数列的方法体系（上）通项篇讲义-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以“问题类型-方法工具-易错警示”为主线，系统构建数列通项求解的方法体系，逻辑递进覆盖从基础公式到复杂递推的全场景，培养数学推理能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等差等比基本量与性质|5例|基本量“知三求二”，性质法（下标和、片段和）简化运算|从定义公式到性质应用，构建“公式-性质-反判”逻辑链| |Sn与an互化|3例|分段公式+回代检验，作差消Sn转化递推|体现“和与项互化”的双向思维，强化分类讨论意识| |累加法与累乘法|2例|递推式右侧仅含n时直接累加累乘，验首项|基于“相邻项差/比可求和/积”的转化思想| |构造法求通项|3例|8类模型（不动点、取倒数等）化归等差等比，明确新数列首项公比|按递推式特征分类，形成“识别-构造-转化”解题流程| |奇偶与周期数列|3例|分奇偶求通项，算前8-14项判周期，分组求和|针对非连续递推问题，培养观察归纳与分段处理能力|

数列的方法体系（上） 通项篇 · 从题型到方法的完整梳理 一、知识点梳理 知识点一　等差、等比数列的公式与性质 数列本质是定义域为正整数集（或其子集）的函数：通项 ，前 项和 。等差、等比的一切计算都归结到基本量——、（或 ）、、、，五个量知三求二。 等差：定义 ；通项 ，广义通项 ；前 项和 。 等比：定义 （，）；通项 ，广义通项 ；前 项和 时 ， 时 。后一个写法用 表示， 已知时更好用。 下标和定理：等差中 （特别地 时 ，即等差中项）；等比中 。这条在只给「某几项之和」的题里省一步，不必先求 和 。 片段和：等差中 、、 仍成等差，公差为 ；等比中这三个片段和成等比，公比为 （要求 ）。 ★ 的形态可以反判数列：（常数项为 ） 等差； 等比。判断时先看有没有常数项。 ★ 点 共线也说明是等差数列： 是关于 的一次式，斜率 、截距 。 ⚠ 等比数列求前 项和必须先讨论 。题目只说「等比数列」，没有排除 ；漏讨论是这一节最高频的失分点。具体做法：条件里只要出现 与 的等式（尤其是比值 ），就把 代进去先算一遍，看它是否成立、是否与「正项」「公比为整数」等条件冲突；不成立或冲突才走 的公式。走 时若解出 或 ，还要回头说明它被哪种条件排除——把「已讨论」或「与正项矛盾」写出来，卷面上才拿得到这一步的分。 ★ 判定一个数列是不是等差（等比），优先用定义法：直接算 （或 ）看是不是常数。中项法（）适合递推式里含三项的场合；通项法（ 是 的一次式）和 法适合已知表达式反判的题。 知识点二　 与 的互化 这条公式是数列部分出现频率最高的一条，必须分段写： 用 求出的通项必须回代 检验：与 吻合就合并成一段，不吻合就保留分段形式。漏掉这一步是最典型的失分点，也是阅卷的给分点。 反向操作（由 求 ）：把 与 的关系式中的 换成 再作差，消去 得到 的一阶递推，然后归到方法三、方法四去处理。 由 的形态反求： 是关于 的二次式且常数项为 等差，此时 ； 等比。 还有一类「平方混合型」：条件里 与 同时出现，如 。它比线性互化多一步——作差之后得到的式子里 与 要因式分解，所以作差是唯一的路，绕不开。 做法： 时作差，把 与 都换成右端的表达式，得 移项并提取公因式 ： 再由题设「各项为正」（或「递增」）得 ，所以只能有 ，即 是公差为 的等差数列；首项由 时的原始条件单独定出。 ⚠ 舍去 这一支必须说清依据——题目给了「正项」才能舍。若条件里没有正项，就要把两支都带回原式检验，看哪一支与首项相容。 ⚠ 作差时容易漏掉 的前提，也容易把 通项直接当成全部项。卷面上要写「当 时……」，再写「又 符合（或不符合）上式」，两句话都不能少。 ★ 见到「」「前 项和」两个词，第一反应就是写那条分段公式。若条件里 与 同时出现且次数相同（如 ），一定是「作差消 」的路子。 知识点三　累加法与累乘法 这两个手法处理的是「系数相同」的递推——等号一侧只有 ，另一侧是 加上（或乘以）一个只含 的式子。 累加法：。把 个等式纵向排列后相加，左边全部抵消，得 注意求和上限是 而不是 ：从 走到 一共用了 步。 累乘法：。同理相乘， 累乘法常见于分式递推： 时可写 ，再逐项约分。 ★ 判据：出现系数不是 的情形（如 ）就不能用累加累乘，必须换方法四的构造法。 ⚠ 两种手法求出的 都要验 ：求和、求积都从 到 ， 时是空的，需要单独核对。 ★ 把递推式写成 或 的形式，右侧只含 、不含 是能累加累乘的标志。看到这个形状就别犹豫。 知识点四　构造法求通项的八个模型 非齐次递推（ 与 的系数不同）有八种常见形状，每种有固定的构造手法。 ① （，）：解不动点 得 ，两边同减 ，得 ，即 是公比为 的等比数列。 ② ：两边同除以 ，得 ，令 就化归成 ①。若同除后不成，试同除 。 ③ ：两边取倒数，，整理后一般化归成 ①。若 （分子分母一次项系数相同），取倒数后直接是等差。 ④ （各项为正）：两边取对数，，令 化归成 ①。 ⑤ 平方型（如 ）：配方成 ，再取对数；若形如 则取倒数后观察。 ⑥ （，加项是 的一次式）：设 ，由 展开比较 的系数与常数项，得 、，于是 是公比为 的等比数列。① 的不动点是常数，这里只是把不动点换成了 的一次式。 ⑦ 隔项型 （ 与 同号相加），有两条路可走。 一是把递推式里的 换成 后与原式相减，消去 ，得 。这说明奇数项、偶数项各自成等差（或各自能累加），分奇偶两路求通项。 二是当 （纯指数）时，设 ，展开后与原式比较系数，得 ，于是 是公比为 的等比数列，一步就拿到通项。 ⑧ 二阶线性递推 ：记 ，则 。若 ，这一式化为 ，即 是公比为 （也就是 ）的等比数列，求出 后再累加就得到 。 一般情形：设 ，展开比较系数得 、，解出 、 就把二阶递推降成两个等比数列。（斐波那契型 即 、，此时 、。） ⚠ 构造完一定要写清楚「 是以谁为首项、以谁为公比的等比数列」——这是给分点，也是后面求通项的依据。别只写一个变形后的式子。 ★ 判断用哪一种，看递推式的形状：加项是常数 → ①；加项是 的一次式 → ⑥；含 的加项 → ②；分式 → ③；幂（）→ ④；平方项 → ⑤； 与 同号相加 → ⑦；由前两项共同决定下一项 → ⑧。构造法的工具箱就这八种；奇偶分段型与迭代成周期型另有专门套路，见方法五。 知识点五　奇偶数列与周期数列 有一类数列整体处理不了：通项按 的奇偶分段，或者递推式里带 。这时要分奇偶各写一套。 常见三种形态：① 通项分段，如奇数项 、偶数项 ——把 与 各自看成一个新数列，分别判断它们是等差还是等比；② 递推式含 ，如 ，相邻两步符号相反；③ 递推式本来就在 的奇偶上分段给出，往回推时每一步都要重新确认 的奇偶。 ★ 换下标是奇偶分段题的第一步： 中 ，即 ； 中 。这两个式子写错，后面整题都会偏。 奇偶分段型求前 项和，按「两项一组」配对： 若存在正整数 使 对一切 成立，就称 为周期数列。 识别周期的方法：递推式只依赖前面有限项时，先算出前若干项，一旦出现与前文相同的两项，后面的项必然照旧，周期就确定了。 周期型求值：设 （），则 ；若一个周期内各项之和为 ，则 。 ⚠ 两个易错点：一是周期可能从第几项才开始，前几项未必落在周期内，定位时要数清楚；二是余数算成 时应取第 项与 ，不是第 项。 ★ 见到 、、、取整或分段递推，先算 8~14 项看有没有周期，往往比硬求通项快。奇偶与周期的求和技巧见中册「分组、并项与周期求和」一节。 二、方法突破 方法一　等差、等比的基本量与性质 等差、等比数列的一切计算都归结到「基本量」：、（或 ）、、、，五个量知三求二。先把条件翻译成基本量的方程，再解。 通项有两个写法，要分清： 与广义通项 。后者在只给「某两项」的题里省一步，不必先求出 。 性质清单（等差）：下标和定理 ；片段和 、、 仍成等差，公差 。等比数列的下标和定理同样成立（），但片段和是等比。 的形态可以反判数列：（无常数项） 等差； 等比。这条常用来快速排除选项。 ★ 等比数列的题先讨论 与 两种情况，这是最高频的失分点。题目只说「等比数列」，没有说 。 例题 例 1-1 （张家口市2026届高三下学期一模 · 第6题） 【单选】已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，，则 （　　） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　 成等差数列 ◈ 看到「 与 」这种成倍数关系的下标，先想片段和性质，不要急着设首项和公差。来由：每个片段都含 项，而等差每往后 项，对应项都多 。 答　A 例 1-2 （温州市普通高中2026届高三第二次适应性考试 · 第5题） 【单选】已知正项等比数列 中，，，则 （　　） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　 ◈ 等比数列里出现 的结构，先约分再解方程。 与 是可约的，别直接上求根公式。 第 2 步　 或 ，用 的符号舍去后者 ◈ 解出两个正根时，「正项」条件本身不足以判断——要代回原式看 的符号。这一步是本题的给分点。 答　D 例 1-3 （金华十校2026届高三下学期4月模拟考试 · 第9题） 【多选】已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，且 ，，则（　　） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　，先定中项 ◈ 下标和定理把「两项之和」化成「中项的两倍」，比设出 、 再解方程组快一步。凡条件里出现下标和为偶数的两项之和，都先试这一条。 第 2 步　，用首尾配对求和 ◈ 求 优先用 ，而不是 ：前者只要首项与末项，本题里这两个量都已经算出来了。 答　AD 例 1-4 （吉安市2026届高三下学期3月模拟考试 · 第13题） 【填空】设等差数列 的前 项和为 ，若 ，，则 的最大值为__________. 【解析】 第 1 步　，先定出 ◈ 把下标和为偶数的两项先用中项合并，能少设一个未知量。本题里 直接定出 ， 才是真正要解的方程。 第 2 步　，顶点 ，比较 与 ◈ 二次函数的对称轴不是整数时，最大值一定在紧邻的两个整数点上，两个都要代入算一遍——凭四舍五入猜一个是最常见的错误。 答　 例 1-5 （河南省豫西北教研联盟2025-2026学年高三上学期第一次质量检测数学试题 · 第16题） 【解答】已知公差不为0的等差数列的前项和为，且依次成等比数列. （1）求的通项公式； （2）对于任意，求实数的取值范围. 【解析】 第 1 步　 ◈ 「 依次成等比」翻译成等式就是 ：中间那一项的平方等于左右两项之积。注意三个下标 并不成等差，所以这里用不了下标和定理，只能老老实实展开成 与 的方程。 第 2 步　，由 得 ◈ 展开后一定出现 ，并且能提出公因式 ——一正一负的根意味着「舍根」是这道题设计的必然一步。题目特意强调「公差不为 」，就是提示你把 舍掉；漏了这句话， 就定不下来。 第 3 步　 对一切 成立 ◈ 恒成立问题的标准转化。求「多项式除指数」型的最值不要上导数：先算前几项找峰值，再用 确认峰值之后单调递减。本题峰值在 （），比 和 都大。 答　（1）；（2） 练习 1-1. 【单选】已知等比数列的公比为，则“”是“是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 1-2. 【单选】设等比数列的前n项和为，若，，则（ ） A. B. 7 C. 63 D. 7或63 1-3. 【单选】已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则正整数的值为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 1-4. 【单选】《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“分钱问题”：现有5个人分5钱，5人分得钱数依次成等差数列，前两人分得钱数之和等于后三人分得钱数之和，则分得钱数最少的一人钱数为（ ） A. B. C. D. 1-5. 【多选】分别是等差数列的前项和，则（ ） A. 是等差数列 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 1-6. 【多选】已知是等差数列的前n项和，，，则（ ） A. B. C. 当或时，取最大值 D. 的最小值为0 1-7. 【填空】已知等差数列各项不为零，前n项和为，若，则_______． 1-8. 【单选】已知等差数列的公差，，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 1-9. 【单选】等比数列中的，是函数的极值点，，则（ ） A. 1 B. C. D. 1-10. 【单选】已知各项均为整数的数列中，，，前10项依次成等差数列，从第9项起依次成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 1-11. 【单选】已知等比数列 的首项为 ，前 项和为 ，若 ，则 （　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 1-12. 【解答】记正项等比数列 前 项和为 ，已知 ．（1）求 的公比；（2）若 ，数列 的前 项和为 ，正整数 满足 ，求 ． 1-13. 【多选】已知等比数列 的公比为 ，。若 ，，则下列说法正确的有（　　） A. B. C. D. 1-14. 【多选】设等差数列 的前 项和为 ，设 ，，在同一个坐标系中，、 的图象如图所示，则下列推断正确的是（　　） A. B. C. D. 1-15. 【多选】设5个正实数组成公差大于0的等差数列，记其首项为a，公差为d，且这5个数中有3个数组成等比数列，则的值可能为（ ） A. B. C. 1 D. 2 方法二　 与 的互化 核心公式只有一条，但必须分段写：。 用 求出的通项必须回代 检验：吻合就合并成一段，不吻合就保留分段形式——漏掉这一步是最典型的失分。 反向操作：已知 与 、 的线性关系，一律把 换成 再作差，消去 得到 的一阶递推，然后归到方法三、四去处理。 同一道题里 同时含 与 时，先判断「谁是变量」：若 的表达式只含 ，直接作差；若含 ，作差后再解递推。 ★ 见到「」「前 项和」两个词，第一反应就是写那条分段公式，并把回代检验写在卷面上——阅卷时这一步是给分点。 例题 例 2-1 （烟台市2026届高三第一次诊断考试 · 第6题） 【单选】已知数列 的前 项和记为 ，若 ，则 （　　） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　 时单独求 ： ◈ 凡条件里 与 同时出现，第一句话永远是「 时」——因为作差得到的递推只在 成立。 第 2 步　 ◈ 把 也移到同一边，才能看出这是等比。很多同学在这里把 留在右边直接约掉，结果 的系数算错。 答　C 例 2-2 （赣州市2025-2026学年高三下学期摸底考试 · 第6题） 【单选】已知数列 的前 项和为 ，满足 ，。在数列 中，，且 ，设 为数列 的前 项和，则 （　　） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　 作差得 ◈ 系数里带 时，作差后一定要把两个含 的项合并：右侧的 减去左侧的 才是 。漏了这一步就得不到 。 第 2 步　积式两边作商： ◈ 已知的是「前 项之积」，要单独得到 ，就用「前 项之积 ÷ 前 项之积」。这是处理连乘条件唯一的办法。 答　B 例 2-3 （黄冈中学等十一校2026届高三第二次联考 · 第13题） 【填空】已知数列 的前 项和为 ，且 ，，则 __________. 【解析】 第 1 步　令 ，条件化为 ◈ 根号型的 条件，一律先换元把根号消掉，换元后往往就是一个普通的等比数列。这是「化归」最典型的一步。 第 2 步　，回代 发现不吻合，保留分段 ◈ 本题最容易丢分的地方： 而公式给出 。凡是用 求出的通项，都必须回代 检验，不吻合就老老实实写成分段形式。 答　 练习 2-1. 【单选】已知为数列的前n项和，且，若对任意正整数n恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2-2. 【解答】已知数列的前项和为，满足. （1）证明：数列是等比数列； （2）记数列的前项和为，求满足的最小正整数的值. 2-3. 【填空】已知数列的前项和为，且满足，则__________ 2-4. 【多选】设是数列的前n项和，且，，则（ ） A. B. 数列是公差为的等差数列 C. 数列的前5项和最大 D. 2-5. 【多选】已知数列的前项和为，若，且都有，则（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等比数列 C. D. 数列的前10项和为56 2-6. 【填空】已知为数列的前项和，，，则的通项公式为______；令，则______． 2-7. 【单选】设数列的前项和为，且，则满足时，的最小值为（ ） A. 49 B. 50 C. 99 D. 100 2-8. 【单选】已知数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 2-9. 【解答】已知数列和满足，，且，． （1）求数列和的通项公式； （2）求的值.（其中表示不大于的最大整数，如） 2-10. 【解答】在①；②；③这三个条件中，请选择一个合适的条件，补充在下题横线上（只要写序号），并解答该题． 已知数列的各项均为正数，其前项和为，且对任意正整数，有______． （1）求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：． 2-11. 【解答】数列是递增数列，其前项和为，且． （1）求； （2）记，数列满足：，数列的前项积与前项和分别记为．证明： ①； ②． 2-12. 【解答】已知数列的前项和满足为常数，且. （1）求的值； （2）证明：为等差数列； （3）若，求的取值范围. 方法三　累加法与累乘法 累加法：，则 。把 个等式纵向排列相加，中间是等差数列的一个片段。 累乘法：，则 。 两种手法成立的前提是「 与 的系数完全相同」（都是 ）。一旦出现系数不是 （如 ），就必须改用构造法。 求出的 要验 ：累加、累乘的求和与求积都从 到 ， 时是空的，需要单独核对。 ★ 触发信号是递推式的形状：等号一侧只有 ，另一侧是 加上（或乘以）一个只含 的式子。看到这个形状就直接累加或累乘。 例题 例 3-1 （金华十校2026届高三下学期4月模拟考试 · 第13题） 【填空】数列 中，，，记数列 的前 项和为 ，则 __________. 【解析】 第 1 步　，右边只含 ◈ 判断能不能累乘，就看整理后比值是不是「只含 、不含 」。本题把 两边同除 就得到这个形状。 第 2 步　 ◈ 累乘的连乘式要「错开两位」约分：分子是 到 、分母是 到 ，约完后分母剩 与 、分子剩 。写不出结果就先把两串因数上下对齐写出来。 第 3 步　 ◈ 通项一出现 ，就是裂项相消的固定套路——两部分工具（累乘求通项 + 裂项求和）在同一题里连着用，这是本节最典型的组合。 答　 例 3-2 （浙江省宁波市2024－2025学年高三下学期高考模拟考试数学试卷 · 第5题） 【单选】已知数列中，，记为的前项和，，则的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【解析】 第 1 步　 ◈ 与 同时出现在一个式子里，第一步一定是「把 换成 再作差」（），把 全部消掉。注意作差后 的系数是 ， 时系数为 ，所以递推只能从 用起——题目给出 正是为了补上这个起点。 第 2 步　 ◈ 累乘的对象是 ，分子分母错开一位，约完只剩 。累乘完必须回代首项：这里 要单独用 算，得 ，恰好也是 ，所以通项对 同样成立。 第 3 步　 ◈ 通项 是「项数减一」，所以答案是 2024 而不是 2025——这类题目的干扰项往往就是 本身，代 之前先确认通项里的常数。 答　B 例 3-3 （2025届安徽省芜湖市高三二模数学试题 · 第15题） 【解答】已知数列的前n项和为，且，. （1）求的通项公式； （2）保持的各项顺序不变，在和之间插入k个1，使它们与数列的项组成一个新的数列，记的前n项和为，求. 【解析】 答　； 练习 3-1. 【单选】已知数列满足，，则的前6项和为（ ） A. B. C. D. 3-2. 【解答】在平面直角坐标系中，已知直线经过原点，是的方向向量．数列满足：点均在上，． （1）求的通项公式； （2）已知是以4为首项，2为公差的等差数列，若与的公共项为，的值由小到大构成数列，求的前项和． 3-3. 【解答】已知数列和满足． （1）求数列和的通项公式； （2）设数列的前项和为，求证：． 方法四　构造法求通项 八种常见的非齐次递推，各有固定的构造手法： ① （）：两边减不动点 ，构造等比数列 。 ② ：两边同除 （或 ），把 看成新数列，化归为 ①。 ③ ：两边取倒数，化归为 ①；若取倒数后不成，先做分式变形。 ④ （各项为正）：两边取对数，，化归为 ①。 ⑤ 这类：配方成 ，再取对数；或直接对 观察规律。 ⑥ （加项是 的一次式）：设 ，由 比较系数定出 、，即把 ① 的不动点换成一次式。 ⑦ 隔项型 ：相减得 ，奇偶两列各自成等差（或各自累加）；若 ，也可以凑 得等比。 ⑧ 二阶递推 ：看相邻两项之差 ，若 则 成等比（公比 ）；一般情形设 降成两个等比。 ★ 判据是「 与 的系数不同」——系数相同用累加累乘，系数不同用构造。构造出来的新数列一定是你熟悉的等差或等比，构造完立刻写「所以 是以…为首项、…为公比的等比数列」。 例题 例 4-1 （2025届山东省潍坊市高三模拟预测数学试题 · 第11题） 【多选】设函数，数列满足，，则（ ） A. B. 为定值 C. 数列为等比数列 D. 【解析】 第 1 步　 ◈ 分式线性递推的通法：把 写成 后，看「分子分母各加减一个常数」能不能把分母约掉。加减的那个常数不是试出来的——解不动点方程 ，本题的不动点是 ，所以正好加减 。 第 2 步　 ◈ 由等比关系反解通项时，先把 交叉相乘整理成，再化到 ——这个形式一眼就能看出 、且随 递减，判断 D 项时特别方便。 第 3 步　B 项： 不是定值 ◈ 这里容易想当然： 的分子分母对称，会误以为 就是与 无关的常数。实际上它等于 ，和 相加后是 的形式，随 变。 答　ACD 例 4-2 （2026届浙江省台州市椒江区等5地高三一模数学试题 · 第16题） 【解答】设数列满足. （1）证明：数列为等差数列； （2）设，求数列的最大项. 【解析】 第 1 步　 ◈ 看到递推式里的 （这里是 ），就用「两边同除以 」把它变成常数。本题同除的是 ，也就是同乘 ，效果是让左边自动拼出 ——题目的第（1）问其实已经把这个方向提示给你了。 第 2 步　 ◈ 指数型递推的最后一步，是把 这个整体解出来再除回去。顺便记住：凡通项形如 或 ，求最值都用比较相邻两项大小的办法，不要去求导。 第 3 步　 ◈ 比式的分母不要展开成三次式——先把公因子约掉再比，展开后得到的 是二次不等式，解出临界值 ，说明前两项递增、第三项最大。 答　（1）；（2）最大项为 例 4-3 （广东省清远市2025届高三教学质量检测（二）数学试题 · 第16题） 【解答】已知数列的首项为，且满足． （1）求证：是等比数列； （2）求数列的前项和． 【解析】 第 1 步　设 ，解得 ◈ 型的固定做法是「右端也跟着配一个 」，不要硬记结论。展开后与题设比较系数， 就出来了。本题 使公比是 ，所以通项里会出现 这样的正负交替项。 第 2 步　 ◈ 求出通项后一定要回代首项：，与题设一致。含 的通项最容易在首项上差一个负号，这一步不能省。 第 3 步　 ◈ 求和时把通项拆成两个数列分别求： 是等比， 是周期为 的数列。后者不能套等比公式，要用「前 项中 与 各多少」来算，结果 恰好自动分成奇偶两种情况。 答　（1）见解析；（2） 练习 4-1. 【单选】已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 4-2. 【填空】数列满足，则使得的最小正整数的值为__________. 4-3. 【多选】已知数列中，，，，其前项和为，则（ ） A. B. C. D. 4-4. 【多选】已知数列的首项，且满足，则（ ） A. 为等差数列 B. C. 数列为递增数列 D. 数列的前项和为 4-5. 【解答】已知数列的首项，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 4-6. 【解答】已知数列满足． （1）证明：数列为等差数列； （2）求数列的前项和． 4-7. 【解答】数列满足：，． （1）数列满足：，试判断是否是等比数列，并说明理由； （2）数列满足：，求数列的前项和． 4-8. 【单选】若数列满足，，则（ ） A. 155 B. 156 C. 203 D. 204 4-9. 【多选】如图，杨辉三角形中的对角线之和1，1，2，3，5，8，13，21，…构成的斐波那契数列经常在自然中神奇地出现，例如向日葵花序中央的管状花和种子从圆心向外，每一圈的数字就组成这个数列，等等.在量子力学中，粒子纠缠态、量子临界点研究也离不开这个数列.斐波那契数列的第一项和第二项都是1，第三项起每一项都等于它前两项的和，则（ ） A. B. C. D. 4-10. 【单选】数列满足，，给出下列四个结论： ①存在正整数，且，使得； ②存在，使得，，成等比数列； ③存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列； ④ 其中所有证确结论的是（ ） A. ②③ B. ③④ C. ①②④ D. ①③④ 4-11. 【多选】已知数列 满足 ，，设 的前 项和为 ，下列结论中正确的是（　　） A. B. 数列 是等比数列 C. D. 4-12. 【解答】已知数列 满足 ，，。（1）设 ，求证：数列 为等比数列；（2）求 的通项公式。 4-13. 【多选】数列满足，，，…，，依此类推，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. C. 若，则 D. 若，则 方法五　奇偶数列与周期数列 这类题的共同点是「整体处理不了」：要么通项按 的奇偶分段给出，要么递推式里带 使相邻两步的符号相反，要么迭代到某一步就开始循环。 奇偶型的三条路：① 分奇偶各写通项——把 与 看成两个新数列，分别判断等差、等比；② 递推含 时逐项算出前若干项；③ 求和按「相邻两项一组」配对， 为奇数时单独补最后一项。 周期型的判断：递推式只依赖前面有限项时，算出前若干项，一旦出现与前文相同的两项，后面必然重复，周期就定了。 周期型求值：设 （），则 ，（ 为一个周期内各项之和）；余数为 时对应的是 与 ，不是 。 ★ 见到 、分段递推或取整，先别急着变形——算 8~14 项看有没有周期，往往比硬求通项快得多。奇偶与周期的求和技巧另见中册「分组、并项与周期求和」一节。 例题 例 5-1 （宁波市2025-2026学年第二学期高考模拟考试 · 第8题） 【单选】数列 满足：，，（）， 为 的前 项和，则（　　） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　逐项算出前 项 ◈ 递推式里带 ，首项和公差之外的「通用通项公式」是不存在的，考试里遇到的这类题一律是周期数列。算出前 项是唯一可行的入口，不要试图先化简。 第 2 步　， 周期为 ◈ 判断周期的依据是「连续两项重复」而不是「一项重复」——因为递推式同时用到前两项，两项都对上，后面就完全照旧。这里 、，两项都吻合，才可以断定周期为 。 第 3 步　， ◈ 定位时余数 对应的是 ，不是 （周期从第 项开始计时）。求和则用「整周期的和 + 残余部分」：本题一个周期的和为 ，所以只需要算 。若余数为 ，对应的是第 项与 。 答　A 例 5-2 （浙江省温州市2024-2025学年高三下学期第二次适应性考试数学试题 · 第5题） 【单选】已知数列满足，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　往回推： 用第一段、 用第二段、 用第一段 ◈ 要点是「 的奇偶决定用哪一段」。因为 与 的奇偶必然相反，往回推时相邻两步一定交替使用两段——每一步都要重新确认 的奇偶，看错一次，后面所有范围都会跟着错。 第 2 步　 ◈ 区间端点也要跟着走一遍：本题两步都是「减 1」和「乘 2」这样的单调运算，所以端点直接代入即可；若某一步是「乘 」，端点就要互换，那时必须单独检查。 答　B 例 5-3 （山东省青岛市、淄博市2024-2025学年高三下学期第二次适应性检测数学试题 · 第10题） 【多选】记为数列的前项和，已知则（ ） A. 2025是数列中的项 B. 数列是公比为2的等比数列 C. D. 若，则数列的前项和小于 【解析】 第 1 步　奇数项 、偶数项 ◈ 奇偶分段的通项，第一步一定是换下标：把 与 分别代进去，得到两个只含 的新数列，再分别判断它们是等差还是等比。这一步写清楚，后面三个选项都是顺水推舟。 第 2 步　判「某数是否为项」：奇数项与偶数项要分别检验 ◈ 奇数项只取 的幂，偶数项取遍所有 的整数。 不是 的幂，所以只能走偶数项那条路；解出 后还要回头确认 是偶数，才算合法。 第 3 步　 项： 而不是 ◈ 下标每隔一项取一个， 增加了 而不是 ，所以公比是 而不是 。这是奇偶分段题最经典的陷阱。 答　ACD 练习 5-1. 【解答】记为数列的前项和，已知，，数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，若对任意，，求实数的取值范围. 5-2. 【解答】已知数列满足：（m为正整数），． （1）设数列的前n项和为，当时，求； （2）若，求m所有可能的取值集合M． 5-3. 【单选】已知数列的前项和，数列的前项和为，且，若不等式恒成立，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 5-4. 【多选】对于数列，设区间内偶数的个数为，则称数列为的“数列”，则（ ） A. 若数列是数列的“数列”，则 B. 若数列是数列的“数列”，则是常数列 C. 若数列是数列的“数列”，则是等比数列 D. 若数列是数列的“数列”，则数列的前项的和为 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数列的方法体系（上） 通项篇 · 从题型到方法的完整梳理 一、知识点梳理 知识点一　等差、等比数列的公式与性质 数列本质是定义域为正整数集（或其子集）的函数：通项 ，前 项和 。等差、等比的一切计算都归结到基本量——、（或 ）、、、，五个量知三求二。 等差：定义 ；通项 ，广义通项 ；前 项和 。 等比：定义 （，）；通项 ，广义通项 ；前 项和 时 ， 时 。后一个写法用 表示， 已知时更好用。 下标和定理：等差中 （特别地 时 ，即等差中项）；等比中 。这条在只给「某几项之和」的题里省一步，不必先求 和 。 片段和：等差中 、、 仍成等差，公差为 ；等比中这三个片段和成等比，公比为 （要求 ）。 ★ 的形态可以反判数列：（常数项为 ） 等差； 等比。判断时先看有没有常数项。 ★ 点 共线也说明是等差数列： 是关于 的一次式，斜率 、截距 。 ⚠ 等比数列求前 项和必须先讨论 。题目只说「等比数列」，没有排除 ；漏讨论是这一节最高频的失分点。具体做法：条件里只要出现 与 的等式（尤其是比值 ），就把 代进去先算一遍，看它是否成立、是否与「正项」「公比为整数」等条件冲突；不成立或冲突才走 的公式。走 时若解出 或 ，还要回头说明它被哪种条件排除——把「已讨论」或「与正项矛盾」写出来，卷面上才拿得到这一步的分。 ★ 判定一个数列是不是等差（等比），优先用定义法：直接算 （或 ）看是不是常数。中项法（）适合递推式里含三项的场合；通项法（ 是 的一次式）和 法适合已知表达式反判的题。 知识点二　 与 的互化 这条公式是数列部分出现频率最高的一条，必须分段写： 用 求出的通项必须回代 检验：与 吻合就合并成一段，不吻合就保留分段形式。漏掉这一步是最典型的失分点，也是阅卷的给分点。 反向操作（由 求 ）：把 与 的关系式中的 换成 再作差，消去 得到 的一阶递推，然后归到方法三、方法四去处理。 由 的形态反求： 是关于 的二次式且常数项为 等差，此时 ； 等比。 还有一类「平方混合型」：条件里 与 同时出现，如 。它比线性互化多一步——作差之后得到的式子里 与 要因式分解，所以作差是唯一的路，绕不开。 做法： 时作差，把 与 都换成右端的表达式，得 移项并提取公因式 ： 再由题设「各项为正」（或「递增」）得 ，所以只能有 ，即 是公差为 的等差数列；首项由 时的原始条件单独定出。 ⚠ 舍去 这一支必须说清依据——题目给了「正项」才能舍。若条件里没有正项，就要把两支都带回原式检验，看哪一支与首项相容。 ⚠ 作差时容易漏掉 的前提，也容易把 通项直接当成全部项。卷面上要写「当 时……」，再写「又 符合（或不符合）上式」，两句话都不能少。 ★ 见到「」「前 项和」两个词，第一反应就是写那条分段公式。若条件里 与 同时出现且次数相同（如 ），一定是「作差消 」的路子。 知识点三　累加法与累乘法 这两个手法处理的是「系数相同」的递推——等号一侧只有 ，另一侧是 加上（或乘以）一个只含 的式子。 累加法：。把 个等式纵向排列后相加，左边全部抵消，得 注意求和上限是 而不是 ：从 走到 一共用了 步。 累乘法：。同理相乘， 累乘法常见于分式递推： 时可写 ，再逐项约分。 ★ 判据：出现系数不是 的情形（如 ）就不能用累加累乘，必须换方法四的构造法。 ⚠ 两种手法求出的 都要验 ：求和、求积都从 到 ， 时是空的，需要单独核对。 ★ 把递推式写成 或 的形式，右侧只含 、不含 是能累加累乘的标志。看到这个形状就别犹豫。 知识点四　构造法求通项的八个模型 非齐次递推（ 与 的系数不同）有八种常见形状，每种有固定的构造手法。 ① （，）：解不动点 得 ，两边同减 ，得 ，即 是公比为 的等比数列。 ② ：两边同除以 ，得 ，令 就化归成 ①。若同除后不成，试同除 。 ③ ：两边取倒数，，整理后一般化归成 ①。若 （分子分母一次项系数相同），取倒数后直接是等差。 ④ （各项为正）：两边取对数，，令 化归成 ①。 ⑤ 平方型（如 ）：配方成 ，再取对数；若形如 则取倒数后观察。 ⑥ （，加项是 的一次式）：设 ，由 展开比较 的系数与常数项，得 、，于是 是公比为 的等比数列。① 的不动点是常数，这里只是把不动点换成了 的一次式。 ⑦ 隔项型 （ 与 同号相加），有两条路可走。 一是把递推式里的 换成 后与原式相减，消去 ，得 。这说明奇数项、偶数项各自成等差（或各自能累加），分奇偶两路求通项。 二是当 （纯指数）时，设 ，展开后与原式比较系数，得 ，于是 是公比为 的等比数列，一步就拿到通项。 ⑧ 二阶线性递推 ：记 ，则 。若 ，这一式化为 ，即 是公比为 （也就是 ）的等比数列，求出 后再累加就得到 。 一般情形：设 ，展开比较系数得 、，解出 、 就把二阶递推降成两个等比数列。（斐波那契型 即 、，此时 、。） ⚠ 构造完一定要写清楚「 是以谁为首项、以谁为公比的等比数列」——这是给分点，也是后面求通项的依据。别只写一个变形后的式子。 ★ 判断用哪一种，看递推式的形状：加项是常数 → ①；加项是 的一次式 → ⑥；含 的加项 → ②；分式 → ③；幂（）→ ④；平方项 → ⑤； 与 同号相加 → ⑦；由前两项共同决定下一项 → ⑧。构造法的工具箱就这八种；奇偶分段型与迭代成周期型另有专门套路，见方法五。 知识点五　奇偶数列与周期数列 有一类数列整体处理不了：通项按 的奇偶分段，或者递推式里带 。这时要分奇偶各写一套。 常见三种形态：① 通项分段，如奇数项 、偶数项 ——把 与 各自看成一个新数列，分别判断它们是等差还是等比；② 递推式含 ，如 ，相邻两步符号相反；③ 递推式本来就在 的奇偶上分段给出，往回推时每一步都要重新确认 的奇偶。 ★ 换下标是奇偶分段题的第一步： 中 ，即 ； 中 。这两个式子写错，后面整题都会偏。 奇偶分段型求前 项和，按「两项一组」配对： 若存在正整数 使 对一切 成立，就称 为周期数列。 识别周期的方法：递推式只依赖前面有限项时，先算出前若干项，一旦出现与前文相同的两项，后面的项必然照旧，周期就确定了。 周期型求值：设 （），则 ；若一个周期内各项之和为 ，则 。 ⚠ 两个易错点：一是周期可能从第几项才开始，前几项未必落在周期内，定位时要数清楚；二是余数算成 时应取第 项与 ，不是第 项。 ★ 见到 、、、取整或分段递推，先算 8~14 项看有没有周期，往往比硬求通项快。奇偶与周期的求和技巧见中册「分组、并项与周期求和」一节。 二、方法突破 方法一　等差、等比的基本量与性质 等差、等比数列的一切计算都归结到「基本量」：、（或 ）、、、，五个量知三求二。先把条件翻译成基本量的方程，再解。 通项有两个写法，要分清： 与广义通项 。后者在只给「某两项」的题里省一步，不必先求出 。 性质清单（等差）：下标和定理 ；片段和 、、 仍成等差，公差 。等比数列的下标和定理同样成立（），但片段和是等比。 的形态可以反判数列：（无常数项） 等差； 等比。这条常用来快速排除选项。 ★ 等比数列的题先讨论 与 两种情况，这是最高频的失分点。题目只说「等比数列」，没有说 。 例题 例 1-1 （张家口市2026届高三下学期一模 · 第6题） 【单选】已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，，则 （　　） A. B. C. D. 【解析】 条件只给了两个「前若干项的和」，没有给首项和公差，把每一项展开是绕远路。等差数列有一条更直接的性质：把前 项依次切成等长的若干段， 这些片段和仍然构成等差数列。 于是 、、 三项成等差。设 ，中项的两倍等于两端之和： 展开得 ，即 ， 第 1 步　 成等差数列 ◈ 看到「 与 」这种成倍数关系的下标，先想片段和性质，不要急着设首项和公差。来由：每个片段都含 项，而等差每往后 项，对应项都多 。 答　A 例 1-2 （温州市普通高中2026届高三第二次适应性考试 · 第5题） 【单选】已知正项等比数列 中，，，则 （　　） A. B. C. D. 【解析】 等比数列的两个条件都是「同下标差」的形式，相除能把 消掉。 由 得 ；由 得 。两式相除： 去分母得 ，解得 题目说「正项」，所以 且 。代回 检验： 时 ，得 ，保留； 时 ，得 ，舍去。 所以 、， 第 1 步　 ◈ 等比数列里出现 的结构，先约分再解方程。 与 是可约的，别直接上求根公式。 第 2 步　 或 ，用 的符号舍去后者 ◈ 解出两个正根时，「正项」条件本身不足以判断——要代回原式看 的符号。这一步是本题的给分点。 答　D 例 1-3 （金华十校2026届高三下学期4月模拟考试 · 第9题） 【多选】已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，且 ，，则（　　） A. B. C. D. 【解析】 条件 用下标和定理换成中项最省事： 于是 。再由 ： A 正确，B 错误。 再看 C。， 而 ，两者相等，不是 ，C 错误。 最后看 D。， D 正确。 第 1 步　，先定中项 ◈ 下标和定理把「两项之和」化成「中项的两倍」，比设出 、 再解方程组快一步。凡条件里出现下标和为偶数的两项之和，都先试这一条。 第 2 步　，用首尾配对求和 ◈ 求 优先用 ，而不是 ：前者只要首项与末项，本题里这两个量都已经算出来了。 答　AD 例 1-4 （吉安市2026届高三下学期3月模拟考试 · 第13题） 【填空】设等差数列 的前 项和为 ，若 ，，则 的最大值为__________. 【解析】 两个条件都先化成基本量。注意 的下标和为 ，是偶数，可以用中项： 于是 。再由 ，而 ： 代回得 。 现在求 的最大值，先把 写成 的二次函数： 开口向下，对称轴在 不是整数，最大值在离它最近的两个整数点之一取到，两点都要算： 所以最大值为 。 第 1 步　，先定出 ◈ 把下标和为偶数的两项先用中项合并，能少设一个未知量。本题里 直接定出 ， 才是真正要解的方程。 第 2 步　，顶点 ，比较 与 ◈ 二次函数的对称轴不是整数时，最大值一定在紧邻的两个整数点上，两个都要代入算一遍——凭四舍五入猜一个是最常见的错误。 答　 例 1-5 （河南省豫西北教研联盟2025-2026学年高三上学期第一次质量检测数学试题 · 第16题） 【解答】已知公差不为0的等差数列的前项和为，且依次成等比数列. （1）求的通项公式； （2）对于任意，求实数的取值范围. 【解析】 （1）两个条件都用基本量 表示。先看 ： 再看「 依次成等比」。三个下标 不成等差，所以不能用下标和定理，只能写成等比中项的形式： 两边展开：，整理得 ，即 。因为公差 ，舍去 ，得 。 代入 ：，得 ，。于是 （2） 对一切正整数 成立，即 对一切 成立，所以 不小于 的最大值。 记 ，先把前几项算出来：，，，，。峰值看起来在 。 再确认 之后单调递减。比较相邻两项： 由 得 所以 时 递减，最大值确实是 。故 第 1 步　 ◈ 「 依次成等比」翻译成等式就是 ：中间那一项的平方等于左右两项之积。注意三个下标 并不成等差，所以这里用不了下标和定理，只能老老实实展开成 与 的方程。 第 2 步　，由 得 ◈ 展开后一定出现 ，并且能提出公因式 ——一正一负的根意味着「舍根」是这道题设计的必然一步。题目特意强调「公差不为 」，就是提示你把 舍掉；漏了这句话， 就定不下来。 第 3 步　 对一切 成立 ◈ 恒成立问题的标准转化。求「多项式除指数」型的最值不要上导数：先算前几项找峰值，再用 确认峰值之后单调递减。本题峰值在 （），比 和 都大。 答　（1）；（2） 练习 1-1. 【单选】已知等比数列的公比为，则“”是“是递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析　答：B 判断充要条件，先把「递增」翻译成基本量的条件。等比数列 递增，等价于 整理成两句话： 时要求 ； 时要求 。两种情形下 都成立，所以「递增」能推出「」。 反过来， 推不出递增：取 、，数列递减；取 、，数列也是递减的。 所以「」是「递增」的必要不充分条件。 1-2. 【单选】设等比数列的前n项和为，若，，则（ ） A. B. 7 C. 63 D. 7或63 解析　答：B 两个条件都是「前若干项之和」，先用等比数列片段和的性质。、、 成等比数列。 设 ，则 ，。由等比中项： 展开得 ，即 ，解得 两个根都符合「片段和成等比」，还要用 的具体表达式筛掉一个。记 ，由 得 两式相除消去 ：，即 而 ，所以 ，代回得 （ 对应的是 ， 不可能为负，舍去。） 1-3. 【单选】已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则正整数的值为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 解析　答：B 两边都化成「中项」，避免出现首项和公差。 用首尾配对：，而 ，所以 右边 ，条件化为 设公差为 ，把每一项都用 与 表示： 展开：。公差 ，两边约去 ： 1-4. 【单选】《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“分钱问题”：现有5个人分5钱，5人分得钱数依次成等差数列，前两人分得钱数之和等于后三人分得钱数之和，则分得钱数最少的一人钱数为（ ） A. B. C. D. 解析　答：C 把「钱数依次成等差数列」翻译成数学条件：设五人依次得 ，公差为 。 总共 钱： 「前两人之和等于后三人之和」： 代入 ：，得 ，。 公差为负说明数列递减，所以最少的一人是最后一项 ： 1-5. 【多选】分别是等差数列的前项和，则（ ） A. 是等差数列 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 解析　答：AC A 项：两个等差数列的线性组合仍是等差数列（ 是常数），正确。 C、D 两项都要先从 把两个数列定出来。 与 都是「二次式且无常数项」，所以可设 于是 、，两者都是等差数列。 所以 ，， B 项说 ，错误。 又 ， C 项正确。 D 项：等差数列的片段和 、、 成等差。、，故 D 项说 ，错误。 1-6. 【多选】已知是等差数列的前n项和，，，则（ ） A. B. C. 当或时，取最大值 D. 的最小值为0 解析　答：BC 先由 定公差。 再由 得 ，所以 。 A 项：，错误。 B 项：，正确。 C 项：把 写成二次函数， 开口向下，对称轴 ，所以 或 时取最大值，正确。 D 项：开口向下的二次函数在 充分大以后会变成负数，例如 ，所以 没有最小值，更不可能是 ，错误。 1-7. 【填空】已知等差数列各项不为零，前n项和为，若，则_______． 解析　答： 条件 对一切正整数 成立，把 、 两式写出来就够用了。 ：，而 ，各项不为零，两边约去 得 ：，即 。代入 ： 另一方面 ，与上式比较得 ，即 ，于是 。 所以 1-8. 【单选】已知等差数列的公差，，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析　答：B 先用条件把 与 的关系找出来。由 ： 所以题目就是求 （）的最小值。由基本不等式 取等当 ，即 （满足 ），此时 。所以最小值为 。 1-9. 【单选】等比数列中的，是函数的极值点，，则（ ） A. 1 B. C. D. 解析　答：A 条件说 、 是 的极值点，所以先求导找驻点。按乘积的求导法则： 因为 恒成立，令 就只需解 ，得 或 。 （两者都是极值点： 处导数由正变负， 处由负变正。） 所以 ，条件「」说明就是一个 一个 ，不会相等。由等比中项： 于是 ，选 A。 （注意这里不需要知道 和 谁在前—— 与顺序无关，所以「」这个条件只是排除两边相等的退化情形。） 1-10. 【单选】已知各项均为整数的数列中，，，前10项依次成等差数列，从第9项起依次成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 解析　答：B 题设把数列分成两段描述：前 10 项成等差数列，从第 9 项起成等比数列。关键在于第 9、10 两项同时落在两段里，它们必须能对得上，这也正是把公差和公比同时定下来的入口。 先看等差数列。已知 、，两者相差 3 项，所以 于是 ，。（核对：，一致。） 再看等比数列。它从第 9 项开始，所以 、 就是它的首项与第二项，公比 两段在 处正好衔接（ 既满足 ，也满足 ），所以第 项（）为 题设「各项均为整数」也成立：等差段都是整数，等比段 也是整数。 求 要用等比段（）： 选 B。 1-11. 【单选】已知等比数列 的首项为 ，前 项和为 ，若 ，则 （　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 解析　答：B 条件是「等比数列」加「 与 的比值」，第一步必须分 与 讨论——因为求和公式 本身就要求 ，直接套用会漏掉 的情形。 ① 若 ：数列是常数列 ，，，比值 ，条件确实成立。此时 。 ② 若 ：注意 ，所以 即 。令 ，得 ，解得 或 。 就是 ，对应 ——这正是①已讨论过的情形，舍去； 时 ，所以 （不必真的解出 。由 求 要开三次方，而题目只要 ，直接由 就得到了。） 两种情况合并： 或 ，选 B。 1-12. 【解答】记正项等比数列 前 项和为 ，已知 ．（1）求 的公比；（2）若 ，数列 的前 项和为 ，正整数 满足 ，求 ． 解析　答：（1）；（2） （1）条件 里全是 ，同样分 与 。 ① 若 ：，，，代入得 这与「正项等比数列」矛盾，舍去。 ② 若 ：把 代入，两边约去 与 ： 整理得 ，提公因式： 所以 或 。题目说「正项等比」，即 ，所以 、 都要舍去；再排除 （已在①讨论），只剩 （2）由 、 得 ，所以 ，即 是首项 、公差 的等差数列， 把 展开： 两边乘 ：，即 ， 所以 或 。题设要求正整数，取 。 （检验：，而 ，吻合。） 1-13. 【多选】已知等比数列 的公比为 ，。若 ，，则下列说法正确的有（　　） A. B. C. D. 解析　答：ABC 题给的是前 项之积，不是前 项和，但处理思路一样：把积凑成同一个因式的幂。 等比数列中与首末等距的两项之积相等， 于是六项之积可以配成三对： 由 得 ，又 ，故 ， A 正确。 ，B 正确。 ，C 正确。 ，，D 错误。 选 ABC。 等比数列的前 项积有一般公式 ，把 、 代进去也能解；但本题用「凑成 」更快，也不必先求出 。 1-14. 【多选】设等差数列 的前 项和为 ，设 ，，在同一个坐标系中，、 的图象如图所示，则下列推断正确的是（　　） A. B. C. D. 解析　答：BC 这一类题先把图读成数据点。横轴是 ：实点落在 、 上，给出 （即 ）；虚点落在 上，给出 （即 ）。于是 由 ， 所以 ， A：，错误。 B：，正确。 C： 的二次项系数为负，图象开口向下，对称轴 。比较轴两侧的整数点： 所以最大值在 取得， 恒成立，正确。 D：，而 ，即 时不满足 ，错误。 选 BC。 1-15. 【多选】设5个正实数组成公差大于0的等差数列，记其首项为a，公差为d，且这5个数中有3个数组成等比数列，则的值可能为（ ） A. B. C. 1 D. 2 解析　答：BC 5 个数成等差，能否凑出等比的 3 个，只与它们在数列里的「位置」有关。设 5 个数为 （）。 把每个数都除以 ，记 ，5 个数就简化为 ，要求的 就是 ——少设一个字母，运算量小一半。 设成等比的三项在数列中的位置是第 项，由等比中项： 展开并消去两边的 ，整理成关于 的一次方程： 若 成等差（即 ），左边为 ，而右边 ，矛盾。所以位置的序号成等差的那些组合，一律不可能——这一条先排掉 4 组。 剩下的 6 组逐个代入上式算 ： 后面四组给出的 都不是正数，与「正实数」矛盾，舍去。（ 时 ，同样不合。） 所以 可能是 或 ，选 BC。 方法二　 与 的互化 核心公式只有一条，但必须分段写：。 用 求出的通项必须回代 检验：吻合就合并成一段，不吻合就保留分段形式——漏掉这一步是最典型的失分。 反向操作：已知 与 、 的线性关系，一律把 换成 再作差，消去 得到 的一阶递推，然后归到方法三、四去处理。 同一道题里 同时含 与 时，先判断「谁是变量」：若 的表达式只含 ，直接作差；若含 ，作差后再解递推。 ★ 见到「」「前 项和」两个词，第一反应就是写那条分段公式，并把回代检验写在卷面上——阅卷时这一步是给分点。 例题 例 2-1 （烟台市2026届高三第一次诊断考试 · 第6题） 【单选】已知数列 的前 项和记为 ，若 ，则 （　　） A. B. C. D. 【解析】 条件里 与 同时出现、且都是一次，属于「作差消 」的类型。先把 单独拿出来： 当 时，把 换成 再与原式相减： 移项得 ，所以 是首项为 、公比为 的等比数列， 代回检验 ：，吻合，通项不必分段。 最后由等比求和公式 第 1 步　 时单独求 ： ◈ 凡条件里 与 同时出现，第一句话永远是「 时」——因为作差得到的递推只在 成立。 第 2 步　 ◈ 把 也移到同一边，才能看出这是等比。很多同学在这里把 留在右边直接约掉，结果 的系数算错。 答　C 例 2-2 （赣州市2025-2026学年高三下学期摸底考试 · 第6题） 【单选】已知数列 的前 项和为 ，满足 ，。在数列 中，，且 ，设 为数列 的前 项和，则 （　　） A. B. C. D. 【解析】 第一步：由 求 。作差时把 换成 ：，两式相减 即 （），用累乘法： 再由 定 ：，得 ，所以 第二步：由积式求 。把 中的 换成 ： 两式相除得 所以 （，验证 吻合）。 第三步：等比求和， 第 1 步　 作差得 ◈ 系数里带 时，作差后一定要把两个含 的项合并：右侧的 减去左侧的 才是 。漏了这一步就得不到 。 第 2 步　积式两边作商： ◈ 已知的是「前 项之积」，要单独得到 ，就用「前 项之积 ÷ 前 项之积」。这是处理连乘条件唯一的办法。 答　B 例 2-3 （黄冈中学等十一校2026届高三第二次联考 · 第13题） 【填空】已知数列 的前 项和为 ，且 ，，则 __________. 【解析】 条件里出现根号，先把根号下看成一个整体。令 （），则条件化为 所以 是公比为 的等比数列。由 得 ，故 再由 （）： 回代检验 ：，不吻合，所以通项要分段写： 第 1 步　令 ，条件化为 ◈ 根号型的 条件，一律先换元把根号消掉，换元后往往就是一个普通的等比数列。这是「化归」最典型的一步。 第 2 步　，回代 发现不吻合，保留分段 ◈ 本题最容易丢分的地方： 而公式给出 。凡是用 求出的通项，都必须回代 检验，不吻合就老老实实写成分段形式。 答　 练习 2-1. 【单选】已知为数列的前n项和，且，若对任意正整数n恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 解析　答：D 先用 求出通项。 时 ，得 ； 时作差得 ，即 ，所以 （验证 ： 吻合。） 把 代入不等式 ，即 要对任意正整数 恒成立，只需求 的最大值。逐项比较： 从 起单调递减（也可由 说明），所以最大值为 ， 2-2. 【解答】已知数列的前项和为，满足. （1）证明：数列是等比数列； （2）记数列的前项和为，求满足的最小正整数的值. 解析　答：（1） （1）由 ，把 换成 得 ，两式相减（）： 两边同减 ：，即 所以 是等比数列。又 时 ，得 ，故首项 、公比 ， （2）先化简通项： 于是 解 即 。试 ：；：。所以最小正整数 。 2-3. 【填空】已知数列的前项和为，且满足，则__________ 解析　答： 条件里是根号之差为常数，令 ，条件化为 所以 是公差为 的等差数列。由 得 ，故 再由 （）： 回代 ：，吻合，通项不分段。 所以 。 2-4. 【多选】设是数列的前n项和，且，，则（ ） A. B. 数列是公差为的等差数列 C. 数列的前5项和最大 D. 解析　答：AC 条件 左右都含 ，用 换掉左边的 ： 两边同除 （各项非零）： A 项： 时 ，代入 ： 由 得 ，正确。 B 项：公差是 而不是 ，错误。 C 项：， 时为正、 时为负，所以前 项和最大，正确。 D 项：由 得（） 但代 得 ，说明这个公式只对 成立。选项 D 没有声明 ，按「对一切正整数 成立」理解就是错的。 2-5. 【多选】已知数列的前项和为，若，且都有，则（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等比数列 C. D. 数列的前10项和为56 解析　答：AD 条件 对 成立，而 ，所以 逐项算出： 时 ，而 ，得 ； 时 ，得 。 于是 、、、，归纳得 A 项： 是首项 、公比 的等比数列，正确。 B 项：、，比值 ；而 ，，所以 不是等比数列，错误。 C 项：，不是 ，错误。 D 项： 时 ； 时 ，。前 项和 正确。 2-6. 【填空】已知为数列的前项和，，，则的通项公式为______；令，则______． 解析　答：①. ②. 先把 整理成 。 时给出 ，吻合。 时把 换成 ：，与上式相减： 后面两项化简易算：，所以 于是 是首项 、公差 的等差数列， 第二空：，所以 所求式为交错和： 这是首项 、公比 的等比数列求和： 2-7. 【单选】设数列的前项和为，且，则满足时，的最小值为（ ） A. 49 B. 50 C. 99 D. 100 解析　答：D 条件 里 与 同时出现，用 把 消掉，全部化成 的递推。 时 ，所以 ，得 。 时把 代回原式： 这个式子左右两端的项可以配成同一个量在相邻两处的值： 与 形式上完全一致，令 ，则 所以 是公差为 的等差数列，，即 ， （代回检验：，成立。） 解 ： 所以最小正整数 ，选 D。 2-8. 【单选】已知数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 解析　答：D 条件 说明「每一项等于它前面所有项之和」，而右边的和正是 ，所以 逐项递推： 于是 、、、、。逐项检验： A 项 ，错；B 项 ，错；C 项 ，错；D 项 ，正确。 2-9. 【解答】已知数列和满足，，且，． （1）求数列和的通项公式； （2）求的值.（其中表示不大于的最大整数，如） 解析　答：（1），；（2） （1）两个数列各给一个条件，先处理更好下手的 。由 两边加 ： 所以 是公比为 、首项 的等比数列， 再看那个和式条件。它形如 ，左边是「前 项的和」、右边是 的表达式，这正是「由和求项」的模型。记 时把 与 相减： 右边先整理：，所以 又 ，两边同除 得 （）。 再验 ：此时 ，而右边为 ，所以 ，恰好也等于 ，可以合并成一段。 故 ，。 （2）由 ，要求 的整数部分。这个和算不出精确值，用「分母有理化」型放缩把它夹住。 上界： 时 （因为 。）对 求和，右边逐项相消，只剩首尾： 再加上 的那一项 ，得 下界： 时同理有 （右边 。）对 求和： （。） 所以 ，整数部分为 。 2-10. 【解答】在①；②；③这三个条件中，请选择一个合适的条件，补充在下题横线上（只要写序号），并解答该题． 已知数列的各项均为正数，其前项和为，且对任意正整数，有______． （1）求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：． 解析　答：（1）；（2）见解析 三个条件只能选一个，所以先把每个条件都试一遍，看哪个与「各项均为正数」相容、又能顺利求出通项。 条件① ：取 得 ，与题设「各项均为正数」矛盾，所以①不能用。 条件② ，。注意 本身就是一个平方差： 与题设对照，两边约去 （各项为正，这个因子不为 ），得 所以 是首项 、公差 的等差数列，，即 。 于是 时 又 ，所以 。条件②可用。 条件③ ：先取 ，，即 ，得 。一般地把 代进去： 各项为正，开方得 ，仍是 ，同样得到 。条件③也可用。 所以填②或③都可以，通项都是 、。 （2）由 、 得 分子 恰好是分母两个平方数之差： 所以 这是裂项的形式，逐项相加，中间的全部抵消，只剩首尾两项： 因为 ，所以 。 （ 随 增大而增大， 时取到下界 ，上界 取不到。） 2-11. 【解答】数列是递增数列，其前项和为，且． （1）求； （2）记，数列满足：，数列的前项积与前项和分别记为．证明： ①； ②． 解析　答：（1）， （1）条件里 与 同时出现，是「平方混合型」，第一步照旧作差消 ，但作差之后要配方。 ：，整理得 ，即 ，。 时把 代入： 两边乘 并移项： 两边都添上 ，左边凑成完全平方： 于是 或 。题设说数列「递增」，即 ；若取第二式则 ，由 归纳可得 为常数列，与递增矛盾，舍去。 所以 ， 是首项 、公差 的等差数列， （2）① 由 得 两边除以 ，得到把「积」转化为「裂项」的关键一步： 把 换成 全部相乘——所求的 正是前 项积： （中间的 上下相消，只剩首尾两个。） ② 把同一个裂项式对 求和： 所以 （这里用了 ，故 。） 2-12. 【解答】已知数列的前项和满足为常数，且. （1）求的值； （2）证明：为等差数列； （3）若，求的取值范围. 解析　答：（1）；（2）见解析；（3） （1）条件 里 与 同时出现，先用 、 代入，把 定出来。 ：，等式化为 ，对任何 都成立，这一代定不了 ，只能印证条件与 相容。 ：。又 ，代入得 （2）把 代回条件：，即 把 换成 （）： 两式相减，左端就是 ： 注意两个常数项可以合并（它们都是 的倍数）： 而 ，代入得 。于是 时 ，两边约去： 所以 是公差为 的等差数列。 （这一步也可以用另一个写法：把 整理成 ，效果相同。） （3）由 得 条件 即 三边同除以 （，不等号方向不变）： 左端：。右端：，要对一切正整数 成立，右端随 增大而减小，最紧的是 ，得 。 所以 。 方法三　累加法与累乘法 累加法：，则 。把 个等式纵向排列相加，中间是等差数列的一个片段。 累乘法：，则 。 两种手法成立的前提是「 与 的系数完全相同」（都是 ）。一旦出现系数不是 （如 ），就必须改用构造法。 求出的 要验 ：累加、累乘的求和与求积都从 到 ， 时是空的，需要单独核对。 ★ 触发信号是递推式的形状：等号一侧只有 ，另一侧是 加上（或乘以）一个只含 的式子。看到这个形状就直接累加或累乘。 例题 例 3-1 （金华十校2026届高三下学期4月模拟考试 · 第13题） 【填空】数列 中，，，记数列 的前 项和为 ，则 __________. 【解析】 递推式 里 与 的系数不同，但可以整理成「比值只含 」的形式。两边同除 ： 右边只含 、不含 ，所以用累乘法求通项： 分子分母逐项约去，只剩分母最末的两个因数 2 在分子上、 与 在分母上（注意分子中的 与分母中的 约掉了，剩下的 不影响）： （回代 ：，吻合。） 再求前 项和。 是标准的分式裂项： 所以 取 ： 第 1 步　，右边只含 ◈ 判断能不能累乘，就看整理后比值是不是「只含 、不含 」。本题把 两边同除 就得到这个形状。 第 2 步　 ◈ 累乘的连乘式要「错开两位」约分：分子是 到 、分母是 到 ，约完后分母剩 与 、分子剩 。写不出结果就先把两串因数上下对齐写出来。 第 3 步　 ◈ 通项一出现 ，就是裂项相消的固定套路——两部分工具（累乘求通项 + 裂项求和）在同一题里连着用，这是本节最典型的组合。 答　 例 3-2 （浙江省宁波市2024－2025学年高三下学期高考模拟考试数学试卷 · 第5题） 【单选】已知数列中，，记为的前项和，，则的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【解析】 条件 里 与 同时出现，先作差把它们统一成 。 时把 换成 ：，与原式相减： 所以 时 ，右边只含 ，用累乘： 由 得 （）。再看 ： 得 ，恰好等于 ，所以对一切正整数 都有 。 第 1 步　 ◈ 与 同时出现在一个式子里，第一步一定是「把 换成 再作差」（），把 全部消掉。注意作差后 的系数是 ， 时系数为 ，所以递推只能从 用起——题目给出 正是为了补上这个起点。 第 2 步　 ◈ 累乘的对象是 ，分子分母错开一位，约完只剩 。累乘完必须回代首项：这里 要单独用 算，得 ，恰好也是 ，所以通项对 同样成立。 第 3 步　 ◈ 通项 是「项数减一」，所以答案是 2024 而不是 2025——这类题目的干扰项往往就是 本身，代 之前先确认通项里的常数。 答　B 例 3-3 （2025届安徽省芜湖市高三二模数学试题 · 第15题） 【解答】已知数列的前n项和为，且，. （1）求的通项公式； （2）保持的各项顺序不变，在和之间插入k个1，使它们与数列的项组成一个新的数列，记的前n项和为，求. 【解析】 （1） 型已经见过，这里换一种：。 时把 换成 ：，两式相减： 这是等比数列（ 成立）。再由 定首项：，而 也吻合，所以从 起就是公比为 的等比数列， （2）新数列的构成： 之间依次插入 个 。数一数前 项走到哪里：前 个 加上插入的 共 所以 恰好是 ，前 项里包含 到 与 组共 个 。 答　； 练习 3-1. 【单选】已知数列满足，，则的前6项和为（ ） A. B. C. D. 解析　答：C 递推式是「比值只含 」的形状，直接用累乘： 再求和，裂项相消： 3-2. 【解答】在平面直角坐标系中，已知直线经过原点，是的方向向量．数列满足：点均在上，． （1）求的通项公式； （2）已知是以4为首项，2为公差的等差数列，若与的公共项为，的值由小到大构成数列，求的前项和． 解析　答：（1） （1）直线 过原点、方向向量 ，所以 的斜率是 ，方程 。点 在 上，所以 是公比为 的等比数列。条件 给出 （2）。求公共项即解 ，即 。逐项列出 ：得 （舍，）、、、，所以 （）。 3-3. 【解答】已知数列和满足． （1）求数列和的通项公式； （2）设数列的前项和为，求证：． 解析　答：（1）； （1）递推式 两头都带系数，硬凑不成等比，但两边同除 就露出累加的形状。 记 ，条件就是 ，而右端的 正好可以裂项： 把 的各式相加（累加法）： 由 得 ，于是 再看 ：条件给的是「前 项和」的形式，照例把 换成 作差。 ：。 时 时 也吻合，所以 （2） 是「等差乘等比」的形状，用错位相减。 记 两边乘公比 ，并把每一项都往后错一格对齐： 两式相减，同一列上分母相同的两项相减，差分都是 ： 中间那一段共 项、首项 、公比 ，和为 。所以 由于 对一切正整数 成立，所以 。 （取 验算：，而 ，吻合。） 方法四　构造法求通项 八种常见的非齐次递推，各有固定的构造手法： ① （）：两边减不动点 ，构造等比数列 。 ② ：两边同除 （或 ），把 看成新数列，化归为 ①。 ③ ：两边取倒数，化归为 ①；若取倒数后不成，先做分式变形。 ④ （各项为正）：两边取对数，，化归为 ①。 ⑤ 这类：配方成 ，再取对数；或直接对 观察规律。 ⑥ （加项是 的一次式）：设 ，由 比较系数定出 、，即把 ① 的不动点换成一次式。 ⑦ 隔项型 ：相减得 ，奇偶两列各自成等差（或各自累加）；若 ，也可以凑 得等比。 ⑧ 二阶递推 ：看相邻两项之差 ，若 则 成等比（公比 ）；一般情形设 降成两个等比。 ★ 判据是「 与 的系数不同」——系数相同用累加累乘，系数不同用构造。构造出来的新数列一定是你熟悉的等差或等比，构造完立刻写「所以 是以…为首项、…为公比的等比数列」。 例题 例 4-1 （2025届山东省潍坊市高三模拟预测数学试题 · 第11题） 【多选】设函数，数列满足，，则（ ） A. B. 为定值 C. 数列为等比数列 D. 【解析】 递推式是分式 ，直接迭代算不下去，要把「分子分母都是 的一次式」这个结构利用起来。办法是把 的分子分母同时加减同一个数，看能不能约掉。注意到系数 与 关于对角线对称，先试加减 ： 两式相除，共同的分母 约掉，只剩一个只含 的比： 所以 是等比数列，公比 ，首项 ，于是 逐项验证。A：，A 正确。 B：把 代进去，，所以 ，随 变化（ 时为 ， 时为别值），不是定值，B 错误。 C：由上面的等比关系直接成立，C 正确。 D： 即 ，即 ，即 ，对一切 成立，D 正确。 第 1 步　 ◈ 分式线性递推的通法：把 写成 后，看「分子分母各加减一个常数」能不能把分母约掉。加减的那个常数不是试出来的——解不动点方程 ，本题的不动点是 ，所以正好加减 。 第 2 步　 ◈ 由等比关系反解通项时，先把 交叉相乘整理成，再化到 ——这个形式一眼就能看出 、且随 递减，判断 D 项时特别方便。 第 3 步　B 项： 不是定值 ◈ 这里容易想当然： 的分子分母对称，会误以为 就是与 无关的常数。实际上它等于 ，和 相加后是 的形式，随 变。 答　ACD 例 4-2 （2026届浙江省台州市椒江区等5地高三一模数学试题 · 第16题） 【解答】设数列满足. （1）证明：数列为等差数列； （2）设，求数列的最大项. 【解析】 （1）递推式右边第二项是 这种指数式，它随 变化，不能直接当常数处理。把两边同乘 ，让左边凑出 的形状：第一项 乘 得 ，第二项 乘 恰好得 ： 即 ，所以 是公差为 的等差数列，首项 。于是 （2）。最大项一定出现在「由增转减」的那一项，所以比较相邻两项的比： 由 解得 即 。所以 时递增， 时递减，最大项为 （核对前三项：，，，，确实是第 项最大。） 第 1 步　 ◈ 看到递推式里的 （这里是 ），就用「两边同除以 」把它变成常数。本题同除的是 ，也就是同乘 ，效果是让左边自动拼出 ——题目的第（1）问其实已经把这个方向提示给你了。 第 2 步　 ◈ 指数型递推的最后一步，是把 这个整体解出来再除回去。顺便记住：凡通项形如 或 ，求最值都用比较相邻两项大小的办法，不要去求导。 第 3 步　 ◈ 比式的分母不要展开成三次式——先把公因子约掉再比，展开后得到的 是二次不等式，解出临界值 ，说明前两项递增、第三项最大。 答　（1）；（2）最大项为 例 4-3 （广东省清远市2025届高三教学质量检测（二）数学试题 · 第16题） 【解答】已知数列的首项为，且满足． （1）求证：是等比数列； （2）求数列的前项和． 【解析】 （1）把条件改写成 ，这是「（）」型。目标是构造一个等比数列，让它同时把常数和 这两部分吸收进去，所以设 ，括号里的 就是待定的等比数列，公比是 。 把上式展开：，与 比较得 。 所以 是公比为 的等比数列，首项 。于是 （2）分别对 与 求和： 即 （核对 ：，吻合。） 第 1 步　设 ，解得 ◈ 型的固定做法是「右端也跟着配一个 」，不要硬记结论。展开后与题设比较系数， 就出来了。本题 使公比是 ，所以通项里会出现 这样的正负交替项。 第 2 步　 ◈ 求出通项后一定要回代首项：，与题设一致。含 的通项最容易在首项上差一个负号，这一步不能省。 第 3 步　 ◈ 求和时把通项拆成两个数列分别求： 是等比， 是周期为 的数列。后者不能套等比公式，要用「前 项中 与 各多少」来算，结果 恰好自动分成奇偶两种情况。 答　（1）见解析；（2） 练习 4-1. 【单选】已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 解析　答：C 递推式两边同乘 ，把它写成 的显式： 由 递推可得 ，，数值递减、恒正，所以 A（递增）错，B（）因 也不成立。 关键是把倒数凑出来。对 两边取倒数差： 再由 得 ，代入上式： 由 得 ，所以 ，即 把 的式子累加起来： 这里用了「每一项都大于 」这一步。于是 C 项正确。 再看 D 项。由每项 得 所以 ，D 项要的严格小于 不成立，D 错误。 4-2. 【填空】数列满足，则使得的最小正整数的值为__________. 解析　答：6 递推式 里出现的是「平方 + 二倍」，把 加过去正好配成完全平方： 所以 是「每步平方」的数列，从 出发： 一般地 。要判断 ，先把根号化开： 时 所以要 。因为 ，需要 ，即 （，而 ），故 。 验证边界： 时 ，不满足； 时 ，满足。 所以最小正整数 。 4-3. 【多选】已知数列中，，，，其前项和为，则（ ） A. B. C. D. 解析　答：ABD 条件 里 与 是乘积关系，这种形状一律用「两边同除 」把它变成倒数之差： 所以 是公差为 的等差数列。已知 ，即 ，于是 A：，A 正确；B：与上面求出的通项一致，B 正确。 C：把通项写出前几项：，，。因为 ，所以「 对一切 成立」是错的，C 错误。 D： 时 ， 为正； 时 为负，而负项的绝对值随 增大而减小。算一下前 项： 两部分相加 ，D 正确。 （也可看出这个趋势：负项部分的绝对值远大于正项部分， 必为负。） 4-4. 【多选】已知数列的首项，且满足，则（ ） A. 为等差数列 B. C. 数列为递增数列 D. 数列的前项和为 解析　答：BCD 递推式 是分式型，先取倒数把分母挪上去： 右边还有一个常数 ，所以要再减一个常数把它消掉。设常数为 ，要求 ，展开比较得 ： 所以 是首项 、公比为 的等比数列，不是等差数列，A 错误。 于是 B 项正确。把它写成 ， 随 增大，所以 递减、 递增，C 项正确。 D 项：，前一部分求和得 ，只需再算 ，用错位相减： 两式相减： 所以 ，前 项和为 ，D 正确。 4-5. 【解答】已知数列的首项，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 解析　答：（1）；（2） （1）条件是「相邻两项之和等于一个已知量」，属于隔项型。构造的方向是让 满足 ： 令它恒为 ，得 。所以 满足，是公比为 的等比数列，首项 于是 ，通项为 （核对： 与题设一致。） （2），两部分分别求和： （第二个式子是错位相减的标准结果。）所以 记右边为 ，原不等式即 对一切 成立。 为奇数时 。 随 增大而增大，最小值在 处取 ，所以 ，即 。 为偶数时 。 随 增大而增大，最小值在 处取 ，所以 。 综上 。 4-6. 【解答】已知数列满足． （1）证明：数列为等差数列； （2）求数列的前项和． 解析　答：（1）见解析；（2）， （1）条件里 三项都在，先把两个分式各自拆开： 两者相等，所以 两边同除 （各项非零），得 这正是等差中项的形式，所以 是等差数列。 由 、 得 、，公差 （2），裂项： 4-7. 【解答】数列满足：，． （1）数列满足：，试判断是否是等比数列，并说明理由； （2）数列满足：，求数列的前项和． 解析　答：（1） 是等比数列，，；（2） （1）判断 是不是等比，直接算出 与 的关系： 所以 是等比数列，公比为 。又 ，所以 ，从而 （这里 不是凑出来的：递推式的常数部分 是一次式，形如 的递推要设 ，代入解得 、，正好就是 。） （2），正负交替，用相邻两项配对求和。对 ： 而 ，所以 （核对 ：，，；公式给出 ，吻合。） 4-8. 【单选】若数列满足，，则（ ） A. 155 B. 156 C. 203 D. 204 解析　答：A 递推式 中 与 的系数相同（都是 ），右端是一次式，所以配一个一次式把它消平。设 ： 所以 ， 是公比为 的等比数列，。 由 且 ，得 ，所以 ，且 求和。；而 从 开始正负交替，前 项里 个 、 个 ，和为 。 也可按两项一组验算：，前 组共 ，再加 ，仍是 ，答案选 A。 4-9. 【多选】如图，杨辉三角形中的对角线之和1，1，2，3，5，8，13，21，…构成的斐波那契数列经常在自然中神奇地出现，例如向日葵花序中央的管状花和种子从圆心向外，每一圈的数字就组成这个数列，等等.在量子力学中，粒子纠缠态、量子临界点研究也离不开这个数列.斐波那契数列的第一项和第二项都是1，第三项起每一项都等于它前两项的和，则（ ） A. B. C. D. 解析　答：BCD 斐波那契型的题，恒等式都从递推式本身长出来：把 改写成 ，或者 ，再逐项代入让中间项两两相消。 A：取前一式，把偶数项依次改写： 而 ，所以和等于 ，不是 。A 错误。 B：用 （由 移项而来）把每个奇数项都改写一遍： 逐式相加，中间的 全部抵消，得 两边再添上 ，注意 ，故 B 正确。 C：由 得 ，两边乘 ： 对 求和，右端错位相消，得 两边再加 ，注意 ，即得 取 就是 C 的结论。C 正确。 D：先验证一个裂项恒等式： 第二步用了 。于是左端的和逐项裂开后中间全部抵消： D 正确。 选 BCD。 补充一条常用结论：偶数项之和 ，奇数项之和 ，两条都由 逐项相消得到，不必死记。 4-10. 【单选】数列满足，，给出下列四个结论： ①存在正整数，且，使得； ②存在，使得，，成等比数列； ③存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列； ④ 其中所有证确结论的是（ ） A. ②③ B. ③④ C. ①②④ D. ①③④ 解析　答：D 先把数列写出来再逐条判断。斐波那契数列为 ① 斐波那契数列有一条基本性质：任何正整数都能写成若干项之和，且可以让这些项的下标互不相邻。 对应下标 ，互不相邻，所以这样的取法存在。① 正确。 ② 若 成等比，则 。由 代入： 两边除以 ，记 ，得 这是个无理数；而 是两个正整数之比，必为有理数，矛盾。② 错误。 （也可以直接验证前几组： 时 ； 时 ； 时 ； 时 ，都不成等比。） ③ 由等差中项，条件是 ，即 与 无关。而 再把 代入，得 于是 ，，是常数。③ 正确。 ④ 由 得 ，对 求和，右端错位相消： 再加 ，得 。④ 正确。 选 D。 4-11. 【多选】已知数列 满足 ，，设 的前 项和为 ，下列结论中正确的是（　　） A. B. 数列 是等比数列 C. D. 解析　答：ABD 条件 是「隔项型」——相邻两项同号相加， 消不掉。但右端是纯指数式，可以凑出一个等比数列来。 A： 时 ，而 ，所以 。A 正确。 B：把条件写成 ，两边同时减去 （这是关键的一步，目的是让右端也出现 ）： 所以 是首项 、公比 的等比数列。B 正确。 由此还能把通项求出来： C：取前四项。、、、， C 错误。 D：求和时把 与 分开算，前一部分是等比求和，后一部分正负交替： （偶数个 相加正好抵消。）D 正确。选 ABD。 4-12. 【解答】已知数列 满足 ，，。（1）设 ，求证：数列 为等比数列；（2）求 的通项公式。 解析　答：（1）；（2） （1）二阶递推 里，把 与 分别打包来看——这正是二阶递推的标准手法。 即 。又 ，所以 是首项为 、公比为 的等比数列， （为什么能这样分组？因为 与 的系数 、 之和是 ，而常数项 恰好是 ——也就是 的情形，差分一定成等比。） （2）既然 ，把 换成 相加： 括号里是首项 、公比 、共 项的等比数列： （检验 ：；：，都对。） 4-13. 【多选】数列满足，，，…，，依此类推，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. C. 若，则 D. 若，则 解析　答：ACD 递推式是 （连分数），其中 。这类题不必求通项，抓住两点： 的取值决定一切，以及相邻两项之差可以自己递推。 A：先把 的几项算出来：， 再说明 时 ：由递推式 ，逐层代入得 ，而 。所以 的最小值是 。A 正确。 B： 时四个值是 ，通分比较：、，所以真实的大小关系是 ，不是选项写的 。B 错误。 C：先建立相邻两项之差的递推。由 与 相减得 时由 归纳可得 ，所以 ，于是 又 ，逐项递推下去， 对一切 成立。C 正确。 D：由 两边同除 ： 记 ，右端就是 。由 、（ 时成立，归纳可得），得 。而 在 上单调递增，所以 即 。D 正确。选 ACD。 方法五　奇偶数列与周期数列 这类题的共同点是「整体处理不了」：要么通项按 的奇偶分段给出，要么递推式里带 使相邻两步的符号相反，要么迭代到某一步就开始循环。 奇偶型的三条路：① 分奇偶各写通项——把 与 看成两个新数列，分别判断等差、等比；② 递推含 时逐项算出前若干项；③ 求和按「相邻两项一组」配对， 为奇数时单独补最后一项。 周期型的判断：递推式只依赖前面有限项时，算出前若干项，一旦出现与前文相同的两项，后面必然重复，周期就定了。 周期型求值：设 （），则 ，（ 为一个周期内各项之和）；余数为 时对应的是 与 ，不是 。 ★ 见到 、分段递推或取整，先别急着变形——算 8~14 项看有没有周期，往往比硬求通项快得多。奇偶与周期的求和技巧另见中册「分组、并项与周期求和」一节。 例题 例 5-1 （宁波市2025-2026学年第二学期高考模拟考试 · 第8题） 【单选】数列 满足：，，（）， 为 的前 项和，则（　　） A. B. C. D. 【解析】 递推式 里带着 ，意味着相邻两步的符号一正一负，逐项算下去看不出通项。这类式子的标准做法是把前若干项算出来，看有没有规律。 由 、 逐项计算（注意 为奇数时 ， 为偶数时 ）： 继续算两项： 出现了 、。因为递推式只用前两项，只要有两项重复，后面的项必然照抄前面的——所以数列从第 项起以 为周期。 一个周期内 项的和： 下面定位 。由 ，余数是 ： 比较选项：A 说 ，正确；B（）、C（）、D（）都与计算结果不符。所以选 A。 第 1 步　逐项算出前 项 ◈ 递推式里带 ，首项和公差之外的「通用通项公式」是不存在的，考试里遇到的这类题一律是周期数列。算出前 项是唯一可行的入口，不要试图先化简。 第 2 步　， 周期为 ◈ 判断周期的依据是「连续两项重复」而不是「一项重复」——因为递推式同时用到前两项，两项都对上，后面就完全照旧。这里 、，两项都吻合，才可以断定周期为 。 第 3 步　， ◈ 定位时余数 对应的是 ，不是 （周期从第 项开始计时）。求和则用「整周期的和 + 残余部分」：本题一个周期的和为 ，所以只需要算 。若余数为 ，对应的是第 项与 。 答　A 例 5-2 （浙江省温州市2024-2025学年高三下学期第二次适应性考试数学试题 · 第5题） 【单选】已知数列满足，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【解析】 递推式把右边按 的奇偶分成两段： 为奇数时 ， 为偶数时 。已知的是 ，所以从 出发往回逐段推 。 往回推的第一步是 （奇数），用第一段 ： 第二步是 （偶数），用第二段 ： 第三步是 （奇数），再用第一段 ： 选 B。 第 1 步　往回推： 用第一段、 用第二段、 用第一段 ◈ 要点是「 的奇偶决定用哪一段」。因为 与 的奇偶必然相反，往回推时相邻两步一定交替使用两段——每一步都要重新确认 的奇偶，看错一次，后面所有范围都会跟着错。 第 2 步　 ◈ 区间端点也要跟着走一遍：本题两步都是「减 1」和「乘 2」这样的单调运算，所以端点直接代入即可；若某一步是「乘 」，端点就要互换，那时必须单独检查。 答　B 例 5-3 （山东省青岛市、淄博市2024-2025学年高三下学期第二次适应性检测数学试题 · 第10题） 【多选】记为数列的前项和，已知则（ ） A. 2025是数列中的项 B. 数列是公比为2的等比数列 C. D. 若，则数列的前项和小于 【解析】 通项按 的奇偶分成了两段，先把奇数项、偶数项各自当成一个新数列看： 奇数项 ，是首项为 、公比为 的等比数列；偶数项 ，是首项为 、公差为 的等差数列。 前六项具体写出来：，，，，，。 A：检验 是不是项。奇数项是 （都是 的幂），显然不含 ；偶数项 取遍所有不小于 的整数，令 得 ，对应 （偶数，合法）。所以 是数列中的项，A 正确。 B： 的公比。由奇数项的通项， 所以 B 错误。 C：，C 正确。 D：，所以 前 项和 D 正确。综上选 ACD。 第 1 步　奇数项 、偶数项 ◈ 奇偶分段的通项，第一步一定是换下标：把 与 分别代进去，得到两个只含 的新数列，再分别判断它们是等差还是等比。这一步写清楚，后面三个选项都是顺水推舟。 第 2 步　判「某数是否为项」：奇数项与偶数项要分别检验 ◈ 奇数项只取 的幂，偶数项取遍所有 的整数。 不是 的幂，所以只能走偶数项那条路；解出 后还要回头确认 是偶数，才算合法。 第 3 步　 项： 而不是 ◈ 下标每隔一项取一个， 增加了 而不是 ，所以公比是 而不是 。这是奇偶分段题最经典的陷阱。 答　ACD 练习 5-1. 【解答】记为数列的前项和，已知，，数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，若对任意，，求实数的取值范围. 解析　答：（1）；（2） （1）条件是 与 混合的 ，必须作差。 时写出 的情形并相减： 移项并提取公因式 ： 因为 ，所以 ，只能有 ，即 是公差为 的等差数列。再由 ：，即 ，解得 （舍去 ），所以 （2） 的表达式按 的奇偶分段，把 、 代进去： 为奇数时 为偶数时 正负与大小都随奇偶变化，所以求 时按「奇、偶各一项」配对。第 组是 ： 于是 时 而 时比 多一项 ： 条件 对一切正整数 成立，等价于 对一切 成立，即 不超过 的最小值。分奇偶讨论： 时 ，这是开口向上的二次式， 时分别为 ，最小值 ； 时 时分别为 ，最小值 （在 处取到）。 两者比较， 的最小值是 ，所以 5-2. 【解答】已知数列满足：（m为正整数），． （1）设数列的前n项和为，当时，求； （2）若，求m所有可能的取值集合M． 解析　答：（1）；（2） （1）递推规则是「偶数减半、奇数乘 加 」。 时逐项往下写： 第 项是 （奇数），所以第 项是 。求和： （顺便看出：从 往后就进入 的循环了。） （2）已知 ，要求首项 的所有可能值，只能逐层逆推。逆推的规则要与正推对应： 若 是由「减半」得到的，则 （ 必为偶数，自动合法）； 若 是由「乘 加 」得到的，则 ，要求 能被 整除且 为奇数、。 从 开始，逐层列出全部前驱： （； 为奇数，合法。） （； 不是整数，舍；；，舍。） 同理继续（；； 与 ；其中 、、 为奇，只有最后一个合法）： 再逆推一层到 ： （ 与 ； 与 ；；；其余分支的 不是整数。） 所以 。 5-3. 【单选】已知数列的前项和，数列的前项和为，且，若不等式恒成立，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 解析　答：D 先求 。由 得 时 ，且 也符合，所以 。 于是 的奇偶决定正负，所以按「相邻两项一组」配对求和。先把系数拆开：设 ，去分母得 ，比较系数有 ，即 所以 。第 组配对： 每一组都是负数，所以偶数项的部分和 随 增大而减小；而奇数项的部分和 ，又因为奇数下标时 ，，所以 。 于是 的最大值一定出现在偶数下标的第一个： 比较 ，最大值就是 。 由 对一切 恒成立，得 ，最小值 ，选 D。 5-4. 【多选】对于数列，设区间内偶数的个数为，则称数列为的“数列”，则（ ） A. 若数列是数列的“数列”，则 B. 若数列是数列的“数列”，则是常数列 C. 若数列是数列的“数列”，则是等比数列 D. 若数列是数列的“数列”，则数列的前项的和为 解析　答：ACD 定义要读准： 是开区间 内偶数的个数（端点 与 都不算）。也就是「不超过 的正偶数」里去掉端点后剩下几个。 A：，区间 内的偶数是 ，共 个，所以 ，A 正确。 B： 时，区间 内的偶数是 ，共 个，即 。这是以 为公差的等差数列，不是常数列，B 错误。 C： 时，区间 内最大的偶数是 （它小于右端点），所以 是首项为 、公比为 的等比数列，C 正确。 D：由 C 得 ，所以 ，用错位相减求和： 两式相减（把 的求和指标换成 ）： 所以 ，D 正确。综上选 ACD。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $