概率与统计的方法体系（一）计数原理与二项式定理讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦计数原理与二项式定理核心考点，按“基本原理-典型模型-二项式定理”逻辑架构梳理知识，涵盖分类分步、排列组合模型（捆绑、插空等）、通项公式及赋值法，通过知识点系统梳理、方法分层指导、真题例题解析与练习巩固，帮助学生构建完整解题体系，突破高频难点。 讲义采用“问题驱动-模型建构-错因诊断”教学路径，如相邻问题用捆绑法先整后分，培养数学思维与推理能力；二项式系数和用赋值法取特殊值，强化数学语言表达。设置基础到综合分层练习，配合自查口诀，确保高效复习，提升学生应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

概率与统计的方法体系（一） 计数原理与二项式定理 · 从题型到方法的完整梳理 一、知识点梳理 知识点一　两个计数原理与排列组合 ★ 计数只有两条基本路径：分类用加法，分步用乘法。做一件事有几类互不重叠的办法，就把各类的办法数相加；需要依次完成几个步骤，就把各步的办法数相乘。判断「分类还是分步」的标准只有一条 —— 能否一步到位。 ★ 分类必须不重不漏。分类的标准要落在同一把尺子上，例如「按选出的女生人数分」而不是按题目的字面表述分；漏掉一类或者某一类被算了两遍，后面的乘法做得再对也白费。动笔前把类别念一遍，确认覆盖了全部情形。 ★ 分步时要注意各步是否独立。如果后一步的做法数会随前一步的结果变化，就不能简单相乘，要么换一种分步方式让各步互不干扰，要么退回分类讨论。 ★ 排列有序、组合无序，这是同一道题里最要紧的一次判断。把结果中的两个对象交换位置后算不算新的情况，就是依据。例如从 5 人中选 3 人发言是组合，选 3 人分别担任三个不同职务就是排列。 排列数 是从 个不同元素中取出 个排成一列的种数，等于从 开始连乘 个递减的正整数；组合数先不管顺序取出、再把顺序除掉，所以 。 ★ 遇到「至少」「至多」「不全」这类词，优先用总数减去对立面。例如从 6 人中选 3 人、要求甲、乙至少有一人参加，用 比逐类相加快得多，也不容易漏。 ★ 有特殊元素或特殊位置时，先安排受限制的那一个。「甲不站排头」就先定甲的位置，「某个位置只放某类元素」就先把这个位置填掉，剩下的问题往往立刻变简单。 ★ 分组与分配要区分「组是否相同」与「人是否相同」。把 5 名学生分成 3 组再分到 3 个不同社区，是「先分组、再排列」两步；若只要求分成 3 堆而不指定去处，就要把均分时产生的重复除掉。 例如把 5 名学生分配到 3 个社区、每个社区至少 1 人：先按人数分成 与 两种结构，前者的分法是 ，后者是 ，各自再乘 分到社区，合计 种。 ★ 有没有顺序，往往藏在生活情境里。「车票」有序而「票价」无序，「互发短信」有序而「握手」无序，「排队」有序而「分组」无序。读题时把这层意思先翻译出来，后面的式子才有依据。 ★ 除以 只承担「除序」的职责。凡是同一组结果被重复数了 次，就除以 ；除之前先想清楚重复从哪里来，不要见到「分组」两个字就机械地除。 ★ 数值复核有一个笨办法很管用：把参数改小一两位，手工把情况全列出来数一遍，再对照公式算出的值。末位数字、奇偶性也常能迅速否掉算错的结果，例如「选 4 人」的答案不该超过 。 ★ 计数题收尾自查三句话：分类的标准统一吗？有没有把同一种情形算了两遍？结果的大小合理吗？ 知识点二　排列组合的典型模型 ★ 相邻问题用捆绑法：把必须相邻的元素看成一个整体，先让这个整体参与全排列，再算整体内部的顺序。例如 5 个字母排成一排且其中两个必须相邻，答案是 。 ★ 不相邻问题用插空法：先排没有限制的元素，再把要求不相邻的元素插进它们之间以及两端的空隙。 个元素排好后留下 个空，挑 个放进去就有 种插法。 ★ 既有相邻又有不相邻时，先满足相邻、再处理不相邻。例如 6 人站成一排、甲与乙相邻而乙与丙不相邻：先把甲、乙捆成一个整体（内部 ），与其余三人先排好，再让丙去插空，并排除紧挨着乙的那个空位。 例如上题按插空法算：甲、乙捆好后当作一个元素，与另外三人共四个元素先排，有 种；内部顺序 ；丙可插的空有 5 个，其中紧挨着乙的那 1 个空必须去掉，于是为 种。 ★ 定序问题用除法：先把所有元素全排列，再除以相对顺序固定的那些元素的全排列数。例如四个人里某两人的先后已经定死，答案是 。 ★ 相同元素的排列用位置选择法：只问哪几个位置给了哪一类元素。例如两个 、两个 、一个 排成一行，答案是 。 ★ 相同小球放进不同盒子用隔板法。 个相同小球放进 个不同盒子且每盒不空，相当于在 个间隔里挑 个放隔板，共有 种。 ★ 允许空盒时先「借球」：给每个盒子先各借一个球，问题化为 个球放进 个盒子且每盒不空，答案是 。借球是为了把「不空」这个条件造出来，不是凭空多算。 ★ 不同小球放进不同盒子、且限定恰有若干个盒子为空，先选出哪些盒子非空，再保证它们都非空。例如 4 个不同小球放入 4 个不同盒子、恰有两个空盒，就是 。 ★ 涂色问题的第一步是读图定邻接，第二步才是分步算数。首尾相接成一圈的 个区域用 种颜色涂且相邻不同色，涂法是 。 例如正方形被分成五块：中间一块与周围四块都相邻，周围四块依次首尾相接成圈，而处于对角的两块只在一点相接、不算相邻。先用 4 种颜色涂中间，再用剩下 3 种涂那个四环，得 。 ★ 错位排列指每个元素都不在自己位置上，常用的写法是「恰有 个在自己位置上」：先选出哪 个，其余的全部错位。例如 4 人抽签恰有 1 人抽到自己的签，先选出这个人，剩下 3 人全错位有 2 种，共 种。 ★ 台阶、楼梯、传接球这类「一步跨一级或两级」的走法是递推问题：设走 级有 种走法，则 ，起始值 、，逐项推到所求即可，不必求通项。 例如 8 级台阶、每步跨一级或两级：、、、、、，共 34 种走法。 ★ 模型题收尾三问：限制条件是相邻还是不相邻？元素是相同还是不同？有没有「分了组却不指定去处」这层隐藏要求？ 知识点三　二项展开式的通项 ★ 二项式定理讲的是 展开后共 项，每一项都是把 个括号各取一个字母相乘得到的，其中 的系数是 。把「取括号」这个动作想清楚，公式就不必死记。 ★ 通项 里的 从 0 开始数，所以第 项对应 。题目说「第 项」时先换成 ，这一处错位是通项题最常见的失误。 ★ 求指定项固定四步：写通项、把根式与分式统一换成指数形式、令字母的指数等于目标次数解出 、代回算系数。最费事的是第二_步，、、 要换得干净。 例如求 中 的系数：通项写成 ，令指数 得 ，系数是 。 ★ 常数项就是字母指数为零的项。把指数整理成关于 的一次式再令其为零即可；若解出的 不在 到 之间的整数里，说明展开式中根本没有常数项，不要硬凑一个答案。 ★ 两个因式相乘的题按分配律拆成两部分：一部分取前一个因式的低次项、另一部分取后一个因式的高次项，使两边次数相加恰好等于目标次数，再把两块加起来。 例如求 中 的系数：它等于 乘 里 的系数，加上 乘同一个展开式里 的系数，即 。 ★ 三项式的展开用「先分堆、再分配」： 中 （）的系数是 ，可以理解为先选出 个位置放 、再从剩下的位置里选 个放 。 例如 中 的系数：三个字母的次数是 、、，系数为 。字母自带的那个 要一起算进去，这是三项式题最容易漏的地方。 ★ 已知某项的系数反求参数，最后要检验解出的参数是否落在题目给定范围内。例如由 只能得 ；若题目还附有 ，此时应当判定为无解，而不是随手舍掉负号。 ★ 含参的通项把参数当常数一起运算，只在最后一步代入求值。中途反复代数值会让式子变乱，也容易丢掉参数的正负号。 ★ 求「有理项」或「整数次幂的项」时要求指数为整数。把指数写成 的形式，再让 从头到尾取一遍、挑出使分母整除的那些值，逐一的检验比找规律更稳。 ★ 通项只描述展开式的形式，不改变题目问的是什么。问「系数」要带上字母前的数字与符号，问「二项式系数」只写 ，两者不是一回事。 ★ 通项题自查： 的起始值对不对？指数换成分数了吗？字母自带的系数乘进去了吗？ 知识点四　二项式系数的性质与赋值法 ★ 赋值法就是给 取特殊值来求系数和。令 得所有项的系数之和；令 得正负交替的系数之和；两式相加除以 2 得偶数次项系数和，相减除以 2 得奇数次项系数和。 ★ 二项式系数与项的系数要分清。二项式系数之和恒为 ，与字母前的数字无关；各项系数之和要把 代进去算。题目把这两个量放在一起比较时，先各自算出来再作比。 例如 中，各二项式系数之和是 、各项系数之和是 ；若两者之比为 ，即 ，解得 。 ★ 二项式系数的最值看中间： 为偶数时第 项的二项式系数最大； 为奇数时中间两项的二项式系数相等且最大。「第几项」与「 的取值」相差 1，写答案时别错位。 ★ 求系数最大的项，要在相邻两项之间作商：设第 项的系数为 ，比较 与 1 的大小，由 由增转减的位置定出最大项。系数带符号时比较的是系数本身，不是它的绝对值。 ★ 由「第 项与第 项的二项式系数相等」可以定出 ：二项式系数关于中间对称， 等价于 或 。先把 定下来，整道题才谈得上继续往下算。 例如某展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等，即 ，故 、；再由 去求常数项、系数和、二项式系数的最大值。 ★ 求整式被某数整除的余数，用二项式定理把底数拆成「除数的倍数加 1」的形式。例如判断 除以 8 的余数，把 9 写成 ，展开后只有最后一项不被 8 整除。 ★ 求近似值时用二项式定理取前几项、把高次小量舍去。例如估算 ，把它写成 ，展开后取前三项，第三项已经在 量级，精度足够。 ★ 两边求导再赋值，可以求带权的系数和。对 两边求导，左边得 ，右边是 ，再令 。 ★ 用求导赋值得到的是「不含 」的那部分和。例如求 时，先用求导赋值算出 ，再单独加上 —— 它不带权，求导后已经消失。 ★ 杨辉三角与二项式系数一一对应：第 行有 个数，第 个数是 。因此第 行所有数字之和是 ，而某一斜列之和要用 逐项合并。 例如求第 4 行到第 19 行、每行第 4 个数字之和：那些数依次是 ，反复用斜列公式合并，结果为 。 ★ 去掉所有等于 1 的项之后，三角的每一行剩下 到 ，其和为 。统计这类「去头去尾」的项数时，用累计行数定位：前 行共去掉 项、剩下 项。 ★ 系数和题自查：要的是二项式系数还是项的系数？奇偶指的是次数的奇偶还是项序号的奇偶？符号带上了吗？ 二、方法突破 方法一　两个计数原理与排列组合的基本应用 计数题看起来花样最多，做法却只有两条：分类相加、分步相乘。这一节先把这两条用熟，再练排列与组合的取舍 —— 也就是判断「交换顺序后算不算新的情况」。 ★ 读题第一步先问：这件事能一步完成，还是要分几步？一步完成且各类互不重叠，用分类加法；必须依次做完几个动作，用分步乘法。分类与分步混在一道题里是常态，先分大层、再在每层里分步。 ★ 第二步问：有没有顺序？把结果里两个对象交换位置后算不算新的情况，就是判断依据。「选出 4 人值班、这 4 人分别值哪一天」是有序的，「只选出 4 人」是无序的，两者的式子差一个 。 ★ 有特殊元素或特殊位置时，先把它安排掉。「甲、乙至少一人参加」这类条件，用总数减去「两人都不参加」往往一步到位；「某个位置只能放某类元素」就先填这个位置。先处理限制最强的那一个，剩下的就是普通排列组合。 ★ 分步时警惕各步不独立的情况。如果后一步的做法数取决于前一步选了什么，直接相乘就会错，这时要么改换分步的角度，要么退回分类讨论。例如「先选人、再把人分到不同岗位」，选出的不同人群对应的分配数可能不同，就得分类。 ★ 分组与分配是两步：先把元素分成堆，再把堆分到指定的位置。堆有大小不同的，直接分步相乘；堆的大小相同，均分时会产生重复，要除以相同堆数的阶乘。例如 5 人分成 三组，要除以 。 ★ 例如 5 名学生分到 3 个社区、每个社区至少 1 人：按人数只有 与 两种结构，前者分成三堆有 种、后者有 种，加起来 25 种；再把 3 堆分到 3 个社区，乘 得 150 种。 ★ 「至少」「至多」的条件优先走对立面。「甲、乙至少一人参加」的反面是「甲、乙都不参加」，后者通常好算得多。用总数减反面时要确认反面确实是全体中不满足条件的那些，中间不能有第三种情形被漏掉。 ★ 相同元素与不同元素的处理方式完全不同。「4 张面值互不相等的优惠券」是不同元素，选 4 人领取要分步相乘；「6 个相同的跳箱」是相同元素，分给几个队只需确定每队几个。 ★ 算完必须复核。最省事的办法是把数字改小：把「5 人」改成「3 人」手工数一遍，看看与公式的结论是否一致。另外答案不该超过 、不该出现分数，这些常识判断能拦下大部分粗心错。 ★ 计数题收尾自查三句话：分类的标准统一吗（有没有一类被算两遍）？该乘的阶乘乘了吗、该除的除干净了吗？结果的大小与题目规模相称吗？ 例题 例 1-1 【单选】5名工人各自在4天中选择1天休息，不同方法的种数是（ ） A. B. C. D. 【解析】 题目问的是「不同方法的种数」，也就是安排 5 名工人各自在哪一天休息。因为每名工人都可以自由地在 4 天中挑一天，工人与工人之间没有相互约束，所以这是一个分步计数问题。 把「安排 5 名工人的休息日」拆成 5 步：先定第一名工人，他有 4 种选法；再定第二名工人，他同样有 4 种选法；一直到第五名工人，每人都是 4 种。 各步相互独立，按分步乘法计数原理相乘，得 所以不同方法的种数是 。 第 1 步　判断是分步还是分类 ◈ 每名工人各自选一天，是「一次完成、分成五步」的动作，所以用分步乘法，而不是把 4 天加起来。 第 2 步　看清谁在选、从几个里选 ◈ 做选择的是 5 名工人，每人有 4 个可选的日子，所以每一步 4 种、重复 5 次，写出来就是 。 第 3 步　别把 与 写反 ◈ 判断方法是看谁被重复选择：工人有 5 个、日子只有 4 天，被反复挑选的是 5 个人，所以底数是 4、指数是 5。 答　A 例 1-2 【单选】将5名学生分配到3个社区当志愿者，每个社区至少分配1名学生，则不同的分配方法种数是（ ） A. 24 B. 50 C. 72 D. 150 【解析】 5 名学生去 3 个社区，每个社区至少 1 人。按人数分配只有两种结构： 或 。两种结构互不重叠，先分别算出分法，再分到 3 个社区。 第一种结构 ：先从 5 人中选出 3 人组成那一组，剩下 2 人各自成组；两个单人组大小相同，交换它们的先后不产生新的分法，所以要除以 。于是 第二种结构 ：先把 5 人分成两组各 2 人与一个单人组。两个两人组大小相同，同样要除以 ，得 两种结构合计 种分组方式。 再把分好的 3 组安排到 3 个不同的社区。社区是不同的，所以这一步是一个排列，有 种。于是共有 种分配方法，选 D。 第 1 步　先分组、再分配 ◈ 把人分堆与把堆送到社区是两件事：分堆时组与组没有名字，分配时社区是有名字的，所以要分两步做，先算分堆数再乘 。 第 2 步　均分的组要除序 ◈ 里的两个单人组一样大、 里的两个双人组一样大，分堆时被重复数了 遍，所以两种结构都要除以 。 第 3 步　还可以用容斥直接算 ◈ 先不考虑「每社区至少一人」，5 人各选一个社区共 种，减去有社区空着的情形得 ，与分组的结果互相印证。 答　D 例 1-3 【单选】有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（ ） A. 40 B. 48 C. 52 D. 60 【解析】 4 对双胞胎共 8 人，选出 4 人，要求「恰有一对双胞胎」—— 也就是 4 个人里恰好有 2 个人来自同一对，另外 2 个人分别来自不同的两对。 第一步，定出完整的那一对。4 对里选 1 对整对都要，有 种。 第二步，给剩下 2 个名额选对。剩下 3 对里选出 2 对，有 种；每一对只取其中 1 人，各有 2 种取法，两对合计 种。两步相乘，得 种。 按分步乘法把两次结果合起来， 所以选法种数为 48，选 B。 第 1 步　把「恰有一对」拆成两句 ◈ 「恰有一对双胞胎」等价于「有一对整对入选，且其余两人分属不同的两对」——前半句管完整的那一对，后半句管剩下两个名额。 第 2 步　剩下两个名额要来自不同的对 ◈ 若再从剩下 3 对里取 2 人而不限制来源，有可能取到同一对，那就变成两对完整入选了。所以要先选对、再在每对里挑人，才能保证只剩一对完整。 第 3 步　用总数口径复核 ◈ 8 人选 4 人共有 种，其中「恰有一对」48 种，与「两对完整」 种、「没有一对完整」 种相加恰为 70，说明分类没有遗漏。 答　B 例 1-4 【单选】某班级图书角有5种课外书，甲、乙两名同学从5种课外书中各自选2种，则两人选的课外书没有相同种类的选法有（ ） A. 20种 B. 30种 C. 40种 D. 60种 【解析】 5 种课外书，甲、乙各选 2 种，要求两人选的书没有相同种类。「没有相同种类」意味着两人一共恰好覆盖 4 种不同的书，而每种书最多被一个人选 1 次。 第一步，从 5 种书里挑出被选中的 4 种，有 种。没被挑中的那 1 种两人都没选，与条件相符。 第二步，把这 4 种书分给甲、乙各 2 种。甲先从 4 种里选 2 种，有 种，剩下的 2 种自然归乙。甲、乙是两个不同的人，「甲拿前两种、乙拿后两种」与「甲拿后两种、乙拿前两种」是两种不同的选法，所以这里不除 。 按分步乘法计数原理， 所以选法有 30 种，选 B。 第 1 步　把条件翻译成「覆盖 4 种书」 ◈ 两人各选 2 种且没有相同的种类，说明 4 本书两两不同 —— 先把这 4 种书选出来，问题就变得具体了。 第 2 步　先选书、再分配 ◈ 决定「用哪 4 种」， 决定「这 4 种怎么分给两个人」，两步互不干扰，直接相乘。 第 3 步　两人是可区分的，不要再除 2 ◈ 容易误写成 。除法只用于「把元素分成无名的堆」，而甲、乙是两个有名有姓的人，调换他们手里的书是完全不同的结果。 答　B 练习 1-1. 【单选】某班班会从甲、乙等6名学生中选3名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，那么不同的选法为（ ） A. 32 B. 20 C. 16 D. 10 解析　答：C 从 6 名学生中选 3 人发言，「甲、乙至少有一人参加」。直接按「恰有甲」「恰有乙」「甲乙都有」分三类也可以，但更省事的是用总数减去对立面。 不考虑任何限制，从 6 人中选 3 人，有 种。 「至少有一人参加」的反面是「甲、乙两人都不参加」，也就是从剩下的 4 人中选 3 人，有 种。 于是符合条件的选法为 所以不同的选法有 16 种，选 C。 1-2. 【填空】已知某趟往返梅州与广州的高铁，沿途共有梅州西、兴宁南、五华、河源东、惠州北、广州等6个站点，则此趟高铁沿途需要准备______种不同的车票. 解析　答：30 车票与站点有关，而且是有顺序的：从梅州西到广州的车票，与从广州到梅州西的车票是两张不同的票。所以这是一道排列问题。 这条线路共有 6 个站点，每张车票由「起点站」与「终点站」两个不同的站确定。起点站有 6 种选法，起点定下之后终点站只能从剩下的 5 个站里选，有 5 种。 按分步乘法计数原理，需要准备的车票种数为 所以填 30。 1-3. 【单选】某单位计划从5人中选4人值班，每人值班一天，其中第一、二天各安排一人，第三天安排两人，则安排方法数为（ ） A. 30 B. 60 C. 120 D. 180 解析　答：B 5 人中选 4 人值班，第一天 1 人、第二天 1 人、第三天 2 人。三天的人数是 ，可以按「第一天、第二天、第三天」依次安排。 第一天需要 1 人，从 5 人中选，有 5 种；第二天还需要 1 人，从剩下的 4 人中选，有 4 种；第三天需要 2 人，剩下的 3 人里任取 2 人，有 种。余下 1 人轮空，正是题目「选 4 人」的含义。 各步依次进行且相互独立，按分步乘法计数原理得 所以安排方法数为 60，选 B。 1-4. 【单选】将4张面值互不相等的优惠券分给10名消费者，每名消费者最多分得1张，则不同的分法种数为（ ） A. 210 B. 1200 C. 4800 D. 5040 解析　答：D 4 张面值互不相等的优惠券是不同的元素，分给 10 名消费者，每人最多分得 1 张。可以把「发券」看成依次为 4 张券各找一位主人。 第一张券可以从 10 人中任选一人，有 10 种；第二张券只能给剩下 9 人中的一位，有 9 种；第三张有 8 种；第四张有 7 种。 因为是 4 张不同的券分给 4 位不同的人，顺序的先后会产生不同的结果，所以用排列而不是组合， 所以不同的分法种数为 5040，选 D。 1-5. 【单选】某校食堂新供应了四种不同的午餐套餐，小王同学计划周一到周五都从新供应的四种套餐中选择一种就餐，且在这五天里将这四种套餐都尝一遍，则不同的方案共有（ ） A. 120种 B. 144种 C. 240种 D. 288种 解析　答：C 周一到周五共 5 天，每天从 4 种套餐里选 1 种，而且要求这 4 种套餐都尝过。5 天里出现 4 种不同套餐，必然是有一种套餐被选了两次，另外三种各选一次。 第一步，决定哪一种套餐被选两次，有 4 种。 第二步，决定这种套餐出现在哪两天，从 5 天里选 2 天，有 种。 第三步，把剩下 3 种套餐安排到剩下的 3 天里，三天各不相同，是一个排列，有 种。 按分步乘法计数原理， 所以不同的方案共有 240 种，选 C。 1-6. 【单选】2025年，省属“三位一体”综合评价招生政策进行了调整，每位考生限报四所大学.某考生从6所大学中选择4所进行报名，其中甲、乙两所学校至多报一所，则该考生报名的可能情况种数是（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 15 解析　答：B 从 6 所大学中选 4 所报名，附加条件是甲、乙两所至多报一所。这类「至多」「至少」的条件，优先用总数减去反面。 不考虑限制时，从 6 所里选 4 所有 种。 「至多报一所」的反面是「甲、乙都报了」。若甲、乙都已选定，剩下 2 个名额从其余 4 所里选，有 种。 于是符合条件的报名情况为 所以可能情况种数是 9，选 B。 方法二　排列组合的典型模型 上一节解决「怎么数」，这一节解决「遇到限制条件怎么绕」。高考里的计数题几乎都带一个限制：必须相邻、不能相邻、顺序已定、盒子不能空、相邻区域不同色。每一种限制都对应一个固定的处理手法。 ★ 相邻用捆绑：把必须相邻的元素捆成一个整体先排，再乘上这个整体内部的排列数。捆的时候要写清楚「整体当作一个元素」这句话，否则容易把它算成两个元素。 ★ 不相邻用插空：先排没有限制的元素，再把要求不相邻的元素插进它们之间的空隙。 个元素排好留下 个空，插 个就有 种。插空的前提是被插的元素彼此也不同，否则要改成组合数。 ★ 相邻与不相邻同时出现时，先捆后插。例如 6 人一排、甲与乙相邻而乙与丙不相邻：先把甲、乙捆好（内部 ），与除丙外的三人共四个元素先排，再让丙去插 5 个空；捆好的整体里乙只占一侧，所以只需排除紧挨乙的那 1 个空，得 。 ★ 定序问题用除法。若某几个元素的相对顺序被固定（不是相邻，只是先后），就把它们当作全排列后被均分，除掉这几个元素的全排列数。这种题最容易错在多除了一个因子，核对时问自己：被固定的元素一共有几个？ ★ 隔板法专治「相同小球放进不同盒子」。每盒不空时，答案是 ；允许空盒时先给每盒借一个球，答案变成 。用之前必须确认小球是相同的 —— 不同小球放进不同盒子是分步乘法，与隔板法无关。 ★ 涂色题的第一步是读图，不是算数。先把「哪两块相邻」标出来：共享一段边才算相邻，只碰一个点不算。读错一处邻接关系，答案就会整题跑偏，所以这一步宁可慢一点，把邻接关系在草稿纸上画成图。 ★ 围成一圈的 个区域用 色涂且相邻不同色，涂法是 。它不是背出来的：从某一格起头、逐步往后涂，最后回到起点时要扣掉「首尾同色」的那些情形，用递推关系整理就得到上面的式子。 ★ 错位排列用「先选后错」：恰有 个元素在自己位置上，先选出这 个，剩下的必须全部不在自己位置上。三元素错位有 2 种、四元素错位有 9 种，这两个小数值记熟，多数题就够用了。 ★ 台阶型走法是递推计数：每步跨一级或两级，走到第 级的方法数满足 ，起始 、。这类题不要求通项，逐项推到目标级数即可，但推导时要说清「最后一步从哪一级跨来」。 ★ 模型题的收尾三问：限制条件是相邻还是不相邻？元素相同还是不同？有没有「分了组却不指定去处」这层隐藏要求？三问答完，式子基本就定型了。 例题 例 2-1 【填空】甲､乙､丙､丁､戊､己共6人站成一排，若甲､乙两人相邻，而乙､丙两人不相邻，则不同的排法种数共有__________.（用数字作答） 【解析】 要求甲、乙相邻而乙、丙不相邻，先处理相邻的那一对。把甲、乙捆成一个整体，记为 。 内部有两种顺序（甲乙或乙甲），所以整体内部有 种排法。 接着让 与丙、丁、戊、己之外的三人一起先排。此时相当于 4 个元素排成一排： 与另外 3 人，共有 种排法。加上内部顺序，这一步得到 种。 最后安排丙。四个元素排好后留下 5 个空位（两端各一个，每两个元素之间一个）。丙插进去即可，但乙的位置限制了其中一侧： 内部有两种顺序，乙要么在左端、要么在右端，紧挨着乙的那一侧的空位必须排除。于是丙可插的空位是 个。 按分步乘法计数原理，不同的排法总数为 所以填 192。 第 1 步　先捆绑处理「相邻」 ◈ 把甲、乙合成整体 ，内部顺序 ，这一步把「相邻」这个限制一次性解决掉。 第 2 步　先排无限制的元素，再用插空处理「不相邻」 ◈ 与另外三人先排好（ 种），留下的 5 个空位是丙的候选位置。 第 3 步　算准被排除的空位数 ◈ 乙在整体里只占一侧，所以只有紧挨乙的那 1 个空位不能用，而不是两侧都排除；写成 而不是 。 答　192 例 2-2 【单选】用红、黄、蓝、绿4种不同颜色在如图所示的，，，，的5个区域涂上颜色，要求每个区域只涂1种颜色，且相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的不同涂色方案种数为（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 72 【解析】 先把图读清楚。五块区域中，中间那一块 与四周的 、、、 都有一段公共边，所以 与它们四个都相邻。四周的四块依次首尾相接： 与 相邻、 与 相邻、 与 相邻、 与 相邻，构成一个圈；而处于对角位置的两块（ 与 、 与 ）只在一点相接，不算相邻。 第一步涂中间那一块。 与其余四块都相邻，它的颜色不受别的块影响，4 种颜色任选，有 4 种涂法。 第二步涂外围的一圈。 已经占去一种颜色，剩下 3 种颜色；外围四块围成一个圈，相邻两块不能同色。用 种颜色涂 块围成一圈的相邻区域，涂法数为 。代入 、 得 第三步把两步相乘。涂 与涂外围圈这两件事相互独立，所以总数为 故选 D。 第 1 步　读图定邻接，把「一圈」认出来 ◈ 与四周四块全相邻；外围四块依次首尾相接成圈，而对角的两块只在一点相接、不算相邻 —— 这一步读错，后面的计数全部落空。 第 2 步　中心一块先涂，占掉一种颜色 ◈ 与其余四块都相邻，先涂它最省事：涂完之后外围只剩下 3 种颜色可用，问题变成一个纯粹的四环涂色。 第 3 步　外围是环形涂色，套公式并核对 ◈ 四块成圈、每块与其左右两块不同色，涂法为 ；与中心相乘得 。 答　D 例 2-3 【填空】4名医生和2名护士站成一排，要求2名护士不相邻，且医生甲不站在队伍的最左端，则不同的站法共有_____________种． 【解析】 限制有两层：2 名护士不相邻，且医生甲不站最左端。先处理「不相邻」，再扣掉「甲在最左端」的情形。 第一步，先排 4 名医生。医生是可以区分的，4 人全排列有 种。4 名医生排好后留下 5 个空位，2 名护士插进其中两个空位即可保证不相邻。护士同样是不同的人，从 5 个空里选 2 个并排上顺序，有 种。 于是只要求「护士不相邻」的站法有 种。 第二步，数出其中「医生甲站在最左端」的站法。此时最左端已定，剩下 3 名医生与 2 名护士共 5 人排在后面的 5 个位置上，仍要求 2 名护士不相邻：先排 3 名医生（ 种），留出 4 个空位，护士插进去有 种，共 种。 把第二种情形扣掉， 所以不同的站法共有 408 种。 第 1 步　不相邻用插空，先排医生 ◈ 4 名医生先全排列（），他们之间连同两端共 5 个空位；护士只需插空就自动满足不相邻。 第 2 步　「甲不站最左端」用减法处理 ◈ 先按只带一个限制算出 480 种，再单独数出甲真站在最左端的情形 72 种，两者相减。 第 3 步　减掉的那部分要重新插空，不能直接除以 6 ◈ 甲固定在最左端后，剩下 5 个位置的插空结构与原题不同，必须重新用 数一遍，而不是把 480 除以 6。 答　408 例 2-4 【单选】某校教学楼的某层楼设置有8级台阶，某同学上楼梯时只能每步跨越一级台阶或两级台阶，则该同学从楼梯底部登上第8级台阶的不同走法有（ ） A. 32 B. 33 C. 34 D. 35 【解析】 设登上第 级台阶共有 种走法。最后一步只有两种可能：从第 级跨一级上来，或者从第 级跨两级上来。这两类走法互不重叠，且已经涵盖全部情况，所以 起始条件是 （只能一步一级）、（一级一级上，或一步跨两级）。 由起始条件逐项往后推： ，，，，，。 所以登上第 8 级台阶的不同走法有 34 种，选 C。 第 1 步　用「最后一步」建立递推 ◈ 按最后一步跨的级数把全部走法分成两类：跨 1 级与跨 2 级；两类互不重叠，故走法数相加。 第 2 步　把起始两项定准 ◈ 、。 容易写成 1，漏掉「一步直接跨两级」这一种走法。 第 3 步　逐项推到目标，不必求通项 ◈ 递推到 只需六步算术，而且每一步都可以回头核对前一项，比套用斐波那契的通项公式稳妥得多。 答　C 练习 2-1. 【单选】将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为（ ） A. 72 B. 84 C. 96 D. 108 解析　答：B 4 个不同的小球放入 4 个不同的盒子，恰有两个盒子为空。「恰有两个盒子为空」等价于「恰有两个盒子非空」，也就是 4 个球全部落进某两个盒子里。 第一步，选出哪两个盒子用来放球。从 4 个盒子里选 2 个，有 种。 第二步，把 4 个不同的小球放进这两个盒子，并且要求两个盒子都不空。不加限制时每个球都有 2 种选择，共 种；其中有两种情况是两个球全进同一个盒子，会让另一个盒子空着，必须扣除。于是为 种。 按分步乘法计数原理， 所以放法种数为 84，选 B。 2-2. 【单选】某同学需将、、、、这个字母排成一排，若与必须相邻，则不同的排法种数为（ ） A. B. C. D. 解析　答：B 5 个字母排成一排，要求 与 必须相邻。把 、 捆成一个整体，这个整体内部有两种顺序（ 或 ），即有 种。 捆绑之后，、 的整体连同 、、 共 4 个元素排成一排，有 种排法。 按分步乘法计数原理， 所以不同的排法种数为 48，选 B。 2-3. 【单选】某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（ ）种. A. 216 B. 360 C. 432 D. 672 解析　答：C 4 个歌舞节目、2 个机器人表演节目，要求机器人节目不能相邻，且前 3 个节目中至少有一个是机器人节目。「至少一个」这类条件仍旧用总数扣反面。 第一步，先算「机器人节目不相邻」的全部安排数。先排 4 个歌舞节目，有 种；排好后连同两端共留下 5 个空位，把 2 个机器人节目插进去并考虑它们的先后，有 种。故第一步共 种。 第二步，数出其中「前 3 个节目没有机器人节目」的情形。这意味着两个机器人节目都排在第 4 位及以后。在位置 4、5、6 中选出 2 个不相邻的位置，只有第 4 位与第 6 位这一组；两个机器人节目在这两个位置上还可交换，有 种。歌舞节目在其中任意排列，有 种，所以这一类共 种。 把不合要求的扣掉， 所以不同的节目安排方法有 432 种，选 C。 2-4. 【单选】将6个相同的小球全部放入3个不同的盒子中，每个盒子都要有小球，则不同的放球方法共有（ ） A. 4种 B. 6种 C. 10种 D. 12种 解析　答：C 6 个相同的小球放进 3 个不同的盒子，每个盒子都要有球。小球是相同的，盒子是不同的，这类「相同元素分组且每组非空」的问题用隔板法。 把 6 个小球排成一行，它们之间留下 5 个间隔。在这 5 个间隔里挑 2 个放入隔板，就把小球分成了 3 段，依次对应 3 个盒子；由于隔板放在间隔里，每一段至少含 1 个小球，恰好满足「每个盒子都要有小球」。 于是不同的放球方法数为 所以选 C。 2-5. 【单选】为全面提升学生的核心素养与综合实践能力，某校举办“模拟联合国大会”活动，设置了A，B，C，D共4个不同的国家立场，由4名同学通过随机抽签确定每人代表一个国家立场参与活动.已知这4名同学每人都有且仅有一个心仪的国家立场，且4人心仪的国家立场互不相同，则仅有1名同学抽到自己心仪国家立场的抽取方法数是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 24 解析　答：B 4 名同学各自心仪的立场互不相同，抽签的结果就是 4 个人与 4 个立场之间的一一对应，即 4 个元素的一个排列。题目要求「仅有 1 名同学抽到自己心仪的立场」。 第一步，选出抽到自己心仪立场的那个人。4 人里选 1 人，有 种。 第二步，剩下的 3 个人都必须抽不到自己心仪的立场，也就是 3 个元素的错位排列。把剩下 3 个立场记为甲、乙、丙对应的三个，则这 3 个人每人拿到的都不是自己的那一份，可以逐个数出来：共有 2 种。 按分步乘法计数原理， 所以抽取方法数是 8，选 B。 2-6. 【填空】一个火车站有 8 股道，如果每股道只能停放 1 列火车，现要停放 4 列不同的火车，每两列火车不能停在相邻股道，则不同的停放方法共有_____种. 解析　答：120 8 股道停放 4 列不同的火车，每两列不能停在相邻股道。分两步：先选出 4 个互不相邻的股道，再把 4 列不同的火车安排上去。 设选出的 4 个股道编号依次为 ，互不相邻即相邻两个编号至少相差 2。令 ，这个变换把「至少差 2」变成了「严格递增」，而 最大为 。于是选股道的方案数等于从 1 到 5 中选 4 个，有 种。 再把 4 列不同的火车安排到这 4 个股道上。火车是可以区分的，这是一个排列，有 种。 按分步乘法计数原理， 所以不同的停放方法共有 120 种。 方法三　二项展开式的通项与指定项 二项式定理这一块的题，形式上只有一类：给一个展开式，问某一项的系数、某个常数项，或者反过来给系数求参数。所有题目都从通项公式出发，所以这一节的核心是把通项用熟。 ★ 通项 里的 从 0 开始取，取遍 到 就得到全部 项。题目说「第 项」，先换成 再代入，这个错位是本节最高频的失误。 ★ 用通项之前先统一指数形式。、、，把根式与分式全部换成分数指数，后面的「令指数相等」才是纯粹的代数运算。 ★ 求指定项的流程固定成四步：写通项、统一指数、令指数等于目标次数解出 、代回求系数。第二步漏换一处根式，指数方程就解不出整数；第四步别忘带上字母前面的数字与符号。 ★ 常数项、 的项、有理项，本质都是指数取某个值。把指数整理成关于 的一次式，按题目要求令它等于 、等于 或等于整数，解出来的 必须落在 到 之间且为整数，否则就是「不存在」。 ★ 两个因式相乘的题，用分配律拆成两块：一块取前一个因式的常数项、配后一个因式的高次项；另一块取前一个因式的低次项、配后一个因式的低次项，让两边的次数相加恰好等于目标次数。拆完把两块加起来，不要重复也不要遗漏。 ★ 三项式先分堆再分配： 中 的系数是 ，其中 。算的时候别忘把字母自带的系数一起乘进去，例如 里的那个 2 要取 2 次方。 ★ 已知系数反求参数，最后一步必须检验。由系数方程解出的参数可能有多个值，要用题目给的限制（如 、 为正整数）筛一遍；若筛完一个都不剩，那这道题的答案就是「无解」，不要为了凑答案而留下不合条件的值。 ★ 含参的通项把参数当常数运算，直到最后一步才代入。中途频繁代入数值会让式子凌乱，也容易在符号上出错 —— 负号一旦在中间丢掉，末尾的系数就会整体差一个符号。 ★ 系数与二项式系数是两回事。「 的系数」要把字母前的数字与符号都算进去；「第 4 项的二项式系数」只写 ，与字母前的数字无关。这两种问法在同一道题里交替出现，读题时要圈出关键词。 ★ 通项题的自查： 的起始值取对了吗？指数换成分数了吗？解出的 是 0 到 之间的整数吗？字母自带的系数乘进去了吗？ 例题 例 3-1 【填空】的展开式中的常数项为_______． 【解析】 二项展开式中第 项的通项为 ，其中 从 0 取到 。本题的 、、，所以 把两个因式的次数合并。 给出 与系数 ， 给出 与符号 ，于是 常数项要求 的指数为零，即 ，解得 。这个值落在 到 之间，说明展开式中确实存在常数项。 把 代回， 所以常数项为 。 第 1 步　写出通项，把两个因式的次数合并 ◈ 与 相乘，字母部分合并成 ，数字部分留下 与符号 。 第 2 步　令指数为零解出 ◈ 常数项的字母指数为 0，由 得 ；还要检查这个 是否在 0 到 6 之间，确认常数项真的存在。 第 3 步　代回时别丢掉 与负号 ◈ 系数是 ，漏掉 会少一个因子 8，漏掉 会把答案写成正数。 答　-160 例 3-2 【填空】在的展开式中，的系数为______________．（结果用数字表示） 【解析】 两个因式相乘，要求乘积中 的系数。按分配律，把所有能产生 的搭配找出来即可：前一个因式的每一项与后一个因式的每一项相乘，只看次数相加等于 2 的那些组合。 前一个因式是 ，它的两项次数分别是 0 与 ；后一个因式是 ，其通项为 。 第一种搭配：取前一个因式的 （次数 0），配后一个因式中次数为 2 的项 ，贡献 。 第二种搭配：取前一个因式的 （次数 ），配后一个因式中次数为 4 的项 ，贡献 。 两种搭配的次数都恰好凑成 2，把它们相加， 所以 的系数为 45。 第 1 步　按次数拆成两种搭配 ◈ 前一个因式只有两项，次数为 0 与 ；要让乘积的次数等于 2，后一个因式必须分别取到次数 2 与次数 4。 第 2 步　后一个因式的次数要用通项去数 ◈ 中 的系数是 ，取 与 分别得到 与 。 第 3 步　两类结果相加而不是相乘 ◈ 两种搭配是互不重叠的两类情形，按分类加法相加；只有在一次搭配内部才把两个因式的系数相乘。 答　45 例 3-3 【填空】的展开式中，的系数为______．（用数字作答） 【解析】 是三项式的幂，把它看成 5 个相同的因式 相乘，展开时每个因式各取一项相乘。要得到 ，就需要在 5 个因式里有 2 个取 、2 个取 、1 个取 。 先数「分堆」的方式：把 5 个因式分成 2 个、2 个、1 个三堆，共 种。每一种分堆方式都唯一确定了一种取法。 再把字母自带的系数算进去。取 的那两个因式各带着系数 2，合起来贡献 ； 与 前面没有系数，不用再乘。 于是 的系数为 所以填 120。 第 1 步　把三项式看成 5 个因式各取一项 ◈ 展开式的每一项都对应「5 个因式各取一项」的一种取法，次数组合 正好对应 。 第 2 步　用分堆数算出取法的种数 ◈ 把 5 个位置分成 2 个、2 个、1 个三堆，有 种，这就是朴素系数。 第 3 步　字母自带的系数要一起乘 ◈ 前面有一个 2，它出现 2 次就要乘 ；漏掉这一步是最常见的失误。 答　120 例 3-4 【填空】已知二项式的展开式中的常数项为，则实数 = ______． 【解析】 中 是待定的常数，先用通项写出一般项。其中 所在的因式是 、次数为 10，另一个因式是 。 通项为 常数项要求指数为零，由 得 。这个值落在 到 之间，符合要求。 把 代回，常数项为 题目给出常数项等于 ，于是 解得 ，所以 。 把 代入检验：此时 ，展开式的常数项为 ，与题目相符。 第 1 步　把参数 留在通项里一起运算 ◈ 先写出含 的通项 ，不要中途代入猜测的数值。 第 2 步　由指数为零定出 ◈ 得 ，这一步与参数无关，先把位置定下来再处理系数。 第 3 步　解出参数后代回检验 ◈ 由 得 ；把 代回重算一遍常数项，确认仍为 ，说明符号没有处理错。 答　-1 练习 3-1. 【填空】的展开式中，x项的系数为________． 解析　答：20 两个因式相乘求 项的系数。前一个因式是 ，它的两项次数分别是 0 与 ；后一个因式是 ，其通项为 。 第一种搭配：取前一个因式的 （次数 0），配后一个因式中次数为 1 的项。由通项得 ，贡献 。 第二种搭配：取前一个因式的 （次数 ），配后一个因式中次数为 2 的项。由通项得 ，贡献 。 把两种搭配相加， 所以 项的系数为 20。 3-2. 【填空】在的展开式中，的系数为__________.（用数字作答） 解析　答：60 先统一指数形式：，于是原式为 。取 、、，通项为 要求 的系数，令指数等于 3： 解得 。这个值在 到 之间，符合要求。 把 代回， 所以 的系数为 60。 3-3. 【单选】在的展开式中，含的项的系数为（ ） A. 40 B. C. 20 D. 解析　答：A 的通项为 要求含 的项，即令 ，得 。 把 代回，该项为 所以含 的项的系数为 40，选 A。 3-4. 【填空】的展开式中的常数项为________．（用数字表示） 解析　答：672 先统一指数形式。，于是原式为 。取 、、，通项为 常数项要求指数为零，由 得 。 把 代回，系数为 这里 ，而 恰与 相消。所以常数项为 672。 3-5. 【填空】的展开式中的常数项为____________（用数字作答）． 解析　答：15 把 写成 ，原式为 。取 、、，通项为 常数项要求指数为零，由 得 。 把 代回， 所以常数项为 15。 3-6. 【填空】在的展开式中．的系数为______． 解析　答：15 把两个因式都写成指数形式：、，于是原式为 。取 、、，通项为 要求 的系数，即令 的指数等于 1： 解得 ，即 。 把 代回， 所以 的系数为 15。 方法四　二项式系数的性质与赋值法 前三节都在算「某一项」，这一节算的是「一堆项加起来」。求系数和、判断整除余数、估计近似值，靠的都是同一个动作：给 取一个合适的值，让展开式右边的求和变成好算的形式。 ★ 赋值法就三种取法：取 得全部项的系数和；取 得正负交替的和；两式相加或相减再除以 2，分别得到偶数次项与奇数次项的系数和。取 得到常数项。 ★ 二项式系数之和恒为 ，各项系数之和要用 去算。前者与字母前的数字无关，后者与它有关。题目要求两者之比时，先把两个量分别写成关于 的式子再作比，不能凭感觉合并。 ★ 二项式系数的最值看对称轴： 为偶数时中间一项最大， 为奇数时中间两项相等且最大。而「系数最大的项」要在相邻两项的系数之间作商，比较 与 1 的大小，找系数由增转减的那一项。 ★ 系数带符号时，比较的是系数本身而不是绝对值。例如 的展开式里，有的项系数为正、有的为负，系数最大指的是数值最大，负系数的项无论绝对值多大都不可能「最大」。 ★ 求整式被某个数除的余数，把底数拆成「除数的倍数加 1」。例如判断 除以 8 的余数，把 9 写成 ，展开后除最后一项外其余各项都含因子 8，所以余数由最后一项决定。 ★ 反过来，若被除式本身就是某个幂，可以先把它凑成二项式定理能用的形式。例如求 的带权系数和除以 4 的余数，把 代进去，左边恰好化成整数幂 减 1，再判断 的整除性。 ★ 求近似值时取前几项就够了。二项式展开的项按次数递减，小量的高次幂很快小到不影响精度。例如 ，前两项给出 ，再加上第三项 ，已经到小数点后四位。 ★ 两边求导再赋值，可以求带权的系数和。对 两边求导，右边出现 ，再令 就得到 。 ★ 用求导赋值得到的是不含 的那部分。题目若要求 ，要把求导赋值的结果再加上 ；这个 就是常数项，直接用 代出来。 ★ 杨辉三角的每一行就是一行二项式系数。第 行有 个数、第 个数是 ，整行之和是 。某一斜列之和用组合数的递推式 逐项并起来，结果往往是一个单独的组合数。 ★ 系数和题自查：要的是二项式系数还是项的系数？奇偶指的是次数还是项序号的奇偶？含 还是不含 ？三个问题都想清楚再动笔。 例题 例 4-1 【多选】若，则下列结论正确的是（ ） A. 展开式中第1014项的二项式系数最大 B. C. D. 被16除的余数是15 【解析】 记 为 的系数，则 ，其中 。逐项判断四个结论。 A 项： 为偶数，展开式共 2027 项，二项式系数 关于中间对称且中间最大。中间那一个对应 ，即第 项，故 A 正确。 B 项：由 得 ，于是 ，故 B 正确。 C 项：把 代入一般项再求导。令 ，则 ，而 。取 得 再补上常数项 ，总和为 ，故 C 正确。 D 项：。因为 除以 16 的余数是 1，所以 除以 16 的余数是 ，不是 15，故 D 错误。 综上，正确的结论是 A、B、C。 第 1 步　把每个选项翻译成「求什么量」 ◈ A 问二项式系数的最值，B 问系数绝对值的和，C 问带权系数和，D 问整除余数 —— 四个选项分别对应四种固定手法，先分清再动手。 第 2 步　求带权系数和要用求导赋值 ◈ 对 两边求导后令 ，得到 ；再单独加回 ，因为它在求导后消失了。 第 3 步　整除问题把底数写成「模数的倍数加 1」 ◈ ，把 写成 的形式，高次幂展开后除末项外都含因子 16。 答　ABC 例 4-2 【单选】已知，则下列结论中正确的个数是（ ）①；②；③；④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【解析】 记 ，逐条判断。 ① 取 ，左边为 ，右边只剩 ，故 ，命题①正确。 ② 取 ，左边为 ，右边是所有系数的和，故 ，而不是 ，命题②错误。 ③ 取 ，得 。与②中的和式相减，奇数下标项出现两次，于是 命题③正确。 ④ 所求为 。把 代入，，求和得 命题④正确。 正确的一共有 ①③④ 三条，所以选 C。 第 1 步　赋值法先取 与 ◈ 一次取出常数项， 一次取出全部系数和，这两步几乎能解决所有「系数和」型的判断。 第 2 步　奇偶项之和靠 与 相减 ◈ 两个式子相减时偶数下标项抵消、奇数下标项翻倍，所以奇数项之和等于两者之差的一半。 第 3 步　带权系数和先把 的表达式代进去化简 ◈ 代换后 变成一个与 无关的因子乘 ，求和化作 再减去首项。 答　C 例 4-3 【多选】如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第行的第个数可以表示为时）.在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623-1662）首先发现的.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就.同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（ ） A. 第2026行共有2026个数 B. 从第4行起到第19行，每一行第4个数字之和为 C. 第48行的所有数字之和被7除的余数为1 D. 去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列前135项的和为 【解析】 题目给出第 行的第 个数为 ，所以第 行有 个数。逐条判断。 A 项：第 2026 行有 个数，而命题说 2026 个，故 A 错误。 B 项：第 行的第 4 个数是 ，于是第 4 行到第 19 行这些数之和为 。用组合数的递推式 逐项合并，这一斜列的和为 ；再扣掉从 起算的那一项，得到 ，故 B 正确。 C 项：第 48 行所有数字之和为 。因为 被 7 除余 1，所以 被 7 除也余 ，故 C 正确。 D 项：去掉所有等于 1 的项后，第 行剩下 ，共 个数，其和为 。前 行的项数累计为 ，由 、 可知：前 135 项是第 2 行到第 16 行的全部 120 项，再加上第 17 行的前 15 项。 第 2 行到第 16 行之和为 第 17 行的非 1 项共 16 个，由对称性它们的和为 ，去掉最后一个 ，前 15 项之和为 两段相加得 ，而 ，故 D 正确。 正确的结论是 B、C、D。 第 1 步　把每一行的「第几个数」换成组合数 ◈ 第 行第 个数是 ，于是「第 4 个数」是 、「整行之和」是 ，把语言翻译成组合数才能用递推式。 第 2 步　斜列求和用组合数递推式 ◈ 把一斜列的相邻两项并成一项，从下往上反复合并，结论落在最下面的那个组合数上。 第 3 步　数前若干项要先定位到「第几行」 ◈ 前 行共 项，由此定出第 135 项落在第 17 行，再分行求和，避免把整行整行地多算。 答　BCD 例 4-4 【多选】进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定满二进一，就是二进制；满十进一就是十进制；满十六进一，就是十六进制等等．一般地，若是一个大于1的整数，那么以为基数的进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式进制的数也可以表示成不同位上数字符号与基数的幂的乘积之和的形式，如．例如：十进制数，，所以在三进制下可写为，则下列说法正确的是（ ） A. 三进制数转化成五进制数为 B. 现用八进制表示十进制的，则这个八进制数的最后一位为1 C. 正整数在三进制下的各位数字之和记为，在集合中任选一个正整数，则为3的倍数的概率为 D. 一副两种颜色的卡片共22张，每种颜色11张，上面分别标有数字，从这22张卡片中任取张，则取出的卡片上数字之和为的取法共有种 【解析】 进位制的核心是「按位展开」： 进制数 等于 。逐条判断。 A 项：三进制数 展开为 ；五进制数 展开为 。两个数都等于 22，故 A 正确。 B 项：一个八进制数的最后一位，就是这个数被 8 除的余数。把底数拆成「8 的倍数加 1」：，于是 ，展开后除最后一项 以外各项都含因子 8，所以余数为 1，故 B 正确。 C 项：需要统计 1 到 2026 中三进制各位数字之和是 3 的倍数的个数。在 0 到 （即 ）这 729 个数里，数字和模 3 的每个余数类各出现 次，去掉 得 个。 在 729 到 1457 这一段最高位是 1，后六位跑遍 0 到 728，数字和需模 3 余 2，有 个。在 1458 到 2026 这一段最高位是 2，后六位从 0 到 568，数字和需模 3 余 1；把 0 到 568 按最高位分成三段统计，依次得 、、，共 个。 三段合计 ，所以概率为 ，而 ，两者不相等，故 C 错误。 D 项：同一数值的卡片有两种颜色共 2 张，所以某个数值取 0 张、1 张、2 张的取法数分别是 、、。设数值 取了 张，则需 ，其中 。 逐个数值累加统计（每个 计 2 种取法），满足条件的方案共有 2027 种，故 D 正确。 正确的说法是 A、B、D。 第 1 步　进位制一律先按位展开成十进制 ◈ 比较、求余数之前，把 进制数写成各位数字与基数幂的乘积之和，所有问题都变成熟悉的整数运算。 第 2 步　余数问题把底数凑成「模数的倍数加 1」 ◈ 求除以 8 的余数时把 9 写成 ，展开后只有末项 不带因子 8，这是二项式定理最典型的用法。 第 3 步　计数时别忘了「同数值的两张卡片可区分」 ◈ 某个数值的卡片取 1 张时有 种取法，取 0 张或 2 张各只有 1 种；漏掉这个权重会把答案从 2027 算成 53。 答　ABD 练习 4-1. 【单选】已知，则被4除的余数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 解析　答：D 记 。所求的和式与展开式在 处的取值只差一个常数项。 取 ，左边为 右边为 。其中 ，移项得 再判断 被 4 除的余数。把底数写成「4 的倍数加 1」：，于是 ，展开后除最后一项外各项都含因子 4，余数为 1。 所以所求式子被 4 除的余数为 ，选 D。 4-2. 【多选】在的二项展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 常数项是60 B. 各项系数之和是64 C. 二项式系数最大值是20 D. 不含的项 解析　答：AC 记通项为 ，其中 。逐项判断。 A 项：常数项要求 ，得 ，此时该项为 ，故 A 正确。 B 项：各项系数之和等于 时的函数值，即 ，而不是 64，故 B 错误。 C 项：二项式系数的最大值出现在中间， 为偶数，中间一项是 ，故 C 正确。 D 项：含 的项要求 ，得 ，该项为 ，它是存在的，故 D 错误。 正确的结论是 A、C，选 AC。 4-3. 【多选】的展开式中，第项与第项的二项式系数相等，则（ ） A. 展开式共项 B. 展开式中常数项为 C. 展开式中所有项的二项式系数之和为 D. 展开式中所有项的系数之和为 解析　答：ACD 先由二项式系数相等定出 。第 3 项与第 7 项的二项式系数分别是 与 ，二项式系数关于中间对称， 推出 ，即 。 A 项： 时展开式共 项，故 A 正确。 通项为 。 B 项：常数项要求 ，即 ，该项系数为 ，不是 70，故 B 错误。 C 项：所有项的二项式系数之和为 ，故 C 正确。 D 项：所有项的系数之和等于 时的函数值，即 ，故 D 正确。 正确的结论是 A、C、D，选 ACD。 4-4. 【填空】的展开式中，各二项式系数的和与各项系数的和之比为，则的值为______． 解析　答：7 中各二项式系数之和为 ，各项系数之和等于 时的函数值，即 。 题目给出两者之比为 ，于是 由 得 。 所以 的值为 7。 4-5. 【填空】的展开式中所有奇数项的系数和为______． 解析　答：121 把两个因式统一写成指数形式：、，所以原式为 。 它的通项为 展开式共 6 项，按项序号数，第 1、3、5 项对应 。这三项的系数依次是 、、。 把它们相加， 所以所有奇数项的系数和为 121。 4-6. 【多选】已知二项式的展开式中各项系数之和为，则（ ） A. 展开式中共有6项 B. 展开式中二项式系数的和为64 C. 展开式中常数项为 D. 展开式中系数最大的项是第2项 解析　答：BC 先由系数和定出 。令 ，得 ，所以 ，解得 。 通项为 。 A 项： 时展开式有 项，命题说 6 项，故 A 错误。 B 项：二项式系数之和为 ，故 B 正确。 C 项：常数项要求 ，得 ，该项为 ，故 C 正确。 D 项：各项系数依次为 、、、、、、。其中 是第 5 项的系数，它比第 2 项的系数大，故 D 错误。 正确的结论是 B、C，选 BC。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 概率与统计的方法体系（一） 计数原理与二项式定理 · 从题型到方法的完整梳理 一、知识点梳理 知识点一　两个计数原理与排列组合 ★ 计数只有两条基本路径：分类用加法，分步用乘法。做一件事有几类互不重叠的办法，就把各类的办法数相加；需要依次完成几个步骤，就把各步的办法数相乘。判断「分类还是分步」的标准只有一条 —— 能否一步到位。 ★ 分类必须不重不漏。分类的标准要落在同一把尺子上，例如「按选出的女生人数分」而不是按题目的字面表述分；漏掉一类或者某一类被算了两遍，后面的乘法做得再对也白费。动笔前把类别念一遍，确认覆盖了全部情形。 ★ 分步时要注意各步是否独立。如果后一步的做法数会随前一步的结果变化，就不能简单相乘，要么换一种分步方式让各步互不干扰，要么退回分类讨论。 ★ 排列有序、组合无序，这是同一道题里最要紧的一次判断。把结果中的两个对象交换位置后算不算新的情况，就是依据。例如从 5 人中选 3 人发言是组合，选 3 人分别担任三个不同职务就是排列。 排列数 是从 个不同元素中取出 个排成一列的种数，等于从 开始连乘 个递减的正整数；组合数先不管顺序取出、再把顺序除掉，所以 。 ★ 遇到「至少」「至多」「不全」这类词，优先用总数减去对立面。例如从 6 人中选 3 人、要求甲、乙至少有一人参加，用 比逐类相加快得多，也不容易漏。 ★ 有特殊元素或特殊位置时，先安排受限制的那一个。「甲不站排头」就先定甲的位置，「某个位置只放某类元素」就先把这个位置填掉，剩下的问题往往立刻变简单。 ★ 分组与分配要区分「组是否相同」与「人是否相同」。把 5 名学生分成 3 组再分到 3 个不同社区，是「先分组、再排列」两步；若只要求分成 3 堆而不指定去处，就要把均分时产生的重复除掉。 例如把 5 名学生分配到 3 个社区、每个社区至少 1 人：先按人数分成 与 两种结构，前者的分法是 ，后者是 ，各自再乘 分到社区，合计 种。 ★ 有没有顺序，往往藏在生活情境里。「车票」有序而「票价」无序，「互发短信」有序而「握手」无序，「排队」有序而「分组」无序。读题时把这层意思先翻译出来，后面的式子才有依据。 ★ 除以 只承担「除序」的职责。凡是同一组结果被重复数了 次，就除以 ；除之前先想清楚重复从哪里来，不要见到「分组」两个字就机械地除。 ★ 数值复核有一个笨办法很管用：把参数改小一两位，手工把情况全列出来数一遍，再对照公式算出的值。末位数字、奇偶性也常能迅速否掉算错的结果，例如「选 4 人」的答案不该超过 。 ★ 计数题收尾自查三句话：分类的标准统一吗？有没有把同一种情形算了两遍？结果的大小合理吗？ 知识点二　排列组合的典型模型 ★ 相邻问题用捆绑法：把必须相邻的元素看成一个整体，先让这个整体参与全排列，再算整体内部的顺序。例如 5 个字母排成一排且其中两个必须相邻，答案是 。 ★ 不相邻问题用插空法：先排没有限制的元素，再把要求不相邻的元素插进它们之间以及两端的空隙。 个元素排好后留下 个空，挑 个放进去就有 种插法。 ★ 既有相邻又有不相邻时，先满足相邻、再处理不相邻。例如 6 人站成一排、甲与乙相邻而乙与丙不相邻：先把甲、乙捆成一个整体（内部 ），与其余三人先排好，再让丙去插空，并排除紧挨着乙的那个空位。 例如上题按插空法算：甲、乙捆好后当作一个元素，与另外三人共四个元素先排，有 种；内部顺序 ；丙可插的空有 5 个，其中紧挨着乙的那 1 个空必须去掉，于是为 种。 ★ 定序问题用除法：先把所有元素全排列，再除以相对顺序固定的那些元素的全排列数。例如四个人里某两人的先后已经定死，答案是 。 ★ 相同元素的排列用位置选择法：只问哪几个位置给了哪一类元素。例如两个 、两个 、一个 排成一行，答案是 。 ★ 相同小球放进不同盒子用隔板法。 个相同小球放进 个不同盒子且每盒不空，相当于在 个间隔里挑 个放隔板，共有 种。 ★ 允许空盒时先「借球」：给每个盒子先各借一个球，问题化为 个球放进 个盒子且每盒不空，答案是 。借球是为了把「不空」这个条件造出来，不是凭空多算。 ★ 不同小球放进不同盒子、且限定恰有若干个盒子为空，先选出哪些盒子非空，再保证它们都非空。例如 4 个不同小球放入 4 个不同盒子、恰有两个空盒，就是 。 ★ 涂色问题的第一步是读图定邻接，第二步才是分步算数。首尾相接成一圈的 个区域用 种颜色涂且相邻不同色，涂法是 。 例如正方形被分成五块：中间一块与周围四块都相邻，周围四块依次首尾相接成圈，而处于对角的两块只在一点相接、不算相邻。先用 4 种颜色涂中间，再用剩下 3 种涂那个四环，得 。 ★ 错位排列指每个元素都不在自己位置上，常用的写法是「恰有 个在自己位置上」：先选出哪 个，其余的全部错位。例如 4 人抽签恰有 1 人抽到自己的签，先选出这个人，剩下 3 人全错位有 2 种，共 种。 ★ 台阶、楼梯、传接球这类「一步跨一级或两级」的走法是递推问题：设走 级有 种走法，则 ，起始值 、，逐项推到所求即可，不必求通项。 例如 8 级台阶、每步跨一级或两级：、、、、、，共 34 种走法。 ★ 模型题收尾三问：限制条件是相邻还是不相邻？元素是相同还是不同？有没有「分了组却不指定去处」这层隐藏要求？ 知识点三　二项展开式的通项 ★ 二项式定理讲的是 展开后共 项，每一项都是把 个括号各取一个字母相乘得到的，其中 的系数是 。把「取括号」这个动作想清楚，公式就不必死记。 ★ 通项 里的 从 0 开始数，所以第 项对应 。题目说「第 项」时先换成 ，这一处错位是通项题最常见的失误。 ★ 求指定项固定四步：写通项、把根式与分式统一换成指数形式、令字母的指数等于目标次数解出 、代回算系数。最费事的是第二_步，、、 要换得干净。 例如求 中 的系数：通项写成 ，令指数 得 ，系数是 。 ★ 常数项就是字母指数为零的项。把指数整理成关于 的一次式再令其为零即可；若解出的 不在 到 之间的整数里，说明展开式中根本没有常数项，不要硬凑一个答案。 ★ 两个因式相乘的题按分配律拆成两部分：一部分取前一个因式的低次项、另一部分取后一个因式的高次项，使两边次数相加恰好等于目标次数，再把两块加起来。 例如求 中 的系数：它等于 乘 里 的系数，加上 乘同一个展开式里 的系数，即 。 ★ 三项式的展开用「先分堆、再分配」： 中 （）的系数是 ，可以理解为先选出 个位置放 、再从剩下的位置里选 个放 。 例如 中 的系数：三个字母的次数是 、、，系数为 。字母自带的那个 要一起算进去，这是三项式题最容易漏的地方。 ★ 已知某项的系数反求参数，最后要检验解出的参数是否落在题目给定范围内。例如由 只能得 ；若题目还附有 ，此时应当判定为无解，而不是随手舍掉负号。 ★ 含参的通项把参数当常数一起运算，只在最后一步代入求值。中途反复代数值会让式子变乱，也容易丢掉参数的正负号。 ★ 求「有理项」或「整数次幂的项」时要求指数为整数。把指数写成 的形式，再让 从头到尾取一遍、挑出使分母整除的那些值，逐一的检验比找规律更稳。 ★ 通项只描述展开式的形式，不改变题目问的是什么。问「系数」要带上字母前的数字与符号，问「二项式系数」只写 ，两者不是一回事。 ★ 通项题自查： 的起始值对不对？指数换成分数了吗？字母自带的系数乘进去了吗？ 知识点四　二项式系数的性质与赋值法 ★ 赋值法就是给 取特殊值来求系数和。令 得所有项的系数之和；令 得正负交替的系数之和；两式相加除以 2 得偶数次项系数和，相减除以 2 得奇数次项系数和。 ★ 二项式系数与项的系数要分清。二项式系数之和恒为 ，与字母前的数字无关；各项系数之和要把 代进去算。题目把这两个量放在一起比较时，先各自算出来再作比。 例如 中，各二项式系数之和是 、各项系数之和是 ；若两者之比为 ，即 ，解得 。 ★ 二项式系数的最值看中间： 为偶数时第 项的二项式系数最大； 为奇数时中间两项的二项式系数相等且最大。「第几项」与「 的取值」相差 1，写答案时别错位。 ★ 求系数最大的项，要在相邻两项之间作商：设第 项的系数为 ，比较 与 1 的大小，由 由增转减的位置定出最大项。系数带符号时比较的是系数本身，不是它的绝对值。 ★ 由「第 项与第 项的二项式系数相等」可以定出 ：二项式系数关于中间对称， 等价于 或 。先把 定下来，整道题才谈得上继续往下算。 例如某展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等，即 ，故 、；再由 去求常数项、系数和、二项式系数的最大值。 ★ 求整式被某数整除的余数，用二项式定理把底数拆成「除数的倍数加 1」的形式。例如判断 除以 8 的余数，把 9 写成 ，展开后只有最后一项不被 8 整除。 ★ 求近似值时用二项式定理取前几项、把高次小量舍去。例如估算 ，把它写成 ，展开后取前三项，第三项已经在 量级，精度足够。 ★ 两边求导再赋值，可以求带权的系数和。对 两边求导，左边得 ，右边是 ，再令 。 ★ 用求导赋值得到的是「不含 」的那部分和。例如求 时，先用求导赋值算出 ，再单独加上 —— 它不带权，求导后已经消失。 ★ 杨辉三角与二项式系数一一对应：第 行有 个数，第 个数是 。因此第 行所有数字之和是 ，而某一斜列之和要用 逐项合并。 例如求第 4 行到第 19 行、每行第 4 个数字之和：那些数依次是 ，反复用斜列公式合并，结果为 。 ★ 去掉所有等于 1 的项之后，三角的每一行剩下 到 ，其和为 。统计这类「去头去尾」的项数时，用累计行数定位：前 行共去掉 项、剩下 项。 ★ 系数和题自查：要的是二项式系数还是项的系数？奇偶指的是次数的奇偶还是项序号的奇偶？符号带上了吗？ 二、方法突破 方法一　两个计数原理与排列组合的基本应用 计数题看起来花样最多，做法却只有两条：分类相加、分步相乘。这一节先把这两条用熟，再练排列与组合的取舍 —— 也就是判断「交换顺序后算不算新的情况」。 ★ 读题第一步先问：这件事能一步完成，还是要分几步？一步完成且各类互不重叠，用分类加法；必须依次做完几个动作，用分步乘法。分类与分步混在一道题里是常态，先分大层、再在每层里分步。 ★ 第二步问：有没有顺序？把结果里两个对象交换位置后算不算新的情况，就是判断依据。「选出 4 人值班、这 4 人分别值哪一天」是有序的，「只选出 4 人」是无序的，两者的式子差一个 。 ★ 有特殊元素或特殊位置时，先把它安排掉。「甲、乙至少一人参加」这类条件，用总数减去「两人都不参加」往往一步到位；「某个位置只能放某类元素」就先填这个位置。先处理限制最强的那一个，剩下的就是普通排列组合。 ★ 分步时警惕各步不独立的情况。如果后一步的做法数取决于前一步选了什么，直接相乘就会错，这时要么改换分步的角度，要么退回分类讨论。例如「先选人、再把人分到不同岗位」，选出的不同人群对应的分配数可能不同，就得分类。 ★ 分组与分配是两步：先把元素分成堆，再把堆分到指定的位置。堆有大小不同的，直接分步相乘；堆的大小相同，均分时会产生重复，要除以相同堆数的阶乘。例如 5 人分成 三组，要除以 。 ★ 例如 5 名学生分到 3 个社区、每个社区至少 1 人：按人数只有 与 两种结构，前者分成三堆有 种、后者有 种，加起来 25 种；再把 3 堆分到 3 个社区，乘 得 150 种。 ★ 「至少」「至多」的条件优先走对立面。「甲、乙至少一人参加」的反面是「甲、乙都不参加」，后者通常好算得多。用总数减反面时要确认反面确实是全体中不满足条件的那些，中间不能有第三种情形被漏掉。 ★ 相同元素与不同元素的处理方式完全不同。「4 张面值互不相等的优惠券」是不同元素，选 4 人领取要分步相乘；「6 个相同的跳箱」是相同元素，分给几个队只需确定每队几个。 ★ 算完必须复核。最省事的办法是把数字改小：把「5 人」改成「3 人」手工数一遍，看看与公式的结论是否一致。另外答案不该超过 、不该出现分数，这些常识判断能拦下大部分粗心错。 ★ 计数题收尾自查三句话：分类的标准统一吗（有没有一类被算两遍）？该乘的阶乘乘了吗、该除的除干净了吗？结果的大小与题目规模相称吗？ 例题 例 1-1 【单选】5名工人各自在4天中选择1天休息，不同方法的种数是（ ） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　判断是分步还是分类 ◈ 每名工人各自选一天，是「一次完成、分成五步」的动作，所以用分步乘法，而不是把 4 天加起来。 第 2 步　看清谁在选、从几个里选 ◈ 做选择的是 5 名工人，每人有 4 个可选的日子，所以每一步 4 种、重复 5 次，写出来就是 。 第 3 步　别把 与 写反 ◈ 判断方法是看谁被重复选择：工人有 5 个、日子只有 4 天，被反复挑选的是 5 个人，所以底数是 4、指数是 5。 答　A 例 1-2 【单选】将5名学生分配到3个社区当志愿者，每个社区至少分配1名学生，则不同的分配方法种数是（ ） A. 24 B. 50 C. 72 D. 150 【解析】 第 1 步　先分组、再分配 ◈ 把人分堆与把堆送到社区是两件事：分堆时组与组没有名字，分配时社区是有名字的，所以要分两步做，先算分堆数再乘 。 第 2 步　均分的组要除序 ◈ 里的两个单人组一样大、 里的两个双人组一样大，分堆时被重复数了 遍，所以两种结构都要除以 。 第 3 步　还可以用容斥直接算 ◈ 先不考虑「每社区至少一人」，5 人各选一个社区共 种，减去有社区空着的情形得 ，与分组的结果互相印证。 答　D 例 1-3 【单选】有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（ ） A. 40 B. 48 C. 52 D. 60 【解析】 第 1 步　把「恰有一对」拆成两句 ◈ 「恰有一对双胞胎」等价于「有一对整对入选，且其余两人分属不同的两对」——前半句管完整的那一对，后半句管剩下两个名额。 第 2 步　剩下两个名额要来自不同的对 ◈ 若再从剩下 3 对里取 2 人而不限制来源，有可能取到同一对，那就变成两对完整入选了。所以要先选对、再在每对里挑人，才能保证只剩一对完整。 第 3 步　用总数口径复核 ◈ 8 人选 4 人共有 种，其中「恰有一对」48 种，与「两对完整」 种、「没有一对完整」 种相加恰为 70，说明分类没有遗漏。 答　B 例 1-4 【单选】某班级图书角有5种课外书，甲、乙两名同学从5种课外书中各自选2种，则两人选的课外书没有相同种类的选法有（ ） A. 20种 B. 30种 C. 40种 D. 60种 【解析】 第 1 步　把条件翻译成「覆盖 4 种书」 ◈ 两人各选 2 种且没有相同的种类，说明 4 本书两两不同 —— 先把这 4 种书选出来，问题就变得具体了。 第 2 步　先选书、再分配 ◈ 决定「用哪 4 种」， 决定「这 4 种怎么分给两个人」，两步互不干扰，直接相乘。 第 3 步　两人是可区分的，不要再除 2 ◈ 容易误写成 。除法只用于「把元素分成无名的堆」，而甲、乙是两个有名有姓的人，调换他们手里的书是完全不同的结果。 答　B 练习 1-1. 【单选】某班班会从甲、乙等6名学生中选3名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，那么不同的选法为（ ） A. 32 B. 20 C. 16 D. 10 1-2. 【填空】已知某趟往返梅州与广州的高铁，沿途共有梅州西、兴宁南、五华、河源东、惠州北、广州等6个站点，则此趟高铁沿途需要准备______种不同的车票. 1-3. 【单选】某单位计划从5人中选4人值班，每人值班一天，其中第一、二天各安排一人，第三天安排两人，则安排方法数为（ ） A. 30 B. 60 C. 120 D. 180 1-4. 【单选】将4张面值互不相等的优惠券分给10名消费者，每名消费者最多分得1张，则不同的分法种数为（ ） A. 210 B. 1200 C. 4800 D. 5040 1-5. 【单选】某校食堂新供应了四种不同的午餐套餐，小王同学计划周一到周五都从新供应的四种套餐中选择一种就餐，且在这五天里将这四种套餐都尝一遍，则不同的方案共有（ ） A. 120种 B. 144种 C. 240种 D. 288种 1-6. 【单选】2025年，省属“三位一体”综合评价招生政策进行了调整，每位考生限报四所大学.某考生从6所大学中选择4所进行报名，其中甲、乙两所学校至多报一所，则该考生报名的可能情况种数是（ ） A. 12 B. 9 C. 6 D. 15 方法二　排列组合的典型模型 上一节解决「怎么数」，这一节解决「遇到限制条件怎么绕」。高考里的计数题几乎都带一个限制：必须相邻、不能相邻、顺序已定、盒子不能空、相邻区域不同色。每一种限制都对应一个固定的处理手法。 ★ 相邻用捆绑：把必须相邻的元素捆成一个整体先排，再乘上这个整体内部的排列数。捆的时候要写清楚「整体当作一个元素」这句话，否则容易把它算成两个元素。 ★ 不相邻用插空：先排没有限制的元素，再把要求不相邻的元素插进它们之间的空隙。 个元素排好留下 个空，插 个就有 种。插空的前提是被插的元素彼此也不同，否则要改成组合数。 ★ 相邻与不相邻同时出现时，先捆后插。例如 6 人一排、甲与乙相邻而乙与丙不相邻：先把甲、乙捆好（内部 ），与除丙外的三人共四个元素先排，再让丙去插 5 个空；捆好的整体里乙只占一侧，所以只需排除紧挨乙的那 1 个空，得 。 ★ 定序问题用除法。若某几个元素的相对顺序被固定（不是相邻，只是先后），就把它们当作全排列后被均分，除掉这几个元素的全排列数。这种题最容易错在多除了一个因子，核对时问自己：被固定的元素一共有几个？ ★ 隔板法专治「相同小球放进不同盒子」。每盒不空时，答案是 ；允许空盒时先给每盒借一个球，答案变成 。用之前必须确认小球是相同的 —— 不同小球放进不同盒子是分步乘法，与隔板法无关。 ★ 涂色题的第一步是读图，不是算数。先把「哪两块相邻」标出来：共享一段边才算相邻，只碰一个点不算。读错一处邻接关系，答案就会整题跑偏，所以这一步宁可慢一点，把邻接关系在草稿纸上画成图。 ★ 围成一圈的 个区域用 色涂且相邻不同色，涂法是 。它不是背出来的：从某一格起头、逐步往后涂，最后回到起点时要扣掉「首尾同色」的那些情形，用递推关系整理就得到上面的式子。 ★ 错位排列用「先选后错」：恰有 个元素在自己位置上，先选出这 个，剩下的必须全部不在自己位置上。三元素错位有 2 种、四元素错位有 9 种，这两个小数值记熟，多数题就够用了。 ★ 台阶型走法是递推计数：每步跨一级或两级，走到第 级的方法数满足 ，起始 、。这类题不要求通项，逐项推到目标级数即可，但推导时要说清「最后一步从哪一级跨来」。 ★ 模型题的收尾三问：限制条件是相邻还是不相邻？元素相同还是不同？有没有「分了组却不指定去处」这层隐藏要求？三问答完，式子基本就定型了。 例题 例 2-1 【填空】甲､乙､丙､丁､戊､己共6人站成一排，若甲､乙两人相邻，而乙､丙两人不相邻，则不同的排法种数共有__________.（用数字作答） 【解析】 第 1 步　先捆绑处理「相邻」 ◈ 把甲、乙合成整体 ，内部顺序 ，这一步把「相邻」这个限制一次性解决掉。 第 2 步　先排无限制的元素，再用插空处理「不相邻」 ◈ 与另外三人先排好（ 种），留下的 5 个空位是丙的候选位置。 第 3 步　算准被排除的空位数 ◈ 乙在整体里只占一侧，所以只有紧挨乙的那 1 个空位不能用，而不是两侧都排除；写成 而不是 。 答　192 例 2-2 【单选】用红、黄、蓝、绿4种不同颜色在如图所示的，，，，的5个区域涂上颜色，要求每个区域只涂1种颜色，且相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的不同涂色方案种数为（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 72 【解析】 第 1 步　读图定邻接，把「一圈」认出来 ◈ 与四周四块全相邻；外围四块依次首尾相接成圈，而对角的两块只在一点相接、不算相邻 —— 这一步读错，后面的计数全部落空。 第 2 步　中心一块先涂，占掉一种颜色 ◈ 与其余四块都相邻，先涂它最省事：涂完之后外围只剩下 3 种颜色可用，问题变成一个纯粹的四环涂色。 第 3 步　外围是环形涂色，套公式并核对 ◈ 四块成圈、每块与其左右两块不同色，涂法为 ；与中心相乘得 。 答　D 例 2-3 【填空】4名医生和2名护士站成一排，要求2名护士不相邻，且医生甲不站在队伍的最左端，则不同的站法共有_____________种． 【解析】 第 1 步　不相邻用插空，先排医生 ◈ 4 名医生先全排列（），他们之间连同两端共 5 个空位；护士只需插空就自动满足不相邻。 第 2 步　「甲不站最左端」用减法处理 ◈ 先按只带一个限制算出 480 种，再单独数出甲真站在最左端的情形 72 种，两者相减。 第 3 步　减掉的那部分要重新插空，不能直接除以 6 ◈ 甲固定在最左端后，剩下 5 个位置的插空结构与原题不同，必须重新用 数一遍，而不是把 480 除以 6。 答　408 例 2-4 【单选】某校教学楼的某层楼设置有8级台阶，某同学上楼梯时只能每步跨越一级台阶或两级台阶，则该同学从楼梯底部登上第8级台阶的不同走法有（ ） A. 32 B. 33 C. 34 D. 35 【解析】 第 1 步　用「最后一步」建立递推 ◈ 按最后一步跨的级数把全部走法分成两类：跨 1 级与跨 2 级；两类互不重叠，故走法数相加。 第 2 步　把起始两项定准 ◈ 、。 容易写成 1，漏掉「一步直接跨两级」这一种走法。 第 3 步　逐项推到目标，不必求通项 ◈ 递推到 只需六步算术，而且每一步都可以回头核对前一项，比套用斐波那契的通项公式稳妥得多。 答　C 练习 2-1. 【单选】将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为（ ） A. 72 B. 84 C. 96 D. 108 2-2. 【单选】某同学需将、、、、这个字母排成一排，若与必须相邻，则不同的排法种数为（ ） A. B. C. D. 2-3. 【单选】某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（ ）种. A. 216 B. 360 C. 432 D. 672 2-4. 【单选】将6个相同的小球全部放入3个不同的盒子中，每个盒子都要有小球，则不同的放球方法共有（ ） A. 4种 B. 6种 C. 10种 D. 12种 2-5. 【单选】为全面提升学生的核心素养与综合实践能力，某校举办“模拟联合国大会”活动，设置了A，B，C，D共4个不同的国家立场，由4名同学通过随机抽签确定每人代表一个国家立场参与活动.已知这4名同学每人都有且仅有一个心仪的国家立场，且4人心仪的国家立场互不相同，则仅有1名同学抽到自己心仪国家立场的抽取方法数是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 24 2-6. 【填空】一个火车站有 8 股道，如果每股道只能停放 1 列火车，现要停放 4 列不同的火车，每两列火车不能停在相邻股道，则不同的停放方法共有_____种. 方法三　二项展开式的通项与指定项 二项式定理这一块的题，形式上只有一类：给一个展开式，问某一项的系数、某个常数项，或者反过来给系数求参数。所有题目都从通项公式出发，所以这一节的核心是把通项用熟。 ★ 通项 里的 从 0 开始取，取遍 到 就得到全部 项。题目说「第 项」，先换成 再代入，这个错位是本节最高频的失误。 ★ 用通项之前先统一指数形式。、、，把根式与分式全部换成分数指数，后面的「令指数相等」才是纯粹的代数运算。 ★ 求指定项的流程固定成四步：写通项、统一指数、令指数等于目标次数解出 、代回求系数。第二步漏换一处根式，指数方程就解不出整数；第四步别忘带上字母前面的数字与符号。 ★ 常数项、 的项、有理项，本质都是指数取某个值。把指数整理成关于 的一次式，按题目要求令它等于 、等于 或等于整数，解出来的 必须落在 到 之间且为整数，否则就是「不存在」。 ★ 两个因式相乘的题，用分配律拆成两块：一块取前一个因式的常数项、配后一个因式的高次项；另一块取前一个因式的低次项、配后一个因式的低次项，让两边的次数相加恰好等于目标次数。拆完把两块加起来，不要重复也不要遗漏。 ★ 三项式先分堆再分配： 中 的系数是 ，其中 。算的时候别忘把字母自带的系数一起乘进去，例如 里的那个 2 要取 2 次方。 ★ 已知系数反求参数，最后一步必须检验。由系数方程解出的参数可能有多个值，要用题目给的限制（如 、 为正整数）筛一遍；若筛完一个都不剩，那这道题的答案就是「无解」，不要为了凑答案而留下不合条件的值。 ★ 含参的通项把参数当常数运算，直到最后一步才代入。中途频繁代入数值会让式子凌乱，也容易在符号上出错 —— 负号一旦在中间丢掉，末尾的系数就会整体差一个符号。 ★ 系数与二项式系数是两回事。「 的系数」要把字母前的数字与符号都算进去；「第 4 项的二项式系数」只写 ，与字母前的数字无关。这两种问法在同一道题里交替出现，读题时要圈出关键词。 ★ 通项题的自查： 的起始值取对了吗？指数换成分数了吗？解出的 是 0 到 之间的整数吗？字母自带的系数乘进去了吗？ 例题 例 3-1 【填空】的展开式中的常数项为_______． 【解析】 第 1 步　写出通项，把两个因式的次数合并 ◈ 与 相乘，字母部分合并成 ，数字部分留下 与符号 。 第 2 步　令指数为零解出 ◈ 常数项的字母指数为 0，由 得 ；还要检查这个 是否在 0 到 6 之间，确认常数项真的存在。 第 3 步　代回时别丢掉 与负号 ◈ 系数是 ，漏掉 会少一个因子 8，漏掉 会把答案写成正数。 答　-160 例 3-2 【填空】在的展开式中，的系数为______________．（结果用数字表示） 【解析】 第 1 步　按次数拆成两种搭配 ◈ 前一个因式只有两项，次数为 0 与 ；要让乘积的次数等于 2，后一个因式必须分别取到次数 2 与次数 4。 第 2 步　后一个因式的次数要用通项去数 ◈ 中 的系数是 ，取 与 分别得到 与 。 第 3 步　两类结果相加而不是相乘 ◈ 两种搭配是互不重叠的两类情形，按分类加法相加；只有在一次搭配内部才把两个因式的系数相乘。 答　45 例 3-3 【填空】的展开式中，的系数为______．（用数字作答） 【解析】 第 1 步　把三项式看成 5 个因式各取一项 ◈ 展开式的每一项都对应「5 个因式各取一项」的一种取法，次数组合 正好对应 。 第 2 步　用分堆数算出取法的种数 ◈ 把 5 个位置分成 2 个、2 个、1 个三堆，有 种，这就是朴素系数。 第 3 步　字母自带的系数要一起乘 ◈ 前面有一个 2，它出现 2 次就要乘 ；漏掉这一步是最常见的失误。 答　120 例 3-4 【填空】已知二项式的展开式中的常数项为，则实数 = ______． 【解析】 第 1 步　把参数 留在通项里一起运算 ◈ 先写出含 的通项 ，不要中途代入猜测的数值。 第 2 步　由指数为零定出 ◈ 得 ，这一步与参数无关，先把位置定下来再处理系数。 第 3 步　解出参数后代回检验 ◈ 由 得 ；把 代回重算一遍常数项，确认仍为 ，说明符号没有处理错。 答　-1 练习 3-1. 【填空】的展开式中，x项的系数为________． 3-2. 【填空】在的展开式中，的系数为__________.（用数字作答） 3-3. 【单选】在的展开式中，含的项的系数为（ ） A. 40 B. C. 20 D. 3-4. 【填空】的展开式中的常数项为________．（用数字表示） 3-5. 【填空】的展开式中的常数项为____________（用数字作答）． 3-6. 【填空】在的展开式中．的系数为______． 方法四　二项式系数的性质与赋值法 前三节都在算「某一项」，这一节算的是「一堆项加起来」。求系数和、判断整除余数、估计近似值，靠的都是同一个动作：给 取一个合适的值，让展开式右边的求和变成好算的形式。 ★ 赋值法就三种取法：取 得全部项的系数和；取 得正负交替的和；两式相加或相减再除以 2，分别得到偶数次项与奇数次项的系数和。取 得到常数项。 ★ 二项式系数之和恒为 ，各项系数之和要用 去算。前者与字母前的数字无关，后者与它有关。题目要求两者之比时，先把两个量分别写成关于 的式子再作比，不能凭感觉合并。 ★ 二项式系数的最值看对称轴： 为偶数时中间一项最大， 为奇数时中间两项相等且最大。而「系数最大的项」要在相邻两项的系数之间作商，比较 与 1 的大小，找系数由增转减的那一项。 ★ 系数带符号时，比较的是系数本身而不是绝对值。例如 的展开式里，有的项系数为正、有的为负，系数最大指的是数值最大，负系数的项无论绝对值多大都不可能「最大」。 ★ 求整式被某个数除的余数，把底数拆成「除数的倍数加 1」。例如判断 除以 8 的余数，把 9 写成 ，展开后除最后一项外其余各项都含因子 8，所以余数由最后一项决定。 ★ 反过来，若被除式本身就是某个幂，可以先把它凑成二项式定理能用的形式。例如求 的带权系数和除以 4 的余数，把 代进去，左边恰好化成整数幂 减 1，再判断 的整除性。 ★ 求近似值时取前几项就够了。二项式展开的项按次数递减，小量的高次幂很快小到不影响精度。例如 ，前两项给出 ，再加上第三项 ，已经到小数点后四位。 ★ 两边求导再赋值，可以求带权的系数和。对 两边求导，右边出现 ，再令 就得到 。 ★ 用求导赋值得到的是不含 的那部分。题目若要求 ，要把求导赋值的结果再加上 ；这个 就是常数项，直接用 代出来。 ★ 杨辉三角的每一行就是一行二项式系数。第 行有 个数、第 个数是 ，整行之和是 。某一斜列之和用组合数的递推式 逐项并起来，结果往往是一个单独的组合数。 ★ 系数和题自查：要的是二项式系数还是项的系数？奇偶指的是次数还是项序号的奇偶？含 还是不含 ？三个问题都想清楚再动笔。 例题 例 4-1 【多选】若，则下列结论正确的是（ ） A. 展开式中第1014项的二项式系数最大 B. C. D. 被16除的余数是15 【解析】 第 1 步　把每个选项翻译成「求什么量」 ◈ A 问二项式系数的最值，B 问系数绝对值的和，C 问带权系数和，D 问整除余数 —— 四个选项分别对应四种固定手法，先分清再动手。 第 2 步　求带权系数和要用求导赋值 ◈ 对 两边求导后令 ，得到 ；再单独加回 ，因为它在求导后消失了。 第 3 步　整除问题把底数写成「模数的倍数加 1」 ◈ ，把 写成 的形式，高次幂展开后除末项外都含因子 16。 答　ABC 例 4-2 【单选】已知，则下列结论中正确的个数是（ ）①；②；③；④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【解析】 第 1 步　赋值法先取 与 ◈ 一次取出常数项， 一次取出全部系数和，这两步几乎能解决所有「系数和」型的判断。 第 2 步　奇偶项之和靠 与 相减 ◈ 两个式子相减时偶数下标项抵消、奇数下标项翻倍，所以奇数项之和等于两者之差的一半。 第 3 步　带权系数和先把 的表达式代进去化简 ◈ 代换后 变成一个与 无关的因子乘 ，求和化作 再减去首项。 答　C 例 4-3 【多选】如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第行的第个数可以表示为时）.在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623-1662）首先发现的.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就.同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（ ） A. 第2026行共有2026个数 B. 从第4行起到第19行，每一行第4个数字之和为 C. 第48行的所有数字之和被7除的余数为1 D. 去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列前135项的和为 【解析】 第 1 步　把每一行的「第几个数」换成组合数 ◈ 第 行第 个数是 ，于是「第 4 个数」是 、「整行之和」是 ，把语言翻译成组合数才能用递推式。 第 2 步　斜列求和用组合数递推式 ◈ 把一斜列的相邻两项并成一项，从下往上反复合并，结论落在最下面的那个组合数上。 第 3 步　数前若干项要先定位到「第几行」 ◈ 前 行共 项，由此定出第 135 项落在第 17 行，再分行求和，避免把整行整行地多算。 答　BCD 例 4-4 【多选】进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定满二进一，就是二进制；满十进一就是十进制；满十六进一，就是十六进制等等．一般地，若是一个大于1的整数，那么以为基数的进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式进制的数也可以表示成不同位上数字符号与基数的幂的乘积之和的形式，如．例如：十进制数，，所以在三进制下可写为，则下列说法正确的是（ ） A. 三进制数转化成五进制数为 B. 现用八进制表示十进制的，则这个八进制数的最后一位为1 C. 正整数在三进制下的各位数字之和记为，在集合中任选一个正整数，则为3的倍数的概率为 D. 一副两种颜色的卡片共22张，每种颜色11张，上面分别标有数字，从这22张卡片中任取张，则取出的卡片上数字之和为的取法共有种 【解析】 第 1 步　进位制一律先按位展开成十进制 ◈ 比较、求余数之前，把 进制数写成各位数字与基数幂的乘积之和，所有问题都变成熟悉的整数运算。 第 2 步　余数问题把底数凑成「模数的倍数加 1」 ◈ 求除以 8 的余数时把 9 写成 ，展开后只有末项 不带因子 8，这是二项式定理最典型的用法。 第 3 步　计数时别忘了「同数值的两张卡片可区分」 ◈ 某个数值的卡片取 1 张时有 种取法，取 0 张或 2 张各只有 1 种；漏掉这个权重会把答案从 2027 算成 53。 答　ABD 练习 4-1. 【单选】已知，则被4除的余数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 4-2. 【多选】在的二项展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 常数项是60 B. 各项系数之和是64 C. 二项式系数最大值是20 D. 不含的项 4-3. 【多选】的展开式中，第项与第项的二项式系数相等，则（ ） A. 展开式共项 B. 展开式中常数项为 C. 展开式中所有项的二项式系数之和为 D. 展开式中所有项的系数之和为 4-4. 【填空】的展开式中，各二项式系数的和与各项系数的和之比为，则的值为______． 4-5. 【填空】的展开式中所有奇数项的系数和为______． 4-6. 【多选】已知二项式的展开式中各项系数之和为，则（ ） A. 展开式中共有6项 B. 展开式中二项式系数的和为64 C. 展开式中常数项为 D. 展开式中系数最大的项是第2项 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $