专题03一元二次·解不含参·解含参·根据解求参·恒成立·存在性·根分布六大核心问题（高效培优专项训练）数学人教A版高一必修第一册

**基本信息** 聚焦一元二次六大核心问题，构建从基础求解到参数综合应用的递进训练体系 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解不含参一元二次方程|10题|基础求解与集合、充分必要条件结合|从概念理解到简单应用，形成方程求解基本逻辑| |解含参一元二次方程|10题|含参分类讨论与整数解问题|参数对解集影响的推理，发展数学思维| |根据解求参数|10题|由解集反推参数及充要条件分析|强化方程与不等式的互化，构建双向推理链条| |恒成立问题|10题|全称命题与参数范围确定|结合二次函数性质，培养逻辑推理能力| |存在性问题|10题|特称命题与参数最值求解|从存在性角度深化函数与不等式联系| |根分布问题|10题|根的位置特征与充要条件论证|通过函数图像分析根的分布，提升数学眼光|

专题03一元二次·解不含参·解含参·根据解求参·恒成立·存在性·根分布六大核心问题 题型一 解不含参一元二次方程 题型二 解含参一元二次方程 题型三 根据一元二次不等式的解确定参数 题型四 一元二次有关恒成立问题 题型五 一元二次有关存在性问题 题型六 一元二次方程根的分布问题 题型一 解不含参一元二次方程 1．不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 2．下列不等式中解集为R的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．已知［x］表示不超过的最大整数，则满足不等式的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 8．不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 9．（多选）设集合，条件，下列条件中是的充分不必要条件的有（   ） A． B． C． D． 10．（多选）下列说法正确的是（　　） A．，则实数的取值范围为 B．，则实数的取值范围为 C．，则实数的取值范围为 D．，使得不等式成立，则实数的取值范围为 题型二 解含参一元二次方程 11．若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 13．已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 14．已知集合，．若，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 15．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16．已知函数，下列说法不正确的有（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若，则不等式的解集为 C．若，恒成立，则整数k的取值集合为 D．若恰有两个整数x使得不等式成立，则实数的取值范围是 17．若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 18．已知关于x的不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 19．（多选）若集合中仅有两个不同元素，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 20．（多选）已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则的最小值为4 C．关于的不等式的解集为 D．是关于的不等式的一个解 题型三 根据一元二次不等式的解确定参数 21．已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 22．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 23．已知关于的不等式的解集为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 24．已知关于 的不等式的解集为，其中 ，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 25．不等式的解集为，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 26．已知的解集为，则的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C．或 D．或 27．已知函数，若关于的不等式的解集中有且只有2个整数，则实数的取值范围为（        ） A． B． C． D． 28．乐乐、丁丁解关于的不等式，乐乐得到的解集为，丁丁得到的解集为，检验解答题过程发现乐乐、丁丁的解答均正确，再次审题时，发现乐乐写错了参数的值，丁丁写错了一次项系数的值，则原不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 29．（多选）已知关于的不等式组，其中，则下列结论正确的是（   ） A．当时，不等式组的解集为 B．当时，不等式组的解集可以为的形式 C．不等式组的解集恰好为，那么 D．不等式组解集恰好为，那么 30．（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 题型四 一元二次有关恒成立问题 31．不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 32．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 33．若“，”为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 34．使命题“，”是假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 35．下列说法不正确的有（    ） A．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 B．在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 D．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围 36．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 37．若“，”是真命题，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 38．命题“，使”是假命题的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 39．（多选）下列命题正确的是（    ） A．若且，则 B．“”是“”的充要条件 C．若，则的最小值是5 D．不等式对一切实数恒成立，则 40．（多选）下列各结论中正确的是（ ） A．“”是“”的充要条件 B．函数的最小值为2 C．“”是“”的必要不充分条件 D．是假命题，则实数a的取值范围是或 题型五 一元二次有关存在性问题 41．命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 42．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 43．若关于的不等式有解，则实数的最大值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 44．若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 45．若命题“，使得”为真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 46．已知存在是不等式一个解．若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 47．若，且不等式有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 48．若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 49．（多选）在上定义运算：，若命题，使得，则命题成立的充分不必要条件是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 50．（多选）已知不等式的解集是，则下列说法正确的是（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．若关于的不等式有解，则实数的取值范围是或 题型六 一元二次方程根的分布问题 51．（多选）已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ） A．当时，方程的两个实根和为0 B．方程无实根的一个必要条件是 C．方程有两个正实根的充要条件是 D．方程有两个正实根的一个充分条件是 52．（多选）已知实数满足，若关于的不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数的可能取值是（      ） A． B．3 C． D． 53．（多选）下列说法正确的是（   ）. A．的一个必要条件是 B．若集合中只有一个元素，则 C．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D．已知集合，则满足条件的集合的个数为4 54．（多选）已知关于的方程，则下列结论中正确的是（   ） A．方程有一个正根一个负根的充要条件是 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的必要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 55．（多选）已知为任意实数，关于的方程，则（   ） A．当时，方程有两实数根 B．当时，方程有两异号的实数根 C．当时，方程有两实数根，，则 D．若方程有两个实数根，，且，，则 56．（多选）下列命题正确的是（   ） A．在上恒成立，则实数的取值范围是 B．关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是. C．若关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是 D．“集合中只有一个元素”是“”的必要不充分条件 57．（多选）已知集合，则（    ） A．若，则 B．若，则A有两个子集 C．A不可能为 D．若A中至多有一个元素，则 58．（多选）下列说法正确的有（    ） A．命题“，”的否定为“，” B．存在一个无理数，它的立方是有理数 C．设，则方程有两个不等的负实数根的充要条件是 D．若且，则，至少有一个大于1 59．（多选）若方程恰有一个实根，则实数的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 60．（多选）下列说法正确的是（ ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的一个充分不必要条件是“” C．设，则方程有两个不等的负实数根的充要条件是 D．“”是“”的既不充分又不必要条件 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03一元二次·解不含参·解含参·根据解求参·恒成立·存在性·根分布六大核心问题 题型一 解不含参一元二次方程 题型二 解含参一元二次方程 题型三 根据一元二次不等式的解确定参数 题型四 一元二次有关恒成立问题 题型五 一元二次有关存在性问题 题型六 一元二次方程根的分布问题 题型一 解不含参一元二次方程 1．不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项通分后转化为求一元二次不等式的解集即可． 【详解】由，即，解得：， 所以不等式的解集为：. 2．下列不等式中解集为R的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别解出各选项对应的一元二次不等式即可求解． 【详解】对于A，由，得，解得，不符合题意； 对于B，由，，则解集不为，不符合题意； 对于C，由，，解集为，符合题意． 对于D，由，，解得，不符合题意． 3．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求解一元二次不等式得到对应解集，通过判断两个解集的集合包含关系，结合充分必要条件的定义得出结论. 【详解】不等式解集为， 所以，“”是“”的必要不充分条件. 4．设：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据充分条件、必要条件的定义，结合集合的包含关系、绝对值不等式及一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由，得. 由，得. 若是的必要不充分条件，则，解得. 5．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况求解不等式，再取其并集，即可得不等式的解集. 【详解】由不等式，知且. 当，即且时， 因为，所以不等式恒成立； 当，即时， ，， 即，， 所以或（与矛盾，舍去）. 综上所述，不等式的解集为. 6．已知［x］表示不超过的最大整数，则满足不等式的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，令，则， 解得，即，所以． 7．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解出集合、，利用交集的定义即可求解. 【详解】已知集合，由，解得，所以， 集合，由，解得或，所以， 因此，即，故C正确. 8．不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】，即， 所以，解得． 9．（多选）设集合，条件，下列条件中是的充分不必要条件的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先求解集合，再分析充分不必要条件判断结果； 【详解】不等式 等价于解得 因为是的充分不必要条件则对应的集合必须是集合的真子集， 所以ABC符合题意，D不符合题意； 10．（多选）下列说法正确的是（　　） A．，则实数的取值范围为 B．，则实数的取值范围为 C．，则实数的取值范围为 D．，使得不等式成立，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对于A，参变分离得；对于B，参变分离得；对于C，根据题意可得，再解不等式即可；对于D，不等式可变形为，则，则，再求出最值即可． 【详解】对于A：， 则，故A正确； 对于B：， 则，故B错误； 对于C：原式子可化为， 则，即，解得， 所以实数的取值范围为，故C正确； 对于D：不等式可变形为，则，解得， 因，则，此时，即， 所以的取值范围为，故D正确． 题型二 解含参一元二次方程 11．若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意讨论的符号，结合整数解个数构造不等式，解不等式求a的取值范围． 【详解】若时，不等式，解集为，有无数个整数解，不符合题意； 若时，开口向下， 的解集为两侧无限区间，有无穷多个整数解，不符合题意； 故，开口向上， ，对应方程两根为： ， 由得，故不等式解集为：， 则4个整数解为，故，解得， 故a的取值范围为． 12．若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：一元二次方程的两个根为， 因为，则， 所以不等式的解集是. 13．已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件结合韦达定理得到参数关系，即可将问题转化为，结合进而，求解即可. 【详解】由不等式的解集为可知， 且，，所以， 所以不等式可化为， 又，则，解得或． 14．已知集合，．若，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简集合，再分析，利用的性质，得或，要使，需保证补上未覆盖的部分且无遗漏，因此关键是让唯一的“漏洞点”落在内，即，解得． 【详解】， ①当时，， 此时，满足条件． ②当时，对所有成立，所以， 要使，需要（否则会是一个不在中的点），即． 综上，的取值范围是． 15．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论结合一元二次函数的性质可得结果 【详解】根据题意当时，解得 当时，不等式恒成立，符合题意； 当，不等式，不符合题意； 当，的不等式的解集为， 所以，解得 综上所述，. 16．已知函数，下列说法不正确的有（   ） A．若，则不等式的解集为 B．若，则不等式的解集为 C．若，恒成立，则整数k的取值集合为 D．若恰有两个整数x使得不等式成立，则实数的取值范围是 【答案】C 【详解】若，则， 故不等式的解集为，故A正确； ， 若，则，则不等式的解集为，故B正确； ， 若，则对恒成立； 若，由于对恒成立， 所以，得， 故整数k的取值集合为，故C错误； 若，则，有无数个整数解，不符合； 若，则图象开口朝下，有无数个整数解，不符合； 故，则不等式的解集为， 欲使解集中仅存在两个整数，则，得，故D正确. 17．若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次项系数是否为零分情况讨论，然后对于二次项系数不为零的情况，利用二次函数图象开口向上且与横轴无交点得出判别式小于零，再结合二次项系数大于零的条件解出参数范围． 【详解】当时，不等式可化为，显然不合题意； 当时，因为在上恒成立， 所以 解得．综上， 故选：C． 18．已知关于x的不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解法，求出解集，对参数进行分类讨论，判断解集中仅有两个整数时的范围，进而求出结果. 【详解】由题可知，则，即，解得， 可知，化简为，解得， 当时，可得，若不等式有且仅有2个整数解，解必为和， 则，解得. 当时，可得，若不等式有且仅有2个整数解，解必为和， 则，解得. 所以实数a的取值范围是. 19．（多选）若集合中仅有两个不同元素，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】集合有两个不同元素，对应一元二次方程有两个不相等实数根， 即解得. ABD选项取值均满足不等式，C选项不满足. 20．（多选）已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则的最小值为4 C．关于的不等式的解集为 D．是关于的不等式的一个解 【答案】ACD 【详解】选项A，因为方程有两不等实根，所以，解得， 因为，所以，即取，A正确； 选项B，由韦达定理，则，由A选项可知，且，所以， ，当时，单调递增，因此，则，无法取到最小值4，B错误； C选项，令，代入原方程得，即若为原方程两根，则为的两根，又因为， 所以，已知，所以不等式解集为，C正确； D选项，将代入得，因为，因此， 即是不等式的一个解，D正确. 题型三 根据一元二次不等式的解确定参数 21．已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解集确定，结合韦达定理得到与的关系，逐一判断各选项的正误. 【详解】因为不等式的解集为， 所以二次函数开口向下，且方程的两根为. 对于A：二次函数开口向下，故，A正确； 对于B：根据韦达定理：，，结合得，， 将代入不等式，得， 两边同除以得，因式分解为，解得，B正确； 对于C：，由得，即，C正确； 对于D：由得，得， 因，故， 由基本不等式得， 等号成立条件为，即，与矛盾，等号无法取到， 故该式最小值不为，D错误. 22．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一元二次不等式的解集结合韦达定理求出参数的值，再代入分式不等式，移项通分转化为整式不等式求解，注意排除分母为0的情况。 【详解】由不等式的解集为，可知，且、是方程的两个实根， 根据韦达定理：，解得，，代入得，解得， 将、代入，得 ， 移项通分： ， 该不等式等价于，即，解二次不等式，得或， 结合，最终解集为. 23．已知关于的不等式的解集为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】作出函数的图象，知，讨论和，数形结合求参数值． 【详解】由，函数的图象如下， 所以， 若，则不等式的解集是不连续的两段区域，不合题意， 所以，此时恒成立， 因为不等式的解集为， 所以，，即， 由，得或4， 若，则，解得或，不合题意， 所以，此时，则. 24．已知关于 的不等式的解集为，其中 ，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知：是方程的两根，且， 则，可得，， 则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 25．不等式的解集为，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】关于x的不等式的解集为， 当时，即a＝2时，不等式即，显然不成立，满足条件； 当时，应满足且，解得． 综上知，实数a的取值范围是． 26．已知的解集为，则的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】由的解集为， 得和是方程的两个实数根， 所以， 所以等价于，即， 其充要条件为或. 所以和均是的既不充分也不必要条件； 或是的必要不充分条件； 或是的一个充分不必要条件. 27．已知函数，若关于的不等式的解集中有且只有2个整数，则实数的取值范围为（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，转化为，令，转化为的解集中有且只有2个整数，画出函数的图像，结合图像，即可求解. 【详解】由不等式，可得，即， 令， 当时，可得；当时，可得， 可得， 要使得关于的不等式的解集中有且只有2个整数， 只需不等式的解集中有且只有2个整数， 画出函数的图像，如图所示，结合图像，则满足， 即实数的取值范围为. 28．乐乐、丁丁解关于的不等式，乐乐得到的解集为，丁丁得到的解集为，检验解答题过程发现乐乐、丁丁的解答均正确，再次审题时，发现乐乐写错了参数的值，丁丁写错了一次项系数的值，则原不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合一元二次方程的根与系数的关系，列出方程组，求得的值，得出不等式，即可求解. 【详解】因为乐乐得到的解集为，丁丁得到的解集为， 且乐乐写错了参数的值，丁丁写错了一次项系数的值， 可得，解得，所以不等式为， 又由，解得， 即不等式的解集为 29．（多选）已知关于的不等式组，其中，则下列结论正确的是（   ） A．当时，不等式组的解集为 B．当时，不等式组的解集可以为的形式 C．不等式组的解集恰好为，那么 D．不等式组解集恰好为，那么 【答案】ABD 【分析】根据已知得，结合各项的描述及一元二次不等式的解法依次分析各项的正误即可. 【详解】由，可得， A：当，显然，而，即不等式无实数解，对， B：当，则，而，故， 所以不等式组的解集可以为的形式，对， C、D：当不等式组解集恰好为，则， 所以，不等式的解集，即的解集为， 所以，可得，其中（此时不满足，舍）， 所以或（舍），故，C错，D对. 30．（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】由不等式的解集的特征可得A；利用解集可得、、间关系，即可得B；利用、、间关系，计算可得C、D. 【详解】对A：由关于的不等式的解集为，可得，故A正确； 对B：由题意可得， 故，，则，故B错误； 对C：，由，故，即，故C正确； 对D：， 由，则该不等式解集为，故D正确. 题型四 一元二次有关恒成立问题 31．不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论，时直接验证不等式成立，时利用一元二次不等式恒成立的条件求解，最终合并得到的取值范围. 【详解】分两种情况进行讨论： 当时，原不等式化为，该式对任意实数恒成立，符合题意； 当时，原不等式为关于的一元二次不等式，若要对一切实数恒成立，需同时满足： （1）二次项系数小于0，即，解得； （2）判别式，代入系数得，解不等式得； 综上所述，的取值范围为. 32．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过对进行分类讨论来求解不等式恒成立问题. 【详解】首先，若，明显不恒成立. 若，恒成立. 若，可知当时最大， 所以即可， 解得. 所以综上所述，. 33．若“，”为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式问题转化为函数不等式恒成立问题，进而通过端点值满足对应条件，即可求解. 【详解】由题意可得“，”为真命题， 设，因此上述不等式恒成立即转化为，恒成立， 则， 解得. 34．使命题“，”是假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为不等式恒成立问题，对参数进行分类讨论求出充要条件，然后分析即可得出结论. 【详解】命题“，”是假命题等价于“，”是真命题， 即，不等式恒成立， 当时，则不等式化简为恒成立， 当时，不等式恒成立， 则等价于，解得， 综上所述命题“，”是真命题的充要条件是 即命题“，”是假命题的充要条件是， 若要找命题“，”是假命题的充分不必要条件， 则只需要找的真子集，由选项知只有是的真子集. 35．下列说法不正确的有（    ） A．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 B．在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 D．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围 【答案】D 【分析】利用判别式法来判断二次不等式恒成立，可判断A，利用二次式因式分解法，即可判断B，利用分离参变量再结合基本不等式求最值来判断二次不等式恒成立，即可判断CD． 【详解】对于A，当时，恒成立， 当时，由题意可知：，解得， 综上得，k的取值范围是，故A正确； 对于B，由得， 因该不等式在上恒成立，则需使，即在上恒成立， 故得，即实数k的取值范围是，故B正确； 对于C，由题意得，对恒成立，即 ， 因（当且仅当时取等号），则得，故C正确； 对于D，由题意得，对恒成立，即 ， 因（当且仅当时取等号），可知，故D错误. 36．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式恒成立问题，分，，三种情况讨论即可. 【详解】当时，显然有成立，符合题意； 当时，二次函数开口向上，故总存在，使得，故时不合题意； 当时，要使不等式对一切实数都成立，需使， 即，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 37．若“，”是真命题，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论，再结合一元二次不等式恒成立的条件可得. 【详解】因为，”是真命题， 当时， 原不等式化为，对任意恒成立，符合题意； 当时 是二次函数，要使是对任意恒成立， 所以 ，即, 解得. 综上，的取值范围为. 38．命题“，使”是假命题的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据命题为假命题求出的范围，再根据选项和必要不充分条件的判断确定答案. 【详解】∵“，使”是假命题， 即“，”是真命题， ∴，∴. 即命题“，使”是假命题等价于， 设有集合，命题：，命题的必要不充分条件为命题：， 则命题，而不能， ∴集合是集合的真子集，选项B中集合满足要求. ∴选项B正确. 39．（多选）下列命题正确的是（    ） A．若且，则 B．“”是“”的充要条件 C．若，则的最小值是5 D．不等式对一切实数恒成立，则 【答案】AC 【详解】对于A，， 因为，所以可知，即，故A正确； 对于B，充分性：若，则且，充分性成立， 必要性：若，当时，可得，即， 当时，可得，即， 综上解集为或，所以必要性不成立，故B错误； 对于C，令，则可变为， 等号当且仅当即，成立，所以原式最小值为5，故C正确； 对于D，当时，不等式为，恒成立， 当时，需满足，解得， 综上，，故D错误． 40．（多选）下列各结论中正确的是（ ） A．“”是“”的充要条件 B．函数的最小值为2 C．“”是“”的必要不充分条件 D．是假命题，则实数a的取值范围是或 【答案】AD 【详解】对于A,,故“”是“”的充要条件，A正确， 对于B, ,当且仅当取等号，但无实数根，故等号取不到，因此2不是的最小值，B错误， 对于C，是的真子集,故“”是“”的充分不必要条件，C错误， 对于D, 由于是假命题，故，则或，故D正确. 题型五 一元二次有关存在性问题 41．命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原命题“”为假命题，等价于它的否定“”为真命题， 即对于，成立. 设，开口向上，对称轴为，故在上单调递减， 最小值为，因此原命题为假等价于，即原命题为假对应集合为. 充分不必要条件对应集合是的真子集，选项中仅有，满足条件， 因此命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是. 42．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】原全称命题“”为假命题， 则其否定“”为真命题，即方程在上有解， 的取值范围就是函数在上的值域. ，这是开口向上，对称轴为的二次函数，. 则最小值在处取得：；最大值在端点处取得：. 因此的值域为，即. 43．若关于的不等式有解，则实数的最大值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【详解】由关于的不等式有解， 得，解得， 所以实数的最大值为2． 44．若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据实数的正负性，结合一元二次不等式解集性质进行求解即可. 【详解】当时，，显然不成立，此时不等式的解集为空集，符合题意； 当时，要想该一元二次不等式的解集为空集，只需满足下列条件： ， 综上所述：实数的取值范围是. 故选：B 45．若命题“，使得”为真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据题意，关于的不等式有解，则对应二次函数的判别式，解关于的不等式即可. 【详解】因为“，使得”为真命题， 则，即， 解之得{或}，即C正确. 故选：C 46．已知存在是不等式一个解．若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对参数进行分类讨论，利用二次函数的性质计算即可求解. 【详解】当 时，抛物线 开口向下，对称轴为 ， 在区间 上函数单调递减，且当 时，， 由连续性知，必存在 使得 ，故 满足条件； 当 时，不等式化简为 ，解得 ，故 满足条件； 当 时，抛物线开口向上，需满足以下条件： 判别式 ，即 ，所以对称轴 ； 所以最小值 ，此时抛物线在对称轴处取得最小值且位于 区间 内， 故存在 使得 ，即 满足条件. 综上， 的取值范围为 . 故选：B. 47．若，且不等式有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用基本不等式，求得取得最小值，转化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由且 可得， 当且仅当时，即时，取得最小值， 因为不等式有解，可得，即， 解得或，所以实数的取值范围为. 故选：A. 48．若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用分类讨论，结合对应二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】当，则，在上显然不成立， 当，则或，得或， 综上，实数的取值范围是. 故选：D 49．（多选）在上定义运算：，若命题，使得，则命题成立的充分不必要条件是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】CD 【分析】根据新定义将转化为二次函数表达式，分析二次函数的最大值，求解使存在性命题成立的的范围，结合充分不必要条件的子集关系，筛选符合条件的选项即可得解． 【详解】由题意可得， 所以若，使得不等式成立，则需函数的最大值大于， 即时，成立，解得或， 要求命题成立的充分不必要条件，只需求或的真子集，分析选项可知，只有CD满足题意． 故选：CD． 50．（多选）已知不等式的解集是，则下列说法正确的是（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．若关于的不等式有解，则实数的取值范围是或 【答案】BC 【分析】对于A选项，根据不等式的解集结构即可判断；对于B选项，由解集得到，，从而化为，求出解集；对于选项C，将，代入即可；对于选项D，先求出，从而根据不等式有解得到，求解即可. 【详解】对于选项A，因为不等式的解集为，所以，故A错误； 对于选项B，可以知道，是方程的两个不等实根， 所以，，所以，， 所以，即， 得，故B正确； 对于选项C，，，所以，因为，所以，故C正确； 对于选项D，关于的不等式有解，即求的最小值， 令，因为，所以，所以， 所以，在时单调递增， 所以，所以，解得或，故D错误. 故选： 题型六 一元二次方程根的分布问题 51．（多选）已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ） A．当时，方程的两个实根和为0 B．方程无实根的一个必要条件是 C．方程有两个正实根的充要条件是 D．方程有两个正实根的一个充分条件是 【答案】BCD 【详解】对于A，当时，方程无实数根，所以A错误； 对于B，方程无实数根，则，解得， 又由是的真子集，方程无实根的一个必要条件是， 所以B正确； 对于CD，方程有两个正实数根的充要条件是， 解得，且是的真子集， 所以方程有两个正实根的一个充分条件是，故CD正确. 52．（多选）已知实数满足，若关于的不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数的可能取值是（      ） A． B．3 C． D． 【答案】ACD 【分析】关于的不等式即为，讨论，，时的情况，确定，进而结合题意列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知实数满足，则，， 关于的不等式即， 当时，表示开口向下的抛物线， 则的解集中不可能仅有3个整数，不合题意； 当时，即，解得， 则的解集中不可能仅有3个整数，不合题意； 当时，，则的解集为， 因为解集中有且仅有3个整数，所以解集里的整数是，，故， 所以，结合，可得，解得，故， 故实数的取值范围是，故实数的可能取值，，. 53．（多选）下列说法正确的是（   ）. A．的一个必要条件是 B．若集合中只有一个元素，则 C．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D．已知集合，则满足条件的集合的个数为4 【答案】CD 【分析】A举反例，根据必要条件的定义判断；B分、讨论；C将问题转化为一元二次方程有一正一负根，根据判断；D判断集合的子集个数. 【详解】若，则，但， 故不是的一个必要条件，故A错误； 当时，，符合题意； 若，则当集合中只有一个元素时，，得， 综上，或，故B错误； 若一元二次方程有一正一负根， 则一元二次方程有一正一负根， 其充要条件是，即，故C正确； 因为，所以， 因为集合的子集个数有个，故集合的个数为4，故D正确. 故选：CD 54．（多选）已知关于的方程，则下列结论中正确的是（   ） A．方程有一个正根一个负根的充要条件是 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的必要条件是 D．当时，方程的两个实数根之和为0 【答案】AB 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可判断各选项. 【详解】因为，可得或， 所以方程有两个根的充要条件是或， 则方程有一个正根一个负根的充要条件是，故A正确； 方程有两个正根的充要条件是，故B正确； 方程无实根的充要条件是，所以必要条件不可能是，故C错误； 当时，方程无实数根，故D错误； 故选：AB. 55．（多选）已知为任意实数，关于的方程，则（   ） A．当时，方程有两实数根 B．当时，方程有两异号的实数根 C．当时，方程有两实数根，，则 D．若方程有两个实数根，，且，，则 【答案】ABD 【分析】利用判别式和根与系数关系逐项判断即得. 【详解】对于A，因为，当时，有，方程有两实数根，故A正确； 对于B，当时，有，所以方程有两异号的实数根，故B正确； 对于C，当时，方程变为，即无实数解，故C错误； 对于D，若方程有两个实数根，且，等价于， ，所以，得，故D正确. 故选：ABD. 56．（多选）下列命题正确的是（   ） A．在上恒成立，则实数的取值范围是 B．关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是. C．若关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是 D．“集合中只有一个元素”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【分析】对于A：令，则即可求得的范围；对于B：根据题意求出和的关系，化简即可求出解集；对于C：令，则即可求得的范围；对于D，求出集合中只有一个元素时参数的值，再由充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】对于A：在上恒成立，令， 则，即，解得，即实数的取值范围是，故A正确； 对于B：关于的不等式的解集是，， 则关于的不等式等价于，即，即，解得或， 所以关于的不等式的解集是，故B正确； 对于C：要使关于的方程的一根比大且另一根比小， 令，则，即， 解得，所以的取值范围为，故C错误； 对于D：若集合中只有一个元素， 当时，符合题意； 当时，则，解得； 综上可得或， 所以由“集合中只有一个元素”推不出“”，故充分性不成立； 由“”推得出“集合中只有一个元素”，故必要性成立； 所以“集合中只有一个元素”是“”的必要不充分条件，故D正确. 故选：ABD. 57．（多选）已知集合，则（    ） A．若，则 B．若，则A有两个子集 C．A不可能为 D．若A中至多有一个元素，则 【答案】ABD 【分析】本题可根据集合与元素的关系、子集的定义以及一元二次方程根的判别式来逐一分析选项． 【详解】对于A，若，则是方程的根，所以有，即，解得，故A正确； 对于B，若，则方程变为，解得，所以， 此时A的子集个数为，子集为、，故B正确； 对于C，当时，方程是一元二次方程，其判别式，当，即，解得，此时方程无实数根，，故C错误； 对于D，若中至多有一个元素，分两种情况， 当时，原方程变为，有一个实数根，满足中至多有一个元素； 当时，原方程是一元二次方程，要使中至多有一个元素，则，即，解得； 综上，或，故D正确． 故选：ABD． 58．（多选）下列说法正确的有（    ） A．命题“，”的否定为“，” B．存在一个无理数，它的立方是有理数 C．设，则方程有两个不等的负实数根的充要条件是 D．若且，则，至少有一个大于1 【答案】BD 【分析】对于A，根据存在量词命题的否定的定义求解判断即可；对于B，举例判断即可；对于C，根据一元二次方程根的分布求解判断即可；对于D，利用反证法求证即可判断. 【详解】对于A，命题“，”的否定为“，”，故A错误； 对于B，比如为无理数，而为有理数，故B正确； 对于C，由方程有两个不等的负实数根， 则，解得，故C错误； 对于D，假设都不大于1，即，则，因此不成立， 所以假设不成立，故D正确. 故选：BD 59．（多选）若方程恰有一个实根，则实数的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】在题干中的等式两边平方得出，然后对实数的取值进行分类讨论，根据原方程只有一个实数解，可得出关于的等式与不等式，综合可解得实数的取值范围. 【详解】由可得，整理得. 由于方程恰有一个实根，分以下几种情况讨论： （i）当时，或. 若，则，矛盾； 若，则，解得，满足方程； （ii）当时，即当且时， 若，解得， 此时方程为，即，解得， 满足方程； 若，若且， 则在上有且只有一个实数解， 而，故且满足； 若且，则在上有且只有一个实数解， 设，则， 而，故，此时对称轴， 而， 故此时在上无解， 综上所述，实数的取值范围是或. 故选：BD. 60．（多选）下列说法正确的是（ ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的一个充分不必要条件是“” C．设，则方程有两个不等的负实数根的充要条件是 D．“”是“”的既不充分又不必要条件 【答案】BC 【分析】根据必要不充分，以及充分不必要和充要条件的定义，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，由“”能得出“”，反之不成立，故“”是“”的充分不必要条件，故 A错误； 对于B，由得或，所以由“”能得出“”，反之不成立， 故“”的一个充分不必要条件是“”，故 B正确； 对于C，若方程有两个负实数根，则，解得：，故C正确； 对于D，等价于或，所以“”是“”的充分不必要条件，故 D错误． 故选：BC. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 专题03一元二次解不含参·解含参·根据解求参 六大核心问题 题型归纳 题型一解不含参一元二次方程 题型二解含参一元二次方程 题型三根据一元二次不等式的解确定参数 题型四一元二次有关恒成立问题 题型五一元二次有关存在性问题 题型六一元二次方程根的分布问题 题型专练 题型一解不含参一元二次方程 1.C 2.C 3.B 4.C 5.D 6.D 7.C 8.C 9.ABC 10.ACD 题型二解含参一元二次方程 11.A 12.D 113 上好每一堂课 恒成立·存在性·根分布 函学科网·上好课 www.zxxk.com 13.A 14.B 15.D 16.C 17.C 18.D 19.ABD 20.ACD 题型三根据一元二次不等式的解确定参数 21.D 22.D 23.B 24.A 25.C 26.D 27.A 28.A 29.ABD 30.ACD 题型四一元二次有关恒成立问题 31.C 32.A 33.A 34.C 35.D 36.C 37.C 38.B 39.AC 2/3 上好每一堂课 函学科网·上好课 www.zxxk.com 40.AD 题型五一元二次有关存在性问题 41.B 42.A 43.D 44.B 45.C 46.B 47.A 48.D 49.CD 50.BC 题型六一元二次方程根的分布问题 51.BCD 52.ACD 53. CD 54.AB 55.ABD 56. ABD 57.ABD 58.BD 59. BD 60.BC 3/3 上好每一堂课