13.2 命题与证明-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（沪科版·新教材）

45 13.2命题与证明 第1课时 命题 01基础达标 B.若x=1,y=0,则x2>y2 C.若x=-2,y=-3,则x2<y2 知识点一命题及相关概念 D.若x=-5,y=-2,则x2>y 1.下列语句是命题的是 A.在直线AB上取一点D 02能力提升 B.画出∠AOB的平分线OC 7.逆命题“两直线平行，同旁内角互补”的原命题 C.过线段AB的中点C画AB的垂线 是 D.锐角的余角是锐角 8.已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下 2.命题“对顶角相等”的题设是 列四个命题： A.对顶角 B.两个角是对顶角 ①如果a∥b,a⊥c,那么b⊥c;②如果b∥a,c∥ C.相等 D.这两个角相等 a,那么b∥c;③如果b⊥a,c⊥a,那么b⊥c;④ 知识点二真命题与假命题 如果b⊥a,c⊥a,那么b∥c. 其中真命题有 .(填写所有真命题 3.下列命题中，是假命题的是 的序号) A.若ab>0,则2>0 9.将下列命题改写成“如果…那么…”的形式，并 B.在同一平面内，若a⊥b,b⊥c,则a∥c 判断命题的真假， C.平行于同一直线的两条直线平行 (1)等边三角形的三条边相等； D.一个角的补角是锐角或钝角 (2)分数一定是实数； 4.下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题？如 (3)相交成直角的两条直线互相垂直； (4)和为180°的两个角叫做邻补角. 果是命题，试判断真假. (1)对顶角相等；(2)如果a是有理数，那么a+ 1>0;(3)若a∥c,b∥c,那么a∥b;(4)1是质数； (5)不相交的两条线是平行线；(6)奇数一定是 质数吗？(7)画一个半径是1cm的圆；(8)任何 数的绝对值都是正数. 03 思维拓展 知识点三互逆命题 10.当n=0,1,2,3,4,5时，可以验证：代数式n 5.命题“如果a+b<0,那么ab<0”的逆命题是 n十11的值是质数，能否说命题“对于自然 ,它是 数n,代数式n2一n+11的值总是质数”是真 (填“真命题”或“假命题”). 命题？若不是，请举一个反例. 6.举反例说明命题“若x>y,则x2>y2”是一个 假命题的举例正确的是 A.若x=5,y=2,则x2>y 46 第2课时 定理及证明 01基础达标 02能力提升 知识点 定理及证明 4.(1)完成下面的推理说明： 1.下列命题：①两点之间线段最短；②三角形的 已知：如图，BE∥CF,BE、CF分别平分 内角和等于180°；③相等的两个角是对顶角： ∠ABC和∠BCD. A 求证：AB∥CD. ④如果三角形的两条边长分别为5和8，那么 证明：：BE、CF分别平分 第三边长x的取值范围是3<x<13.其中真 ∠ABC和∠BCD(已知)， 命题有 ,定理有 ∠1= 2.如图，∠B十∠BCD=180°，∠B=∠D. 2 求证：∠E=∠DFE ∠2= 1 2 证明：.∠B+∠BCD= .BE∥CF( 180°，（已知） ∴.∠1=∠2( .AB∥CD,( 号∠A0 2∠BCD( ∴.∠B= .∠ABC=∠BCD(等式的性质) .AB∥CD( (2)说出(1)的推理中运用了哪两个互逆的真 又.∠B=∠D,(已知) 命题. ∠D= ,(等量代换) ∥ ,(内错角相等，两直线平行) ∴.∠E=∠DFE.( 3.如图，已知∠1=∠2，BD平分∠ABC,可推出 03 思维拓展 哪两条直线平行？写出推理过程.如果要推出 5.如图，有如下三个论断：①AD∥BC,②∠B= 另两条线段平行，则应将以上两个条件之一作 ∠C,③AD平分∠EAC 如何改变？ (1)请以其中两个为条件，另一个为结论构造 命题，你能构造哪几个命题？ (2)请根据(1)中的真命题，选择一个进行证明， 47 第3课时」 直角三角形的两锐角互余 01基础达标 知识点三有两个角互余的三角形是直角三角 形 知识点一三角形内角和定理的证明 5.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形 1.如图是小红为证明三角形内角和是180°所采 的是 取的构图方法：过点A作AD∥BC.请你利用 A.∠A+∠B=∠C 小红的构图，说明∠BAC+∠B+∠C=180° B.∠A-∠B=∠C 的理由. C.∠A:∠B:∠C=1:2:3 D.∠A=∠B=3∠C 6.如图，已知△ABC为直角三角形，∠BAC= 90°，AD⊥BC,FG⊥BC,垂足分别为D,G,且 ∠CFG=∠ADE,判断△BDE的形状，并说明 理由 知识点二直角三角形的两锐角互余 2.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则 另一个锐角的度数是 A.40° B.50° C.60° D.70° 3.如图，CA⊥BE于A,AD A ⊥BF于D,∠a=32°，则 ∠B= B∠ D C 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD1 AB,垂足为D.求证：∠A=∠DCB. 02能力提升 7.如图，在四边形ABCD中，CD∥AB,AC⊥ BC,若∠B=50°，则∠DCA等于 A.30 B.35 C.40 D.45° 第7题图 第8题图 8.如图，在△ABC中，∠A=45°，三角形ABC的高 线BD,CE交于点O,则∠BOC的度数() A.120° B.125° C.135° D.145 48 9.如图，直线EF∥直线GH,在Rt△ABC中， 03 思维拓展 ∠C=90°，顶点A在GH上，顶点B在EF上， 且BA平分∠DBE,若∠CAD=26°，则 14.如图，∠MON=90°，AP平分∠MAB,BP平 ∠BAD的度数为 分∠ABN, A.26° B.329 C.34° D.45 (1)求∠P的度数； (2)若∠MON=80°，其余条件不变，求∠P 的度数； (3)经过(1)、(2)的计算，猜想并证明∠MON 与∠P的关系， 第9题图 第10题图 10.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE 是三角形∠BAC的角平分线，若∠EAD= 5°，∠B=50°，则∠C的度数为 11.如图所示，在△ABC中，边BC 不动，点A竖直向上运动，∠A 越来越小，∠B,∠C越来越大.B 若∠A减少α度，∠B增加3度，∠C增加Y 度，则α，B,y三者之间的等量关系是 12.在△ABC中，∠A=50°，BD、CE分别是边 AC、AB上的高，直线BD与CE交于点H, 则∠BHC的度数为 13.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D,DE∥BC 交AC于点E,EF⊥CD于点G,交BC于点F. (1)判断∠ADE与∠EFC是否相等，并说明 理由； (2)若∠ACB=72°，∠A=60°，求∠DCB的 度数 49 第4课时 三角形的外角 01基础达标 (1)证法1：.∠BAE是△ABC的一个外角， 知识点一 三角形的外角及其性质 同理，∠CBF=∠1十∠3. 1.如图，点D在线段BC的延长线上，过点B作 ∠ACD=∠1+∠2. 射线BF交AC于点E,则下列是△ABE的外 ∴.∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+ 角的是 ∠3). A.∠ACD B.∠AEB C.∠AEF D.∠CEF .∠BAE+∠CBF+∠ACD=2X180°= 360° 请把证法1补充完整 E (2)第二种思路：在图中添加辅助线，将三角形 D 第1题图 第3题图 的三个外角“集中”到同一顶点处，证明它们的 2.下面四个图形中，能判断∠1>∠2的是( 和是360°.请你根据第二种思路，完成证明. 2 B C D 人2 3.如图，将三角形纸板的直角顶点放在直尺的 边上，∠1=20°，∠2=40°，则∠3等于() A.50° B.30° C.20° D.15 4.如图，在△ABC中，∠CAE=18°，∠C=42°， ∠CBD=27°，求∠AFB的度数. 02能力提升 6.如图，∠1、∠2、∠3是△ABC的外角，若∠1： ∠2：∠3=4：3：2，则∠ABC的度数为() A.60° B.80 C.909 D.100 第6题图 第7题图 知识点二三角形的外角和 7.如图，下列说法不正确的是 5.用两种方法证明“三角形的外角和等于360°” A.∠B+∠ACB<180 如图，∠BAE,∠CBF,∠ACD是△ABC的三 B.∠B+∠ACB=180°-∠A 个外角 C.∠B>∠ACD 求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°. D.∠HEC>∠B 50 8.小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆 03 思维拓展 放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D= 30°，则∠a十∠3等于 () 13.如图，∠AOB=90°，点C,D分别在射线OA, A.180° B.210° C.360° D.270° OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延 长线与∠CDO的平分线交于点F. (1)当∠OCD=56(如图1)，试求∠F的度数； (2)当C,D在射线OA、OB上任意移动时（不 与点O重合)（如图2），∠F的大小是否变 第8题图 第9题图 化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠F 9.一天，爸爸带小明到建筑工地玩，看见一个如 的度数. 图所示的人字架，爸爸说：“小明，我考考你，这 个人字架的夹角∠1等于120°，你知道∠3比 ∠2大多少吗？”小明马上得到了正确的答案， 他的答案是 10.如图，△ABC中，∠A=55°，将△ABC沿DE 翻折后，点A落在BC边上的点A'处.如果 图2 ∠A'EC=70°，那么∠A'DB的度数为 第10题图 第11题图 11.【跨学科·物理】实践小组利用激光笔和平面 镜演示平行光的反射实验.如图，一组平行光 线a,b,c经过平面镜反射后得到一组互相平 行的反射光线.若∠1=∠2=65°，则∠3的度 数为 12.一个零件的形状如图所示，按规定∠A=90°， ∠B和∠C分别是32°和21°的零件为合格零 件，现质检工人量得∠BDC=149°，就断定这 个零件不合格，请你运用三角形的有关知识 说明零件不合格的理由.(3)①当3x=30×分时，得=5：2.1号h甲车行驶的路程为15×号 答：A种书架的单价为600元，B种 书架的单价为500元； ②当-0.5x+35=30×7时，得 =42(km), (2)由题意可得， .∴.m=42: w=600a+500(20-a)=100a+ x=40.即油箱中油量为油箱容积 (2)点C的横坐标为0十5 1 4 的一半时x的值是5或40. 10000,由题意，得a≥3(20-a),解 6.(1)30 点C的纵坐标为135×是 3 得a≥5， (2)①设小丽步行的速度为 .∴.当a=5时，取得最小值，此时 m/min,小明步行的速度为 36C(哥36)，根据图象，得36 w=10500,20-a=15 2m/min,且o2>v,则 /30+30=5400 +(侣)a=2+4,解得a= 所以费用最少时的购买方案是购 买A种书架5个，B种书架15个. (67.5-30)0=3002 100: 章末核心考点整合与素养提升 (3)乙车在CD段行驶的时间为 1.x≥22.C3.C 解得： /0=80 2=100 (50-36)÷100= 品，则乙车 答：小丽步行的速度为80m/min, 4①≠8(2-号y=- 在该路段行驶的平均速度为50 小明步行的速度为100m/min; (3)≠-6=2(4)3 ②设点C的坐标为(x,y),则可 ÷(告+)=792kmw. 5.A6.C 7.B8.A9.C 得方程(100+80)(x-30)+80 3 :7500 10.B11.D12.A13.x=-2 (67.5-x)=5400,解得x=54,y 61>120, 14.(1)蜜枣棕的进货单价是4元，肉 =(100+80)(54-30)=4320m, 乙车在该区间测速路段超速. 棕的进货单价是10元； ∴.点C(54,4320).点C表示：两 综合与实践（二）函数建模与 (2)设第二批购进肉棕y个，则蜜 人出发54min时，小明到达甲地， 方案选择 枣粽购进(300一y)个，设获得利润 此时两人相距4320m. 1.(1)设该扎染坊第一次购进甲种 为元，由题意得：=(14一10)y 综合与实践（一）函数建模与 布料x件，购进乙种布料y件. 根据题意，得 +(6-4)(300-y)=2y+600, 运动问题 2>0,.®随y的增大而增大 1.(1)由图象可知，A,B两岛之间的 |x+y=80, 解得 x=25, y≤2(300-y),.0<y≤200， 距离为25km;B,C两岛之间的距 60x+40y=3700, y=55. ∴.当y=200时，有最大值， 离为60km;A,B,C三个海岛在 答：该扎染坊第一次购进甲种布 一条直线上，A,C两海岛间的距离 料25件，购进乙种布料55件. 0大做=400+600=1000. 为25+60=85(km);巡逻船从A岛 (2)根据题意，得m≤1.5(100一 答：第二批购进肉粽200个时，总 利润最大，最大利润是1000元. 到B岛的时间为0.5h,.巡逻船 m),解得m≤60， 的速度为25÷0.5=50(km/h), W=(100-60)m+(70-40)(100 15.D16.B17.B18.A19.B 巡逻船从B岛至C岛的时间 -m)=10m+3000, 20.(1)m>-2,n为任意实数. (2)m≠-2且n>3. 为60÷50=1.2(h),∴.函数图象 .10>0,.∴.W随m的增大而增大 中括号处缺失的数据为0.5+1. ∵m≤60， (3)5=子 .当m=60时，W值最大，W最大 2=1.7; 21.(1)观察图象可知：x=7,y =10×60+3000=3600,100-60 (2)设PN段的一次函数解析式 2.75这组数据错误 =40(件) 为y=kx+b,将N(0.5,0),P(1. (2)设y=kx十b,把x=1,y= 答：第二次购进甲种布料60件、乙 7,60)代入解析式，得 0.75,x=2,y=1代人可得 种布料40件，全部售完后获得的 0=0.5k+b, 解得/50， 最大利润是3600元. k+b=0.75 k一4 60=1.7k+b, b=-25, 2.(1)设B种书架的单价为x元，则A ,解得 2k+b=1 ∴.PN段的y关于x的函数解析式 种书架的单价为x(1+20%)= b2 为y=50x-25(0.5x1.7): (3)15×2÷50=0.6(h) 12x元，2-20-6，居得x .y=4x+2 答：该巡逻船能接收到该信号的 500,经检验，x=500是原分式方程 当x=16时，y=4.5, 时长为0.6h. 的解，∴.1.2x=600, 答：秤杆上秤砣到秤纽的水平距 43 离为16cm时，秤钩所挂物重是 13.原式=a+b+c. 6.(1)略；(2)S△ABc=4; 4.5斤. 14.由已知得b-2=0,c-3=0,则b 1 22.(1)C点横坐标的实际意义是游 =2,c=3,又，x-4=2,x-4 (3)SAAc=2AE·BC=zX3X 轮从杭州出发前往衢州共用了 =±2，则x=6或x=2,即a=6 BC=.解得BC-号 23h.游轮在“七里扬帆”停靠的 或a=2,当a=6时，2+3<6，故 时长=23-(420÷20)=23-21 a=6(舍去)，所以a=2,则 7.8或168.B9. 39 10.711.9 =2(h). △ABC周长为2+2+3=7， 12.(1)BC边上的高 (2)①280÷20=14h, △ABC为等腰三角形. (2)∠BAC的平分线 .点A(14,280)点B(16,280), 15.(1)BD PC BD+PC BP+ (3)BC边上的中线 点E的横坐标为23-源-24， PC 13.(1)△ABD,△AEC,△BEC,因 (2)在△AMN中，AM+AN> .点E(22.4,420),设BC的解 为它们的面积均为△ABC面积 MN,在△MPB中MP+MB> 析式为s=20t+b,把B(16,280) 的一半. BP,在△NPC中，NP+NC> 代入s=201+b,可得b=-40, (2)△AMC. PC,将三个不等式相加得：AM .s=201-40(16≤1≤23)， 微课堂 +AN+MB+MP+PN+NC 同理由D(14,0),E(22.4,420) >MP+NP+PB+PC,即AB (2)2 可得DE的解析式为s=50t- +AC>BP+PC. 13.2命题与证明 700(14≤t≤22.4)，由题意：20t 第2课时三角形中角的关系 第1课时命题 -40=50t-700,解得1=22， 1.B2.A3.C4.D5.C 1.D2.B3.D .22-14=8(h), ∴.货轮出发后8h追上游轮. 6.60°35°90° 4.(1)(2)(3)(4)(5)(8)是命题，其 中(1)(2)(3)是真命题，(4)(5) ②相遇之前相距12km时，20t一40 7.设∠B=x°，则∠A=100°-x°， ∠C=2x°.故有(100°-x)+x°+ (8)是假命题，(6)(7)不是命题. -(50t-700)=12,解得t=21.6, 相遇之后相距12km时，50t一 2x°=180°，解得x=40.即∠A=5.如果ab<0,那么a十b0假命题 700-(20t-40)=12,解得t= 60°，∠B=40°，∠C=80°.因为6.C 22.4,当游轮在刚离开杭州 △ABC中，最大角∠C=80°. 7.同旁内角互补，两直线平行 12km时，此时根据图象可知货 所以△ABC是锐角三角形. 8.①②④ 轮就在杭州，游轮距离杭州 8.D9.A10.A11.C12.105°9.(1)如果一个三角形是等边三角 12km,所以此时两船应该也是 13.30°14.∠ADE=40°. 形，那么这个三角形的三条边相 相距12km,即在0.6h的时候，两 15.在△BOC中，有∠BOC+∠1+ 等，真命题， 船相距12km,故在0.6h或 ∠2=180°，在△ABC中，有 (2)如果一个数是分数，那么这个 21.6h或22.4h时游轮与货轮相 ∠A+∠ABO+∠1+∠2+ 数一定是实数.真命题， 距12km. ∠AC0=180°，：∠A=50°， (3)如果两条直线相交成直角，那 第13章三角形中的边角 ∠ABO=28°，∠ACO=32°， 么这两条直线互相垂直.真命题. 关系、命题与证明 .∠1+∠2=180°-∠A (4)如果两个角的和为180°，那么 13.1三角形中的边角关系 ∠ABO-∠ACO=70°， 这两个角叫做邻补角.假命题. 第1课时三角形中边的关系 .∠B0C=180°-∠1-∠2=10.不是真命题.如当n=11时， 1.C2.D 110°. n2-n+11=112-11+11=11 3.(1)3画图略；(2)6画图略. 16.(1)2<BC<8 ×11,不是质数 4.A5.C6.B (2)∠ADB=180°-∠ADC=40°， 第2课时定理及证明 7.C【变式】设第三边长为x,由题 在△ABD中，因为∠B+∠BAD:1.①②④② 意，得5-2<x<5+2,解得3<x +∠ADB=180°，且∠BAD=2.同旁内角互补，两直线平行 <7.第三边长为偶数，.x=4 ∠B.所以2∠B=180°-40°，所以 ∠DCE两直线平行，同位角相 或6，这个三角形的周长为11 ∠B=70°，在△ABC中，∠C= 等∠DCE AD BE两直线 或13. 180°-∠B-∠BAC=25°. 平行，内错角相等 8.B9.B10.B 第3课时三角形中几条重要线段3.可推出AD∥BC,推理过程略. 11.-3a<-212.21 1.B2.B3.C4.C5.50° 4.(1)ABC BCD角平分线的定 45 义已知两直线平行，内错角 .∠B=180°-∠A-∠ACB= 相等等量代换内错角相等， 48°，CD⊥AB,.∠BDC= 两直线平行 90°，.∠DCB=180°-90°-48 (2)两个互逆的真命题为：两直线 =42° 平行，内错角相等；内错角相等， 14.(1):AP平分∠MAB,BP平分 两直线平行. 5.(1)如果①②，那么③；如果①③， ∠ABN,∴∠BAP=∠MAB, 那么②；如果②③，那么①； ∠ABP=合∠ABN.在△ABO (2)都是真命题，选择如果①②， 中，∠OAB+∠OBA+∠MON= 那么③. 180°，∴.∠OAB+∠OBA=180° 证明：AD∥BC, ∠MON=90°.又，∠OAB+ ∴.∠DAE=∠B,∠DAC=∠C, ∠MAB+∠OBA+∠ABN= :∠B=∠C,∠DAE=∠DAC, 360°.∴.∠MAB+∠ABN= ∴.AD平分∠EAC 270°..∠BAP+∠ABP= 第3课时直角三角形的两锐角互余 1.过A作AD∥BC,AD∥BC, 合（∠MAB+∠ABN)=号× ∴.∠DAC=∠C,∠DAB+∠B= 270°=135°..在△ABP中， 180°，∴.∠DAC+∠BAC+∠B= ∠P=180°-135°=45°. 180°，∴.∠BAC+∠B+∠C= (2)同(1)可知：∠P=50° 180°. 2.B3.32 (3)可猜想：∠P=90-号∠M0N. 4.CD⊥AB(已知)， 证明同(1). .∠CDB=90°（垂直的定义）， 第4课时三角形的外角 在Rt△ABC中，∠ACB=90°（已：1.C2.D3.C 知)， 4.:∠ADB=∠C+∠CBD, ∴.∠A十∠B=90°（直角三角形 ∠AFB=∠DAF+∠ADF, 两锐角互余). ∠C=42°，∠CAE=18°，∠CBD 同理，∠DCB+∠B=90°， =27°， ∴.∠A=∠DCB(同角的余角相 ∴.∠ADB=69°， 等). ∴.∠AFB=87. 5.D 5.(1)∠BAE=∠2+∠3 6.△BDE是直角三角形， ∠1+∠2+∠3=180° 理由：，ADBC, (2)证明：作AH∥BD, FG⊥BC, ∴.∠HAE=∠ACD, ∴.∠ADC=∠FGC=90°， ∠CBF=∠BAH, .AD∥FG, ∠BAE+∠BAH+ .∠DAC=∠CFG, ∠HAE=360°， .∠CFG=∠ADE, ∴.∠BAE+∠CBF+∠ACD= ∴.∠DAC=∠ADE, 360°. .DE∥AC, 6.A7.C8.B9.60°10.40 ∴.∠BED=∠BAC=90°， 11.130 △BDE是直角三角形. 12.延长BD交AC于E,:∠A= 7.C8.C9.B10.60 90°，∠B=32°，∴.∠DEC=∠A 11.∠a=∠B+∠y12.130°或50 +∠B=90°+32°=122°，∠C 13.(1)∠ADE=∠EFC,理由略： =21°，.∴.∠BDC=∠C+∠DEC (2)∠ACB=72°，∠A=60°， =21°+122°=143°.又：∠BDC 46 =149°，∴这个零件不合格 ∴.∠ADB=∠DBC+∠C=108°. 13.(1)CE平分∠ACD,DF平分10.(1)110° ∠CDO.∠BCD-∠AcD. (2)∠B=50°，∠BAD=30°， ∴.∠ADB=180°-50°-30°= ∠CDF=号∠CD0.:∠0CD 100°.，△ABD沿AD折叠得到 △AED,∴.∠ADE=∠ADB= =56°，.∠ACD=124°，∠CDO 100°，∴.∠ADF=80°，.∠EDF =34°，.∠ECD=62°，∠CDF =∠ADE-∠ADF=20°. =17°，∴.∠F=∠ECD-∠CDF 11.(1)证明略； =62°-17°=45° (2)ED∥AC,∴.∠EDB=∠C (2)∠F不变.∠ECD= =40°.：ED平分∠ADB,∠2 合∠AcD=90+∠c0) =∠EDB=40°.∴.∠ADB= 80°.AD∥FG,∴.∠BFG= 45°+2∠CD0.且∠CDF= ∠ADB=80°. 12.(1)∠B=40°，∠C=60°， ∠CDO,·.∠F-∠ECD 1 ∠BAC+∠B+∠C=180°， ∠CDF=45°+号∠CD0 ∴.∠BAC=80°，AD是∠BAC 的角平分线，∴.∠CAD=∠BAD 3∠CD0=45 =号∠BAC=40,:AE是 重点强化专题三角形中的 △ABC的高，∴.∠AEC=90°， 边角关系的运用 :∠C=60°，∴.∠CAE=90° 1.(1)由题意，得14<2a+2<30, 60°=30°，.∠DAE=∠CAD- 懈得6<a<14. ∠CAE=10°； (2):△ABC为等腰三角形，∴.2a (2),∠BAC+∠B+∠C=180°， +2=8或2a十2=22.解得a=3或 .∠BAC=180°-∠B-∠C, a=10.,6a<14,.∴.a=10. :AD是∠BAC的角平分线， ..△ABC的周长=22+22+8= ∴∠CAD-∠BAD-∠BAC. 52. ,AE是△ABC的高，.∠AEC 2.设三角形的三边长分别为x一2，x, x+2,则/2-2+x+x+2<30 =90°，.∠CAE=90°-∠C, 解 ∴.∠DAE=∠CAD-∠CAE= x-2+x>x+2, 得4<x<10,x的最大值为9， 3∠BAC-(90°-∠0=号180 最小值为5，①当x=9时，三边 -∠B-∠C)-90°+∠C= 长为7,9,11；②当x=7时，三边 长为5,7,9；③当x=5时，三边 3∠C-号∠B,即∠DAE= 长为3,5,7. 合∠C-名∠B 3.B4.B5.C6.70°7.270° (3)45° 8.67° 回归教材练探究与三角形角平分 9.在△ABC中，∠ABC=∠C=2∠A, 线有关的几个常见的结论 ∴.设∠A=x,则∠ABC=∠C=2x. -教材P87复习题T5的变式与 :∠A+∠ABC+∠C=180°， 运用 x十2x十2x=180°，解得x=36. (1)∠P=180°-（∠PBC+∠PCB) .∠A=36°，∠ABC=∠C=72. ,BD是∠ABC的平分线， =180°-专（∠ABC+∠ACB)=180 ∠DBC=∠ABC=36, -180-∠A)=90+∠A 47 (2)∠P=∠PCE-∠PBE .60十x=90°，x=30°； =(∠ACE-∠ABC)=2∠A. .综上所述：∠OAC=52.5或30°. 第14章全等三角形 (3)∠P=180°-（∠PBC+∠PCB) 14.1全等三角形及其性质 =180°-合（∠EBC+∠FCB) 1.D2.C 3.∠CAM∠AMC AM CM =180°- 3(∠A+∠ACB+4.A5.10m°303 ∠FCB)=180°- 2(∠A+180 6.(1)①②④ (2)如AD∥BC,AB∥CD,四边 90°-7∠A. 形ABCD是平行四边形，∠ACB =∠CAD等. 变式练 7.A8.D9.B10.2 1.C2.B3.C4.A5.C 11.92.415° 章未核心考点整合与素养提升 12.(1)·△ABD≌△EBD, 1.c2c3.24235.9 ∴∠ABD=∠EBD,∴.BD是 6.37.25°8.B9.A10.80° ∠ABE的平分线： 11.(1):∠BAC=44°，.∠B+∠C (2),△DBE≌△DCE, =180°-∠BAC=136.:∠B= .∠DEB=∠DEC, ∠C,.2∠C=136°，.∠C=68. ∠DEB+∠DEC=180°， (2):∠ADE=∠AED,∠ADE ∴.∠DEB=∠DEC=90°， =75°，∴∠AED=75°. .DE⊥BC, 又：∠AED=∠C+∠CDE, △DBE≌△DCE,∴.BE=EC. ∠C=68°，∴.∠CDE=7°. 13.(1)其他对应角为：∠BAF和 12.A 13.BEF C CEF CD ∠DCE,∠AFB和∠CED;其他 14.B15.D16.D17.140° 对应边：AB和CD,BF和DE; 18.在Rt△ADC中，∠DAC=90°- (2)∠EFC=∠D+∠DCF=∠B ∠C=20°，因为∠EAC=∠EAD +∠DCF=70°； +∠DAC=35°，所以∠BAC= (3).△ABF≌△CDE,..BF= 2∠EAC=70°，在△ABC中， DE,.'BF-EF=DE-EF:..DF ∠B+∠BAC+∠C=180°，所 =BE..BD=10,EF=2,.'.DF= 以∠B=180°-70°-70°=40°. BE=4.∴BF=BE+EF=6. 19.(1):DE∥BC,∠1=∠2，又14.(1)：△BAD≌△ACE,.BD= ∠1=∠3，.∠2=∠3，.FG AE,AD=CE.又，AE=AD+ ∥DC.:CD⊥AB,.∠CDB= DE,..BD=CE+DE; 90°，.∠GFB=90°，即FG⊥AB. (2)△ABD满足∠ADB=90° (2)FG⊥AB,CD⊥AB,.FG 时，BD∥CE.理由如下： ∥DC,∴∠2=∠3，又：∠1= ∠ADB=90°， ∠3，∴.∠1=∠2，∴DE∥BC. .∠BDE=180°-90°=90. 20.(1)30°是(2)是 又△BAD≌△ACE. (3)设∠OAC=x°，则∠BAC= ∴.∠CEA=∠ADB=90°， 90-x,∠ACB=60+x,∠ABC ∴.∠CEA=∠BDE, =30°，：△ABC为“灵动三角 .BD∥CE. 形”，且∠ACB为灵动角， 14.2三角形全等的判定 ①当∠BCA=3∠BAC时， 第1课时两边及其夹角分别 .60+x=3(90-x),x=52.5°， 相等的两个三角形 ②当∠BCA=3∠ABC时， 1.D 2.C 3.AB=AC 48