函数与导数的方法体系（五）导数与切线讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数与导数核心模块，以导数与切线为主线，系统梳理导数概念运算、几何意义、单调性极值及函数图象等高考高频考点，通过知识点分层梳理、方法体系构建、真题例题精讲和分层练习设计，帮助学生建立从概念到应用的完整解题框架。 讲义突出问题分类与逻辑推理，如针对“在点处切线”与“过点切线”设计不同解题流程，通过公切线问题中“斜率相等+截距相等”模型培养数学思维和模型意识。设置基础填空、综合解答等分层练习，配合易错点提示（如商的导数符号、极值点检验），确保学生高效突破难点，为教师提供精准复习节奏把控的教学资源。

函数与导数的方法体系（五） 导数与切线 · 从题型到方法的完整梳理 一、知识点梳理 知识点一　导数的概念与运算 ★ 平均变化率到瞬时变化率：函数 在区间 上的平均变化率是 ，它刻画的是这一段「平均起来」变化有多快。 ★ 让 无限接近 ，平均变化率趋于的那个数就是 在 处的导数，记作 。它是一个具体的数，不是函数。 ★ 导数的定义式还有另一种写法：。只要式子的结构是「函数值之差除以自变量之差」，并且分母趋于 ，就可以凑成导数的定义形式。 ★ 函数的导数 是把每个 处算出的 收集起来得到的函数，所以 就是把 代进 所得的值：先求导函数，再代点。 ★ 常见函数的导数：，，，，。 ★ 四则运算：和差分别求导；积的导数 ；商的导数 。商的公式里减号在前，写反是最常见的丢分点。 ★ 复合函数求导：设 ，，则 ，也就是「外层导数乘内层导数」。例如 。 ★ 求导前先看定义域。含 的函数定义域是 ，含 的要挖掉 。导数的定义域是原函数定义域的子集，写单调区间时不能越过原定义域。 ★ 导数值与函数值是两个量。 是点的高度， 是那一点处切线的斜率。题目问「斜率」就找 ，问「函数值」就找 ，两者不要串。 ★ 导数与奇偶性：若 是偶函数且可导，则 是奇函数；若 是奇函数且可导，则 是偶函数。常用的两种说法是等价的： 的图象关于直线 对称 的图象关于点 中心对称。 ★ 导数与周期性：若 是周期为 的函数且可导，则 也是周期为 的函数。反过来不成立—— 是周期函数推不出 是周期函数，例如 的导数是周期函数，但它本身不是周期函数。 ★ 抽象函数的导数方程：若题设给出 这类恒等式，先赋值求出 ，再用导数的定义（而不是直接求导）把它化成 的关系式。 ★ 导数的运算是后面所有方法的底座。切线、单调性、极值、不等式，第一步都是求导；求导错了，后面写得再漂亮也是零分。复杂式子先整理（提公因式、通分）再求导，能省掉一半计算量。 知识点二　导数的几何意义与切线 ★ 导数的几何意义： 是曲线 在点 处切线的斜率。这是导数最有用的一句话，切线题全部由它出发。 ★ 切线方程：曲线 在点 处的切线为。两个条件缺一不可：切点坐标、切点处的导数。 ★ 「在点 处的切线」与「过点 的切线」是两件事。前者 一定是切点，直接套切线方程；后者 可能只是切线经过的一个点，未必是切点。读题时先把这两个字看清楚。 ★ 过点作切线的标准流程：设切点横坐标为 ，写出切线 ；把已知点代入，得到关于 的方程；解出几个 ，就有几条切线。 ★ 切线条数问题本质是方程解的个数问题。若关于 的方程有两个解，说明过该点能作两条切线；解重根时切线重合，要合并成一条，不能数成两条。 ★ 三次曲线过某点的切线条数有规律：设 是三次函数图象的对称中心，过 只能作一条切线；过图象上异于 的点可以作两条或三条；过图象外的点则可能是三条。结论不必硬背，按标准流程解方程最稳。 ★ 公切线：一条直线同时与两条曲线相切。设它与第一条曲线切于 ，与第二条曲线切于 ，由「斜率相等 + 截距相等」列出两个方程，解出 与 。切点相同的情形也要考虑，不要默认两个切点不同。 ★ 由切线条件反求参数，最常见的是两种条件：「某直线是曲线的切线」（斜率相等 + 点在线上的等式），「曲线在 处的切线斜率为 」（）。 ★ 两条切线垂直：斜率之积为 。两条切线平行：斜率相等，但截距不同（否则重合）。这类题把斜率条件翻译成关于切点横坐标的方程即可。 ★ 切线与曲线的公共点未必只有一个。切线在某点与曲线相切，可能在别处仍与曲线相交，所以「切线与曲线只有一个公共点」是不能当作判定依据的。 ★ 三次曲线在切点处常常「穿」过曲线，二次曲线在切点处则是「贴着」曲线。画草图时按这个规律把切线与曲线的关系画对，能避免把交点个数数错。 ★ 含 的曲线注意定义域，切线的一切讨论都在 内进行；含绝对值的曲线在分界点处要分段看斜率，分界点本身往往是尖点，那里可能不可导。 ★ 求切线方程最后要写成一般式或斜截式，并检查切点确实在曲线与切线上：把切点横坐标代回两条式子，两边相等才算写完。 知识点三　用导数研究单调性与极值 ★ 单调性的判定：在区间内 ，则 在该区间上递增；，则 在该区间上递减。这是充分条件，不是必要条件—— 在 上递增，但 。 ★ 求单调区间的四个步骤：先写定义域，再求导并因式分解，然后判断导数在各段的符号，最后按「递增区间」「递减区间」分开写。区间端点处函数有定义就取闭、无定义就取开。 ★ 含参单调性讨论的分类标准只有两条：导数的零点是否存在（判别式或参数取值的分界）、零点是否落在定义域内。零点存在时再比大小，按大小顺序排开区间。 ★ 讨论时把导数写成因式乘积的形式最省事： 这样的结构，符号只看各因式，不必展开。 ★ 极值的定义：在 附近， 比两侧的函数值都大（或都小），则 是极大值（或极小值）。极值是局部的概念，与最值不是一回事。 ★ 极值点的必要条件：可导函数在 处取极值，则 。反过来不成立： 只说明切线水平，要成为极值点还必须在此点左右导数变号。 ★ 判断极值点的两步：先解 得到候选点，再列表看导数在各候选点两侧的符号，「正变负」是极大值点，「负变正」是极小值点，不变号则不是极值点。 ★ 三次函数 ：，判别式 时有两个极值点， 时没有极值点（只有一个驻点）， 时没有极值点。 ★ 已知极值求参数，必须回头检验。由 解出的参数值，要代回原函数确认 左右确实变号，否则可能只是拐点或驻点，解出的参数要舍去。 ★ 最值与极值的关系：闭区间上连续函数的最值，只可能在极值点或区间端点处取得。把这两类点的函数值都算出来比大小即可。 ★ 单调性与参数的两个不同问法：「在区间 上单调递增」要求 在 上恒成立；「在区间 上存在单调递减区间」只要求 在 内有解。一个要恒成立，一个有解即可，差别很大。 ★ 处理 恒成立的常规手段是分离参数：化成 ，再求 在区间上的最大值；化成 ，则求 的最小值。若导数在端点处恰好为零，端点能否取到要单独交代。 ★ 换元与放缩是导数题的常规工具：把重复出现的整体设为 ，能显著缩短式子；基本放缩 、（等号都在 或 处取得）用来把超越式化为多项式。 ★ 记住放缩的适用范围： 对一切实数成立， 只在 上成立。用错定义域是放缩类题最常见的翻车方式。 知识点四　导数与函数图象 ★ 导函数图象与原函数图象的关系：看 在 轴上方还是下方，判断 的增减；看 与 轴的交点，对应 的极值点。 ★ 由 的图象读极值点，只看「变号」的交点。 穿过 轴的点才是极值点；只在 轴上碰一下就回去的点不是极值点。 ★ 由原函数图象读导函数符号：图象上升的一段 ，下降的一段 ，最高点与最低点处 。要把「图象的形状」翻译成「导数符号」，而不是凭形状猜数值。 ★ 同一坐标系里画 与 时，两条曲线的纵轴刻度通常不同，不要用 的图象高度去比较 的大小。 ★ 三次函数与它的导函数是一对好搭档： 的对称中心横坐标恰是 的对称轴， 的零点恰是 的极值点横坐标。这两条在图象类题目里经常直接给出答案。 ★ 切线的几何位置也是图象信息：曲线在某点的切线与 轴平行，说明该点导数为 ；切线的倾斜角为钝角，说明该点导数为负。 ★ 新定义型的图象题，先把它翻译成学过的语言再动手。例如「两个函数的极值点个数相同、且极大值点与极小值点从左到右的分布顺序相同」，翻译过来就是「导数零点的个数与排列顺序一致」，于是问题变成求两个函数的驻点并比大小。 ★ 判断「存在极值点」「有几个极值点」的题目，统一走「判别式 + 根的位置」两条：先看 有没有两个不等的实根，再看这些根是否落在给定区间内。 ★ 分界点处的图象要单独看。分段函数在分界点上下两侧的导数各算各的，判断那里是否成为极值点，要靠左右两侧的单调性，而不是只看一点。 ★ 含绝对值的函数图象在分界点处往往出现尖角，尖角处不可导，切线不存在。这类题要先去掉绝对值写成分段形式，再逐段处理。 ★ 图象题的另一条线索是极限趋势： 时函数值往哪走，往往决定水平直线能穿过几次，与极值一起用来判断零点个数。 ★ 的图象增长很慢， 增长很快。 时 远大于任何多项式， 远小于任何正次幂。这个「快慢」直觉能帮你在草图上把两端的走向画对。 ★ 画草图时至少标出三处：与坐标轴的交点、极值点的位置与大小、两端的走向。有了这三处，选项里那些「单调区间不对」「极值点个数不对」的错误一眼就能排除。 ★ 图象类问题写完，把答案代回原式验一个特殊值。取一个具体的 算一算，与图象上的位置对一对，比反复读图更可靠。 二、方法突破 方法一　导数的运算与几何意义 这一节就做两件事：把导数算出来，把导数的意义用上。前者是纯运算，后者要求看见 就能想到「曲线在那一点处切线的斜率」。 ★ 求导前先整理式子。能提公因式的提出来，能通分的先通分，把 这类结构写整齐再动手，比对着一个复杂分式硬套商法则省力得多。 ★ 见到「函数值之差除以自变量之差」的结构，就想导数的定义。题目里出现 ，先把分母凑成与分子里自变量之差一致的形式，多出来的系数提到前面，剩下部分正好是 。 ★ 区分 与 ：前者是一个数，后者是一个函数。题目问「导数值」「切线斜率」要的是数，问「单调区间」「极值点」要的是函数。 ★ 导数的几何意义是本节的高频考点。曲线 在点 处切线的斜率就是 。斜率的取值范围题，先写出 的表达式，再按求值域的常规办法处理。 ★ 导数的对称性有现成的对应关系： 的图象关于直线 对称，则 的图象关于点 中心对称。题目里说「 是偶函数」，等于说 关于 对称，于是 关于 对称。 ★ 周期性的方向要记牢： 是周期函数， 一定也是周期函数；反过来不成立。判断「 是周期函数」是不是「 是周期函数」的充分必要条件，举一个反例（）就够了。 ★ 抽象函数与导数的结合题，处理次序是：先赋值，把 等特殊值求出来；再对恒等式求导或利用定义式，把 满足的关系式挖出来；最后用这个关系式推周期、推对称或求值。 ★ 极值点条件的判断，抓两步： 先解出参数，再检验 左右导数是否变号。只说 就断定是极值点，是最典型的错误。 ★ 三次函数 这类含有因式的式子，求导后一定还能再提公因式。写成 的若干次幂与一个一次式的乘积之后，零点与符号一眼可见。 ★ 多选题里的「命题判断」，通常四个选项分别对应求导、对称、极值、零点四件事。逐个算出具体结果再对号，不要凭印象选。 ★ 遇到新定义的题目，先把定义翻译成学过的语言。「图象相似」说的是极值点的个数与排列顺序一致，翻译过来就是「导数的零点个数与大小顺序一致」，接下来只是解方程与比大小。 ★ 运算题做完，用几何意义回头验一次。把算出的斜率代进切线方程，看它与曲线在切点处是否只有一个公共点；把算出的极值点代回 ，看导数值是否为零。这两步能拦住绝大多数计算失误。 例题 例 1-1 （四川省资阳市高中2023级高考适应性考试数学试题 · 第8题） 【单选】已知函数则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【解析】 点 落在 的那一支上，而题设只给了 上的表达式，所以第一步是把 时的解析式找出来。 由 ，当 时 ，把 代进给定的表达式： 于是 ，切点是 。 再求导。在这一支上 ，所以 。 切线方程 ，整理得 ，即 ，选 D。 四个选项可以分成两组看：A 项 与 D 项 都经过 ，差别只在斜率；B、C 两项连这个点都不经过。所以能不能选中，全看斜率算得对不对，把切点找出来只是排除了两个选项。 第 1 步　先定解析式 ◈ 由 把 上的表达式解出来，得 。 第 2 步　求切点与斜率 ◈ ；，。 第 3 步　写切线方程 ◈ 由点斜式 整理得 。 答　D 例 1-2 （黑龙江哈尔滨市2026届高考第二次模拟考试数学试题 · 第5题） 【单选】已知函数的定义域为，，当时，，则曲线在点处的切线的斜率为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【解析】 条件给的是 ，两个括号里的式子一加恰好是 ，所以这是一条对称性的信息：把 记作 ，则 ，条件写成 ，说明图象关于直线 对称。 要求的斜率在 处，而解析式只给了 上的一段。利用对称把 转到已知区间：当 时 ，于是 对这一段求导得 ，取 得 ，选 C。 也有更省事的一条路：把 两边对 求导，右边用复合函数的求导法则得 。取 就是 ，而 在已知区间里，，，同样得到 。 这两种写法都要交代一句话： 处的斜率靠对称关系换算到 处，不能直接在 上套 ，因为那个表达式只在 上成立。顺带可以算出 ，不过题目只问斜率，切点坐标不是必须的。 第 1 步　把对称条件翻译成式子 ◈ 等价于 ，对称轴是 。 第 2 步　把待求点转到已知区间 ◈ 时 ， 落在这段里。 第 3 步　求导取斜率 ◈ ，，选 C。 答　C 例 1-3 （湖南省湘潭市2026届高三二模数学试题 · 第13题） 【填空】若直线是曲线的一条切线，则 = ________． 【解析】 直线 过原点，而原点不在曲线上（ 时 ），所以这条直线是「过曲线外一点的切线」，切点要自己设。 设切点横坐标为 。曲线 的导数是 ，在 处的切线斜率为 ，切线方程为 把原点坐标 代入： 两边约去 （恒正不为零），得 ，所以 ，切点是 。 切点定下来之后，斜率就是把 代进导函数 ： 换个角度也能直接看出这个结果。若直线 与曲线相切，则方程 只有一个实根，并且在该点处两边的导数相等，即 。把这一个等式代回前一个，得 ，因为 （切线斜率等于 ，恒正），所以 ，再代回得 。 回验一下： 时切线为 。令 ，则 ，在 处取最大值，而，于是 恒成立且等号只在 处取到，说明直线与曲线只在这一个点接触。 第 1 步　设切点，写切线 ◈ 切点横坐标设为 ，切线为 。 第 2 步　用「过原点」定切点 ◈ 代入 得 ，于是斜率 。 第 3 步　验公共点个数 ◈ 联立得 ，最大值 只在 处取到。 答　 例 1-4 （河南开封市新世纪高级中学等豫东名校联考2026届高三下学期二模数学试题卷 · 第6题） 【单选】已知函数在点处的切线为，若与圆相切，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【解析】 先求切线。，，所以 。 切线 的方程是 ，整理成一般式： 圆 的圆心是 ，半径是 。 直线与圆相切，等价于圆心到直线的距离等于半径。把圆心坐标代进点到直线的距离公式： 分子是 ，于是 两边平方得 ，即 ，所以 ， 或 ，选 C。 两个值都要留。题目问的是「相切」，而 取这两个值时切线的斜率互为相反数，一条在圆心左侧、一条在右侧，距离都等于 ，只写一个就漏解了。 第 1 步　先写切线方程 ◈ ，，切线为 。 第 2 步　把相切翻译成距离 ◈ 圆心 到直线的距离等于半径 ，即 。 第 3 步　解出两个 ◈ ，，两个解都要保留。 答　C 练习 1-1. 【填空】已知函数的图象在处的切线经过坐标原点，则实数 = ____________． 解析　答： 函数的定义域是 。设切点为 ，先算出这个点的坐标和切线斜率。 。 求导得 ，所以 。 切线方程为 。 这条切线经过坐标原点，把 代入： 即 ，所以 ，。 回验： 时 ，，切线为 ，它确实过原点，且与曲线只交于切点附近的那一处。 这一步顺带说明为什么不能把 代进原函数来找切点：定义域是 ，原点根本不在曲线上，它只是切线上的一点。「过原点的切线」与「在原点的切线」是两回事。 1-2. 【填空】已知曲线在处的切线方程为，则 = _____． 解析　答： 题目已经指明切点横坐标是 ，所以只需用到函数值和导数值两个信息。 记 。先算 。 求导得 ，所以 。 切线方程是 ，斜率已经给出为 ，于是 解得 。 此时 ，切点是 。 切点既在曲线上，也在切线上，把它代入 ： 所以 。 也可以从切线方程本身读出 ：把 的值代回，切线为 ，整理得 ，与 对照，。 1-3. 【单选】在点处的切线方程是，则 = （ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 解析　答：D 切线的切点是 ，而 ，所以这个点的纵坐标就是常数项 。 求导得 ，取 得到 。 于是切线方程是 即 。题目给的切线为 ，写成斜截式就是 。 同一条直线，一次项系数与常数项分别对应相等：，，所以 ，选 D。 三次项系数 自始至终没有出现在答案里。 在 处的函数值与导数值都是 ，它对这个点处的切线没有贡献，条件 只是保证函数确实是三次的。 四个选项中 最大，若只算出 而漏掉常数项 ，就会落到 C 项上。 1-4. 【多选】已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（ ） A. 当时， B. 在区间上单调递减 C. 当且仅当 D. 轴是曲线的一条切线 解析　答：AD 奇偶性把正负两支联系起来。当 时 ，由奇函数得 ，把 代入已知表达式： A 项给出的正是这个式子，成立。 再看 点附近。把 从左、右两侧分别靠近 ： 时 ，，于是 ； 时 ，，。 而 ，奇函数在原点有定义时函数值必为 。 取 与 ，两点都在 内，且 ，但 。 自变量大而函数值也大，与「单调递减」的要求相反，B 项不成立。 把两支的图象拼起来看更直观：在 上曲线从 一路降到 ，在 上又从 一路降到 。两支各自递减，但中间在原点断开，整体不是单调的。 C 项：当 时 ，而 ，这一段上就有 。例如 说明 并不只在 上发生，C 项不成立。 D 项：，而 ，代入 得 。 函数值与导数值同时为 ，说明曲线在 处的切线就是 ，即 轴，D 项成立。 所以成立的选项是 A、D。 1-5. 【多选】设函数，则（ ） A. 在处的切线方程为 B. 是的极大值点 C. 当时， D. 解析　答：AD A 项：，，。 切线为 ，整理得 ，与 A 项一致，成立。 B 项：令 ，得 或 。 在 的两侧导数由负变正，例如 而 ，所以 是极小值点，不是极大值点，B 项不成立。 C 项：由 的符号可知， 在 上递增、在 上递减。把端点与顶点一起算出来：，，。 于是 上的取值范围是 ，它含 这个值，比 C 项给的 要宽，C 项不成立。 D 项：把函数改写成以 为中心的形式： 又 ，所以 两式相加，含 的项全部抵消，只剩常数 ，D 项成立。 这样 A、D 两项都已落实。 1-6. 【多选】设函数，则（ ） A. 点是图像的对称中心 B. 当时，函数有三个零点 C. 当时，直线不是曲线的切线 D. 若有三个不同的零点，则 解析　答：ABD A 项：把 换成 再与原式相加： 对任意 都成立，说明图象关于点 对称，A 项成立。 B 项： 时 ，，极大值点 、极小值点 。 ，。 极大值为正、极小值为负，图象三次穿过 轴，恰有三个零点，B 项成立。 C 项： 时 。由 与 得，曲线在 处的切线方程是 ，直线 确实是它的一条切线，C 项不成立。 D 项：三个零点就是方程 的三个实根，而这个方程写成标准形式是 。 按韦达定理，三根之和等于 ，D 项成立。 所以成立的选项是 A、B、D。 方法二　切线与切点坐标 切线问题是导数部分出现频率最高的题型，高一高二学的「直线与曲线相切」到这里有了统一的做法：切线的斜率就是切点处的导数。 ★ 读题第一步，分清「在点 处的切线」与「过点 的切线」。前者 是切点，直接代入切线方程；后者 只是切线上的一点，必须设切点、解方程，不能直接把 当切点。 ★ 在点处的切线，三步写完：求导得 ；算出 与 ；写成 ，最后整理成一般式。 ★ 过点的切线，流程多一步：设切点横坐标为 ，切线为 ；把已知点代入，得到关于 的方程；解出 的个数就是切线的条数。同一个 不会对应两条不同的切线，重根只算一条。 ★ 由切线反求参数，列两个等式：斜率相等（ 等于已知斜率）与点满足直线方程。两个等式解两个未知量（切点与参数），恰好够用。 ★ 已知切线的斜率反推切点横坐标，本质是解 。若 在给定区间上单调，解唯一；若有多个解，要把每个解都算出来。 ★ 解答题的第一问几乎固定是求切线方程。这一问必须写完整，因为它既是得分点，又常常为第二问提供信息（切点坐标、切线斜率往往在后续讨论里要用到）。 ★ 解答题的第二问通常转向参数讨论或不等式。读完题先判断属于哪一类：问「有几个解」就用图象与水平线的交点个数；问「求参数范围」就分离参数求最值；问「证明不等式」就构造函数求导。 ★ 分离参数时，除之前先确认所除的式子不为零。 这一步，要交代 ，否则等于悄悄扩大或缩小了定义域。 ★ 含参数的对数函数求单调性，导数的零点往往含参数，讨论的分界点就是「零点与定义域端点重合」的那几个参数值。把这些值先算出来立在数轴上，分类就清楚了。 ★ 三角函数与导数结合时，别忘三角函数的有界性与周期性。、 在给定区间内的符号可以逐段判断，不必整体求最值。 ★ 求切线方程时，若曲线含 ，切点横坐标必须大于 ；若曲线的表达式中出现绝对值，先按分界点写成分段形式，再在每段里求切线。 ★ 切线题写完，把切点代回两条式子各算一遍。切点在曲线上、也在切线上，两个等式都成立才算过。凡是斜率算错或切点代错的，这一步一定露馅。 例题 例 2-1 （安徽省马鞍山市2026届高三第二次教学质量监测数学试卷 · 第15题） 【解答】曲线在点处的切线为．（1）求直线的方程；（2）若直线与曲线在轴右侧只有一个公共点，求实数的值． 【解析】 先求切线。，切点与题给的一致。 求导得 ，所以 。 切线 的方程是 ，整理得 ，写成一般式就是 。 第二问要数 与曲线 在 轴右侧的公共点。公共点的横坐标就是方程 在 上的解，移项整理得 直接研究这个三次方程不方便，注意到 时可以两边同除以 ，把参数单独留在一边： 这样左边成了一个与 无关的函数，方程的根就是曲线 与水平直线 交点的横坐标。 设 ，。求导得 所以 在 上单调递减、在 上单调递增，在 处取最小值 。 再看两端： 时 ，； 时 起主要作用，。 于是水平直线 与这条曲线相交的个数只有三种可能： 时不相交， 时只交于最低点 ， 时交于两点。 题目要求在 轴右侧只有一个公共点，只能是第二种情形，所以 ，。 回代检查： 时联立得 ，左边分解为 ，在 上确实只有 一个解。此时 在 处的导数是 ，与 的斜率相同，说明 与三次曲线在 处也相切。 第 1 步　先写出切线 ◈ ，，，故 ，即 。 第 2 步　把公共点问题化成方程的根 ◈ 联立得 ，它在 上的解的个数就是公共点个数。 第 3 步　分离参数数交点 ◈ 时方程等价于 。左边在 处取最小值 ，故只有 时才恰有一个公共点，得 。 答　(1)　(2) 例 2-2 （安徽芜湖市2025-2026学年度第一学期教学质量监控高三数学试卷 · 第16题） 【解答】已知曲线在处的切线为.（1）求切线的方程；（2）求证：切线在曲线 下方（切点除外）. 【解析】 ，切点是 。 乘积求导：，所以 。 切线 的方程是 ，整理得 。 第二问要比较的是曲线与直线在同一横坐标处的高低，两者纵坐标之差就是 只要证 ，且等号只在 处成立，就说明切点之外曲线都在切线上方。 。求导得 ，一阶导数在 处也为零，所以再求一次导数： 由 的符号可知 在 上递减、在 上递增，在 处取最小值 也就是说 的图象是一个先降后升的曲线，最低点的纵坐标为负，而它在递增段上只能穿过 轴一次。 又算出 ，说明 就是那个唯一的零点： 时 ， 时 。 于是 在 上单调递减、在 上单调递增，最小值是 。 所以 恒成立，且仅当 时取等号。换回原来的说法：曲线 上除切点 外的点都在切线 的上方，即切线 在曲线下方，命题得证。 第 1 步　求出切线 ◈ ，，，所以 。 第 2 步　把位置关系写成函数 ◈ 记 ，切线在曲线下方等价于 。 第 3 步　两次求导定号 ◈ ，， 先减后增且最小值 ，故它只能有一个零点，由 知该零点即 ，于是 。 答　(1)　(2)见解析 例 2-3 （广东汕头市2026年普通高考第二次模拟考试数学试题 · 第16题） 【解答】已知函数.（1）若曲线在点处的切线过点，求的值；（2）求的极值点. 【解析】 先算切点与切线斜率。。 求导得 ，所以 。 切线方程是 题意说它经过 ，把 、 代进去： 整理得 ，即 ，。 顺带看一眼这个 意味着什么： 时 ，切线是一条水平线 ，它当然经过 。 第二问要在 上讨论导数的符号。把 通分： 分母恒正，符号完全由分子 决定。把分子按顶点配方， 的作用会看得更清楚： 当 时 ，函数在整个定义域上单调递增，没有极值点。 当 时抛物线开口向上，最小值 ，于是 恒成立， 单调递增，也没有极值点。其中 时 只在 处取到 ，导数不变号，那一点算不上极值点。 当 时最小值 ， 有两个零点。令 ，解得 此时 ，两根都在 内，是正的。 开口向上时 在两零点之间为负、两侧为正，所以 是极大值点， 是极小值点。 当 时抛物线开口向下，最大值 ，零点公式不变，但此时 ，开方后大于 ，较小的那个零点 是负数，落在定义域外。 在 上 只有 一个零点，且左侧为正、右侧为负，所以只有唯一极大值点 。 三种情形合起来： 时极大值点为 ，无极小值点； 时没有极值点； 时极大值点为 ，极小值点为 。 第 1 步　先算切点与斜率 ◈ ，，。 第 2 步　把已知点代入切线 ◈ 切线为 ，代入 得 ，解得 。 第 3 步　看分子的配方分类 ◈ ，按 、、 三类讨论零点的个数与符号。 答　(1)　(2)见解析 例 2-4 （江西省萍乡市2025届高三第三次模拟考试数学试题 · 第15题） 【解答】已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）求在区间上的值域. 【解析】 ，切点是 。 两式相乘求导： 所以 。 切线方程为 ，即 ，写成一般式为 。 第二问求闭区间上的值域，先定单调性。把 中的二次式分解： 当 时 ，，所以导数只由 决定符号： 上为负， 上为正。 因此 在 上递减、在 上递增，最小值出现在 ： 最大值在端点处取得。把两个端点都比较一下： 显然 ，所以最大值是 。 于是 在 上的值域为 。 第 1 步　求切点与斜率 ◈ ，，。 第 2 步　写出切线 ◈ 由 整理得 。 第 3 步　闭区间上比极值与端点 ◈ ，最小值 ，端点值 与 中较大者 即最大值。 答　(1)　(2) 练习 2-1. 【解答】已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若有极小值，记的极小值为，证明：. 解析　答：(1)　(2)见解析 当 时 ，定义域为 。 ，切点是 。 求导得 ，所以 。 切线就是过 的水平线 。 第二问要先弄清极小值在什么范围内才存在。一般地， 分母恒正，符号由 决定。 若 ，则 时恒有 ，于是 ，函数单调递增，既没有极小值，也就谈不上题中的 。 若 ，则 在 上递减、在 上递增，极小值点是 ，极小值为 要证的不等式就是 ，把它移项，等价于证明 。 记 ，，先看 处的值：。 求导得 ，。一阶导数在 处也为零，再求一次导数： 所以 在 上单调递增。 结合 可知： 时 ， 时 。 于是 在 处取到最小值 ，即 恒成立，等号只在 时取到。 回到原来的不等式： 得证。 2-2. 【解答】已知.（1）若，求的图象在点处的切线方程；（2）若，都有，求实数的取值范围. 解析　答：(1)　(2) 当 时 ，定义域为 。 ，切点是 。 求导得 ，所以 。 切线为 ，整理得 。 第二问是恒成立问题。把 移项整理： 也就是 要对一切 成立。 先看 的情形。此时 ， 若 ，则 ，不等式不可能成立，所以必须 。 确定了 为正，就可以在 上把两边同除以 ，条件改写成 对一切 成立。 设 ，求它的最大值： 由 的符号可知， 在 上递增、在 上递减， 最大值是 。 所以 时不等式对一切 都成立； 反过来，若 ，取 就有 ，与 矛盾。 故 的取值范围是 。 2-3. 【解答】已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，求的取值范围． 解析　答：(1)　(2) 当 时 ，定义域为 。 ，切点是 。 求导得 ，所以 。 切线为 ，整理得 ，两边同乘 即 。 第二问要求 在 上恒成立，也就是 对一切 成立。 的符号随 与 的大小而变，分开讨论。 当 时 ，两边同除以 ： 记 ，，求它的最小值： 当 时 ， 递减；当 时 ， 递增。 所以最小值在 处取到， 于是这一段对 的要求是 。 当 时 ，两边同除以 要改变不等号方向： 右端是负数，而且 时它趋于 ，所以它对一切 都严格小于 ，只要 就自动满足；若 ，取 充分小就能让右端大于 ，不等式被破坏。 两段合起来， 的取值范围是 。 2-4. 【解答】已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若方程在上有解，求的取值范围． 解析　答：(1)　(2) 当 时 ，定义域为 。 ，切点是 。 求导得 ，所以 。 切线为 ，令 得 。 所以切线方程是 。 第二问把方程整理成含 的表达式。两边同乘 （这里 ，不等号方向不受影响）： 于是 方程在 上有解，等价于 落在这个函数的值域里。 设 ，，先求导： 分子记为 ，它的导数更简单： 所以 在 上递减、在 上递增，最小值是 。 由此 恒成立，， 在 上单调递增。 最小值在左端点处取到： 所以 的值域是 ， 的取值范围就是 。 2-5. 【填空】若直线是曲线的一条切线，则 = __________. 解析　答： 切线的斜率由导函数给出。 的导数是 设切点横坐标为 ，则 满足 解得 ，切点是 。 切点既在曲线上也在切线上，把 代入 得 ，所以 ，。 这个切点不会有第二个：方程 在 上只有 一个解，说明曲线与这条直线只在一处相切。 2-6. 【单选】曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 解析　答：B 切线的斜率就是曲线在该点处的导数值。先求导： 令它等于 ： 即 。 指数函数恒正，所以只能是 ，即 ，斜率为 的点只有一个。 把 代回曲线方程，求这个点的纵坐标： 所以 ，选 B。 四个选项中 A 项的横坐标也是 ，与 B 项只差纵坐标，代入时若把 误当成 ，就会落到 A 项上。 方法三　切线的综合应用 一节里出现两条甚至更多的切线，问题的重心就从「求一条切线」转成「切线之间的位置关系」。两条切线能产生两个等式，这是本节所有题目的共同结构。 ★ 两条切线平行的条件是斜率相等：。注意这只保证平行，还要确认截距不同，否则两条直线重合，实际上是同一条切线。 ★ 两条切线垂直的条件是斜率之积为 ：。把斜率用切点坐标表示出来，问题就变成解方程组。 ★ 遇到含 的函数，先按 分成两段： 时等于 ， 时等于 。两条互相垂直的切线，通常一个切点在这两段中的一段上，分情况讨论时要把两个切点所在的区间写清楚。 ★ 公切线问题的标准设法：设直线与第一条曲线切于 、与第二条曲线切于 ，分别写出两条切线方程；令它们的斜率相等、截距相等，得到两个方程；解出 、 后回代求出直线。 ★ 公切线的切点可能重合。两曲线在同一个点相切时，两个切点坐标相同，这时只需斜率相等一个条件。讨论时别把这种情形漏掉。 ★ 由「某直线与曲线相切」求参数，做法是把直线与曲线联立，令消元后的一元二次方程判别式为零（对二次曲线适用）；对含有 、 的曲线，改设切点、用斜率与点两个条件解。 ★ 「过点 能作几条切线」的问题，最终都归结为「关于切点横坐标 的方程有几个解」。把方程整理成一边只有参数、另一边只有 的形式，再数水平线与曲线的交点个数。 ★ 新定义题先把定义中的每个词落实到式子上。「法线」是过切点且与切线垂直的直线，斜率是切线斜率的负倒数；「公法线」要求这条直线同时是两条曲线的法线，于是同样得到两个方程。 ★ 切线与其他量的综合，常见的是与坐标轴的交点。切线交 轴于 ，把通项写出来，求和、求积、比较大小都能接着做。 ★ 切线还常与定点问题一起出现：证明某条切线的表达式里参数可以合并，把含参数的项归到一组，令其系数为零，剩下的点就是定点。 ★ 这一节的解答题，切线往往只是入口，后面接着的是分类讨论或不等式证明。第一问把切线算准，第二问按「求导、判号、讨论、比较」的老路子走。 ★ 多条切线的题画一张图。把两条曲线与切线大致画出来，标上切点位置，斜率的正负、切点的相对位置立刻清楚，讨论时不容易漏情形。 例题 例 3-1 （山东东营市2026届高三下学期4月份适应性测试数学试题 · 第17题） 【解答】已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若过点可作曲线的两条切线，求的取值范围；（3）若曲线的切线过点，其中，求证：曲线上除切点外的点都在直线的上方． 【解析】 函数定义域为 ，求导得 令 得 。当 时 ，函数递减；当 时 ，函数递增。 所以单调递减区间为 ，单调递增区间为 。 第二问设切点横坐标为 。切线的斜率是 ，切线方程为 点 在这条切线上，把 、 代入： 右边展开是 ，与左边消去相同的 之后得到 于是「过 能作几条切线」与「这个方程有几个正根」完全等价。 记 ，。注意 时分母为零，定义域被这一点切成两段。求导得 所以 在 上递减、在 上递增，再按 分成三段看取值范围： 在 上 由 的左侧一路降到 ； 在 上 由 降到 ； 在 上 由 升到 。 水平直线 要与这条曲线交两次，只能分别落在第二段和第三段上，这就要求 。 其余情形的对应关系是： 时只有第一段能交，得到一个切点； 时三段都交不上，一条切线也作不出来。所以 的取值范围是 。 第三问设切点仍为 。由切线过 得 而 的方程是 。要比较曲线与 的高低，作差： 把 代入，并用上面那条关系式替换 ： 再求导： 所以 在 上递减、在 上递增，最小值就是 。 于是对一切 都有 ，等号只在 处取到。也就是说，除切点外，曲线上每一点的纵坐标都大于直线 上同横坐标点的纵坐标，即曲线在直线 的上方。 刚才的推理只用到 满足 ，而 时这样的 恰好有两个，所以题中任意一条符合条件的切线都满足上面的论证。 第 1 步　先求单调区间 ◈ ，零点是 ，减区间 、增区间 。 第 2 步　把切线条数化成方程根的个数 ◈ 设切点横坐标为 ，切线过 等价于 ，切线条数就是这个方程正根的个数。 第 3 步　分段数交点再作差证高低 ◈ 在 处断开，只有 时后两段各给一个根；证明高低时作差 ，它在 处取到最小值 。 答　(1)见解析　(2)　(3)见解析 例 3-2 （山东滨州市2026届高三数学一模试题 · 第17题） 【解答】已知函数．（1）证明：在曲线 所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线的斜率相等；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解析】 切线的斜率就是导数值。求导得 斜率为 的切线，切点横坐标满足 记 ，再求一次导数： 所以 在 上递减、在 上递增。 先看左半段。当 时 而 ，两者相乘趋于 且始终为负，最小值是 。所以 时 ，方程不可能成立。 再看 的半段。 在这段上单调递增，取值从最小值一直升到 ，与水平线 恰好相交一次。 于是满足 的 有且仅有一个，对应的切点唯一，斜率为 的切线有且仅有一条。 第二问把 写开： 因为 ，两边同除以 可以把 单独解出来： 记 ，不等式恒成立等价于 不超过 在 上的最小值。求导得 当 时， 且 ，分子不小于 ，所以 。 这说明 在 上单调递增，最小值在 处取到： 所以 ， 的取值范围是 。 第 1 步　把「斜率等于 」写成方程 ◈ ，条件即 。 第 2 步　用单调性数根的个数 ◈ 记 ，它先减后增，在 处取到负的最小值，在 上单调递增且趋于 ，故与 只交一次。 第 3 步　分离参数后求最小值 ◈ ，右端函数在 上单调递增，最小值为 。 答　(1)见解析　(2) 例 3-3 （安徽合肥市2026届高三第二次教学质量检测数学试卷 · 第16题） 【解答】设函数.（1）证明：曲线在点处的切线过定点，并求出该定点坐标；（2）若有两个零点，求的取值范围. 【解析】 先算切点与斜率。，切点是 。 求导得 ，所以 。 切线方程为 把右边并进去整理，得 这是随 变化的一族直线。想让它们都经过同一个点，就要让含 的项为 ，即 ，解得 。 此时 与 无关，所以切线恒过定点 。 第二问定义域为 。先把导数通分并分解因式： 分母与 在 上都为正，所以导数的符号只由 决定。 当 时 恒成立， 在定义域上单调递减。此时 时 起主导作用，； 时 ，。 单调函数最多只有一个零点，而两端异号说明恰好有一个，所以 不符合「有两个零点」的要求。 当 时， 在 上递减、在 上递增，最小值在 处取到： 也就是 。 这时两端都趋于 ： 由 主导， 由 主导。于是恰有两个零点等价于最小值小于 ，即 若 ，则 ，需要 ，即 ；若 ，则 而 ，乘积本来就为负，自动满足。所以 的取值范围是 。 第 1 步　把切线写成直线族 ◈ ，，切线为 ，令 得定点 。 第 2 步　把导数分解因式 ◈ ，符号只由 决定。 第 3 步　让最小值小于零 ◈ 时最小值 ，令它小于 ，得 或 。 答　(1)　(2) 例 3-4 （广东省佛山市2024-2025学年高三下学期教学质量检测（二）数学试题 · 第15题） 【解答】已知函数，.（1）若曲线在点处的切线与曲线也相切，求a；（2）若图象恒在图象的上方，求a的取值范围. 【解析】 的导数是 ，所以 ，曲线 在 处的切线为 。 再看 ，它的导数是 。 设这条曲线上的切点为 ，则该处的切线斜率为 。 两条曲线相切于各自的切点、且是同一条直线，先让斜率相等： 得 。 再让 的切点落在直线 上，把横坐标 代入： 用 得 ，于是 ，解得 ，从而 。 回验一下： 时 ，它在 处的切点恰好是 ，与 重合，两曲线在这一点有同一条切线 。 第二问「 的图象恒在 的图象上方」指的是：对一切 都有 两边同乘 （这里 ，不等号方向不变），把 单独留在一侧： 记 ，，求它的最大值： 所以 在 上递增、在 上递减，最大值是 。 要让 大于所有的 ，只需要且必须 ，所以 的取值范围是 。 端点不能取。 时两图象在 处相交，纵坐标都是 ，严格不等号被破坏，所以 要排除。 第 1 步　先写出 的切线 ◈ ，切点为 ，故切线为 。 第 2 步　把「也相切」翻译成两个等式 ◈ ，设 上的切点横坐标为 ，由 得 ，再由切点在 上得 ，即 ，。 第 3 步　恒在上方就是分离参数 ◈ 等价于 ，右边在 处取最大值 ，故 。 答　(1)　(2) 练习 3-1. 【填空】已知曲线与的公切线为，则在轴上的截距为___________． 解析　答： 两条曲线都是对数型，分别在各自的一点上设切点。设公切线的斜率为 。 的导数是 ，在横坐标为 处的斜率为 ； 的导数是 ，在横坐标为 处的斜率为 。 由 得 ；由 得 。 第一条切线的方程是 第二条切线的方程是 两条直线是同一条，一次项系数已经相同，常数项也必须相等： 两边的 抵消，得 ，所以 。 于是 的方程形如 ，它在 轴上的截距为 这个数也可以写成 ，与题目给的答案形式一致。 3-2. 【填空】若曲线与曲线在它们的公共点处有相同的切线，则 = _______． 解析　答：或 「公共点处有相同的切线」包含两层意思：纵坐标相同，斜率也相同。先把斜率这一层写出来。 的导数是 ， 的导数是 。设公共点横坐标为 ，则 两边同乘 得 ，分解为 ，所以 或 。 这里有个容易漏掉的地方： 要求 。 对应 ， 对应 ，两种情形的 符号不同，都要算到底。 当 时，，于是 ，得 。 当 时，，于是 所以 ，解得 。 两种情况合起来， 或 。 3-3. 【填空】已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 = ________． 解析　答： 先写出前一条曲线的切线。 的导数为 ，在 处斜率为 ，所以切线方程是 即 。 再让这条直线与曲线 相切。设切点横坐标为 ，这处切线的斜率为 ，它应当等于直线的斜率 ： 所以 ，，。 切点的纵坐标由曲线给出：。这个点又在直线 上，取 得 ，所以 ，。 回验： 时曲线为 ，在 处函数值为 、导数值为 ，与直线 在这一点的值与斜率完全相同，确实是相切。 3-4. 【单选】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 = （ ） A. B. 3 C. D. 4 解析　答：C 两条曲线都是对数型，分别在各自的一点上设置切点。 的导数是 ， 的导数是 。 设前者的切点横坐标为 、后者为 ，公切线斜率为 ，则 由此反解切点：，。 第一条切线的方程是 第二条切线的方程是 同一条直线，常数项必须相等： 移项整理得 左边是对数的差，等于 ；右边是 ，于是 ，解得 ，选 C。 验一下切点是否落在定义域内：，由 与 得到的 、 都合法。 3-5. 【解答】已知函数（），．（1）讨论函数的单调性；（2）若的图像在处的切线与的图像相切，求实数的值；（3）当时，证明：对任意的，恒成立． 解析　答：(1)见解析　(2)　(3)见解析 的定义域为 ， 当 时，，， 在 上单调递增。 当 时，令 得 ，它在定义域内。在 上 ，在 上 ，所以 先增后减。 第二问先求 。，，所以 ，，切线 。 设 与 的切点横坐标为 ，该处斜率应等于 ： 切点又要在直线 上，即 。 由前一式得 ，代入后一式： 两边化简得 ，所以 。再代回 得 。 第三问当 时 ，而 ，要证 ，也就是 记 ，，只需证 。 用一次常见的切线放缩： 时 ，于是 记 ，求导得 所以 在 上递减、在 上递增，最小值是 要说明它大于 ，只需 ，这等价于 ，两边四次方即 ，显然成立。 所以 恒成立，从而 ， 对一切 成立。 3-6. 【解答】已知函数.（1）讨论的极值点个数；（2）若存在实数使得轴为的切线，求的最大值. 解析　答：(1)见解析　(2) 的定义域为 ， 当 时，，所以 恒成立，函数单调递增，没有极值点。 当 时，令 ，得 ，即 。这一点左侧导数小于 、右侧大于 ，所以它是极小值点，而且是唯一的极值点，没有极大值点。 第二问中 的图象由 的图象上下平移得到，两者的导数完全相同：。 轴是 的切线，意味着存在 使 且 。 由 得 ；由 得 。把 代进去消掉： 记 ， 就成为 的函数 求导得 所以 在 上递增、在 上递减，最大值是 。 这个最大值能取到：此时 ，即 ，， 与 同时成立， 轴确实是切线。 所以 的最大值为 。 方法四　导数与单调性、图象 导数最大的用处是判断单调性。本节把「求单调区间」「讨论含参单调性」「由图象读导数」这三类问题放在一起，因为它们用的是同一套动作：求导、判号、下结论。 ★ 求单调区间的流程固定：写定义域，求导并因式分解，令 求出分界点，列表判断各段符号，最后按区间写出递增与递减。 ★ 含参函数的单调性讨论，分类的依据永远是导数的零点：有没有零点、零点在不在定义域内、两个零点谁大谁小。把这三种情况按顺序过一遍，不会漏。 ★ 讨论时导数写成乘积形式最便于判号。 这样的式子，符号由三个因式共同决定，把它们的零点从小到大排在数轴上，逐段定号即可。 ★ 判断极值点个数，先看判别式再看根的分布。 只有相异实根才可能有两个极值点，重根处导数不变号，不是极值点。 ★ 分段函数的极值点要分段算。每一段各自求导找驻点，分界点单独拿出来，用左右两侧的单调性判断它是不是极值点。 ★ 「在区间上单调递增」与「存在单调递减区间」要分清：前者是 恒成立，后者是 有解。恒成立求参数用分离参数法求最值，有解则求的是另一个方向的界。 ★ 分离参数时注意端点。若把 中的 的最大值求出来是 ，要检查等号能否取到：取到时参数范围含端点，取不到则不含。 ★ 由导函数图象读原函数，只做两件事：看 在 轴上下判断增减，看 的变号零点判断极值点。不要试图从图象上读出具体数值。 ★ 三次函数与导函数图象的关系是常考结论： 的对称中心横坐标等于 的对称轴， 的两个零点就是 的两个极值点横坐标。 ★ 新定义的「图象相似」问题，先把定义拆成两个条件：极值点的个数相同、极大值点与极小值点从左到右的顺序相同。于是只需把两个函数的驻点都求出来排个序。 ★ 解答题里单调性往往是第一问，第二问在单调性的基础上讨论零点个数或证明不等式。第一问的结论要记得用，「由（1）知 在 上递减」这类话是第二问的起点。 ★ 证明不等式的基本套路：把不等式整理成 的形式，求 判断 的单调性，再算 的最小值。最小值大于等于零，不等式就成立。 ★ 单调性讨论完，画出函数的大致图象再检查一遍。把极值点的位置与两端趋势标上，看结论与图象是否吻合。图形对不上就说明分界点或符号判错了，这一步能拦住绝大多数分类讨论的漏项。 例题 例 4-1 （2025届福建省南平市高中毕业班第三次质量检测数学试题 · 第16题） 【解答】已知函数，其导函数为.（1）求的单调区间；（2）证明：. 【解析】 的定义域为 ，求导得 令 ，得 ，即 。 当 时 ，函数递减；当 时 ，函数递增。 所以单调递减区间为 ，单调递增区间为 。 第二问把 代进待证的式子： 记 ，，只需证 。 先算 处的值：。求导得 代入 得 ，一阶导数在这一点也是零，再求一次导数： 当 时右边两项都为正，所以 ， 在 上单调递增。 结合 可知： 时 ， 时 。 于是 在 处取到最小值 ，从而 恒成立，也就是 。 第 1 步　先求单调区间 ◈ ，零点是 ，减区间 、增区间 。 第 2 步　把待证式化简 ◈ 代入 后左边变成 ，记作 ，只需证它非负。 第 3 步　两次求导找最小值 ◈ 且 ，而 ，故 递增、 在 处取最小值 。 答　(1)见解析　(2)见解析 例 4-2 （山东省临沂市2026届高三一模考试数学试题 · 第15题） 【解答】已知函数．（1）求的单调区间；（2）已知在上有且仅有两个零点，求a的取值范围. 【解析】 的定义域为 ，求导得 分母为正，导数的符号只由分子 决定。 当 时 恒成立， 在 上单调递增，没有单调递减区间。 当 时，令 得 ， 在 上递增、在 上递减。 第二问要在 内有且仅有两个零点。当 时函数单调，最多一个零点，不符合要求。 当 时最大值在 处取到： 要想出现两个零点，最大值必须为正，即 ，得 。 再看左半段。 时 ，所以 在 上由 升到正数，这一段内必有一个零点。 第二个零点要落在 上，就要求递减段在 处已经降到负值： 解得 。 两个条件合起来， 的取值范围是 。 两个端点都取不到。 时 ，零点刚好落在区间端点 上， 内只剩一个零点； 时最大值恰好为 ，曲线在 处与 轴相切，也只有一个零点。 第 1 步　先定单调性 ◈ ， 时在 上递增； 时在 上递增、在 上递减。 第 2 步　用最大值定出上界 ◈ 最大值 必须为正，得 。 第 3 步　用右端点定出下界 ◈ 还需 ，得 ，故 。 答　(1)见解析　(2) 例 4-3 （2025届山东省聊城市高三一模数学试题 · 第17题） 【解答】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围. 【解析】 的定义域为 ，求导得 分母为正，导数的符号由分子 决定。 当 时，配方得 ，导函数非负， 在 上单调递增。 当 时， 的两根为 。两根之积为 、之和为 ，所以两根都是负数， 时仍有 ， 同样单调递增。 当 时，两根 都是正数， 在两根之间为负、两侧为正，所以 在 上递增、在 上递减、在 上递增。 第二问先说有两个不同极值点的条件。由第一问可知，只有 时才会出现两个极值点。 此时 、 是方程 的两个正根，按韦达定理有 ，。 把待求的和式展开： 其中 ，而 ，代入得 于是题设的不等式化为 移项整理，记 只需 。先算两个关键值： 再求导： 当 时，、 而 ，所以 ， 在 上单调递减。 结合 可知： 时 ， 时 。 所以 的取值范围是 。 第 1 步　先定单调性 ◈ 。 时分子在 上非负，函数单调递增； 时分子有两正根 ，先增、再减、再增。 第 2 步　用韦达定理化简和式 ◈ ，，代入得 。 第 3 步　构造函数解不等式 ◈ 不等式整理为 ， 在 上递减且 ，故 。 答　(1)见解析　(2) 例 4-4 （2025届山东省威海市高三模拟考试数学试题 · 第7题） 【单选】已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【解析】 两个函数都要用导数处理，先求导： 「在 上存在单调递减区间」指的是：存在 使 。 为了看清 的变化趋势，再求一次导数： 因为 ，所以 ，右边两项都是正的，于是 ，说明 在 上单调递增。 单调递增意味着 时的 都比 处大，而 处的值是 如果 ，那么 时 ，函数在整个 上递增，不存在递减区间。 如果 ，那么在 右侧足够近的地方 仍为负，递减区间就存在。 所以条件归结为 因为 ，两边同乘 得 ，即 。结合 知 ，所以 ，选 B。 第 1 步　先看导数的增减 ◈ ，再求导得 ，所以 在 上递增。 第 2 步　把存在递减区间转化为端点符号 ◈ 递增，只要它在 时能取到负值即可，临界情形由 的符号决定。 第 3 步　解不等式定范围 ◈ 由 且 得 ，即 ，选 B。 答　B 练习 4-1. 【解答】已知函数，.（1）若函数在处取得极值，求实数的值及此时的单调区间；（2）令，若对，的图象都不在图象的下方，求实数的取值范围. 解析　答：(1)　(2) 的定义域为 ， 由 在 处取得极值得 ，所以 。 此时 。再求一次导数： 所以 在 上单调递增。结合 可知： 时 ， 时 。 所以单调递减区间为 ，单调递增区间为 。 第二问「 的图象不在 图象的下方」，就是 对一切 成立： 把含 的项单独留在右边，其余全部移到左边： 这里 ，两边同除以 得 记 ，只需求它在 上的最小值。求导得 把分子记为 ，它的导数是 当 时两项都为正，所以 ， 单调递增。又 ，于是 时 ， 时 ，即 在 上递减、在 上递增。 最小值在 处取到： 所以 ， 的取值范围是 。 4-2. 【解答】已知函数．（1）证明：函数有且只有一个极值点；（2）若关于的方程在区间上恰有两个实数根，求实数的取值范围． 解析　答：(1)见解析　(2) ，定义域为 。用乘积法则求导： 再求一次导数得 ，所以 在 上单调递增。 算两个值定位零点：，。 单调递增的连续函数在 处为负、在 处为正，所以 在 内有唯一零点 ，并且 在 上为负、在 上为正。 于是 在 上递减、在 上递增， 是它唯一的极值点，函数有且只有一个极值点。 第二问把方程移项：。注意 时两边都是 ，所以 恒为根。要让 上恰有两个实根，就需要在 上恰有一个根。 当 时 ，可以把 解出来： 记 ，，根的个数就是水平直线 与这段曲线的交点个数。求导： 把分子记为 。，而 ，且 ，所以 单调递减， 时 ，进而 。 于是 ， 在 上严格递减，右端点的值是 。 这个函数的上界也好定： 等价于 。记 ，（），且 ，所以 ，。 再由 在 处的导数 可知，只要 ，在 的右侧这个差就为正，也就是 能取到大于 的值。结合 连续且严格递减，可知 在 上的取值恰好铺满 。 于是 时， 内恰有一个根，连同 共两个根。 边界照旧要排除： 时由 得 ， 内无根； 时由 递减得 ，也无根。这两种情形下方程在 上只有 一个根。 所以 的取值范围是 。 4-3. 【解答】已知函数．（1）若，求的极值；（2）若，讨论的单调性． 解析　答：(1)极大值 ，无极小值　(2)见解析 当 时 ，定义域为 。求导得 当 时 ，当 时 ，所以 在 处取得极大值 没有极小值。 第二问对一般的 求导： 分子的二次式可以分解因式： 于是 当 时， 使 ，符号只由 决定，所以 在 上单调递增、在 上单调递减。 当 时， 在 处变号，先比较两个临界点的大小： 因为 保证 ，所以 。 在 上 而 ，导数小于 ；在 上两个因式都为正，导数大于 ；在 上 而 ，导数小于 。 所以 在 上递减、在 上递增、在 上递减。 当 时两个临界点重合在 处，此时 所以 恒成立， 在 上单调递减。 4-4. 【解答】已知函数．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，求函数的极值． 解析　答：(1)见解析　(2)见解析 当 时 ，定义域为 。把 换成 函数值不变，所以 是偶函数。 先看 的一段：此时 ，。 当 时 恒成立， 在 上单调递增；由偶函数的对称性，它在 上单调递减。 当 时，令 得 。在 上 ，在 上 ，所以它在 上递增、在 上递减；由对称性，在 上递减、在 上递增。 第二问当 时 ，由 得定义域为 或 ，把两段合起来就是 。这个函数仍然是偶函数。 先看 的一段：， 当 时 ，这一段上函数单调递增，向右一直增大，没有极值；由偶函数的对称性， 的一段单调递减，也没有极值。 所以 时函数无极值。 当 时，令 得 因为 ，所以 ，这个点在 内。在 上 ，在 上 ，所以 是极大值点，极大值为 注意到 ，所以这个极大值就是 。 由偶函数的对称性， 也是极大值点，极大值是同一个数，而函数没有极小值。 4-5. 【单选】已知是上的偶函数，且满足，若在上单调递减，且，则在上的最小值是（ ） A. B. C. D. 解析　答：B 把 中的 换成 ，得 写成 ，说明图象关于点 中心对称。 又 是偶函数，把 换成 ，由 得 再代一次 ，所以 是周期为 的函数。 在 中取 ，得 ，即 ；取 ，得 。 在 上单调递减，且 、，所以 时 。 对 ，记 ，，由中心对称得 ， 而 在 内取遍，所以 取遍 ， 合起来 上 的值域是 。 对 ，由 得 ，其中 ， 所以 上 的值域同样是 。 于是 对一切实数成立，且等号在 （ 为整数）时取到， 因为 可以取遍一切实数，所以 的最小值是 。 4-6. 【填空】已知函数为奇函数，当时，（），若在上单调递增，则的取值范围是______． 解析　答： 为奇函数，图象关于原点对称；把它向右平移 个单位得到 ， 所以 的图象关于点 对称，即对一切实数 有 当 时，记 ，则 ，此时 ，可以代入 时的表达式。 由 得 记 ，只须看 在 上单调递增， 若 ，则 ， 随 增大而增大，而 ， 于是 足够小时 ， 递减，不合题意。 若 ，则 ， 随 增大而减小，它在 上的最小值在右端点取到， 解得 。 当 时，对 上任意 都有 ， 所以 单调递增，即 在 上单调递增。 故 的取值范围是 。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数与导数的方法体系（五） 导数与切线 · 从题型到方法的完整梳理 一、知识点梳理 知识点一　导数的概念与运算 ★ 平均变化率到瞬时变化率：函数 在区间 上的平均变化率是 ，它刻画的是这一段「平均起来」变化有多快。 ★ 让 无限接近 ，平均变化率趋于的那个数就是 在 处的导数，记作 。它是一个具体的数，不是函数。 ★ 导数的定义式还有另一种写法：。只要式子的结构是「函数值之差除以自变量之差」，并且分母趋于 ，就可以凑成导数的定义形式。 ★ 函数的导数 是把每个 处算出的 收集起来得到的函数，所以 就是把 代进 所得的值：先求导函数，再代点。 ★ 常见函数的导数：，，，，。 ★ 四则运算：和差分别求导；积的导数 ；商的导数 。商的公式里减号在前，写反是最常见的丢分点。 ★ 复合函数求导：设 ，，则 ，也就是「外层导数乘内层导数」。例如 。 ★ 求导前先看定义域。含 的函数定义域是 ，含 的要挖掉 。导数的定义域是原函数定义域的子集，写单调区间时不能越过原定义域。 ★ 导数值与函数值是两个量。 是点的高度， 是那一点处切线的斜率。题目问「斜率」就找 ，问「函数值」就找 ，两者不要串。 ★ 导数与奇偶性：若 是偶函数且可导，则 是奇函数；若 是奇函数且可导，则 是偶函数。常用的两种说法是等价的： 的图象关于直线 对称 的图象关于点 中心对称。 ★ 导数与周期性：若 是周期为 的函数且可导，则 也是周期为 的函数。反过来不成立—— 是周期函数推不出 是周期函数，例如 的导数是周期函数，但它本身不是周期函数。 ★ 抽象函数的导数方程：若题设给出 这类恒等式，先赋值求出 ，再用导数的定义（而不是直接求导）把它化成 的关系式。 ★ 导数的运算是后面所有方法的底座。切线、单调性、极值、不等式，第一步都是求导；求导错了，后面写得再漂亮也是零分。复杂式子先整理（提公因式、通分）再求导，能省掉一半计算量。 知识点二　导数的几何意义与切线 ★ 导数的几何意义： 是曲线 在点 处切线的斜率。这是导数最有用的一句话，切线题全部由它出发。 ★ 切线方程：曲线 在点 处的切线为。两个条件缺一不可：切点坐标、切点处的导数。 ★ 「在点 处的切线」与「过点 的切线」是两件事。前者 一定是切点，直接套切线方程；后者 可能只是切线经过的一个点，未必是切点。读题时先把这两个字看清楚。 ★ 过点作切线的标准流程：设切点横坐标为 ，写出切线 ；把已知点代入，得到关于 的方程；解出几个 ，就有几条切线。 ★ 切线条数问题本质是方程解的个数问题。若关于 的方程有两个解，说明过该点能作两条切线；解重根时切线重合，要合并成一条，不能数成两条。 ★ 三次曲线过某点的切线条数有规律：设 是三次函数图象的对称中心，过 只能作一条切线；过图象上异于 的点可以作两条或三条；过图象外的点则可能是三条。结论不必硬背，按标准流程解方程最稳。 ★ 公切线：一条直线同时与两条曲线相切。设它与第一条曲线切于 ，与第二条曲线切于 ，由「斜率相等 + 截距相等」列出两个方程，解出 与 。切点相同的情形也要考虑，不要默认两个切点不同。 ★ 由切线条件反求参数，最常见的是两种条件：「某直线是曲线的切线」（斜率相等 + 点在线上的等式），「曲线在 处的切线斜率为 」（）。 ★ 两条切线垂直：斜率之积为 。两条切线平行：斜率相等，但截距不同（否则重合）。这类题把斜率条件翻译成关于切点横坐标的方程即可。 ★ 切线与曲线的公共点未必只有一个。切线在某点与曲线相切，可能在别处仍与曲线相交，所以「切线与曲线只有一个公共点」是不能当作判定依据的。 ★ 三次曲线在切点处常常「穿」过曲线，二次曲线在切点处则是「贴着」曲线。画草图时按这个规律把切线与曲线的关系画对，能避免把交点个数数错。 ★ 含 的曲线注意定义域，切线的一切讨论都在 内进行；含绝对值的曲线在分界点处要分段看斜率，分界点本身往往是尖点，那里可能不可导。 ★ 求切线方程最后要写成一般式或斜截式，并检查切点确实在曲线与切线上：把切点横坐标代回两条式子，两边相等才算写完。 知识点三　用导数研究单调性与极值 ★ 单调性的判定：在区间内 ，则 在该区间上递增；，则 在该区间上递减。这是充分条件，不是必要条件—— 在 上递增，但 。 ★ 求单调区间的四个步骤：先写定义域，再求导并因式分解，然后判断导数在各段的符号，最后按「递增区间」「递减区间」分开写。区间端点处函数有定义就取闭、无定义就取开。 ★ 含参单调性讨论的分类标准只有两条：导数的零点是否存在（判别式或参数取值的分界）、零点是否落在定义域内。零点存在时再比大小，按大小顺序排开区间。 ★ 讨论时把导数写成因式乘积的形式最省事： 这样的结构，符号只看各因式，不必展开。 ★ 极值的定义：在 附近， 比两侧的函数值都大（或都小），则 是极大值（或极小值）。极值是局部的概念，与最值不是一回事。 ★ 极值点的必要条件：可导函数在 处取极值，则 。反过来不成立： 只说明切线水平，要成为极值点还必须在此点左右导数变号。 ★ 判断极值点的两步：先解 得到候选点，再列表看导数在各候选点两侧的符号，「正变负」是极大值点，「负变正」是极小值点，不变号则不是极值点。 ★ 三次函数 ：，判别式 时有两个极值点， 时没有极值点（只有一个驻点）， 时没有极值点。 ★ 已知极值求参数，必须回头检验。由 解出的参数值，要代回原函数确认 左右确实变号，否则可能只是拐点或驻点，解出的参数要舍去。 ★ 最值与极值的关系：闭区间上连续函数的最值，只可能在极值点或区间端点处取得。把这两类点的函数值都算出来比大小即可。 ★ 单调性与参数的两个不同问法：「在区间 上单调递增」要求 在 上恒成立；「在区间 上存在单调递减区间」只要求 在 内有解。一个要恒成立，一个有解即可，差别很大。 ★ 处理 恒成立的常规手段是分离参数：化成 ，再求 在区间上的最大值；化成 ，则求 的最小值。若导数在端点处恰好为零，端点能否取到要单独交代。 ★ 换元与放缩是导数题的常规工具：把重复出现的整体设为 ，能显著缩短式子；基本放缩 、（等号都在 或 处取得）用来把超越式化为多项式。 ★ 记住放缩的适用范围： 对一切实数成立， 只在 上成立。用错定义域是放缩类题最常见的翻车方式。 知识点四　导数与函数图象 ★ 导函数图象与原函数图象的关系：看 在 轴上方还是下方，判断 的增减；看 与 轴的交点，对应 的极值点。 ★ 由 的图象读极值点，只看「变号」的交点。 穿过 轴的点才是极值点；只在 轴上碰一下就回去的点不是极值点。 ★ 由原函数图象读导函数符号：图象上升的一段 ，下降的一段 ，最高点与最低点处 。要把「图象的形状」翻译成「导数符号」，而不是凭形状猜数值。 ★ 同一坐标系里画 与 时，两条曲线的纵轴刻度通常不同，不要用 的图象高度去比较 的大小。 ★ 三次函数与它的导函数是一对好搭档： 的对称中心横坐标恰是 的对称轴， 的零点恰是 的极值点横坐标。这两条在图象类题目里经常直接给出答案。 ★ 切线的几何位置也是图象信息：曲线在某点的切线与 轴平行，说明该点导数为 ；切线的倾斜角为钝角，说明该点导数为负。 ★ 新定义型的图象题，先把它翻译成学过的语言再动手。例如「两个函数的极值点个数相同、且极大值点与极小值点从左到右的分布顺序相同」，翻译过来就是「导数零点的个数与排列顺序一致」，于是问题变成求两个函数的驻点并比大小。 ★ 判断「存在极值点」「有几个极值点」的题目，统一走「判别式 + 根的位置」两条：先看 有没有两个不等的实根，再看这些根是否落在给定区间内。 ★ 分界点处的图象要单独看。分段函数在分界点上下两侧的导数各算各的，判断那里是否成为极值点，要靠左右两侧的单调性，而不是只看一点。 ★ 含绝对值的函数图象在分界点处往往出现尖角，尖角处不可导，切线不存在。这类题要先去掉绝对值写成分段形式，再逐段处理。 ★ 图象题的另一条线索是极限趋势： 时函数值往哪走，往往决定水平直线能穿过几次，与极值一起用来判断零点个数。 ★ 的图象增长很慢， 增长很快。 时 远大于任何多项式， 远小于任何正次幂。这个「快慢」直觉能帮你在草图上把两端的走向画对。 ★ 画草图时至少标出三处：与坐标轴的交点、极值点的位置与大小、两端的走向。有了这三处，选项里那些「单调区间不对」「极值点个数不对」的错误一眼就能排除。 ★ 图象类问题写完，把答案代回原式验一个特殊值。取一个具体的 算一算，与图象上的位置对一对，比反复读图更可靠。 二、方法突破 方法一　导数的运算与几何意义 这一节就做两件事：把导数算出来，把导数的意义用上。前者是纯运算，后者要求看见 就能想到「曲线在那一点处切线的斜率」。 ★ 求导前先整理式子。能提公因式的提出来，能通分的先通分，把 这类结构写整齐再动手，比对着一个复杂分式硬套商法则省力得多。 ★ 见到「函数值之差除以自变量之差」的结构，就想导数的定义。题目里出现 ，先把分母凑成与分子里自变量之差一致的形式，多出来的系数提到前面，剩下部分正好是 。 ★ 区分 与 ：前者是一个数，后者是一个函数。题目问「导数值」「切线斜率」要的是数，问「单调区间」「极值点」要的是函数。 ★ 导数的几何意义是本节的高频考点。曲线 在点 处切线的斜率就是 。斜率的取值范围题，先写出 的表达式，再按求值域的常规办法处理。 ★ 导数的对称性有现成的对应关系： 的图象关于直线 对称，则 的图象关于点 中心对称。题目里说「 是偶函数」，等于说 关于 对称，于是 关于 对称。 ★ 周期性的方向要记牢： 是周期函数， 一定也是周期函数；反过来不成立。判断「 是周期函数」是不是「 是周期函数」的充分必要条件，举一个反例（）就够了。 ★ 抽象函数与导数的结合题，处理次序是：先赋值，把 等特殊值求出来；再对恒等式求导或利用定义式，把 满足的关系式挖出来；最后用这个关系式推周期、推对称或求值。 ★ 极值点条件的判断，抓两步： 先解出参数，再检验 左右导数是否变号。只说 就断定是极值点，是最典型的错误。 ★ 三次函数 这类含有因式的式子，求导后一定还能再提公因式。写成 的若干次幂与一个一次式的乘积之后，零点与符号一眼可见。 ★ 多选题里的「命题判断」，通常四个选项分别对应求导、对称、极值、零点四件事。逐个算出具体结果再对号，不要凭印象选。 ★ 遇到新定义的题目，先把定义翻译成学过的语言。「图象相似」说的是极值点的个数与排列顺序一致，翻译过来就是「导数的零点个数与大小顺序一致」，接下来只是解方程与比大小。 ★ 运算题做完，用几何意义回头验一次。把算出的斜率代进切线方程，看它与曲线在切点处是否只有一个公共点；把算出的极值点代回 ，看导数值是否为零。这两步能拦住绝大多数计算失误。 例题 例 1-1 （四川省资阳市高中2023级高考适应性考试数学试题 · 第8题） 【单选】已知函数则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　先定解析式 ◈ 由 把 上的表达式解出来，得 。 第 2 步　求切点与斜率 ◈ ；，。 第 3 步　写切线方程 ◈ 由点斜式 整理得 。 答　D 例 1-2 （黑龙江哈尔滨市2026届高考第二次模拟考试数学试题 · 第5题） 【单选】已知函数的定义域为，，当时，，则曲线在点处的切线的斜率为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【解析】 第 1 步　把对称条件翻译成式子 ◈ 等价于 ，对称轴是 。 第 2 步　把待求点转到已知区间 ◈ 时 ， 落在这段里。 第 3 步　求导取斜率 ◈ ，，选 C。 答　C 例 1-3 （湖南省湘潭市2026届高三二模数学试题 · 第13题） 【填空】若直线是曲线的一条切线，则 = ________． 【解析】 第 1 步　设切点，写切线 ◈ 切点横坐标设为 ，切线为 。 第 2 步　用「过原点」定切点 ◈ 代入 得 ，于是斜率 。 第 3 步　验公共点个数 ◈ 联立得 ，最大值 只在 处取到。 答　 例 1-4 （河南开封市新世纪高级中学等豫东名校联考2026届高三下学期二模数学试题卷 · 第6题） 【单选】已知函数在点处的切线为，若与圆相切，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【解析】 第 1 步　先写切线方程 ◈ ，，切线为 。 第 2 步　把相切翻译成距离 ◈ 圆心 到直线的距离等于半径 ，即 。 第 3 步　解出两个 ◈ ，，两个解都要保留。 答　C 练习 1-1. 【填空】已知函数的图象在处的切线经过坐标原点，则实数 = ____________． 1-2. 【填空】已知曲线在处的切线方程为，则 = _____． 1-3. 【单选】在点处的切线方程是，则 = （ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 1-4. 【多选】已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（ ） A. 当时， B. 在区间上单调递减 C. 当且仅当 D. 轴是曲线的一条切线 1-5. 【多选】设函数，则（ ） A. 在处的切线方程为 B. 是的极大值点 C. 当时， D. 1-6. 【多选】设函数，则（ ） A. 点是图像的对称中心 B. 当时，函数有三个零点 C. 当时，直线不是曲线的切线 D. 若有三个不同的零点，则 方法二　切线与切点坐标 切线问题是导数部分出现频率最高的题型，高一高二学的「直线与曲线相切」到这里有了统一的做法：切线的斜率就是切点处的导数。 ★ 读题第一步，分清「在点 处的切线」与「过点 的切线」。前者 是切点，直接代入切线方程；后者 只是切线上的一点，必须设切点、解方程，不能直接把 当切点。 ★ 在点处的切线，三步写完：求导得 ；算出 与 ；写成 ，最后整理成一般式。 ★ 过点的切线，流程多一步：设切点横坐标为 ，切线为 ；把已知点代入，得到关于 的方程；解出 的个数就是切线的条数。同一个 不会对应两条不同的切线，重根只算一条。 ★ 由切线反求参数，列两个等式：斜率相等（ 等于已知斜率）与点满足直线方程。两个等式解两个未知量（切点与参数），恰好够用。 ★ 已知切线的斜率反推切点横坐标，本质是解 。若 在给定区间上单调，解唯一；若有多个解，要把每个解都算出来。 ★ 解答题的第一问几乎固定是求切线方程。这一问必须写完整，因为它既是得分点，又常常为第二问提供信息（切点坐标、切线斜率往往在后续讨论里要用到）。 ★ 解答题的第二问通常转向参数讨论或不等式。读完题先判断属于哪一类：问「有几个解」就用图象与水平线的交点个数；问「求参数范围」就分离参数求最值；问「证明不等式」就构造函数求导。 ★ 分离参数时，除之前先确认所除的式子不为零。 这一步，要交代 ，否则等于悄悄扩大或缩小了定义域。 ★ 含参数的对数函数求单调性，导数的零点往往含参数，讨论的分界点就是「零点与定义域端点重合」的那几个参数值。把这些值先算出来立在数轴上，分类就清楚了。 ★ 三角函数与导数结合时，别忘三角函数的有界性与周期性。、 在给定区间内的符号可以逐段判断，不必整体求最值。 ★ 求切线方程时，若曲线含 ，切点横坐标必须大于 ；若曲线的表达式中出现绝对值，先按分界点写成分段形式，再在每段里求切线。 ★ 切线题写完，把切点代回两条式子各算一遍。切点在曲线上、也在切线上，两个等式都成立才算过。凡是斜率算错或切点代错的，这一步一定露馅。 例题 例 2-1 （安徽省马鞍山市2026届高三第二次教学质量监测数学试卷 · 第15题） 【解答】曲线在点处的切线为．（1）求直线的方程；（2）若直线与曲线在轴右侧只有一个公共点，求实数的值． 【解析】 第 1 步　先写出切线 ◈ ，，，故 ，即 。 第 2 步　把公共点问题化成方程的根 ◈ 联立得 ，它在 上的解的个数就是公共点个数。 第 3 步　分离参数数交点 ◈ 时方程等价于 。左边在 处取最小值 ，故只有 时才恰有一个公共点，得 。 答　(1)　(2) 例 2-2 （安徽芜湖市2025-2026学年度第一学期教学质量监控高三数学试卷 · 第16题） 【解答】已知曲线在处的切线为.（1）求切线的方程；（2）求证：切线在曲线 下方（切点除外）. 【解析】 第 1 步　求出切线 ◈ ，，，所以 。 第 2 步　把位置关系写成函数 ◈ 记 ，切线在曲线下方等价于 。 第 3 步　两次求导定号 ◈ ，， 先减后增且最小值 ，故它只能有一个零点，由 知该零点即 ，于是 。 答　(1)　(2)见解析 例 2-3 （广东汕头市2026年普通高考第二次模拟考试数学试题 · 第16题） 【解答】已知函数.（1）若曲线在点处的切线过点，求的值；（2）求的极值点. 【解析】 第 1 步　先算切点与斜率 ◈ ，，。 第 2 步　把已知点代入切线 ◈ 切线为 ，代入 得 ，解得 。 第 3 步　看分子的配方分类 ◈ ，按 、、 三类讨论零点的个数与符号。 答　(1)　(2)见解析 例 2-4 （江西省萍乡市2025届高三第三次模拟考试数学试题 · 第15题） 【解答】已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）求在区间上的值域. 【解析】 第 1 步　求切点与斜率 ◈ ，，。 第 2 步　写出切线 ◈ 由 整理得 。 第 3 步　闭区间上比极值与端点 ◈ ，最小值 ，端点值 与 中较大者 即最大值。 答　(1)　(2) 练习 2-1. 【解答】已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若有极小值，记的极小值为，证明：. 2-2. 【解答】已知.（1）若，求的图象在点处的切线方程；（2）若，都有，求实数的取值范围. 2-3. 【解答】已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，求的取值范围． 2-4. 【解答】已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若方程在上有解，求的取值范围． 2-5. 【填空】若直线是曲线的一条切线，则 = __________. 2-6. 【单选】曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 方法三　切线的综合应用 一节里出现两条甚至更多的切线，问题的重心就从「求一条切线」转成「切线之间的位置关系」。两条切线能产生两个等式，这是本节所有题目的共同结构。 ★ 两条切线平行的条件是斜率相等：。注意这只保证平行，还要确认截距不同，否则两条直线重合，实际上是同一条切线。 ★ 两条切线垂直的条件是斜率之积为 ：。把斜率用切点坐标表示出来，问题就变成解方程组。 ★ 遇到含 的函数，先按 分成两段： 时等于 ， 时等于 。两条互相垂直的切线，通常一个切点在这两段中的一段上，分情况讨论时要把两个切点所在的区间写清楚。 ★ 公切线问题的标准设法：设直线与第一条曲线切于 、与第二条曲线切于 ，分别写出两条切线方程；令它们的斜率相等、截距相等，得到两个方程；解出 、 后回代求出直线。 ★ 公切线的切点可能重合。两曲线在同一个点相切时，两个切点坐标相同，这时只需斜率相等一个条件。讨论时别把这种情形漏掉。 ★ 由「某直线与曲线相切」求参数，做法是把直线与曲线联立，令消元后的一元二次方程判别式为零（对二次曲线适用）；对含有 、 的曲线，改设切点、用斜率与点两个条件解。 ★ 「过点 能作几条切线」的问题，最终都归结为「关于切点横坐标 的方程有几个解」。把方程整理成一边只有参数、另一边只有 的形式，再数水平线与曲线的交点个数。 ★ 新定义题先把定义中的每个词落实到式子上。「法线」是过切点且与切线垂直的直线，斜率是切线斜率的负倒数；「公法线」要求这条直线同时是两条曲线的法线，于是同样得到两个方程。 ★ 切线与其他量的综合，常见的是与坐标轴的交点。切线交 轴于 ，把通项写出来，求和、求积、比较大小都能接着做。 ★ 切线还常与定点问题一起出现：证明某条切线的表达式里参数可以合并，把含参数的项归到一组，令其系数为零，剩下的点就是定点。 ★ 这一节的解答题，切线往往只是入口，后面接着的是分类讨论或不等式证明。第一问把切线算准，第二问按「求导、判号、讨论、比较」的老路子走。 ★ 多条切线的题画一张图。把两条曲线与切线大致画出来，标上切点位置，斜率的正负、切点的相对位置立刻清楚，讨论时不容易漏情形。 例题 例 3-1 （山东东营市2026届高三下学期4月份适应性测试数学试题 · 第17题） 【解答】已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若过点可作曲线的两条切线，求的取值范围；（3）若曲线的切线过点，其中，求证：曲线上除切点外的点都在直线的上方． 【解析】 第 1 步　先求单调区间 ◈ ，零点是 ，减区间 、增区间 。 第 2 步　把切线条数化成方程根的个数 ◈ 设切点横坐标为 ，切线过 等价于 ，切线条数就是这个方程正根的个数。 第 3 步　分段数交点再作差证高低 ◈ 在 处断开，只有 时后两段各给一个根；证明高低时作差 ，它在 处取到最小值 。 答　(1)见解析　(2)　(3)见解析 例 3-2 （山东滨州市2026届高三数学一模试题 · 第17题） 【解答】已知函数．（1）证明：在曲线 所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线的斜率相等；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解析】 第 1 步　把「斜率等于 」写成方程 ◈ ，条件即 。 第 2 步　用单调性数根的个数 ◈ 记 ，它先减后增，在 处取到负的最小值，在 上单调递增且趋于 ，故与 只交一次。 第 3 步　分离参数后求最小值 ◈ ，右端函数在 上单调递增，最小值为 。 答　(1)见解析　(2) 例 3-3 （安徽合肥市2026届高三第二次教学质量检测数学试卷 · 第16题） 【解答】设函数.（1）证明：曲线在点处的切线过定点，并求出该定点坐标；（2）若有两个零点，求的取值范围. 【解析】 第 1 步　把切线写成直线族 ◈ ，，切线为 ，令 得定点 。 第 2 步　把导数分解因式 ◈ ，符号只由 决定。 第 3 步　让最小值小于零 ◈ 时最小值 ，令它小于 ，得 或 。 答　(1)　(2) 例 3-4 （广东省佛山市2024-2025学年高三下学期教学质量检测（二）数学试题 · 第15题） 【解答】已知函数，.（1）若曲线在点处的切线与曲线也相切，求a；（2）若图象恒在图象的上方，求a的取值范围. 【解析】 第 1 步　先写出 的切线 ◈ ，切点为 ，故切线为 。 第 2 步　把「也相切」翻译成两个等式 ◈ ，设 上的切点横坐标为 ，由 得 ，再由切点在 上得 ，即 ，。 第 3 步　恒在上方就是分离参数 ◈ 等价于 ，右边在 处取最大值 ，故 。 答　(1)　(2) 练习 3-1. 【填空】已知曲线与的公切线为，则在轴上的截距为___________． 3-2. 【填空】若曲线与曲线在它们的公共点处有相同的切线，则 = _______． 3-3. 【填空】已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 = ________． 3-4. 【单选】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 = （ ） A. B. 3 C. D. 4 3-5. 【解答】已知函数（），．（1）讨论函数的单调性；（2）若的图像在处的切线与的图像相切，求实数的值；（3）当时，证明：对任意的，恒成立． 3-6. 【解答】已知函数.（1）讨论的极值点个数；（2）若存在实数使得轴为的切线，求的最大值. 方法四　导数与单调性、图象 导数最大的用处是判断单调性。本节把「求单调区间」「讨论含参单调性」「由图象读导数」这三类问题放在一起，因为它们用的是同一套动作：求导、判号、下结论。 ★ 求单调区间的流程固定：写定义域，求导并因式分解，令 求出分界点，列表判断各段符号，最后按区间写出递增与递减。 ★ 含参函数的单调性讨论，分类的依据永远是导数的零点：有没有零点、零点在不在定义域内、两个零点谁大谁小。把这三种情况按顺序过一遍，不会漏。 ★ 讨论时导数写成乘积形式最便于判号。 这样的式子，符号由三个因式共同决定，把它们的零点从小到大排在数轴上，逐段定号即可。 ★ 判断极值点个数，先看判别式再看根的分布。 只有相异实根才可能有两个极值点，重根处导数不变号，不是极值点。 ★ 分段函数的极值点要分段算。每一段各自求导找驻点，分界点单独拿出来，用左右两侧的单调性判断它是不是极值点。 ★ 「在区间上单调递增」与「存在单调递减区间」要分清：前者是 恒成立，后者是 有解。恒成立求参数用分离参数法求最值，有解则求的是另一个方向的界。 ★ 分离参数时注意端点。若把 中的 的最大值求出来是 ，要检查等号能否取到：取到时参数范围含端点，取不到则不含。 ★ 由导函数图象读原函数，只做两件事：看 在 轴上下判断增减，看 的变号零点判断极值点。不要试图从图象上读出具体数值。 ★ 三次函数与导函数图象的关系是常考结论： 的对称中心横坐标等于 的对称轴， 的两个零点就是 的两个极值点横坐标。 ★ 新定义的「图象相似」问题，先把定义拆成两个条件：极值点的个数相同、极大值点与极小值点从左到右的顺序相同。于是只需把两个函数的驻点都求出来排个序。 ★ 解答题里单调性往往是第一问，第二问在单调性的基础上讨论零点个数或证明不等式。第一问的结论要记得用，「由（1）知 在 上递减」这类话是第二问的起点。 ★ 证明不等式的基本套路：把不等式整理成 的形式，求 判断 的单调性，再算 的最小值。最小值大于等于零，不等式就成立。 ★ 单调性讨论完，画出函数的大致图象再检查一遍。把极值点的位置与两端趋势标上，看结论与图象是否吻合。图形对不上就说明分界点或符号判错了，这一步能拦住绝大多数分类讨论的漏项。 例题 例 4-1 （2025届福建省南平市高中毕业班第三次质量检测数学试题 · 第16题） 【解答】已知函数，其导函数为.（1）求的单调区间；（2）证明：. 【解析】 第 1 步　先求单调区间 ◈ ，零点是 ，减区间 、增区间 。 第 2 步　把待证式化简 ◈ 代入 后左边变成 ，记作 ，只需证它非负。 第 3 步　两次求导找最小值 ◈ 且 ，而 ，故 递增、 在 处取最小值 。 答　(1)见解析　(2)见解析 例 4-2 （山东省临沂市2026届高三一模考试数学试题 · 第15题） 【解答】已知函数．（1）求的单调区间；（2）已知在上有且仅有两个零点，求a的取值范围. 【解析】 第 1 步　先定单调性 ◈ ， 时在 上递增； 时在 上递增、在 上递减。 第 2 步　用最大值定出上界 ◈ 最大值 必须为正，得 。 第 3 步　用右端点定出下界 ◈ 还需 ，得 ，故 。 答　(1)见解析　(2) 例 4-3 （2025届山东省聊城市高三一模数学试题 · 第17题） 【解答】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围. 【解析】 第 1 步　先定单调性 ◈ 。 时分子在 上非负，函数单调递增； 时分子有两正根 ，先增、再减、再增。 第 2 步　用韦达定理化简和式 ◈ ，，代入得 。 第 3 步　构造函数解不等式 ◈ 不等式整理为 ， 在 上递减且 ，故 。 答　(1)见解析　(2) 例 4-4 （2025届山东省威海市高三模拟考试数学试题 · 第7题） 【单选】已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　先看导数的增减 ◈ ，再求导得 ，所以 在 上递增。 第 2 步　把存在递减区间转化为端点符号 ◈ 递增，只要它在 时能取到负值即可，临界情形由 的符号决定。 第 3 步　解不等式定范围 ◈ 由 且 得 ，即 ，选 B。 答　B 练习 4-1. 【解答】已知函数，.（1）若函数在处取得极值，求实数的值及此时的单调区间；（2）令，若对，的图象都不在图象的下方，求实数的取值范围. 4-2. 【解答】已知函数．（1）证明：函数有且只有一个极值点；（2）若关于的方程在区间上恰有两个实数根，求实数的取值范围． 4-3. 【解答】已知函数．（1）若，求的极值；（2）若，讨论的单调性． 4-4. 【解答】已知函数．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，求函数的极值． 4-5. 【单选】已知是上的偶函数，且满足，若在上单调递减，且，则在上的最小值是（ ） A. B. C. D. 4-6. 【填空】已知函数为奇函数，当时，（），若在上单调递增，则的取值范围是______． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $