15.1 轴对称图形-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（沪科版·新教材）

78 第15章轴对称图形与等腰三角形 15.1轴对称图形 第1课时 轴对称图形 01基础达标 6.剪纸是我国传统的民间艺术.将一张纸片按图 中①，②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③ 知识点一 轴对称图形 中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺 1.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块 平，所得图案应该是 字中有些也具有对称性.下列汉字是轴对称图 形的是 爱我 中华 A B D 2.下面四幅图是摄影爱好者抢拍的一组照片.从 A B 对称美的角度看，拍得最成功的是 7.小莹和小博下棋，小莹执圆子， 小博执方子.如图，棋盘中心方 子的位置用（一1,0）表示，右下 角方子的位置用(0，一1)表示 B 小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成 知识点二对称轴的确定 一个轴对称图形.她放的位置是 3.在下列轴对称图形中，对称轴的条数最少的图 8.下列一组图形依次是：正三角形、正方形、正五 形是 边形、正六边形…观察每个图形的对称轴条数 A.圆 B.等边三角形 的变化规律，你猜正十边形的对称轴有 C.正方形 D.正六边形 条，圆的对称轴有 条 4.观察如图所示的图案，它们都是轴对称图形， 它们各有几条对称轴？在图中画出所有的对 △口 仚O … 称轴。 9.如图，由4个大小相等的正方形组成的L形 图案。 3 (1)请你改变1个正方形的位置，使它变成轴 (1) (2) 3) 4 对称图形 02能力提升 (2)请你再添加1个小正方形，使它变成轴对 称图形. 5.下列图形：是轴对称图形且有两条对称轴的是 ② ③ A.①② B.②③ C.②④ D.③④ 19 第2课时 轴对称的性质及作轴对称图形 01 基础达标 知识点一 轴对称及其性质 1.下列各组图案中，右边的图形与左边的图形成 轴对称的是 第5题图 第6题图 0④O)O003 6.如图，直线1是线段AB的垂直平分线，已知 A C 0 AB=12cm,则OA= cm. 知识点二轴对称作图 2.视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式， 7.图中给出了线段AB及直线1.已知AB与l交 下面每种组合中的两个字母“E”不能关于某条 于点C,请你作出线段AB关于直线1的轴对 直线成轴对称的是 称图形.（只作图，不写作法） 3.如图的两个“M”是关于直线l成轴对称的两个 图案，则与∠1对应的角为 02能力提升 A.∠2 B.∠5 C.∠4 D.∠6 8.将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出 “B”,再把它铺平，你可见到 ( BB B A B 第3题图 第4题图 Ba 4.(河北中考)如图，△ABC和△A'B'C'关于直 D 线！对称，下列结论中正确的有 9.如图的方格纸中，左边图形到右边图形的变换 (1)△ABC≌△A'B'C 是 ( (2)∠BAC=∠B'A'C A.向右平移7格 (3)直线l垂直平分CC B.以AB的垂直平 (4)直线BC和BC的交点不一定在直线L上 分线为对称轴作 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 轴对称变换，再 以AB为对称轴作轴对称变换 5.如图，△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称， C.绕AB的中点旋转180°，再以AB为对称轴 其中A、A'是一组对称点，若AA'=5cm,则 作轴对称 AA'MN,A'D= cm. D.以AB为对称轴作轴对称，再向右平移7格 80 10.如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球14.请在下列三个2×2的方格中，各画出一个三 直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证 角形，要求所画三角形与图中三角形成轴对 ∠1的度数为 ( 称，且所画的三角形顶点与方格中的小正方 A.30 B.45° C.60° D.75 形顶点重合，并将所画三角形涂上阴影. (注：所画的三个图形不能重复) 图① 图② 图③ 第10题图 第11题图 11.如图，已知△ABC的周长是15，点F,G分别 03思维拓展 是AC,BC上的点，将△CFG沿着直线FG15.如图，△ABC和△A'B'C'关于直线MN对 折叠，点C落在点C'处，且点C在三角形的 称，△A'B'C'和△A"BC"关于直线EF对称. 外部，则阴影部分图形的周长是 (1)画出直线EF; 12.小强站在镜前，从镜子中看到镜 (2)直线MN与EF相交于点O,试探究直线 子对面墙上挂着的电子表，其读 1501 MN,EF所夹锐角a与∠BOB"的数量关系. 数如图所示，则电子表的实际时 刻是 13.如图，P是∠AOB内的一点，分别画出P关 于OA,OB的对称点P1、P2,连接P1、P2交 OA于M,交OB于N,若P1P2=5cm,则 △PMN的周长为多少？ 81 第3课时 平面直角坐标系中的对称 01 基础达标 (2)在图中作出△ABC关于x轴对称的图形 △DEF,并写出D,E,F的坐标 知识点一 关于坐标轴对称的点的坐标特征 1.在平面直角坐标系中，点P(3,1)关于x轴对 称的点的坐标是 A.(3,1) B.(3,-1) 34 C.(-3,1) D.(-3,-1)》 2.若点A(一4，m-3),B(2n,1)关于x轴对称， 则 A.m=2,n=0 6.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三 B.m=2,n=-2 个顶点分别落在边长为1的正方形格上， C.m=4,n=2 (1)分别写出A、B、C三点坐标； D.m=4,n=-2 (2)△DEF可以看作是△ABC经过若干次的 3.将图形S上所有点的横坐标都乘以一1，纵坐 图形变化（轴对称、平移）得到的，写出一种由 标不变，得到图形T,则图形S与图形T △ABC得到△DEF的过程，并体现在坐标系中. A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线x=一1对称 4.如图，在△ABC中，点B的坐标为(3,1)，点C 的坐标为(4,3).回答下列问题： (1)点B关于x轴对称的点的坐标为 (2)作出△ABC关于AB所在直线对称的三角形， 易错点不能确定点P(a,b)关于直线x=m或 直线y=n的对称点 7.P(2,4)关于直线x=1对称的点的坐标为 02能力提升 8.在平面直角坐标系中，将点P(一3,2)向右平移 知识点二关于坐标轴对称的图形的画法 3个单位得到点P',则点P'关于x轴的对称 5.如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶 点的坐标为 点坐标为A(-3,0),B(-3,-3),C(-1,-3). A.(0,-2) B.(0,2) (1)Rt△ABC的面积是· C.(-6,2) D.(-6,-2) 82 9.如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴 03 思维拓展 对称的图形又是关于y轴成轴对称的图形.若 点A的坐标是(1,3)，则点M和点N的坐标 15.如图，在平面直角坐标系中，直线1过点M 分别是 (3,0),且平行于y轴. A.M(1,-3),N(-1,-3) (1)如果△ABC三个顶点的坐标分别是 B.M(-1,-3),N(-1,3) A(-2,0),B(-1,0),C(-1,2),△ABC关 C.M(-1,-3),N(1,-3) 于y轴的对称图形是△A1B1C1,△A1B1C1关 D.M(-1,3),N(1,-3) 于直线1的对称图形是△A2B2C2,写出△A2 10.若直线11经过点(0,4)，l2经过点(3,2)，且11 B,C2的三个顶点的坐标； 与l2关于x轴对称，则L1与2的交点坐标为 (2)如果点P的坐标是（一a,0),其中0<a< 3,点P关于y轴的对称点是P1,点P关于 ( A.(2,0) B.(-2,0) 直线1的对称点是P2,求PP的长， C.(6,0) D.(-6,0) 11.将点A(2,1)变换到点B(2,-1),写出一种 轴对称或平移方法： 54-3-2-1912 345 -2 12.在平面直角坐标系内，点P(25一5a,9一3a) 关于y轴对称的点在第三象限，且a是整数， 则点P的坐标是 13.已知点M(2,2),规定一次变换是：先作点M 关于x轴对称，再将对称点向左平移1个单 位长度，则连续经过2024次变换后，点M的 坐标变为 14.如图，在平面直角坐标系中有一个轴对称图 形，A(3,一2)，B(3,一6)两点在此图形上且互为 对称点，若此图形上有一个点C(一2,1). (1)求点C的对称点的坐标. (2)求△ABC的面积. L2】 B(3,-6)..AD-AE ∠ADE=∠ECF, 8.(1)AC∥DE,.∠ACB=∠E, △FCE中， DE=CE, ∠ACD=∠D.:∠ACD=∠B, ∠AED=∠FEC, ∠D=∠B.在△ABC和△CDE ∴.△ADE≌△FCE(ASA), 中，：∠ACB=∠E,∠B=∠D, ∴.AE=EF,AD=CF,BE⊥ AC=CE,∴.△ABC≌△CDE AF,∴∠AEB=∠FEB=90°， (AAS),..BC=DE. 根据“SAS”可证得△AEB≌ (2)∠BCD=140°. △FEB.∴.AB=BF=BC+CF, 9..FB=CE,..FB+FC=CE+ AD=CF(已证)， FC,即BC=EF.:AB∥ED,AC ∴.AB=BC十AD(等量代换) ∥FD,∴.∠B=∠E,∠ACB=3.取AB的中点E,则AB=2AE= ∠DFE.在△ABC和△DEF中， 2BE..'AB=2AC,..AE=AC. :∠B=∠E,BC=EF,∠ACB= :AD平分∠BAC,∴.∠EAD= ∠DFE,.△ABC≌△DEF ∠CAD.在△DEA和△DCA中， (ASA),.'.AC=DF. (AE=AC, 10.设AD,BE交于点F.,AB⊥ EAD-/CAD, BC,CE⊥BC,∴.∠ABD=∠C AD-AD. =90°.在△ABD和△BCE中， ,∴.△DEA≌△DCA(SAS). :AB=BC,∠ABD=∠C,BD .∠ACD=∠AED =CE,.△ABD≌△BCE .AD-BD.AE-BE,DE-DE, (SAS),∴.∠A=∠CBE ∴.△ADE≌△BDE(SSS) :∠CBE+∠ABE=9O°， ∴.∠AED=∠BED. ∴.∠A+∠ABE=90°， 又：∠AED+∠BED=180°， 则∠AFB=90°，∴.AD⊥BE. ∴.∠AED=∠BED=90° 方法技巧专题构造全等三角形 ∴.∠ACD=90°，∴.DCLAC. 的常用方法 4.延长AD至点E,使DE=AD,连 1.连接AC.在△ABC与△ADC 接CE.在△ABD和△ECD中， (AB=AD, (AD=DE, 中，：{BC=DC, ∠ADB=∠EDC, LAC=AC, BD-CD, ..△ABC≌△ADC(SSS) .△ABD≌△ECD,∴.AB=EC. ∴.∠BAC=∠DAC 在△ACE中，AC+EC>AE= E,F分别是AB,AD的中点， 2AD,..AB+AC>2AD. AE=专AB,AF=AD, 5.作CGLBE于点G,作BF⊥CD交 CD的延长线于点F,∴.∠BFC= AB=AD,.AE=AF.在△AEC ∠CGB=90°.在△BFC和△CGB AE-AF. I∠BFC=∠CGB, 与△AFC中， /EAC=∠FAC, 中，∠FCB=∠GBC, AC=AC, BC=CB. .∴.△AEC≌△AFC(SAS)..EC ∴.△BFC≌△CGB(AAS),.BF= =FC. 2.延长BC、AE相交于点F.AD CG:∠DCB=∠EBC=3∠A, ∥BC(已知)，∴.∠ADE=∠ECF ∴.∠BDF=∠ABE+∠EBC+ (两直线平行，内错角相等)，，E ∠DCB=∠ABE+∠A,·∠BEC 是CD的中点（已知），.DE=CE =∠ABE+∠A,∴∠BDF (中点的定义).在△ADE与 ∠BEC.在△BDF和△CEG中， 52 ∠BDF=∠CEG, =∠4.在△CFG和△CFD中， ∠BFD=∠CGE, ∠CFG=∠CFD, BF=CG. FC=FC. ∴.△BDF≌△CEG(AAS),∴.BD ∠3=∠4， =CE. .∴.△CFG≌△CFD(ASA). 6.在AB上截取AF=AD,连接 .FG=FD,.FE=FD. EF.:AE平分∠PAB, 章未核心考点整合与素养提升 ∴.∠DAE=∠FAE.在△DAE1.D2.C 和△FAE中， 3.证△ADE≌△ACB,得DE=CB. AD-AF, 4.B ∠DAE=∠FAE, 5.(1)证明：连接AD AE-AE, 在△ABD与△ACD中 .△DAE≌△FAE(SAS). (AB=AC ∴∠AFE=∠ADE.AD∥BC, BD=CD ∴.∠ADE+∠C=180°.又： LAD-AD ∠AFE+∠EFB=18O°，∴.∠EFB .∴.△ABD≌△ACD(SSS), =∠C.BE平分∠ABC, .∠B=∠C. ∴.∠EBF=∠EBC. (2)∠B+∠C+∠BAC+∠BDC 在△BEF和△BEC中， =360°且∠B=∠C.∴.∠B= ∠EFB=∠C, 360°-120°-80=80. ∠EBF=∠EBC, 6.C7.①②③8.C9.C10.D BE=BE, ∴.△BEF≌△BEC(AAS). 11.C12.D13.①② 14.(1)利用AAS证△DEF≌ ∴.BC=BF.∴AD+BC=AF+ △ABC: BF,即AD+BC=AB. (2)△OAB≌△ODE,△OEF≌ 7.在AC上截取AG=AE,连接 △OBC,△ABF≌△DEC, FG,:AD是∠BAC的平分线， △OBF≌△OEC,△BCF≌ .∠1=∠2.在△AEF和△AGF △EFC,△BEF≌△EBC. (AE-AG, 15.(1)证明：∠BAE=∠CAD, 中， ∠1=∠2， ∴.∠BAE-∠DAE=∠CAD AF-AF, ∠DAE,即∠BAD=∠CAE, ∴.△AEF≌△AGF(SAS) 在△ABD和△ACE中， ∠AFE=∠AFG,FE=FG AB=AC ∠B=60°，∴.∠BAC+∠ACB ∠BAD=∠CAE, =180°-60°=120°. AD-AE :AD,CE分别是∠BAC,∠BCA .△ABD≌△ACE(SAS). 的平分线，∠2=日∠BAC,∠3 (2),△ABD≌△ACE,∠ABD= 20°，.∠ACE-∠ABD=20°， =3∠ACB,∠2+∠3 :∠BAC=82°，∴.∠ABC+∠ACB ZBAC+∠ACB=X120 =180°-82°=98°，∴.∠FBC+ ∠FCB=∠ABC+∠ACB- =60°，.∠AFE=∠CFD (∠ACE+∠ABD)=58, ∠AFG=60°..∠CFG=180° ∴.∠BFC=180°-（∠FBC+ /AFG-/CFD=180°-60° ∠FCB)=122°. 60°=60°，.∠CFG=∠CFD. 16.(1)垂直相等 :CE是∠BCA的平分线，.∠3 (2)成立.理由略. 53 第15章轴对称图形与等腰三角形 点为(-2，m,于是生”=-4， 15.1轴对称图形 第1课时轴对称图形 m=一9，则C的对称点坐标 1.C2.B3.B4.略.5.A6.A 为(-2，-9). 7.(-1,1)8.10无数9.略. (2)SAAc=10. 第2课时轴对称的性质及作 15.(1)△A2B2C2的三个顶点的坐 轴对称图形 标分别是A2(4,0),B2(5,0),C2 1.B2.C3.D4.B5.⊥2.5 (5,2); 6.67.略.8.C9.D10.C11. (2)当0<a<3时，P与P,关 1512.10:21 于y轴对称，P(-a,0),∴.P 13.根据轴对称的性质，得PM= (a,0),又P与P2关于l:直 PM,PN=P2N,△PEF的周长 线x=3对称，设P2（x,0),可 为：PM+PN+MN=P,M+ 得空=3，即x=6-aR(0 P2N+MN=P,P2=5cm.所以 △PEF的周长为5cm. -a,0),则PP2=6一a一（一a)=6 14.略. -a+a=6. 15.(1)连接BB,画线段BB的垂直 15.2线段的垂直平分线 平分线EE则直线EF是△ABC1.B2.B 和△AB'C的对称轴. :3.因为直线MN垂直平分线段 (2)连接BO,BO,B”O.因为 AB,CD,所以OA=OB,OC= △ABC和△A'B'C'关于直线MN OD.所以OA+OC=OB+OD, 对称，所以∠BOM=∠BOM.又 即AC=BD. 因为△A'B'C'和△ABC"关于直4.B5.AC6.B 线EF对称，所以∠BOE=7.连接AB,作线段AB的垂直平分线 ∠BOE,所以∠BOB=2(∠B'OM 1,则1为所求作的直线，作图略. +∠B'OE)=2a. 8.C9.A10.D11.②③④ 第3课时平面直角坐标系中的对称 12.1913.32 1.B2.B3.B 14.(1)∠C=35°： 4.(1)(3,一1)(2)图略. (2),△ABC周长为13cm,AC 5.(1)3 =6cm,AD垂直平分BE,EF (2)D(-3,0),E(-3,3),F(-1, 垂直平分AC,.AB+BE+EC 3).图略. =7cm,即2DE+2CE=7cm, 6.(1)由图象可得：点A(0,-1),点 .'DE+CE=CD=3.5 cm. B(2,-1),点C(2,-2): 15.(1)图略. (2)先将△ABC沿y轴翻折，得到 (2)B点关于EF的对称点是点 △ABC,再将△ABC向上平移3 A,连接AD,则AD是BM十 个单位可得△DEF. MD长度的最小值，因为在等腰 7.(0,4)8.A9.C10.A △ABC中，D是底边BC的中点， 11.向下平移2个单位或关于x轴 所以AD1BC,由Sx=号AD· 对称 12.(5,-3)13.(-2022,2) BC=10,解得AD=5.所以BM 14.:A、B关于某条直线对称，且 +MD长度的最小值为5. A、B的横坐标相同，.对称轴平 15.3角的平分线 行于x轴，由题意，得对称轴为 第1课时角平分线的尺规作图 1.OD内部角平分线SSS y=二26=-4，y=-4.则2.B3.C4.略. 2 设C(-2,1)关于y=-4的对称5.(1)14(2)图略. 54