函数与导数的方法体系（二）指数函数与对数函数 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦指数函数与对数函数核心考点，按运算、图象性质、大小比较、综合应用的逻辑层次梳理知识点，通过考点系统梳理、方法分步突破、真题例题精讲、分层练习巩固的教学流程，帮助学生构建完整知识体系，突破解题难点。 资料以“数学思维”和“数学语言”为导向，创新设计“三级比较策略”“朗博同构变形”等方法，如比较大小时先化同底再用中间量最后构造函数，培养学生逻辑推理与表达能力，分层练习适配不同学情，助力教师精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

函数与导数的方法体系（二） 指数函数与对数函数 · 从题型到方法的完整梳理 一、知识点梳理 知识点一　指数与对数的运算 ★ 指数幂的运算性质是三条： ，，。 三条都要求底数 、，指数 、 为有理数即可。 根式与分数指数幂的互化法则：， 其中 、 为正整数且 。 负指数与零指数写成分式：，（）。 ★ 对数的定义是一句话： 与 说的是同一件事。 其中 且 ，。 指数式与对数式可以随时互相翻译， 题目里出现「 与 混在一起」时， 第一步往往就是把其中一个翻译成另一种形式。 ★ 对数的运算性质三条，与指数幂的三条一一对应： ， ， 。 三条都要求 、、 且 。 真数必须为正，这个前提在化简含参式子的最后一步常常会发挥作用。 ★ 两个特殊的对数值单独记住：，。 它们是解对数方程时最先试的两组值。 ★ 对数恒等式：（）。 这个式子是「先取对数、再取指数」的往返，把指数与对数彻底消掉。 遇到 、 这类写法直接写出结果，不必绕。 ★ 换底公式：。 它把「不同底的对数」统一到同一个底，是比较大小、解方程的关键动作。 由它得到两条常用推论： （互为倒数）， （底与真数同时取幂，指数相除）。 第二条在处理 、 这类式子时最省事。 ★ 一类固定结构的题：已知 （ 且不为 ）， 讨论 、、 的取值关系。 统一设 （ 且 ）， 两边取对数得 、、， 再比较 、、 就化成比较 、、， 而后者由底数的大小直接给出。 取倒数这一步是这类题的分水岭： 时 与 等价， 若 、 的符号不明，先判符号再取倒数。 ★ 指数方程与对数方程的基本处理是「化同底」。 在 且 时等价于 ； 等价于 且 。 对数方程必须先写真数大于零，最后再把解代回去验根。 ★ 含指数的方程若两边底数不同，就取对数把指数搬下来。 两边取自然对数得 ， 方程从指数形式变成一次或二次形式。 这是「两边取对数」的全部内容，遇到就把指数拎下来，不必犹豫。 ★ 对数式比较大小时，先把它们整理成同底同真数的组合， 再用性质拆开；拆不动时才考虑近似值。 这类参考数据是给出题用的， 凡是题目给了近似值，说明最后一步要靠它估算，前面的运算应当精确。 ★ 指数型与对数型的应用模型有两类结构要认识。 一类是 （增长或衰减）， 取对数后化为 的一次式； 另一类是 （饱和度模型）， 把 整体看成未知数，取对数即可解出 。 两类的共同动作都是「取对数把指数解出来」。 知识点二　指对函数的图象与性质 ★ 指数函数 （ 且 ）的图象要素： 定义域为 ，值域为 ， 恒过定点 ， 时在 上单调递增， 时单调递减， 轴是它的水平渐近线。 ★ 对数函数 （ 且 ）的图象要素： 定义域为 ，值域为 ， 恒过定点 ， 时单调递增， 时单调递减， 轴是它的竖直渐近线。 两者互为反函数，图象关于直线 对称。 ★ 底数对图象的影响有一条口径： 在直线 右侧，指数函数与对数函数的图象都满足「底大图低」； 换一种说法，同一条竖直线与各图象的交点， 底数越大，指数函数图象上的交点越低，对数函数图象上的交点也越低。 判图题里比较两条曲线谁在上、谁在下，用这条就够了。 ★ 与 、 有关的两个基本函数： 是偶函数，图象关于 轴对称，最小值在 处取到； 是奇函数，图象关于原点对称，在 上单调递增。 两个都满足 与 时走势相反。 凡是形如 、 的函数， 都是上面两个的变形，奇偶性、单调性、值域可以照搬。 ★ 分式型指数函数 是最常见的一种。 它的值域夹在 与 之间，两端取不到； 在 上单调（ 时递增， 时递减）； 并且有中心对称性：， 即图象关于点 对称。 这条对称关系是处理 型方程的唯一钥匙。 ★ 复合函数 的单调性判断分两步： 先解 得定义域， 再在定义域内按「同增异减」判断。 定义域与单调区间必须写成区间的并集， 不能把 的单调区间直接搬过来。 ★ 含参的指对函数在给定区间上单调，实质是不等式恒成立。 化简后往往是「某个简单函数在区间上恒正（或恒负）」的形式， 再把它整理成 或 ， 对 在区间上求最值即可。 能分离参数就分离，这是本节处理参数题的第一选择。 ★ 底数含参时，单调性的讨论按底数分类。 与 在 时递增、 时递减； 若题目里同时出现 与 ， 先把两种底数各自的取值范围列出来，再按每种情形分别判断两个函数的单调方向， 最后取能使结论成立的那种情形。 底数本身还带着 、 的限制，别漏掉。 ★ 用单调性解不等式，动作是「去函数符号」。 若 在区间 上递增，则在 内 等价于 。 把所有函数值都凑到 的同一个单调区间内，是这个动作的前提。 凑不进去时，先用奇偶性、对称性把自变量搬过来。 ★ 遇到 型不等式，先找对称中心。 若 对一切 成立， 则原不等式化为 ， 再用单调性去掉 ，得到纯粹的代数不等式。 这一步的关键是把常数 认出来—— 它正是 的值，算一次就看清了。 ★ 分段函数的不等式，先看两段解析式之间的奇偶关系。 若两段恰好构成奇函数（如 时为 、 时为 ）， 则 就是 ， 再利用 的单调性化为 。 一眼看出「两段合起来是奇函数」，这类题就省掉一半运算。 ★ 判断函数图象的选图题，按「定义域 — 奇偶性 — 特殊点 — 趋势」四步走。 含 与 的函数，两个方向的行为最能区分选项： 时 ， 时 的增长快过任何幂函数。 把这两句写成文字描述，再与选项的两端比对，不必求导画全图。 含参的选图题还要按参数分类： 与 两类分别判断， 题目问「可能」时，只要某一类能对上就算对。 知识点三　指、对、幂的大小比较 ★ 比较大小先排一个顺序： 看底数是否相同、看指数是否相同、看能不能化到同底， 三条都走不通再考虑构造函数或中间量。 顺序错了容易越算越乱。 ★ 同底不同指数（或同底不同真数）直接用单调性。 时 与 都递增， 时都递减。 这是最省事的一类，先扫一遍题干看有没有这种结构。 ★ 底与指数都不同时，取对数把指数搬下来。 比较 与 的大小，相当于比较 与 ； 比较 与 ，先用换底公式统一底或统一真数。 取对数这一步不改变大小关系，因为 是增函数。 ★ 中间量法是常规武器，最常用的两个中间量是 和 。 指数函数值恒正，与 比可以定符号； 取 或 处的值，可以把各量夹到不同的区间里。 当几个量都落在 内、彼此很接近时， 再用 、 之类作二次细分。 ★ 结构中若出现 、 这类「对数除以自变量」的形状， 立刻构造函数 。 它的单调性由求导得到：在 上递增、在 上递减， 最大值在 处取到，为 。 于是 、、 的大小一目了然， 其中 是两个相等的位置。 ★ 出现 或 时， 构造函数 一类， 或直接对 作比较。 把要比较的两个量写成同一个函数在两个自变量处的值， 是这类题唯一的思路来源。 ★ 出现 与 混在一起的比较，用基本放缩： （ 处取等）， （ 处取等）。 两条放缩都来自「切线在曲线下方（或上方）」，可以现推也可以直接用。 再用一次 （）等加细版本， 能处理更精细的比较。 ★ 判断某个量大于 还是小于 ，常把它写成指数形式再比较指数。 例如比较 与 ， 注意到 等价于 ， 而 还不够， 改用 也还不够， 这时换成比较 与 ： 由 逐步收紧，或直接与已知常数比较。 含 的幂比较，思路永远是「取对数倒过来」。 ★ 比较两个指数的幂 与 （）时， 两边取对数化为比较 与 ， 再除以 得到比较 与 。 又回到构造函数 。 ★ 与三角函数混搭的比较，用两条不等式夹住： ， 以及 时 、 。 再配合 ， 足以处理绝大多数「 型」的比较。 ★ 比较大小题在选项给出的情况下，不必算出精确值。 用「与 、、 比」把三个量分别定位到不同区间， 或者用放缩把其中一个量夹在两个量之间，结论就出来了。 估算只在题目给出参考数据时使用， 给数据说明出题人希望你算，不给数据说明有精确办法。 知识点四　指对函数的综合应用 ★ 指对函数与不等式结合的题，绝大多数走「分离参数 + 求最值」。 把不等式整理成 或 ， 再求 在给定区间上的最小值或最大值。 分离时注意 是否为 ，除以 或除以 都要说明符号。 分离不动时才分类讨论，分类的界点通常来自导数为零的位置。 ★ 恒成立与存在性要分清。 对任意 有 成立，等价于 ； 存在 使 成立，等价于 。 一个取「最不利」，一个取「最有利」， 看错一个方向，答案就完全反了。 ★ 对数型不等式化简时，先把系数搬进真数。 （，）， 。 把所有对数项合并成一项，是识别不等式结构的必经一步。 出现「 与 混合」时，先在两边同除某个量， 把它整理成 常数的形式， 再用 的最大值处理。 ★ 指对混合的同构变换有一条固定套路，叫朗博变形： （），（）。 它把一个 在指数位置、另一个 在对数位置的式子， 变成两项结构相同的形式。 例如 ， 两边都是 的样子，于是可以比较自变量。 要用这条路，必须先确认函数 在相关区间上单调。 ★ 判断 与 一类函数的单调性，直接求导。 ，在 上递增； ，在 上递增。 两个函数都在 上严格递增， 同构之后就能去掉「外壳」直接比较里面。 ★ 与 互为反函数， 在含参讨论里常用于把「指数等式」与「对数等式」配对。 若方程同时含 与 ， 经常可以化为「 与 」的两项，再用同构或对称处理。 ★ 方程根的个数问题一律转化为两条曲线的交点个数。 把方程整理成 ， 求 的单调区间与极值、算出两端走向， 再数水平直线 与 的图象交了几个点。 含参时要特别注意「几个根」在端点处的合并： 极值点恰好落在解上时，两个交点会合成一个， 所以答案是开区间还是闭区间，要逐题验证端点。 ★ 中心对称型函数的复合方程是常见考法。 若 ， 则 等价于 ； 再配合 的单调性，方程立即降为一元方程。 这类函数就属此列， 先算 ， 再判断 的单调性，两步之后方程就露出来了。 ★ 应用建模题给的是参数的实际含义，读题时先把每个字母对号入座。 增长率模型中 的指数要按「时间差」计算， 不是按绝对时间； 模型里出现的常数（如 、）大多要在最后一步使用， 前面尽量用精确值运算。 算完要检查答案是否落在实际的取值范围内， 轮数、块数、人数都取非负整数，必要时向上取整。 ★ 新定义题的解法只有一条：把定义原样代入，逐项验证。 定义里的分段条件要严格按「」「」分类， 含参的选项按参数的正负分开讨论。 验证恒等式时，把不等式两边都写成同一个新函数的值， 再比较两者大小。 ★ 双变量问题（如 ）的处理是消元。 把 与 都用 表示出来， 代入要研究的式子变成关于 的一元函数，再求最值。 消元之前先判断 的取值范围， 这一步决定了新函数的定义域，不能省。 ★ 遇到「一条直线分别与两条曲线交于两点，求距离最小值」， 先把两条曲线的关系看清楚。 若两条曲线互为反函数（如 与 ）， 它们的图象关于直线 对称； 再注意到所给直线的斜率为 ，与 垂直， 于是两条曲线与这条直线的交点必关于直线 对称。 把 、 的坐标设为 、， 距离就化成只含一个变量的式子， 再求最值即可。 二、方法突破 方法一　指数与对数的运算 指数与对数是这一册的地基。后面的图象识别、大小比较、恒成立问题，最后都要落到「能不能把式子算对」这一步上。这一节把运算这一块单独拎出来，讲三个动作：化同底、取对数、设参数。 ★ 指数幂三条性质，对数三条性质，位置上是一一对应的：积变和、商变差、幂变倍数。用之前先确认底数满足 且 ，真数满足 、。真数大于零这个前提，在含参的题里往往就是最后一步筛解的依据。 ★ 换底公式是把不同底的对数拉到同一战线的工具。，取 或 都行，看哪个方便。两条推论要熟：，以及 。后一条处理 、 这类式子时一步到位。 ★ 对数恒等式 是把指数与对数对消的唯一一条路。看到 这种写法不要绕道，直接写 。题目里若出现 、，说明出题人希望你把它认成 ，后面多半要换元。 ★ 「」这一结构有标准解法：统一设为 ，再取对数。得到 、、，于是比较 、、 变成比较 、、，而底数的大小是题目直接给的。注意取倒数前要先判断 、、 的符号——由 还是 决定，忘了这一步会导致不等号反向。 ★ 指对互化是解指数方程与对数方程的统一动作。底数相同就直接去掉底数、比较指数；底数不同就两边取对数，把指数搬到系数位置上。对数方程必须先写真数大于零这个前提，解完之后代入验证，增根要舍去。 ★ 对数式的化简顺序是「先合并、再拆开、最后换底」。把同底的对数项用性质和成一项，再看能不能写成 的形式，实在合不动才换底。顺序反了会绕远路，甚至绕回原点。 ★ 应用类题目有两种常见结构。一种是增长（衰减）型：，给两个时间点的数据可以定出 ，再令 取目标值、两边取对数解出 。另一种是饱和度型：，把 整体当成未知数处理，取对数后 就露出来了。 ★ 应用题的建模部分往往给出一串字母的含义，读题时先把每个字母对号入座，再代入数据。指数上的时间差、对数里的倍数关系是两处最常见的坑： 与 的学习率之比，指数上是 个单位差，不是 个。 ★ 题目给参考数据（如 、）时，说明最后一步要靠它估算，所以前面的运算要尽量保持精确，不要中途就四舍五入。算出的结果如果是轮数、块数这类离散量，按题意向上取整。 ★ 对数型函数的最值问题，先看定义域。 的最小值一定在 取最小值处取得（ 时），所以要先解 定出 的范围，再在这个范围内求 的最小值。顺序颠倒会让答案落在定义域外。 ★ 运算题做完自查三件事：底数是否满足大于零且不等于 ？真数大于零这个前提写了吗？取对数、取倒数这两处有没有因为符号不明而改变不等号方向？三处都过一遍，运算题的分就稳了。 例题 例 1-1 【多选】已知，且，则（ ） A. B. C. D. 若，则 【解析】 三个底数不同的指数式连等，先把它们的共同值设出来。由 得 ，所以这个共同值大于 ，于是 、，得 、。设 其中 。取自然对数得 ，，。 A 项：三个分母满足 。分子相同且为正时，分母越大值越小，所以 ，A 项正确。 B 项：，。比较这两个量，就是比较分母 与 ，即比较 与 。由 得 ；由 得 。所以 ，即 ，于是 。B 项说的是 ，错误。 C 项：，而 。因为 ，所以 ，C 项正确。 D 项：由 且 ，两边同除 得 ，即 。所以 ，，于是 ，D 项正确。 综上，选 ACD。 第 1 步　先由条件定出三个字母的符号 ◈ 让共同值大于 ，再由指数函数的单调性推出 、。三个字母同号之后，取倒数、作商这些操作才不会改变不等号方向。 第 2 步　比较 与 用同一个中间量 ◈ 两者都夹在 与 之间，直接比不出来，但 说明 ， 说明 ，一个大于 、一个小于 ，大小立刻定下。 第 3 步　D 项的关键是把 凑出来 ◈ 条件 两边同除 ，正好得到 ，而这两个倒数分别是 与 。 把 定成 ， 就出来了。 答　ACD 例 1-2 【单选】已知，，且，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. 4 D. 16 【解析】 要求的式子是两个以 为底的对数之积，而条件 是一个乘积式。把条件两边取以 为底的对数，乘积就变成了和： 设 ，。因为 、，所以 、，待求的式子就是 ，而这两个正数满足 。 两个正数之和固定时，乘积在两者相等处取到最大值。由基本不等式 当且仅当 时取等号，此时 ，满足 、、 三项条件，等号确实能取到。 所以 的最大值为 ，选 B。 第 1 步　乘积条件取对数变成和 ◈ 取以 为底的对数得 ，下标恰好与要求的式子一致。这一步的选择决定了整道题的难易：若取 ，后面还要多一次换底。 第 2 步　换元后必须写出新元的范围 ◈ 、 是「、」翻译过来的，少了这两个条件，基本不等式给出的「最大值」可能在取等位置跑到范围外面去。 第 3 步　取等条件要回代验证 ◈ 对应 ，它同时满足 、、，所以等号成立、最大值 确实取得到。凡是用了基本不等式，这一步都不能省。 答　B 例 1-3 【单选】若，则（ ） A. B. C. D. 【解析】 等式左右两边的外形不一样，先把右边整理成与左边同类的东西。，而 。于是原式化为 真数大于零给出 、。 左边的指数是 ，右边的指数是 ，它们相差 倍；而两个真数 与 也不是同一个式子。为把两边写成同一个函数的两处取值，取 它在 上单调递增。于是左边可以写成 右边可以写成 把两式代回原等式， 与 移到同一边，得 因为 ，所以右边小于零，即 。由 单调递增，得 ，也就是 。 所以选 D。 第 1 步　先把右边化成与左边同底同结构 ◈ 用换底公式化为 ， 写成 。两边都成了「 的若干次幂加上一个以 为底的对数」的样子，才有可能用同一个函数去套。 第 2 步　构造的函数要让两边同时对上 ◈ 取 ，左边的指数 对应 ，右边的指数 对应 ，同时真数部分各自多出一个常数。两处多出的常数 与 相减，得到 ，这正是判断的关键。 第 3 步　单调性一旦用上，指数就还原成自变量 ◈ 递增把 还原为 ，指数位置上的 与 就回到了普通位置。本题四个选项都是 与 的关系，结论直接对上 D。 答　D 练习 1-1. 【单选】已知，则（ ） A. B. C. D. 解析　答：A 三个量都小于 ，先由底数判断 与 的符号。，而 ，底数 ，所以 ；，底数 ，所以 。于是 ，四个选项里只剩 A、B 有可能。 下面比较 与 。把共同值写成 ，记 ，，其中 ，。对 取自然对数得 ，即 ；对 取自然对数得 。 先看 ： 括号内为负等价于 ，即 ，也就是 ，即 。这个不等式显然成立，所以 。 再看 ： 把它与 通分后比较。，两个式子的分母都是正数 ，所以只需比较分子。由 ， 等价于 ，即 。而 由 得 ，所以 。 合起来得 ，选 A。 1-2. 【单选】已知实数满足，则下列不等式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 解析　答：B 条件 给出 与 的一个比例关系。若公共值为 ，则 ，四个选项都含严格不等号，一个也不成立，所以下面只需考虑公共值不为 的情形。 两边取自然对数： 于是 。记 ，先定出它的范围。分子分母都为正，由 得 ；由 得 。所以 ，而 。 接下来按 的符号逐项检验。 A 项要求 ，即 且 。但 时， 中 ，负数乘较大的正数会变得更小，所以 ，与 矛盾。A 项不可能成立。 B 项要求 。取 ，同样由负数乘正数越小者越小的道理，由 得 ，即 。验证一下：把 代入，则 ，此时 ，而 ，两者相等。B 项可能成立。 C 项要求 ，即 、 都为正且 更小。但 时 ，矛盾； 时 ，不满足 。C 项不可能成立。 D 项要求 ，先得 。但 时 ，与 矛盾。D 项不可能成立。 所以选 B。 1-3. 【单选】在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为（为常数），其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型中，当时，学习率为0.25；当时，学习率为0.0625，则学习率衰减到0.05以下所需的训练迭代轮数至少为（ ）（已知） A. 31 B. 32 C. 33 D. 34 解析　答：D 学习率模型 里有三个待定字母：初始学习率 、衰减系数 与衰减速度 。题目已经给出 ，另外给出两组「轮数 — 学习率」的数据，正好用来定 与 。 把 与 分别代入，得 两式相除， 被消掉，剩下 ，即 。再代回第一式：，得 。 所以学习率与轮数的关系是 题目要求学习率衰减到 以下，即 两边同除 ，得 。两边取常用对数。因为 是增函数，不等号方向不变： 而 ，，所以 两边同乘 并整理，得 题目给出 ，所以 。轮数取正整数，故 至少为 ，选 D。 1-4. 【单选】尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）?（ ）（注：，） A. 30 B. 31 C. 32 D. 33 解析　答：C 两次地震的震级分别代入关系式 ，先各自算出释放能量的对数值。 里氏 级地震： 里氏 级地震： 要求的是两者的倍数，把两个对数值相减——商的对数等于对数的差： 所以 题目给出 ，于是 。精确到 ，得 ，选 C。 1-5. 【填空】已知函数在上的最小值是1，则__________. 解析　答： 函数 的底数 ，对数函数单调递增，所以 取到最小值的位置，正是真数 取到最小值的位置。 又因为 ，「 在 上的最小值为 」等价于「 在 上的最小值为 」。下面只看二次函数 它的对称轴是 ，按对称轴与区间 的位置分三种情形。 情形一，： 在 上单调递增，最小值在左端点取得。由 解得 ，满足 ，保留。 情形二，：最小值在顶点取得，，不可能等于正数 ，无解。 情形三，： 在 上单调递减，最小值在右端点取得。由 解得 ，与 矛盾，舍去。 所以 。此时真数为 ，在 上恒大于零，定义域没有问题。 1-6. 【填空】为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x年底光伏太阳能板的保有量y（单位：万块）满足模型，其中N为饱和度，为初始值，p为年增长率．若该地区2024年底的光伏太阳能板保有量约为20万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为，饱和度为1020万块，那么2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约__________万块． （结果四舍五入保留到整数，参考数据：，，） 解析　答： 模型 里的 指「未来第 年底」，题目把 年底作为初始值，所以 年底对应 。 已知 ，，，把这些量代入，得 先算括号里：；指数部分 。所以 题目给出 ，于是 ， 结果四舍五入保留到整数，得 万块。 方法二　指对函数的图象与性质 指数函数与对数函数的性质，说到底就是两条曲线在四个方向上的行为：定义域、值域、单调性、渐近线。这一节把这四条讲清楚，再用它们去处理不等式与图象识别两类问题。 ★ 底数决定单调方向，这一条要张口就来。 时 与 都递增， 时都递减。底数一旦含参，先把两种情形各写一遍，再取能使题目结论成立的那一种。底数自身的 、 限制要单独列出。 ★ 分式型指数函数 值得单独记。它的值域是 与 之间的开区间，在 上单调，并且满足 ，图象关于点 对称。最后这条对称关系，是处理「 等于常数」型不等式的全部依据。 ★ 复合函数的单调性判断，「同增异减」只是一半，另一半是定义域。 必须先解 ，单调区间写出来时要与定义域求交集，直接搬用 的单调区间是常见错误。 ★ 单调性用作不等式工具，动作是「去函数符号」。去之前先把两个自变量凑进 的同一个单调区间，凑的工具是奇偶性与对称性。去之后就是普通的代数不等式，该平方的平方、该因式分解的因式分解。 ★ 遇到 型，先算 。若这个和恰好是常数 ，不等式就化为 。再用单调性化为 （递增时）或 （递减时）。算一次 只要两行，却能把整道题打开。 ★ 分段函数的不等式，先看两段能不能拼成一个奇函数。 时为 、 时为 ，两段合起来正好是奇函数，于是 等价于 。一眼看出这个结构，一道题就只剩一行。 ★ 选图题按「定义域 — 奇偶性 — 特殊点 — 趋势」四步排除。含 与 的函数，重点是两端： 时 ，图象贴着 轴往下冲； 时 增长极快，图象陡峭上扬。把这两句变成对选项左右两端的检查，通常删掉两个选项。 ★ 含参的选图题要按参数分类讨论，题目问的是「可能是」。把参数分成几段（如 、），每一段画一张草图，只要有一种情形与某个选项相符，那个选项就入选。不要试图找「对所有参数都成立」的选项。 ★ 恒成立问题第一选择是分离参数。把含参的函数单调性条件整理成 的形式，再求 在区间上的最小值。分离不动时才分类讨论，分类的界点通常就是导数为零的位置。 ★ 对数型函数的定义域是解题的第一道关卡。 这类写法，要写 ，当参数出现在真数里时，这个不等式本身就是一个含参的二次不等式，分类讨论往往从它的判别式开始。 ★ 画指对函数草图时，先标三个点：与坐标轴的交点、渐近线的位置、以及两个方向上的走势。三个点一标，单调性、值域、对称性都能从图上读出来，比背性质表管用。 例题 例 2-1 【多选】已知且，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【解析】 定义域由 给出，是 。求导： 再求一次导得 。因为 时 、，所以 ， 在 上单调递增。 再看 两端的走向： 时 ，所以 ； 时 ，所以 。一个单调递增、两端分别趋于负无穷与正无穷的函数，在 上恰有一个零点，记作 ： 于是 在 上递减、在 上递增， 是极小值点，图象的形状是「两端都冲向上方，中间有一个谷底」。四个选项画的都是这个形状，所以形状本身不能区分，要看谷底的位置与高低。 先找一个定点的位置。把 代入，，得 与 无关。四个选项里都画了 的水平虚线与 的竖直虚线，曲线必须经过它们的交点 ，这是第一个筛选项的标准。 再定谷底在 的哪一侧。因为 递增，谷底 与 的先后由 的符号决定：。 当 时 ，而 且 递增，所以 ，谷底在 的左侧；当 时 ，同理得 ，谷底在 的右侧。 最后判断谷底的高低。由 得 ，把它代入 的表达式， 括号里的 是判断谷底高低的关键。 当 时， 且 ，所以 ，于是 ——谷底在 轴上方，整个图象都在 轴上方，与 轴没有交点。 当 时， 的符号要看 的具体大小：这个式子随 增大而减小， 时它等于 ，而 时 、，它趋于负无穷。所以 取足够大的值时它变成负数，此时谷底在 轴下方，图象与 轴交于两点。 把三条结论合起来对照四个选项。 A 项：谷底在 的左侧，属于 的情形，但图中曲线在 轴下方穿行、与 轴交于两点。由上面的讨论， 时谷底一定在 轴上方，图象不可能出现负值部分，排除。 B 项：谷底在 的左侧，图象全部位于 轴上方，且经过 ，两端都向上延伸。这正是 时的形状，可以出现。 C 项：谷底在 的右侧，图象全部位于 轴上方，经过 。这是 且 仍为正时的形状，对应的 只要比 大得不太多即可，可以出现。 D 项：谷底在 的右侧，且图象在 轴下方有一段、与 轴交于两点，同时经过 。这是 取得足够大、即 取得足够大的情形，可以出现。 所以选 BCD。 第 1 步　先看形状，再看位置 ◈ 单调递增且两端异号，说明 在 上有唯一的极小值点。四个选项画的都是「两端上翘、中间一个谷底」，所以形状不能用排除，必须转到「谷底在 的哪一侧」与「谷底在 轴上方还是下方」这两条上来。 第 2 步　 是与 无关的定点 ◈ 把 代入，， 被消掉，得 。四个选项都画了 与 的虚线，曲线必须过它们的交点，任何不过这个交点的图象都可以直接排除。 第 3 步　谷底的高低要看 与 的大小 ◈ 由 把谷底高度写成 ，括号里这个式子的符号只取决于 。 时它必为正，所以这一类的图象不可能穿到 轴下方； 时它随 增大由正转负，两类形状都能出现。 答　BCD 例 2-2 【解答】已知函数是偶函数． （1）求的值； （2）若，，，不等式对任意恒成立，求的取值范围． 【解析】 （1）偶函数要求对定义域内的一切 都有 。 恒成立，所以 的定义域是 ，直接代入： 把含 的项移到一边，得 右边用对数的差写成商的对数，再化简真数： 所以 ，对一切 成立，得 。 （2） 时 。由对数的定义，。把 写成 ： 指数上第一项 ，所以 下面求 时 的取值范围。记 ，由 得 ，于是 。这个函数在 上递减、在 上递增，最小值在 处取得，为 ；最大值在区间两个端点处取得， 时 ， 时也为 ，所以最大值为 。于是 的取值范围是 。 记 ，则恒成立的条件是 对一切 成立。把含 的项归到一起： 因为 ，所以 ，又 ，可以两边同除 的正的部分。由 ，原不等式等价于 对一切 成立。于是只需求 在 上的最大值。 记 ，求导： 分子的零点由 给出，解得 （负根舍去）。因为 ，所以在 上恒有 ， 单调递减，最大值在左端点取得： 所以 ，即 的取值范围是 。 第 1 步　偶函数的定义式要把 完整写开 ◈ ，与 相比，对数里面 变成了 ，外面的 变成了 。两式相减后右边只剩对数之差，把差写成商的对数，真数 恰好化简成 ， 就定下来了。 第 2 步　 要化成 的幂才能脱掉对数 ◈ 把 写成 之后，指数上的 直接变成 的平方，减去的 又从 处抵消一部分，最后得到 ，这是一个可以用 换元的标准结构。 第 3 步　分离出 之后只剩一次求最值 ◈ 把不等式整理成 ，因为 、，两边同除之后左边恰好是 。于是问题变成求 的最大值，求导后驻点 落在区间外面，说明这个函数在区间上单调，最值取在端点。 答　（1）　（2） 例 2-3 【单选】已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【解析】 先把 的性质看清楚。定义域由 决定，对一切实数成立，所以定义域是 。把 换成 ： 所以 是偶函数，图象关于 轴对称。 再看 时的单调性。 在 上递增；对 ，作差并因式分解： 由 得 ，所以括号里的数为正，又 ，于是 在 上递增；再取以 为底的对数（递增）仍递增。两个递增的式子相加再减常数，还是递增，所以 在 上单调递增。 有了「偶函数 + 在 上递增」这两条，就可以把函数值的大小关系换成自变量绝对值的大小关系：对任意实数 、， 用到本题上，取 、，不等式化为 两边都是非负数，平方后不等号方向不变： 移项并用平方差展开： 整理括号内，得 即 ，解得 或 。所以解集为 ，选 D。 第 1 步　先把奇偶性与单调性认全 ◈ 把 换成 ： 与 都不变，所以 是偶函数。再看 这一段， 递增，而 时 ，所以 也递增；再复合单调递增的对数，整个 在 上递增。 第 2 步　偶函数配上单侧递增，就把函数值换成绝对值 ◈ 对偶函数来说， 与 的大小关系完全由 与 决定。只要 在 上递增，就有 等价于 。这一步把含函数的条件彻底变成代数条件。 第 3 步　绝对值不等式两边平方后展开 ◈ 两边都非负，平方后不等号方向不变，移项用平方差写成两个一次因式的乘积，再判号即可，不需要分区间讨论。 答　D 例 2-4 【单选】已知函数，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【解析】 式子里的 是奇函数，而 与 有关，提示我们把 减去常数 ，看剩下的部分是不是奇函数。记 先把前两项通分： 所以 。把 换成 ： 分子分母同乘 ，得 所以 ， 是奇函数。 再判断 的单调性。记 ，因为 ， 随 增大而增大，且 。而 增大时 增大、 减小，所以这一项随 增大而减小；又 也随 增大而减小（）。两个递减的式子相加仍然递减，所以 在 上单调递减。 原不等式 ，两边同时减去 ，并注意 ，可以写成 即 移项得 。因为 是奇函数，，所以只需解 由 单调递减，不等号反向，得 移项整理：，即 ，解得 。所以解集为 ，选 A。 第 1 步　先找常数把函数「劈」成奇函数 ◈ 的值域在 与 之间，把 减去 之后，这一部分变成 ，它与奇函数 相加，整体是奇函数。这一步是本题的入口，常数选错了后面就都走不通。 第 2 步　奇函数加单调递减，不等式直接去符号 ◈ 是奇函数且严格递减，于是 等价于 ，而且 可以改写成 。两种改写方式配合起来，和式的不等式就变成两个自变量之间的代数不等式。 第 3 步　通分之后的变形方向要对 ◈ 直接看单调性不直观，把它写成 ，随 增大而减小的结论一眼可见。这类分式只要分子分母都是 的一次式，都可以这样分离常数。 答　A 练习 2-1. 【单选】函数定义域为，且满足，若是偶函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 解析　答：B 条件「 是偶函数」给出了 的解析式。记 ，它是偶函数意味着 ，即 又已知 ，代入上式， 把 归到一边： 所以 对 求导： 由基本不等式 （ 时取等），得 ，所以 ，且仅当 时取等号。因此 在 上单调递减。 现在处理不等式 。把它写成 由 是奇函数，右边 ，所以只需解 由 单调递减，不等号反向，得 移项并提公因式： 两个因式的符号由 与 决定，而 在 时为正、 时为负。以 与 为分界点讨论：当 时， 且 ，乘积为正，符合；当 时， 而 ，乘积为负，不符合；当 时， 且 ，乘积为正，符合。所以解集为 ，选 B。 2-2. 【单选】已知函数则的解集是（ ） A. B. C. D. 解析　答：A 先把分段函数的性质看清。当 时，， 越小 越大，这一段随 增大而减小，且 ；当 时，，同样随 增大而减小，且 时趋于 。两段在 处接上，所以 在 上单调递减。 再看奇偶性。取 ，则 ， 对 也有同样的关系，所以 是奇函数。 原不等式 ，移项得 。由奇函数，，所以只需解 是减函数，函数值大对应的自变量反而小，所以 解得 ，即 。所以解集为 ，选 A。 2-3. 【多选】若实数满足，则（ ） A. B. C. D. 解析　答：ABD 两个方程各有各的底，先看第一个。由 得 ，即 ；又 是方程 的根，而 在 上单调递增，，（因为 ），所以这个根唯一，且 。A 正确。 把 两边取自然对数， 保证了这一步合法： 也就是说， 是方程 的根。第二个方程 也能化成同一副面孔。由 有意义得 ，两边除以 ： 记 ，则 ，代入得 即 。所以 也是方程 的根。 函数 在 上单调递增，方程 的根唯一，而 与 都是它的根，两个数只能相等： 两边同乘 得 。B 正确。 由 与 ，得 ，所以 。于是 ，C 错误。 最后比较 与 。由 得 要证它小于 。因为 ，所以 ，两边同乘这个正数得 展开左边并移项： 即 。由 而 ，两个因式异号，乘积为负，不等式成立，D 正确。 所以选 ABD。 2-4. 【单选】若函数是减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 解析　答：B 先定定义域。两个对数的底分别是 与 ，要求底数大于 且不等于 ，即 、 且 ，合起来是 且 ；真数要求 ，所以定义域是 。 用换底公式把两个对数都化成自然对数： 记括号里的常数为 ，则 。 在 上单调递增，所以 在定义域上单调递减当且仅当 。 把 通分，再判断它的符号： 若 ：，且 使 ，分母为正；又 使分子也为正，所以 ， 递增，不符合要求。 若 ：，而 使 ，分母为负。要让 ，分子必须为正，即 也就是 。解 ：方程的两根为 ，结合 得 。 所以 的取值范围是 ，选 B。 2-5. 【单选】已知定义在上的函数为奇函数，且当时，，若，不等式恒成立，则的值不可能是（ ）． A. B. C. D. 3 解析　答：D 先把 在 上的表达式求出来。 是定义在 上的奇函数，取 则 ， 又奇函数在原点处有定义必有 ，所以 时 ， 时 ， 时 。 记 ，则 。把不等式 里的 换成 ，得 由奇函数 ，所以原条件等价于 对一切 成立。这就把「两项相加」化成了「两项比大小」。 先看 的情形。此时 有 ， 有 ，而每一段自身上都单调递增，所以 在 上单调递增。于是由 立刻得到 ，条件成立。选项 A 的 ，所以 可以取。 再看 的情形，此时 ，按 所在的段分别检查。 当 时 与 都落在正半轴，这一段的 递增，由 得 ，成立； 当 时 与 都落在负半轴，这一段的 也递增，同样成立； 当 时，左边 ，右边 ，条件成为 ，即 。记 ， 且 （），所以 ，这一步恒成立； 当 时，左边 ，右边 ，条件还是 ，同样恒成立。 剩下最要紧的一段：。此时 而 ，两边的表达式不一样： ，，所以条件成为 右边用基本不等式。由 与 得 等号当且仅当 ，即 时成立，而这个值确实落在 之中。所以这一段上条件成立当且仅当 把 代回，即 把这条标准用到四个选项上。B 项 ：，而 ，成立；C 项 ：只要 ，即 ，成立；D 项 ：需要 ，而 ，不成立。 所以 不可能取 ，选 D。 2-6. 【多选】函数的零点个数可以为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 解析　答：ACD 先把 化到最简。 时 ，对数的真数恒为正，于是 所以 ，定义域为 。把 换成 ，，表达式不变，所以 是偶函数，图象关于 轴对称。 记 ，。 的零点与 在 上的零点一一对应，并且每个正的零点 都对应 两个零点。所以 的零点个数总是偶数，B 里的 不可能，先排除 B。 下面看 在 上有几个零点。求导： 再求一次导： 由 知 ，所以 ，图象是上凸的， 在 上单调递减。又 时 而 趋于 ，所以 ； 时 而 ，所以 。于是 在 上恰有一个零点 ， 在 上递增、在 上递减，最大值就是 。 再看两端的走向： 时 ，所以 ； 时 增长得比 快，所以 。一头一尾都落到负无穷、中间只拱起一次，这样的曲线与 轴的公共点个数只能是 、、，分别对应最大值 、、。三种情形都能举出具体的 ，于是 的零点个数 、、 都有可能。 取 ，则 。当 时 ；当 时由 得 。所以 恒成立， 没有零点，此时 也没有零点，A 可以。 取 ，则 ，。 时 ；又 ， 时 。因为 单调递减，所以 时 、 时 ，即 就是最大值点，。所以 只有 一个零点， 的零点是 ，共 个，C 可以。 取 ，则 ，。 时 ； 时 。所以 至少有两个零点，而前面已经说明 至多有两个零点，所以恰好两个， 的零点是 与 ，共 个，D 可以。 所以选 ACD。 方法三　指、对、幂的大小比较 比较大小是选填题的固定题型，题面短、分值稳。它的难处不在计算，而在「挑哪条路」。这一节把可用的手段按优先级排一排，遇到题按顺序试，不试到最后一条不动笔。 ★ 第一条路是同底。底数相同看指数，指数相同看底数，都能直接用单调性一步得到结论。拿到题先扫一眼有没有这种结构，有就直接写，不要舍近求远。 ★ 第二条路是中间量。最常用的两个中间量是 和 ：与 比定符号，与 比定「大于一还是小于一」。几个量都落在 内、彼此很接近时，再用 、 作二次细分。这条路的成本最低，多数题在这里就能分出胜负。 ★ 第三条路是构造函数。式子里出现 、、 这类形状时，把 、 看成同一个函数在两个自变量处的取值。 在 上递增、在 上递减，最大值 ； 在 上递减、在 上递增。两个函数的图象记住了，一半的比较题就不用动笔。 ★ 比较 与 这种「交叉」型，两边取对数。化为比较 与 ，两边同除 得比较 与 ，又回到上一条。取对数这一步之所以合法，是因为 在 上严格递增。 ★ 出现 与 、 与 混着比的时候，用基本放缩。（ 处取等），（ 处取等）。需要更精细时用 （）和 （）。这两条放缩都是切线在曲线一侧的直接结果，不用背，画个图就能重新推出来。 ★ 判断某个量是否大于 ，常把它写成指数形式后比较指数。要判断 与 谁大，取对数变成比较 与 ；而 ，用 一类已知值逼近。含 的幂比较，一律「倒过来取对数」，指数的世界不好比，对数的世界是线性的。 ★ 与 有关的比较，还有一条常用变形： 时 ， 时不等号反向。这条不等式把对数换成有理式，在处理「 与 比较」时特别好用。 ★ 与三角函数混搭的比较，用两条夹逼：，以及 时 。再看 之类的量，用辅助角公式合成 后与 比较。 ★ 三三个量比较多、选项又是排列组合时，不必把三个量的大小顺序全部算清楚。只要能确定「谁最大」或者「谁最小」，再对比四个选项的公共部分，常常就够了。先算出最容易算的那个量的界，再看选项能排除哪些。 ★ 题目给了参考数据（、 之类）时，说明允许估算，但也说明有精确办法。先用精确办法把能定的定下来，剩下的一个再拿数据估算，这样既快又不会因为估算误差选错。 ★ 比较大小题的检查办法是「代特殊值」。把结论中的量按题目条件取一组满足条件的特殊值，算一遍看与所选答案是否一致。小题目没有过程分，但错了就是零分，十秒钟的特殊值检验很划算。 例题 例 3-1 【单选】已知，记，，，则（ ） A. B. C. D. 【解析】 三个数都是对数，底数依次为 ，真数依次为 ，底数与真数都不同，直接看不出大小。 好在三个数都是正数，取倒数后不等号反向，于是比大小可以先换成比倒数，这样每个数都变成「底数小、真数大」的形状。由对数的运算性质，、、。 先比 与 ，也就是比 与 。 条件 给的是 的上界：把 两边开三次方，得 ，再由 递增，得 另一边给 的下界：，把 两边开三次方，得 ，再由 递增，得 。 两头的界一夹：，即 ，倒回去得 。 再比 与 ，也就是比 与 。这一次中间量取 。 ，两边开平方得 ，所以 ，两边开平方得 ，所以 。 于是 ，即 ，倒回去得 。 合起来 ，选 C。 第 1 步　取倒数，把两个「都不同」变成一个「能化」 ◈ 三个数的底数与真数都不相同，直接比没有共同的参照。取倒数后 、、，三个数都是「底数小于真数」的形状，可以统一改成「与某个有理数比大小」，比完再倒回去。 第 2 步　中间量 卡住 与 ◈ 要判断 与 的大小，只要看 与 、 与 这两对整数幂： 给出 ， 给出 。两个不等式一夹，大小就定了。 第 3 步　条件 与整数幂 卡住 与 ◈ 题给的 换算成对数就是 ，它只是上界，还要配一个下界才能夹住 。下界由 提供，即 。凡是给了一个整数幂不等式的题，都要把它翻译成对数的不等式再用。 答　C 例 3-2 【单选】已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【解析】 三式的底数不同，先把能化的化到同底。 的底数 、真数 ，换底之后可以一路化简到与 只差一个系数： 因为 ，所以 。这一步说明 与 不必硬比。 再比 与 。两个都化到以 为底的对数，这样分母上的对数只有一个字母： ，。 要判断 ，只需判断。两边都是正数，交叉相乘得 也就是 ，成立，所以 。 最后比 与 。把 也写成以 为底：。要判断 ，只需判断，交叉相乘得 即 ，也就是 ，等价于 ，成立，所以 。 合起来 ，选 D。 第 1 步　先找两个能直接挂上关系的数 ◈ 的底数、真数都是幂，换底后 ， 与 的关系一步就出来了，这比把三个数都化成小数省事得多。比较大小的第一步，永远是先找有没有能直接化的。 第 2 步　都化到以 为底，再交叉相乘 ◈ 、、，分母上只剩 与 两个量。因为都是正数，交叉相乘不会改变不等号方向，比对数就变成了比整数幂。 第 3 步　两个比较最终都归结为整数幂 ◈ 归结为 ，即 ； 归结为 ，即 。凡是底数相同的对数比大小，都换成真数比大小，这是最不容易出错的一步。 答　D 例 3-3 【单选】已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【解析】 是有理数，、 都带着 ，想办法把三个数都送到 的附近去比。 先比 与 。，真数 正好是 ，与基本不等式 的形状对得上：取 ，得 （ 才取等）。 因为 在 上递增，两边取对数得 ，即 。 再比 与 。 的指数 ，由 递增，得 又 ，所以 ，于是 。 合起来 ，选 B。 第 1 步　把 写成 ，接上 ◈ 与 的比较，本质上就是 与 的比较。由 得 ，再取对数就得到 。用到指数放缩的题，都是先把数字整理成 加一个小量的样子。 第 2 步　 是把 与 连起来的桥 ◈ 与 之间隔着一个 ，用 与 把它夹在 的两侧：。 与 是含 的幂与有理数比较时最常用的中间站。 第 3 步　两个比较都只用到单调性 ◈ 全程没有出现任何小数：第一步用 递增，第二步用 递增，最后用 这个基本事实。比大小的解析只要走到「同一个单调函数在两点取值」就够了。 答　B 例 3-4 【单选】已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【解析】 里是对数， 里是指数，先找一个能把它们分开的中间量。两个式子都带 与 ，取中间量 。 先看 。由 （，仅 取等）得，所以 再看 。由 （ 时不取等）得 ，所以 于是 ， 与 的先后定了。 剩下的 与 之间，需要 的一个上界。用 时的常用结论 ：记 ，求导得 ， 当 时 ，而 ，所以 时 ，即 。 取 ，得 ，所以 合起来 ，选 A。 第 1 步　两个式子共用 与 ，取 作桥 ◈ 与 的表达式里都有 与 ，把 中的 换成上界 、把 中的 换成下界 ，两边正好在同一个数 上碰头。这种「同一个数被上下界夹住」的构造，比硬算小数可靠得多。 第 2 步　 与 一对反用 ◈ 要证 小，用 给出 的上界；要证 大，用 给出 的下界。两条不等式互为反函数，凡是 与 比大小的题，基本都是这一对。 第 3 步　再用 定上界 ◈ 需要 的上界，把 求导可知它在 上递减，于是 。取 得 ，配上前面的下界， 被夹在 里，足够定出选择。 答　A 练习 3-1. 【单选】设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 解析　答：A 三个数里 与 都是 的幂，先把它们对齐。，。 指数 ，底 ，指数函数 递增，所以 再由 ，得 。 是一个底数小于 、真数也小于 的对数，先把它化成底数大于 的样子： 因为 ，所以 于是 ，选 A。 3-2. 【单选】已知，，，则（ ） A. B. C. D. 解析　答：D 与 先比。把底数 写成分数 ，负指数再翻上去： 底 ，指数 ，所以 。 再比 与 。把 写成 ，用对数的运算性质提出指数： 要判断 与 的大小，即判断 与 ，也就是判断 与 。 因为 ，所以 ，于是 ，即 。 合起来 ，选 D。 3-3. 【单选】设，，，则，，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 解析　答：D 三个数里 最干净，另外两个都带 ，先把它们的真数整理成与 有关的样子。注意 的两倍正好是 ，记 ，则 。 先看 。括号里是 ，由 知它为正，可以用平方关系化简： 两边开方得 ，于是 下面用两个基本不等式。由 （，仅 取等）得；再由 （）得 。两式连起来 。 再看 ，需要 在 附近的一个下界。对 有 它的来历是构造 ，求导得 ，所以 递增，而 ，故 时 。 取 ，得 所以 最后一步是因为 。 合起来 ，选 D。 3-4. 【单选】已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 解析　答：A 与 是同一个函数在 两处的值接上系数，先比它们。 要判断 ，两边都乘 （正数）得 即 ，也就是 ，成立，所以 。 再比 与 。两边都乘 ，不等式等价于 而 等价于 ，成立，所以 。 合起来 ，选 A。 3-5. 【单选】已知函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 解析　答：D 带着绝对值，而 、、 分居 的两侧，所以按 与 分开处理。 当 时 ，，再由 （，仅 取等）得 于是 当 时 ，，于是 先比 与 。 两边乘 ，得 即 ，也就是 ，成立，所以 。 再比 与 。已经知道 ，只需说明 。对 还有 它的来历与前面类似：记 ，求导得 ，而 ，故 时 。 取 ，得 ，于是 合起来 ，选 D。 3-6. 【多选】已知，则（ ） A. B. C. D. 解析　答：AB 三个式子都等于同一个正数，把它记作 ，即 其中 。由真数大于 、分母不为 的要求，、、。 先由第三式解出 。把 整理成 ，所以 也就是说 ：三式中前两式的左边分别是两条曲线在 、 处的函数值，而第三式给出的正是第三条曲线 在 处的函数值。于是 就是这三条曲线与同一条水平线 的交点横坐标： 由第二式 且 ，得 ；由第一式 且 ，得 ，即 。 再定 的范围。由 （）得 ，两边除以 ： 取 ，得 。这条不等式说明：三条曲线与水平线的交点只可能落在 的半平面上。 先判断 B 项。由 与第二式得 ，即 假如 ，则 ，于是 ，与上式矛盾，所以 。 而由 与 得，又 使 ，所以 。两头的结论合起来 ，B 项成立。 再判断 A 项。把第一式与 放在一起，相当于比较 与 在同一处的值。先证一个引理：当 时 它两边乘 后等价于 ，即 。记 ，求导得。 当 时 ，所以 ， 在 上递减；又 ，所以 时 ，引理成立。 把 代入引理（前面已证 ）： 又 ，所以 ，即 ，故 ，A 项成立。 最后说明 C、D 不成立。式子只要求三式相等且为正， 取不同的值会得到不同的 、、，只要找到一种情形使 C、D 不成立，就说明它们不是必然结论。取 。 此时 ，显然 。 是 的根。这个函数在 上递减，把 代入得 ，由 知 ，所以 ，于是由递减性得 。 取 在 上的根。函数 在 上递减（因为它的导数是 ）。当 时，函数值为 ，由 得它大于 ；当 时，函数值为 ，由 得 ，而 、、，所以 ，于是 ，即 ，函数值小于 。 由零点存在定理， 内有一个 满足等式。对这个 ：，而 ，所以 ，C 项不成立；又 ，D 项更不成立。 综上选 AB。 方法四　指对函数的综合应用 这一节是本册的出口。前面的运算、图象、比较大小三块，在这里汇成两类问题：含参的恒成立问题，与方程的根的个数问题。把这两类的动作练熟，指对函数这一册就通了。 ★ 恒成立问题的第一步永远是整理不等式，把它写成「参数在一次位置、其余项在另一边」的形式。得到 就求 的最小值，得到 就求最大值。整理时若要在两边除以某个含 的式子，必须先说明它不为零、并判断符号，这是本题型最容易丢分的一步。 ★ 恒成立与存在性要分清楚。「对任意 成立」看最不利的一端： 恒成立等价于 ；「存在 使成立」看最有利的一端：等价于 。两种问法结论相反，读题时把「任意」与「存在」圈出来。 ★ 对数型不等式整理时，先把系数搬进真数。，所以 。把所有对数项合并成一项之后，再看不等式的两边能不能同除 、整理成 的形式。「合并对数项」和「同除一个正量」是这一步的两个固定动作。 ★ 指对混合的式子，用朗博变形做同构。（对一切实数成立），（要求 ）。有了这两条， 与 就是同一个函数在两个自变量处的值，于是可以去掉外壳、比较自变量。用之前务必确认 在相关区间上单调——它在 上递增。 ★ 方程根的个数问题转化为两条曲线的交点个数。把方程整理成 ，研究 的单调区间与极值、算出两个方向的走向，再数水平直线 与图象交了几个点。这类题画草图比硬算快得多，但草图上的极值位置与符号必须与计算一致。 ★ 「恰有 个根」的题，端点是陷阱。当极值恰好等于待定的 时，两个交点可能合成一个，所以取值范围是开区间还是闭区间，要把端点值单独代回原方程验证一遍再定。这一步占的分不多，但错在这里的卷子不少。 ★ 中心对称型函数的复合方程是常考结构。先算 ，若等于常数 ，则 等价于 ；再判断 的单调性，即可把两个变量合成一个。 就是标准的中心对称型函数。 ★ 应用建模题的模型已经给出，要做的只是「代入 — 取对数 — 解出参数」。两个时间点的数据定系数，第三个数据求目标量。指数上的时间是差值，处理 与 的比值时，指数上是 个单位，这个细节每年都有人错。 ★ 新定义题不需要额外技巧，只需要把定义一字不差地代入。分段定义按分界点分类，含参的选项按参数的正负分类，逐项验证。遇到「存在」「恒成立」的字样，再回到前面的两条判据上去。 ★ 双变量问题（ 型）的处理是消元。由两个等式分别把 、 用 表示，代入待求式子，变成关于 的一元函数后求最值。消元之前先由等式本身确定 的取值范围，它就是这个新函数的定义域。 ★ 一条直线分别交两条曲线于两点、求距离最小值，先看两条曲线的关系。若它们互为反函数（如 与 ），图象关于 对称；再看直线的斜率：斜率为 的直线与 垂直，于是两个交点关于 对称，把坐标设为 与 ，距离式里只剩一个变量。 ★ 综合题的书写要「先定路线、再动笔」。读题后在草稿上写一句话概括思路：是分离参数，还是同构，还是数交点。路线定了再写过程，中途发现走不通，也要回到这句话上重新选路，而不是在原来的式子上反复变形。 例题 例 4-1 【解答】已知函数的最小值为， （1）求的值； （2）已知正实数均不等于1，且是方程的两个根，求的值. 【解析】 （1） 的底数 ，所以 取最小值当且仅当指数取最小值。 指数 是开口向上的二次式，在 处取到最小值 于是 的最小值为 。由题设它等于 ，得 所以 。又 ，故 。 （2）此时 ，方程 就是 ，即 题设说 、 是这个方程的两个根，由韦达定理 不必真的把两根解出来。 所求式子先拆开：。两个对数的底数都是 ，与已知的两个对数正好互为倒数（ 均不等于 ，取倒数合法）： 所以 （顺带检验：两根为 ，都为正数，说明这样的 、 确实存在。） 答：（1）；（2）。 第 1 步　底数大于 ，把「函数最小」换成「指数最小」 ◈ 在 上递增，所以 的最小值点就是指数的最小值点，求完指数的最小值再代回去。 第 2 步　两根不用解出来，直接用韦达 ◈ 题目只用到两根的和与积，解出 与 的具体值反而添乱。 第 3 步　把 拆开，再整体通分 ◈ 拆成 后，用换底把底数调到 、 上取倒数，分子分母最后都是已知的两根和与两根积。 答　（1）；（2） 例 4-2 【单选】大气压强，它的单位是“帕斯卡”（Pa），它随海拔高度h（m）的变化规律可以近似的表示为（其中e为自然对数的底数，是海平面大气压强，为常数）.已知宁波市海拔最高的是四明山的主峰，主峰上一处的海拔约为1018m，大气压强为90900Pa，宁波城区一处的海拔约为4m，大气压强为101000Pa.现测得某山峰上一处的大气压强为80800Pa，请估计该处的海拔高度（单位：m）位于以下哪个范围内？（ ）（参考数据：，） A. B. C. D. 【解析】 题目给了两组海拔与气压的数据，先用它们把常数 定出来。两次列式相除可以把 约掉： 左边约分得 ，所以 不必把 算成小数，留着它后面约得掉。 设气压为 处的海拔为 ，把这一处与城区那一处相除： 左边约分得 ，于是 ，取对数得 ，所以 最后一步换了底， 的比值等于 的比值，这样就能用题目给的参考数据。 先算 。由 、 得 由 。 两者相除：，余下 再除以 约为 ，故 于是 ，落在 内，选 C。 第 1 步　两组数据相除，先消掉 ◈ 只用一组数据只能得到 与 的一个关系式；两组相除才能把 一次约掉，直接解出 。 第 2 步　第二次也走「相除」，用的是海拔差 ◈ 把待求点与已知点相除，指数上出现的是 这个差，差的形式天然又把 消掉了。 第 3 步　换成常用对数才能用参考数据 ◈ ，换底时两个 自动约掉，正好与题目给的 、 对得上。 答　C 例 4-3 【填空】“朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将化成，的变形技巧.已知函数，，若，则的最大值为_______. 【解析】 先看两个根各自的范围。 说明 ； 说明 ，所以 。 所求式子中同时出现 、、，想办法把它们并到一处。 先把 改写成与 同形的样子。注意 ，所以 记 ，则 ，。 再由「朗博变形」，得 记 ，上式就是 ，于是 现在两条已知条件形式统一了： 考察函数 （）。它的导数 ，所以 在 上严格递增，同一个函数值 只对应一个正数自变量。于是 即 。 把这个关系代入所求： 问题化成了单变量最值。记 ，，求导得 当 时 ，当 时 ，所以 在 处取最大值 （可以回代检查： 时方程 在 上确有唯一解 ，对应的 、 一应俱全。） 所以最大值为 。 第 1 步　「朗博变形」的作用是把 变成 ◈ 把 写成 ， 就成了 （），形式上与 完全一样，两条已知条件才能放在一起比较。 第 2 步　两个根由同一个递增函数 控制 ◈ 在 上严格递增，所以 可以直接推出 ，不必讨论单调性以外的任何东西。 第 3 步　换元之后只剩一个变量 ◈ 把两个根绑在一起，所求式子化为 ，最值用一次求导就解决。 答　 例 4-4 【单选】定义“真指数”（为自然对数的底数），则（ ） A. B. C. D. 【解析】 先把分段定义读成一个式子。当 时 ；当 时 。两段合起来恰是「取大的那个」： 它的图象是 上的一段水平线 接上 上的 ，在 处连续。 曲线在 处左右两段相接，整体向下凸。 A 项：取 ，。左边 ；右边 。，A 项不成立。 B 项：取 ，。左边 ；右边 。两者不等，B 项不成立。 C 项：记 ，，则 ，要证的不等式变成 按 、 与 的大小分三种情况。 若 且 ：左边 （均值不等式），右边 （此时 ），成立。 若 且 ：左边 ，右边 （此时 ），成立。 若 ：左边 。一方面 使右边取 的那一支被盖住；另一方面由 得 ，所以 ，右边取 的那一支也被盖住。两种情况都覆盖，成立。 所以 C 项成立。 D 项：取 ，，此时 。左边 ；右边 。，D 项不成立。 选 C。 第 1 步　把分段定义统一写成 ◈ 写成取大者之后，图象、单调性、与 的大小关系都一目了然，讨论时也只需盯住 里的两项谁大。 第 2 步　判断「恒成立」选项去找反例，判断「不成立」选项才需要证明 ◈ A、B、D 三个都是不成立的，各举一组具体的 、 即可；只有 C 需要正面论证。 第 3 步　C 项的证明化到两个正数 、 上分类 ◈ 令 、 后，不等式中只出现 、 与 的大小比较，分三种情况逐一验算最省事。 答　C 练习 4-1. 【单选】若不等式恒成立，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 解析　答：A 式子有意义要求 。令 ，则 且 ，不等式变成 题目要求它对一切正数 成立。 这个乘积有两个「会变号」的因式： 在 处由负变正， 在 处由负变正（ 本身恒正，不参与变号）。所以以 为界分两段看。 当 时 。要让乘积非负，必须 ，即 ，也就是 这对一切 都成立，等价于 。 当 时 。要让乘积非负，必须 ，即 ，也就是 这对一切 都成立，等价于 。 （ 时 ，乘积为 ，自动满足。） 两个要求一上一下，把 卡在中间： 且 ，所以 。 回代检查： 时原式为 。 时三个因式两负一正、 时三个因式全正、 时为 ，确实恒成立。 选 A。 4-2. 【单选】若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 解析　答：C 先把括号里的对数合并： 所以原不等式就是 对一切 成立。 若 ，取 使 ，则 ，右边为正，且 时右边无界，而左边趋于 ，不可能恒成立； 时 无意义。故 。 【必要】取 ，此时 ，，不等式给出 记 （）。它的导数 所以 在 上严格递减。而 ，于是 当且仅当 。必要性得到 。 【充分】设 。由基本不等式 （，等号当且仅当 ），取 得 再由 得 。 另一边由 （，即 ），取 得 。 首尾相接： 所以 时不等式确实恒成立。 两个放缩在 、 处同时取到等号：此时 ，右边化为 ，左边 ，说明 这个上界取得到，不能放宽。 选 C。 4-3. 【填空】已知函数（，且），若恒成立，则的最小值为______． 解析　答： 的定义域是 。先求它的最小值。求导得 分子的正负决定一切。若 ，则 恒成立， 在 上递增，而 时 ，不可能有 ，所以只能 。 此时令 ，得 。这个驻点记作 ，并把 当作一个正数，于是 ，。最小值就是 恒成立的条件是 的最小值不小于 ，也就是 但 对一切 都成立。它等价于 ，记 ，则 在 上递减、在 上递增，所以 ，即 ，等号当且仅当 。 两个不等式一夹，只能取等号：，即 。此时 所以 ， 记 （），求导得 时 ， 时 ，所以 在 处取到最小值 答： 的最小值为 。 4-4. 【单选】若关于的方程恰有四个不同的实根，则（ ） A. B. C. D. 解析　答：D 两个括号各给出一个方程，原方程有四个不同实根，就是这两个方程共有四个不同的根。 显然不是第一个方程的根，所以第一个方程可写成 第二个方程要求 且 ，可写成 记 ，。两者之间有一个关键的对应：把 代入 ， 也就是说， 是 的根，当且仅当 是 的根。 在 上恒为负；在 上， 时递减、 时递增，极小值 。所以 要有两个根，必须 ，此时一根 ，另一根 。 而 在 上递减、在 上递增，最小值 ，所以 恰有两个根，分别在 与 内，它们就是 与 。 四个根是 、、、。其中最小的必是 （，而另外三个都大于 ），最大的必是 （），所以 中间两个 、 就是 与 ，谁大谁小要看 的具体值。 于是 而 、 都是 的根， 交叉相乘得 ，即 ，D 成立，C 不成立。 再看 A、B。由上面的表示， 记 ，则 ，在 上 ， 递增。由 得 ，所以 ，A、B 都不成立。 选 D。 4-5. 【单选】已知函数，若方程有三个不同根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 解析　答：A 先看 的结构。把 换成 相加： 又 ，所以 在 上严格递增，函数值与自变量一一对应。 于是原方程等价于 由 严格递增，两边去掉 ： 也就是 问题化为：直线 与曲线 恰有三个交点。 求导得 所以 在 上递减、在 上递增、在 上递减。两个极值分别是 再看两端： 时 ； 时 衰减得比 快，。 时三段各交一次：在 上由 降到 ，途经 一次；在 上由 升到 ，途经 一次；在 上由 降到 ，也途经 一次。共三个根。 其余情形都不够三个： 时后两段上的根重合于 ，只有两个； 时只有左边一段有根，一个； 时第三段上没有根，中间一段至多一个根，一共至多两个。 所以 ，选 A。 4-6. 【填空】已知直线与函数，的图象分别交于，两点，则取最小值时，________，最小值为________． 解析　答：①. ②. 先看两条曲线的关系。由 解出 ，交换字母得 ，所以两个函数互为反函数，两条曲线关于直线 对称。 直线 的斜率为 ，与 垂直；又 与 都单调递增，与这条直线最多各交于一点，所以交点 、 恰好互为关于 的对称点。 设 （），则 代入 ，即 ，得 而 记 （）， 在 上递减、在 上递增，所以 时取最小值 最小值为正，说明 恒大于零，上面去绝对值是合法的。于是 此时 ，即 、，代入 得 答：① ；② 的最小值为 。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数与导数的方法体系（二） 指数函数与对数函数 · 从题型到方法的完整梳理 一、知识点梳理 知识点一　指数与对数的运算 ★ 指数幂的运算性质是三条： ，，。 三条都要求底数 、，指数 、 为有理数即可。 根式与分数指数幂的互化法则：， 其中 、 为正整数且 。 负指数与零指数写成分式：，（）。 ★ 对数的定义是一句话： 与 说的是同一件事。 其中 且 ，。 指数式与对数式可以随时互相翻译， 题目里出现「 与 混在一起」时， 第一步往往就是把其中一个翻译成另一种形式。 ★ 对数的运算性质三条，与指数幂的三条一一对应： ， ， 。 三条都要求 、、 且 。 真数必须为正，这个前提在化简含参式子的最后一步常常会发挥作用。 ★ 两个特殊的对数值单独记住：，。 它们是解对数方程时最先试的两组值。 ★ 对数恒等式：（）。 这个式子是「先取对数、再取指数」的往返，把指数与对数彻底消掉。 遇到 、 这类写法直接写出结果，不必绕。 ★ 换底公式：。 它把「不同底的对数」统一到同一个底，是比较大小、解方程的关键动作。 由它得到两条常用推论： （互为倒数）， （底与真数同时取幂，指数相除）。 第二条在处理 、 这类式子时最省事。 ★ 一类固定结构的题：已知 （ 且不为 ）， 讨论 、、 的取值关系。 统一设 （ 且 ）， 两边取对数得 、、， 再比较 、、 就化成比较 、、， 而后者由底数的大小直接给出。 取倒数这一步是这类题的分水岭： 时 与 等价， 若 、 的符号不明，先判符号再取倒数。 ★ 指数方程与对数方程的基本处理是「化同底」。 在 且 时等价于 ； 等价于 且 。 对数方程必须先写真数大于零，最后再把解代回去验根。 ★ 含指数的方程若两边底数不同，就取对数把指数搬下来。 两边取自然对数得 ， 方程从指数形式变成一次或二次形式。 这是「两边取对数」的全部内容，遇到就把指数拎下来，不必犹豫。 ★ 对数式比较大小时，先把它们整理成同底同真数的组合， 再用性质拆开；拆不动时才考虑近似值。 这类参考数据是给出题用的， 凡是题目给了近似值，说明最后一步要靠它估算，前面的运算应当精确。 ★ 指数型与对数型的应用模型有两类结构要认识。 一类是 （增长或衰减）， 取对数后化为 的一次式； 另一类是 （饱和度模型）， 把 整体看成未知数，取对数即可解出 。 两类的共同动作都是「取对数把指数解出来」。 知识点二　指对函数的图象与性质 ★ 指数函数 （ 且 ）的图象要素： 定义域为 ，值域为 ， 恒过定点 ， 时在 上单调递增， 时单调递减， 轴是它的水平渐近线。 ★ 对数函数 （ 且 ）的图象要素： 定义域为 ，值域为 ， 恒过定点 ， 时单调递增， 时单调递减， 轴是它的竖直渐近线。 两者互为反函数，图象关于直线 对称。 ★ 底数对图象的影响有一条口径： 在直线 右侧，指数函数与对数函数的图象都满足「底大图低」； 换一种说法，同一条竖直线与各图象的交点， 底数越大，指数函数图象上的交点越低，对数函数图象上的交点也越低。 判图题里比较两条曲线谁在上、谁在下，用这条就够了。 ★ 与 、 有关的两个基本函数： 是偶函数，图象关于 轴对称，最小值在 处取到； 是奇函数，图象关于原点对称，在 上单调递增。 两个都满足 与 时走势相反。 凡是形如 、 的函数， 都是上面两个的变形，奇偶性、单调性、值域可以照搬。 ★ 分式型指数函数 是最常见的一种。 它的值域夹在 与 之间，两端取不到； 在 上单调（ 时递增， 时递减）； 并且有中心对称性：， 即图象关于点 对称。 这条对称关系是处理 型方程的唯一钥匙。 ★ 复合函数 的单调性判断分两步： 先解 得定义域， 再在定义域内按「同增异减」判断。 定义域与单调区间必须写成区间的并集， 不能把 的单调区间直接搬过来。 ★ 含参的指对函数在给定区间上单调，实质是不等式恒成立。 化简后往往是「某个简单函数在区间上恒正（或恒负）」的形式， 再把它整理成 或 ， 对 在区间上求最值即可。 能分离参数就分离，这是本节处理参数题的第一选择。 ★ 底数含参时，单调性的讨论按底数分类。 与 在 时递增、 时递减； 若题目里同时出现 与 ， 先把两种底数各自的取值范围列出来，再按每种情形分别判断两个函数的单调方向， 最后取能使结论成立的那种情形。 底数本身还带着 、 的限制，别漏掉。 ★ 用单调性解不等式，动作是「去函数符号」。 若 在区间 上递增，则在 内 等价于 。 把所有函数值都凑到 的同一个单调区间内，是这个动作的前提。 凑不进去时，先用奇偶性、对称性把自变量搬过来。 ★ 遇到 型不等式，先找对称中心。 若 对一切 成立， 则原不等式化为 ， 再用单调性去掉 ，得到纯粹的代数不等式。 这一步的关键是把常数 认出来—— 它正是 的值，算一次就看清了。 ★ 分段函数的不等式，先看两段解析式之间的奇偶关系。 若两段恰好构成奇函数（如 时为 、 时为 ）， 则 就是 ， 再利用 的单调性化为 。 一眼看出「两段合起来是奇函数」，这类题就省掉一半运算。 ★ 判断函数图象的选图题，按「定义域 — 奇偶性 — 特殊点 — 趋势」四步走。 含 与 的函数，两个方向的行为最能区分选项： 时 ， 时 的增长快过任何幂函数。 把这两句写成文字描述，再与选项的两端比对，不必求导画全图。 含参的选图题还要按参数分类： 与 两类分别判断， 题目问「可能」时，只要某一类能对上就算对。 知识点三　指、对、幂的大小比较 ★ 比较大小先排一个顺序： 看底数是否相同、看指数是否相同、看能不能化到同底， 三条都走不通再考虑构造函数或中间量。 顺序错了容易越算越乱。 ★ 同底不同指数（或同底不同真数）直接用单调性。 时 与 都递增， 时都递减。 这是最省事的一类，先扫一遍题干看有没有这种结构。 ★ 底与指数都不同时，取对数把指数搬下来。 比较 与 的大小，相当于比较 与 ； 比较 与 ，先用换底公式统一底或统一真数。 取对数这一步不改变大小关系，因为 是增函数。 ★ 中间量法是常规武器，最常用的两个中间量是 和 。 指数函数值恒正，与 比可以定符号； 取 或 处的值，可以把各量夹到不同的区间里。 当几个量都落在 内、彼此很接近时， 再用 、 之类作二次细分。 ★ 结构中若出现 、 这类「对数除以自变量」的形状， 立刻构造函数 。 它的单调性由求导得到：在 上递增、在 上递减， 最大值在 处取到，为 。 于是 、、 的大小一目了然， 其中 是两个相等的位置。 ★ 出现 或 时， 构造函数 一类， 或直接对 作比较。 把要比较的两个量写成同一个函数在两个自变量处的值， 是这类题唯一的思路来源。 ★ 出现 与 混在一起的比较，用基本放缩： （ 处取等）， （ 处取等）。 两条放缩都来自「切线在曲线下方（或上方）」，可以现推也可以直接用。 再用一次 （）等加细版本， 能处理更精细的比较。 ★ 判断某个量大于 还是小于 ，常把它写成指数形式再比较指数。 例如比较 与 ， 注意到 等价于 ， 而 还不够， 改用 也还不够， 这时换成比较 与 ： 由 逐步收紧，或直接与已知常数比较。 含 的幂比较，思路永远是「取对数倒过来」。 ★ 比较两个指数的幂 与 （）时， 两边取对数化为比较 与 ， 再除以 得到比较 与 。 又回到构造函数 。 ★ 与三角函数混搭的比较，用两条不等式夹住： ， 以及 时 、 。 再配合 ， 足以处理绝大多数「 型」的比较。 ★ 比较大小题在选项给出的情况下，不必算出精确值。 用「与 、、 比」把三个量分别定位到不同区间， 或者用放缩把其中一个量夹在两个量之间，结论就出来了。 估算只在题目给出参考数据时使用， 给数据说明出题人希望你算，不给数据说明有精确办法。 知识点四　指对函数的综合应用 ★ 指对函数与不等式结合的题，绝大多数走「分离参数 + 求最值」。 把不等式整理成 或 ， 再求 在给定区间上的最小值或最大值。 分离时注意 是否为 ，除以 或除以 都要说明符号。 分离不动时才分类讨论，分类的界点通常来自导数为零的位置。 ★ 恒成立与存在性要分清。 对任意 有 成立，等价于 ； 存在 使 成立，等价于 。 一个取「最不利」，一个取「最有利」， 看错一个方向，答案就完全反了。 ★ 对数型不等式化简时，先把系数搬进真数。 （，）， 。 把所有对数项合并成一项，是识别不等式结构的必经一步。 出现「 与 混合」时，先在两边同除某个量， 把它整理成 常数的形式， 再用 的最大值处理。 ★ 指对混合的同构变换有一条固定套路，叫朗博变形： （），（）。 它把一个 在指数位置、另一个 在对数位置的式子， 变成两项结构相同的形式。 例如 ， 两边都是 的样子，于是可以比较自变量。 要用这条路，必须先确认函数 在相关区间上单调。 ★ 判断 与 一类函数的单调性，直接求导。 ，在 上递增； ，在 上递增。 两个函数都在 上严格递增， 同构之后就能去掉「外壳」直接比较里面。 ★ 与 互为反函数， 在含参讨论里常用于把「指数等式」与「对数等式」配对。 若方程同时含 与 ， 经常可以化为「 与 」的两项，再用同构或对称处理。 ★ 方程根的个数问题一律转化为两条曲线的交点个数。 把方程整理成 ， 求 的单调区间与极值、算出两端走向， 再数水平直线 与 的图象交了几个点。 含参时要特别注意「几个根」在端点处的合并： 极值点恰好落在解上时，两个交点会合成一个， 所以答案是开区间还是闭区间，要逐题验证端点。 ★ 中心对称型函数的复合方程是常见考法。 若 ， 则 等价于 ； 再配合 的单调性，方程立即降为一元方程。 这类函数就属此列， 先算 ， 再判断 的单调性，两步之后方程就露出来了。 ★ 应用建模题给的是参数的实际含义，读题时先把每个字母对号入座。 增长率模型中 的指数要按「时间差」计算， 不是按绝对时间； 模型里出现的常数（如 、）大多要在最后一步使用， 前面尽量用精确值运算。 算完要检查答案是否落在实际的取值范围内， 轮数、块数、人数都取非负整数，必要时向上取整。 ★ 新定义题的解法只有一条：把定义原样代入，逐项验证。 定义里的分段条件要严格按「」「」分类， 含参的选项按参数的正负分开讨论。 验证恒等式时，把不等式两边都写成同一个新函数的值， 再比较两者大小。 ★ 双变量问题（如 ）的处理是消元。 把 与 都用 表示出来， 代入要研究的式子变成关于 的一元函数，再求最值。 消元之前先判断 的取值范围， 这一步决定了新函数的定义域，不能省。 ★ 遇到「一条直线分别与两条曲线交于两点，求距离最小值」， 先把两条曲线的关系看清楚。 若两条曲线互为反函数（如 与 ）， 它们的图象关于直线 对称； 再注意到所给直线的斜率为 ，与 垂直， 于是两条曲线与这条直线的交点必关于直线 对称。 把 、 的坐标设为 、， 距离就化成只含一个变量的式子， 再求最值即可。 二、方法突破 方法一　指数与对数的运算 指数与对数是这一册的地基。后面的图象识别、大小比较、恒成立问题，最后都要落到「能不能把式子算对」这一步上。这一节把运算这一块单独拎出来，讲三个动作：化同底、取对数、设参数。 ★ 指数幂三条性质，对数三条性质，位置上是一一对应的：积变和、商变差、幂变倍数。用之前先确认底数满足 且 ，真数满足 、。真数大于零这个前提，在含参的题里往往就是最后一步筛解的依据。 ★ 换底公式是把不同底的对数拉到同一战线的工具。，取 或 都行，看哪个方便。两条推论要熟：，以及 。后一条处理 、 这类式子时一步到位。 ★ 对数恒等式 是把指数与对数对消的唯一一条路。看到 这种写法不要绕道，直接写 。题目里若出现 、，说明出题人希望你把它认成 ，后面多半要换元。 ★ 「」这一结构有标准解法：统一设为 ，再取对数。得到 、、，于是比较 、、 变成比较 、、，而底数的大小是题目直接给的。注意取倒数前要先判断 、、 的符号——由 还是 决定，忘了这一步会导致不等号反向。 ★ 指对互化是解指数方程与对数方程的统一动作。底数相同就直接去掉底数、比较指数；底数不同就两边取对数，把指数搬到系数位置上。对数方程必须先写真数大于零这个前提，解完之后代入验证，增根要舍去。 ★ 对数式的化简顺序是「先合并、再拆开、最后换底」。把同底的对数项用性质和成一项，再看能不能写成 的形式，实在合不动才换底。顺序反了会绕远路，甚至绕回原点。 ★ 应用类题目有两种常见结构。一种是增长（衰减）型：，给两个时间点的数据可以定出 ，再令 取目标值、两边取对数解出 。另一种是饱和度型：，把 整体当成未知数处理，取对数后 就露出来了。 ★ 应用题的建模部分往往给出一串字母的含义，读题时先把每个字母对号入座，再代入数据。指数上的时间差、对数里的倍数关系是两处最常见的坑： 与 的学习率之比，指数上是 个单位差，不是 个。 ★ 题目给参考数据（如 、）时，说明最后一步要靠它估算，所以前面的运算要尽量保持精确，不要中途就四舍五入。算出的结果如果是轮数、块数这类离散量，按题意向上取整。 ★ 对数型函数的最值问题，先看定义域。 的最小值一定在 取最小值处取得（ 时），所以要先解 定出 的范围，再在这个范围内求 的最小值。顺序颠倒会让答案落在定义域外。 ★ 运算题做完自查三件事：底数是否满足大于零且不等于 ？真数大于零这个前提写了吗？取对数、取倒数这两处有没有因为符号不明而改变不等号方向？三处都过一遍，运算题的分就稳了。 例题 例 1-1 【多选】已知，且，则（ ） A. B. C. D. 若，则 【解析】 第 1 步　先由条件定出三个字母的符号 ◈ 让共同值大于 ，再由指数函数的单调性推出 、。三个字母同号之后，取倒数、作商这些操作才不会改变不等号方向。 第 2 步　比较 与 用同一个中间量 ◈ 两者都夹在 与 之间，直接比不出来，但 说明 ， 说明 ，一个大于 、一个小于 ，大小立刻定下。 第 3 步　D 项的关键是把 凑出来 ◈ 条件 两边同除 ，正好得到 ，而这两个倒数分别是 与 。 把 定成 ， 就出来了。 答　ACD 例 1-2 【单选】已知，，且，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. 4 D. 16 【解析】 第 1 步　乘积条件取对数变成和 ◈ 取以 为底的对数得 ，下标恰好与要求的式子一致。这一步的选择决定了整道题的难易：若取 ，后面还要多一次换底。 第 2 步　换元后必须写出新元的范围 ◈ 、 是「、」翻译过来的，少了这两个条件，基本不等式给出的「最大值」可能在取等位置跑到范围外面去。 第 3 步　取等条件要回代验证 ◈ 对应 ，它同时满足 、、，所以等号成立、最大值 确实取得到。凡是用了基本不等式，这一步都不能省。 答　B 例 1-3 【单选】若，则（ ） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　先把右边化成与左边同底同结构 ◈ 用换底公式化为 ， 写成 。两边都成了「 的若干次幂加上一个以 为底的对数」的样子，才有可能用同一个函数去套。 第 2 步　构造的函数要让两边同时对上 ◈ 取 ，左边的指数 对应 ，右边的指数 对应 ，同时真数部分各自多出一个常数。两处多出的常数 与 相减，得到 ，这正是判断的关键。 第 3 步　单调性一旦用上，指数就还原成自变量 ◈ 递增把 还原为 ，指数位置上的 与 就回到了普通位置。本题四个选项都是 与 的关系，结论直接对上 D。 答　D 练习 1-1. 【单选】已知，则（ ） A. B. C. D. 1-2. 【单选】已知实数满足，则下列不等式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 1-3. 【单选】在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为（为常数），其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型中，当时，学习率为0.25；当时，学习率为0.0625，则学习率衰减到0.05以下所需的训练迭代轮数至少为（ ）（已知） A. 31 B. 32 C. 33 D. 34 1-4. 【单选】尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）?（ ）（注：，） A. 30 B. 31 C. 32 D. 33 1-5. 【填空】已知函数在上的最小值是1，则__________. 1-6. 【填空】为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x年底光伏太阳能板的保有量y（单位：万块）满足模型，其中N为饱和度，为初始值，p为年增长率．若该地区2024年底的光伏太阳能板保有量约为20万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为，饱和度为1020万块，那么2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约__________万块． （结果四舍五入保留到整数，参考数据：，，） 方法二　指对函数的图象与性质 指数函数与对数函数的性质，说到底就是两条曲线在四个方向上的行为：定义域、值域、单调性、渐近线。这一节把这四条讲清楚，再用它们去处理不等式与图象识别两类问题。 ★ 底数决定单调方向，这一条要张口就来。 时 与 都递增， 时都递减。底数一旦含参，先把两种情形各写一遍，再取能使题目结论成立的那一种。底数自身的 、 限制要单独列出。 ★ 分式型指数函数 值得单独记。它的值域是 与 之间的开区间，在 上单调，并且满足 ，图象关于点 对称。最后这条对称关系，是处理「 等于常数」型不等式的全部依据。 ★ 复合函数的单调性判断，「同增异减」只是一半，另一半是定义域。 必须先解 ，单调区间写出来时要与定义域求交集，直接搬用 的单调区间是常见错误。 ★ 单调性用作不等式工具，动作是「去函数符号」。去之前先把两个自变量凑进 的同一个单调区间，凑的工具是奇偶性与对称性。去之后就是普通的代数不等式，该平方的平方、该因式分解的因式分解。 ★ 遇到 型，先算 。若这个和恰好是常数 ，不等式就化为 。再用单调性化为 （递增时）或 （递减时）。算一次 只要两行，却能把整道题打开。 ★ 分段函数的不等式，先看两段能不能拼成一个奇函数。 时为 、 时为 ，两段合起来正好是奇函数，于是 等价于 。一眼看出这个结构，一道题就只剩一行。 ★ 选图题按「定义域 — 奇偶性 — 特殊点 — 趋势」四步排除。含 与 的函数，重点是两端： 时 ，图象贴着 轴往下冲； 时 增长极快，图象陡峭上扬。把这两句变成对选项左右两端的检查，通常删掉两个选项。 ★ 含参的选图题要按参数分类讨论，题目问的是「可能是」。把参数分成几段（如 、），每一段画一张草图，只要有一种情形与某个选项相符，那个选项就入选。不要试图找「对所有参数都成立」的选项。 ★ 恒成立问题第一选择是分离参数。把含参的函数单调性条件整理成 的形式，再求 在区间上的最小值。分离不动时才分类讨论，分类的界点通常就是导数为零的位置。 ★ 对数型函数的定义域是解题的第一道关卡。 这类写法，要写 ，当参数出现在真数里时，这个不等式本身就是一个含参的二次不等式，分类讨论往往从它的判别式开始。 ★ 画指对函数草图时，先标三个点：与坐标轴的交点、渐近线的位置、以及两个方向上的走势。三个点一标，单调性、值域、对称性都能从图上读出来，比背性质表管用。 例题 例 2-1 【多选】已知且，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　先看形状，再看位置 ◈ 单调递增且两端异号，说明 在 上有唯一的极小值点。四个选项画的都是「两端上翘、中间一个谷底」，所以形状不能用排除，必须转到「谷底在 的哪一侧」与「谷底在 轴上方还是下方」这两条上来。 第 2 步　 是与 无关的定点 ◈ 把 代入，， 被消掉，得 。四个选项都画了 与 的虚线，曲线必须过它们的交点，任何不过这个交点的图象都可以直接排除。 第 3 步　谷底的高低要看 与 的大小 ◈ 由 把谷底高度写成 ，括号里这个式子的符号只取决于 。 时它必为正，所以这一类的图象不可能穿到 轴下方； 时它随 增大由正转负，两类形状都能出现。 答　BCD 例 2-2 【解答】已知函数是偶函数． （1）求的值； （2）若，，，不等式对任意恒成立，求的取值范围． 【解析】 第 1 步　偶函数的定义式要把 完整写开 ◈ ，与 相比，对数里面 变成了 ，外面的 变成了 。两式相减后右边只剩对数之差，把差写成商的对数，真数 恰好化简成 ， 就定下来了。 第 2 步　 要化成 的幂才能脱掉对数 ◈ 把 写成 之后，指数上的 直接变成 的平方，减去的 又从 处抵消一部分，最后得到 ，这是一个可以用 换元的标准结构。 第 3 步　分离出 之后只剩一次求最值 ◈ 把不等式整理成 ，因为 、，两边同除之后左边恰好是 。于是问题变成求 的最大值，求导后驻点 落在区间外面，说明这个函数在区间上单调，最值取在端点。 答　（1）　（2） 例 2-3 【单选】已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　先把奇偶性与单调性认全 ◈ 把 换成 ： 与 都不变，所以 是偶函数。再看 这一段， 递增，而 时 ，所以 也递增；再复合单调递增的对数，整个 在 上递增。 第 2 步　偶函数配上单侧递增，就把函数值换成绝对值 ◈ 对偶函数来说， 与 的大小关系完全由 与 决定。只要 在 上递增，就有 等价于 。这一步把含函数的条件彻底变成代数条件。 第 3 步　绝对值不等式两边平方后展开 ◈ 两边都非负，平方后不等号方向不变，移项用平方差写成两个一次因式的乘积，再判号即可，不需要分区间讨论。 答　D 例 2-4 【单选】已知函数，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　先找常数把函数「劈」成奇函数 ◈ 的值域在 与 之间，把 减去 之后，这一部分变成 ，它与奇函数 相加，整体是奇函数。这一步是本题的入口，常数选错了后面就都走不通。 第 2 步　奇函数加单调递减，不等式直接去符号 ◈ 是奇函数且严格递减，于是 等价于 ，而且 可以改写成 。两种改写方式配合起来，和式的不等式就变成两个自变量之间的代数不等式。 第 3 步　通分之后的变形方向要对 ◈ 直接看单调性不直观，把它写成 ，随 增大而减小的结论一眼可见。这类分式只要分子分母都是 的一次式，都可以这样分离常数。 答　A 练习 2-1. 【单选】函数定义域为，且满足，若是偶函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 2-2. 【单选】已知函数则的解集是（ ） A. B. C. D. 2-3. 【多选】若实数满足，则（ ） A. B. C. D. 2-4. 【单选】若函数是减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2-5. 【单选】已知定义在上的函数为奇函数，且当时，，若，不等式恒成立，则的值不可能是（ ）． A. B. C. D. 3 2-6. 【多选】函数的零点个数可以为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 方法三　指、对、幂的大小比较 比较大小是选填题的固定题型，题面短、分值稳。它的难处不在计算，而在「挑哪条路」。这一节把可用的手段按优先级排一排，遇到题按顺序试，不试到最后一条不动笔。 ★ 第一条路是同底。底数相同看指数，指数相同看底数，都能直接用单调性一步得到结论。拿到题先扫一眼有没有这种结构，有就直接写，不要舍近求远。 ★ 第二条路是中间量。最常用的两个中间量是 和 ：与 比定符号，与 比定「大于一还是小于一」。几个量都落在 内、彼此很接近时，再用 、 作二次细分。这条路的成本最低，多数题在这里就能分出胜负。 ★ 第三条路是构造函数。式子里出现 、、 这类形状时，把 、 看成同一个函数在两个自变量处的取值。 在 上递增、在 上递减，最大值 ； 在 上递减、在 上递增。两个函数的图象记住了，一半的比较题就不用动笔。 ★ 比较 与 这种「交叉」型，两边取对数。化为比较 与 ，两边同除 得比较 与 ，又回到上一条。取对数这一步之所以合法，是因为 在 上严格递增。 ★ 出现 与 、 与 混着比的时候，用基本放缩。（ 处取等），（ 处取等）。需要更精细时用 （）和 （）。这两条放缩都是切线在曲线一侧的直接结果，不用背，画个图就能重新推出来。 ★ 判断某个量是否大于 ，常把它写成指数形式后比较指数。要判断 与 谁大，取对数变成比较 与 ；而 ，用 一类已知值逼近。含 的幂比较，一律「倒过来取对数」，指数的世界不好比，对数的世界是线性的。 ★ 与 有关的比较，还有一条常用变形： 时 ， 时不等号反向。这条不等式把对数换成有理式，在处理「 与 比较」时特别好用。 ★ 与三角函数混搭的比较，用两条夹逼：，以及 时 。再看 之类的量，用辅助角公式合成 后与 比较。 ★ 三三个量比较多、选项又是排列组合时，不必把三个量的大小顺序全部算清楚。只要能确定「谁最大」或者「谁最小」，再对比四个选项的公共部分，常常就够了。先算出最容易算的那个量的界，再看选项能排除哪些。 ★ 题目给了参考数据（、 之类）时，说明允许估算，但也说明有精确办法。先用精确办法把能定的定下来，剩下的一个再拿数据估算，这样既快又不会因为估算误差选错。 ★ 比较大小题的检查办法是「代特殊值」。把结论中的量按题目条件取一组满足条件的特殊值，算一遍看与所选答案是否一致。小题目没有过程分，但错了就是零分，十秒钟的特殊值检验很划算。 例题 例 3-1 【单选】已知，记，，，则（ ） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　取倒数，把两个「都不同」变成一个「能化」 ◈ 三个数的底数与真数都不相同，直接比没有共同的参照。取倒数后 、、，三个数都是「底数小于真数」的形状，可以统一改成「与某个有理数比大小」，比完再倒回去。 第 2 步　中间量 卡住 与 ◈ 要判断 与 的大小，只要看 与 、 与 这两对整数幂： 给出 ， 给出 。两个不等式一夹，大小就定了。 第 3 步　条件 与整数幂 卡住 与 ◈ 题给的 换算成对数就是 ，它只是上界，还要配一个下界才能夹住 。下界由 提供，即 。凡是给了一个整数幂不等式的题，都要把它翻译成对数的不等式再用。 答　C 例 3-2 【单选】已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　先找两个能直接挂上关系的数 ◈ 的底数、真数都是幂，换底后 ， 与 的关系一步就出来了，这比把三个数都化成小数省事得多。比较大小的第一步，永远是先找有没有能直接化的。 第 2 步　都化到以 为底，再交叉相乘 ◈ 、、，分母上只剩 与 两个量。因为都是正数，交叉相乘不会改变不等号方向，比对数就变成了比整数幂。 第 3 步　两个比较最终都归结为整数幂 ◈ 归结为 ，即 ； 归结为 ，即 。凡是底数相同的对数比大小，都换成真数比大小，这是最不容易出错的一步。 答　D 例 3-3 【单选】已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　把 写成 ，接上 ◈ 与 的比较，本质上就是 与 的比较。由 得 ，再取对数就得到 。用到指数放缩的题，都是先把数字整理成 加一个小量的样子。 第 2 步　 是把 与 连起来的桥 ◈ 与 之间隔着一个 ，用 与 把它夹在 的两侧：。 与 是含 的幂与有理数比较时最常用的中间站。 第 3 步　两个比较都只用到单调性 ◈ 全程没有出现任何小数：第一步用 递增，第二步用 递增，最后用 这个基本事实。比大小的解析只要走到「同一个单调函数在两点取值」就够了。 答　B 例 3-4 【单选】已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　两个式子共用 与 ，取 作桥 ◈ 与 的表达式里都有 与 ，把 中的 换成上界 、把 中的 换成下界 ，两边正好在同一个数 上碰头。这种「同一个数被上下界夹住」的构造，比硬算小数可靠得多。 第 2 步　 与 一对反用 ◈ 要证 小，用 给出 的上界；要证 大，用 给出 的下界。两条不等式互为反函数，凡是 与 比大小的题，基本都是这一对。 第 3 步　再用 定上界 ◈ 需要 的上界，把 求导可知它在 上递减，于是 。取 得 ，配上前面的下界， 被夹在 里，足够定出选择。 答　A 练习 3-1. 【单选】设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3-2. 【单选】已知，，，则（ ） A. B. C. D. 3-3. 【单选】设，，，则，，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 3-4. 【单选】已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3-5. 【单选】已知函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 3-6. 【多选】已知，则（ ） A. B. C. D. 方法四　指对函数的综合应用 这一节是本册的出口。前面的运算、图象、比较大小三块，在这里汇成两类问题：含参的恒成立问题，与方程的根的个数问题。把这两类的动作练熟，指对函数这一册就通了。 ★ 恒成立问题的第一步永远是整理不等式，把它写成「参数在一次位置、其余项在另一边」的形式。得到 就求 的最小值，得到 就求最大值。整理时若要在两边除以某个含 的式子，必须先说明它不为零、并判断符号，这是本题型最容易丢分的一步。 ★ 恒成立与存在性要分清楚。「对任意 成立」看最不利的一端： 恒成立等价于 ；「存在 使成立」看最有利的一端：等价于 。两种问法结论相反，读题时把「任意」与「存在」圈出来。 ★ 对数型不等式整理时，先把系数搬进真数。，所以 。把所有对数项合并成一项之后，再看不等式的两边能不能同除 、整理成 的形式。「合并对数项」和「同除一个正量」是这一步的两个固定动作。 ★ 指对混合的式子，用朗博变形做同构。（对一切实数成立），（要求 ）。有了这两条， 与 就是同一个函数在两个自变量处的值，于是可以去掉外壳、比较自变量。用之前务必确认 在相关区间上单调——它在 上递增。 ★ 方程根的个数问题转化为两条曲线的交点个数。把方程整理成 ，研究 的单调区间与极值、算出两个方向的走向，再数水平直线 与图象交了几个点。这类题画草图比硬算快得多，但草图上的极值位置与符号必须与计算一致。 ★ 「恰有 个根」的题，端点是陷阱。当极值恰好等于待定的 时，两个交点可能合成一个，所以取值范围是开区间还是闭区间，要把端点值单独代回原方程验证一遍再定。这一步占的分不多，但错在这里的卷子不少。 ★ 中心对称型函数的复合方程是常考结构。先算 ，若等于常数 ，则 等价于 ；再判断 的单调性，即可把两个变量合成一个。 就是标准的中心对称型函数。 ★ 应用建模题的模型已经给出，要做的只是「代入 — 取对数 — 解出参数」。两个时间点的数据定系数，第三个数据求目标量。指数上的时间是差值，处理 与 的比值时，指数上是 个单位，这个细节每年都有人错。 ★ 新定义题不需要额外技巧，只需要把定义一字不差地代入。分段定义按分界点分类，含参的选项按参数的正负分类，逐项验证。遇到「存在」「恒成立」的字样，再回到前面的两条判据上去。 ★ 双变量问题（ 型）的处理是消元。由两个等式分别把 、 用 表示，代入待求式子，变成关于 的一元函数后求最值。消元之前先由等式本身确定 的取值范围，它就是这个新函数的定义域。 ★ 一条直线分别交两条曲线于两点、求距离最小值，先看两条曲线的关系。若它们互为反函数（如 与 ），图象关于 对称；再看直线的斜率：斜率为 的直线与 垂直，于是两个交点关于 对称，把坐标设为 与 ，距离式里只剩一个变量。 ★ 综合题的书写要「先定路线、再动笔」。读题后在草稿上写一句话概括思路：是分离参数，还是同构，还是数交点。路线定了再写过程，中途发现走不通，也要回到这句话上重新选路，而不是在原来的式子上反复变形。 例题 例 4-1 【解答】已知函数的最小值为， （1）求的值； （2）已知正实数均不等于1，且是方程的两个根，求的值. 【解析】 第 1 步　底数大于 ，把「函数最小」换成「指数最小」 ◈ 在 上递增，所以 的最小值点就是指数的最小值点，求完指数的最小值再代回去。 第 2 步　两根不用解出来，直接用韦达 ◈ 题目只用到两根的和与积，解出 与 的具体值反而添乱。 第 3 步　把 拆开，再整体通分 ◈ 拆成 后，用换底把底数调到 、 上取倒数，分子分母最后都是已知的两根和与两根积。 答　（1）；（2） 例 4-2 【单选】大气压强，它的单位是“帕斯卡”（Pa），它随海拔高度h（m）的变化规律可以近似的表示为（其中e为自然对数的底数，是海平面大气压强，为常数）.已知宁波市海拔最高的是四明山的主峰，主峰上一处的海拔约为1018m，大气压强为90900Pa，宁波城区一处的海拔约为4m，大气压强为101000Pa.现测得某山峰上一处的大气压强为80800Pa，请估计该处的海拔高度（单位：m）位于以下哪个范围内？（ ）（参考数据：，） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　两组数据相除，先消掉 ◈ 只用一组数据只能得到 与 的一个关系式；两组相除才能把 一次约掉，直接解出 。 第 2 步　第二次也走「相除」，用的是海拔差 ◈ 把待求点与已知点相除，指数上出现的是 这个差，差的形式天然又把 消掉了。 第 3 步　换成常用对数才能用参考数据 ◈ ，换底时两个 自动约掉，正好与题目给的 、 对得上。 答　C 例 4-3 【填空】“朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将化成，的变形技巧.已知函数，，若，则的最大值为_______. 【解析】 第 1 步　「朗博变形」的作用是把 变成 ◈ 把 写成 ， 就成了 （），形式上与 完全一样，两条已知条件才能放在一起比较。 第 2 步　两个根由同一个递增函数 控制 ◈ 在 上严格递增，所以 可以直接推出 ，不必讨论单调性以外的任何东西。 第 3 步　换元之后只剩一个变量 ◈ 把两个根绑在一起，所求式子化为 ，最值用一次求导就解决。 答　 例 4-4 【单选】定义“真指数”（为自然对数的底数），则（ ） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　把分段定义统一写成 ◈ 写成取大者之后，图象、单调性、与 的大小关系都一目了然，讨论时也只需盯住 里的两项谁大。 第 2 步　判断「恒成立」选项去找反例，判断「不成立」选项才需要证明 ◈ A、B、D 三个都是不成立的，各举一组具体的 、 即可；只有 C 需要正面论证。 第 3 步　C 项的证明化到两个正数 、 上分类 ◈ 令 、 后，不等式中只出现 、 与 的大小比较，分三种情况逐一验算最省事。 答　C 练习 4-1. 【单选】若不等式恒成立，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 4-2. 【单选】若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4-3. 【填空】已知函数（，且），若恒成立，则的最小值为______． 4-4. 【单选】若关于的方程恰有四个不同的实根，则（ ） A. B. C. D. 4-5. 【单选】已知函数，若方程有三个不同根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4-6. 【填空】已知直线与函数，的图象分别交于，两点，则取最小值时，________，最小值为________． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $