第14章 专题9 利用倍长中线或截长补短法构造全等（作业课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（沪科版2024）

该初中数学课件聚焦全等三角形构造专题，核心内容为利用倍长中线或截长补短法构造全等，通过“8”字型基本图形导入，从一阶“遇中线倍长中线”到二阶“遇中点延长截取等线段”，再到截长补短法的截长与补短思路，形成从基础到变式的学习支架，帮助学生逐步掌握辅助线作法与全等推理逻辑。 其亮点在于以几何直观呈现辅助线模型，如“8”字型全等图形及变式图形，通过分层例题培养推理能力，例如证明AB+AC>2AD时用倍长中线构造全等，探究AE=AB+DE时提供截长法与补短法两种思路，强化模型意识。助力学生发展空间观念与创新意识，为教师提供结构化教学资源，提升课堂效率与学生探究能力。

2025秋季学期 《学练优》·八年级数学上·HK 第14章　全等三角形 专题9　利用倍长中线或截长补短法构造全等 类型一　遇中点构造“8”字型全等 一阶：　遇中线倍长中线 [基本图形]已知：如图①，D为BC的中点. 辅助线：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE. 结论：△ADC≌△ ⇒AC＝ ⁠， AC∥ ⁠. EDB　 BE　 BE　 1. 如图，△ABC中，D是BC边的中点. (1)求证：AB＋AC＞2AD； (1)证明：如图，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE. ∵D为BC的中点， ∴BD＝CD. 在△ADC和△EDB中， 2 3 1 ∴△ADC≌△EDB(SAS).∴AC＝EB. 在△ABE中，AB＋EB＞AE＝2AD， ∴AB＋AC＞2AD. 2 3 1 (2)若AB＝10，AC＝6，直接写出AD长的取值范围 是 ⁠. 2＜AD＜8　 2 3 1 二阶：　遇中点延长或截取等线段 [变式图形]已知：如图②，D为BC的中点. 辅助线：延长ED至点F，使DF＝ED，连接BF. 结论：△CDE≌△ ⇒BF＝ ⁠， BF∥ ⁠. BDF　 CE　 CE　 2 3 1 2. 如图，在△ABC中，D是BC边上的中点， DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于 点F，连接EF. 求证：BE＋CF＞EF. 证明：如图，延长FD到G， 使DG＝FD，连接BG，EG. ∵D是BC边上的中点， ∴BD＝CD. 在△BDG和△CDF中， 2 3 1 ∴△BDG≌△CDF(SAS).∴BG＝CF. ∵DE⊥DF，∴∠EDF＝∠EDG＝90°. 在△EDF和△EDG中， ∴△EDF≌△EDG(SAS). ∴EF＝EG. 在△EBG中， ∵BE＋BG＞EG，∴BE＋CF＞EF. 2 3 1 类型二　截长补短法 3. 如图，在四边形ABDE中，AB∥DE，C是BD 边的中点.若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，猜 想线段AE，AB，DE的长度满足的数量关系，并 证明. 思路一(截长法)：在AE上截取AF＝AB，连接CF. 2 3 1 解：AE＝AB＋DE. 证明如下： ∵AC平分∠BAE， ∴∠BAC＝∠FAC. 在△ACB和△ACF中， ∴△ACB≌△ACF(SAS). ∴BC＝FC，∠ACB＝∠ACF. 2 3 1 ∵C是BD边的中点，∴BC＝CD. ∴CF＝CD. ∵∠ACE＝90°， ∴∠ACB＋∠DCE＝90°，∠ACF＋∠ECF＝90°. ∴∠ECF＝∠ECD. 在△CEF和△CED中， ∴△CEF≌△CED(SAS).∴EF＝ED. ∵AE＝AF＋EF，∴AE＝AB＋DE. 2 3 1 思路二(补短法)：延长ED到M，使得DM＝AB， 连接CM. 解：AE＝AB＋DE. 证明如下∵ED∥AB， ∴∠B＝∠CDM. 又∵点C是BD的中点， ∴BC＝DC. 2 3 1 在△ABC和△MDC中， ∴△ABC≌△MDC(SAS). ∴AC＝MC，∠ACB＝∠MCD. ∵∠ACB＋∠ACD＝180°， ∴∠MCD＋∠ACD＝180°. ∴点A，C，M在同一直线上. ∵∠ACE＝90°，∴∠MCE＝90°. 2 3 1 在△AEC和△MEC中， ∴△AEC≌△MEC(SAS).∴AE＝ME. 又∵EM＝DE＋DM＝DE＋AB， ∴AE＝DE＋AB. 2 3 1 $