第一章空间向量与立体几何单元卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

章末验收评价（一）  空间向量与立体几何

(时间:120分钟　满分:150分)

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)

1.已知平面α和平面β的一个法向量分别为m=(3,1,-5),n=(-6,-2,10),则 (　　)

A.α⊥β　　　　　 　　　 　B.α∥β

C.α与β相交但不垂直 　D.以上都不对

2.在三棱锥A ⁃BCD中,AB=AC=AD=2,∠BAD=90°,∠BAC=60°,则·等于 (　　)

A.-2 B.2

C.-2 D.2

3.已知a=3m-2n-4p≠0,b=(x+1)m+8n+2yp,且m,n,p不共面,若a∥b,则 (　　)

A.x=-13,y=8 B.x=-13,y=5

C.x=7,y=5 D.x=7,y=8

4.已知在正四棱柱ABCD ⁃A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于 (　　)

A. B.

C. D.

5.如图,已知正方形ABCD和正方形ADEF的边长均为6,且它们所在的平面互相垂直,O是BE的中点,=,则线段OM的长为      (　　)

A.3 B.

C.2 D.

6.如图,已知长方体ABCD ⁃A1B1C1D1中,A1A=5,AB=12,则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是 (　　)

A.5 B.8

C. D.

 

7.在正四棱柱ABCD ⁃A1B1C1D1中,AA1=4,AB=BC=2,动点P,Q分别在线段C1D,AC上,则线段PQ长度的最小值是              (　　)

A. B.

C. D.

 

8.如图,在四棱锥P ⁃ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=AD=PD=1,BC=2,PD⊥平面ABCD,则二面角A ⁃PB ⁃C的大小为(　　)

 

A.30° B.60°

C.120° D.150°

二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分)

9.已知空间向量a=(-2,-1,1),b=(3,4,5),则下列结论正确的是 (　　)

A.(2a+b)∥a

B.5|a|=|b|

C.a⊥(5a+6b)

D.a在b上的投影向量为

10.如图,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E,F分别为AB,A1D1的中点,则下列结论正确的是 (　　)

A.BF⊥CE

B.DF∥平面B1CE

C.BF⊥平面B1CE

D.直线DF与直线CE所成角的余弦值为

 

11.在直三棱柱ABC⁃A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=2,E,F分别是BC,A1C1的中点,D在线段B1C1上,则下列说法正确的有    (　　)

A.EF∥平面AA1B1B

B.直线EF与平面ABC所成角的正弦值为

C.若D是B1C1的中点,M是B1A1的中点,则点F到平面BDM的距离是

D.直线BD与直线EF所成的角最小时,线段BD的长为

三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)

12.在平面直角坐标系中,点A(-1,2)关于x轴的对称点为A'(-1,-2),则在空间直角坐标系中,B(-1,2,3)关于x轴的对称点B'的坐标为　 　　　　　,若点C(1,-1,2)关于平面Oxy的对称点为点C',则|B'C'|=　　　　. 

13.如图,在长方体ABCD ⁃A1B1C1D1中,AD=AA1=2,AB=3,若E为AB中点,则点B1到平面D1EC的距离为　　　　. 

14.如图,在三棱锥S ⁃ABC中,SA=SB=SC,且∠ASB=∠BSC=∠CSA=,M,N分别是AB,SC的中点,则异面直线SM与BN所成角的余弦值为　　　　,直线SM与平面SAC所成角的大小为　　　　. 

四、解答题(本大题共5小题,共77分)

15.(13分)如图,PD垂直于正方形ABCD所在的平面,AB=2,E是PB的中点,cos<,>=.

(1)建立适当的空间直角坐标系,求出点E的坐标;

(2)在平面PAD内求一点F,使EF⊥平面PCB.

 

 

 

 

 

 

 

16.(15分)如图,在长方体ABCD ⁃A1B1C1D1中,点E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1.

(1)求证:点C1在平面AEF内;

(2)若AB=2,AD=1,AA1=3,求二面角A ⁃EF ⁃A1的正弦值.

 

 

 

 

 

 

17.(15分)如图1,在边长为5的菱形ABCD中,AC=8,现沿对角线BD把△ABD折起,折起后(如图2)使∠ADC的余弦值为.

(1)求证:平面ABD⊥平面CBD;