精品解析：安徽淮北市华曜港利高级中学2025-2026学年高二年级下学期开学检测数学试题

淮北市华曜港利高级中学高二年级开学检测 高二数学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案填在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教 A 版必修第一册、必修第二册、选择性必修第一册：空间向量基本知识到向量的运用(到直线与平面的位置关系). 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用复数除法求出复数，根据共轭复数的定义求，即可得. 【详解】由题设， 则，故虚部为. 故选：B 2. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别解一元二次不等式和分式不等式求出并化简集合，然后由交集定义可得. 【详解】由解得，即， 由解得，即， 所以. 故选：D 3. 若函数在区间单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数复合函数的区间单调性，结合二次函数的性质有，即可得. 【详解】令，又在R上单调递减， 所以要使在区间单调递增， 则在区间单调递减， 所以由的开口向上且对称轴为得，解得. 故选：D 4. 已知长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据可知或其补角即为所求，然后利用余弦定理求解即可. 【详解】如图所示：连接，根据长方体的性质易知， 所以异面直线与所成角，即为直线与所成角，则或其补角即为所求， 不妨， 在中，， 所以由余弦定理得. 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D 5. 设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到，根据三点共线得到，再利用向量相等的条件求解参数即可. 【详解】因为，，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的实数使得， 所以，解得， 所以. 故选：C. 6. 在空间直角坐标系中，已知点，，若点与点关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于平面对称的点的横坐标变为相反数，纵坐标和竖坐标不变，得出点坐标，再利用空间向量减法的坐标运算求出向量坐标，再计算模长即可． 【详解】由点与点关于平面对称，则对称的点的横坐标变为相反数，纵坐标和竖坐标不变，可得， 所以， ， 故选：A． 7. 下列选项中，正确的个数是（ ） ①数据1、3、5、7、9、11、13的第80百分位数为12， ②若且，则，为实数； ③若直线的方向向量，平面的法向量，则 ④若样本数据的方差为2，则的标准差为8 ⑤如果向量与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么一定共线. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据百分位数的求法确定①的真假；根据复数的有关运算法则判断②的真假；根据直线的方向向量与平面法向量的位置关系判断③的真假；根据新数据的方差的求法，结合标准差的概念判断④的真假；根据空间向量基底的特点判断⑤的真假. 【详解】对①：因为，所以该组数据的第80百分位数是第6个数据，为11，故①错误； 对②：如，，则，，但，不为实数，故②错误； 对③：因为，所以，所以或，故③错误； 对④：根据方差的性质，新数据的方差为，所以新数据的标准差为，故④错误； 对⑤：因为空间向量的基底是由3个不共面的向量组成，而向量与任何向量不能构成空间向量的一个基底，所以一定共线.故⑤正确. 综上，只有⑤正确. 故选：A 8. 如图，在棱长为2的正方体中是正方形的中心是内（包括边界）的动点，满足则点的轨迹长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目建立空间直角坐标系，再利用题干给出的条件列方程，找出轨迹端点进而算出轨迹长度. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则    设平面的法向量为则 令则故 设则 又整理得 联立方程则可得解得 当时；当时 记的中垂面为又是内（包括边界）的动点， 在空间中满足 点的轨迹是平面与三角形的公共部分， 即点的轨迹为线段，则, 故选：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设、、表示三个不同的平面，、表示两条不同的直线，则下列结论正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用线面、线线的位置关系可判断A选项；利用线面平行的性质定理可判断B选项；利用线面平行和线面垂直的性质定理可判断C选项；利用线面垂直和面面垂直的性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，若若，，则、平行、相交或异面，A错； 对于B选项，若，过直线作平面，使得， 由线面平行的性质定理可知，因为，，则，故，B对； 对于C选项，若，，，设， 在平面内作直线，由面面垂直的性质定理可得， 因为，故，因为，，故，C对； 对于D选项，如下图所示： 因为，，， 设，在平面内作异于直线的直线，使得， 由面面垂直的性质定理得，由C选项可知， 因为，，则，故，D对. 故选：BCD. 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，是单位向量，则 B. 若（），则存在唯一的实数，使得 C. 若向量和，满足，，则 D. 若向量，，则在方向上投影的数量是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据单位向量定义即可求解A，根据共线定理即可求解B，根据模长公式即可求解C，根据投影的计算公式即可求解D. 【详解】对于A,单位向量是模长为1的向量，无法确定，的方向，故A错误， 对于B，由共线定理可知B正确， 对于C，由可得，故， ，故C正确， 对于D, 在方向上投影的数量是,故D错误， 故选：BC 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是平面的一个法向量 B. 四点共面 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量垂直，即可结合法向量定义求解A，根据共面定理即可求解B，根据向量共线即可求解C，由模长公式即可求解D. 【详解】， 所以平面， 所以平面，所以是平面的一个法向量，故A正确； 设，则，无解，所以四点不共面，故B错误； ，所以与不平行，故C错误； ，故D正确； 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则在方向上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】计算出，利用投影向量的计算公式进行求解. 【详解】， 可得在方向上的投影向量为 ． 故答案为： 13. 如图，平面，四边形为正方形，E为的中点，F是上一点，当时，＝_______. 【答案】1 【解析】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，用向量的数量积为0表示垂直可求得结论． 【详解】建立如图空间直角坐标系，设正方形的边长为1， ，则，，. 设，则 因为， ，， 即是AD的中点，故， 故答案为：1. 14. 已知，则关于的不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用复合函数求导法则求出导函数，将变为，最后利用正弦函数的性质解不等式即可. 【详解】，则， 由，可得，即， 所以，解得， 即不等式的解集为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 第七届中国国际进口博览会于2024年11月5日至10日在上海举办，某公司生产的、三款产品在博览会上亮相，每一种产品均有普通装和精品装两种款式，该公司每天产量如下表：（单位：个） 产品 产品 产品 普通装 180 400 精品装 300 420 600 现采用分层抽样的方法在某一天生产的所有产品中抽取100个，其中款产品有30个. （1）求的值； （2）用分层抽样的方法在款产品中抽取一个容量为5的样本，从样本中任取2个产品，求其中至少有一个精品装产品的概率； （3）对抽取到的款产品样本中某种指标进行统计，普通装产品的平均数为10，方差为2，精品装产品的平均数为12，方差为1.8，试估计这天生产的款产品的某种指标的总体方差. 【答案】（1）100 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由分层随机抽样的抽样比直接计算即可； （2）由古典概型结合组合数公式即可求解； （3）根据分层抽样总体的方差公式求解即可. 【小问1详解】 由题意可知，该公司一天所生产的产品数为 现采用分层抽样的方法在这一天生产的产品中抽取100个，其中B款产品有30个， 则，解得. 【小问2详解】 设所抽取的样本中有个精品装产品，则，解得， 所以容量为5的样本中，有3个精品装产品，2个普通装产品. 因此从样本中任取2个产品，至少有1个精品装产品的概率为 【小问3详解】 由题意，某项指标总体的平均数为， 所以由分层抽样的总体方差公式可得 . 16. 已知函数在区间上有最大值4和最小值1． （1）求，的值； （2）若存在，使对任意的都成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合二次函数单调性和最值列式求解即可； （2）根据存在性问题结合二次函数最值可得对任意的都成立，结合一次函数性质分析求解. 【小问1详解】 因为，且， 可知的图象开口向上，对称轴为，可知在上单调递增， 则，解得. 【小问2详解】 由（1）得， 因为存在，使对任意的都成立， 由（1）可知：在内单调递增，则， 可得，即对任意的都成立， 可得，解得或， 故实数的取值范围为． 17. 四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． （1）设向量，，，用、、表示向量、； （2）求证：、、 三点共线． 【答案】（1）， （2）因为 ， ， 所以， 所以与共线， 因为这两个向量有公共点， 所以、、三点共线． 【解析】 【分析】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得； （2）借助向量共线定理证明即可得． 【小问1详解】 因为，则， 所以， 又因为，则， 所以 ； 【小问2详解】 略 18. 如图，在长方体中，，.为上一动点，记. （1）求线段的最小值； （2）当取最小值时，求三棱锥的体积； （3）当平面时，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的坐标，以及模长公式，即可根据二次函数的性质求解最值， （2）利用等体积法，由体积公式即可求解， （3）求解平面法向量，即可根据向量垂直求解. 【小问1详解】 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故， 因为， ,故， 则 ， 故当时，取得最小值. 【小问2详解】 取最小值时，，，则， 故 . 【小问3详解】 因为， 则，， 设平面的法向量为， 故且， 取，则， 由于平面时，故，即，解得. 19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点． （1）求证：； （2）求的长； （3）求． 【答案】（1）证明: 法1，结合题图，， 由题，， 则， 所以，即； 法2，以A为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，． 因为为的中点，所以，所以，， 又，所以，即； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）（3）法1，由题图结合数量积运算律，向量模长公式，向量夹角公式可得答案； 法2，由图建立空间直角坐标系，由数量积坐标计算运算律，向量模长坐标公式，向量夹角坐标公式可得答案； 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 法1，，，则，从而 ，则，即的长为； 法2，由（1），，则，所以的长为 【小问3详解】 法1，由于，， 因此，故． ，故． ， 故； 法2，，， 所以，，， 则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淮北市华曜港利高级中学高二年级开学检测 高二数学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案填在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教 A 版必修第一册、必修第二册、选择性必修第一册：空间向量基本知识到向量的运用(到直线与平面的位置关系). 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 3. 若函数在区间单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 在空间直角坐标系中，已知点，，若点与点关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 7. 下列选项中，正确的个数是（ ） ①数据1、3、5、7、9、11、13的第80百分位数为12， ②若且，则，为实数； ③若直线的方向向量，平面的法向量，则 ④若样本数据的方差为2，则的标准差为8 ⑤如果向量与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么一定共线. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，在棱长为2的正方体中是正方形的中心是内（包括边界）的动点，满足则点的轨迹长度是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设、、表示三个不同的平面，、表示两条不同的直线，则下列结论正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，是单位向量，则 B. 若（），则存在唯一的实数，使得 C. 若向量和，满足，，则 D. 若向量，，则在方向上投影的数量是 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是平面的一个法向量 B. 四点共面 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则在方向上的投影向量的坐标为______． 13. 如图，平面，四边形为正方形，E为的中点，F是上一点，当时，＝_______. 14. 已知，则关于的不等式的解集为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 第七届中国国际进口博览会于2024年11月5日至10日在上海举办，某公司生产的、三款产品在博览会上亮相，每一种产品均有普通装和精品装两种款式，该公司每天产量如下表：（单位：个） 产品 产品 产品 普通装 180 400 精品装 300 420 600 现采用分层抽样的方法在某一天生产的所有产品中抽取100个，其中款产品有30个. （1）求的值； （2）用分层抽样的方法在款产品中抽取一个容量为5的样本，从样本中任取2个产品，求其中至少有一个精品装产品的概率； （3）对抽取到的款产品样本中某种指标进行统计，普通装产品的平均数为10，方差为2，精品装产品的平均数为12，方差为1.8，试估计这天生产的款产品的某种指标的总体方差. 16. 已知函数在区间上有最大值4和最小值1． （1）求，的值； （2）若存在，使对任意的都成立，求实数的取值范围． 17. 四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． （1）设向量，，，用、、表示向量、； （2）求证：、、 三点共线． 18. 如图，在长方体中，，.为上一动点，记. （1）求线段的最小值； （2）当取最小值时，求三棱锥的体积； （3）当平面时，求的值. 19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点． （1）求证：； （2）求的长； （3）求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $