4.4 角-【高效课堂】2026-2027学年七年级上册数学同步导学案（沪科版·新教材）

89 4.4 01基础达标 知识点一角的定义与表示方法 1.下列说法正确的是 A.两条射线组成的图形叫做角 B.角的大小在放大镜下会发生改变 C.角的大小与角的两边画出部分的长短无关 D.直线是一个角 2.下面四个图形中，能用∠1、∠AOB、∠O三种 方法表示同一个角的图形是 B 【变式】如图，可以只用一个大 写字母表示的角有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如图，下列说法错误的是 A.∠1与∠AOB表示同一个角 B.∠B表示的是∠BOC C.图中共有三个角：∠AOB, ∠AOC,∠BOC D.∠AOC也可用∠O来表示 知识点二角的度量与换算 4.若∠P=25°12'，∠Q=25.12°，∠R=25.2°，则 下列结论中正确的是 () A.∠P=∠Q B.∠Q=∠R C.∠P=∠R D.∠P=∠Q=∠R 5.(1)每过1h,时针转 度，每分钟时针转 度 (2)每过1h,分针转 度，每分钟分针转 度 (3)在9：30时，时针与分针的夹角是 6.将下列各角用度、分、秒表示出来 角 (1)32.41.(2)5.5.(3)() 知识点三方向角 7.如图，下面说法中不正确的是 A.射线OA表示北偏东30° B.射线OB表示西北方向 C.射线O℃表示西偏南80 D.射线OD表示南偏东70 北 北 B +东 西45 0 淇淇家 一东 8070°D 70° 西柏坡！ 南 第7题图 第8题图 8.(河北中考)淇淇一家要到革命圣地西柏坡参 观.如图，西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方 向，则淇淇家位于西柏坡的 () A.南偏西70°方向 B.南偏东20°方向 C.北偏西20°方向 D.北偏东70°方向 易错点角的概念辨析有误 9.下列说法正确的是 () A.平角就是一条直线 B.小于平角的是钝角 C.平角的两条边在同一条直线上 D.周角的终边与始边重合，所以周角的度数为0° 02能力提升 10.下列各式中，正确的角度互换是 A.63.5°=6350 B.23°12'36"=23.48 C.1818'18"=3.33°D.22.25°=2215 11.如图，下列说法错误的是 ( A.∠DAO就是∠DAC B.∠COB就是∠O C.∠2就是∠OBC D.∠CDB就是∠1 第11题图 第12题图 12.如图，点O在直线AB上，则在此图中小于平 角的角有 A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 13.如图，能用一个大写字母 表示的角是 以A为顶点的角有 个，它们分别是 14.如图，A地和B地都是海上观测站，从A地 发现它的北偏东60°方向有一艘船，同时，从 B地发现这艘船在它北偏东30°的方向上，试 在图中确定这艘船的位置. 北 →东 y B 15.借助量角器，根据下列语句画图，并标上相应 的字母，然后回答问题： ①画射线OA;②以OA为始边，沿逆时针方 向，作∠AOB=60°；③以OB为始边，沿逆时 90 针方向，作∠BOC=30°；④以O℃为始边，沿 逆时针方向，作∠COD=90°；⑤反向延长OC 到E (1)量一量，图中有几个平角？ (2)小于平角的角有几个？并写出来 03思维拓展 16.探究角的计数问题： ① ② ③ (1)在图①中，∠MON内有1条射线，此时图 ①中有共有个角， (2)在图②中，∠MON内有2条射线，此时图 ②中有共有个角 (3)在图③中，∠MON内有3条射线，此时图 ③中有共有 个角 (4)由以上三个小题中发现的规律，试探究当 ∠MON内有n(n为正整数)条射线时，共有 多少个角？2. 校的1800名毕业生同时就餐， x+y=450, 3.6三元一次方程组及其解法 1(1-40%)y-(1-60%)x=301.B2.A3.D4.A 3.200300 4.解：设该村去年种植烟叶x亩， x=2, 蔬菜y亩， 5.(1)解：y=4, (2)解：y=2 由题意可得 x=1. 7 |x+y=4200-800, 1x21 1(1+20%).x+(1+30%)y=42006.52 x=2200, 解得 7.解：设有篮球x个，排球y个， y=1200. 足球之个，根据题意得 答：该村去年种植烟叶2200亩， x=2y-3, x=21, 蔬菜1200亩. 之：y=2:3,解得y=12, 5.18366.2007.B8.B x+y+=41, x=8, 9.A10.15011.380150 则有篮球21个，排球12个，足 12.解：设去年的总销售额是x万 球8个 元，去年的总支出是y万元，8.D9.B10.683 依题意，得 11.3,4,7 x-y=600, x+y-=3, (1+10%).x-(1一6%)y=1000:12.解：解方程组y十之一x=5,得 解得=2725， 2十x-y=7, y=2125. x=5, 所以今年的总销售额为： y=4, (1+10%)x= 110 z=6. 100 ×2725= ∴.5k+2×4-6=7, 2997.5(万元)， ∴.k=1. 而今年的总支出为(1一6%)y 13.解：原来的三位数为253. =94×2125=1997.5(万 14.(1)7310 100 元). (2)不妨设某个格点四边形由 答：今年的总销售额为2997.5 1个小正方形组成，此时，S= 万元，总支出为1997.5万元. 1,N=0,L=4, 13.解：(1)设1个大餐厅可供x ,格点多边形的面积S=aN 名学生就餐，1个小餐厅可供 +6L+c, y名学生就餐，依题意，得： ∴.结合图中的格点三角形ABC 1x+2y=1600 及格点多边形DEFGHI可 x=800 12x+y=200·解得： y=400 a=1 6b+c=2 答：1个大餐厅可供800名学 3a+10b+c=7,解得b= 2 生就餐，1个小餐厅可供400 4b+c=1 c=-1 名学生就餐； 章末考点整合与素养提升 (2)800×5×40%+400×2× 1.②④⑥2.D 30%=1840(名) .1840>1800, 3解：y=总4.C ∴.同时开放7个餐厅，能供返5.解：设应先安排x人工作，根据 52 题意，得 6.5;三角形、正方形、长方形、平 4红+8(x十2=1，解得x=2. 行四边形、圆 40 40 7.D8.D9.B10.36:14:24 答：应先安排2人工作. 11.a de cb 6.C7.C 12.(1)正方形，直角三角形，平行 x=3 四边形，梯形；(2)圆，三角形， 8.解： /x=2 y=1: 解： y= 长方形，梯形 3 13.(1)三面黄色的小正方体在8 y=x+4.5 9.1 个顶点上：共8块；(2)一面黄 |2y=x-1 色的小正方体在6个面上：共 10.解：(1)设成人有x人，学生有 6块；(3)两块黄色的小正方体 y人， 在12条棱上：共12块 由题意得： 14.(1)圆、正方形、半圆、三角形、 /x+y=12 扇形、长方形 135.x+35×0.5y=350 (2)从上到下，依次对折 解得：/8 (3)略. 4 15.略. (2)如果按团体票购买，按16人 4.2线段、射线、直线 计算，共需费用： 1.D2.A3.C4.①5.7 35×0.6×16=336(元)， 6.D7.两点确定一条直线 .336350, 8.(1)A,CB,D(2)ba .购买团体票更省钱 (3)ab 答：略。 9.D10.B11.D3个 11.D12.B13.D14.C15.D 12.经过一点可以画无数条直线 16.解：(1)设这台M型平板电脑 两点确定一条直线 价值x元， 13.364 根据题意得：器(x+150)-7 14.4线段AD、AB、AE、AC2 射线AP、AQ +300, 15.略 解得：x=2100. 16.解：(1)10种不同的票价 答：这台M型平板电脑价值 (2)由于客车是往返行驶的， 2100元： 所以要准备2×10=20种车 (2)由(1)知，一台M型平板电 票 脑价值2100元， 17.(1)①3②6③10 所以工作一个月，她应获得的 (2)n(n1) (3)780 报酬为2100+1500=3600 2 (元)， 4.3线段的长短 因此若工作m天，她应获得的 1.D2.B3.略4.A5.C 6.A 报酬为×3600=120m(元). 30 7.(1)CD BD (2AB CD 第4章几何图形初步 (3BC CD (4CD AD 4.1几何图形 8.D9.B10.2或4 第1课时认识几何图形 11.C12.D 1.B23.略4.C5.A :13.解：连接AC、BD的交点即为 53 P点的位置，图略 14.解：(1)因为AB=8cm,M是 -专CD=1em,所以EF=BE AB的中点， +BC+CF=4cm. 2.解：(1)如图所示： 所以AM=号AB=4cm, B 又因为AC=3.2cm,N是AC BC=1.5cm,DC=6cm. 的中点， (2)点K是线段AB、DC的中 所以AN=2AC-1.6cm, 点 3.解：设AB=2kcm,则BC=4k 所以MN=AM-AN=4-1. cm,CD=3k cm, 6=2.4(cm). AD=2k+4k+3k=9k(cm), (2MN- 因为CD=6cm,即3k=6,所以 15.解：设MC=x, k=2. .MC:CB=1:3,∴.BC=3.x, 所以AD=18cm,又因为M是 MB=4x. AD的中点， M为AB的中点，.AM= 所以MD= 2AD=×18=9 MB=4x. (cm), ∴.AC=AM+MC=4.x+x= 所以MC=MD一CD=9一6=3 20,即x=4. (cm). 所以AB=2AM=8.x=32. 故AB的长为32. 4.(1)5(2)①12或20②6或 10(3)8 16.解：(1)点M为AC的中点， ∴.AC=2AM, 5.解：(1)设x秒后，原点恰好在A, .BM=AB-AM,BC=AB B两点正中间. -AC, 根据题意，得x十3=12-4x,解 ∴.2BM-BC=2(AB-AM) 得x=1.8. -(AB-AC)=AB=12. (2)设t秒后，恰好有OA:OB 故答案为：12. =1：2. (2)成立，如图， ①B与A相遇前：12-4t=2(t C M A +3),即t=1; B ,M是AC的中点，.AC= ②B与A相遇后：4t-12=2(t 2MC, 十3)，即t=9. ∴.2BM-BC=2(BC-MC) 答：1秒或9秒后，恰好有OA: BC=2BC-2MC-BC=BC OB=1:2. -AC=AB=12. 4.4角 故结论仍然成立. 1.C2.BB3.D4.C 专题八线段的计算 5.(1)300.5(2)3606 1.解：因为BC=AC+BD-AD, (3)105 AD=6cm,AC=BD=4cm,所 6.解：(1)3224'36”. 以BC=2cm,AB=AD-BD= (2)5530'.(3)5'. 2cm,CD=AD-AC=2cm,因 7.C8.D9.C10.D11.B 为E、F分别为AB、CD的中12.B 13.∠B,∠C BAE. 点，所以BE=AB=1cm,CP ∠EAD,∠DAC,∠BAD, 54 ∠EAC,∠BAC ∠A'BC+∠A'BD= 14.解：如图所示：作∠1=60°，∠2 =30°，两射线相交于P点，则 克∠ABA+7∠ABE, 点P即为所求， 因为A、B、E三点共线，所以 15.解：画图如下： ∠ABE=180°，所以∠CBD= C/B ∠A'BC+∠A'BD 0 合（∠ABA+∠ABE)=司 E ∠ABE=90°. (1)图中有4个平角. 15.解：(1)∠AOB=90°，OC, (2)小于平角的角有8个.分 OD是∠AOB的两条三分线， 别是∠AOB,∠BOC,∠AOC, ∠COD,∠DOE,∠AOE, ∴∠c0D-3∠A0B=30 ∠BOD,∠BOE. (2)当OA是∠COD'的三分 16.(1)3(2)6(3)10 线，且∠AOD>∠AOC时， (4)解：角的个数为：1+2+3 ∠AOC=10°， +4+…+(n+1)= ∴.∠D0C=30°-10°=20°， m+1)n+22(个). ∴.∠D0D'=20°+30°=50°. 2 .n=50. 4.5角的比较与补（余）角 第2课时 补角和余角 第1课时角的比较 1.B2.B3.D4.D 1.D 2.(1)=2.< 5.(1)14920 3.(1)BOC (2)BOC (3)COD (2)54°36 (4)AOB (5)AOD AOB COD 6.C 4.C5.A 7.(1)同角的余角相等 6.(1)18010'14" (2)19°58'32" (2)等角的补角相等 (3)24937'8”(4)1225 8.B9.A10.C 7.解：∠COD=∠AOC+∠BOD11.①②④ 12.759 -∠AOB 13.解：设∠BOE=x,则∠EOC= =90°+90°-165°=15° 2.x,∠BOC=3.x,∠AOB= 8.D9.C10.A 180°-3.x 11.28或112°12.< 因为OD平分∠AOB,所以 13.解：设∠AOB和∠AOD分别 为(2x)°，(7x)°， ∠B0D=180-30d 由题意得2x+100=7x, 因为∠BOE+∠BOD= 解得x=20, ∠DOE 所以∠AOB=40°，∠AOD 即x+号(180-3x)=72,解 140°，∠BOC=∠AOC ∠AOB=60°，∠COD 得x=36 故∠EOC=2.x=72 ∠BOD-∠BOC=40°. 14.解：(1)根据题意得：∠AOM= 14.解：90°，理由：由题意，得∠A 71°，∠BON=45°，.∠AOM BC=∠ABC- 2∠ABA', 与∠AOE互余，∴.∠AOE= 90°-71°=19°， ∠A'BD=号∠ABE,所以 ∴.∠AOB=∠BON+∠NOE 55 +∠AOE=45°+90°+19°= ∴.∠EOB+∠BOD= 154°， 2 .OC平分∠AOB, (∠AOB+∠BOC), ∠B0C=2 ∠AOB= -X 即∠EOD-合 ∠AOC,∴. 154°=77. ∠AOC=2∠EOD, (2)∠NOC=∠BOC-∠BON ,∠EOD+∠AOC=210°，. =77-45°=32°. ∠EOD=70°， 答：车站D位于学校北偏东 又：∠EOB=45°，∠BOD=70 32°. -45°=25°， 15.解：(1)因为∠AOD=90°+ ∴.∠BOC=2∠BOD=50° ∠BOD,∠BOC=90°+：3.解：设∠AOB=2a,则∠BOC= ∠BOD,所以∠AOD 3a,∠C0D=4a, ∠BOC. ,OM,ON分别平分∠AOB与 因为∠AOC+90°+∠BOD+ ∠COD, 90°=360°， ∴.∠BOM= 1 ∠AOB=a, 所以∠AOC+∠BOD=180°. (2)成立.理由： 因为∠AOD=90°-∠BOD, ∠C0N=号∠c0D=-2a. ∠BOC=90°-∠BOD,所以 ,∠MON=∠MOB+∠BOC ∠AOD=∠BOC. +∠CON, 因为∠AOC=90°+∠BOC, ∴.a+3a+2a=84°， ∠BOC=90°-∠BOD,所以 ∴.a=14°，.∠BOD=∠BOC ∠AOC=90°+90°-∠BOD, +∠COD=3a+4a=7a, 所以∠AOC+∠BOD=180°. ∴.∠BOD=98. 第3课时用尺规作角 4.略 1.D2.A3.C4.64° 章未考点整合与素养提升 5.略6.略7.略 1.D2.1912 4 专题九角的有关计算 3.(1)两点之间，线段最短 1.解：.∠AOB=43°，∠BOC= 4.C5.D6.407.98°40 8624', 8.略 ∴.∠AOC=43°+86°24'=129° 9.C10.B11.C12.C13.A 24', 14.把弯曲的公路改直，就能缩短 .OD平分∠AOC, 路程（答案不唯一） ∴∠A0D-号∠A0C-12921'÷ 15.解：(1)若以B为原点，则C表 示1，A表示-2， 2=6442, .p=1+0-2=-1: '.∠BOD=∠AOD-∠AOB 若以C为原点，则A表示一3， =64°42-43=-21°42'. B表示-1， 2.解：，OE,OD分别平分∠AOB, ∴.p=-3-1+0=-4; ∠BOC: (2)若原点O在图中数轴上点 ∴.∠EOB= ·∠AOB=45°， C的右边，且CO=28,则C表 示-28，B表示-29，A表示 ∠BOD-2∠BOC, -31, 56 ∴.p=-31-29-28=-88. 5.②③①6.72 16.(1)135°(2)112.5°135 7.解：此调查结果不可以用扇形 (3)解：∠AOC+∠BOD的度 统计图来表示.因为34.4%+ 数不发生变化.理由如下： 31.8%+28.0%+27.5%= .∠AOC=∠AOB+∠COB, 121.7%≠1. ∴.∠AOC+∠BOD=∠AOB8.C9.37770 +∠COB+∠BOD=∠AOB10.解：(1)120； (2)72°： +∠C0D=90°+45°=135°， (3)70400(人). ∴.∠AOC+∠BOD的度数不 所以估计测试成绩合格以上 发生变化 (含合格)的约有70400人. 第5章数据的收集与整理 11.解：(1)22÷11%=200（人）， 5.1数据的收集 答：参与调查的学生总数为 1.C2.D3.C4.A5.B 200人； 6.①7.D8.B9.C (2)200×24%=48(人)， 10.解：(1)问卷调查；(2)查询 答：最喜爱“开合跳”的学生有 资料；(3)试验；(4)访问； 48人： (5)观察， (3)最喜爱“健身操”的学生数 11.解：(1)适合抽样调查，因为调 为200-59-31-48-22=40 查具有破坏性。 (人)， (2)适合全面调查，因为考察对 8000X40 =1600(人)， 象数量适当，并且易于调查. 200 (3)适合抽样调查，因为考察 答：最喜爱“健身操”的学生数大 对象较多，且费时、费力 约为1600人. (4)适合抽样调查，因为考察 5.3用统计图描述数据 对象的数量巨大，具费时、且 1.C2.A3.条形 有破坏性等。 4.D5.A6.C 12.解：(1)总体：10万个零件的耐 7.(1)略(2)补图略. 高温性；个体：每个零件的耐 (3)估计八年级及格人数为 高温性；样本：100个零件的耐 1000×4+10+8=880(人)： 25 高温性；样本容量：100； (4)扇形. (2)总体：某幼儿园全体幼儿8.C9.扇形 的健康状况；个体：每个幼儿 10.解：(1)绘图略 的健康状况；样本：50名幼儿 (2)本题也可以用扇形统计图 的健康状况；样本容量：50. 来表示各个分数段的人数占 13.解：(1)全面调查（普查）； 总人数的比例，如图，但不适 (2)每周做3小时的人最多， 合用折线统计图，因为所给的 做0小时和1小时的人最少； 数据是不同分数段的人数. (3)这个班的同学每周做家务 11.(1)200 的时间大部分在2一3小时，有 的甚至一点也不做，我感到我 (2)360°×，36 200-64.8 们中学生做家务的时间太少 所以“天天参与”对应扇形的 5.2数据的整理 圆心角的度数为64.8°； 1.D2.D3.A4.B (3)1800×83%=1494(人)， 62