，DE的延长线与AC相交于点F,连接 BF (I)求证：△BCF≌aBEF: (2)若EF=1,DE=4,求AF的长， 21.【综合与探究】 图1 图2 在△AOB和△COD中，OA=OB,OC=OD,∠AOB=LCOD,连接AC,BD (1)【模型呈现】如图1，A,O,D三点共线，试判断AC与BD的数量关系，并说明理由： (②)【模型应用】如图2，设AC,BD相交于点P,AC,OB相交于点Q,若∠AOB=50°，求∠APD的 度数 22.【探究与发现】 B 图1 图2 (I)如图1，AD是△ABC的中线，且AB>AC,延长AD至点E,使ED=AD,连接BE,可证得 △ADC≌aEDB,其中判定两个三角形全等的依据为 A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA 【变式与应用】 (2)数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，AB=6,AC=4,中线AD的取值范围是多少？第 组经过合作交流，得到如下的解决方法，请同学们认真阅读，完成填空. 【探究方法】 ①延长AD到E,使得DE=AD: ②连接BE,通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABE中； ③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB-BE<AE<AB+BE,从而得到AD的取值范围是 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的 已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中， 【问题拓展】 (3)如图2，OA=OB,OC=OD,∠AOC与∠BOD互补，连接ACBD,E是AC的中点，试说明： OE--BD 2 ①根据上题总结的方法，我们考虑倍长中线构造全等三角形 D 证明：如图，延长OE至H,使EH=OE,连接CH. E是AC的中点 ∴.AE=CE AE=CE ∠AEO=∠CEH 和 △AEO△CEH OE=EH AEO≌ACEH(SAS) 所以 ③报机D中的条作，可以得0E=BH,下面只需说月BD=Om,就能得到0E一D,话铜华们限据 提示补全证明过程. 23.已知，AO⊥BC于点O,CD平分∠ACB,交AO于点D B B O 图1 图2 (1)如图1，若AC=BC,∠CA0=50°，则∠DBC=°： (2)如图2，点E为AC上一点，连接DE,AC+CE=10,AD=DE,求CO的长 24.按要求解答问题： D D B E E 图① 图② 备用图 备用图 (I)如图O,在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D=90°，E,F分别是边BC,CD上的点，且 ∠EAF= ∠BAD.请直接写出线段EF,BE:FD之间的数量关系： (2)如图②，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是边BC,CD上的点，且 ∠EAF=,∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立？请写出证明过程： 2 (3)在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是边BC,CD所在直线上的点，且 ∠EAF=)∠BAD.请直接写出线段EF,BE'FD之间的数量关系：-一 25.阅读理解，自主探究：在初中几何学习中，当图形中出现多个直角且存在相等的线段时，可结合全 等三角形的判定与性质来分析线段之间的关系，这是解决这类几何问题的常用思路。 y y本 A D B B B 图1 图2 图3 备用图 【问题解决】 (I)如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线DE,AD⊥CE于点D, BE⊥DE于点E,则CD与BE的数量关系是 【问题探究】 (2)如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线CE,AD⊥CE于点D, BE⊥CE E AD=2cm DE=1.6 cm 于点， m,求BE的长， 【拓展延伸】 (⑧)如图3，在平面直角坐标系中，点4的坐标为2,0)，点8的坐标为62)，第一象限内是否存在一点 P,使△ABP为等腰直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 D A C D A A C B 1.D 根据全等三角形的判定定理，即可解答， 解：由题意和图可知，甲同学制作的三角形与老师的三角形有两边和一角相等，但是角不是两边的夹角， 所以不能判定其全等： 乙同学制作的三角形与老师的三角形也是两边和一角相等，并且角是两边的夹角，所以两个三角形全等： 丙同学制作的三角形与老师的三角形有两角一边对应相等，也可判定其全等， 所以，和老师的三角形全等的是乙和丙 2.A 根据同角的余角相等得出∠A=∠EBD,利用AAS证明△ABC≌aBDE,得出BD=AB,BC=DE,进而 求出CD的长， 解：AC⊥BE .∠AFB=90°， ∴.∠A+∠ABF=90° ·∠ABC=90°，即∠EBD+∠ABF=90°， ∴.∠A=∠EBD 在△ABC和△BDE中， ∠A=∠EBD ∠ABC=∠BDE=90° AC=BE △ABC≌ABDE(AAS) .BD=AB=6,BC=DE=9. ∴.CD=BC-BD=9-6=3 3.c 解：他带第③块碎片去是因为第③块保留了该三角形的两个角及其夹边，所以他利用了全等三角形的判 定依据是ASA, 4.D 本题考查全等三角形的判定和性质.解题关键在于根据作图步骤提取出相等的线段(OC=OD, OE=OF),进而证明△COF≌aDOE和△ECG≌aFDG,最终利用SSS证明aOCG≌aODG,从而得出 OG平分∠AOB的结论. ,由作图可知OC=OD,OE=OF, CE=DF, 在aCOF和△DOE中， OC=OD ∠COF=∠DOE OF=OE .△COF≌aDOE(SAS), ∴.∠OFC=∠OED. 在△ECG和△FDG中， ∠EGC=∠FGD ∠CEG=∠DFG CE=DF ∴.aECG≌aFDG(AAS) ∴.CG=DG; 在△OCG和△ODG中， OG=OG OC=OD CG=DG ∴.aOCG≌aODG(SSS) .∠C0G=DOG, ∴.∠AOG=∠BOG, 选项D正确. 5.D 由题意易得B4C=I80e∠BC-C=1 00:ZABD=∠EBD乙ABC=ISR,ZAFB=∠EFB=90°、然 ABF≌AEBF(ASA)△ABD≌△EBD(SAS) 后可得 ，进而根据全等三角形的性质进行求解即可. 解：∠ABC=30°，∠C=50°， .∠BAC=180°-∠ABC-∠C=100°， .BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD, :∠ABD=∠EBD=)∠ABC=15,∠AFB=∠EFB=90°、 .∠ADB=180°-∠BAC-∠ABD=65°， BF=BF, ,△ABF≌△EBF(ASA) ∴AB=EB, BDBD, .△ABD≌△EBD(SAS) ∴.∠EDB=∠ADB=65° ∴.∠CDE=180°-∠ADB-∠EDB=50° 6.A 过点D作DH⊥AC,利用角平分线的性质，证得△ADF≌△ADH和R1aDEF≌Rt△DGH,根据等量代换 进行求解。 解：如图所示，过点D作DH⊥AC交AC于点H, :AD平分∠BAC,DF⊥AB,DH⊥AC, ∠FAD=∠HAD,∠AFD=∠AHD=90° ∠AFD=∠AHD ∠FAD=∠HAD 和 中， △ADF△ADH AD=AD △ADF≌△ADH(AAS) S.ADF=S.ADH AD平分∠BAC,DF⊥AB,DH⊥AC, ∴.DF=DH, DE=DG 在Rt△DEF和Rt&DHG中，DF=DH, Rt△DEF≌RIADGH(HL) SDEF =SADHG .SARD=S.4DF-S.DEF =16,S.4DG=S.ADM+S.DGH=24 S.ADF-SDEF =16,S.ADG =SADF+SDEF =24 解得八0r4 7.A 在D上截取DK=CD,连接BK,证明△CDB≌aKDB(SAS),△MBK2aEBC(SS) 从而得出 ∠ABE=∠CBK=2α，利用导角结合三角形外角的定义，角平分线的定义，全等三角形的性质和多边形内 角和定理即可得出结果， 解：如图，在AD上截取DK=CD,连接BK, B E ,BD是∠ADC的角平分线， .∠CDB=∠KDB, 在△CDB和△KDB中， (CD=KD ∠CDB=∠KDB BD=BD △CDB≌△KDB(SAS) ∴.BC=BK,LCBD=∠KBD=a, AD=CD+CE. .CD+CE=DK+CE=DK+AK =AD, .CE=AK 在△ABK和△EBC中， AB=BE BK=BC AK=CE' △ABK≌AEBC(SSS) .∠ABK=LEBC, .∠ABE=∠CBK=2a, 设∠CDB=∠KDB=B, .∠AKB=LECB=a+B 在△BKD中，∠BKD=180°-∠KBD-∠KDB=180°-Q-B, ∴.∠AFC=360°-∠BKD-∠BCE-∠KBC =360°-(180°-a-B)-(a+B)-2a=180°-2ax 8.C 根据尺规作图痕迹可知CD平分∠ACB,延长BP交CA的延长线于点M,证明△ n△BPC≌aMPC(A,S,A) 1 可得CB=CMp为BM中点，进而求出AM的长：根据三角形中线性质可知S4m2S.4,当 AB⊥AM时△ABM面积最大，从而求解， 解：由作图可知CD平分∠ACB,延长BP交CA的延长线于点M, D A P M :CD平分∠ACB,BP⊥CD, .∠BCP=∠MCP,∠BPC=∠MPC=90°」 .CP=CP △BPC≌△MPC(A,S,A) .CB=CM,P为BM的中点， .BC-AC=4. ∴.CM-AC=4,即AM=4, :P为BM的中点， .S.-7S.. 在△ABM中，AM=4,AB=12, 当B上仙时.AMy9面积灵大，最大值为方×4x12=24, 1 Sm的最大值为2×24=12 9.B 根据三角形中线可得BD=DC,再根据全等三角形判定定理及性质可判断A;根据全等三角形性质可得 ∠EBC=∠FCB,根据角之间的关系，结合三角形内角和定理可判断D;根据三角形面积之间的关系及全 等三角形性质可判断C；根据三角形中线求三角形面积，结合三角形面积公式，即可判断B. 解：：AD是△ABC的中线， ∴BD=DC, 在△BED和△CFD中， BD=CD ∠BDE=∠CDF ED=DF △BED≌ACFD(SAS) .CF=BE,故A正确，不符合题意， .·△BED≌△CFD .∠EBC=∠FCB」 ∴.∠BEC+∠ECF =∠BEC+∠ECB+∠FCB =∠BEC+∠ECB+∠EBC =180°，故D正确，不符合题意； S.ECF =SACFD+SEDC SABEC =SBED+SEDC .△BED≌△CFD」 SABED=SACFD SAECF =SABEC ,故C正确，不符合题意： ,AD是△ABC的中线， m=8,4o-23ac, .DE =2AE. 片DB=24D 3 21 Smn=2Samx-Sanc=Sanc. 1 3 32 3 3 32 S., Sw5232x18F 3 2 S.BEC=SWDE+SCDE=S4WC 31 6ScSc,故B错误，符合期意 2 10.C 由ASA证明△ABD≌△ACF可判断①正确：证明△ADE≌△AFE可判断②正确；由①②结论得到 5=5所，及a=5a,由Sar=5amt8a+5c或+m+w求解可宾断回确：根 据三角形的三边关系可判断④错误， 解：，在△ABC中，AB=AC,∠B=∠ACB=45°， ∴.∠BAC=90°， ∴.∠BAD+∠DAC=90°， AF⊥AD, .∠CAF+∠DAC=90°， .∠BAD=∠CAF, .CF⊥BC .∠ACF=∠ACB=∠ABC=45°， 在△ABD和△ACF中， BAD=∠CAF AB=AC ∠ABD=∠ACF' △ABD≌AACF(ASA) 故①正确； .AD=AF, .∠DAE=45° ∴.∠BAD+∠EAC=45°， ∴.∠FAE=∠CAF+∠EAC=∠BAD+∠EAC=45°. ∴.∠DAE=∠FAE, 在△ADE和△AFE中， AD=AF ∠DAE=∠FAE AE=AE △ADE≌△AFE(SAS) .DE=EF,故②正确： .△ABD≌△ACF,△ADE≌AAFE, S.ADE =S.AFE S.4MD=S.ACF BD=CF DE=EF S.ARC=SABD+SADE+SAEC=SADR+S4FE+SCEF=2SADE+S.CEF .S.4DE=15 SACEF=6 ,S△MBc=36 ，故③正确： ,在aCEF中，CF+CE>EF, .BD+CE>DE,故④错误， 综上，正确的是①②③. 11.∠ADB=∠ADC(或AB=AC或∠B=∠C,答案不唯一) 根据题意，可以选择ASA判定，也可以选择SAS、AAS判定，据此写出一个条件即可. 解：：AD是∠BAC的角平分线， .∠BAD=∠CAD 又：AD=AD, ∴.当添加∠ADB=∠ADC或AB=AC或∠B=∠C时，△ABD≌△ACD,分别属于ASA、SAS、AAS的判 定条件，答案不唯一，选择一种即可 12. 90° 取格点A、B、C、D、E,证明 ABC≌△DAE(SAS ,则∠1=∠B1C,结合2+∠BAC=90°可得， ∠1+∠2=90° 解：如图， B 2 在 和 中， △ABC△DAE (AB=DA ∠ABC=∠DAE BC=AE .△ABC≌ADAE(SAS) .∠I=∠BAC .∠2+∠BAC=180°-∠ABC=90°， .∠1+∠2=90° 13.4 过点P作PE⊥OB于E,根据角平分线的性质求出PE,再根据三角形面积公式计算，得到答案. 解：如图，过点P作PE⊥OB于E, :OP平分∠AOB,PC⊥OA,PE⊥OB,PC=2, :PE=PC=2, i.S.rop-iOD.PE=1x4x2-4. 2 2 A B 14. 6 根据条件利用角边角证明三角形全等，得出相等的边，然后利用线段的和差进行求解. 解：在△OAD与△OCB中， ∠OCB=∠OAD ∠BOC=∠DOA OA=OC △OCB≌AOAD(ASA) ∴.OB=OD=8m. ∴.AB=OB-OA=8-2=6m」 15.12.5 根据全等三角形面积相等、对应边相等和对应角相等，将阴影面积进行转化，利用等量代换得到阴影面 积等于△ABD的面积，再利用面积公式即可求解. 解：△ABC≌△ADE,AD=5, .SMC=S.ADE AB=AD=5∠BAC=∠DAE ∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE, .∠CAE=90°， .∠BAD=∠CAE=90°， 8e=8m4BADx5x5=125, 2 16.32或60 设'秒时，△PMM和△MBN全等，则BM=2r米，BN=3t米，4M=(80-2) 米，再分两种情况：① △PAM2aMBN,②△MAP≌aMBN,利用全等三角形的性质求解即可. 解：设t秒时，△PAM和△MBN全等，则BM=2t米，BN=3t米， D C M B AB=80米， AM=AB-BM=(80-21) 米 ,射线AC⊥AB,射线BD⊥AB, .∠A=∠B=90° 则分以下两种情况： ①当△PAM≌aMBN时， .AP=BM=2t,AM=BN, .80-2t=3t. 解得1=16 .AP=2×16=32(米)： ②当△MAP≌aMBN时， .AP=BN=3t,AM=BM, .80-2t=2t, 解得1=20， .AP=3×20=60(米)； 综上，线段AP的长度为32米或60米. 17.(I)证明：在△ADE和△ABC中， [∠D=∠B ∠A=∠A AE=AC' :△MDE2AABC(AAS) (2)方法一：如图，连接BD,得到△BCD≌ADEB, 证明：，△ADE≌△ABC, .AB=AD,BC=DE, 又：AE=AC, .AB-AE=AD-AC,BE CD. 在△BCD和△DEB中， CD=BE BC=DE BD=DB' △BCD≌ADEB(SSS) 方法二：如图，连接EC,得到△BEC≌aDCE, ,△ADE2△ABC .AB=AD,BC=DE, 又：AE=AC, .AB-AE=AD-AC,即BE=CD」 在△BEC和△DCE中， 「BE=CD ∠B=∠D BC=DE' :ABEC≌ADCE(SAS) (I)在△ADE和△ABC中，结合己知的∠D-∠B、公共角∠A与AE=AC,依据AAS即可证明两三角形 全等 (2)可连接BD,得到△BCD≌△DEB;由(I)得△ADE≌aABC,由全等性质可知AB=AD、BC=DE, 结合AE=AC推得BE=CD,再根据三边对应相等，依据SSS即可证明△BCD≌aDEB;也可连接EC, 得到△BEC≌aDCE,同上得BC=DE、BE=CD,依据SAS即可证明△BEC≌aDCE (1)略 (2)略 18.1米. 分析题目条件，证明△DAE≌aABC即可. 解：：AD⊥AC, ∴.∠DAE+∠BAC=90° BC⊥AC, ∴.∠ABC+∠BAC=90° .∠DAE=∠ABC :DE⊥AB,BC⊥AC .∠AED=∠ACB=90° 在△DAE和△ABC中， ∠DAE=∠ABC ∠AED=∠ACB AD=AB :∴ADAE≌△ABC(AAS) .BC=AE :AE=1米， .BC=1米. 即点B距水平地面的高度为1米。 19.(I)ACOE2aOBD,理由如下： 由题意可知∠CE0=∠BD0=90°，OB=OC, 故∠BOD+∠OBD=90°， ∠B0C=90°， ∴.∠COE+∠BOD=90°， ∴.∠COE=∠OBD. 在△COE和△OBD中， ∠COE=∠OBD ∠CEO=∠ODB OC=OB △COE≌AOBD(AAS) (2)1.4m (I)根据等角的余角相等和直角三角形的性质得出∠COE=∠OBD,即可证明△COE≌aOBD: (2)根据全等三角形的性质得出CE=OD,OE=BD，,结合题意，即可求解. (1)略 (2)解：.aCOE≌aOBD」 ..CE=OD,OE=BD BD,CE分别为1.4m和1.8m, DE=0D-0E=CE-BD=1.8-1.4=0.4(m) MD =1m, ME=MD+DE=1+0.4=1.4(m) ∴.C处距离地面的高度为1.4m. 20.(1)证明：∠DEB=90°， .∠BEF=90° Rt△ABC≌Rt△DBE, .BC=BE, 在Rt△BCF和RtABEF中， BF =BF BC=BE, ∴.RtABCF≌RtaBEF(HL) (2)3 (l)根据Rt△ABC≌Rt△DBE,得BC=BE,即可证明△BCF≌aBEF: (2)根据全等三角形的性质及线段的和差即可求得AF的长 (1)略 (2)解：Rt△ABC≌Rt△DBE, :DE=AC, DE=4, .AC=4, ,RtaBCFS≌RtABEF :.CF=EF, EF=1, .CF=1, ∴.AF=AC-CF=4-1=3 21.(①)AC=BD,理由如下： .∠AOB=∠COD, ∴.∠AOB+∠COB=∠COD+∠COB ,.∠AOC=∠BOD OA=OB ∠AOC=∠BOD 在 和 中， AOC△BOD OC=OD △AOC≌ABOD(SAS) ..AC=BD (2)130° (I)利用SAS证明三角形全等，即可得到AC与BD的数量关系； (2)由全等三角形的性质，可得∠OAC=∠OBD,根据三角形的内角和，求出∠BPO=∠AO0=50°，根 据平角的定义，即可求出∠APD (1)略 (2)解：由(1)可得， △AOC≌△BOD(SAS) .∠OAC=∠OBD, 在△AO0和△BPQ中，∠BQP=∠AQO.∠OAQ=∠QBP ∠BPQ=∠AO9=50° .∠APD=180°-∠BP9=180°-50°=130° 22.(1)B (2)1<AD<5 (3)证明：如图，延长OE至H,使EH=OE,连接CH. E是AC的中点， .AF=CE, 在△AEO和△CEH中， AE=CE ∠AEO=∠CEH OE=EH △AEO≌aCEH(SAS) CH=OA,∠EAO=∠ECH, .CHIIOA .∠OCH+∠AOC=180°， :∠AOC与∠BOD互补， .∠AOC+∠BOD=180°， .∠OCH=∠BOD: OB=0A. ..CH=OB, 又.OC=0D △OCH≌ADOB(SAS) .BD=OH. .OH=OE+HE =20E. :.OE-T0H 2 .OE=1BD 2 (I)由三角形中线的定义得到BD=CD,再根据AD=ED,∠ADC=∠EDB,可利用SAS证明 △ADC≌AEDB: (2)由全等三角形的性质得到BE=AC,根据三角形三边的关系求出AE的取值范围，则可求出AD的 取值范围； (3)由全等三角形的性质得到CH=OA,∠EAO=∠ECH,则可证明CH‖OA,得到 ∠OCH+∠AOC=180°，据此可证明∠OCH=∠BOD:再证明△OCH≌△DOB,得到BD=OH,据此 可证明OB=2BD (I)解：，AD是△ABC的中线， .BD=CD, 又，AD=ED,∠ADC=∠EDB △ADC≌A△EDB(SAS) (2)解：由(1)得△ADC≌aEDB, .'BE=AC, 在△ABE中，由三角形的三边关系可得AB-BE<AE<AB+BE, ∴.6-4<AE<6+4. .2<AE<10 又，AE=AD+ED=2AD, .2<2AD<10」 .1<AD<5: (3)略 23.(1)50 (2)C0=5 (I)依据角平分线定义得∠ACD=∠BCD,结合AC=BC,CD=CD,用SAS证△ACD≌△BCD,由全 等性质得∠CAO=∠DBC,结合∠CAO=50°求出∠DBC (2)作DN⊥AC,由AD=DE得AN=EN(等腰三线合一)，结合AC+CE=I0推出AC+CE=2CN, 再用HL证明RtACDNS≌RtACDO,得CO=CN=5」 (1)解：CD平分ACB, ∴.∠ACD=∠BCD, 在△ACD和△BCD中， AC=BC ∠ACD=∠BCD CD=CD ∴.AACD≌ABCD(SAS) ∴.∠CAO=∠DBC, ∠CA0=50°， .∠DBC=50° (2)解：过点D作DN1AC于点N,如图2所示： N E B O 图2 AD=DE .AN=EN」 ∴.AE=AN+EN=2EN, ∴.AC=CE+AE=CE+2EN, ..AC+CE=CE+2EN+CE=2(CE+EN)=2CN 又：AC+CE=10, ∴.2CN=10. .CN=5, :CD平分∠ACB,AO⊥BC于点O,DN⊥AC于点N, ∴.∠COD=∠CND=90°，DO=DN, 在Rt△CDO和RtACDN中， DO=DN CD=CD ∴.RtACDN≌RtACDO(HL) ..CO=CN=5 24.(1)EF=BE+FD (2)(I)中的结论EF=BE+FD仍然成立. 理由是：如图2，延长EB到G,使BG=DF,连接AG A D B E 图2 :∠ABC+∠D=180°∠ABG+∠ABC=180° ∠ABG=∠D, 在△ABG与△ADF中， AB=AD ∠ABG=∠D BG=DF .△ABG≌△ADF(SAS) AG=AF,1=∠2， I+3=∠2+3=∠BAD=∠EAF 2 .∠GAE=∠EAF 又AE=AE, ∴△AEG≌AAEF, ∴，EG=EF ·EG=BE+BG .∴.EF=BE+FD (3)EF=BE+FD或EF=BE-FD或EF=FD-BE (1)延长EB到G,使BG=DF,连接AG.证明△ABG≌△ADF(SAS).AG=AF,I=∠2，证明 △AEG2△AEF.则EG=EF.即可得到答案； (2)延长EB到G,使BG=DF,连接AG.证明△MBG≌△ADF(SAS9),则AG=AF,I=∠2，证明 △AEG2△AEF,则EG=EF.即可得到答案： (3)在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG.证明△ABG≌△ADF(SAS).则∠BAG=∠DAF, AG=AF △AEG≌AAEF(SAS),EG=EF .证明 ,则 ,即可得到结论 (1)解：如图1，延长EB到G,使BG=DF,连接AG 在 与 中， G---B E 1 △ABG△ADF AB=AD ∠ABG=∠ADF=90° BG=DF .△ABG≌△ADF(SAS) .AG=AF,21=22, ∠I+∠3=∠2+∠3=∠BAD=∠EAF 2 .∠GAE=∠EAF 又AE=AE, ∴.△AEG≌AAEF .∴.EG=EF .EG=BE+BG .EF=BE+FD: (2)略 (3)当(1)的结论EF=BE+FD成立， 当图3中，EF=BE-FD或EF=FD-BE, 证明：在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG E 图3 :∠B+∠ADC=180°∠ADF+∠ADC=180° .∠B=∠ADF 在△ABG与△ADF中， AB=AD ∠ABG=∠ADF BG=DF ∴.△ABG≌△ADF(SAS) .∠BAG=∠DAF,AG=AF, E∠BAG+∠EAD=DAF+∠EAD=∠EAF=)∠BAD ∴.∠GAE=∠EAF AE=AE, ·.△AEG≌△AEF(SAS) ∴.EG=EF EG=BE-BG .EF =BE-FD 同理可得：EG=EF .·EG=BG-BE :.EF FD-BE. 25.(1)CD=BE (2)BE=0.4cm (3)存在；P点的坐标为： (10,10)(2,14)(4,8) (I)利用AAS证明△ADC≌△CEB,即可得到CD=BE: (2)利用AAS证明△BCE≌aCAD,再利用全等三角形的性质运算即可： (3)分类讨论P点的位置，结合全等三角形的性质运算即可. (I)解：CD=BE,理由如下： ,AD⊥DE,BE⊥DE, ∴.∠D=∠E=90°=∠ACB, ,∠D+∠DAC=∠ACE=∠ACB+∠BCE, ∴.∠DAC=∠BCE, ∴，在△ADC与aCEB中， ∠D=∠E ∠DAC=∠BCE AC=BC △ADC≌△CEB(AAS) :CD=BE (2)解：AD⊥CE,BE⊥CE, .∠E=∠ADC=90°， .∠ACB=90°， .∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠CAD=90°， ∴.∠BCE=∠CAD △BCE和△CAD中， 「∠E=∠ADC ∠BCE=∠CAD BC=AC △BCE≌ACAD(AAS) .'BE=CD,CE=AD=2cm. .BE=CD=CE-DE=2-1.6=0.4cm: (3)解：存在，理由如下： ①：当PB=AB,∠ABP=9O°时，过点B作平行于x轴的直线DE,AD1DE于点D,PE⊥DE于点E, 如图所示： yA A ----- 4(-26)B6,2) :AD=6-2=4,BD=6-(-2)=8 由(I)同理可证△ABD≌△PEB, ∴AD=BE=4,PE=BD=8, :P点的横坐标 BE+xB=4+6=10P PE+yB=8+2=10 点的纵坐标 ,P(10,10) ②：当PA=AB,∠PAB=90°时，过点A作平行于y轴的直线GF,PG⊥GF于点G,BF⊥GF于点F, 如图所示： YA 4(-26)B(6,2) 4F=6-2=4.BF=6-(-2)=8 由(1)同理可证△PGA≌△AFB, ..PG=AF=4,GA=BF=8. :P点的横坐标G+=4+(-2)-2,P点的织坠标61+=8+6=14， .P(2,14) ③：当PA=PB,∠APB=9O°时，过点P作平行于x轴的直线MN,AM⊥MN于点M,BN⊥MN于点 N,如图所示： y M AK✉ 设P(ab) 4(-2,6)B(6,2) PN=xn-xp=6-a NB=yp-yn=b-2 PM=Xp-x=a-(-2)=a+2 MA=yp-y=b-6 由(1)同理可证△APM≌aPBN, .PN=MA,PM=NB, 6-a=b-6 .a+2=b-2, a=4 解得：b=8, :P48) 综上，P点的坐标为：(10,10).(214)(4,8)