第一章空间向量与立体几何单元卷-2026-2027学年高二上学期人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本单元卷聚焦空间向量与立体几何，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，适配人教A版单元复习，强化数学眼光下的空间观念与数学思维的推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|空间向量运算、射影坐标、线线关系|结合正方体等模型，基础辨析| |多选题|3题|基底判断、线面夹角、轨迹问题|多选项设计，考查逻辑推理| |填空题|3题|二面角中距离、向量夹角、共面条件|情境简洁，聚焦核心计算| |解答题|5题|向量表示、线面垂直证明、二面角求解|分层设问，综合应用数学语言表达|

第一章空间向量与立体几何单元卷（人教A版） 一、单选题 1.(26-27高二上·河南郑州开学考试)如图所示，在正方体ABCD-A1B1,C1D1中，下列各式中运算 结果为AC, 的有() D C D B ①AB+BC+CC ②AA1+A1D1+D1C ③AA1+A1B1+B,C1 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.(26-27高二上·云南玉溪·开学考试)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的 交点，若恋=AD=6AA,=2则下列向量中与B,相等的向量是() D A B D B B.-a-6-c 2 c.a-b-2 D.ia+ib-e 3.(25-26高二上·广东湛江·期中)已知A-1,2,3,则点A在Oz平面内(0为坐标原点)的射影坐标 试卷第1页（共3页） 是() A.1,2,3 B.-1,2,0 C.0,2,3 D.-1,0,0 4.(25-26高二上·广东湛江期中)如图，在平行六面体ABCD.ABCD中， AB=AD=4,AA=6,∠BAD=90°，∠BAA=∠DAA=60,则AC与AB的夹角的余弦值为 () D B B A.3 B.719 D.729 26 38 c.723 46 58 5.(25-26高一下.河北承德·期末)在棱长为a的正四面体OABC中，点M在OA上，且OM=3MA,N 为BC中点，则MN为() 3 A. -a B.4 c.V15 4 D.a 6.(26-27高二上·湖南长沙开学考试)如图，平行六面体ABCD-A1BC1D1中，以A为顶点的三条 棱长均为2：且两两之间的夹角都是60：则BD,=（） D C B D A.4 B.23 c.2V6 D.2V2 7.(25-26高一下·福建三明期末)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别为棱C1D1, C,C的中点，则以下四个结论中，正确的有(） 试卷第2页（共3页） D A B D A.直线AM与直线CC1是相交直线 B.直线A1M与直线BN共面 C.直线AM与直线BN平行 D.直线BN与直线MB1垂直 8.(26-27高三上·湖北阶段检测)若正四面体S-ABC的棱AC,SB的中点分别为M,N,则直线SM 与AN所成角的正弦值为() 1 2V2 A.3 c.3 B. 3 D.3 二、多选题 9.（25-26高二上广东湛江·期中)下面四个结论正确的是（) A.若空间向量a方满足|a=6则a=b B.已知a,6,是空间的一组基底，若市=a+2则a,6,m也是空间的一组基底 C.对于空间向量ā、b,“a·b<0”是“a与b的夹角为钝角”的必要不充分条件 D.若三个非零空间向量d、b、C满足a⊥b,c上b,则a∥C 10.(26-27高三上·安徽阶段检测)如图，CF⊥平面ABCD,CD‖AB,CF‖DE, AB=CF=3CD=3DE=3,AD=BC=2,则下列说法正确的是() B A.AE⊥BE B.直线CF与直线AE夹角的余弦值为3 3 C.BD⊥平面ADE 试卷第3页（共3页） 3 D.平面ADE与平面ABE的夹角的正弦值为2 11.(26-27高三上河南许昌·开学考试)在直三棱柱ABC-A1BC1中，AC⊥BC, AA,=AC=BC=2'p为棱AA,的中点，Q是侧面BCC,B,内一点（含边界），PQ=RV6则（） A.AB1⊥BC 2 B.点P到平面ACB,的距离为2 C.直线PB,与平面ACB,所成角的正弦值为3 个 D.点Q的轨迹长度为 三、填空题 12.(25-26高二下广东期末)如图所示，二面角Q-1-β为60°，A,B是棱l上的两点，AC,BD分 别在半平面C,B内，且AC⊥L,BD⊥L,AB=2,AC=3,BD=4,则CD的长 D B 13.（26-27高三·全国一轮复习)已知空间向量ā=(1,1，小6=(-2,2-尺，-6若à，的夹角为纯 角，则实数λ的取值范围为 14.(25-26高二下·广东东莞·期末)己知A,B,C三点不共线，对空间任意一点O,满足 AD=2OA+2-3mOB+mO元若A'B'C'D四点共面，则m= 四、解答题 15.(25-26高二下·江苏扬州期中)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都等于 2,∠BAA1=∠CAA1=60°，M为BC的中点，N为线段A,B,上靠近B,的=等分点. 试卷第4页（共3页） (1)设AA=a,AB=b,AC='试用向量a,6,:表示M: (2)求线段MN的长度 16.(25-26高二下·江苏镇江·期末)如图，在四面体OABC中，OA=OB=2,OC=3. ∠AOB=60°，∠AOC=∠BOC=45°，点E,F分别为OA,BC的中点 B (①)求线段EF的长： ②若OG=OB,Ci-号Ci,求证：E,F,G,H四点共面 17.(25-26高二上广东湛江期中)已知空间中三点A-2,1,3),B1,-2,0,C-1,-1,5. ()求AC (2)求向量AB在向量AC上的投影向量的坐标； (3)若点P(2,-1,m在平面ABC内，求m的值， 18.(26-27高三上·天津红桥·开学考试)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB⊥AD, AD/BC,AD=AP=3.DE=2EP,AB=/3,BC=3 试卷第5页（共3页） B (I)求证：PB/∥平面ACE: 5 (2已知点F在棱PD上，且直线AF与平面ACE所成角的正弦值为4， 求线段AF的长， 19.(2026安徽模拟预测)如图，在四棱锥P-ABCD中，AD=2AB=4,△PAB为正三角形，四边 形ABCD是平行四边形，平面PAB⊥底面ABCD,点Q满足PQ=λPD,其中入∈0,1. (1)当入=三时，证明：PB//平面QAC: (2)若AC⊥AB,且二面角P-AC-Q的正弦值为 3V21 14, 求入的值. 试卷第6页（共3页） 第一章空间向量与立体几何单元卷（人教A版） 一、单选题 1．（26-27高二上·河南郑州·开学考试）如图所示，在正方体 中，下列各式中运算结果为 的有（   ） ①； ②； ③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【详解】对于①：，①正确； 对于②：，②正确； 对于③：，③正确. 所以运算结果为的有个. 2．（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得， . 3．（25-26高二上·广东湛江·期中）已知，则点在Oyz平面内（O为坐标原点）的射影坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】点在Oyz平面上的射影坐标特征是不变，变为0， 所以点在平面上的射影坐标为． 4．（25-26高二上·广东湛江·期中）如图，在平行六面体-中，，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 设，则， ， ． 设与的夹角为， 由 ， ． 5．（25-26高一下·河北承德·期末）在棱长为的正四面体中，点在上，且，为中点，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】选取基底向量将表示为向量的线性组合，再通过对该向量求平方，利用已知向量的数量积即可求解. 【详解】设， 由题意得，， ，， 因为为中点，所以， ， ， 所以.    6．（26-27高二上·湖南长沙·开学考试）如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为，且两两之间的夹角都是，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知，， 又， 则， ， 所以. 7．（25-26高一下·福建三明·期末）如图，在正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论中，正确的有（    ） A．直线与直线是相交直线 B．直线与直线共面 C．直线与直线平行 D．直线与直线垂直 【答案】B 【分析】利用正方体的几何性质，结合空间直线的位置关系（平行、相交、异面）及向量法逐一判断各选项的真假. 【详解】对于A，直线在平面内，点在平面内但不在直线上，点不在平面内， 所以直线与是异面直线，故A错误； 对于B，连接，因为分别为棱的中点， 所以在中，为中位线， 所以. 又因为在正方体中，， 所以。 所以四点共面， 即直线与共面，故B正确； 对于C，取的中点，连接。 因为为的中点，为的中点， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以。 若，则， 但，且不重合，这与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾， 所以与不平行，故C错误； 对于D，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为，则， 。 ， 所以直线与不垂直，故D错误. 8．（26-27高三上·湖北·阶段检测）若正四面体的棱，的中点分别为，，则直线与所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取为基底，不妨设，用基底表示出，，最后利用空间向量的数量积求得到直线与所成角的正弦值. 【详解】取为基底，不妨设，则由题意知， ，， 又，， 所以， 设直线与所成角为（）， 则， 直线与所成角的正弦值为. 二、多选题 9．（25-26高二上·广东湛江·期中）下面四个结论正确的是（    ） A．若空间向量、满足，则 B．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 C．对于空间向量、，“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件 D．若三个非零空间向量、、满足，，则 【答案】BC 【分析】对于A，根据向量相等的概念判定即可；对于B，根据空间基底不共面判断即可；对于C，、反向共线时也成立，结合充分条件与必要条件的概念判断即可；对于D，根据空间向量的位置关系判定即可. 【详解】对于A：方向相同、长度相等的两个向量才是相等向量，A明显错误； 对于B：已知是空间的一组基底， 若，不妨设，即，于是得出、、共面， 这与是空间的一组基底矛盾，故假设不成立，则可以作为基底； 则也是空间的一组基底，故B正确； 对于C：当、反向共线时也成立，但与夹角不为钝角； 但与夹角为钝角时一定成立，故C正确： 对于D：由于空间中垂直于同一直线的两直线（及其方向向量）可以不平行，所以D错误． 10．（26-27高三上·安徽·阶段检测）如图，平面，，，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．直线与直线夹角的余弦值为 C．平面 D．平面与平面的夹角的正弦值为 【答案】ABD 【分析】先建立空间直角坐标系，列出各个向量的坐标，根据向量夹角公式、数量积公式逐项计算即可. 【详解】由题意可知平面为等腰梯形，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，有，， 所以，即，故A正确； 因为，所以，故B正确； 因为，，设平面的一个法向量为， 则，则，显然与之不共线，故C错误； 设平面的一个法向量为，则， 令，则，令，，所以， 则平面与平面的夹角的正弦值为，故D正确. 11．（26-27高三上·河南许昌·开学考试）在直三棱柱中，，，为棱的中点，是侧面内一点（含边界），，则（   ） A． B．点到平面的距离为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．点的轨迹长度为 【答案】ABD 【分析】利用空间直角坐标系，将几何条件转化为坐标运算.通过向量数量积判断异面直线垂直，借助平面法向量求解点到平面距离、直线与平面所成角；把动点Q约束在侧面上，将空间距离条件转化为平面圆方程，结合侧面边界确定圆弧轨迹并计算弧长. 【详解】以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 由题得各点坐标： ，是的中点，故. 对于选项，向量，，故 . 因此，即，正确. 对于选项，， 设平面的一个法向量，则 解得，令，则. 因为 ，所以点到平面的距离为，正确. 对于选项，向量，设直线与平面所成角为， 则，错误. 对于选项，侧面内的点满足.设，由得： ，化简得. 该圆半径为，在矩形（）内的部分是圆心角为的圆弧， 所以轨迹长度为，正确. 三、填空题 12．（25-26高二下·广东·期末）如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且，，，，，则的长______. 【答案】 【分析】利用空间向量加法法则将表示为，通过两边平方结合向量数量积的定义及运算律求解. 【详解】因为，，所以，， 又因为二面角为，，，且，， 所以向量与的夹角为，则向量与的夹角为. 由向量加法法则可得， 所以， 即. 13．（26-27高三·全国·一轮复习）已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为________． 【答案】 【详解】因为，，且的夹角为钝角， 所以且与不共线， 由，则解得， 当与共线时，，则，解得， 综上可得实数λ的取值范围为． 14．（25-26高二下·广东东莞·期末）已知，，三点不共线，对空间任意一点，满足.若，，，四点共面，则_________ 【答案】 【分析】利用空间四点共面的向量充要条件，对已知向量等式变形后列方程求解参数m. 【详解】根据向量线性运算的三角形法则，， 则，即， 因为，，，四点共面，所以，解得. 四、解答题 15．（25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的加减运算求解即可； （2）根据空间向量的数量积的运算律及数量积的定义运算求解， 【详解】（1） . （2）依题意，， 则 . 16．（25-26高二下·江苏镇江·期末）如图，在四面体中，，，，，点，分别为，的中点. (1)求线段的长； (2)若，，求证：，，，四点共面. 【答案】(1) (2)由题意知，， 因为，所以， 所以，， ， 不妨设， 即，解得.即 ， 根据共面向量定理，共面，即四点共面. 【分析】（1）将作为基底， 用基底表示，然后利用数量积的运算律求出模长即可. （2）由共面向量定理证明即可. 【详解】（1）设，且，分别为，的中点. 所以. 则 ， 所以. （2）略 17．（25-26高二上·广东湛江·期中）已知空间中三点． (1)求； (2)求向量在向量上的投影向量的坐标； (3)若点在平面内，求的值． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）利用向量的模的公式计算即得； （2）利用投影向量的计算公式结合向量数量积的坐标运算即得； （3）利用共面向量基本定理和向量坐标运算，结合题意列出方程组，求解即得. 【详解】（1）由可得， 故； （2）易得，又， 且， 则向量在向量上的投影向量为； （3）因为点在平面上，故存在，使得， 即， 又因，对照可得， 解得．故． 18．（26-27高三上·天津红桥·开学考试）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，． (1)求证：平面； (2)已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】(1)连接，交于点，连接， 因为，，， 所以，则， 又因为，所以，所以， 又因为平面，而平面，所以平面． (2) 【分析】（1）连接，交于点，连接，由相似比与已知比例得，进而根据线面平行的判定即可证明； （2）先依题意建立空间直角坐标系，设，，从而得到， 再求出平面的一个法向量，再根据线面所成角的正弦值等于该直线方向向量与平面法向量夹角的余弦的绝对值求出的值，进而即可求得长度． 【详解】（1）略 （2）依题意可得，，两两垂直， 则以为原点，，，所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 由，，，且， 则，，，，， 则，， 设，，得，， 设是平面的一个法向量， 则， 令，则，，所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 整理得，解得，或（舍去）， 所以，，所以线段的长为． 19．（2026·安徽·模拟预测）如图，在四棱锥中，，为正三角形，四边形是平行四边形，平面底面，点满足，其中． (1)当时，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求的值． 【答案】(1) 连接交于点，连接，当时，点为中点，又是平行四边形，故点为中点，所以，平面，平面， 所以平面 (2)或 【分析】 (1)    连接交于点，连接，利用中位线证明即可； (2)    建立空间直角坐标系求解. 【详解】（1）略. （2）取中点，中点，连接，因为为正三角形， 所以，平面平面，平面平面， 平面，所以平面，又平面，所以， 因为，，所以，故两两垂直， 如下图以为轴建立空间直角坐标系， 因为，所以， 所以,,,， 因为，所以， ，，， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，故， 设平面的法向量为，则， 即， 令，则，故， 设二面角的平面角为，则，， 故， 解得或. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $