07 第七册 轴对称图形与等腰三角形《真题淬炼·题型通关》2026-2027学年沪科版八年级数学上册

沪科版八上期中专项复习 · 第七册 轴对称图形与等腰三角形 安徽各地市期中真题精选 · 7 题型讲练 + 过关检测 【学生版】 班级：______________ 姓名：______________ 题 型 目 录 题型 考点 例题来源 题数 轴对称与轴对称图形的识别 轴对称图形识别 2026宿州部分学校联考期中 3 题 轴对称的性质与作图 轴对称作图 · 轴对称（翻折）的性质 2026合肥庐江部分学校期中 3 题 用坐标表示轴对称 关于轴对称点的坐标 2026合肥庐江部分学校期中 2 题 线段垂直平分线的性质与应用 线段垂直平分线的作图与性质 · 线段垂直平分线的性质 2026黄山地区期中 3 题 等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一） 等腰三角形的性质 2026淮南凤台部分学校联考期中 3 题 等腰三角形的判定与分类讨论 等腰三角形的判定 · 等腰三角形的分类讨论 2026滁州定远育才学校期中 3 题 等边三角形与最短路径（将军饮马） 轴对称最短路径（将军饮马） 2026合肥庐江柯坦中学期中 3 题 　知识清单 ▍一、概念梳理 一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴；两个图形沿一条直线折叠后能完全重合，则这两个图形关于这条直线成轴对称．轴对称是全等变换：对应线段相等、对应角相等、对应点连线被对称轴垂直平分．有两边相等的三角形叫等腰三角形（相等的边叫腰），三边都相等的三角形叫等边三角形，它是腰与底相等的特殊等腰三角形． ▍二、法则与公式 1. 坐标对称：点关于轴对称得（横不变纵变反），关于轴对称得（纵不变横变反）． 2. 线段垂直平分线：性质——垂直平分线上的点到线段两端距离相等，即；判定——到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上． 3. 等腰三角形性质：等边对等角，即；三线合一——顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；． 4. 等腰三角形判定：等角对等边；等边三角形判定：三边相等，或三角相等，或有一个角是的等腰三角形． 5. 含角的直角三角形：角所对的直角边等于斜边的一半，即． ▍三、方法技巧 1. 作图：作对称图形先找关键点的对称点再连接；尺规作垂直平分线以大于倍长为半径作弧． 2. 折叠问题：折叠即轴对称，折痕是对称轴，抓住对应角相等、对应线段相等转化条件． 3. 求角度：等腰中常用设元法，设底角为，用内角和、外角列方程． 4. 将军饮马（最短路径）：在直线上找点使最小，作关于该直线的对称点，连接与直线的交点即为，最小值为；周长最小问题先用垂直平分线等量代换，再化折为直． ▍四、易错警示 1. 等腰分类讨论陷阱——"顶角还是底角"没说清必须分类：等腰三角形一个内角为，因为钝角只能作顶角，底角为；但一个内角为时要分是顶角（底角）与是底角（顶角）两种情况．反例：已知两边长为和，若只答周长则漏解或误解——应分腰为（周长）与腰为（，舍去）讨论． 2. "三线合一"的前提是等腰＋底边上的线，随便一个三角形的高不平分对边；误用在任意△ABC中由推是错的，需先有． 3. 坐标对称记反：关于轴对称是纵坐标变相反数，关于轴对称是横坐标变相反数，如关于轴对称是而不是． 4. 将军饮马忘检验：化折为直后应说明"两点之间线段最短"，且对称点要作在同侧直线上；若求周长最小，别忘了有一段（如）是定值不需变换． 　题型一 轴对称与轴对称图形的识别 方法要领　沿直线折叠能完全重合即为轴对称图形，逐项找对称轴判断。 【例】（2026宿州部分学校联考期中 1）如图，以下四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是______ A．（选项图形对应图A） B．（选项图形对应图B） C．（选项图形对应图C） D．（选项图形对应图D） ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026滁州定远育才学校期中 1）下列交通标志中，是轴对称图形的是______ A．（选项图形对应图A） B．（选项图形对应图B） C．（选项图形对应图C） D．（选项图形对应图D） ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026阜阳颍州十五中期中 1）下列运动项目图标中，不是轴对称图形的是______ A．（选项图形对应图A） B．（选项图形对应图B） C．（选项图形对应图C） D．（选项图形对应图D） ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　题型二 轴对称的性质与作图 方法要领　折叠即轴对称，抓对应角、对应边相等；作图先找关键点对称点再顺次连接。 【例】（2026合肥庐江部分学校期中 19）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中画出关于轴对称的图形； (2)若与点关于一条直线成轴对称，那么点关于这条直线的对称点坐标是______； (3)求的面积． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 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7）如图，直线，，于点，若，则的度数为______ A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 二、填空题（每小题3分） 5．（3分）（2026阜阳颍州十五中期中 12）若点和点关于轴对称，则______． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 6．（3分）（2026合肥五十五中天鹅湖校区期中 13）等腰三角形的一个外角是，则其底角是______． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 7．（3分）（2026长丰下塘实验学校期中 13）如图，是等边三角形的高线，，则______． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 8．（3分）（2026黄山屯溪四中期中 18）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为______． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 三、解答题（8分+8分+10分） 9．（8分）（2026淮南凤台部分学校联考期中 17）在平面直角坐标系中的位置如图所示，且顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴的对称图形； (2)在轴上找一点，使，并写出点的坐标； (3)在第二象限找一点，使的面积等于的面积，直接写出点的坐标． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 10．（8分）（2026合肥庐江柯坦中学期中 20）如图，灯塔在海岛的北偏东方向，某天上午8点，一条船从海岛出发，以海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达处，此时，测得灯塔在处的北偏东方向． (1)求处到灯塔的距离； (2)已知在以灯塔为中心，周围海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 11．（10分）（2026合肥庐江部分学校期中 23）已知在中，，点是边上一点，． (1)如图1，试说明的理由； (2)如图2，过点作，垂足为点，与相交于点． ①试说明的理由； ②如果是等腰三角形，求的度数． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 期中专项复习 · 八年级学生版　 学科网（北京）股份有限公司 $ 沪科版八上期中专项复习 · 第七册 轴对称图形与等腰三角形 安徽各地市期中真题精选 · 7 题型讲练 + 过关检测 【教师版】 题 型 目 录 题型 考点 例题来源 题数 轴对称与轴对称图形的识别 轴对称图形识别 2026宿州部分学校联考期中 3 题 轴对称的性质与作图 轴对称作图 · 轴对称（翻折）的性质 2026合肥庐江部分学校期中 3 题 用坐标表示轴对称 关于轴对称点的坐标 2026合肥庐江部分学校期中 2 题 线段垂直平分线的性质与应用 线段垂直平分线的作图与性质 · 线段垂直平分线的性质 2026黄山地区期中 3 题 等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一） 等腰三角形的性质 2026淮南凤台部分学校联考期中 3 题 等腰三角形的判定与分类讨论 等腰三角形的判定 · 等腰三角形的分类讨论 2026滁州定远育才学校期中 3 题 等边三角形与最短路径（将军饮马） 轴对称最短路径（将军饮马） 2026合肥庐江柯坦中学期中 3 题 　知识清单 ▍一、概念梳理 一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴；两个图形沿一条直线折叠后能完全重合，则这两个图形关于这条直线成轴对称．轴对称是全等变换：对应线段相等、对应角相等、对应点连线被对称轴垂直平分．有两边相等的三角形叫等腰三角形（相等的边叫腰），三边都相等的三角形叫等边三角形，它是腰与底相等的特殊等腰三角形． ▍二、法则与公式 1. 坐标对称：点关于轴对称得（横不变纵变反），关于轴对称得（纵不变横变反）． 2. 线段垂直平分线：性质——垂直平分线上的点到线段两端距离相等，即；判定——到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上． 3. 等腰三角形性质：等边对等角，即；三线合一——顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；． 4. 等腰三角形判定：等角对等边；等边三角形判定：三边相等，或三角相等，或有一个角是的等腰三角形． 5. 含角的直角三角形：角所对的直角边等于斜边的一半，即． ▍三、方法技巧 1. 作图：作对称图形先找关键点的对称点再连接；尺规作垂直平分线以大于倍长为半径作弧． 2. 折叠问题：折叠即轴对称，折痕是对称轴，抓住对应角相等、对应线段相等转化条件． 3. 求角度：等腰中常用设元法，设底角为，用内角和、外角列方程． 4. 将军饮马（最短路径）：在直线上找点使最小，作关于该直线的对称点，连接与直线的交点即为，最小值为；周长最小问题先用垂直平分线等量代换，再化折为直． ▍四、易错警示 1. 等腰分类讨论陷阱——"顶角还是底角"没说清必须分类：等腰三角形一个内角为，因为钝角只能作顶角，底角为；但一个内角为时要分是顶角（底角）与是底角（顶角）两种情况．反例：已知两边长为和，若只答周长则漏解或误解——应分腰为（周长）与腰为（，舍去）讨论． 2. "三线合一"的前提是等腰＋底边上的线，随便一个三角形的高不平分对边；误用在任意△ABC中由推是错的，需先有． 3. 坐标对称记反：关于轴对称是纵坐标变相反数，关于轴对称是横坐标变相反数，如关于轴对称是而不是． 4. 将军饮马忘检验：化折为直后应说明"两点之间线段最短"，且对称点要作在同侧直线上；若求周长最小，别忘了有一段（如）是定值不需变换． 　题型一 轴对称与轴对称图形的识别 方法要领　沿直线折叠能完全重合即为轴对称图形，逐项找对称轴判断。 【例】（2026宿州部分学校联考期中 1）如图，以下四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是______ A．（选项图形对应图A） B．（选项图形对应图B） C．（选项图形对应图C） D．（选项图形对应图D） 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是寻找对称轴，看图形两部分折叠后能否重合．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 【练1】（2026滁州定远育才学校期中 1）下列交通标志中，是轴对称图形的是______ A．（选项图形对应图A） B．（选项图形对应图B） C．（选项图形对应图C） D．（选项图形对应图D） 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．根据轴对称图形的概念对各选项求解即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 【练2】（2026阜阳颍州十五中期中 1）下列运动项目图标中，不是轴对称图形的是______ A．（选项图形对应图A） B．（选项图形对应图B） C．（选项图形对应图C） D．（选项图形对应图D） 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不符合题意； B．不是轴对称图形，符合题意； C．是轴对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 　题型二 轴对称的性质与作图 方法要领　折叠即轴对称，抓对应角、对应边相等；作图先找关键点对称点再顺次连接。 【例】（2026合肥庐江部分学校期中 19）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中画出关于轴对称的图形； (2)若与点关于一条直线成轴对称，那么点关于这条直线的对称点坐标是______； (3)求的面积． 【答案】(1)作图见详解；(2)；(3) 【分析】本题考查轴对称变换作图、对称点坐标的特征，熟练掌握对称点的坐标特征是解题的关键． （1）根据关于轴对称，得出对称点、、的坐标，顺次连接即可； （2）根据点与点的坐标特征，得出两点关于轴对称，据此写出点坐标即可； （3）用割补法求解，用长方形面积减去三个小直角三角形的面积即可． 【详解】（1）解：各顶点关于轴的对称点分别为，，，顺次连接、、，则即为所求，如图； （2）解：由于、横坐标相同、纵坐标互为相反数， 则点与点关于轴对称， 因此点坐标是， 故答案为：； （3）解：， 答：的面积为． 【练1】（2026宿州部分学校联考期中 17）如图，在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点、、在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线成轴对称的； (2)的面积为______． 【答案】(1)作图见详解；(2) 【分析】本题主要考查了作图——轴对称变换以及网格中求三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，作出关键点、关于直线的对应点即可； （2）利用三角形顶点所在的矩形面积减去周围三个三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，作出点、关于直线的对应点、，顺次连接、、，则即为所求； （2）解：． 故答案为：． 【练2】（2026阜阳界首期中 13）如图，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题主要考查翻折（轴对称）的性质与三角形外角的性质，熟练掌握折叠前后对应的角相等是解题的关键．由翻折的性质可知，根据三角形外角的性质可知，，进而可求解． 【详解】解：由翻折的性质可知：， 根据三角形外角的性质可知：，， ∴， ∴； 故答案为：． 　题型三 用坐标表示轴对称 方法要领　关于 x 轴对称“横不变纵变反”，关于 y 轴对称“纵不变横变反”。 【例】（2026合肥庐江部分学校期中 2）剪纸是古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，蝴蝶剪纸的图案关于轴对称，点的对应点为点，若点的坐标为，则点的坐标为______ A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点关于坐标轴对称的特征："若两点关于轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变"，据此解答即可． 【详解】解：∵蝴蝶剪纸的图案关于轴对称，点的对应点为点，点的坐标为， ∴点的坐标为． 故选：A． 【练1】（2026黄山屯溪四中期中 11）已知点与点关于轴对称，则______． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征．根据关于轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标相等，列出方程求出、的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， 解得，， 因此， 故答案为：． 　题型四 线段垂直平分线的性质与应用 方法要领　垂直平分线上的点到两端等距，遇周长先等量代换再化折为直。 【例】（2026黄山地区期中 22）如图，在数学活动课上，小明剪了一张的纸片，其中，他将折叠压平使点落在点处，折痕，在上，在上． (1)请作出折痕；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．） (2)连接，若，的周长为，求的周长． 【答案】(1)作图见详解；(2) 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质、线段垂直平分线的尺规作图与性质、等边三角形的判定与性质等知识点；熟练掌握翻折变换的性质、线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）由折叠可知是的垂直平分线，用尺规作的垂直平分线即可； （2）由线段垂直平分线的性质得出，又可证是等边三角形，则；进而由的周长得出，即可得出的周长． 【详解】（1）解：分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点作直线，分别交于点、交于点，则折痕即为所求，如图； （2）解：由题意知垂直平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴，即， ∴的周长为． 【练1】（2026黄山地区期中 15）如图，在中，点在边上，连接，且，，直线是边的垂直平分线，若点在直线上运动，连接、，则周长的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与最短线段问题，将求周长的最小值转化为求线段的最小值是解题关键．连接，由垂直平分线的性质可知，则的周长，当点、、三点共线时，有最小值为的长，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵直线是边的垂直平分线，点在直线上运动， ∴， ∴的周长， 当点、、三点共线时，有最小值为的长， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 【练2】（2026宿州部分学校联考期中 18）如图，的周长为． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，交于点，交于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，若，求的周长． 【答案】(1)作图见详解；(2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作法和性质、三角形的周长，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，过两交点作直线即可； （2）由线段垂直平分线的性质可得，，进而由三角形周长可得，即可得的周长． 【详解】（1）解：如图，分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点作直线，与交于点，与交于点，则即为所求； （2）解：∵为线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴的周长． 　题型五 等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一） 方法要领　等边对等角＋三线合一，设底角 用内角和/外角列方程求角。 【例】（2026淮南凤台部分学校联考期中 8）如图，，分别是的中线和角平分线．若，，则的度数是______ A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据等腰三角形"三线合一"的性质以及三角形内角和定理求出，．再利用角平分线定义即可得出． 【详解】解：∵是的中线，，， ∴，． ∵是的角平分线， ∴． 故选：B． 【练1】（2026合肥庐江柯坦中学期中 8）如图，在中，，是边上的高，点在上，下列结论错误的是______ A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形"三线合一"的性质得到，，再根据垂直平分，得到，等腰三角形两个底角相等，但不一定是，据此判断即可． 【详解】解：∵，是边上的高， ∴，， ∴垂直平分， ∵点在上， ∴，A、B、C选项正确； 等腰三角形两个底角相等，但不一定是，D选项错误， 故选：D． 【练2】（2026马鞍山雨山实验学校期中 20）如图，平分，． (1)与相等吗？为什么？ (2)若，，求的度数． 【答案】(1)相等，理由见详解；(2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质（等边对等角）、角平分线的定义、三角形的外角性质及三角形内角和定理． （1）由角平分线可得，根据，利用等式性质，可得结论； （2）设，则，根据（1）中的结论以及三角形的内角和定理列方程进行求解即可． 【详解】（1）解：相等．理由如下： ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∵（三角形的外角性质）， ∴； （2）解：设，则， 由（1）有：， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 　题型六 等腰三角形的判定与分类讨论 方法要领　等角对等边证等腰；“顶角还是底角”“腰还是底”未指明必须分类并检验三边关系。 【例】（2026滁州定远育才学校期中 20）如图，为的角平分线，交的延长线于点，． (1)求证：为等腰三角形； (2)求证：． 【答案】证明见详解 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握"等角对等边"是解题的关键． （1）设，则，由及对顶角相等可得，再由三角形内角和定理得，则，根据等角对等边即可证明； （2）过点作交的延长线于点，利用平行线的性质、角平分线的定义推得，，则，再由得，即可得证． 【详解】（1）证明：设， 则． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）证明：过点作交的延长线于点， 则，． ∵平分，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 【练1】（2026滁州定远育才学校期中 15）已知在等腰中，，一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为和两部分，求该等腰三角形的腰长及底边长． 【答案】腰长是，底边长是 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系，已知给出的和两部分，没有明确哪一部分含有底边，要分类讨论．设，，分两种情况列出方程求解，并利用三角形三边关系检验取舍． 【详解】解：设，，则， ∵上的中线将这个三角形的周长分成和两部分， ∴有两种情况： ①当，且时， 解得，， ∴三边长分别为，，，满足三角形三边关系； ②当且时， 解得，，此时腰长为， ∵三角形任意两边之和大于第三边，而， 故这种情况不存在． ∴腰长是，底边长是． 【练2】（2026马鞍山雨山实验学校期中 13）若等腰三角形的两边长分别是和，则周长为______． 【答案】 【分析】因为已知等腰三角形的两边长，没明确是底边还是腰，所以分两种情况讨论：①当为底时，②当为底时，根据三角形三边之间的关系判断能否组成三角形，再求出周长．本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形三边之间的关系，分类讨论是解题的关键． 【详解】解：若等腰三角形的两边长分别为和，分两种情况： ①当为底时，其它两边都为，而，可以构成三角形，周长为； ②当为底时，其它两边都为，，不能构成三角形，故舍去． 所以等腰三角形的周长为． 故答案为：． 　题型七 等边三角形与最短路径（将军饮马） 方法要领　等边三角形判定（含 60° 等腰）；将军饮马作对称点化折为直求最小值。 【例】（2026合肥庐江柯坦中学期中 17）如图，方格纸中每个小方格的边长都是，点、、． (1)作关于轴对称的； (2)请直接写出、、的坐标：______；______；______； (3)在轴上找出点，使最小，在图中描出满足条件的点（保留作图痕迹），并直接写出点的坐标． 【答案】(1)作图见详解；(2)，，；(3) 【分析】本题考查作图——轴对称变换、轴对称最短路径问题，解题的关键是掌握轴对称变换的性质与"将军饮马"模型． （1）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）根据坐标系写出、、的坐标即可； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则此时最小． 【详解】（1）解：作出、、关于轴的对称点、、，顺次连接，则即为所求，如图； （2）解：由坐标系得：、、的坐标分别为，，； （3）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接， 则，由两点之间线段最短可知此时最小， 由图可得点的坐标为． 【练1】（2026阜阳颍州十五中期中 9）如图，在锐角中，，，的平分线交于点，点，分别是和上的动点，则的最小值是______ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据是的平分线，可得出点关于的对称点为点；根据垂线段最短，过点作于交于，由轴对称确定最短路线问题，点即为使最小的点，，利用三角形的面积求出，从而得解． 【详解】解：如图，∵是的平分线，， ∴点关于的对称点为点， 过点作于交于， 由轴对称确定最短路线问题，点即为使最小的点，， ∵，， ∴， 解得， 即的最小值是． 故选：C． 【练2】（2026亳州利辛部分学校联考期中 12）如图，直线与轴、轴分别交于点和点，轴上有一点，点为直线上一动点，当值最小时，点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质（将军饮马模型）、等腰三角形的性质、一次函数与二元一次方程组等知识．先求出，则；再作点关于直线的对称点，连接、、，当点、、三点共线时最小；然后求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，与直线的解析式联立求解即可得． 【详解】解：将代入得，即；将代入得，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 如图，作点关于直线的对称点，连接、、，其中与交于点， 则， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点、、共线，即点与点重合时，的值最小，即的值最小， 由轴对称的性质得：，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得，解得， ∴直线的解析式为， 联立与，解得，， ∴当值最小时，点的坐标为． 故答案为：． 　专题过关检测（限时20分钟 · 满分50分） 一、选择题（每小题3分） 1．（3分）（2026黄山屯溪四中期中 1）下列图形中，是轴对称图形的是______ A．（选项图形对应图A） B．（选项图形对应图B） C．（选项图形对应图C） D．（选项图形对应图D） 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别．将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形，据此解答即可． 【详解】解：A不是轴对称图形，不符合题意； B是轴对称图形，符合题意； C不是轴对称图形，不符合题意； D不是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 2．（3分）（2026沪科版期中检测卷（二） 8）下列对的判断，错误的是______ A．若，则是直角三角形 B．若，，则是锐角三角形 C．若，，则是钝角三角形 D．若，则是等腰直角三角形 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质、钝角三角形、锐角三角形、直角三角形的判定以及三角形的内角和定理即可作出判断． 【详解】解：A．若，由得，是直角三角形，判断正确，不符合题意； B．若，，则，是钝角三角形，判断错误，符合题意； C．若，，则，，是钝角三角形，判断正确，不符合题意； D．若，则，，是等腰直角三角形，判断正确，不符合题意． 故选：B． 3．（3分）（2026亳州利辛部分学校联考期中 9）如图所示，是一钢架，且，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管，，…，添加的钢管长度都与相等，最多能添加这样的钢管______根 A． B． C． D．无数 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形"等边对等角"的性质、三角形外角的性质及三角形内角和定理，发现并利用规律是正确解答本题的关键．根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中底角变化的规律，再结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵添加的钢管长度都与相等， ∴图中依次构成的、、…都是等腰三角形， 由"等边对等角"及三角形外角的性质可得：第一个等腰三角形的底角是，第二个是，第三个是，第四个是，第五个是，第六个是，第七个是，第八个是，而底角为的等腰三角形就不存在了， 所以最多能添加这样的钢管根． 故选：B． 4．（3分）（2026黄山地区期中 7）如图，直线，，于点，若，则的度数为______ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理、等腰三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和平行线的性质是解题的关键．先由三角形内角和定理求出，再根据等边对等角求得，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 二、填空题（每小题3分） 5．（3分）（2026阜阳颍州十五中期中 12）若点和点关于轴对称，则______． 【答案】 【分析】此题主要考查了关于轴对称的点的坐标规律，关键是熟练掌握点的变化规律：关于轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变． 【详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴，， 当，时， ， 故答案为：． 6．（3分）（2026合肥五十五中天鹅湖校区期中 13）等腰三角形的一个外角是，则其底角是______． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的一个外角等于，可得与它相邻的内角为；由是钝角，只能是等腰三角形的顶角，再由内角和定理及等边对等角即可求解． 【详解】解：∵等腰三角形的一个外角等于， ∴等腰三角形的一个内角为， ∵三角形的内角和等于， ∴的角只能是等腰三角形的顶角， ∴两个底角都为， 故答案为：． 7．（3分）（2026长丰下塘实验学校期中 13）如图，是等边三角形的高线，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形与等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质．先根据等边三角形的性质得，由三线合一得，再通过等边对等角得，最后由三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形的高线， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， 故答案为：． 8．（3分）（2026黄山屯溪四中期中 18）如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】作轴于点，轴于点，则，所以，即可证明，得，，从而得到点的坐标． 【详解】解：作轴于点，轴于点，则， ∵， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴， ∴点的坐标是， 故答案为：． 三、解答题（8分+8分+10分） 9．（8分）（2026淮南凤台部分学校联考期中 17）在平面直角坐标系中的位置如图所示，且顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴的对称图形； (2)在轴上找一点，使，并写出点的坐标； (3)在第二象限找一点，使的面积等于的面积，直接写出点的坐标． 【答案】(1)作图见详解；(2)；(3)或（答案不唯一） 【分析】本题考查作图——轴对称变换、线段垂直平分线的性质、平行线的性质，熟练掌握轴对称的性质、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）作线段的垂直平分线，交轴于点，则，即可得出答案； （3）过点作的平行线，在第二象限中交网格于格点，则与同底等高，面积相等，写出满足条件的点即可． 【详解】（1）解：作出、、关于轴的对称点、、，顺次连接，则即为所求，如图； （2）解：作线段的垂直平分线，交轴于点，此时，则点即为所求，； （3）解：过点作的平行线，由网格可知，第二象限内满足与同底等高的点的坐标为或（答案不唯一）． 10．（8分）（2026合肥庐江柯坦中学期中 20）如图，灯塔在海岛的北偏东方向，某天上午8点，一条船从海岛出发，以海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达处，此时，测得灯塔在处的北偏东方向． (1)求处到灯塔的距离； (2)已知在以灯塔为中心，周围海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 【答案】(1)海里；(2)没有触礁的危险 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质、方向角． （1）根据方向角求出，，进而得，则，根据等角对等边即可得到结论； （2）过作交的延长线于点，根据含角的直角三角形的性质求出，与海里比较即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意得，，（海里）， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴（海里）， 答：处到灯塔的距离为海里； （2）解：没有触礁的危险，理由如下： 过作交的延长线于点， ∵，（海里）， ∴（海里）， ∵， ∴若这条船继续由西向东航行没有触礁的危险． 11．（10分）（2026合肥庐江部分学校期中 23）已知在中，，点是边上一点，． (1)如图1，试说明的理由； (2)如图2，过点作，垂足为点，与相交于点． ①试说明的理由； ②如果是等腰三角形，求的度数． 【答案】(1)见详解；(2)①见详解；②或 【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质、三角形的内角和定理及外角的性质，结合图形分情况讨论是解决问题的关键． （1）根据等腰三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，然后根据等量代换可得，再根据等角对等边即可解答； （2）①根据垂直定义可得，从而可得，设，则，利用（1）的结论可得，最后利用三角形内角和定理可得； ②根据三角形的外角性质可得，然后分三种情况：当时；当时；当时；分别进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）①解：∵， ∴， ∴， 设，则， 由（1）得， ∴， ∴； ②解：∵是的一个外角， ∴， 分三种情况： 当时，则， ∴，解得， ∴； 当时，则， ∵， ∴，解得， ∴； 当时，则， ∵， ∴不存在， 综上所述：如果是等腰三角形，的度数为或． 期中专项复习 · 八年级教师版　 学科网（北京）股份有限公司 $