专题03 第二章 直线和圆的方程 题型精讲（讲义）(二)-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦“直线和圆的方程”核心内容，系统梳理圆的方程（标准方程、一般方程）、直线与圆的位置关系（相交、相切、相离）、切线方程、圆与圆的位置关系及最值问题，构建从基础方程到综合应用的递进学习支架。 资料以题型精讲为主线，每个题型配套方法小结（如三点定圆用一般方程）、典例及变式训练，通过具体问题培养学生数学眼光（几何直观）、数学思维（推理能力），课中辅助教师系统教学，课后助力学生强化练习、查漏补缺。

点线圆间求索，严谨推导，解锁数形结合奥秘 专题03 第二章 直线和圆的方程 题型精讲（讲义）(二) 考点预览 目录 题型01 圆的方程与待定系数法 1 题型02 直线与圆的位置关系与弦长 3 题型03 圆的切线方程与切线长 5 题型04 求过圆上的一点的圆的切线方程 7 题型05 圆与圆的位置关系与公共弦 8 题型06 与直线、圆有关的最值问题 10 题型01 圆的方程与待定系数法 1. 我们把方程称为圆心为,半径为的圆的标准方程； 2.圆的一般方程 圆心为,半径为的圆的标准方程可变形为 ① 的形式。反之，可做如下配方： 即 ② (1)当时,比较方程②和圆的标准方程,可以看出方程 ①表示以为圆心,为半径的圆; (2)当时,方程 ①只有实数解,,它表示一个点; (3)当时,方程①没有实数解,它不表示任何图形. 【方法小结】三点定圆一律用一般方程：代入以后是一次方程组，比标准方程的二次方程组好解得多。若其中一点是原点，可以立刻得到F＝0，方程组少一个未知数。 【典例1】（2026高三下·陕西咸阳·专题练习）若方程表示圆，则整数m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【变式训练】1．（25-26高二下·贵州铜仁·期末）若方程表示圆，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·上海杨浦·模拟预测）圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 3．（25-26高二上·河北唐山·期末）已知圆经过、两点，圆心在直线上，则圆的方程为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·天津滨海新区·期中）圆关于直线：对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·广东梅州·阶段检测）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·山东济宁·期中）“点在圆外部”是“，或”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（25-26高二上·河南郑州·期中）(多选)已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．该方程一定是圆的方程 B．该方程一定能表示过坐标原点的圆 C．若该方程表示圆，则圆心在定直线上 D．若该方程表示圆，则圆上总存在两点到原点的距离为1 题型02 直线与圆的位置关系与弦长 1、 直线与圆的位置关系 设直线 ① ：. ② 为圆心到直线的距离，联合①②一元二次方程的判根式为. （1） 直线与圆相交 与相交(直线与圆有2个公共点) 【注】其中，且据垂径定理有 或 【典例2】（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）若直线被圆截得的弦长为，则（ ） A． B． C．或 D．或 【变式训练】1．（25-26高二上·安徽·期中）已知直线与圆相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）已知曲线与直线有两个公共点，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·上海虹口·期中）直线与有两个不同的交点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·全国·期末）直线与圆交于A、B两点，则______． 5．（25-26高二上·河北张家口·期中）当直线被圆所截得的弦长最短时，实数_____． 6．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）已知圆，直线． (1)求证：直线恒过定点； (2)当为何值时，直线与圆相切； (3)当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程． 7．（25-26高二上·河南许昌·阶段检测）已知圆经过三点，，. (1)求圆的一般方程； (2)若直线：与圆交于两点，且，求直线的方程. 题型03 圆的切线方程与切线长 与相切(直线与圆只有1个公共点) 求切线的通法是“设点斜式、用d＝r列方程”， 但设点斜式的同时就默认了斜率存在，所以必须先把竖直的那一条单独验一遍；切线长则由勾股定理一步得出。 【方法小结】“先验竖直、再设斜率”是过圆外一点求切线的固定顺序。若列出的关于k的方程只有一个解，往往说明漏掉的那一条正是竖直的切线，这时要回头补上。 【典例3】（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程． 【变式训练】1．（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）过圆上一点作圆的切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·四川达州·阶段检测）过点作圆的两条切线，切点分别为，则（　　） A．2 B． C． D．2 3．（25-26高二上·新疆阿克苏·期末）(多选)过点作圆的切线，所得切线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏无锡·期中）过点作圆 ： 的切线，则切线方程为_______． 5．（25-26高二上·浙江杭州·期中）过点作圆的两条切线，设切点为，，则线段的长为__________． 6．（25-26高二上·福建·阶段检测）点P在直线上运动，从点P向圆引切线，则切线长的最小值为_______. 7．（23-24高二上·山东东营·阶段检测）已知在平面直角坐标系中，圆. (1)过点作圆的切线，求切线方程； (2)求过点的圆的弦长的最小值. 8．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知直线和圆，为坐标原点. (1)直线与圆相切时，求的值； (2)当时，为直线上的动点，过作圆的切线，切点为，求的最小值； (3)直线与圆相交于两点，的面积为，求直线的方程. 题型04 求过圆上的一点的圆的切线方程 (1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. (2)重要结论： ①经过圆上一点的切线方程为. ②经过圆上一点的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点的切线方程为=0. 【典例4】（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）圆在点处的切线方程为______. 【变式训练】1．（2026高三·全国·专题练习）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·山东·阶段检测）过圆上一点作圆的切线，则的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知圆的圆心为，点、、恰好一个在圆外，一个在圆上，一个在圆内. (1)求圆的标准方程； (2)求过点的圆的切线方程. 5．（24-25高二上·重庆·期末）已知圆，两点和． (1)求过点的圆的切线方程； (2)求以线段为直径的圆的方程． 题型05 圆与圆的位置关系与公共弦 判断两圆的位置关系只看圆心距d与r₁＋r₂、|r₁－r₂|这两个界；两圆相交时把两个一般方程相减，二次项自动消去，剩下的就是公共弦所在的直线。 【方法小结】两圆方程相减能消去二次项，是因为两个方程中与的系数都是1；若系数不是1，必须先化成首项系数为1的形式再相减。 【典例5】5．（2026·吉林通化·模拟预测）(多选)已知圆与圆，则下列说法正确的有（   ） A．若，则两圆外离 B．若两圆相交，则 C．若，则两圆的公共弦所在直线方程为 D．若，则直线为两圆的公切线 【变式训练】1．（26-27高三上·福建泉州·开学考试）若圆与圆无公共点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 3．（25-26高二下·上海·期中）已知圆与相交于、两点，则公共弦的长为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）已知圆与圆相交，则公共弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·河南驻马店·阶段检测）已知圆与，则圆与圆的公共弦长为________． 6．（2026·湖南株洲·三模）若圆与圆有且仅有3条公切线，则的最大值为______． 7．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知两圆和.  求： (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 8．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知圆经过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若圆：（）与圆没有公共点，求的取值范围. 题型06 与直线、圆有关的最值问题 知识点1： 圆上的点到定点的距离最值问题 一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值 已知圆及圆外一定点，设圆的半径为 则圆上点到点距离的最小值为，最大值为 知识点2： 圆上的点到直线的距离最值问题 已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为， 距离的最大值为 小结：圆上动点的最值都靠“先把圆心的那一份算出来，再加减一个半径”；形如分式或一次式的最值，则把它看成斜率或截距，用相切定住临界位置。 知识点3.利用代数法的几何意义求最值 1、形如的最值问题，可以转化为过点和点的动直线斜率的最值问题； 2、形如的最值问题，可以转化为点和点的距离的平方的最值问题； 3、形如的最值问题，可以转化为动直线纵截距的最值问题 【典例6】（25-26高二上·陕西商洛·期末）(多选)已知直线，圆，点在圆C上，则下列说法正确的是（    ） A．直线l过定点 B．圆心C到直线l距离的最大值是1 C．直线l被圆C截得的最短弦长为 D．的取值范围为 【变式训练】1．（25-26高二上·广西百色·期末）已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·云南德宏·期末）(多选)已知直线，圆，则下列说法中正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．对，直线与圆一定相交 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．当时，圆上存在着4个点到直线的距离为 4．（25-26高二上·云南保山·期末）已知点，点在圆上运动，则的取值范围为_________． 5．（25-26高二上·河北雄安·期末）实数满足，则的取值范围为______． 6．（26-27高二上·全国·课后作业）已知点在圆上，点，，则点到直线的距离的最大值为__________；当最小时，的长度为__________． 7．（25-26高二上·浙江湖州·期末）已知圆经过点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)设点在圆上运动，求的最大值与最小值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $点线圆间求索，严谨推导，解锁数形结合奥秘 专题03 第二章 直线和圆的方程 题型精讲（讲义）(二) 考点预览 目录 题型01 圆的方程与待定系数法 1 题型02 直线与圆的位置关系与弦长 6 题型03 圆的切线方程与切线长 12 题型04 求过圆上的一点的圆的切线方程 20 题型05 圆与圆的位置关系与公共弦 24 题型06 与直线、圆有关的最值问题 30 题型01 圆的方程与待定系数法 1. 我们把方程称为圆心为,半径为的圆的标准方程； 2.圆的一般方程 圆心为,半径为的圆的标准方程可变形为 ① 的形式。反之，可做如下配方： 即 ② (1)当时,比较方程②和圆的标准方程,可以看出方程 ①表示以为圆心,为半径的圆; (2)当时,方程 ①只有实数解,,它表示一个点; (3)当时,方程①没有实数解,它不表示任何图形. 【方法小结】三点定圆一律用一般方程：代入以后是一次方程组，比标准方程的二次方程组好解得多。若其中一点是原点，可以立刻得到F＝0，方程组少一个未知数。 【典例1】（2026高三下·陕西咸阳·专题练习）若方程表示圆，则整数m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据二元二次方程表示圆的判别式结合一元二次不等式计算求解. 【详解】因为方程表示圆， 则，即得，解得， 则整数m的值为. 【变式训练】1．（25-26高二下·贵州铜仁·期末）若方程表示圆，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】方程可化为，因为该方程表示圆， 故，，A正确． 2．（2026·上海杨浦·模拟预测）圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】C 【详解】圆的标准方程为，所以该圆圆心为，半径为， 圆关于直线对称，所以圆心在该直线上，所以，即， 因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为4. 3．（25-26高二上·河北唐山·期末）已知圆经过、两点，圆心在直线上，则圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆心，根据结合平面内两点间的距离公式可得出关于的等式，解出的值，可得出圆心的坐标，进而可求出圆的半径，即可得出圆的方程. 【详解】根据题意设圆心，因为圆经过、两点，则， 所以，解得， 故圆心为，圆的半径为， 故圆的方程为. 故选：C. 4．（25-26高二上·天津滨海新区·期中）圆关于直线：对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求关于直线的对称点的坐标，可得对称圆的方程. 【详解】因为圆的圆心为， 设点关于直线：的对称点为，则 . 所以圆关于直线：对称的圆的方程为. 故选：A 5．（25-26高二上·广东梅州·阶段检测）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以的中点为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设，，，由，可得点的轨迹方程为，数形结合得解. 【详解】以的中点为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，不妨取，． 设，则，整理得， 所以点的轨迹方程为． 则 可看作圆上的点到原点的距离的平方， 所以，所以， 即的最大值为， 故选：A. 6．（25-26高二上·山东济宁·期中）“点在圆外部”是“，或”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由定点在圆的外部得，求得的取值范围，结合充分,必要条件的意义可得结论. 【详解】因为点在圆外， 所以，解得， 所以或， 所以的取值范围为或， “点在圆外部”是“，或”的充分不必要条件. 故选：A. 7．（25-26高二上·河南郑州·期中）(多选)已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．该方程一定是圆的方程 B．该方程一定能表示过坐标原点的圆 C．若该方程表示圆，则圆心在定直线上 D．若该方程表示圆，则圆上总存在两点到原点的距离为1 【答案】ACD 【分析】化一般方程为标准方程，再结合选项逐个判断即可. 【详解】对于A：由得：，显然该方程表示圆心为， 半径为的圆，所以A正确； 对于B：将点代入圆的方程得：，显然该圆不过坐标原点，所以B错误； 对于C：因为圆心始终在直线上，所以C正确； 对于D：由得：， 所以，解得或， 所以该方程表示的圆恒过两点， 因为这两点到原点的距离都为1， 所以圆上总存在两点到原点的距离为1，所以D正确. 故选：ACD. 题型02 直线与圆的位置关系与弦长 1、 直线与圆的位置关系 设直线 ① ：. ② 为圆心到直线的距离，联合①②一元二次方程的判根式为. （1） 直线与圆相交 与相交(直线与圆有2个公共点) 【注】其中，且据垂径定理有 或 【典例2】（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）若直线被圆截得的弦长为，则（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式结合弦长可得，求解即可. 【详解】由可知圆的方程为表示圆，所以， 解得或， 圆心，半径为， 所以圆心到直线的距离， 由弦长为可得，所以， 解得或. 故选：D. 【变式训练】1．（25-26高二上·安徽·期中）已知直线与圆相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将圆的一般式方程整理为标准方程，确定其圆心及半径，使圆心到直线的距离小于半径即可. 【详解】圆的方程可整理为：， 因此圆心，半径. 因为直线与圆相交，故圆心到直线的距离， 得，即. 故选：C. 2．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）已知曲线与直线有两个公共点，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先得到曲线轨迹为以为圆心，2为半径的上半圆，求出恒过定点，把半圆和直线画出，数形结合得到有两个相异的交点时实数k的取值范围即可. 【详解】由题意得，变形得到， 故曲线轨迹为以为圆心，2为半径的上半圆， 而恒过定点，把半圆和直线画出，如下： 当过点时，满足两个相异的交点， 且此时取得最大值，最大值为， 当与相切时， 由到直线距离等于半径可得，解得， 故要想曲线与直线有两个相异的交点， 则，故D正确. 故选：D 3．（25-26高二上·上海虹口·期中）直线与有两个不同的交点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】可知曲线是以为圆心，以为半径的圆的右半部分，如下图所示， 当时，曲线与恰有两个交点， 当曲线与直线相切时，可得到直线的距离为， 即，因为，解得，所以. 4．（25-26高二上·全国·期末）直线与圆交于A、B两点，则______． 【答案】2 【分析】由圆的方程求出圆心坐标与半径，再由点到直线的距离公式求圆心到直线的距离，再由垂径定理求弦长． 【详解】由题意可得圆的圆心为，且半径是，圆心到直线的距离， 所以， 故答案为:. 5．（25-26高二上·河北张家口·期中）当直线被圆所截得的弦长最短时，实数_____． 【答案】0 【分析】确定直线过定点，由时，弦长取最小值，即可求解. 【详解】直线的方程变形为， 则由得， 所以直线过定点． 圆，因为， 所以点在圆内． 设直线与圆交于，两点， 则当时，取最小值， 由，得， 解得． 故答案为：0． 6．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）已知圆，直线． (1)求证：直线恒过定点； (2)当为何值时，直线与圆相切； (3)当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程． 【答案】(1) 由直线，整理成， 由，解得，则直线恒过定点 (2) (3)或 【详解】（1）略 （2）根据题意，圆. 则圆的标准方程，圆心为，半径. 若直线与圆相切，则有，解得， 即当时，直线与圆相切． （3）设圆心到直线的距离为， 依题意，有，即，解得， 又由，解得或. 直线的方程为或. 7．（25-26高二上·河南许昌·阶段检测）已知圆经过三点，，. (1)求圆的一般方程； (2)若直线：与圆交于两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）解设圆的一般方程，利用待定系数法直接求解即可； （2）根据圆的方程，得到圆心坐标和半径，表示出圆心到直线的距离，然后利用几何法，表示出弦长，即可求出的解，进而得到直线方程. 【详解】（1）因为圆经过三点，，， 设圆的一般方程为， 则，解得， 则圆的一般方程为. （2）由（1）知，圆的一般方程为， 则其圆心坐标为，半径， 又直线一般方程为， 所以圆心到直线的距离， 则， 即，解得或. 则直线的方程为或. 题型03 圆的切线方程与切线长 与相切(直线与圆只有1个公共点) 求切线的通法是“设点斜式、用d＝r列方程”， 但设点斜式的同时就默认了斜率存在，所以必须先把竖直的那一条单独验一遍；切线长则由勾股定理一步得出。 【方法小结】“先验竖直、再设斜率”是过圆外一点求切线的固定顺序。若列出的关于k的方程只有一个解，往往说明漏掉的那一条正是竖直的切线，这时要回头补上。 【典例3】（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据圆心在直线上，所以设圆心；由圆经过两点，列得关于的方程，求解可得圆心，和半径，从而得到圆的标准方程； （2）分斜率存在与否两种情况分析，根据圆心到切线的距离等于半径求出相应的参数，从而得到切线的方程. 【详解】（1）因为圆心在直线上，所以设圆心. 因为圆经过点和，所以， 所以， 解得，所以圆心为，半径， 所以圆的标准方程为. （2）因为，所以点在圆外. 设过点的直线为， 当斜率不存在时，直线方程为， 圆心到直线的距离为，所以不是圆的切线； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 所以，整理得. 解得或， 所以切线方程为或. 【变式训练】1．（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）过圆上一点作圆的切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，从而得，写出直线的点斜式方程，再化成一般式即可. 【详解】圆的圆心为， 则直线的斜率， 因为过圆上一点的切线与该点和圆心所在的直线垂直， 即， 所以，    则切线的斜率， 所以直线的方程为， 即. 故选：C. 2．（25-26高二上·四川达州·阶段检测）过点作圆的两条切线，切点分别为，则（　　） A．2 B． C． D．2 【答案】B 【分析】将圆的一般方程化为标准方程后可得该圆圆心坐标与半径，再借助切线性质可得、，最后利用等面积法计算即可得. 【详解】圆化为标准方程为， 则，半径，则， 由切线定义可得， 则四边形的面积可表示为，也可表示为， 即有，故. 故选：B. 3．（25-26高二上·新疆阿克苏·期末）(多选)过点作圆的切线，所得切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据切线斜率是否存在分类讨论，利用圆心到切线距离等于半径可求结果． 【详解】 由圆心为，半径为1，过点斜率存在时，设切线为， 则，可得，所以，即； 斜率不存在时，，显然与圆相切， 综上，切线方程为：或． 故选：AB． 4．（25-26高二上·江苏无锡·期中）过点作圆 ： 的切线，则切线方程为_______． 【答案】 【分析】先验证点在圆上，进而求出切线斜率，最后用点斜式写出切线方程并整理． 【详解】将点代入圆的方程左侧，与右侧相等， 所以点在圆上， 由圆的标准方程，得圆心的坐标为， ，所以切线斜率为1， 所以过点的切线方程为，即． 5．（25-26高二上·浙江杭州·期中）过点作圆的两条切线，设切点为，，则线段的长为__________． 【答案】 【详解】 如图示，由已知得，，且， 则，即线段的长为. 6．（25-26高二上·福建·阶段检测）点P在直线上运动，从点P向圆引切线，则切线长的最小值为_______. 【答案】 【分析】连接切点与圆心，则该连线垂直于切线，利用勾股定理，切线长转化为直线上点与圆心连线和半径关系，求圆心与直线上点距离的最小值，即可求解. 【详解】由题意得圆的圆心为， 将化为一般方程，可得， 在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A．连接， 如图，作出符合题意的图形， 在中，．要使最小，则应最小． 又当与直线垂直时，最小，其最小值为， 故由勾股定理得的最小值为．   故答案为：. 7．（23-24高二上·山东东营·阶段检测）已知在平面直角坐标系中，圆. (1)过点作圆的切线，求切线方程； (2)求过点的圆的弦长的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据点在圆上，求出直线的斜率；再根据圆的性质可得出所求切线的斜率和方程. （2）先根据点在圆内，求出圆心到点的距离；再利用几何法可得圆心到直线距离的最大值；最后利用勾股定理即可求出过点的圆的弦长的最小值. 【详解】（1） 由圆可得：圆心，半径. ， 点在圆上，即点为切点. 直线的斜率为 所求切线斜率为. 切线方程为，即. （2） 点在圆内. 设直线过点，圆心到直线距离为， 圆半径 则. 结合图形可知当时，取得最大值，为，. 过点的圆的弦长的最小值. 8．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知直线和圆，为坐标原点. (1)直线与圆相切时，求的值； (2)当时，为直线上的动点，过作圆的切线，切点为，求的最小值； (3)直线与圆相交于两点，的面积为，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)； (3)，. 【分析】（1）由题意结合点到直线距离公式建立等式计算即可求解； （2）由题意可得，当取最小值时，也最小，结合点到直线距离公式计算即可求解； （3）由的面积为可得或，分两种情况结合点到直线距离公式计算即可求解. 【详解】（1）圆的圆心为，半径， 因为直线与圆相切， 所以，解得； （2）由题意可知，， 所以， 当取最小值时，也最小， 当时，直线， 此时，所以； （3）因为， 所以，即或， 当时，为等边三角形， 此时圆心到直线的距离为， 则，解得， 此时直线； 当时，此时为等腰三角形，且， 此时圆心到直线的距离为， 则，解得， 此时直线； 综上：直线的方程为，. 题型04 求过圆上的一点的圆的切线方程 (1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. (2)重要结论： ①经过圆上一点的切线方程为. ②经过圆上一点的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点的切线方程为=0. 【典例4】（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）圆在点处的切线方程为______. 【答案】 【分析】根据题意，由点在圆上，求得，结合圆的性质，得到切线斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】将圆化为标准方程，可得圆心坐标为， 由点在圆上，可得圆心与点连线的斜率， 因为圆的切线与圆心和切点连线垂直，可得切线斜率为， 所以切线方程为，即． 故答案为：． 【变式训练】1．（2026高三·全国·专题练习）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出过点的半径所在直线的斜率，由垂直关系得切线斜率，从而可得切线方程． 【详解】圆的标准方程是，圆心坐标是, 过点的半径所在直线的斜率, 所以所求切线斜率为，切线方程为，即． 2．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆心与切点连线和切线垂直可求出切线斜率，再根据点斜式可得答案. 【详解】，由切线与直线垂直， 得：，得：， 又因为切线经过， 所以切线的方程为：， 即. 故选：A 3．（25-26高二上·山东·阶段检测）过圆上一点作圆的切线，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆的方程得圆心，即可求得直线的斜率，由切线的性质求得切线的斜率，然后写出切线方程. 【详解】圆的圆心为，则直线的斜率， 因为过圆上一点的切线与该点和圆心所在的直线垂直，即， 所以，则切线的斜率， 所以直线的方程为，即. 故选：C. 4．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知圆的圆心为，点、、恰好一个在圆外，一个在圆上，一个在圆内. (1)求圆的标准方程； (2)求过点的圆的切线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出、、的值，比较大小，结合题意可得出圆的半径，即可得出圆的标准方程； （2）分析可知切线的斜率存在，设切线的方程为，利用圆心到切线的距离为圆的半径，结合点到直线的距离公式可得出关于的等式，解出的值，即可得出切线的方程. 【详解】（1）由题意可得，， ，所以， 由题意可知圆的半径为，故圆的标准方程为. （2）若切线的斜率不存在，则切线的方程为，此时圆心到该直线的距离为，不符合题意； 所以切线的斜率存在，设切线的方程为，即， 由于圆心到切线的距离为，则，解得， 故所求切线的方程为或，即或. 5．（24-25高二上·重庆·期末）已知圆，两点和． (1)求过点的圆的切线方程； (2)求以线段为直径的圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）判断在圆上，求出切线斜率即可求过点P的圆O的切线方程； （2）求出的中点可得圆心坐标，求出的值可得圆的半径，从而可求圆的方程． 【详解】（1）∵点满足， ∴点在圆上，即P是切点，则切线垂直， 的斜率为， 则切线斜率为， 则过点P的圆O的切线方程为； 即． （2）因为和 所以的中点为，， 以为直径的圆的圆心为，半径为1， 以为直径的圆的方程为 题型05 圆与圆的位置关系与公共弦 判断两圆的位置关系只看圆心距d与r₁＋r₂、|r₁－r₂|这两个界；两圆相交时把两个一般方程相减，二次项自动消去，剩下的就是公共弦所在的直线。 【方法小结】两圆方程相减能消去二次项，是因为两个方程中与的系数都是1；若系数不是1，必须先化成首项系数为1的形式再相减。 【典例5】5．（2026·吉林通化·模拟预测）(多选)已知圆与圆，则下列说法正确的有（   ） A．若，则两圆外离 B．若两圆相交，则 C．若，则两圆的公共弦所在直线方程为 D．若，则直线为两圆的公切线 【答案】BD 【分析】根据圆与圆位置关系计算可判断AB；根据两圆公共弦所在直线方程求法计算可判断C；根据直线与圆的位置关系计算可判断D. 【详解】由圆，得圆心，半径， 由圆，得圆心，半径． 对于A，若，，两圆外切，故A错误； 对于B，由两圆相交，得， 即，解得，故B正确； 对于C，若，则， 此时，所以两圆相交， 因为两圆方程作差得， 所以两圆的公共弦所在直线方程为，故C错误； 对于D，若，则到直线的距离， 到直线的距离， 所以直线为两圆的公切线，故D正确． 【变式训练】1．（26-27高三上·福建泉州·开学考试）若圆与圆无公共点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将两圆方程化为标准方程得到圆心与半径，再根据两圆无公共点对应外离或内含的位置关系，列不等式求解的取值范围． 【详解】圆化为标准式： 圆心，半径, 圆，圆心，半径， 两圆无公共点，即外离或内含， 圆心距， 若两圆外离，则，即，解得或； 若两圆内含，则，无解． 因此两圆无公共点的条件是． 2．（25-26高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】将两圆的一般方程化为标准方程，求得圆心坐标与半径，计算圆心距后与两半径的和、差比较，即可判断两圆位置关系。 【详解】对于圆：，配方得，故圆心，半径； 对于圆：，配方得，故圆心，半径； 显然两圆圆心距， 两半径之差为，两半径之和为， 显然满足，即，因此两圆相交. 3．（25-26高二下·上海·期中）已知圆与相交于、两点，则公共弦的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两圆方程相减，求出公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式求出到直线AB的距离，根据几何法求弦长即可. 【详解】由两圆方程相减即得， 此为公共弦AB所在的直线方程. 圆的圆心，半径. 到直线AB的距离为， 故公共弦长. 4．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）已知圆与圆相交，则公共弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两圆方程相减得公共弦所在直线方程： ; 两式相减可得公共弦方程：. 即. 5．（25-26高三下·河南驻马店·阶段检测）已知圆与，则圆与圆的公共弦长为________． 【答案】 【分析】将两圆方程作差得到公共弦所在直线的方程，再利用点到直线距离公式和勾股定理求弦长即可. 【详解】将两圆方程作差得公共弦所在直线的方程， 圆，其圆心，半径， 则圆心到直线的距离为，则两圆的公共弦长为． 6．（2026·湖南株洲·三模）若圆与圆有且仅有3条公切线，则的最大值为______． 【答案】 【分析】判断出圆与圆的位置关系，利用三角换元法求得的最大值. 【详解】圆的圆心为，半径. 圆的圆心为，半径. 由于两圆有且仅有3条公切线，所以两圆外切， 所以，即， 设， 所以 ， 其中（为锐角）， 所以， 所以当时，取得最大值为. 7．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知两圆和.  求： (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 【答案】(1)57 (2)， 【分析】（1）求出两圆的标准方程得到圆心和半径，利用两圆外切的性质进行求解即可； （2）利用两圆的方程作差求出公共弦所在直线的方程，然后利用弦长公式求解即可. 【详解】（1）由圆，即， 则圆心为，半径为， 圆，即， 则圆心为，半径为，， 因为两圆外切，所以两圆圆心距为， 即，解得. （2）当时，两圆方程相减得：，即， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 8．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知圆经过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若圆：（）与圆没有公共点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆心为，根据圆心在直线上及，求解即可； （2）根据圆与圆外离或内含求解即可. 【详解】（1）设圆心为， 因为圆心在直线上，所以，即. 又圆经过和，所以， 代入，并化简： ， 因此，圆心为， 半径 所以圆的标准方程为：. （2）圆：圆心，半径； 圆：圆心，半径 两圆没有公共点，即外离或内含. 圆心距 外离条件： , 解得或 内含条件： , , 判别式，无解. 的取值范围为：或 题型06 与直线、圆有关的最值问题 知识点1： 圆上的点到定点的距离最值问题 一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值 已知圆及圆外一定点，设圆的半径为 则圆上点到点距离的最小值为，最大值为 知识点2： 圆上的点到直线的距离最值问题 已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为， 距离的最大值为 小结：圆上动点的最值都靠“先把圆心的那一份算出来，再加减一个半径”；形如分式或一次式的最值，则把它看成斜率或截距，用相切定住临界位置。 知识点3.利用代数法的几何意义求最值 1、形如的最值问题，可以转化为过点和点的动直线斜率的最值问题； 2、形如的最值问题，可以转化为点和点的距离的平方的最值问题； 3、形如的最值问题，可以转化为动直线纵截距的最值问题 【典例6】（25-26高二上·陕西商洛·期末）(多选)已知直线，圆，点在圆C上，则下列说法正确的是（    ） A．直线l过定点 B．圆心C到直线l距离的最大值是1 C．直线l被圆C截得的最短弦长为 D．的取值范围为 【答案】ACD 【分析】求出直线所过定点的坐标，可判断A选项；记点，分析可知当时，此时圆心到直线的距离为取最大值，可求出的最大值，可判断B选项；利用勾股定理结合B的结论可求出直线被圆C截得的弦长最小值，可判断C选项；令，分析可得直线与圆相切时取得的最大值和最小值，即可求出取值范围，可判断D选项. 【详解】对于A选项，直线的方程可化为，由可得， 所以直线l过定点，A正确； 对于B选项，设圆心到直线的距离为，记点， 当时，此时取最大值，即， 故圆心到直线距离的最大值是，B错误； 对于C选项，设直线被圆截得的弦长为，则， 当取最大值，取最小值，则， 故直线被圆截得的弦长最小值为，C正确； 对于D选项，令，则， 圆心到直线的距离为， 化简可得：，解得：， 所以的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 【变式训练】1．（25-26高二上·广西百色·期末）已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求直线所过定点，确定定点在圆内，则有时，直线l被圆C截得的弦长最小，依此求解即可. 【详解】直线， 令，即，所以直线恒过定点， 圆的圆心为，半径为， 且，即点P在圆内， 当时，圆心C到直线l的距离最大为， 此时，直线l被圆C截得的弦长最小，最小值为. 故选：A. 2．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得出点是在圆的上半部分，以及表示点到直线距离的倍，利用点到直线的距离即可求解. 【详解】   由，得，即为圆的上半圆，圆心，半径为， 如图所示，取点，又因为表示点到直线距离的倍， 圆心到直线的距离， 即直线与圆相离，点到直线的距离， 所以的最小值为，最大值为， 所以的取值范围为，故B正确． 3．（25-26高二下·云南德宏·期末）(多选)已知直线，圆，则下列说法中正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．对，直线与圆一定相交 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．当时，圆上存在着4个点到直线的距离为 【答案】ABD 【分析】对于A，将圆一般方程化为标准方程，据此可得圆心坐标；对于B，注意到直线过定点，由定点与圆关系可判断选项正误；对于C，设直线到圆心距离为，求出的最大值，可得弦长最小值；对于D，计算出直线到圆心距离，结合图形可判断选项正误. 【详解】对于A：，从而圆心坐标为，故A正确； 对于B：，则直线过定点，又， 则定点在圆内，则过该定点直线一定与圆相交，故B正确； 对于C：设直线到圆心距离为，直线被圆所截弦长为，圆半径为.由AB分析可得，直线过定点且该点到圆心距离为， 当直线与定点和圆心连线垂直时，最大为，则直线被圆截得的最短弦长为，故C错误； 对于D：当时，直线到圆心距离为，如下图，设直线与圆交于，中点为， 连接并延长交圆于，由垂径定理可得.易得， 则在劣弧上存在两点到直线的距离为，在优弧上也存在两点到直线的距离为， 综上圆上存在着4个点到直线的距离为，故D正确. 4．（25-26高二上·云南保山·期末）已知点，点在圆上运动，则的取值范围为_________． 【答案】 【详解】圆的标准方程为， 则圆心为，半径， 又圆心到点A的距离，所以点A在圆外， 则的最大值为，的最小值为， 则的取值范围为 5．（25-26高二上·河北雄安·期末）实数满足，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】由的几何意义即可求解. 【详解】如图： 点为圆上一点，， 则表示线段的长度． 所以， 可得的取值范围为． 故答案为： 6．（26-27高二上·全国·课后作业）已知点在圆上，点，，则点到直线的距离的最大值为__________；当最小时，的长度为__________． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出直线的方程，利用几何性质，结合点到直线距离公式求出最大值，再作出图形，确定角最小时直线的位置求解. 【详解】依题意，直线的直线方程为，即，圆的圆心，半径为4， 圆心到直线的距离为，因此点到直线的距离的最大值为； 如图：当最小时，直线与圆相切，又，，所以. 7．（25-26高二上·浙江湖州·期末）已知圆经过点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)设点在圆上运动，求的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)最大值与最小值分别为49和9 【分析】（1）求得直线的中垂线为，根据几何法列式计算可得圆的方程； （2）方法1：设，由计算即可求解；方法2：设，代入化简由三角函数性质计算即可求解. 【详解】（1）线段的中垂线为， 因为圆心在直线上，所以圆心满足： ，解得，即圆心 又半径，所以圆C的方程为； （2）方法1：设，则， 又因为， ，所以， 当且仅当三点共线时等号成立 所以，即最大值与最小值分别为49和9． 方法2：设， 则 所以的最大值与最小值分别为49和9． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $