第二章 解不含参的二次不等式、解含参的二次不等式、由二次不等式的解求参数问题 专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦二次不等式三类核心问题，构建从基础求解到参数讨论再到逆向应用的完整训练体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解不含参的二次不等式|8题（4例+4变式）|直接求解二次不等式|基础求解，强化二次函数图像与解集关系| |解含参的二次不等式|6题（3例+3变式）|含参数二次不等式分类讨论|进阶应用，培养参数分类讨论的推理能力| |由二次不等式的解求参数问题|8题（4例+4变式）|已知解集反求参数值或范围|逆向思维，深化韦达定理与二次函数性质的综合应用|

解不含参的二次不等式、解含参的二次不等式、由二次不等式的解求参数问题专项训练 解不含参的二次不等式、解含参的二次不等式、由二次不等式的解求参数问题专项训练 考点目录 解不含参的二次不等式 解含参的二次不等式 由二次不等式的解求参数问题 考点一 解不含参的二次不等式 例1．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）不等式的解集为（ ） A． B． C．或 D．或 例2．（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）不等式的解集为（ ） A． B．或 C． D．或 例3．（25-26高一下·广东深圳·期末）不等式的解集是___________． 例4．（2026·上海闵行·二模）设，不等式的解集是______. 变式1．（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 变式2．（26-27高三上·江苏南通·开学考试）满足的整数的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 变式3．（2026高三上·广东·学业考试）不等式的解集为______． 变式4．（25-26高三上·山东枣庄·期中）不等式的解集为__________． 考点二 解含参的二次不等式 例1．（25-26高一上·北京·期中）设，解关于的不等式：. 例2．（25-26高一上·吉林长春·期中）解关于的不等式：. 例3．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）解下列含参数a的不等式： (1)． (2)． 变式1．（26-27高一上·北京西城·阶段检测）求关于的不等式的解集 变式2．（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）（1）求不等式的解集； （2）解关于的不等式：． 变式3．（25-26高一上·广东湛江·阶段检测）解下列关于x的不等式： (1)； (2)； 考点三 由二次不等式的解求参数问题 例1．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测·多选）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B．的解集为 C． D． 例2．（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测·多选）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 例3．（25-26高一上·山东临沂·期中·多选）已知关于的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 例4．（25-26高一上·福建泉州·期中·多选）已知关于的不等式的解集为，则（   ） A． B． C． D．不等式的解集为 变式1．（25-26高一上·湖南邵阳·期中·多选）已知关于x的不等式的解集或，则下列说法正确的是（    ） A． B．的解集为{x|x<2} C． D．的解集为 变式2．（25-26高一上·山东临沂·期中·多选）已知关于的不等式的解集为则（ ） A． B．关于的不等式的解集为 C． D．若，则的最大值为1 变式3．（25-26高一上·广东深圳·期中·多选）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 变式4．（25-26高一上·安徽宣城·期中·多选）已知关于的一元二次不等式的解集为，则（   ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 2 学科网（北京）股份有限公司 $解不含参的二次不等式、解含参的二次不等式、由二次不等式的解求参数问题专项训练 解不含参的二次不等式、解含参的二次不等式、由二次不等式的解求参数问题专项训练 考点目录 解不含参的二次不等式 解含参的二次不等式 由二次不等式的解求参数问题 考点一 解不含参的二次不等式 例1．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）不等式的解集为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】因为，可得，解得， 所以不等式的解集为. 例2．（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）不等式的解集为（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】因为，所以， 由一元二次不等式解得， 不等式的解集为. 例3．（25-26高一下·广东深圳·期末）不等式的解集是___________． 【答案】 【详解】，，解得或， 即不等式的解集为． 例4．（2026·上海闵行·二模）设，不等式的解集是______. 【答案】 【分析】由一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】因为，即，令，解得， 所以的解集为. 即不等式的解集是. 变式1．（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】当时，原不等式等价于，解得，所以， 当时，原不等式等价于，解得，所以， 综上，原不等式的解为. 变式2．（26-27高三上·江苏南通·开学考试）满足的整数的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】不等式，即，解得， 当为整数时解集为， 所以满足的整数的个数是6. 变式3．（2026高三上·广东·学业考试）不等式的解集为______． 【答案】 【分析】利用因式分解解一元二次不等式. 【详解】∵，∴， ∴ 即不等式的解集为． 故答案为：. 变式4．（25-26高三上·山东枣庄·期中）不等式的解集为__________． 【答案】/ 【分析】根据三个二次的关系直接可得. 【详解】由，得且，所以不等式的解集为R. 故答案为：R. 考点二 解含参的二次不等式 例1．（25-26高一上·北京·期中）设，解关于的不等式：. 【答案】 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为. 【分析】整理可得，分类讨论首项系数以及两根大小解不等式即可. 【详解】对于不等式，可得， 1.若，可得，解得； 2.若，令，解得或， （1）若，则，解得或； （2）若，则有： ①若，则，解得； ②若，则，无解； ③若，则，解得； 综上所述：若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为. 例2．（25-26高一上·吉林长春·期中）解关于的不等式：. 【答案】 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 【分析】因式分解得，再对合理分类讨论即可. 【详解】，即， 若时，原不等式等价于，解得． 若时，原不等式等价于． ①当时，，解得或． ②当时，，解得或 ③当时，，解，得或． 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 例3．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）解下列含参数a的不等式： (1)． (2)． 【答案】(1) 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． (2) 当时，不等式解集为R； 当时，则不等式解集为； 当时，则不等式解集为； 当时，则不等式解集为； 当时，此时不等式解集为． 【分析】（1）根据的符号及根的大小关系分类讨论求解； （2）由的符号及根的情况分类讨论可得不等式解. 【详解】（1）当时，不等式的解集为． 当时，不等式化为（*）. 当时，，，上述不等式的解集为； 当时，上述（*）不等式化为，因此不等式的解集为； 当时，，，上述（*）不等式的解集为； 当时，，， 上述（*）不等式化为，解得， 因此不等式的解集为． 综上：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． （2）①当时，不等式为，解得，则此时解集为， ②当时，令，， （ⅰ）若，即时，此时不等式解集为， （ⅱ）若，即时，， 解得， 则此时不等式解集为． ③当时，（ⅰ）若，即时，此时不等式解集为R． （ⅱ）若，即时，此时不等式为， 解集为． （ⅲ）若，即时， 则不等式解集为． 综上所述，当时，不等式解集为R； 当时，则不等式解集为； 当时，则不等式解集为； 当时，则不等式解集为； 当时，此时不等式解集为． 变式1．（26-27高一上·北京西城·阶段检测）求关于的不等式的解集 【答案】当时，解集为；当时，解集为空集；当时，解集为 【详解】原不等式可化为 ， 两边除以得，对应方程的根为， 当即时，不等式解集为； 当即时，不等式化为，解集为空集； 当即时，不等式解集为. 变式2．（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）（1）求不等式的解集； （2）解关于的不等式：． 【答案】（1）； （2） 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 【分析】（1）将不等式二次项系数化正后直接求解即可； （2）因式分解，结合分类讨论，根据一元二次不等式的解的性质即可求解. 【详解】（1）因， 故原不等式的解集为． （2）由不等式，得， 又因为，所以原不等式等价于， 当时，，此时不等式无解； 当时，，解得； 当时，，解得； 综上：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 变式3．（25-26高一上·广东湛江·阶段检测）解下列关于x的不等式： (1)； (2)； 【答案】(1)时，解集为；时，解集为；时，解集为；时，解集为；时，解集为 (2)当时，原不等式的解集为，或；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为，或. 【分析】（1）因式分解，分、、三种情况讨论，再结合根的大小和二次函数的图象可得； （2）按照根的大小分类讨论即可. 【详解】（1）可化为， 当时，不等式为，解集为； 当时，不等式可化为，此时解集为； 当时，不等式可化为， 当时，，此时解集为； 当时，，此时解集为； 当时，，此时解集为. 综上所述，时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为 （2）不等式可化为， ①当时，，解集为，或； ②当时，，解集为； ③当时，，解集为，或. 综上所述， 当时，原不等式的解集为，或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为，或. 考点三 由二次不等式的解求参数问题 例1．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测·多选）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B．的解集为 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用三个二次的关系，结合韦达定理用表示，再逐项判断即得. 【详解】由不等式的解集为或， 得是方程的两个实根，且， 则，即，ACD正确； 不等式，解得，B错误. 例2．（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测·多选）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AB 【详解】对于A，因为不等式的解集为， 所以方程的两根为和2，且，故A正确； 对于B，由韦达定理得，解得， 所以，故B正确； 对于C，由，得，因为，所以，故C错误； 对于D，由，得，因为，所以， 即，解得或， 所以不等式的解集为或.故D错误. 例3．（25-26高一上·山东临沂·期中·多选）已知关于的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】A：根据解集形式以及二次函数性质判断的正负；B：通过韦达定理求得之间的数量关系，然后化简不等式可求得结果；C：根据是否在解集中作出判断即可；D：代入的数量关系，化简不等式并求解出解集即可. 【详解】对于A：因为不等式的解集为， 为的两实数解， 由二次函数性质可知，故A错误； 对于B：由不等式解集以及韦达定理可知，所以， 所以且，可求得解集为，故B正确； 对于C：因为不等式的解集为，且， 所以，故C正确； 对于D：因为，所以， 解得或，所以解集为，故D正确； 故选：BCD. 例4．（25-26高一上·福建泉州·期中·多选）已知关于的不等式的解集为，则（   ） A． B． C． D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】根据不等式的解集得出选项A，利用根与系数的关系得出的值，即可判断选项B、C，然后将的值代入选项D中，利用一元二次不等式的解法解不等式即可. 【详解】由不等式的解集为， 由题意得不等式对应的方程的根为：， 由根与系数的关系得：， 解得：，所以A选项正确， 由，所以B选项正确， 由，故C选项不正确， 不等式为：， 解得：，即所求不等式的解集为，故D选项正确， 故选：ABD 变式1．（25-26高一上·湖南邵阳·期中·多选）已知关于x的不等式的解集或，则下列说法正确的是（    ） A． B．的解集为{x|x<2} C． D．的解集为 【答案】BCD 【分析】由的不等式的解集得到或是的两根，且，根据根与系数的关系得到，分别代入选项一一求解即可. 【详解】的不等式的解集或， 或是的两根，且，故选项A错误； ，，，， ，，，的解集为，故选项B正确； ，，故选项C正确； ，，，， ，， 的解集为，故选项D正确. 故选：BCD. 变式2．（25-26高一上·山东临沂·期中·多选）已知关于的不等式的解集为则（ ） A． B．关于的不等式的解集为 C． D．若，则的最大值为1 【答案】BD 【分析】根据一元二次不等式的解集，求出一元二次不等式的参数之间的关系，逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】由不等式的解集为，可得，化简得，所以A错误； 可知不等式，即，因式分解得，解得，所以B正确； 可知函数开口向上，零点为或，所以当时，，即，所以C错误； 当时，即，因为，化简得，解得， 因为，由可知，当时取得最大值，即最大值为1，所以D正确； 故选：BD. 变式3．（25-26高一上·广东深圳·期中·多选）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】利用三个二次的关系，将不等式问题转化为方程的根的问题,逐一分析计算即得. 【详解】依题意，关于的方程有两根为和，且，故A正确； 由韦达定理，，解得， 则，故B正确； 因，且，则，故C错误； 不等式，因，则得，故D正确. 故选：ABD. 变式4．（25-26高一上·安徽宣城·期中·多选）已知关于的一元二次不等式的解集为，则（   ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】BC 【分析】根据题意，转化为和是方程的两个实数根，且，结合韦达定理，可判定A错误；令，可得判定B正确；把不等式转化为可得，可判定C正确；把不等式转化为，可判定D错误. 【详解】对于A，由不等式的解集为， 可得和是方程的两个实数根，且， 则，可得，所以A不正确； 对于B，由A知：是方程的两个实数根，可得，所以B正确； 对于C，由且，则不等式，即为， 可得，解得，所以不等式的解集为，所以C正确； 对于D，由且，不等式，即为， 可得，解得，所以D错误. 故选：BC. 2 学科网（北京）股份有限公司 $