第一章空间向量与立体几何单元卷-2026-2027学年高二上学期人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 空间向量与立体几何单元卷，整合河南多地期中试题，覆盖向量表示、线面角等核心知识，梯度设计适配单元复习，培养空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|空间向量表示、内切球、基底条件、投影向量|基础巩固，结合正方体、正八面体情境| |多选题|3题|法向量、方向向量关系|辨析空间位置关系，考查推理意识| |填空题|3题|空间距离、角度计算|简洁设问，强化数学语言表达| |解答题|5题|向量化简、线面平行证明、翻折问题|综合应用，如正四面体向量表示、翻折后距离与夹角，体现空间观念与创新意识|

第一章空间向量与立体几何单元卷（河南专用） 一、单选题 1.(25-26高二下·河南平顶山·期中)如图，在正八面体ABCDEF中，四边形ABFD为平行四边形，G, H分别为AE'BF的中点，设=aAC=方AD=c则G丽=（） B A.影a-+6l B.号a+i-c c.(a+al D.a+副 2.(24-25高二下河南周口期中)记棱长为2的正方体ABCD-A1B,C1D1的内切球为球0，EF是球0 的一条直径，P为该正方体表面上的动点，则PE·PF的最大值为() A.1 B.2 C.3 D.4 3.(25-26高二上河南洛阳·期中)在棱长为4的正方体ABCD-A1B,C1D1中，点M在该正方体表面 上运动，球o为该正方体的内切球，PQ为球o的一条直径，则M亦·M的取值范围是（） A.-4,8 B.0,8 c.0,4 D.4,12 4.(25-26高二上河南信阳期中)下列可使非零向量ā，6，c构成空间的一个基底的条件是() A.a+c=2b B.a.b=b.c=c.a=0 c.la=l6==1 D.a+b+c=0 5.(25-26高二上·河南濮阳·期中)如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥BD,CD⊥BD,AB=1, BD=CD-2,二面角A-BD-C的大小为号，则AC=() 试卷第1页（共3页） A.V5 B. c.V11 D.V13 6.(25-26高二上·河南洛阳·期中)若向量i=3,4,0,=1,-2,2,则m在方向上的投影向量为 () A.5_1010 B. 51010 3’3’3 3’3’-3 C. 51010 D 51010 9’9’9 7.（25-26高二上-河南洛阳期中)已知向量ā=2，-1,36=-3,2，-4则12a+6=（） A.3 B.95 c.25 D.52 8.(25-26高三上-河南期中)在正方体ABCD-A,B,C,D,中，C正=3EC:则BE与平面BDD,B1 所成角的正弦值为（) 3V2 A. 3 5 B. D.22 5 二、多选题 9。(25-26高二上-河南新乡·期中)已知平面。的法向量为a=(2,15》平面g的法向量为6=(m,3,k) 直线1的方向向量为l=(n,2,-10),则下列说法正确的有（) A.若cB,则m+k=21 B.存在n∈R,使得l⊥a C.若la,则n=24 D.若a⊥B,且m=6,则k=3 10.(25-26高二上·河南郑州期中)下列说法正确的是（) A.两条不重合的直线，、1，的方向向量分别是ā=2,3，-1小、6=-4，-6,2则11‖1， B.直线l的方向向量a=0,3,0,平面c的法向量i=0,-1,0,则1‖a C.直线1、1，的方向向量分别为ā=1，-1,21、=6,4，k若1112则k=1 试卷第2页（共3页） D.两个不同的平面a、B的法向量分别是i=2,-2,-1、=-3,-4,2,则Q⊥阝 11.(25-26高二上河南期中)如图，若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为CC1的中点，则 () D A B E D B A.AB与B1C所成的角为2 B.DB1⊥A1B C.AE=3 D.DB,与平面ABCD所成的角为号 三、填空题 12.(25-26高二上河南洛阳·期中)如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的每条棱长均为3，点D满足 AD=2DC,则BD的长等于一 A C B 13.(25-26高二上河南·期中)已知平面C的一个法向量为m=1,1,t,t∈R,点P-2,0,0, Q0,0,-2均在平面c内，则点A-1,-1,2到平面c的距离为 14.(25-26高二上河南郑州期中)已知点0为坐标原点，A4,4,0,B4,4,4,C4,0,4,D0,4,4,点 P在线段CD上移动，则直线AP与直线OB所成角的大小为 四、解答题 15.(25-26高二上·河南期中)如图，在正三棱柱ABC-A1B,C1中，AB=AA1=2,D是AC的中点 试卷第3页（共3页） B D C ①化简A六，-威+B心，并在图中标出化简后的结果所对应的向量： ②冰直+号恋号C 16. (24-25高二上河南驻马店期中)已知空间中三点A(2,-1,1),B(1,1,0),C(4,-3,3).设ā=AB, b=AC. ()求a-2b和2a+: (2)若2ka-b与a+kb互相垂直，求实数k的值， 17.(23-24高二上河南洛阳期中)在棱长为2的正四面体ABCD中，BM=2M元，AN=λAD入∈R M ()设AB=a,AC=b,AD=c,用a,i,c表示MN; 回诺本=子求入 18.(25-26高二下河南许昌·期中)如图，在三棱锥A-BCD中，AD⊥平面BCD,BC⊥CD, AD=BC=CD=4,点P是AD的中点，点Q为线段BC上一动点，点M在线段DQ上 试卷第4页（共3页） B D M (1)若M为DQ的中点，求证：PM/平面ABC: (2)若Q为BC的中点，求直线DQ与平面ABC所成角的正弦值. 19.(25-26高二下·河南平顶山期中)如图，矩形ABCD中，点E,F,M分别在BC,AD,FD上， AB=AF=BE=FM=1,EC=DF=3,将四边形ABEF沿EF翻折至四边形ABEF,使得平面 ABEF⊥平面ECDF D C (1)证明：AM/平面BEC. (2)若存在点Q,使得点Q到A,B,E,M的距离相等， (1)求点Q到平面ABC的距离： (ⅱ)若点P满足PQ=MQ,当PD取得最小值时，求平面PEC与平面BEC夹角的余弦值. 试卷第5页（共3页） 第一章空间向量与立体几何单元卷（河南专用） 一、单选题 1．（25-26高二下·河南平顶山·期中）如图，在正八面体中，四边形为平行四边形，，分别为，的中点，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】为正八面体，四边形为正方形； ； 是的中点，，则， 为的中点，四边形为平行四边形， ， . 2．（24-25高二下·河南周口·期中）记棱长为2的正方体的内切球为球是球O的一条直径，P为该正方体表面上的动点，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据空间向量的加法运算和数量积的运算律求解. 【详解】由题意可得，球O的半径为1． ．当P为正方体顶点时等号成立， 故选：B 3．（25-26高二上·河南洛阳·期中）在棱长为4的正方体中，点在该正方体表面上运动，球为该正方体的内切球，为球的一条直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，，由空间向量的线性运算和数量积运算计算， 再由正方体的性质求得的范围即可求解. 【详解】因为球是棱长为的正方体的内切球，是球的直径， 所以，，， 因为 ， 又因为点是正方体表面上的一个动点， 所以当为正方体顶点时，有最大值为； 当为内切球与正方体的切点时，有最小值为， 即，，所以， 故选：B. 4．（25-26高二上·河南信阳·期中）下列可使非零向量，，构成空间的一个基底的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间基底的定义及空间向量共面定量一一判断即可. 【详解】由空间基底的定义可知只有非零向量不共面时才能构成空间中的一组基底. 对于A：因为，所以非零向量、、共面，故不能作为一组基底，故A错误； 对于B：因为，所以、、， 所以非零向量、、不共面，可构成空间的一组基底，故B正确； 对于C：令、、，满足， 但是，所以、、共面，故不能作为一组基底，故C错误； 对于D：因为，所以，所以、、共面，故不能作为一组基底，故D错误； 故选：B 5．（25-26高二上·河南濮阳·期中）如图，在三棱锥中，，，，，二面角的大小为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量基本运算，用表示出来，平方即得答案. 【详解】， 平方得：， 因为，，所以， 所以， 故 . 故选：C 6．（25-26高二上·河南洛阳·期中）若向量，，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由投影向量的公式进行求解． 【详解】在方向上的投影向量为： ， 故选：D 7．（25-26高二上·河南洛阳·期中）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示，结合空间向量的几何意义计算即可求解. 【详解】由题意知， 所以. 故选：B 8．（25-26高三上·河南·期中）在正方体中，，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出关键平面的法向量，直接用向量的方法计算线面角可得. 【详解】设正方体的棱长为4，以D点为原点， 分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.如图： 则， 由，所以E点是的一个四等分点（靠近点）， 所以，，. 因四边形是正方形，所以. 又因正方体是直棱柱，所以平面，平面，所以. 因为，，， 平面，平面， 所以平面，所以是平面的一个法向量. 所以 . 所以与平面所成角的正弦为. 故选：D. 二、多选题 9．（25-26高二上·河南新乡·期中）已知平面的法向量为，平面的法向量为，直线l的方向向量为，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．存在，使得 C．若，则 D．若，且，则 【答案】AC 【分析】根据平面的法向量和直线的方向向量，逐项进行判断即可. 【详解】若，则，即，解得，，则，故A正确. 若，则，即，因为，所以不存在，使得，故B错误. 若，则，所以，解得，故C正确. 若，则，所以，所以.当时，，故D错误. 故选:AC. 10．（25-26高二上·河南郑州·期中）下列说法正确的是（    ） A．两条不重合的直线的方向向量分别是，则 B．直线的方向向量，平面的法向量，则 C．直线的方向向量分别为，若，则 D．两个不同的平面的法向量分别是，则 【答案】AD 【分析】根据空间向量中方向向量与法向量的平行、垂直关系，结合线线、线面、面面位置关系的判定定理，对每个选项逐一分析判断即可. 【详解】对于选项A，两条不重合的直线的方向向量分别是， 则，所以 ，故A正确； 对于选项B，直线的方向向量， 平面的法向量，则，所以，故B错误； 对于选项C，直线的方向向量分别为， 因为，所以，即，解得，故C错误； 对于选项D，两个不同的平面的法向量分别是， 则，所以，故D正确. 故选：AD 11．（25-26高二上·河南·期中）如图，若正方体的棱长为为的中点，则（    ）    A．与所成的角为 B． C． D．与平面所成的角为 【答案】AB 【分析】利用空间向量法求解. 【详解】以点为原点，以分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，， 所以， 所以， 所以与所成的角为. 易知平面的一个法向量为， 所以，所以AB正确，CD错误. 故选：AB 三、填空题 12．（25-26高二上·河南洛阳·期中）如图，正三棱柱的每条棱长均为3，点满足，则的长等于_____.    【答案】4 【分析】由余弦定理得，再在中求解即可． 【详解】由，得，如下图所示：   ， 在中，由余弦定理得，， 因为平面，而平面，得， 在中，. 故答案为：4 13．（25-26高二上·河南·期中）已知平面的一个法向量为，，点，均在平面内，则点到平面的距离为______. 【答案】 【分析】把点到平面距离问题转化为向量数量积问题求解． 【详解】，因为平面的一个法向量为， 所以，解得， 则，又， 则点到平面的距离为. 故答案为:. 14．（25-26高二上·河南郑州·期中）已知点为坐标原点，，点在线段上移动，则直线与直线所成角的大小为__________. 【答案】 【分析】根据向量的夹角直接计算可得. 【详解】， 因为点在线段上移动，设，, ，， 因为，所以， 所以直线与直线所成角的大小为. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·河南·期中）如图，在正三棱柱中，是的中点.    (1)化简，并在图中标出化简后的结果所对应的向量； (2)求. 【答案】(1)，如图所示 (2) 【分析】（1）利用向量加法的平行四边形法则以及向量的运算法则化简，再根据向量关系在图中标出对应向量， （2）先对向量式子进行变形，再利用正三棱柱的性质和勾股定理求解. 【详解】（1）因为是的中点，所以； 所以；在图中标出，如图所示    （2）取中点，连接，所以； 所以； 因为在正三棱柱中，所以 所以. 16．（24-25高二上·河南驻马店·期中）已知空间中三点，，.设，. (1)求和； (2)若与互相垂直，求实数k的值. 【答案】(1)，2 (2). 【分析】（1）利用空间向量的坐标运算和模的运算，即可求出结果； （2）利用向量的垂直关系等价于数量积为0，再结合空间向量的坐标运算，即可求出结果. 【详解】（1）∵，，，，， ∴，， 于是，， ， . （2）∵， ， 且与互相垂直， ∴， 即， ∴，解得：. 17．（23-24高二上·河南洛阳·期中）在棱长为2的正四面体中，. (1)设用，，表示； (2)若求. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据向量的线性运算法则，结合题意，求得，再由，即可求解； （2）由，得到，结合向量的数量积列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：因为，所以， 则， 所以. （2）解：因为，所以， 在棱长为2的正四面体中，， 所以， 解得. 18．（25-26高二下·河南许昌·期中）如图，在三棱锥中，平面，，，点是的中点，点为线段上一动点，点在线段上. (1)若为的中点，求证：平面； (2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) 连接，因为，分别是，的中点，所以， 又平面，平面，所以平面. 因为平面，，故以点为坐标原点， (2). 【分析】（1）利用中位线定理找平面内与PM平行的直线,再结合线面平行判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，再利用直线方向向量与法向量的夹角和线面角的关系计算. 【详解】（1）略 以，所在直线分别为轴、轴，过点且与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 可得，，. 设平面的法向量为，则， 令，则，，故可取. 则. 因此直线与平面所成角的正弦值为. 19．（25-26高二下·河南平顶山·期中）如图，矩形中，点，，分别在，，上，，，将四边形沿翻折至四边形，使得平面平面.    (1)证明：平面. (2)若存在点，使得点到，，，的距离相等. （ⅰ）求点到平面的距离； （ⅱ）若点满足，当取得最小值时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1) 证明：在矩形中，因为∥，， 所以四边形为正方形， 则，，即，又， 所以平面，则是平面的一个法向量， 同理证得平面，又平面， 所以，即， 又平面，所以∥平面. (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）利用直线方向向量和平面法向量垂直证明线面平行即可； （2）（ⅰ）建立空间直角坐标系，结合方向向量和法向量以及点到平面的距离公式计算距离； （ⅱ）利用空间中线段最短的性质，确定位于线段，再分别求出平面与平面的法向量，利用向量的夹角公式计算二面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）连接，，由（1）知，∥，且平面， 所以平面，则， 因为平面平面，且，平面平面， 所以平面，又平面，则， 在，中，当为的中点时，点到，，，的距离相等.    （ⅰ）由上知，，，两两垂直，以为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， ，. 设平面的法向量为， ，令，则 所以点到平面的距离为. （ⅱ）由可知，点在以为球心，以为半径的球的球面上， 当，，共线，且位于线段上时，取得最小值. 由坐标系可知，， ，所以， 则，又， 设平面的法向量为， ，令，则， 由（1）知是平面的一个法向量，记为， 于是，故平面与平面夹角的余弦值为. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $