云南文山州马关县第一中学校2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试卷

马关县第一中学2025年秋季学期高二年级第二次月考试卷 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．若复数（i为虚数单位），则 A． B． C． D． 3．已知直线：，：，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 4．如图1，在空间四边形中，，，，点M在上，且，点N为的中点，则等于 A． B． C． D． 5．椭圆的左、右焦点分别记为，，过左焦点的直线交椭圆于，两点．若弦长的最小值为，且的周长为，则椭圆的焦距等于 A． B． C． D． 6．已知函数是定义在上的奇函数，当时，（为常数），则的值为 A． B． C． D． 7．已知函数的最小正周期为，且，则函数在区间上零点的个数为 A． B． C． D． 8．双曲线：（，）的右焦点为，点，分别在的两条渐近线上．若且（为坐标原点），则双曲线的离心率为 A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列说法正确的是 A．若，，且，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，且，则 10．点在圆：上，点在圆：上，则 A．两个圆的公切线有2条 B．的取值范围为 C．两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在对应圆上 D．到两个圆的公共弦所在直线的距离为 11．已知双曲线：的左、右顶点分别为，，是上异于，的一个动点，记直线，的斜率分别为，，则下列说法正确的是 A．的离心率为 B． C．当时， D．直线与恰有一个公共点 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷 用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．平面向量与的夹角为，，，则等于________． 13．若圆的圆心在直线（，）上，则的最小值是________． 14．已知为坐标原点，抛物线：上一点到其焦点的距离为3，过的焦点的直线交于，两点，当时，的值为________． 四、解答题（本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求的大小； （2）若，，求的值． 16．（本小题满分15分） “国庆小长假”期间，某市举办了主题为“旅游文化周”的活动．为了了解该市关注“旅游文化周”活动的市民的年龄段分布，该市旅游局随机抽取了600名年龄在且关注“旅游文化周”的市民进行调查，所得结果统计为如图2所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，估计市民年龄的平均数、第25百分位数和众数；（同一组数据用该区间的中点值代替） （2)若按照分层抽样的方法从年龄在，的市民中抽取6人进行旅游知识推广，并在知识推广后再抽取2人反馈，求进行反馈的市民中至少有1人的年龄在的概率． 17．（本小题满分15分） 已知线段的端点B的坐标为，端点A在圆：上运动． （1）求线段的中点P的轨迹的方程； （2）求过点并与轨迹相切的直线方程． 18．（本小题满分17分） 如图3，三棱柱中，，，，，． （1）求证：平面； （2）直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 19．（本小题满分17分） 已知椭圆：的长轴长为，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形的面积为8． （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点． （ⅰ）若线段的中点横坐标为1，求； （ⅱ）点与点关于轴对称．在轴上是否存在定点，使，，三点共线？若存在，求实数的值，若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 马关县第一中学2025年秋季学期高二年级第二次月考试卷 数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D C B B A B C 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 题号 9 10 11 答案 BCD BC ACD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 2 8 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 解：（1）由已知， 所以， 所以． 因为，所以． 因为，所以． （6分） （2）由已知可得，所以． 因为，， 所以， 所以． （13分） 16．（本小题满分15分） 解：（1）年龄在的频率为：， 故估计该市被抽取市民的年龄的平均数为： ； 第25百分位数为：； 众数为：． （9分） （2）由题意得被抽取的6人中，有4人年龄在，分别记为，，，； 有2人年龄在，，分别记为，． 记表示抽取，两人，则“抽取2人进行反馈”包含的基本事件为，，，，，，，，，，，，，，，共15种，其中事件“至少有1人的年龄在”包含的基本事件为，，，，，，，，，共9种， 故该事件发生的概率为． （15分） 17．（本小题满分15分） 解：（1）设点的坐标为，点的坐标为， 由于点的坐标为，且点是线段的中点，所以，， 于是有①， 因为点在圆：上运动，即：②， 把①代入②，得， 整理，得：， 所以点的轨迹的方程为． （7分） （2）由圆：，可得圆心，半径， 若过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 圆心到直线的距离，所以是圆的切线； 若过点的直线斜率存在时，设切线方程为，即， 所以，所以，所以，解得， 所以切线方程为，即． 综上所述：过点并与圆相切的直线方程为或． （15分） 18．（本小题满分17分） （1）证明：在中，，，， 由余弦定理可得，则，解得 ，由，则在中，，因为，，平面，， 所以平面． （7分） （2）解：由（1）及，则，，两两相互垂直，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图3： 设，由（1）知， 则，，，， 则，，， 设平面的一个法向量，则，可得， 令，则，，所以平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则， 则，解得，则， 在三棱柱中，，则， 设平面的一个法向量， 则，可得，令，则，， 所以平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则． （17分） 19．（本小题满分17分） 解：（1）由题意得，解得，，， 所以椭圆E的方程为． （4分） （2）（ⅰ）如图4，由题意，直线的方程为，设，， 联立，得， 则， 且，． 因为线段的中点横坐标为1，则，解得． （9分） （ⅱ）因为点与点关于轴对称，所以点， 若在轴上存在定点，使，，三点共线，则． ， 由于，则． 则，则，解得． 故在轴上存在定点，使，，三点共线． （17分） 学科网（北京）股份有限公司 $