第14章 全等三角形 章末核心考点整合与素养提升-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（沪科版·新教材）

..AD-AE ∠ADE=∠ECF, 8.(1)AC∥DE,.∠ACB=∠E, △FCE中， DE=CE, ∠ACD=∠D.:∠ACD=∠B, ∠AED=∠FEC, ∠D=∠B.在△ABC和△CDE ∴.△ADE≌△FCE(ASA), 中，：∠ACB=∠E,∠B=∠D, ∴.AE=EF,AD=CF,BE⊥ AC=CE,∴.△ABC≌△CDE AF,∴∠AEB=∠FEB=90°， (AAS),..BC=DE. 根据“SAS”可证得△AEB≌ (2)∠BCD=140°. △FEB.∴.AB=BF=BC+CF, 9..FB=CE,..FB+FC=CE+ AD=CF(已证)， FC,即BC=EF.:AB∥ED,AC ∴.AB=BC十AD(等量代换) ∥FD,∴.∠B=∠E,∠ACB=3.取AB的中点E,则AB=2AE= ∠DFE.在△ABC和△DEF中， 2BE..'AB=2AC,..AE=AC. :∠B=∠E,BC=EF,∠ACB= :AD平分∠BAC,∴.∠EAD= ∠DFE,.△ABC≌△DEF ∠CAD.在△DEA和△DCA中， (ASA),.'.AC=DF. (AE=AC, 10.设AD,BE交于点F.,AB⊥ EAD-/CAD, BC,CE⊥BC,∴.∠ABD=∠C AD-AD. =90°.在△ABD和△BCE中， ,∴.△DEA≌△DCA(SAS). :AB=BC,∠ABD=∠C,BD .∠ACD=∠AED =CE,.△ABD≌△BCE .AD-BD.AE-BE,DE-DE, (SAS),∴.∠A=∠CBE ∴.△ADE≌△BDE(SSS) :∠CBE+∠ABE=9O°， ∴.∠AED=∠BED. ∴.∠A+∠ABE=90°， 又：∠AED+∠BED=180°， 则∠AFB=90°，∴.AD⊥BE. ∴.∠AED=∠BED=90° 方法技巧专题构造全等三角形 ∴.∠ACD=90°，∴.DCLAC. 的常用方法 4.延长AD至点E,使DE=AD,连 1.连接AC.在△ABC与△ADC 接CE.在△ABD和△ECD中， (AB=AD, (AD=DE, 中，：{BC=DC, ∠ADB=∠EDC, LAC=AC, BD-CD, ..△ABC≌△ADC(SSS) .△ABD≌△ECD,∴.AB=EC. ∴.∠BAC=∠DAC 在△ACE中，AC+EC>AE= E,F分别是AB,AD的中点， 2AD,..AB+AC>2AD. AE=专AB,AF=AD, 5.作CGLBE于点G,作BF⊥CD交 CD的延长线于点F,∴.∠BFC= AB=AD,.AE=AF.在△AEC ∠CGB=90°.在△BFC和△CGB AE-AF. I∠BFC=∠CGB, 与△AFC中， /EAC=∠FAC, 中，∠FCB=∠GBC, AC=AC, BC=CB. .∴.△AEC≌△AFC(SAS)..EC ∴.△BFC≌△CGB(AAS),.BF= =FC. 2.延长BC、AE相交于点F.AD CG:∠DCB=∠EBC=3∠A, ∥BC(已知)，∴.∠ADE=∠ECF ∴.∠BDF=∠ABE+∠EBC+ (两直线平行，内错角相等)，，E ∠DCB=∠ABE+∠A,·∠BEC 是CD的中点（已知），.DE=CE =∠ABE+∠A,∴∠BDF (中点的定义).在△ADE与 ∠BEC.在△BDF和△CEG中， 52 ∠BDF=∠CEG, =∠4.在△CFG和△CFD中， ∠BFD=∠CGE, ∠CFG=∠CFD, BF=CG. FC=FC. ∴.△BDF≌△CEG(AAS),∴.BD ∠3=∠4， =CE. .∴.△CFG≌△CFD(ASA). 6.在AB上截取AF=AD,连接 .FG=FD,.FE=FD. EF.:AE平分∠PAB, 章未核心考点整合与素养提升 ∴.∠DAE=∠FAE.在△DAE1.D2.C 和△FAE中， 3.证△ADE≌△ACB,得DE=CB. AD-AF, 4.B ∠DAE=∠FAE, 5.(1)证明：连接AD AE-AE, 在△ABD与△ACD中 .△DAE≌△FAE(SAS). (AB=AC ∴∠AFE=∠ADE.AD∥BC, BD=CD ∴.∠ADE+∠C=180°.又： LAD-AD ∠AFE+∠EFB=18O°，∴.∠EFB .∴.△ABD≌△ACD(SSS), =∠C.BE平分∠ABC, .∠B=∠C. ∴.∠EBF=∠EBC. (2)∠B+∠C+∠BAC+∠BDC 在△BEF和△BEC中， =360°且∠B=∠C.∴.∠B= ∠EFB=∠C, 360°-120°-80=80. ∠EBF=∠EBC, 6.C7.①②③8.C9.C10.D BE=BE, ∴.△BEF≌△BEC(AAS). 11.C12.D13.①② 14.(1)利用AAS证△DEF≌ ∴.BC=BF.∴AD+BC=AF+ △ABC: BF,即AD+BC=AB. (2)△OAB≌△ODE,△OEF≌ 7.在AC上截取AG=AE,连接 △OBC,△ABF≌△DEC, FG,:AD是∠BAC的平分线， △OBF≌△OEC,△BCF≌ .∠1=∠2.在△AEF和△AGF △EFC,△BEF≌△EBC. (AE-AG, 15.(1)证明：∠BAE=∠CAD, 中， ∠1=∠2， ∴.∠BAE-∠DAE=∠CAD AF-AF, ∠DAE,即∠BAD=∠CAE, ∴.△AEF≌△AGF(SAS) 在△ABD和△ACE中， ∠AFE=∠AFG,FE=FG AB=AC ∠B=60°，∴.∠BAC+∠ACB ∠BAD=∠CAE, =180°-60°=120°. AD-AE :AD,CE分别是∠BAC,∠BCA .△ABD≌△ACE(SAS). 的平分线，∠2=日∠BAC,∠3 (2),△ABD≌△ACE,∠ABD= 20°，.∠ACE-∠ABD=20°， =3∠ACB,∠2+∠3 :∠BAC=82°，∴.∠ABC+∠ACB ZBAC+∠ACB=X120 =180°-82°=98°，∴.∠FBC+ ∠FCB=∠ABC+∠ACB- =60°，.∠AFE=∠CFD (∠ACE+∠ABD)=58, ∠AFG=60°..∠CFG=180° ∴.∠BFC=180°-（∠FBC+ /AFG-/CFD=180°-60° ∠FCB)=122°. 60°=60°，.∠CFG=∠CFD. 16.(1)垂直相等 :CE是∠BCA的平分线，.∠3 (2)成立.理由略. 53 第15章轴对称图形与等腰三角形 点为(-2，m,于是生”=-4， 15.1轴对称图形 第1课时轴对称图形 m=一9，则C的对称点坐标 1.C2.B3.B4.略.5.A6.A 为(-2，-9). 7.(-1,1)8.10无数9.略. (2)SAAc=10. 第2课时轴对称的性质及作 15.(1)△A2B2C2的三个顶点的坐 轴对称图形 标分别是A2(4,0),B2(5,0),C2 1.B2.C3.D4.B5.⊥2.5 (5,2); 6.67.略.8.C9.D10.C11. (2)当0<a<3时，P与P,关 1512.10:21 于y轴对称，P(-a,0),∴.P 13.根据轴对称的性质，得PM= (a,0),又P与P2关于l:直 PM,PN=P2N,△PEF的周长 线x=3对称，设P2（x,0),可 为：PM+PN+MN=P,M+ 得空=3，即x=6-aR(0 P2N+MN=P,P2=5cm.所以 △PEF的周长为5cm. -a,0),则PP2=6一a一（一a)=6 14.略. -a+a=6. 15.(1)连接BB,画线段BB的垂直 15.2线段的垂直平分线 平分线EE则直线EF是△ABC1.B2.B 和△AB'C的对称轴. :3.因为直线MN垂直平分线段 (2)连接BO,BO,B”O.因为 AB,CD,所以OA=OB,OC= △ABC和△A'B'C'关于直线MN OD.所以OA+OC=OB+OD, 对称，所以∠BOM=∠BOM.又 即AC=BD. 因为△A'B'C'和△ABC"关于直4.B5.AC6.B 线EF对称，所以∠BOE=7.连接AB,作线段AB的垂直平分线 ∠BOE,所以∠BOB=2(∠B'OM 1,则1为所求作的直线，作图略. +∠B'OE)=2a. 8.C9.A10.D11.②③④ 第3课时平面直角坐标系中的对称 12.1913.32 1.B2.B3.B 14.(1)∠C=35°： 4.(1)(3,一1)(2)图略. (2),△ABC周长为13cm,AC 5.(1)3 =6cm,AD垂直平分BE,EF (2)D(-3,0),E(-3,3),F(-1, 垂直平分AC,.AB+BE+EC 3).图略. =7cm,即2DE+2CE=7cm, 6.(1)由图象可得：点A(0,-1),点 .'DE+CE=CD=3.5 cm. B(2,-1),点C(2,-2): 15.(1)图略. (2)先将△ABC沿y轴翻折，得到 (2)B点关于EF的对称点是点 △ABC,再将△ABC向上平移3 A,连接AD,则AD是BM十 个单位可得△DEF. MD长度的最小值，因为在等腰 7.(0,4)8.A9.C10.A △ABC中，D是底边BC的中点， 11.向下平移2个单位或关于x轴 所以AD1BC,由Sx=号AD· 对称 12.(5,-3)13.(-2022,2) BC=10,解得AD=5.所以BM 14.:A、B关于某条直线对称，且 +MD长度的最小值为5. A、B的横坐标相同，.对称轴平 15.3角的平分线 行于x轴，由题意，得对称轴为 第1课时角平分线的尺规作图 1.OD内部角平分线SSS y=二26=-4，y=-4.则2.B3.C4.略. 2 设C(-2,1)关于y=-4的对称5.(1)14(2)图略. 5475 章末核心考点整合与素养提升 01分点突破 类型2增加条件选择用 考点一 全等三角形的性质 4.如图，已知AE=CF,∠AFD=∠CEB,那么添 1.如图，△ABC≌△ADE,点D落在BC上，且 加一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE ∠EDC=70°，则∠BAD的度数等于() 的是 A.50° B.55° C.65 D.70° A.∠A=∠C B.AD=CB C.BE=DF D.AD∥BC 类型3作辅助线增加条件 第1题图 第2题图 5.如图，已知AB=AC,BD=CD 2.如图，△ABD≌△EBC,AB=3cm,AC=8cm, (1)求证：∠B=∠C 则DE的长为 (2)若∠BAC=120°，∠BDC=80°，求∠B的 A.5cm B.3cm C.2cm D.1cm 度数 方法归纳 1.利用全等三角形的性质求对应角时，通常 和三角形的内角和定理或外角一起考虑. 2.利用全等三角形的性质求对应边时，通常 结合等式的性质求线段的和或差 考点二全等三角形的判定 类型1条件具备直接用 3.如图，△ABC中，D为BC边上的一点，AD= AC,以线段AD为边作△ADE,使得AE= AB,∠BAE=∠CAD.DE与CB相等吗？为 什么？ 方法归纳 1.证明三角形全等时，特别注意公共边、公 共角、对顶角等条件的应用。 2.对于添加条件判定两个三角形全等类问 题的解题策略：先弄清题目中已存在的条 件（包括已知条件及图形条件），再根据三 角形全等的判定方法进行综合考虑，从而 确定需要添加的条件】 16 考点三全等三角形的性质与判定的综合运用 D.△ADC与△ABC的周长相等 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=10.如图，N,C,A三点在同一直线上，在△ABC 5cm,在AC上取一点E,使EC=BC,过点E 中，∠A:∠ABC:∠ACB=3:5：10,且 作EF⊥AC,连接CF,使CF=AB,若EF= △MNC≌△ABC,则∠BCM:∠BCN() 12cm,则下列结论不正确的是 A.1:2 B.1:3 C.2:3 D.1:4 A.∠F=∠BCF B.AE=7cm C.EF平分AB D.AB⊥CF 第10题图 第11题图 11.如图，AC∥BD,AB∥CD,AD与BC交于点 第6题图 第7题图 O,AE⊥BC于点E,DF⊥BC于点F,那么图 7.如图，已知∠EAB=∠FAC,AC=AB,AE= 中全等的三角形共 () AF,给出如下结论：①∠1=∠2；②BE=CF; A.5对 B.6对 C.7对 D.8对 ③△ACN≌△ABM;④CD=DN,其中正确的12.如图，已知AE∥DF,BE∥CF,AC=BD,则 结论是 下列说法错误的是 () 方法归纳 A.△AEB≌△DFC B.△EBD≌△FCA 全等三角形的性质与判定的综合运用， C.ED-AF D.EA-EC 主要利用全等三角形的判定方法判定两个 三角形全等，再利用全等三角形的性质得到 对应的线段或角相等；有时需多次证三角形 全等（如题7），综合性较强，有一定的难度. 第12题图 第13题图 13.如图，在△ABC中，P,Q分别是BC,AC上的 02整合提升 点，PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分别是R,S.若 8.根据下列已知条件，能画出唯一△ABC的是 AQ=PQ,PR=PS,则下列结论：①AS= AR;②QP∥AR;③△BRP≌△QSP;④BR A.AB=3,BC=4,AC=8 =QS.其中一定正确的结论是 .(填 B.AB=4,BC=3,∠A=30° 写序号) C.∠A=60°，∠B=45°，AB=4 14.如图，EF∥BC,DE∥AB,EF=BC. D.∠C=90°，AB=4 (1)求证：△DEF≌△ABC: 9.已知，在△ABC与△ADC中，AB=AD,那么 添加一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC 的是 A.CB=CD B.∠BAC=∠DAC C.∠BCA=∠DCA 777 (2)在图中连接BE交CF于点O,连接BF, 03素养专练 CE,请直接写出图中所有的全等三角形（用 ≌符号连接，△DEF≌△ABC除外). 16.在Rt△ABC中，BC=AC,∠ACB=90°，D 为射线AB上一点，连接CD,过点C作线段 CD的垂线l,在直线l上分别在点C的两侧 截取与线段CD相等的线段CE和CF,连接 AE,BF. (1)当点D在线段AB上时（点D不与点A, B重合)，如图1，线段BF,AD所在直线的位 置关系为 ,线段BF,AD的数量关 系为 15.如图，已知点D,E是△ABC内两点，且 (2)当点D在线段AB的延长线上时，如图 ∠BAE=∠CAD,AB=AC,AD=AE 2,则(1)中的结论是否仍然成立？如果成立， (1)求证：△ABD≌△ACE. 请证明；如果不成立，请说明理由， (2)延长BD,CE交于点F,若∠BAC=82°， ∠ABD=20°，求∠BFC的度数 图2