第一章 空间向量与立体几何（二） 同步单元测试（培优卷）- 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本试卷为高中数学空间向量与立体几何（二）同步培优单元卷，聚焦用空间向量研究位置关系、距离及夹角问题，通过真实情境与创新设计，考查数学眼光、思维与语言，适配单元复习提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|方向向量、法向量、位置关系判断（如第2题面面垂直求参数）|结合公园长椅（第7题）等真实情境，设置新定义向量运算（第8题）考查创新思维| |填空题|3题/15分|平面交线方向向量（第12题）、点到平面距离（第13题）|融入动态几何（第14题四棱锥内动点二面角），体现空间观念| |解答题|5题/77分|折叠问题（第16题）、线面平行与二面角（第17题）、多面体动点探究（第18题）|综合考查逻辑推理与模型构建，如第19题结合空间直角坐标系深化运算能力|

人教A版选择性必修第一册同步章末检测 高二数学备课组 第一章　空间向量与立体几何（二） 同步单元测试（培优卷） 考试范围： 用空间向量研究直线、平面的位置关系 用空间向量研究距离、 夹角问题 时间：120分钟　满分：150分 班级：__________ 学号：__________ 姓名：__________ 分数：__________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（24-25高二上·广东·期末）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若直线、所成的角等于，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）已知平面，的法向量分别为，，若，则k=（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·北京丰台·期中）已知平面，其中点，向量，则下列各点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）直线的方向向量为，平面的法向量分别为，则下列选项正确的是（    ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若，则 D．若 ，则 5．（25-26高二上·山东青岛·期中）已知二面角的大小为，为棱上不同两点，分别在半平面内，均垂直于棱，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·山西长治·阶段检测）已知，，，，，则直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·湖南·阶段检测）为体现市民参与城市建设、共建共享公园城市的热情，同时搭建城市共建共享平台，彰显城市的发展温度，某市在中心公园开放长椅赠送点位，接受市民赠送的休闲长椅.其中观景草坪上一架长椅因其造型简单别致，颇受人们喜欢（如图1）.已知和是圆的两条互相垂直的直径，将平面沿翻折至平面，使得平面平面（如图2）此时直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·福建厦门·期中）已知一对不共线的向量的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量垂直（如图1所示）.在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的个数是（    ） ①； ②当时，； ③若，则； ④平行六面体的体积. A．1 B．2 C．3 D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高二上·云南·期中）已知，，，，则（   ） A． B．直线AB的一个方向向量为 C．四点共面 D．点到直线的距离为 10．（25-26高二上·陕西宝鸡·阶段检测）如图是常见的一种灭火器消防箱，抽象成数学模型为如图所示的六面体，其中四边形和为直角梯形，为直角顶点，其他四个面均为矩形，，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，且平面，则 D．平面与平面所成锐二面角的余弦值为 11．（24-25高二上·重庆沙坪坝·期中）已知正三棱柱，各棱长均为4，且点E为棱上一动点（包含棱的端点），则下列结论正确的是（      ） A．该三棱柱既有外接球，又有内切球 B．三棱锥的体积是 C．直线与直线恒不垂直 D．直线与平面所成角的正弦值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．（25-26高二下·上海·期末）空间直角坐标系中，两平面α与β分别以（2，1，1）与（0，2，1）为其法向量，若α∩β＝l，则直线l的一个方向向量为_____．（写出一个方向向量的坐标） 13．（24-25高二上·湖北宜昌·期中）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，，P为棱AD的中点，且，，若点M到平面SBC的距离为，则实数的值为____________． 14．（25-26高二上·河南·期中）如图，在四棱锥中，已知平面，，，，已知是四边形内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的最大值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）（25-26高二上·四川遂宁·期中）如图，在长方体中，，为棱的中点，为棱的中点. (1)证明，并求点到直线的距离； (2)求点到平面的距离和三棱锥的体积. 16．（15分）（24-25高二上·福建·期末）如图1，在△MBC中，，A，D分别为棱BM，MC的中点，将△MAD沿AD折起到△PAD的位置，使，如图2，连结PB，PC，BD． (1)求证：平面PAD⊥平面ABCD； (2)若E为PC中点，求直线DE与平面PBD所成角的正弦值． 17．（15分）（24-25高二上·河北·期中）已知四棱柱的底面是边长为2的菱形，且，平面，，设为的中点． (1)求证：平面； (2)点在线段上，且平面，求平面和平面所成锐二面角的余弦值． 18．（17分）（25-26高二上·北京·期末）如图，在多面体中，侧面为菱形，侧面为直角梯形，，，为的中点，点为线段上一动点，且，，. (1)若点为线段的中点，证明：平面； (2)若平面平面，且，在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19．（17分）（25-26高二上·河南·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知向量（其中a、b、c不同时为0），点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准方程可表示为 ；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，将其整理为一般式方程为，其中. (1)已知直线的方程为，直线的方程为，求直线与所成角的余弦值； (2)若直线与直线都在平面内，求平面的一般方程； (3)已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点 ，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求实数m的值. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版选择性必修第一册同步章末检测 高二数学备课组 第一章　空间向量与立体几何（二） 同步单元测试（培优卷） 考试范围： 用空间向量研究直线、平面的位置关系 用空间向量研究距离、 夹角问题 时间：120分钟　满分：150分 班级：__________ 学号：__________ 姓名：__________ 分数：__________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（24-25高二上·广东·期末）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若直线、所成的角等于，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量法可得出关于的等式，解之即可. 【详解】由题意可得，解得. 故选：B. 2．（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）已知平面，的法向量分别为，，若，则k=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据法向量定义，把平面平行转化为法向量共线，即可求解. 【详解】根据题意那么它们的法向量，是共线向量， 于是，即解之可得. 故选：D. 3．（24-25高二上·北京丰台·期中）已知平面，其中点，向量，则下列各点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，对选项逐一求出，再判断是否为即可. 【详解】因为， 对于A，，故，即，故选项A中的点在平面内，故A正确； 对于B，，故，即不互相垂直，故选项B中的点不在平面内，故B错误； 对于C，，故，即不互相垂直，故选项C中的点不在平面内，故C错误； 对于D，，故，即不互相垂直，故选项D中的点不在平面内，故D错误. 故选：A. 4．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）直线的方向向量为，平面的法向量分别为，则下列选项正确的是（    ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若，则 D．若 ，则 【答案】B 【分析】通过分析不同位置情况下的向量的乘积，即可得出结论. 【详解】由题意， 选项A，若 ，共线，，A错误； 选项B，若 ，垂直，则，B正确； 选项C，若，共线，，C错误； 选项D，若 ，共线，，D错误. 5．（25-26高二上·山东青岛·期中）已知二面角的大小为，为棱上不同两点，分别在半平面内，均垂直于棱，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在平面内作，且，得，（或其补角）是异面直线与所成角．在中求解即可得． 【详解】如图，在平面内作，且，连接，则是平行四边形，所以，，（或其补角）是异面直线与所成角． 因为，所以，又，所以是二面角的平面角，即，，所以， 又，所以平面，平面，所以，由得，所以．． 故选：B． 【点睛】方法点睛：本题考查求异面直线所成的角，解题关键是作出异面直线所成的角．作平行线构造三角形，得出异面直线所成的角（并证明）．然后计算． 6．（25-26高二上·山西长治·阶段检测）已知，，，，，则直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先证明平面，直线到平面的距离可转化为点到平面的距离，利用点到平面的距离公式计算即可. 【详解】，，，， 显然，所以， 而平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离． 设平面的法向量为，则,令，得， 所以点到平面的距离为， 所以直线到平面的距离是． 故选：D 7．（25-26高二上·湖南·阶段检测）为体现市民参与城市建设、共建共享公园城市的热情，同时搭建城市共建共享平台，彰显城市的发展温度，某市在中心公园开放长椅赠送点位，接受市民赠送的休闲长椅.其中观景草坪上一架长椅因其造型简单别致，颇受人们喜欢（如图1）.已知和是圆的两条互相垂直的直径，将平面沿翻折至平面，使得平面平面（如图2）此时直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦值. 【详解】依题意，，而平面平面，平面平面， 又平面平面，则平面，， 因此直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 令圆半径，则， ，设平面的一个法向量， 则，令，得，设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：B 8．（24-25高二上·福建厦门·期中）已知一对不共线的向量的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量垂直（如图1所示）.在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的个数是（    ） ①； ②当时，； ③若，则； ④平行六面体的体积. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】①.根据三角形的面积公式，结合新定义公式，即可判断；②.结合新定义和数量积公式，即可判断；③.根据条件求，即可判断；④.根据新定义和数量积的几何意义，即可判断. 【分析】对于①，，而， 故，故①正确； 对于②，， 当时，有意义， 则，故②正确； 对于③，因为，， 所以，可得，故③错误； 对于④，的模长即为平行六面体底面的面积，且方向垂直于底面， 由数量积的几何意义可知，就是在垂直于底面的方向上的投影向量的模长（即为平行六面体的高）乘以底面的面积， 即为平行六面体的体积，故④正确. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高二上·云南·期中）已知，，，，则（   ） A． B．直线AB的一个方向向量为 C．四点共面 D．点到直线的距离为 【答案】ACD 【分析】用空间点的距离公式求得向量的模长，直线上两点的得到向量即为直线的一个方向向量；向量共线即可判断点共面；直线上一点和直线外的点组成的向量的模长即该向量在直线上的投影与该点到直线的距离满足勾股定理，由此算出点到直线的距离. 【详解】，A正确； ，B错误； 由题意得，则，所以四点共面，C正确； ，， ，则点到直线的距离为，D正确. 故选：ACD. 10．（25-26高二上·陕西宝鸡·阶段检测）如图是常见的一种灭火器消防箱，抽象成数学模型为如图所示的六面体，其中四边形和为直角梯形，为直角顶点，其他四个面均为矩形，，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，且平面，则 D．平面与平面所成锐二面角的余弦值为 【答案】ACD 【分析】以点为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求解判断各选项. 【详解】由题意可知两两垂直，如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，，，，，． 列表解析 ： 选项 正误 原因 A √ ，又，故 B × ，，则，所以不垂直． C √ ，，则 ．而，，设为平面FGD的法向量，则则可取．若平面，则与平面的法向量垂直，所以，即，解得． D √ 易得为平面的一个法向量，又为平面的一个法向量，则，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 故选：ACD. 11．（24-25高二上·重庆沙坪坝·期中）已知正三棱柱，各棱长均为4，且点E为棱上一动点（包含棱的端点），则下列结论正确的是（      ） A．该三棱柱既有外接球，又有内切球 B．三棱锥的体积是 C．直线与直线恒不垂直 D．直线与平面所成角的正弦值范围是 【答案】BD 【分析】根据外接球、内切球、锥体体积、线线垂直、线面角等知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】A选项，设等边三角形的内切圆半径为， 则， ，所以该三棱柱没有内切球，A选项错误. B选项，设是的中点，则，， 根据正三棱柱的性质可知，， 由于平面，所以平面， 所以，B选项正确. 以为空间直角坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示， 则，设， ， ，所以当在的中点时，直线与直线垂直，C选项错误. ，， 设平面的法向量为， 则，故可设， 设直线与平面所成角为， 则， ， ， 即， 所以直线与平面所成角的正弦值范围是，D选项正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．（25-26高二下·上海·期末）空间直角坐标系中，两平面α与β分别以（2，1，1）与（0，2，1）为其法向量，若α∩β＝l，则直线l的一个方向向量为_____．（写出一个方向向量的坐标） 【答案】.（答案不唯一） 【分析】设直线l的一个方向向量为，根据，列式可得答案. 【详解】设直线l的一个方向向量为， 依题意可知 ，所以， 令，则，， 所以. 故答案为：.（答案不唯一） 13．（24-25高二上·湖北宜昌·期中）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，，P为棱AD的中点，且，，若点M到平面SBC的距离为，则实数的值为____________． 【答案】 【分析】建立合适的空间直角坐标系，写出相关点坐标，得到，，利用求出，再利用点到平面距离公式， 代入相关向量坐标，解出即可. 【详解】过点作，交于点，，为中点， ，又，且，平面， 平面，平面，则， 则易得两两垂直，所以以为原点，所在直线分别建立轴，如图所示： 则点,又知，，为中点，则， 故，，，， ，,， 又 ，， 设平面法向量为，则，且 有，令，则， 到平面的距离， ，化简得，故 故答案为：. 14．（25-26高二上·河南·期中）如图，在四棱锥中，已知平面，，，，已知是四边形内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的最大值是______． 【答案】4 【分析】首先的轨迹是过点的一条线段，再构建合适的空间直角坐标系，延长交于点，设，标出相关点坐标，求出平面、平面的法向量，结合二面角的大小及面面角的向量求法列方程求参数，进而确定面积最大值. 【详解】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图． 因为二面角的平面角大小为，所以的轨迹是过点的一条直线， 又因为是四边形内部一点（包括边界），所以的轨迹是过点的一条线段． 延长交于点，设， 由题意得，，，， 所以，，． 因为平面，所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则，令，则． 因为二面角的平面角大小为， 所以，解得， 所以当在线段上时，面积最大，最大值为． 故答案为：4 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）（25-26高二上·四川遂宁·期中）如图，在长方体中，，为棱的中点，为棱的中点. (1)证明，并求点到直线的距离； (2)求点到平面的距离和三棱锥的体积. 【答案】(1) 以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，. 由上可知，，，故，故. 点到直线的距离为 (2)， 【分析】（1）建系，通过，可得，再由点到直线的距离公式求解点到直线的距离； （2）由点到面的距离公式求解，再由等体积法求体积. 【详解】（1）证明略. ，设点到直线的距离为， 又，，， ， 则点到直线的距离为. （2）设平面的法向量为，由（1）可知，，， 则即, 令，则，所以. 设点到平面的距离为， ， 则点到平面的距离为. 又， 即三棱锥的体积为 16．（15分）（24-25高二上·福建·期末）如图1，在△MBC中，，A，D分别为棱BM，MC的中点，将△MAD沿AD折起到△PAD的位置，使，如图2，连结PB，PC，BD． (1)求证：平面PAD⊥平面ABCD； (2)若E为PC中点，求直线DE与平面PBD所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】(1)推导出，，利用线面垂直的判定定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理即可证明； (2)以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，利用向量法即可求出直线DE与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）由题意知，因为点A、D分别为MB、MC中点，所以， 又，所以，所以. 因为，所以，又， 所以平面，又平面，所以平面 平面； （2）因为，，，所以两两垂直， 以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系， ， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以，设直线DE与平面所成角为， 则， 所以直线DE与平面所成角的正弦值为. 17．（15分）（24-25高二上·河北·期中）已知四棱柱的底面是边长为2的菱形，且，平面，，设为的中点． (1)求证：平面； (2)点在线段上，且平面，求平面和平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由直棱柱、菱形的性质可得、，再根据线面垂直的判定和性质有，等腰三角形性质得，最后由线面垂直的判定证结论； （2）取中点，易证两两垂直，构建空间直角坐标系，求面、面的法向量，利用向量夹角的坐标表示求二面角的余弦值. 【详解】（1）因为四棱柱为直四棱柱且底面为菱形、，易知：， 由面，面，则， 又，面，则面， 而面，故, 又中，故为等腰直角三角形， 所以， 由,面，则平面. （2）取中点，由底面为菱形、，则，从而， 以D为原点，以为坐标轴，建立如图所示的坐标系， 此时,， 设，易知面的法向量为， 由平面 ， 故，故， 设面的法向量为，而， 由，取，故， 设平面和平面所成锐角为，则， 即平面和平面所成锐角的余弦值为. 18．（17分）（25-26高二上·北京·期末）如图，在多面体中，侧面为菱形，侧面为直角梯形，，，为的中点，点为线段上一动点，且，，. (1)若点为线段的中点，证明：平面； (2)若平面平面，且，在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)取中点，连接，， 因为分别为中点，所以且， 因为四边形为菱形，为中点， 所以且， 所以且，则四边形为平行四边形， 所以，又侧面为直角梯形，，，且为的中点， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以，因为平面，平面， 所以平面. (2)存在，，理由如下： 取中点，连接， 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面， 因为平面，平面， 所以，， 因为，四边形为菱形， 所以三角形为等边三角形， 因为为中点， 所以，， 所以两两垂直， 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设，则，， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 所以， 设直线与平面所成角为，则，又，所以， 所以， 所以， 所以线段上存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为， 此时. 【分析】（1）取中点，连接，，根据中位线和平行四边形的性质得到，再证明，从而得到，然后根据线面平行的判定定理证明； （2）建系，然后利用空间向量的方法列方程，解方程即可. 【详解】（1）略 （2）略 19．（17分）（25-26高二上·河南·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知向量（其中a、b、c不同时为0），点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准方程可表示为 ；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，将其整理为一般式方程为，其中. (1)已知直线的方程为，直线的方程为，求直线与所成角的余弦值； (2)若直线与直线都在平面内，求平面的一般方程； (3)已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点 ，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求实数m的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由直线的方程，得到直线的一个方向向量，由直线的方程，得到的一个方向向量，再利用夹角公式求解. （2）先求得平面的一个法向量，再根据直线过点，写出平面的方程. （3）先求得平面的法向量，易知平面的一个法向量为，再求得平面与平面的交线（即直线）的方向向量，由平面可知平面的一个法向量为，然后根据，由求解. 【详解】（1）由直线的方程为， 可知直线的一个方向向量坐标为， 由直线的方程为， 可知的一个方向向量为， 设直线与所成角为， 所以， 即直线与所成角的余弦值为. （2）由题意可知，直线的一个方向向量为， 直线的一个方向向量为， 设平面的法向量为，则， 解得，取，则， 易知直线过点，所以，平面的方程为. 即. （3）因平面经过三点，可得， 设侧面所在平面的法向量为， 则，取， 由平面可知平面的一个法向量为， 设平面与平面的交线（即直线）的方向向量为， 则，取， 由平面可知平面的一个法向量为， 由，则，解得. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $