精品解析：云南文山州马关县第一中学校2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试卷

马关县第一中学2025年秋季学期高二年级第二次月考试卷 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分. 考试用时120分钟 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简集合，然后根据交集的定义计算. 【详解】由题意，，， 根据交集的运算可知，. 故选：A 2. 若复数（为虚数单位），则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法运算，再求复数的模即可. 【详解】由， 故选：B． 3. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由直线的位置关系与充分必要条件的概念求解， 【详解】令得， 当时，，重合， 当时，， 故“”是“”的充要条件， 故选：C 4. 如图，空间四边形OABC中， 点M在OA上，且 点N为BC中点，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理进行求解即可. 【详解】已知，点N为BC中点， 则. 故选：C 5. 椭圆的左、右焦点分别记为，过左焦点的直线交椭圆于A、B两点.若弦长|AB|的最小值为3，且的周长为8，则椭圆的焦距等于（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过焦点的弦长最小时，弦所在直线与轴（长轴）垂直，此时弦长为，焦点（弦边另一个焦点）的周长为，由此求得，得结论． 【详解】由题意可知，焦距等于2 故选：B． 6. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，（为常数），则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先求出的值，再由奇函数化简所求即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，当时，， 所以，解得， 又因为，， 所以， 所以， 故选：B 7. 已知函数的最小正周期为，且，则函数在区间上零点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得函数的解析式，结合三角函数的图象与性质，即可求解. 【详解】因为函数的最小正周期为，可得，即， 又因为，即，所以，所以， 由，可得， 令，解得或，即或， 即函数在区间上的零点个数为2个； 故选：B. 8. 双曲线的右焦点为，点P，Q分别在的两条渐近线上.若且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】求出双曲线渐近线方程，求出直线方程，进而求出点坐标，即可求出离心率. 【详解】设，不妨设点在上，点在上，由， 得，设直线PF的方程为，由，解得， 由，得是PF的中点，则， 因此，解得，所以双曲线的离心率为2. 故选：C 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据平面与平面平行的判定、线面垂直的判定、线面平行的判定定理逐项判断即可. 【详解】对于A： 要判定两平面平行，则需要一平面内的两条相交直线都平行于另一平面才能成立， 而A中直线不一定相交，所以A错误； 对于B： 由于，所以，因为，所以，B正确； 对于C： 因为，所以垂直于平面内的任意直线，而，所以能在内找到与直线平行的直线， 所以，C正确； 对于D： 因为，所以或者,而n⊄α，所以，D正确. 故选：BCD. 10. 点在圆上，点在圆上，则（ ） A. 两个圆的公切线有2条 B. 的取值范围为 C. 两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在对应圆上 D. 到两个圆的公共弦所在直线的距离为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意确定圆心及半径，根据两圆位置关系逐项判断即可. 【详解】易知圆的圆心为，半径， 将圆化为，可知圆心为，半径， 对于A，易知，可知两圆外离，所以两个圆的公切线有4条，故A错误； 对于B，易知的最小值为，最大值为， 所以｜PQ｜的取值范围为，故B正确； 对于C，显然两圆圆心都在直线上， 因此直线为两圆对称轴，故C正确； 对于D，由选项A可知两圆外离，即不存在公共弦，故D错误. 11. 已知双曲线的左、右顶点分别为是上异于的一个动点，记直线的斜率分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 的离心率为 B. C. 当时， D. 直线与恰有一个公共点 【答案】ACD 【解析】 【分析】A根据离心率的定义计算；B设，利用斜率公式计算即可；C设直线的倾斜角分别为，利用计算即可；D联立直线与双曲线方程即可. 【详解】由题意可知，，则， 则离心率为，故A正确； 设，则， 因，则，故B错误； 当时，，设直线的倾斜角分别为， 则，故C正确； 联立与得，，故D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷 用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 平面向量与的夹角为60°，，，则等于______. 【答案】 【解析】 【分析】先求向量，再根据向量模的运算求. 【详解】因为，所以， 又因为与的夹角为，， 所以 ； 所以. 故答案为：. 13. 若圆的圆心在直线上，则的最小值是______ 【答案】 【解析】 【分析】求出圆心的坐标，将圆心坐标代入直线可得，然后利用基本不等式即可得出答案. 【详解】圆的圆心为， 因为圆心在直线上，所以， 则 又， 则，， 则， 当且仅当，即，时，等式成立. 所以的最小值是. 故答案为：. 14. 已知为坐标原点，抛物线上一点到其焦点的距离为3，过的焦点的直线交于两点，当时，的值为___________． 【答案】8 【解析】 【分析】首先利用抛物线的定义求出，确定抛物线方程；然后设直线的倾斜角为，利用焦点弦的面积公式求出；最后结合焦点弦的性质和弦长公式，即可求解. 【详解】由已知得，则，所以抛物线方程为， 设直线的倾斜角为， 由于直线过焦点，， 又，所以. 故答案为：8. 四、解答题（本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，角的对边分别为，且． （1）求的大小； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式对已知等式进行化简可得，又 ，即可得解． （2）利用平面向量数量积的运算可得，进而由余弦定理即可求解． 【小问1详解】 由已知， 所以， 所以， 因为，所以． 因为，所以． 【小问2详解】 由已知可得，所以． 因为， 所以，所以． 16. “国庆小长假”即将到来，某市举办了主题为“旅游文化周”的活动为了了解该市关注“旅游文化周”活动的市民的年龄段分布，该市旅游局随机抽取了名年龄在且关注“旅游文化周”的市民进行调查，所得结果统计为如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，估计市民年龄的平均数、第25百分位数和众数；（同一组数据用该区间的中点值代替） （2）若按照分层抽样的方法从年龄在，的市民中抽取人进行旅游知识推广，并在知识推广后再抽取人反馈，求进行反馈的市民中至少有人的年龄在的概率. 【答案】（1）平均数为 ，第25百分位数，众数为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图计算平均数、百分位数、众数的公式计算即可； （2）利用列举法计算古典概型即可. 【小问1详解】 年龄在的频率为：， 故估计该市被抽取市民的年龄的平均数为： ， 第25百分位数： 众数为； 【小问2详解】 由题意得被抽取的人中，有人年龄在，分别记为，，，； 有人年龄在，分别记为，． 记表示抽取，两人， 则“抽取人进行反馈”包含的基本事件为，，，，，， ，，，，，，，，，共种， 其中事件“至少有人的年龄在”包含的基本事件为，，，，， ，，，，共种， 故该事件发生的概率为． 17. 已知线段的端点的坐标为，端点在圆上运动． （1）求线段的中点的轨迹的方程； （2）求过点并与轨迹相切的直线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设点的坐标为，点的坐标为，由中点坐标公式化简得出，代入等式化简可得出轨迹的方程； （2）对切线的斜率是否存在进行分类讨论，当直线的斜率不存在时，直接验证即可；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，求出的值，综合可得出切线的方程. 【小问1详解】 设点的坐标为，点的坐标为， 由于点的坐标为，且点是线段的中点，所以，， 于是有①， 因为点在圆上运动，即②， 把①代入②，得， 整理，得， 所以点的轨迹的方程为． 【小问2详解】 由圆，可得圆心，半径， 若过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 圆心到直线的距离，所以是圆的切线； 若过点的直线斜率存在时，设切线方程为，即， 所以，所以，解得， 所以切线方程为，即． 综上所述：过点并与圆相切的直线方程为或． 18. 如图，三棱柱中，，. （1）求证：平面； （2）直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 在中，，， 由余弦定理可得， 则，解得， 由，则在中，， 因为，平面，， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理以及勾股定理，可得线线垂直，结合线面垂直判定定理，可得答案； （2）由题意建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量以及平面的法向量，利用线面角的向量公式建立方程，求得点的坐标，根据面面角的向量公式，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）及，则两两相互垂直，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如下图： 设，由（1）知， 则，，，， 则，，， 设平面的一个法向量，则，可得， 令，则，，所以平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则， 则，解得，则， 在三棱柱中，，则， 设平面的一个法向量， 则，可得，令，则，， 所以平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则. 19. 已知椭圆（）的长轴长为，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形的面积为8． （1）求椭圆E的方程； （2）过点且斜率为k（）的直线与椭圆E交于A，B两点． （ⅰ）若线段的中点横坐标为1，求k； （ⅱ）点C与点B关于x轴对称．在x轴上是否存在定点，使A，C，D三点共线？若存在，求实数m的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）存在， 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的性质，结合面积公式可列出方程组求解椭圆各参数即求解； （2）（ⅰ）利用直线与椭圆联立方程组，设交点坐标，结合韦达定理及题设列方程求解即可； （ⅱ）假设存在点，则可得相等关系，然后利用韦达定理来进行化简，计算即可得结果. 【小问1详解】 由题意得，解得． 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）由题意，直线的方程为，设，， 联立，得， 则， 且. 因为线段的中点横坐标为1，则，解得. （ⅱ）因为点与点关于轴对称，所以点， 若在轴上存在定点，使三点共线，则． ， 由于，则． 则， 则，解得． 故在轴上存在定点，使三点共线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 马关县第一中学2025年秋季学期高二年级第二次月考试卷 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分. 考试用时120分钟 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数（为虚数单位），则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 如图，空间四边形OABC中， 点M在OA上，且 点N为BC中点，则 等于（ ） A. B. C. D. 5. 椭圆的左、右焦点分别记为，过左焦点的直线交椭圆于A、B两点.若弦长|AB|的最小值为3，且的周长为8，则椭圆的焦距等于（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，（为常数），则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 7. 已知函数的最小正周期为，且，则函数在区间上零点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 双曲线的右焦点为，点P，Q分别在的两条渐近线上.若且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 4 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 点在圆上，点在圆上，则（ ） A. 两个圆的公切线有2条 B. 的取值范围为 C. 两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在对应圆上 D. 到两个圆的公共弦所在直线的距离为 11. 已知双曲线的左、右顶点分别为是上异于的一个动点，记直线的斜率分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 的离心率为 B. C. 当时， D. 直线与恰有一个公共点 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷 用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 平面向量与的夹角为60°，，，则等于______. 13. 若圆的圆心在直线上，则的最小值是______ 14. 已知为坐标原点，抛物线上一点到其焦点的距离为3，过的焦点的直线交于两点，当时，的值为___________． 四、解答题（本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，角的对边分别为，且． （1）求的大小； （2）若，求的值． 16. “国庆小长假”即将到来，某市举办了主题为“旅游文化周”的活动为了了解该市关注“旅游文化周”活动的市民的年龄段分布，该市旅游局随机抽取了名年龄在且关注“旅游文化周”的市民进行调查，所得结果统计为如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，估计市民年龄的平均数、第25百分位数和众数；（同一组数据用该区间的中点值代替） （2）若按照分层抽样的方法从年龄在，的市民中抽取人进行旅游知识推广，并在知识推广后再抽取人反馈，求进行反馈的市民中至少有人的年龄在的概率. 17. 已知线段的端点的坐标为，端点在圆上运动． （1）求线段的中点的轨迹的方程； （2）求过点并与轨迹相切的直线方程． 18. 如图，三棱柱中，，. （1）求证：平面； （2）直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知椭圆（）的长轴长为，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形的面积为8． （1）求椭圆E的方程； （2）过点且斜率为k（）的直线与椭圆E交于A，B两点． （ⅰ）若线段的中点横坐标为1，求k； （ⅱ）点C与点B关于x轴对称．在x轴上是否存在定点，使A，C，D三点共线？若存在，求实数m的值，若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $