第十三章 三角形 章末优化试题 2026-2027学年数学人教版八年级上册

**基本信息** 聚焦三角形核心概念与性质，通过分层题型构建“概念理解-性质应用-综合探究”的方法体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|10题|三边关系判断、高的定义辨析、稳定性应用|从边、角、特殊线段的概念生成，建立三角形基本要素认知| |性质应用|10题|角平分线+外角性质、折叠分类讨论、面积比转化|以内角和与外角性质为核心，推导三线（高、中线、角平分线）性质| |综合探究|9题|“8字型”模型、重心面积关系、动态几何分析|整合模型思想与动态问题，实现从静态性质到动态应用的拓展|

第十三章 三角形 章末优化试题 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）八年级上册 一、单选题 1．下列长度的各组线段，能组成一个三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．若三角形的两条边的长度分别是和，则第三条边的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 3．如图，空调外机支架一般会采用如图的方法固定，其利用的数学原理是（     ） A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短 C．三角形的两边之和大于第三边 D．直角三角形的两个锐角互余 4．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，四个图形中，线段是的高的图是（    ） A． B． C． D． 6．下列说法正确的是（     ） A．三角形三条高线的交点一定在三角形的内部 B．三角形的外角等于两个内角之和 C．在中，， 则为钝角三角形 D．三角形三条中线交于一点，这个点称为三角形的重心 7．如图，是的角平分线．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．一天，妈妈带着淇淇去超市，在停车场时看到如图1所示的地锁，图2为其示意图．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 9．如图，在中，平分，点F在线段上，过点F作，垂足为F，与的延长线交于点E．若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 10．如图，已知，点是射线上一动点（与点不重合），分别平分和，分别交射线于点．①；②；③当时，；④当点P运动时，的数量关系不变．其中正确的有（     ） A．①②③④ B．①③④ C．①② D．①③ 二、填空题 11．在中，已知，，则________． 12．如图，长治漳泽湿地公园的网红桥（神农湖大桥），在修建时采用三角形钢架结构，这是利用了三角形的________． 13．如图，是的外角，若，，则_______ 14．如图，在中，，点在射线上，和的角平分线相交于点，若，则的度数为______． 15．如图，在中，点在上，且，连接，为边上的中点，连接并延长交于点，为上一点，且，已知的面积为1，则的面积为__________． 16．折叠纸片，使点，均与点重合，折痕交直线于点，．若，则______． 三、解答题 17．一个三角形的周长为18，其中两边长分别为5和6，求第三边的长，并判断这个三角形是否为等腰三角形． 18．如图，在中，，，，，，求和的长． 19．在小学，同学们通过将一个三角形的三个角撕下来可拼成一个平角和度量，计算验证了三角形的内角和等于．在初中学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务： 如图1，中的三个内角分别为．将撕下，按图2的方式拼摆，使与的顶点重合，的一边与重合． 理由：， ___________． 即． (1)任务一：补全小颖的说理过程； (2)任务二：小聪受小颖的启发，如图3，一个角也不撕，延长且过点作，也能说明三角形的内角和等于，请你帮助小聪写出说理过程． 20．将一副三角板如图叠放在一起．已知，，． (1)如图①，___________°，___________° (2)如图②，若，求的度数． 21．如图①，已知线段，相交于点O，连接，，我们把形如这样的图形称为“8字型”． (1)试说明：； (2)如图②，若和的平分线和相交于点P，与，相交于点，．若，，求的度数． 22．阅读理解 三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分． 问题：已知：如图1，在中，点是边上的中点，连结． 求证：． 证明：过点作于点， 点是边上的中点， ． ， ． 任务： (1)如图2，在中，点是边上的中点，若，_____； (2)如图3，在中，点是边上的点且，和存在怎样的数量关系？请模仿文本框中的过程写出证明过程； (3)如图4，分别是的高线和中线，已知，则的长为_____． 23．在中，，点在射线上（不与重合），点在射线上，连接，若． (1)如图1，若，求度数； (2)当点在边上时，试说明； (3)若的角平分线交于点，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 24．综合实践： 定义：三角形三条中线的交点叫三角形的重心． 发现：如图①，将一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处悬吊起来，发现纸板处于水平状态． 探究：关于三角形的重心还有哪些性质呢？ (1)如图②，是的中线，则与的面积关系为：_______（填>、<或=）； (2)如图③，点是的重心，猜想与的面积之间的关系，并说明理由； (3)如图③，点是的重心，三条中线、、分别交、、于点、、，求的值； (4)如图④，点是的重心，且，若，，求四边形的面积． 25．已知直线，现将一个含的三角板按照如图1放置，使点A，B分别在直线上，，，平分交直线于点D，且． (1)求的度数； (2)将一个含有的三角板按照如图2所示放置，直角顶点G与点A重合，直角边与重合．若三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒（）． ①若三角板保持不动，作的平分线，当时，求t的值； ②若三角板同时绕点B以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，当边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的t的值． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A D D D D C D B 1．C 解：A、，不满足三角形两边之和大于第三边，不能组成三角形； B、，不满足三角形两边之和大于第三边，不能组成三角形； C、满足三角形任意两边之和大于第三边，能组成三角形； D、，不满足三角形两边之和大于第三边，不能组成三角形． 2．A 先根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再判断选项中不符合范围的长度即可解答． 解：设三角形第三条边的长度为， 根据三角形三边关系可得： ，即 ， ∵不在的范围内， 第三条边的长度不可能是． 3．A 解：根据三角形具有稳定性可知，构造三角形支架比较牢固稳定. 4．D 解：如图， ∵直尺的两边互相平行， ∴， ∴， ∴． 5．D 根据高的画法知，过点B作边上的高，垂足为E，其中线段是△ABC的高． 解：由图可得，线段是△ABC的高的图是D选项． 6．D 根据钝角三角形三条高线交点在三角形外部，直角三角形三条高线交点在三角形的直角顶点上，可判断A，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，即可判断B，根据三角形内角和为，可判断C错误，根据三角形中线的性质可知，三角形三条中线一定交于一点，这个点称为三角形的重心，可判断D． A∵钝角三角形三条高线交点在三角形外部，直角三角形三条高线交点在三角形的直角顶点上， ∴不是所有三角形高线交点都在三角形内部，故A错误． B.∵三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和， ∴选项缺少限制条件，故B错误． C.∵三角形内角和为，， ∴最大角为， ∴是直角三角形，不是钝角三角形，故C错误． D.根据三角形中线的性质可知，三角形三条中线一定交于一点，这个点称为三角形的重心，故D正确． 7．D 根据角平分线的定义可得的大小，再由三角形外角定理可得的大小． 解： 平分， ， ． 8．C 根据三角形外角的性质可得，根据邻补角的定义可得，进而即可求解． 解：如图， ∵， ∴ 9．D 先观察，因为，所以，结合已知的度数，可求出的度数．结合已知的度数，可求出的度数．因为平分，所以，可得到的度数．最后在中，利用三角形内角和为，可求出的度数． 解：， ， 在中，． ， 代入已知得： ． 平分， ． 在中，． 10．B 根据，可以得到（可以判断①），，根据角平分线的性质得到，，从而得到，，可以判断②，根据，，可以得到，即可得到，从而可以判断③， 根据，得到，可以判断④. 解：， ，故①正确，， ， 、分别平分和， ，， ，故②错误 ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得，故③正确， ， ， 又 ， ， ， ，故④正确 综上所述，正确的结论有①③④． 11． 解：在中，， ， 又， ． 12．稳定性 解：在修建时采用三角形钢架结构，这是利用了三角形的稳定性． 13． 解：∵是的外角，，， ∴， ∴. 14．/36度 利用角平分线将角进行等分，结合三角形外角性质推导与的数量关系，再结合已知倍数关系列方程求解． 解：∵平分， ∴, ∵， ∴, ∵平分， ∴． 由三角形外角性质可知，，, ∴, ∴, ∵， ∴, 又∵, ∴，即, ∵， ∴, 在 中，∵， ∴， ∴． 15． 设的面积为，连接，由，结合等高三角形的面积比与底边的比有关可得，为边上的中点，求得，，得到，，根据，列式计算即可求解． 解：设的面积为，连接， ∵，， ∴， ∵为边上的中点， ∴，，即， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，解得， 即的面积为． 16．或或 根据折叠的性质得到对应角相等，结合三角形内角和定理，外角的性质，分三种情况讨论：当为锐角时，若点，在边上；若点在边的延长线上；当为钝角时；即可求出的度数． 设． 分三种情况讨论： 当为锐角时， 若点，在边上， 根据折叠的性质，可得，， ∴， ∵， ∴， 由三角形内角和定理得， ∴， 解得； 若点在边的延长线上， 根据折叠的性质，可得，， ∴，， ∴， 解得； 当为钝角时， 根据折叠的性质，可得，， ∴， ∵， ∴， 解得． 综上所述，的度数为或或． 17．7，不是 解：三角形的第三边长：， 三边长：5，6，7，三边都不相等， 则不是等腰三角形． 18．； 根据直角三角形的面积计算的面积再由面积计算的长即可． 解：∵，，， ∴， 又∵， ∴． 19．(1)； (2) 解：∵， ，， ∵， ． 本题考查了三角形内角和性质，平行线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合题意，得，证明，所以，即； （2）理解题意，由得，，又因为，得，即可作答． （1）略 （2）略 20．(1)135，30 (2) 本题考查了三角形外角的性质，角的和差计算； （1）根据三角形外角的性质，角的和差关系列式计算即可； （2）先根据求出，再根据角的和差关系列式计算即可． （1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：135，30； （2）∵，， ∴， ∴， ∴． 21．(1)证明：∵，，， ∴； (2) （1）利用三角形内角和即可得答案； （2）根据角平分线的定义得到，，再由“8字型”得到，，两等式相减得到，即，最后把，代入计算即可． （1）略 （2）解：以M为交点“8字型”中，有， 以N为交点“8字型”中，有, ∴， ∵分别平分和， ∴，， ∴， ∵， ∴． 22．(1)15； (2)． 证明：如图，过点A作于点E， ∵， ∴， ∵，， ∴． (3)5 （1）根据点是边上的中点，可得，再代入已知数据求解即可； （2）过点A作于点E，根据推出，再通过面积公式求证即可； （3）根据是的中线，可得，再利用三角形面积公式，代入已知数据求解的长度． （1）解：∵点是边上的中点， ∴． （2）略 （3）解：∵是的中线， ∴， ∵是的高线， ∴， 又∵， ∴． 23．(1) (2)证明：由题意设：，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. (3)解：当在线段上时，；当在线段的延长线上时，； 理由如下：如图，当在线段上时， 由题意设：，， ∴， ， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 当在线段的延长线上时，如图， 同理由题意设：，， ∴， ， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴. （1）利用三角形的内角和定理与三角形的外角的性质求解即可； （2）由题意设：，，结合三角形的内角和可得，利用三角形的外角的性质可得，进一步可得. （3）分两种情况讨论：当在线段上时，；当在线段的延长线上时，，进一步先画图结合三角形的内角和，外角的性质，角平分线的定义证明即可. （1）解：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）略 24．(1) (2)，理由如下：     点是的重心， ， 和同高，设高为， ， 同理得， ∴， ， ∴； (3) (4) 本题考查三角形中线的性质以及三角形面积的计算： （1）根据的中线得到，由于高相同，利用三角形面积公式可得出结论； （2）根据题干中关于重心的定义得，由于和同高，和同高，得出，去掉公共三角形，即可得到与的面积相等； （3）根据题干中关于重心的定义得，利用三角形面积公式得，去掉公共部分，得，利用三角形等底同高得，，即可得出结论； （4）连接交于点，先求出，通过各三角形底边之间的关系，得到、，进而求出四边形的面积． （1）解：是三角形的中线， ， 和的底边分别是和，它们共用同一个顶点， 它们的高相等，设为， ． （2）解：，理由略． （3）解：点是的重心， ， 和同高，设高为， ， ， ∴， 同理：等底同高，等底同高， ，， ∴， ∴． （4）解：如图，连接交于点， 是的重心， 由（3）可得出，，，， 设，， ∴， 同理得，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 同高， 设它们的高为， ，，且， ， 、和同高，设高为， ，，， ， ， ， ， ， 同理可得，， ∴． 25．(1) (2)①2或8；②或或或 （1）先利用三角形内角和求出，由平行线的性质得，结合角平分线求出，进而即可求解； （2）①分在右边和左边两种情况，根据旋转性质表示出，结合角平分线定义及角的和差关系列方程求解；②分和两大情况，每种情况再细分小情况，利用平行线性质、旋转性质，结合角的和差关系列方程求解． （1）解：中，，， ， ， ， 平分， ， ； （2）解：①依题意有以下两种情况： （ⅰ）当在的右边时，如图1所示： 由旋转得， 由（1）得，， ， 平分， ， ， ， 解得； （ⅱ）当在的左边时，如图2所示： 同理可得， ，， ， 解得， 综上所述，t的值为2或8； ②当时，有两种情况： （a）如图3所示，延长交于点K， ， ， 由旋转得，， ， ， ， 解得； （b）如图4所示，延长交于点W， 同理得：，， ， ， ， ， ， 解得； 当时，也有两种情况： （a）如图5所示，延长交于点R， 同理得：，，， ， ， ， ， ， 解得； （b）如图6所示，延长交于点T， 同理得：，，，， ， ， ， ， ， 解得； 综上所述，当边与三角板的一条直角边平行时，t的值为或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $