第14章 方法技巧专题 全等三角形的基本模型-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（沪科版·新教材）

71 方法技巧专题 全等三角形的基本模型 模型构建 模型构建→+++++ 模型一平移模型 模型二轴对称模型 常见的平移模型： 常见的轴对称模型： + 1.如图，AB=DE,AB∥DE,BE=CF.求证： △ABC≌△DEF. 3.如图，∠B=∠D,请你添加一个条件（不得添加 辅助线)，使得△ABC≌△ADC,并说明理由. 4.如图，BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,AD =AE.求证：BE=CD. 2.如图，点A,B,C,D在同一条直线上，AB= CD,AE∥BF,CE∥DF,求证：AE=BF 5.如图，A,C,D,B四点共线，且AC=BD,∠A =∠B,∠ADE=∠BCF. 求证：DE=CF. 072 6.如图，BE⊥AC,CD⊥AB,垂足分别为E,D, (2)若∠A=40°，求∠BCD的度数. BE=CD.求证：AB=AC 模型构建 模型构建 模型三旋转模型 模型五综合模型 常见的旋转模型： 平移+对称模型： 平移十旋转模型： 十m十m十m m-十m十m-十 7.如图，已知AB=AC,AB⊥AC,AD⊥AE,且 9.如图，点B,F,C,E在同一条直线上，FB= ∠ABD=∠ACE.求证：AD=AE. CE,AB∥ED,AC∥FD.求证：AC=DF, 10.如图，AB=BC,BD=CE,AB⊥BC,CE⊥ BC.求证：AD⊥BE 模型四一线三等角模型 X 8.如图，B,C,E三点在同一条直线上，AC∥DE, AC=CE,∠ACD=∠B (1)求证：BC=DE;4.BE=CF,∴.BE+EF=CF+ 的距离 证△ADE≌△CBF: EF,即BF=CE,在△ABF和12.·∠MCF=∠F,∠ACB=∠MCF, (2)成立，理由同(1)； (AB=DC .∠F=∠ACB. (3)AD∥CB..'△ADE≌△CBF △DCE中， ∠B=∠C, 又∠D=∠B=90°， ∴∠A=∠C,∴.AD∥CB. BF-CE .∠DEF=∠BAC,·AE= 第4课时其他判定两个三角 .∴.△ABF≌△DCE(SAS) CF,∴AE+EC=CF+EC,即 形全等的条件 ∴.AF=DE. AC=EF.在△ABC和△EDF 1.B2.△DCO AAS 5.在△ABO和△ACO中， ∠BAC=∠DEF, 3.AB=AC或∠B=∠C或∠ADB OA=OA, 中，AC=EF, =∠ADC ∠AOB=∠AOC, ∠ACB=∠F, 4.易证∠BAD=∠CAE.在△BAD OB=OC, .△ABC≌△EDF(ASA). 与△CAE中， ∴.△ABO≌△ACO,.AB=AC. ∴.BC=DF I∠BAD=∠CAE, 6.△ABC与△ABD不全等. 13.,△AEB由△ADC旋转而得， ∠ABD=∠ACE, 7.D 8.B 9.A 10.AC=DF ∴.∠AEB=∠ADC=90°，AE= BD=CE, 11.50° AD.在△AEN和△ADM中， ..△BAD≌△CAE(AAS) 12.因为AC∥DE,所以∠A= ∠AEN=∠ADM,AE=AD, ∴.AB=AC,AD=AE. ∠BDE,在△DEB和△ABC中， ∠EAN=∠DAM, 5.由∠ECB=70°得∠ACB=110°， BD=CA, .△AEN≌△ADM, .∠D=110°，.∠ACB=∠D ∠BDE=∠A, ..AM=AN. AB∥DE,∴.∠CAB=∠E DE-AB. 第3课时三边分别相等的 .在△ABC和△EAD中， 所以△DEB≌△ABC. 两个三角形 '∠ACB=∠D 13.因为BC∥DE,所以∠ABC= 1.D2.C ∠CAB=∠E, ∠BDE,在△ABC和△EDB3.CE SSS △ABF △CDE AB-AE 4.证明略. ..△ABC≌△EAD(AAS) (AB=DE ∠ABC=∠BDE, 5.三角形具有稳定性 6.C7.48.D 中， BC=BD 6.A7.C8.C9.D 9.∠ACB=∠DFE∠A=∠D 10.BD=AC11.3 10.①③④ 所以△ABC≌△EDB(SAS),所： 12.(3,-3)或(-1,3)或(-1，-3) 11.∠CMD=90°，∴.∠CMA+ 以∠A=∠E. 13.∠BAD=∠CAD.理由： ∠DMB=90°，又.∠CAM= 14.(1)△ABE≌△ACD,证略 90°，.∠CMA+∠C=90°， (2)CD⊥BE,则∠DCA=∠B .'AB=AC,AE= 子AB,AF .∠C=∠DMB. 45°可证. 第2课时两角及其夹边分别相 3AC,.AE=AF,在△AOE和 ∠A=∠B ∠C=∠DMB, 等的两个三角形 AO=AO, CM-MD 1.C2.C △AOF中， AE=AF, ∴.Rt△ACM≌Rt△BMD(AAS), 3.∠ACB=∠CAD(答案不唯一) OE=OF, .'BD=AM=12m, 4.证明略.5.A6.证明略. .△AOE≌△AOF(SSS), .BM=20-12=8(m), 7.C8.D9.B ∴.∠EAO=∠FAO,即∠BAD ,该人的运动速度为2m/s, 10.∠ABC=∠BAD =∠CAD. ∴.他到达点M时，运动时间为8 11.有道理.理由如下： 14.连接AC,在△ADC和△CBA ÷2=4(s) 在△ABC和△A'BC中， DC=AB, 12.AC=AB,理由如下： ∠ABC=∠A'BC=∠a, 中，AD=BC, :∠1=∠2=∠3， .BC=BC, AC=CA, ∴∠CAE=∠BAD,∠B=∠C, ∠ACB=∠A'CB=∠B, .△ADC≌△CBA(SSS), 在△ACE和△ABD中， .△ABC≌△A'BC(ASA) .∠DAC=∠BCA, ∠CAE=∠BAD 那么测出点A'到BC(陆地)的 AD∥BC,∴∠E=∠F. ∠C=∠B 距离即可得出轮船与陆地之间15.(1)先证AE=CF,再用“SSS”可 CE=BD 49 .△ACE≌△ABD(AAS), .∠BCE=90°，即BC⊥CE; 又：AC=AB,PA=QA, ..AC=AB. (2).ABI AD,EDI AD. .△PAC≌△QAB,∴.CP=BQ 13.(1):∠BAD+∠EAC=∠BAC .∠A=∠CDE=90. 方法技巧专题全等三角 =90°，又CE⊥AE,∠ACE 又：AB=CD,AD=DE, 形的基本模型 +∠EAC=90°，∴.∠BAD= .△ABD≌△DCE 1.:AB∥DE,∴.∠CBA=∠FED, ∠ACE,:BD⊥AE,CE⊥AE, ∴∠B=∠DCE. BE=CF,∴.BE+EC=CF+ .∠BDA=∠AEC=90°， :∠B+∠ADB=90°， EC,即BC=EF,在△ABC和 又AB=AC,.△ABD≌ .∠ADB+∠DCE=90°.BD⊥CE. AB-DE △CAE(AAS),.AE=BD,AD 基础训练专题全等三角形判定与 △DEF中，∠CBA=∠FED, =CE,.BD=AE=AD+DE= 性质的综合运用 BC=EF DE+CE; 1.D2.B3.D4.C5.C6.D ∴.△ABC≌△DEF(SAS). (2)线段BD,DE,CE之间关系 7.1或3 2.AE∥BF,∴.∠A=∠FBD. 为：DE=BD十CE.理由如下： 8.连接AD,在△BAD和△CDA中， CE∥DF,∴.∠D=∠ACE.:AB 同(1)可证△ABD≌△CAE, AB=CD(已知)， =CD,∴.AB+BC=CD+BC,即 ∴.BD=AE,AD=CE, :{DB=AC(已知)， AC=BD.在△ACE和△BDF中， 又：DE=AE+AD,DE= AD=DA(公共边)， :∠A=∠FBD,AC=BD,∠ACE BD+CE. ∴.△BAD≌△CDA(SSS),∴.∠B= =∠D,∴.△ACE≌△BDF(ASA), 第5课时两个直角三角形全等 ∠C(全等三角形对应角相等). ∴.AE=BF 的判定 9.,CF⊥BE,∴.∠A=∠BFC=3.答案不唯一，如添加∠BAC= 1.B2.A3.40°4.证明略 90°，：AD∥BC,.∠AEB= ∠DAC.理由略， 5.B ∠FBC,在△AEB和△FBC中， 4.BD⊥AC,CE⊥AB, 6.(1)AD=BC HL I∠BAD=∠BFC .∠ADB=∠AEC=90°. (2)∠ABD=∠BAC AAS ∠AEB=∠FBC, 在△ADB和△AEC中， (3AC=BD HL BE=BC :∠ADB=∠AEC,AD=AE,∠A (4)∠BAD=∠ABC AAS ∴.△AEB≌△FBC(AAS), =∠A,∴.△ADB≌△AEC(ASAU, 7.C8.C9.C10.90°11.4 ∴.BF=AE. ∴.AB=AC,又AD=AE,AB 12.证明略. 10.(1)AB∥CD,.∠A=∠C, -AE=AC-AD,即BE=CD. 13.可供选择的条件可以从以下几条 .AM=CN,..AN=CM, 5..AC=BD,..AC+CD=BD+ 中任选其一：①∠C=∠C;②BC 在△ABN和△CDM中， CD,即AD=BC.在△AED和 =BC';③∠BAC=∠BA'C': (AB-CD △BFC中，∠A=∠B,AD= ④AC=A'C';⑤∠DAC=∠DA' ∠A=∠C, BC,∠ADE=∠BCF,∴.△AED C';⑥DC=D'C'. AN-CM ≌△BFC(ASA),.DE=CF. 例：补充①∠C=∠C .△ABN≌△CDM(SAS): 6.BE⊥AC,CD⊥AB, 证明如下：，AB=A'B',AD= (2)BM∥DN,理由如下： .∠BEA=∠CDA=90°， A'D',∠ADB=∠A'D'B'=90. 在△ABM和△CDN中， 在△ABE和△ACD中， ∴.Rt△ABD≌Rt△A'B'D(HL). (AB-CD :∠BEA=∠CDA,∠A=∠A, ∠B=∠B,AB=A'B, ∠A=∠C, BE=CD,.△ABE≌△ACD ∠B=∠B',∠C=∠C AM=CN (AAS),∴.AB=AC. .△ABC≌△A'B'C'. .△ABM≌△CDN(SAS), 7..ABLAC,AD⊥AE, 14.(1)AB⊥AD,ED⊥AD, ∴.∠AMB=∠DNC, .∠BAC=∠DAE=90°， ∴.∠A=∠D=90 ∠AMB+∠BMN=180°， ∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE 又AB=CD,AC=DE, ∠DNC+∠MND=180°， ∠DAC,即∠BAD=∠CAE .△ABC≌△DCE ∴.∠BMN=∠DNM,.BM∥DN. 在△ABD和△ACE中， .∴.∠B=∠DCE. 11.略 ·∠BAD=∠CAE,AB=AC, ∠B+∠ACB=90°， 12..∠QAP=∠BAC, ∠ABD=∠ACE, ∴.∠ACB+∠DCE=90°. ∴∠PAC=∠QAB. ∴.△ABD≌△ACE(ASA), ..AD-AE ∠ADE=∠ECF, 8.(1)AC∥DE,.∠ACB=∠E, △FCE中， DE=CE, ∠ACD=∠D.:∠ACD=∠B, ∠AED=∠FEC, ∠D=∠B.在△ABC和△CDE ∴.△ADE≌△FCE(ASA), 中，：∠ACB=∠E,∠B=∠D, ∴.AE=EF,AD=CF,BE⊥ AC=CE,∴.△ABC≌△CDE AF,∴∠AEB=∠FEB=90°， (AAS),..BC=DE. 根据“SAS”可证得△AEB≌ (2)∠BCD=140°. △FEB.∴.AB=BF=BC+CF, 9..FB=CE,..FB+FC=CE+ AD=CF(已证)， FC,即BC=EF.:AB∥ED,AC ∴.AB=BC十AD(等量代换) ∥FD,∴.∠B=∠E,∠ACB=3.取AB的中点E,则AB=2AE= ∠DFE.在△ABC和△DEF中， 2BE..'AB=2AC,..AE=AC. :∠B=∠E,BC=EF,∠ACB= :AD平分∠BAC,∴.∠EAD= ∠DFE,.△ABC≌△DEF ∠CAD.在△DEA和△DCA中， (ASA),.'.AC=DF. (AE=AC, 10.设AD,BE交于点F.,AB⊥ EAD-/CAD, BC,CE⊥BC,∴.∠ABD=∠C AD-AD. =90°.在△ABD和△BCE中， ,∴.△DEA≌△DCA(SAS). :AB=BC,∠ABD=∠C,BD .∠ACD=∠AED =CE,.△ABD≌△BCE .AD-BD.AE-BE,DE-DE, (SAS),∴.∠A=∠CBE ∴.△ADE≌△BDE(SSS) :∠CBE+∠ABE=9O°， ∴.∠AED=∠BED. ∴.∠A+∠ABE=90°， 又：∠AED+∠BED=180°， 则∠AFB=90°，∴.AD⊥BE. ∴.∠AED=∠BED=90° 方法技巧专题构造全等三角形 ∴.∠ACD=90°，∴.DCLAC. 的常用方法 4.延长AD至点E,使DE=AD,连 1.连接AC.在△ABC与△ADC 接CE.在△ABD和△ECD中， (AB=AD, (AD=DE, 中，：{BC=DC, ∠ADB=∠EDC, LAC=AC, BD-CD, ..△ABC≌△ADC(SSS) .△ABD≌△ECD,∴.AB=EC. ∴.∠BAC=∠DAC 在△ACE中，AC+EC>AE= E,F分别是AB,AD的中点， 2AD,..AB+AC>2AD. AE=专AB,AF=AD, 5.作CGLBE于点G,作BF⊥CD交 CD的延长线于点F,∴.∠BFC= AB=AD,.AE=AF.在△AEC ∠CGB=90°.在△BFC和△CGB AE-AF. I∠BFC=∠CGB, 与△AFC中， /EAC=∠FAC, 中，∠FCB=∠GBC, AC=AC, BC=CB. .∴.△AEC≌△AFC(SAS)..EC ∴.△BFC≌△CGB(AAS),.BF= =FC. 2.延长BC、AE相交于点F.AD CG:∠DCB=∠EBC=3∠A, ∥BC(已知)，∴.∠ADE=∠ECF ∴.∠BDF=∠ABE+∠EBC+ (两直线平行，内错角相等)，，E ∠DCB=∠ABE+∠A,·∠BEC 是CD的中点（已知），.DE=CE =∠ABE+∠A,∴∠BDF (中点的定义).在△ADE与 ∠BEC.在△BDF和△CEG中， 52 ∠BDF=∠CEG, =∠4.在△CFG和△CFD中， ∠BFD=∠CGE, ∠CFG=∠CFD, BF=CG. FC=FC. ∴.△BDF≌△CEG(AAS),∴.BD ∠3=∠4， =CE. .∴.△CFG≌△CFD(ASA). 6.在AB上截取AF=AD,连接 .FG=FD,.FE=FD. EF.:AE平分∠PAB, 章未核心考点整合与素养提升 ∴.∠DAE=∠FAE.在△DAE1.D2.C 和△FAE中， 3.证△ADE≌△ACB,得DE=CB. AD-AF, 4.B ∠DAE=∠FAE, 5.(1)证明：连接AD AE-AE, 在△ABD与△ACD中 .△DAE≌△FAE(SAS). (AB=AC ∴∠AFE=∠ADE.AD∥BC, BD=CD ∴.∠ADE+∠C=180°.又： LAD-AD ∠AFE+∠EFB=18O°，∴.∠EFB .∴.△ABD≌△ACD(SSS), =∠C.BE平分∠ABC, .∠B=∠C. ∴.∠EBF=∠EBC. (2)∠B+∠C+∠BAC+∠BDC 在△BEF和△BEC中， =360°且∠B=∠C.∴.∠B= ∠EFB=∠C, 360°-120°-80=80. ∠EBF=∠EBC, 6.C7.①②③8.C9.C10.D BE=BE, ∴.△BEF≌△BEC(AAS). 11.C12.D13.①② 14.(1)利用AAS证△DEF≌ ∴.BC=BF.∴AD+BC=AF+ △ABC: BF,即AD+BC=AB. (2)△OAB≌△ODE,△OEF≌ 7.在AC上截取AG=AE,连接 △OBC,△ABF≌△DEC, FG,:AD是∠BAC的平分线， △OBF≌△OEC,△BCF≌ .∠1=∠2.在△AEF和△AGF △EFC,△BEF≌△EBC. (AE-AG, 15.(1)证明：∠BAE=∠CAD, 中， ∠1=∠2， ∴.∠BAE-∠DAE=∠CAD AF-AF, ∠DAE,即∠BAD=∠CAE, ∴.△AEF≌△AGF(SAS) 在△ABD和△ACE中， ∠AFE=∠AFG,FE=FG AB=AC ∠B=60°，∴.∠BAC+∠ACB ∠BAD=∠CAE, =180°-60°=120°. AD-AE :AD,CE分别是∠BAC,∠BCA .△ABD≌△ACE(SAS). 的平分线，∠2=日∠BAC,∠3 (2),△ABD≌△ACE,∠ABD= 20°，.∠ACE-∠ABD=20°， =3∠ACB,∠2+∠3 :∠BAC=82°，∴.∠ABC+∠ACB ZBAC+∠ACB=X120 =180°-82°=98°，∴.∠FBC+ ∠FCB=∠ABC+∠ACB- =60°，.∠AFE=∠CFD (∠ACE+∠ABD)=58, ∠AFG=60°..∠CFG=180° ∴.∠BFC=180°-（∠FBC+ /AFG-/CFD=180°-60° ∠FCB)=122°. 60°=60°，.∠CFG=∠CFD. 16.(1)垂直相等 :CE是∠BCA的平分线，.∠3 (2)成立.理由略. 53 第15章轴对称图形与等腰三角形 点为(-2，m,于是生”=-4， 15.1轴对称图形 第1课时轴对称图形 m=一9，则C的对称点坐标 1.C2.B3.B4.略.5.A6.A 为(-2，-9). 7.(-1,1)8.10无数9.略. (2)SAAc=10. 第2课时轴对称的性质及作 15.(1)△A2B2C2的三个顶点的坐 轴对称图形 标分别是A2(4,0),B2(5,0),C2 1.B2.C3.D4.B5.⊥2.5 (5,2); 6.67.略.8.C9.D10.C11. (2)当0<a<3时，P与P,关 1512.10:21 于y轴对称，P(-a,0),∴.P 13.根据轴对称的性质，得PM= (a,0),又P与P2关于l:直 PM,PN=P2N,△PEF的周长 线x=3对称，设P2（x,0),可 为：PM+PN+MN=P,M+ 得空=3，即x=6-aR(0 P2N+MN=P,P2=5cm.所以 △PEF的周长为5cm. -a,0),则PP2=6一a一（一a)=6 14.略. -a+a=6. 15.(1)连接BB,画线段BB的垂直 15.2线段的垂直平分线 平分线EE则直线EF是△ABC1.B2.B 和△AB'C的对称轴. :3.因为直线MN垂直平分线段 (2)连接BO,BO,B”O.因为 AB,CD,所以OA=OB,OC= △ABC和△A'B'C'关于直线MN OD.所以OA+OC=OB+OD, 对称，所以∠BOM=∠BOM.又 即AC=BD. 因为△A'B'C'和△ABC"关于直4.B5.AC6.B 线EF对称，所以∠BOE=7.连接AB,作线段AB的垂直平分线 ∠BOE,所以∠BOB=2(∠B'OM 1,则1为所求作的直线，作图略. +∠B'OE)=2a. 8.C9.A10.D11.②③④ 第3课时平面直角坐标系中的对称 12.1913.32 1.B2.B3.B 14.(1)∠C=35°： 4.(1)(3,一1)(2)图略. (2),△ABC周长为13cm,AC 5.(1)3 =6cm,AD垂直平分BE,EF (2)D(-3,0),E(-3,3),F(-1, 垂直平分AC,.AB+BE+EC 3).图略. =7cm,即2DE+2CE=7cm, 6.(1)由图象可得：点A(0,-1),点 .'DE+CE=CD=3.5 cm. B(2,-1),点C(2,-2): 15.(1)图略. (2)先将△ABC沿y轴翻折，得到 (2)B点关于EF的对称点是点 △ABC,再将△ABC向上平移3 A,连接AD,则AD是BM十 个单位可得△DEF. MD长度的最小值，因为在等腰 7.(0,4)8.A9.C10.A △ABC中，D是底边BC的中点， 11.向下平移2个单位或关于x轴 所以AD1BC,由Sx=号AD· 对称 12.(5,-3)13.(-2022,2) BC=10,解得AD=5.所以BM 14.:A、B关于某条直线对称，且 +MD长度的最小值为5. A、B的横坐标相同，.对称轴平 15.3角的平分线 行于x轴，由题意，得对称轴为 第1课时角平分线的尺规作图 1.OD内部角平分线SSS y=二26=-4，y=-4.则2.B3.C4.略. 2 设C(-2,1)关于y=-4的对称5.(1)14(2)图略. 54