阶段测试模拟卷2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 本试卷以九年级一元二次方程与反比例函数为核心，通过商场销售、电影票定价等现实情境，结合赵爽弦图文化素材与过氧乙酸消毒科学情境，考查抽象能力、运算能力及模型意识，实现基础巩固与创新应用的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6题|一元二次方程根的判别式、反比例函数图像|结合函数图像辨析，考查几何直观| |填空题|10题|方程求解、函数性质、韦达定理|融入赵爽弦图面积计算，体现文化传承| |解答题|11题|实际问题建模、函数综合、新定义探究|电影票销售问题（模型意识）、“换位方程”逻辑推理（推理能力）、函数图像探究（创新意识）|

2026-2027九年级第一次月考 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】C 【难度】0.65 【来源】四川成都市武侯区西川实验学校2026-2027学年 九年级上学期入学考数学试题 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】根据一元二次方程二次项系数不为0和根的判别式与根的情况的关系，即可求解． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴， ∴， 解得， 综上，的取值范围是且． 2．若，，三点均在反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.7 【来源】四川资阳市某中学2026-2027学年九年级上学期入学考试数学试题 【知识点】判断反比例函数的增减性、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】先利用的非负性确定反比例函数比例系数的符号，再结合图象的象限分布与增减性比较函数值大小． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大． ∵， ∴点在第二象限，． ∵，， ∴点、在第四象限，，． ∵第四象限内y随x的增大而增大，， ∴， ∴． 3．在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【来源】四川天府第七中学2026-2027学年九年级上学期数学定时训练1 【知识点】求一元一次不等式的解集、一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】根据k的正负性，分别判断反比例函数图象所在的象限以及一次函数图象经过的象限，从而确定正确选项． 【详解】解：当 时，， ∴反比例函数的图象在第一、三象限， 一次函数的图象经过第一、三、四象限，选项B符合题意； 当 时，， ∴反比例函数的图象在第二、四象限， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 选项A、C、D均不符合题意． 4．某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出100件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出10件，若要使每周销售该款T恤获利2250元，设每件降低元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【来源】浙江温州市第二中学2026-2027学年上学期九年级 综合素质检测数学试题卷 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据利润售价进价，由每降价元，每星期可多卖出件，可知每件售价降低元，每星期可多卖出件，从而列出方程即可． 【详解】解：每件降低元时，单件利润为元，每周销售量为件， 根据题意得. 5．如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.7 【来源】广西南宁市第十四中学2026-2027学年九年级上学期开学数学自主学习调研 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即，再根据长方形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即， ∵水池的占地面积为， ∴． 6．如图，一次函数的图象过点，若反比例函数的图象与线段只有一个交点，则的值不可能为（     ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.4 【来源】2022年河北省初中毕业生升学文化课考试数学试卷（定心卷） 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】根据题意得出，，进而求得的坐标，分情况讨论，①当且反比例函数图象过点时，②当且反比例函数图象过点时，分别代入反比例函数解析式，求得的值，进而根据，得出的范围，即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图象过点，， ，， ，． 反比例函数的图象与线段只有一个交点， ∴分两种情况讨论，①当且反比例函数图象过点时，此时， 当反比例函数的图象与线段只有一个交点时； ②当且反比例函数图象过点，此时， 当反比例函数的图象与线段只有一个交点时， ， ，， 不可能为，故选A． 评卷人 得分 二、填空题 7．方程的解是____________． 【答案】， 【难度】0.65 【来源】2.2 一元二次方程的解法 第4课时 课中练 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】对方程左边提取公因式因式分解，用因式分解法即可求解. 【详解】解：对原方程左边提取公因式，得. ∴ 或 . 解得 ，. 8．已知点在反比例函数的图象上，则_____． 【答案】10 【难度】0.84 【来源】第二十七章 反比例函数 27.2 反比例函数的图象和性质 第1课时 反比例函数的图象和性质 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】将点代入反比例函数，即可求出的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将，代入函数解析式得， 解得． 9．已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是________． 【答案】 【难度】0.7 【来源】第二十七章 反比例函数 27.2 反比例函数的图象和性质 第1课时 反比例函数的图象和性质 【知识点】求一元一次不等式的解集、已知反比例函数的增减性求参数 【分析】根据反比例函数的性质，当时，随增大而增大，说明反比例函数的比例系数小于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：反比例函数 中，比例系数， ∵当时，随的增大而增大， ∴，即，解得 ． 10．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 【答案】且 【难度】0.65 【来源】江苏南京市科利华中学2026-2027学年九年级上学期开学数学限时作业 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】原方程为一元二次方程，因此二次项系数不为；方程有两个不相等的实数根，因此根的判别式大于，联立两个条件求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程，且有两个不相等的实数根， ∴二次项系数不为，即， ，即，解得， 综上，的取值范围是且． 11．某种服装平均每天可售出件，每件利润为元．为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件降价元，则每天多售出件．如果每天销售这种服装的总利润达到元，那么每件应降价________元． 【答案】 【难度】0.65 【来源】2.4 一元二次方程的应用 第2课时 课中练 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】设每件降价元，根据总利润等于每件利润乘以销售量列方程，结合尽快减少库存的要求选择符合题意的解． 【详解】解：设每件服装应降价元，根据题意，降价后每件利润为元， 降价元后每天的销售量为 件， 总利润达到元， 列方程为 ， ， ， 解得：，． 要尽快减少库存，降价越多，每天销售量越大，减少库存越快， 取，即每件应降价元． 12．设是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】 【难度】0.7 【来源】四川成都市武侯区西川实验学校2026-2027学年 九年级上学期入学考数学试题 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再展开所求式子后整体代入计算. 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴根据根与系数的关系可得，， ∴. 13．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，当时，的取值范围是______． 【答案】 或 【难度】0.65 【来源】吉林长春市博硕学校2026-2027学年度上学期九年级阶段性反馈 数学试卷 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】直接利用图象法找到直线在双曲线上方时的自变量的范围即可. 【详解】解：由图象可知，当时，的取值范围是 或 . 14．图1是第届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，看上去像一个风车，代表着中国人民的热情与好客．小瑞同学发现，把一个平行四边形分割成5块（如图2），按照图3的样式无缝拼接恰好成一个矩形．若矩形的面积为，，则图2中平行四边形的周长为________． 【答案】 【难度】0.4 【来源】浙江温州市瑞安市滨江中学2026-2027学年上学期九年级返校调研——数学 【知识点】公式法解一元二次方程、与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、以弦图为背景的计算题、利用平行四边形的性质求解、根据矩形的性质求线段长 【分析】图形拼接前后面积不变，矩形面积等于原平行四边形面积，设短直角边，由得到小矩形的边长，用含的代数式表示出拼接后矩形的长与宽，根据矩形面积列出一元二次方程，求出，再利用勾股定理算出平行四边形两条邻边的长度，最后代入周长公式求得平行四边形周长． 【详解】解，如图，设，则， ， ， ，， ， 矩形的面积为， ， 化简得， ， ， ， ， ，， ，， 平行四边形的周长为． 15．已知，且，，则__________． 【答案】 【难度】0.4 【来源】安徽省芜湖市繁昌区第三中学（南师大附中）2025-2026学年第一学期九年级期中测试数学试卷 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系 【详解】解：当时，方程左边， ． 将方程的两边同时，得． ，即， 为一元二次方程的两个不相等的解， ∴由韦达定理得． 16．如图，正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点A，B，过点A，B分别向轴、轴作垂线，两垂线交于点，则的面积为_________________． 【答案】 【难度】0.48 【来源】2026年江苏徐州市中考数学试题 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】设，利用正比例函数和反比例函数的性质得到坐标之间的倍数关系，确定点C的坐标，进而表示出的直角边长，利用三角形面积公式进行解答即可． 【详解】解：设， ∵正比例函数的图象经过点A，B， ∴，， ∵正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点A，B， ∴，， ∴， ∵点A在第一象限，点B在第三象限， ∴异号， ∴， 同理可得，， ∵过点A，B分别向轴、轴作垂线，两垂线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 评卷人 得分 三、解答题 17．解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【难度】0.65 【来源】江苏南京市科利华中学2026-2027学年九年级上学期开学数学限时作业 【知识点】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【详解】（1）解：， 因式分解得， ∴或， 解得，； （2）解：， 其中，，， 计算得， 由求根公式得， 即，； （3）解：， 由平方差公式得， 化简得， ∴或， 解得，； （4）解：， 展开得， 整理得， 因式分解得， ∴或， 解得，． 18．已知反比例函数（为常数）． (1)若点在这个函数的图象上，求的值； (2)若在这个函数图象的每一支上，随的增大而减小，求的取值范围； (3)若，试判断点，是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 解：点在该函数的图象上，点不在该函数的图象上，理由如下： 当时，反比例函数解析式为， 将代入，得，与点的纵坐标相等，故点在函数图象上； 将代入，得，故点不在函数图象上． 【难度】0.7 【来源】河北邢台市邢台威县 2023-2024学年上学期九年级期末测试数学试题 （人教版） 【知识点】求反比例函数解析式、求反比例函数值、已知反比例函数的增减性求参数 【分析】（1）将点的坐标代入反比例函数解析式，列方程求解的值； （2）根据反比例函数的增减性与比例系数的符号关系，列不等式求解的取值范围即可； （3）先确定时的函数解析式，代入点的横坐标计算纵坐标，与已知纵坐标对比判断点是否在图象上即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得． （2）解：∵反比例函数的每一支上，随的增大而减小， ∴， 解得． （3）略． 19．某小区要围建一个矩形露天电动车停放区，停放区的一侧依靠一段长度为的小区外墙，其余三边使用金属护栏搭建．在平行于外墙的这一侧护栏上预留两扇出入口，每扇出入口宽度都是，已知金属护栏总长，设垂直于外墙的一边长度为． (1)当时，若该电动车停放区的占地面积为，求； (2)当外墙长度足够大时，该矩形停放区的占地面积能否达到？ 【答案】(1) (2)该矩形停车区的占地面积不能达到 【难度】0.65 【来源】广西南宁市第二中学2026-2027学年九年级上学期数学荣耀挑战赛（一） 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）当时，利用平行于墙的边长不能超过墙长列出限制条件，再根据面积为列方程求解． （2）令矩形面积等于，再判断一元二次方程是否有解，从而判断能否达到该面积． 【详解】（1）解：由题意可知，垂直于外墙的边长． 金属护栏总长为 ，且平行于外墙的一侧预留两个 宽的门． 所以平行于墙的边长为 当 时，可得， 解得， 由该电动车停放区的占地面积为， 可得，整理得 解得 因为 必须满足 ，所以 不符合题意，舍去． 所以， 所以，当时，若该电动车停放区的占地面积为， 的值为 ． （2）解：当外墙长度 足够大时，平行于墙的边长 为 ， 可得，解得， 又因为边长必须为正数， 所以 当矩形停放区的占地面积为时， 可得，整理得， 因为， 所以方程无实数解， 即该矩形停车区的占地面积不能达到 ． 20．暑期档电影《牛来》和《奥德赛》深受大家喜爱.已知某电影院，2张《牛来》和3张《奥德赛》电影票一共165元，1张《奥德赛》电影票比1张《牛来》电影票贵5元． (1)求《牛来》和《奥德赛》电影票的单价． (2)该电影院按（1）中价格售票，平均每日可以售卖《牛来》电影票50张．据调查发现票价每降价1元销售量会增加5张，但是销售单价不得低于20元．若《牛来》的日销售额想达到1820元，单价应降低多少元? 【答案】(1)《牛来》和《奥德赛》电影票的单价分别为30元和35元； (2)单价应降低4元． 【难度】0.65 【来源】浙江温州市安阳实验中学2026-2027学年上学期九年级作业调研 数学试题卷 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、营销问题(一元二次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】（1）根据题意列方程解答即可； （2）设《牛来》电影票单价应降低元，由销售单价不得低于20元确定，再由《牛来》的日销售额想达到1820元列方程求解即可． 【详解】（1）解：设《牛来》和《奥德赛》电影票的单价分别为元和元， 由题意得，解得， 答：《牛来》和《奥德赛》电影票的单价分别为30元和35元； （2）解：设《牛来》电影票单价应降低元，， 销售单价不得低于20元， ， 解得． ． 由题意得， 解得，（舍）， 答：单价应降低4元． 21．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． (1)请直接写出不等式的解集； (2)求一次函数的解析式； (3)求的面积． 【答案】(1)或 (2) (3) 【难度】0.65 【来源】福建福清西山学校2025-2026学年第一学期九年级12月份数学适应性练习 【知识点】求一次函数解析式、求直线围成的图形面积、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）不等式的几何含义是一次函数图象在反比例函数图象上方，找到两个图象交点的横坐标可直接写出的取值范围； （2）先把点代入反比例函数求出，然后算出点坐标，再将、两点代入，解出，； （3）求出一次函数与轴交点，把拆成和，以为公共底，分别算面积再相加． 【详解】（1）解：据图可知，当或时，直线的图象在反比例函数的图象的上方， 故不等式的解集为或． （2）解：把代入， 可得， 解得， 则反比例函数的解析式为， 把代入， 可得， 则点的坐标为， 把，代入， 可得， 解得， 故一次函数的解析式为． （3）解：如图，连接、，直线与轴交于点， 对于直线， 当时，解得， 则点的坐标为，即， 故． 22．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)记该方程的两个实数根为和，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.63 【来源】浙江湖州市2025-2026学年八年级下学期期末数学试卷 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根得到，求解即可； （2）根据根与系数的关系可得，，再代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得． （2）解：由题意得，， ∴， 解得，， ∵， ∴． 23．过氧乙酸消毒剂是一种广谱、高效、环保型的消毒剂，比如在食品加工、医院病房、住宅、衣柜等区域均有很好的杀菌效果．对房间进行消毒时，采用浓度为的过氧乙酸消毒溶液进行喷雾消毒，每立方米空气中的含药量不低于8毫升且持续7分钟以上，能够达到最佳的消毒效果．李某进行消毒时，室内每立方米空气中的含药量y（毫升）与喷洒消毒液的时间x（分钟）成正比例关系，喷洒完成后，y与x成反比例关系（如图所示）．已知喷洒消毒液用时6分钟，此时室内每立方米空气中的含药量为16毫升． (1)分别求出当和时，y与x之间的函数关系式； (2)通过计算说明，李某此次消毒能否达到最佳消毒效果． 【答案】(1) (2)能，理由如下： 当时，， 当时， ∴， ∴李某此次消毒能达到最佳效果． 【难度】0.57 【来源】19.6 反比例函数的图象、性质和应用 第3课时 课堂例题 【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用)、实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】（1）由求正比例函数关系式，代入反比例函数，求反比例函数关系式； （2）分别把代入正比例函数关系式和反比例函数关系式，求出相应的时间，再把时间差和7分钟比较，超过7分钟则能达到消毒的效果． 【详解】（1）由题意：设时，， 把点代入得：， ， ∴ 设时，， 把点代入得：， ， ∴ ∴y与x的函数关系式为； （2）略 24．有这样一个问题：探究函数的图象和性质． 小石根据学习函数的经验，对此函数的图象和性质进行了探究． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是_____________； (2)下表是与的几组对应值． … … … … 求的值； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对应值为坐标的点．根据描出的点，画出此函数的图象； (4)进一步探究，结合函数的图象，写出此函数的性质（一条即可）：___________________________________________________________． 【答案】(1) (2) (3) (4)当时，随的增大而增大；当时，随的增大而增大．（答案不唯一） 【难度】0.65 【来源】第二十七章追梦综合演练卷 【知识点】求自变量的取值范围、求自变量的值或函数值、从函数的图象获取信息、用描点法画函数图象、判断反比例函数的增减性 【分析】（1）根据分母不等于即可求解； （2）将代入解析式即可得的值； （3）将各点分轴左右两侧，按自变量从小到大用平滑曲线依次连接可得； （4）结合图象可从函数的增减性解答即可． 【详解】（1）解：函数的自变量的取值范围是； （2）解：当时，， ； （3）略 （4）由图可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而增大．（答案不唯一） 25．定义：方程（）与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中． (1)写出方程①的“换位方程”； (2)求证：当时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； (3)若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根，求这个公共根及的值． 【答案】(1) (2)当时，对于方程①及其“换位方程”均有 ， ∴方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根． (3)或，或 【难度】0.65 【来源】专题 1.2（3） 一元二次方程的解法（公式法）（知识梳理 题型精析 同步检测）- 2026-2027学年苏科版九年级数学上册 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据一元二次方程根的情况求参数、由一元二次方程的解求参数 【分析】（1）根据“换位方程”的定义解答即可； （2）根据一元二次方程根的判别式得出，即可得出结论； （3）把分别代入方程①及其“换位方程”可得，根据时两方程相同得出，解方程得出或，分别代入方程①求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：在方程中，，， ∴方程①的“换位方程”为． （2）解：略 （3）解：∵方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根， ∴，， ， ∴， 当时，方程①与其“换位方程”相同，不符合题意， ∴ 解得：或， 当时，代入方程①得，， 解得：； 当时，代入方程①得，， 解得：． 26．阅读材料： 在学习反比例函数的性质时，通过图像直观感受到反比例函数的图像关于原点对 称．小明利用代数方法进行了推导． 证明：在反比例函数的图像上任取一点，则点A关于原点的对称点B的坐标为． ∵， ∴点B也在反比例函数的图像上． ∵点A是反比例函数上的任意一点，它关于原点对称的点都在反比例函数的图像上， ∴反比例函数的图像关于原点对称． 问题解决： 下面我们来研究一个新函数． (1)函数的图像关于 对称，请证明该结论； (2)已知点在函数的图像上，且，则x的取值范围是 ． (3)已知函数，若当x的范围分别为，时，函数的图像在函数的图像的上方，求n的范围． 【答案】(1) 解：函数的图像关于y轴对称，证明如下： 在的图像上任取一点，则点A关于y轴的对称点B坐标为． 把代入中得，，即点B在的图像上， ∵点A是函数上的任意一点，它关于y轴对称的点都在函数的图像上， ∴函数的图像关于y轴对称； (2)或 (3)或 【难度】0.65 【来源】江苏省镇江市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题 【知识点】求反比例函数值、比较反比例函数值或自变量的大小、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，关于y轴对称的点的坐标特点： （1）在的图像上任取一点，则点A关于y轴的对称点B坐标为，再仿照题意证明点B在函数的图像上即可； （2）根据题意可得，解不等式即可得到答案； （3）分别求出点和点在函数的图象上，再求出直线经过这两个点时n的值，最后结合函数图象即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵点在函数的图像上，且， ∴， ∴， ∴或； （3）解：把代入中，得，则点在函数的图象上， 再把代入中，得． Ⅱ：把代入中，得，则点在函数的图象上， 再把代入中，得． ∴由下图函数图像可知，当或时，函数的图像在函数的图像的上方时，或． 27．在课上，我们已经学习过一元二次方程、一元三次方程根与系数的关系． (1)已知，，为一元三次方程的三个实数根，则___________，___________，___________． (2)问题解决．已知，，为方程的三个实数根，则对于下列结论一定正确的是（     ） A．     B．     C．     D． (3)若的三个根分别为，，，则的值是___________． (4)拓展提升．已知实数满足，且，求正数的最小值． 【答案】(1)，， (2)A (3)49 (4)3 【难度】0.5 【来源】江苏南京市科利华中学2026-2027学年九年级上学期开学数学限时作业 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】（1）利用多项式因式分解与系数对应关系，将三次方程写为的形式，展开后与原方程同次项系数对比，即可解答； （2）由（1）得到，，即可判断A，D选项；由于，，由于，的取值不确定，无法判断符号，即可判断B，C选项； （3）先根据（1）的结论求出，，再利用完全平方公式变形求解即可； （4）由和，推导出，，将a，c看作一元二次方程的两个实根，利用判别式建立关于b的不等式，求解b的最小值． 【详解】（1）解：∵一元三次方程的三个实数根为，，， ∴， 展开，得， 对比方程可得， ，，， ∵， ∴，，． （2）解：∵，，为方程的三个实数根， ∴由（1）可得，， ∴A选项正确，D选项错误． ，的取值不确定，无法判断符号，故B选项错误． ，的取值不确定，无法判断符号，故C选项错误． （3）解：∵的三个根分别为，，， ∴，， ∵， ∴． （4）解：∵，， ∴，， ∴a，c是方程的两个实数根， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴正数的最小值为3． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027九年级第一次月考 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D．且 2．若，，三点均在反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（    ）． A． B． C． D． 3．在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 4．某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出100件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出10件，若要使每周销售该款T恤获利2250元，设每件降低元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 5．如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 6．如图，一次函数的图象过点，若反比例函数的图象与线段只有一个交点，则的值不可能为（     ） A． B． C．3 D．4 二、填空题 7．方程的解是____________． 8．已知点在反比例函数的图象上，则_____． 9．已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是________． 10．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 11．某种服装平均每天可售出件，每件利润为元．为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件降价元，则每天多售出件．如果每天销售这种服装的总利润达到元，那么每件应降价________元． 12．设是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 13．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，当时，的取值范围是______． 14．图1是第届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，看上去像一个风车，代表着中国人民的热情与好客．小瑞同学发现，把一个平行四边形分割成5块（如图2），按照图3的样式无缝拼接恰好成一个矩形．若矩形的面积为，，则图2中平行四边形的周长为________． 15．已知，且，，则__________． 16．如图，正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点A，B，过点A，B分别向轴、轴作垂线，两垂线交于点，则的面积为_________________． 三、解答题 17．解方程 (1)； (2)； (3) ； (4)． 18．已知反比例函数（为常数）． (1)若点在这个函数的图象上，求的值； (2)若在这个函数图象的每一支上，随的增大而减小，求的取值范围； (3)若，试判断点，是否在这个函数的图象上，并说明理由． 19．某小区要围建一个矩形露天电动车停放区，停放区的一侧依靠一段长度为的小区外墙，其余三边使用金属护栏搭建．在平行于外墙的这一侧护栏上预留两扇出入口，每扇出入口宽度都是，已知金属护栏总长，设垂直于外墙的一边长度为． (1)当时，若该电动车停放区的占地面积为，求； (2)当外墙长度足够大时，该矩形停放区的占地面积能否达到？ 20．暑期档电影《牛来》和《奥德赛》深受大家喜爱.已知某电影院，2张《牛来》和3张《奥德赛》电影票一共165元，1张《奥德赛》电影票比1张《牛来》电影票贵5元． (1)求《牛来》和《奥德赛》电影票的单价． (2)该电影院按（1）中价格售票，平均每日可以售卖《牛来》电影票50张．据调查发现票价每降价1元销售量会增加5张，但是销售单价不得低于20元．若《牛来》的日销售额想达到1820元，单价应降低多少元? 21．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． (1)请直接写出不等式的解集； (2)求一次函数的解析式； (3)求的面积． 22．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)记该方程的两个实数根为和，若，求的值． 23．过氧乙酸消毒剂是一种广谱、高效、环保型的消毒剂，比如在食品加工、医院病房、住宅、衣柜等区域均有很好的杀菌效果．对房间进行消毒时，采用浓度为的过氧乙酸消毒溶液进行喷雾消毒，每立方米空气中的含药量不低于8毫升且持续7分钟以上，能够达到最佳的消毒效果．李某进行消毒时，室内每立方米空气中的含药量y（毫升）与喷洒消毒液的时间x（分钟）成正比例关系，喷洒完成后，y与x成反比例关系（如图所示）．已知喷洒消毒液用时6分钟，此时室内每立方米空气中的含药量为16毫升． (1)分别求出当和时，y与x之间的函数关系式； (2)通过计算说明，李某此次消毒能否达到最佳消毒效果． 24．有这样一个问题：探究函数的图象和性质． 小石根据学习函数的经验，对此函数的图象和性质进行了探究． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是_____________； (2)下表是与的几组对应值． … … … … 求的值； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对应值为坐标的点．根据描出的点，画出此函数的图象； (4) 进一步探究，结合函数的图象，写出此函数的性质（一条即可）：___________________________________________________________． 25．定义：方程（）与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中． (1)写出方程①的“换位方程”； (2)求证：当时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； (3)若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根，求这个公共根及的值． 26．阅读材料： 在学习反比例函数的性质时，通过图像直观感受到反比例函数的图像关于原点对 称．小明利用代数方法进行了推导． 证明：在反比例函数的图像上任取一点，则点A关于原点的对称点B的坐标为． ∵， ∴点B也在反比例函数的图像上． ∵点A是反比例函数上的任意一点，它关于原点对称的点都在反比例函数的图像上， ∴反比例函数的图像关于原点对称． 问题解决： 下面我们来研究一个新函数． (1)函数的图像关于 对称，请证明该结论； (2)已知点在函数的图像上，且，则x的取值范围是 ． (3)已知函数，若当x的范围分别为，时，函数的图像在函数的图像的上方，求n的范围． 27．在课上，我们已经学习过一元二次方程、一元三次方程根与系数的关系． (1)已知，，为一元三次方程的三个实数根，则___________，___________，___________． (2)问题解决．已知，，为方程的三个实数根，则对于下列结论一定正确的是（     ） A．     B．     C．     D． (3)若的三个根分别为，，，则的值是___________． (4)拓展提升．已知实数满足，且，求正数的最小值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $