3.1 椭圆讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学椭圆核心知识点，以椭圆定义为起点，系统梳理标准方程求解（几何特征、abc关系）、几何性质（焦点、焦距、顶点、离心率、范围）、直线与椭圆位置关系（交点、弦长、切线）及综合问题（焦点三角形、中点弦、向量、定点定值），构建递进式学习支架。 该资料通过24类题型分类呈现，每类题型含解题知识、典例及变式题，结合过关验收强化应用。以焦点三角形面积计算、中点弦斜率推导等实例，培养学生用数学眼光观察几何关系，用数学思维推理计算，用数学语言规范表达。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，巩固知识。

3.1 椭圆 内 容 导 航 题型1 椭圆的定义 题型2 根据椭圆的几何特征求标准方程 题型3 根据abc及其关系式求椭圆的标准方程 题型4 由方程表示椭圆求解椭圆的标准方程或参数 题型5 求椭圆的焦点和焦距 题型6 由椭圆的焦点焦距求解椭圆方程或参数 题型7 椭圆上的点与焦点的距离 题型8 椭圆的范围 题型9 椭圆的顶点 题型10 椭圆的长短轴 题型11 椭圆的离心率 题型12 求椭圆的离心率 题型13 由椭圆的离心率求解方程或参数 题型14 椭圆的离心率与椭圆形状的关系 题型15 椭圆相关动点轨迹 题型16 直线与椭圆的位置关系及公共点个数 题型17 由直线与椭圆位置关系及公共点个数求解方程或参数 题型18 椭圆的切线方程及性质 题型19 椭圆的弦及弦长 题型20 椭圆的焦点弦及焦半径 题型21 椭圆的焦点三角形 题型22 椭圆的中点弦 题型23 椭圆与平面向量 题型24 椭圆的定点及定值问题 考 点 演 练 题型1 椭圆的定义 解｜题｜知｜识 1．椭圆的第一定义 平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a＞|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆，其中，这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离|F1F2|叫做焦距． 2．椭圆的第二定义 平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数e（0＜e＜1，其中a是半长轴，c是半焦距）的点的轨迹叫做椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数e叫椭圆的离心率． 3．注意要点 椭圆第一定义中，椭圆动点P满足{P||PF1|+|PF2|＝2a}． （1）当2a＞|F1F2|时，动点P的轨迹是椭圆； （2）当2a＝|F1F2|时，动点P的轨迹是线段F1F2； （3）当2a＜|F1F2|时，动点P没有运动轨迹． 【典例1】已知P为曲线上的动点，A（﹣2，0），B（2，0）且|PA|+|PB|＝8，则b2＝（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【解答】解：根据A（﹣2，0），B（2，0）且|PA|+|PB|＝8， 可知点P在以A、B为焦点的椭圆上， 该椭圆的方程为曲线，2a＝8，即a＝4， 结合c＝|OA|＝2，可得b2＝a2﹣c2＝12． 故选：C． 【变式1】已知椭圆，其左右焦点分别为F1，F2.点P是椭圆E上任意一点，则△PF1F2的周长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．以上答案均不正确 【答案】C 【解答】解：因为椭圆E的方程为：， 所以a＝2，b， 则c1， 所以△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|＝2a+2c＝6． 故选：C． 【变式2】已知椭圆的两个焦点为F1，F2，P为C上不与F1，F2共线的点，则下列说法正确的有（　　） A．实数m的取值范围是（0，+∞） B．若椭圆C的焦点在x轴上，则|PF1|+|PF2|＝6 C．若m＝8，则△PF1F2周长为8 D．若m＝18，则椭圆C的离心率为 【答案】BCD 【解答】解：对于A，椭圆需满足m＞0且m≠9，故A错误． 对于B，若焦点在x轴上，a＝3，由椭圆定义知|PF1|+|PF2|＝2a＝6，故B正确． 对于C，当m＝8时，，则|F1F2|＝2c＝2，又|PF1|+|PF2|＝6，所以△PF1F2周长为6+2＝8，故C正确． 对于D，当m＝18时，椭圆方程为，此时，，离心率，故D正确． 故选：BCD． 【变式3】已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx+m（m≠0）与椭圆C交于M、N两点（M点在N点的上方），与y轴交于点E． （1）当t＝3时，点A为椭圆C上除顶点外任一点，求△AF1F2的周长； （2）若椭圆C的离心率为，当k为何值时，|OM|2+|ON|2恒为定值；并求此时△MON面积的最大值． 【答案】（1）； （2），|OM|2+|ON|2恒为定值；△MON面积的最大值为． 【解答】解：（1）椭圆的左、右焦点分别为F1，F2， 直线l：y＝kx+m（m≠0）与椭圆C交于M、N两点（M点在N点的上方），与y轴交于点E， 当t＝3时，点A为椭圆C上除顶点外任一点， 椭圆方程为，故且， 由椭圆定义可得，△AF1F2的周长为； （2）由题意得，解得t＝9， 椭圆方程，联立， 消元得（9k2+1）x2+18kmx+9m2﹣9＝0， Δ＝324k2m2﹣36（9k2+1）（m2﹣1）＞0，可得9k2﹣m2+1＞0， 设M（x1，y1），N（x2，y2），则，， 又因为M、N在椭圆上，则，， 则 ， 当|OM|2+|ON|2为定值时，即与m2无关，故9k2﹣1＝0，得， 此时， 又点O到直线l的距离， 所以 ， 当且仅当，即m＝±1时，等号成立， 因为Δ＝9k2﹣m2+1，经检验，此时Δ＞0成立，所以△MON面积的最大值为． 题型2 根据椭圆的几何特征求标准方程 解｜题｜知｜识 椭圆的几何特征包括长轴2a、短轴2b、焦点． 【解题方法点拨】 1．提取几何特征：从题目中得到长轴、短轴或焦距． 2．代入标准方程：使用几何特征计算a和b，代入标准方程： 【命题方向】 ﹣由椭圆的几何特征（如长轴、短轴）求标准方程． ﹣根据焦点位置和长短轴所在位置推导标准方程． 【典例1】以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的标准方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：因为双曲线方程为， 所以，故， 所以双曲线的顶点坐标为，焦点坐标为， 所以椭圆的顶点坐标为，焦点坐标为， 所以椭圆的标准方程为． 故选：C． 【变式1】已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4． （1）求椭圆C的方程； （2）过点（1，0）的直线l与椭圆C交于A，B两点，且，求直线l的方程． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题可知，2a＝4，a＝2， 又，且a2＝b2+c2，解得，b＝1， 则椭圆C的方程为． （2）法一：①当直线l斜率不存在时，，不符合题意． ②设直线l方程为y＝k（x﹣1）， 联立，得（4k2+1）x2﹣8k2x+4k2﹣4＝0，Δ＞0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则， 由，得， 即，解得k＝±1． 故直线l的方程为y＝x﹣1或y＝﹣x+1． 法二：①当直线l斜率为0时，|AB|＝2a＝4，不符合题意． ②当直线l斜率不为0时，设直线l方程为x＝ty+1， 联立，得（t2+4）y2+2ty﹣3＝0，Δ＞0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则． 由题意，， 即，解得t＝±1． 故直线l的方程为：x＝y+1或x＝﹣y+1． 【变式2】若椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C过点，若直线l经过点F2且交椭圆C于A，B两点，交直线x＝4于点M，直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线PA，PB关于直线PF2对称，求k3； （3）探究k1，k2，k3的数量关系． 【答案】（1）； （2）0； （3）k1+k2＝2k3． 【解答】解：（1）若椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），则c＝1， 又椭圆C过点， 根据椭圆的定义式可得，即a＝2， 所以b2＝a2﹣c2＝3， 所以椭圆C的标准方程为； （2）若直线l经过点F2且交椭圆C于A，B两点，交直线x＝4于点M，直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3， 直线PF2的方程为：x＝1， 因为直线PA，PB关于直线PF2对称，所以k1+k2＝0， 由题意可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y＝k（x﹣1）， 联立方程组：，得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 根据韦达定理可得， 因为， 即， 整理得：， 所以，即9﹣18k＝0，解得， 所以直线l的方程为：， 当x＝4时，，则， 所以k3＝0； （3）若直线l的斜率k＝0时，直线l的方程为y＝0，所以A（﹣2，0），B（2，0），M（4，0）， 此时，再结合（2），猜想，k1+k2＝2k3． 证明如下： 直线l：y＝k（x﹣1），所以M（4，3k），则，即2k3＝2k﹣1， 由（2）知： 2k﹣1， 所以k1+k2＝2k3成立， 综上，k1+k2＝2k3． 题型3 根据abc及其关系式求椭圆的标准方程 解｜题｜知｜识 已知椭圆的方程中abc及其关系，可以直接代入标准方程中．关系式c2＝a2﹣b2可用于计算焦距． 【解题方法点拨】 1．确定a和b：从题目中给定的a和b得到椭圆的标准方程． 2．代入公式： 标准方程形式为： 【命题方向】 ﹣给定a和b，直接求椭圆的标准方程． ﹣利用a和b的关系确定标准方程． 【典例1】阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为15π，则椭圆C的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上， 设椭圆的标准方程为， 因为椭圆C的离心率为，面积为15π， 则，解得：a2＝25，b2＝9， 所以椭圆C的标准方程为． 故选：C． 题型4 由方程表示椭圆求解椭圆的标准方程或参数 解｜题｜知｜识 一般形式的椭圆方程可以通过完成平方转换为标准方程．例如，一般形式为： Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0 【解题方法点拨】 1．完成平方：通过变换将一般形式的方程转化为标准方程： 2．提取参数：从标准方程中提取椭圆的参数a和b． 【命题方向】 ﹣给定椭圆的一般方程，转换为标准方程． ﹣利用完成平方的方法确定标准方程． 【典例1】已知方程表示椭圆，则实数m的取值范围是（　　） A． B．（2，3） C． D．（1，2）∪（2，3） 【答案】C 【解答】解：由题意得，，解得． 故选：C． 【变式1】已知曲线，设p：2＜m＜6，q：曲线C是焦点在坐标轴上的椭圆，则p是q的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解答】解：曲线C是焦点在坐标轴上的椭圆的充要条件是， 解得2＜m＜6且m≠4， 所以p是q的必要不充分条件． 故选：B． 题型5 求椭圆的焦点和焦距 解｜题｜知｜识 椭圆的焦点位于，焦距c可以通过公式计算： 【解题方法点拨】 1．计算焦距：使用公式． 2．确定焦点位置：焦点坐标为． 【命题方向】 ﹣给定a和b，计算焦点和焦距． ﹣利用焦距和长短轴计算焦点位置． 【典例1】椭圆2x2+y2＝8的焦点坐标为（　　） A．（4，0），（﹣4，0） B．（2，0），（﹣2，0） C．（0，2），（0，﹣2） D．（0，4），（0，﹣4） 【答案】C 【解答】解：由椭圆2x2+y2＝8化为标准方程为， 焦点坐标在y轴上，可知a2＝8，b2＝4，则c2＝a2﹣b2＝4，可得c＝2， ∴椭圆2x2+y2＝8的焦点坐标为（0，﹣2），（0，2）． 故选：C． 【变式1】椭圆的焦距为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：已知椭圆方程为， 则a2＝25，b2＝12， 所以， 则椭圆的焦距为． 故选：C． 【变式2】已知椭圆的一个焦点坐标为（0，﹣1），则实数m＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：因为椭圆的一个焦点坐标为（0，﹣1）， 所以该椭圆的焦点在纵轴上， 因此有m＞2，且m﹣2＝1， 即m＝3． 故选：C． 题型6 由椭圆的焦点焦距求解椭圆方程或参数 解｜题｜知｜识 已知焦点位置和焦距c，可以通过公式c2＝a2﹣b2计算a和b． 【解题方法点拨】 1．计算a和b：使用c2＝a2﹣b2计算a和b． 2．代入标准方程：用计算出的a和b确定椭圆的标准方程． 【命题方向】 ﹣给定焦点和焦距，求椭圆的标准方程． ﹣根据焦距和焦点位置推导椭圆的参数． 【典例1】已知椭圆的焦距为2，则k＝（　　） A．2 B．2或10 C．5 D．5或7 【答案】D 【解答】解：因为椭圆的焦距为2， 若椭圆的焦点在x轴上，则，解得k＝5， 若椭圆的焦点在y轴上，则，解得k＝7， 综上，k＝5或7． 故选：D． 【变式1】已知椭圆的焦距为6，则k的值为　29　 ． 【答案】29． 【解答】解：因为椭圆的焦距为6，所以c＝3． 当椭圆的焦点在x轴上时，因为a2＝20，b2＝k，所以9＝20﹣k，解得k＝11（舍去）； 当椭圆的焦点在y轴上时，因为a2＝k，b2＝20，所以9＝k﹣20，解得k＝29． 综上所述，k的值为29． 故答案为：29． 题型7 椭圆上的点与焦点的距离 解｜题｜知｜识 椭圆上任意点（x1，y1）到焦点的距离可以用以下公式计算： 【解题方法点拨】 1．计算距离：代入点坐标和焦点位置计算距离． 【命题方向】 ﹣给定椭圆上的点和焦点，计算距离． ﹣利用椭圆的几何性质计算点到焦点的距离． 【典例1】已知椭圆C：，左、右焦点分别为F1、F2，点P是C上的动点，点，则下列结论正确的是（　　） A．若为F1、F2直径的圆经过点P，则满足条件的点P有2个 B．的最小值为 C．|PF1|+|PM|的最小值为5 D．被点M平分的弦所在直线的斜率为 【答案】BD 【解答】解：根据题意可知，椭圆C：，则， ∴以F1、F2为直径的圆与椭圆交于四个点，如图， ∴若以F1、F2直径的圆经过点P，则满足条件的点P有4个，A选项错误； 由题意以及椭圆定义可得|PF1|+|PF2|＝2a＝8， 且， ∴ ， 当且仅当，即时等号成立， ∴的最小值为，B选项正确； 如图，|PF1|+|PM|＝2a﹣|PF2|+|PM|＝8+|PM|﹣|PF2|≥8﹣|MF2|＝8﹣2＝6， ∴|PF1|+|PM|的最小值为6，C选项错误； 设以M为中点的弦两端端点分别为A（x1，y1）B（x2，y2）， 则，∴，D选项正确． 故选：BD． 【变式1】已知椭圆的两个焦点F1，F2，点P在椭圆上，且∠F1PF2＝60°，则 　40　 ． 【答案】40 【解答】解：由题意可得a2＝12，b2＝3，c2＝9， 在△PF1F2中，∠F1PF2＝60°， 由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝（|PF1|+PF2|）2﹣3|PF1||PF2|， 即4c2＝4a2﹣3|PF1||PF2|， 可得|PF1||PF2|b2， 所以． 故答案为：40． 题型8 椭圆的范围 解｜题｜知｜识 椭圆的范围 【解题方法点拨】 描述范围：基于标准方程确定椭圆几何区域． 【命题方向】 ﹣根据标准方程描述椭圆的范围． ﹣给定方程，确定椭圆的范围． 【典例1】已知点M（x，y）在椭圆上运动，则x﹣y的最大值为　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：设M（2cosθ，4sinθ），θ∈[0，2π）， 则x﹣y＝2cosθ﹣4sinθ＝2cos（θ+β）， 故x﹣y的最大值为：2． 故答案为：2． 【变式1】已知椭圆，则该椭圆上的点到焦点距离的最小值为　1　 ． 【答案】1． 【解答】解：椭圆， 故a＝2，c1， 由椭圆的性质可得：椭圆上的点到焦点的距离的范围为[a﹣c，a+c]， 则椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a﹣c＝1． 故答案为：1． 题型9 椭圆的顶点 解｜题｜知｜识 椭圆的顶点是长轴上的点．对于标准方程，顶点坐标为和． 【解题方法点拨】 1．确定顶点位置：从标准方程中直接得到顶点坐标． 【命题方向】 ﹣给定长轴和短轴，求椭圆的顶点坐标． ﹣利用标准方程确定椭圆的顶点位置． 【典例1】已知椭圆的离心率为，且左顶点A与上顶点B的距离|AB|＝3． （1）求椭圆C的标准方程； （2）不经过坐标原点O的直线l交椭圆C于P，Q两点（P，Q两点不与椭圆上、下顶点重合），当△OPQ的面积最大时，求kOP•kOQ的值． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）设椭圆C的半焦距为c，由题意，得，可得a2＝2c2，c2＝b2．又，解得a2＝6，b2＝3． 所以椭圆C的标准方程为． （2）设点O到直线l的距离为d．P（x1，y1），Q（x2，y2）． ①直线l的斜率不存在时． 设直线l的方程为，且m＝0），则， 所以， 当m2＝3时等号成立．即当m2＝3时，△OPQ的面积最大， 此时，． ②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+t（t≠0，且t2≠3）， 由消去y并整理可得（1+2k2）x2+4ktx+2t2﹣6＝0． 由题意知Δ＝16k2t2﹣4（1+2k2）（2t2﹣6）＝8（6k2﹣t2+3）＞0． 由韦达定理，， 则． 又，所以 ， 当且仅当时，等号成立． 所以当3+6k2＝2t2（t≠0，且t2≠3）时，△OPQ的面积最大． 此时 ． 综上所述，当△OPQ的面积最大时，． 题型10 椭圆的长短轴 解｜题｜知｜识 长轴长度为2a，短轴长度为2b．长轴和短轴分别是椭圆的主要和次要轴． 【解题方法点拨】 1．提取轴长：从标准方程中直接得到长轴和短轴长度． 【命题方向】 ﹣给定标准方程，计算椭圆的长轴和短轴长度． ﹣从方程中提取轴的长度． 【典例1】已知椭圆的一个焦点是圆x2+y2﹣6x+8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的长轴长为（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【解答】解：圆x2+y2﹣6x+8＝0的圆心为（3，0）， 即椭圆的右焦点为（3，0）， 又该椭圆的短轴长为8，所以长半轴长， 则该椭圆的长轴长为10． 故选：B． 【变式1】在手工课上，老师带领同学们一起制作了一个近似北京鸟巢体育场的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为8cm，则小椭圆的长轴长为（　　） A．20cm B．16cm C．12cm D．10cm 【答案】B 【解答】解：因为扁平程度相同，所以两个椭圆的离心率相同，长轴长与短轴长的比相同， 所以小椭圆的长轴长为16cm． 故选：B． 【变式2】（多选）关于椭圆，下列结论正确的是（　　） A．半长轴长为2 B．半短轴长为2 C．焦距为 D．离心率为 【答案】BCD 【解答】解：由椭圆方程可得：a2＝16，b2＝4，∴c2＝a2﹣b2＝16﹣4＝12， ∴，∴半长轴长为a＝4，故A选项错误； ∴半短轴长为b＝2，故B选项正确； ∴焦距为，故C选项正确； ∴离心率为，故D选项正确． 故选：BCD． 题型11 椭圆的离心率 解｜题｜知｜识 椭圆标准方程的两种形式： （1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c； （2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c． 两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2 两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同． 标准方程 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上 图形 离心率 e（0＜e＜1） e（0＜e＜1） 【典例1】（多选）已知椭圆C：x2+4y2＝16的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的任意一点，则（　　） A．C的离心率为 B．|PF1|+|PF2|＝8 C．|PF1|的最大值为 D．使∠F1PF2为直角的点P有4个 【答案】BCD 【解答】解：由原方程可得椭圆标准方程为， ∴，∴，故A错误； 由椭圆定义可知|PF1|+|PF2|＝2a＝8，故B正确； 由椭圆的性质知，故C正确； 易知以线段F1F2为直径的圆（因为b＜c＜a）与C有4个交点，故满足∠F1PF2为直角的点P有4个，故D正确． 故选：BCD． 题型12 求椭圆的离心率 解｜题｜知｜识 椭圆的离心率e由公式计算，其中． 【解题方法点拨】 1．计算离心率：使用公式计算离心率． 【命题方向】 ﹣给定a和b，求椭圆的离心率． ﹣计算椭圆的离心率，并分析其含义． 【典例1】已知点F1，F2是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆E上一点，点F1关于∠F1MF2的角平分线的对称点N也在椭圆E上，若，则椭圆E的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由图可知：|MF1|+|MF2|＝|NF1|+|NF2|＝2a， 由MP平分∠F1MF2，则， 所以， 由，则解得， 由N是F1关于直线MP的对称点，则N，F2，M共线， ，MP⊥F1N，|MF1|＝|MN|， 所以|MF1|+|MN|+|NF1|＝4a， 在Rt△MF1P中，， 可得， 解得，， 在△F1MF2中，由余弦定理， 可得， 代入可得：， 化简可得：，所以其离心率． 故选：B． 【变式1】记椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，下顶点为B，直线BF2与E相交于另一点A，若，则E的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：设椭圆E的半焦距为c， 因为B为椭圆的下顶点， 所以|BF1|＝|BF2|＝a， 由，得， 由椭圆的定义得，， 所以， 在△AF1F2和△ABF1中，由余弦定理得，， 即， 化简得，即1950a2﹣256×15c2＝1694a2， 整理得a2＝15c2，即ac， 所以离心率e． 故选：D． 【变式2】（多选）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经该椭圆反射后，反射光线经过另一个焦点．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2c（c＞0），一条光线从F1出发，经过椭圆的若干次反射，第二次经过点F2时光线走过的路程为7c，则该椭圆的离心率可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解答】解：设椭圆的长轴长为2a（a＞0）． ①若光线从F1沿长轴向右射出，则第二次经过F2时，光走过的路程为2a，所以2a＝7c，可得e． ②若光线从F1沿长轴向左射出，则第二次经过F2时，光走过的路程为2a+2（a﹣c），所以4a﹣2c＝7c，可得e． ③若光线从F1沿其他方向射出，则第二次经过F2时，光走过的路程为6a，所以6a＝7c，可得e． 故选：ABD． 题型13 由椭圆的离心率求解方程或参数 解｜题｜知｜识 已知椭圆的离心率e和长轴a，可以计算b和焦距c： c＝ae 【解题方法点拨】 1．计算参数：利用离心率和长轴计算短轴b和焦距c． 2．代入标准方程：得到椭圆的标准方程． 【命题方向】 ﹣给定离心率和长轴，求椭圆的方程或参数． ﹣利用离心率计算椭圆的标准方程． 【典例1】若椭圆的离心率为，则a的值为（　　） A．2 B． C．2或 D．2或 【答案】D 【解答】解：当a＞1时，离心率为，解得a＝2； 当0＜a＜1时，离心率为，解得． 综上所述：a＝2或． 故选：D． 【变式1】已知椭圆的离心率为，若椭圆E上的点到直线x+y+5＝0的最短距离不小于，则长半轴长a的取值范围为（　　） A．（0，2] B． C． D． 【答案】C 【解答】解：已知椭圆的离心率为，若椭圆E上的点到直线x+y+5＝0的最短距离不小于， 设x+y+5＝0平行且距离为的直线方程为x+y+c＝0， 所以， 解得c＝3或c＝7（结合图象舍去）， 设直线l与x+y+5＝0平行且它们之间的距离为， 则l的方程为x+y+3＝0， 由， 整理得（a2+b2）x2+6a2x+9a2﹣a2b2＝0， 因为E上的点到直线x+y+5＝0的最短距离不小于， 所以x+y+3＝0与椭圆相切或没有交点， 所以Δ＝36a4﹣4（a2+b2）（9a2﹣a2b2）≤0， 整理得a2+b2﹣9≤0， 由椭圆E的离心率为， 可知， 所以， 所以， 则a2≤6， 所以． 故选：C． 【变式2】已知椭圆C：1（a＞b＞0）上存在两点M，N关于直线x﹣y﹣1＝0对称．若椭圆离心率为，则MN的中点坐标为（　　） A．（5，4） B．（4，3） C．（3，2） D．（2，1） 【答案】C 【解答】解：已知椭圆C：1（a＞b＞0）上存在两点M，N关于直线x﹣y﹣1＝0对称， 设点M（x1，y1）、N（x2，y2），线段MN的中点为E（x0，y0）， 则， 由题意，椭圆的离心率为， 可得， 因为M、N关于直线x﹣y﹣1＝0对称，且直线x﹣y﹣1＝0的斜率为1， 则， 将点M、N的坐标代入椭圆方程可得， 上述两个等式作差可得， 可得， 即， 即， 即2x0＝3y0，① 又因为点E（x0，y0）在直线x﹣y﹣1＝0上， 则x0﹣y0﹣1＝0，② 联立①②可得， 故线段MN的中点为E（3，2）． 故选：C． 题型14 椭圆的离心率与椭圆形状的关系 解｜题｜知｜识 离心率e表示椭圆的形状，离心率越大，椭圆越“扁”． 【解题方法点拨】 1．分析形状：离心率e越接近于1，椭圆的形状越接近于长轴方向的直线． 2．形状分析：离心率e越接近于0，椭圆越接近于圆形． 【命题方向】 ﹣讨论离心率对椭圆形状的影响． ﹣通过离心率分析椭圆的形状特征． 【典例1】人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：如图，卫星在以地球的中心为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地心的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设该椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c某同学根据所学知识，得到下列结论： ①卫星向径的取值范围是[a﹣c，a+c]； ②卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁； ③卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间； ④卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大． 其中正确的结论是（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．①③④ 【答案】B 【解答】解：对于①，根据椭圆的几何性质，右顶点到右焦点的距离为a﹣c，左顶点到右焦点的距离为a+c， 结合卫星向径的定义得卫星向径的取值范围是[a﹣c，a+c]，所以①是正确的； 对于②因为，1， 当增大时e，椭圆越扁，越小，所以②错误； 对于④根据题意卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，所以④错误； 对于③，由④知卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小， 故在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，所以③是正确的．故选：B． 题型15 椭圆相关动点轨迹 解｜题｜知｜识 动点在椭圆上的轨迹问题通常涉及到椭圆的参数和方程的变换． 【解题方法点拨】 1．求解轨迹：设定动点的运动规律，找到对应的椭圆方程或参数． 2．方程变换：通过变换确定动点的轨迹方程． 【命题方向】 ﹣给定动点的运动规律，求椭圆的轨迹． ﹣分析动点在椭圆上的运动特征． 【典例1】一动圆与圆x2+y2+4x＝0外切，同时与圆x2+y2﹣4x﹣60＝0内切，则动圆圆心的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：圆x2+y2+4x＝0可化为（x+2）2+y2＝4，则圆心O1（﹣2，0），半径为2． 圆x2+y2﹣4x﹣60＝0可化为（x﹣2）2+y2＝64，则圆心O2（2，0），半径为8． 如图所示：设动圆圆心为点P，半径为r， 圆P与圆O1外切于点M，则P，M，O1三点共线，且|PO1|＝|PM|+|MO1|＝2+r， 圆P与圆O2内切于点N，则N，P，O2三点共线，且|PO2|＝|O2N|﹣|PN|＝8﹣r， |MO1|＝2，|O2N|＝8，|PM|＝|PN|＝r， 所以|PO1|+|PO2|＝（2+r）+（8﹣r）＝10＞|O1O2|， 所以点P的轨迹为以O1，O2为焦点的椭圆，且2a＝10，c＝2， 所以， 所以点P的轨迹方程为． 故选：C． 【变式1】若动点P（x，y）满足方程，则动点P的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵动点P（x，y）满足方程， ∴点p的轨迹是以（2，0），（﹣2，0）为焦点，以8为长轴长的椭圆， a＝4，c＝2，∴b＝2， 其方程为：． 故选：A． 题型16 直线与椭圆的位置关系及公共点个数 解｜题｜知｜识 直线与椭圆的位置关系包括相交、相切和不相交三种情况．公共点个数可以通过代入直线方程到椭圆方程中求解． 【解题方法点拨】 1．代入直线方程：将直线方程代入椭圆方程，形成二次方程． 2．分析解的个数：根据二次方程的判别式判断公共点的个数（0、1、2）． 【命题方向】 ﹣由直线与椭圆的交点个数，确定它们的位置关系． ﹣解直线与椭圆的方程，计算交点个数． 【典例1】已知曲线，直线l与曲线C交于A，B两点，且点P（2，1）是线段AB的中点，则直线l的斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则根据题意可得，x1+x2＝2×2＝4，y1+y2＝2×1＝2， 又，，两式相减可得： ，所以， 所以，解得kAB． 故选：D． 【变式1】直线与椭圆的位置关系为（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【解答】解：因为直线过点（a，0），（0，b）， 而（a，0），（0，b）为椭圆的右端点和上端点， 故直线与椭圆相交． 故选：C． 【变式2】已知椭圆及其上点，过右焦点F的直线l与椭圆C交于不同两点M，N（均异于点P）．若直线PM，PN的斜率互为相反数，则直线l的方程是（　　） A．x+2y﹣1＝0 B．x+2y+1＝0 C．x﹣2y+1＝0 D．x﹣2y﹣1＝0 【答案】D 【解答】解：易知直线l的斜率存在， 设直线l的方程为y＝k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2）， 联立，消去y并整理得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0， 此时Δ＞0， 由韦达定理得， 此时． 因为kPM+kPN＝0， 所以， 所以， 整理得， 因为， 所以， 解得， 则直线l的方程为， 即x﹣2y﹣1＝0． 故选：D． 题型17 由直线与椭圆位置关系及公共点个数求解方程或参数 解｜题｜知｜识 根据直线与椭圆的公共点个数可以推导出直线的方程或椭圆的参数． 【解题方法点拨】 1．利用方程个数：由交点个数推导直线方程或椭圆参数． 2．计算交点：解方程组，确定交点个数． 【命题方向】 ﹣根据公共点个数，求直线方程或椭圆的参数． ﹣利用直线与椭圆的交点情况推导相关方程． 【典例1】已知椭圆内一点P（1，2），则以P为中点的弦所在直线的斜率为（　　） A． B． C．﹣8 D．8 【答案】A 【解答】解：设以P（1，2）为中点的弦的两个端点为A（x1，y1），B（x2，y2）， 则x1+x2＝2，y1+y2＝4， 因为A、B在椭圆上，所以， 两式相减得，即， 将x1+x2＝2，y1+y2＝4代入，得， 化简得， 进一步得到（x1﹣x2）+8（y1﹣y2）＝0， 所以弦所在直线的斜率． 故选：A． 【变式1】已知O为坐标原点，动直线l与椭圆M：1（a＞b＞0）相切，与圆O：x2+y2＝a2相交于A、B两点，若△OAB的面积的最大值为，则椭圆离心率的取值范围为 　[，1）　 ． 【答案】[，1）． 【解答】解：若△OAB的面积的最大值为，等价为存在直线l，使得AO⊥BO，即∠AOB＝90°，即O到直线l的距离为a， 设P（m，n），则直线l为：1， O到直线的距离da有解， 平方整理得a2（）＝2，即2 ①， ∵1，②， ①﹣②得1，即n2有解， ∵0＜n2≤b2，即b2，得b2≤a2﹣b2，得a2≥2b2＝2（a2﹣c2）， 得2c2≥a2，得ca，即e， ∵e＜1，∴e＜1． ∴e的取值范围[，1）． 故答案为：[，1）． 【变式2】已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，离心率，点P，Q分别是椭圆的右顶点和上顶点，△POQ的边PQ上的中线长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点H（﹣2，0）的直线交椭圆C于A，B两点，若AF1⊥BF1，求直线AB的方程； （3）直线l1，l2过右焦点F2，且它们的斜率乘积为，设l1，l2分别与椭圆交于点C，D和E，F．若M，N分别是线段CD和EF的中点，求△OMN面积的最大值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意，因为P（a，0），Q（0，b），△POQ为直角三角形，所以． 又，所以，所以椭圆的标准方程为． （2）由（1）知，F1（﹣1，0），显然直线AB的斜率存在， 设直线AB的方程为y＝k（x+2）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，消去y得，（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣2＝0， 所以Δ＝（8k2）2﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）＝8（1﹣2k2）＞0，即． 且， 因为AF1⊥BF1，所以， 所以（﹣1﹣x1，﹣y1）（﹣1﹣x2，﹣y2）＝0，即1+x1+x2+x1x2+y1y2＝0， 所以1+x1+x2+x1x2+k（x1+2）•k（x2+2）＝0， 整理得， 即， 化简得4k2﹣1＝0，即满足条件， 所以直线AB的方程为或， 即直线AB的方程为x﹣2y+2＝0或x+2y+2＝0． （3）由题意，F2（1，0）， 设直线l1的方程为y＝k（x﹣1），C（x3，y3），D（x4，y4）， 则直线l2的方程为，E（x5，y5），F（x6，y6）， 联立消去y得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0， 所以， 所以，， 所以， 同理联立，消去y得（1+2k2）x2﹣2x+1﹣4k2＝0， 所以， 所以，， 所以， 即MN的中点． 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以△OMN的面积最大值为． 题型18 椭圆的切线方程及性质 解｜题｜知｜识 椭圆的切线方程可以用点的坐标和椭圆的方程来表示．标准方程的切线方程为： 【解题方法点拨】 1．代入点坐标：用切点（x0，y0）代入切线方程公式． 2．验证性质：检查切线的性质，如与椭圆的切点唯一性． 【命题方向】 ﹣给定椭圆和切点，求切线方程． ﹣分析切线的性质及其与椭圆的关系． 【典例1】定义：若点P（x0，y0）在椭圆上，则以P为切点的切线方程为：1．已知椭圆C：1，点M为直线x﹣2y﹣6＝0上一个动点，过点M作椭圆C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，则直线AB恒过定点（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：因为M在直线x﹣2y﹣6＝0上，则可设点M的坐标为（2t+6，t），t∈R， 设A（x1，y1），B（x2，y2），所以直线MA，MB的方程分别为： ，显然点M的坐标适合两个方程， 代入可得：，则直线AB的方程为： ，即2（2t+6）x+3yt﹣6＝0， 即（4x+3y）t＝6﹣12x， 令，解得x， 所以直线AB过定点（）， 故选：C． 题型19 椭圆的弦及弦长 解｜题｜知｜识 椭圆的弦是连接椭圆上两点的线段，弦长可以用椭圆的参数和弦的方程计算． 【解题方法点拨】 1．计算弦长：利用椭圆的参数和弦的方程计算弦长． 2．联立方程，通过二次方程根与系数关系，求得弦长． 【命题方向】 ﹣给定直线方程，计算弦长． ﹣利用椭圆方程计算弦的长度． 【典例1】设F是椭圆的左焦点，P是椭圆上的动点，A是直线3x+4y+25＝0上的动点，则|PA|﹣|PF|的最小值为（　　） A． B． C． D．3 【答案】A 【解答】解：如图， 设椭圆的右焦点为F'， 由已知，F（﹣2，0），F'（2，0），|PF|+|PF'|＝2a＝6， 所以|PA|﹣|PF|＝|PA|﹣（6﹣|PF'|）＝|PA|+|PF'|﹣6≥|AF'|﹣6， 当F'A垂直于直线3x+4y+25＝0时，|AF'|有最小值，最小值为d， 所以|PA|﹣|PF|的最小值为6． 故选：A． 【变式1】（多选）椭圆的两个焦点分别为F1，F2，则下列说法正确的是（　　） A．若0＜m＜1，过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点，则△ABF1的周长为16 B．若直线kx﹣y﹣2＝0与C恒有公共点，则m的取值范围为[2，+∞） C．若C上存在点P，使得0，则m的取值范围为[4，+∞） D．若，P为C上一点，Q（1，1），F1为左焦点，则|PF1|+|PQ|的最小值为 【答案】ACD 【解答】解：若0＜m＜1，过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点，则△ABF1的周长为4a＝4×4＝16，∴A选项正确； 若直线kx﹣y﹣2＝0与C恒有公共点，则直线所过定点（0，﹣2）在椭圆C内或上， ∴，且m2≠16，m＞0，∴m≥2且m≠4∴B选项错误； 若C上存在点P，使得0， 则或， 解得m∈[4，+∞），∴C选项正确； 若，则a＝4，b，c＝3，且焦点在x轴上，F2（3，0）， ∵P为C上一点，Q（1，1）在椭圆内， ∴|PF1|+|PQ|＝2a﹣|PF2|+|PQ|≥2a﹣|QF2|＝8， 当且仅当P，Q，F2三点共线时，等号成立，∴D选项正确． 故选：ACD． 题型20 椭圆的焦点弦及焦半径 解｜题｜知｜识 焦点弦是通过椭圆的焦点并且与椭圆交于两点的弦．焦半径是焦点到椭圆上某点的距离． 【解题方法点拨】 1．计算焦点弦长度：焦点弦的长度与焦点到弦中点的距离有关． 2．应用焦半径公式：利用焦点和椭圆的标准方程计算焦半径． 【命题方向】 ﹣给定焦点和弦所在直线，计算焦点弦长度． ﹣分析焦点弦的性质及其计算方法． 【典例1】已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，定点A（1，4），若点P是椭圆E上的动点，则|PA|+|PF1|的范围是　[7，17]　 ． 【答案】[7，17]． 【解答】解：因为椭圆E的方程为， 所以a＝6，b，c＝4，|PF1|+|PF2|＝2a＝12， 则|PA|+|PF1|＝|PA|+12﹣|PF2|＝12+|PA|﹣|PF2|，而F2（4，0）， 因此， ||PA|﹣|PF2||≤|AF2|＝5，即﹣5≤|PA|﹣|PF2|≤5， 所以7≤|PA|+|PF1|≤17， 所以|PA|+|PF1|的范围是[7，17]．故答案为：[7，17]． 【变式1】已知椭圆的焦点为F1、F2，M为椭圆上一点，N是MF1的中点，若，则MF1的长等于 　5　 ． 【答案】5． 【解答】解：已知椭圆的焦点为F1、F2，M为椭圆上一点， 则MF1+MF2＝2×4＝8， 又N是MF1的中点，且， 则MF2＝2ON＝3， 则MF1＝8﹣3＝5． 故答案为：5． 题型21 椭圆的焦点三角形 解｜题｜知｜识 焦点三角形是由椭圆的两个焦点和椭圆上的一点形成的三角形．三角形的面积和其他性质可以通过椭圆的参数计算． 【解题方法点拨】 1．计算三角形面积：使用焦点坐标和椭圆上的点计算三角形的面积． 2．应用公式：三角形面积公式为： 【命题方向】 ﹣给定焦点和椭圆上的点，计算焦点三角形的面积． ﹣分析焦点三角形的几何特征． 【典例1】已知椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射后，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线，经C上的点A反射后，反射光线再经C上的点B反射．若经过这两次反射后，AF2⊥BF2，且，则C的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：AF2⊥BF2，且，设|AF2|＝3t，|BF2|＝4t，|AB|＝5t， 可得|BF1|＝2a﹣4t，|AF1|＝9t﹣2a，|AF1|+|AF2|＝2a，可得12t﹣2a＝2a，解得t， 则|BF2|，|BF1|，|F1F2|＝2c，， 可得4c22，解得a2＝5c2， 解得e． 故选：D． 【变式1】已知椭圆C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，短轴长是长轴长的倍，则直线AF2的斜率为　　 ；过点F1且垂直于AF2的直线与椭圆C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是　13　 ． 【答案】；13． 【解答】解：因为短轴长是长轴长的，所以， 又|AF1|＝|AF2|＝a，|OF1|＝|OF2|＝c，所以， 所以ΔAF1F2为等边三角形，DE为AF2的垂直平分线， 所以|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|， 则△ADE的周长等于△F2DE的周长，即所求周长为4a， 又直线AF2的斜率为， 所以直线DE的斜率为， 所以直线DE的方程为， 联立，可得13x2+8cx+4c2﹣9a2＝0，又， 故13x2+8cx﹣32c2＝0，设D（x1，y1），E（x2，y2）， 则，， 所以，解得， 所以， 所以△ADE的周长为4a＝13． 故答案为：；13． 【变式2】如图，点F1，F2分别是椭圆C：的左、右焦点，A，B是C上两点，，且，则C的离心率为　　 ． 【答案】． 【解答】解：椭圆C：的左、右焦点为F1，F2，A，B是C上两点， 延长AF1，交椭圆C于点P，连接PB，PF2．如图， 设|BF2|＝m，由，可得|AF1|＝2m，且PA∥F2B， 由椭圆的定义可知|AF2|＝2a﹣2m． 又|OF1|＝|OF2|＝c，∴△POF1≅△BOF2，∴|BF2|＝|PF1|＝m，∴|AP|＝|AF1|+|PF1|＝3m， 由椭圆的定义可知|PF2|＝2a﹣m． ∵， ∴在△AF1F2中，由勾股定理得， 即（2m）2+（2a﹣2m）2＝（2c）2.① 在△APF2中，由勾股定理得， 即（3m）2+（2a﹣2m）2＝（2a﹣m）2，整理得． 将代入①式得， 整理得5a2＝9c2， ∴离心率． 故答案为：． 题型22 椭圆的中点弦 解｜题｜知｜识 中点弦是指经过椭圆内部某点P的弦，且点P为弦的中点． 【解题方法点拨】 1．设出弦所在直线的方程． 2．联立方程并得到二次方程，根根与系数的关系，结合中点条件解决问题． 【命题方向】 ﹣给定椭圆方程，求中点弦的长度． ﹣分析中点弦的性质及其计算方法． 【典例1】（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，直线l交椭圆于P，Q两点，则（　　） A．△PQF2的周长为8 B．若直线l经过点F1，则|PQ|的最小值是1 C．若线段PQ中点坐标为，则直线l的方程为2x+8y﹣5＝0 D．若点M是椭圆C上的任意一点，点N是圆D：x2+（y﹣2）2＝1上的任意一点，则|MN|的最大值为 【答案】BCD 【解答】解：已知椭圆， 则a2＝4，b2＝1，c2＝a2﹣b2＝3， 对于A，若直线l经过点F1， 如图一，则△PF2Q的周长为4a＝4×2＝8， 若直线l不经过点F1， 如图二，则△PF2Q的周长为|PQ|+|PF2|+|QF2|＜|PF1|+|QF1|+|PF2|+|QF2|＝4a＝8，故A错误； 对于B，过左焦点F1的椭圆焦点弦中，通径最短，即，故B正确； 对于C，显然直线l的斜率存在，设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 因为线段PQ中点坐标为， 所以x1+x2＝y1+y2＝1， 易知 ， 即， 则直线l的方程为，即2x+8y﹣5＝0，故C正确； 对于D，设M（x0，y0），圆心D（0，2），则， 因为﹣1≤y0≤1，所以当时，|MD|取得最大值为， 此时|MN|取得最大值为，故D正确． 故选：BCD． 题型23 椭圆与平面向量 解｜题｜知｜识 椭圆与平面向量的关系涉及椭圆的参数、平面向量的方向和椭圆的标准方程． 【解题方法点拨】 1．使用向量：利用向量表示椭圆的长轴和短轴． 2．计算夹角：利用平面向量计算椭圆的参数和方程． 【命题方向】 ﹣利用平面向量求椭圆的标准方程． ﹣分析向量与椭圆的关系． 【典例1】若P为椭圆1上任意一点，EF为圆（x﹣1）2+y2＝4的任意一条直径，则•的取值范围是　[5，21]　 ． 【答案】[5，21] 【解答】解：因为•（）•（） ••（）2 ＝﹣|NE|•|NF|•cosπ﹣0+|NP|2 ＝﹣4+|NP|2． 又因为椭圆1的a＝4，b，c＝1， N（1，0）为椭圆的右焦点， ∴|NP|∈[a﹣c，a+c]＝[3，5] ∴•∈[5，21]． 故答案为：[5，21]． 题型24 椭圆的定点及定值问题 解｜题｜知｜识 定点问题涉及椭圆上的某点到固定点的距离、角度等特性．定值问题通常要求解决椭圆上的点的距离问题． 【解题方法点拨】 1．计算定点距离：利用椭圆的标准方程计算定点的距离． 2．应用定值：解决与定值相关的几何问题． 【命题方向】 ﹣给定椭圆的定点和定值，求解相关问题． ﹣分析定点问题的几何特征． 【典例1】已知O为坐标原点，点M（x0，y0）（x0≠0）在椭圆上，过点M且与椭圆E相切的直线与直线y＝m（m＞b），y＝﹣m分别交于A，B两点． （1）已知椭圆E的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4． ①求椭圆E的方程． ②是否存在定值m，使得∠AOM＝∠BOM？若存在，求出定值m；若不存在，说明理由． （2）求△AOM面积的最小值（用a，b，m表示）． 【答案】（1）①；②存在； （2）． 【解答】解：（1）①因为椭圆E的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4， 所以，解得， 所以椭圆E的方程为； ②不妨设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由，得，y1＝m， 由，得，y2＝﹣m， 若x1＝0，则．不妨设点M在y轴右侧， 又因为，所以，， 所以A（0，m），，， 所以， 所以， 因为∠AOM＝∠BOM，所以tan∠AOM＝tan∠BOM， 所以，解得， 同理，当x2＝0时，若∠AOM＝∠BOM，则， 当x1x2≠0时，则，，， 所以， 所以． 因为∠AOM＝∠BOM，则tan∠AOM＝tan∠BOM， 所以，化简得， 综上，存在，使得∠AOM＝∠BOM； （2）记直线与x轴交于点P，则， 所以△AOM的面积为， 则． 令，则求导可得， 当时，f′（y）＞0；当时，f′（y）＜0， 所以f（y）在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以， 即，所以△AOM面积的最小值为． 【变式1】极点与极线是射影几何学研究中的重要理论，对于椭圆，极点M（x0，y0）（不是坐标原点）对应椭圆C的极线为.已知F1，F2为椭圆C的左右焦点，点M为C上动点，若，则M对应椭圆C的极线经过点． （1）求椭圆C的方程； （2）若动点M对应椭圆C的极线lM交x＝±a于A，B两点，求证：以AB为直径的圆恒过F1，F2； （3）若P（xP，yP）为曲线上的动点，且点P对应椭圆C的极线lP交椭圆C于Q，R两点，判断四边形OQPR的面积是否为定值，如果是定值，求出该定值；如果不是定值，说明理由． 【答案】（1）； （2）证明过程见解析； （3）是，，理由见解析． 【解答】解：（1）因为点为椭圆C上的动点， 所以， 由极点极线定义可知，点对应椭圆C的极线 因为极线lM过点， 所以， 又， 解得a2＝2，b2＝1， 则椭圆C的方程为； （2）证明：由（1）知动点M（x0，y0）对应椭圆C的极线， 联立， 解得或， 因为动点M对应椭圆C的极线lM交x＝±a于A，B两点， 令，， 易知F1（﹣1，0），F2（1，0）， 所以，， 因为点M在椭圆C上， 所以， 此时， 所以， 同理得， 则∠AF1B＝∠AF2B＝90°， 所以以AB为直径的圆恒过F1，F2； （3）若P（xP，yP）为曲线E上的动点， 此时， 点P对应椭圆C的极线， 联立，消去y并整理得， 此时， 设Q（x1，y1），R（x2，y2）， 由韦达定理得x1+x2＝xp，， 设T（x3，y3）为QR的中点， 所以，， 所以点T同时为OP的中点， 即四边形OQPR为平行四边形， 此时S▱OPQR＝2S△OQR， ， 点O（0，0）到直线xpx+2ypy﹣2＝0的距离， 所以． 则． 过 关 验 收 1．（多选）已知两椭圆x2+4y2＝1和4x2+y2＝4，则（　　） A．两椭圆有相同的焦点 B．两椭圆的离心率相等 C．两椭圆有相同的顶点 D．两椭圆有相同的对称轴和对称中心 【答案】BD 【解答】解：设椭圆，，，则； 设椭圆，，，则． 对于A，椭圆E1，E2的焦点分别在x，y轴上，故A错误； 对于B，E1的离心率，E2的离心率，故B正确； 对于C，椭圆E1的顶点为（±1，0），，椭圆E2的顶点为（0，±2），（±1，0），故C错误； 对于D，两椭圆都关于x，y轴对称，关于原点中心对称，即它们有相同的对称轴和对称中心，故D正确． 故选：BD． （多选）2．已知椭圆C：，下列选项正确的是（　　） A．当时，C的焦点在y轴上 B．C的长轴长为 C．C的短轴长与长轴长的平方和为定值 D．当时，C的焦点在x轴上 【答案】AC 【解答】解：椭圆C：， 对于A，时，4m＝2＜6﹣4m＝4，C的焦点在y轴上，故A正确； 对于B，若0＜4m＜6﹣4m，则椭圆焦点在y轴上， a2＝6﹣4m，长轴长为：，B错误； 对于C，因为a2+b2＝4m+6﹣4m＝6，所以（2a）2+（2b）2＝24，C正确； 对于D，椭圆C的焦点在x轴上的充分必要条件是，解得， 当时得不出椭圆C的焦点在x轴上，故D错误． 故选：AC． 3．为迎接第十四届中国双黄鸭蛋节，组委会设计了鸭蛋型图徽．图徽外框由半圆和半椭圆组成（如图），半圆的直径为10，椭圆的离心率为，且短轴与半圆的直径重合，图徽内有一矩形区域ABCD用于绘画图案，矩形关于椭圆的长轴对称，且顶点在图徽外框上． （Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求出半圆的方程和半椭圆的方程； （Ⅱ）根据美学知识，当时达到最佳美观的效果，求达到最佳美观的效果时AB的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（Ⅰ）以半圆的直径为x轴，圆心为坐标原点，建立平面直角坐标系，则半圆的方程为x2+y2＝25（y≤0），…………（4分） 椭圆的短半轴b＝5，，b2＝a2﹣c2所以a2＝100，b2＝25． 所以半椭圆方程为 （y≥0）…………（8分） （Ⅱ）当ABCD的四个顶点均在边界上时，面积最大，设第一象限内的点A的横坐标为m（0＜m＜5），则，AB＝2m， AD3（10分） 由得，…………（12分） 解得m， 此时AB（14分） 答：达到最佳美观的效果时AB为（16分） 4．设椭圆的左右两个焦点分别为F1，F2，若点P在椭圆上，且PF1⊥PF2． （1）求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率； （2）求△F1PF2的面积． 【答案】（1）长轴长为2a＝10，短轴长为2b＝6，焦点坐标为（﹣4，0），（4，0），顶点坐标为(﹣5,0),(5,0),(0,3),(0,﹣3),离心率e； （2）9． 【解答】解：（1）由已知，a＝5，b＝3，c＝4， 所以椭圆的长轴长为2a＝10，短轴长为2b＝6，焦点坐标为（﹣4，0），（4，0），顶点坐标为（﹣5，0），（5，0），（0，3），（0，﹣3），离心率e； （2）设|PF1|＝m，则|PF2|＝10﹣m，|F1F2|＝8， 因为PF1⊥PF2，所以m2+（10﹣m）2＝64，解得m＝5， 所以|PF1|＝5，|PF2|＝5，或|PF1|＝5，|PF2|＝5， 均有△F1PF2的面积为9． 5．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，经过点F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AF1|＝10，|AB|＝12，则椭圆C的离心率为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：由题意知， 所以，即c＝4， 又|AF1|+|AF2|＝16＝2a，即a＝8， 所以． 故答案为：． 6．若椭圆的离心率为，左顶点为A，点P、Q为C上任意两点且关于y轴对称，则直线AP和直线AQ的斜率之积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由已知，点A（﹣a，0）， 因为椭圆C的离心率为，所以， 设点P（x，y），则点Q（﹣x，y），其中x∈（﹣a，0）∪（0，a）， 因为点P在椭圆C上，所以，可得， 所以． 故选：A． （多选）7．（多选）已知椭圆上存在关于直线l：y＝﹣2x+n对称的点，则实数n的值可以是（　　） A．0 B．1 C． D．﹣1 【答案】ABD 【解答】解：设椭圆上关于直线l：y＝﹣2x+n对称的两点是A（x1，y1），B（x2，y2）， 线段AB的中点为M（x0，y0），则AB⊥l， ∵直线l的斜率为﹣2，∴直线AB的斜率为，设直线AB的方程为， 联立，得29x2+36sx+36s2﹣180＝0， ∴Δ＝（36s）2﹣4×29×（36s2﹣180）＞0，可得，即， 由韦达定理得，， ∴，，， ∴，解得，∴，即， 结合选项可知C不符合题意． 故选：ABD． 8．已知椭圆C：的离心率为，右顶点为B（2，0）． （1）求C的方程； （2）过点P（1，0）的直线l交C于M，N两点（B不在l上），过N作直线MB的垂线，垂足为Q． ①求|MN|的最小值； ②求|BM|•|BQ|的最大值． 【答案】（1）； （2）①；②． 【解答】解：（1）因为椭圆C的离心率为， 从而， 又右顶点为B（2，0），则a＝2，b＝1， 则椭圆方程为：； （2）①因为过点P（1，0）的直线l不过点B，则直线斜率不为0， 设l：x＝my+1， 联立， 得（m2+4）y2+2my﹣3＝0． 因为Δ＝16m2+48＞0， 设M（x1，y1），N（x2，y2）， 则． 则 ， 令m2+4＝t≥4， 则． 设， 则， 因为函数在上单调递减， 故， 即， 故得， 即|MN|的最小值为； ②由题，NQ⊥MB，则Q在以MN为直径的圆T上，B在圆T外， 如图，过B作圆T切线，切点为J，连接JQ，JM， 由弦切角定理可得∠BJQ＝∠BMJ， 又∠QBJ＝∠JBM，则△BJQ∽△BMJ， 从而． 又连接TB，TJ，则TJ⊥BJ， ． 由（1），即， 则， 又由①得：， 则 ， 因为m2+4≥4，则，此时m＝0． 则|BM|•|BQ|的最大值为． 9．已知椭圆1的离心率为，且焦点在x轴上． （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆左焦点的直线l斜率为，l与椭圆交于A、B两点，求线段AB的长度． （3）斜率为k的直线l过点E（0，1），与x轴交于点F，与椭圆相交于C，D两点．若，求k的值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解答】解：（1）由题意知：， 则有，解得a2＝6， 所以椭圆方程为； （2）由（1）知，椭圆左焦点为， 则直线l方程为， 联立，可得， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则有，， 故 ； （3）由题意知：直线l斜率k≠0，可设l：y＝kx+1， 则，设C（x1，y1），D（x2，y2）， 由，得（2+3k2）x2+6kx﹣9＝0， 则，， 又，，且， 所以，即， 所以，解得． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1 椭圆 内 容 导 航 题型1 椭圆的定义 题型2 根据椭圆的几何特征求标准方程 题型3 根据abc及其关系式求椭圆的标准方程 题型4 由方程表示椭圆求解椭圆的标准方程或参数 题型5 求椭圆的焦点和焦距 题型6 由椭圆的焦点焦距求解椭圆方程或参数 题型7 椭圆上的点与焦点的距离 题型8 椭圆的范围 题型9 椭圆的顶点 题型10 椭圆的长短轴 题型11 椭圆的离心率 题型12 求椭圆的离心率 题型13 由椭圆的离心率求解方程或参数 题型14 椭圆的离心率与椭圆形状的关系 题型15 椭圆相关动点轨迹 题型16 直线与椭圆的位置关系及公共点个数 题型17 由直线与椭圆位置关系及公共点个数求解方程或参数 题型18 椭圆的切线方程及性质 题型19 椭圆的弦及弦长 题型20 椭圆的焦点弦及焦半径 题型21 椭圆的焦点三角形 题型22 椭圆的中点弦 题型23 椭圆与平面向量 题型24 椭圆的定点及定值问题 考 点 演 练 题型1 椭圆的定义 解｜题｜知｜识 1．椭圆的第一定义 平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a＞|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆，其中，这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离|F1F2|叫做焦距． 2．椭圆的第二定义 平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数e（0＜e＜1，其中a是半长轴，c是半焦距）的点的轨迹叫做椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数e叫椭圆的离心率． 3．注意要点 椭圆第一定义中，椭圆动点P满足{P||PF1|+|PF2|＝2a}． （1）当2a＞|F1F2|时，动点P的轨迹是椭圆； （2）当2a＝|F1F2|时，动点P的轨迹是线段F1F2； （3）当2a＜|F1F2|时，动点P没有运动轨迹． 【典例1】已知P为曲线上的动点，A（﹣2，0），B（2，0）且|PA|+|PB|＝8，则b2＝（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【变式1】已知椭圆，其左右焦点分别为F1，F2.点P是椭圆E上任意一点，则△PF1F2的周长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．以上答案均不正确 【变式2】已知椭圆的两个焦点为F1，F2，P为C上不与F1，F2共线的点，则下列说法正确的有（　　） A．实数m的取值范围是（0，+∞） B．若椭圆C的焦点在x轴上，则|PF1|+|PF2|＝6 C．若m＝8，则△PF1F2周长为8 D．若m＝18，则椭圆C的离心率为 【变式3】已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx+m（m≠0）与椭圆C交于M、N两点（M点在N点的上方），与y轴交于点E． （1）当t＝3时，点A为椭圆C上除顶点外任一点，求△AF1F2的周长； （2）若椭圆C的离心率为，当k为何值时，|OM|2+|ON|2恒为定值；并求此时△MON面积的最大值． 题型2 根据椭圆的几何特征求标准方程 解｜题｜知｜识 椭圆的几何特征包括长轴2a、短轴2b、焦点． 【解题方法点拨】 1．提取几何特征：从题目中得到长轴、短轴或焦距． 2．代入标准方程：使用几何特征计算a和b，代入标准方程： 【命题方向】 ﹣由椭圆的几何特征（如长轴、短轴）求标准方程． ﹣根据焦点位置和长短轴所在位置推导标准方程． 【典例1】以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的标准方程是（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4． （1）求椭圆C的方程； （2）过点（1，0）的直线l与椭圆C交于A，B两点，且，求直线l的方程． 【变式2】若椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C过点，若直线l经过点F2且交椭圆C于A，B两点，交直线x＝4于点M，直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线PA，PB关于直线PF2对称，求k3； （3）探究k1，k2，k3的数量关系． 题型3 根据abc及其关系式求椭圆的标准方程 解｜题｜知｜识 已知椭圆的方程中abc及其关系，可以直接代入标准方程中．关系式c2＝a2﹣b2可用于计算焦距． 【解题方法点拨】 1．确定a和b：从题目中给定的a和b得到椭圆的标准方程． 2．代入公式： 标准方程形式为： 【命题方向】 ﹣给定a和b，直接求椭圆的标准方程． ﹣利用a和b的关系确定标准方程． 【典例1】阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为15π，则椭圆C的标准方程为（　　） A． B． C． D． 题型4 由方程表示椭圆求解椭圆的标准方程或参数 解｜题｜知｜识 一般形式的椭圆方程可以通过完成平方转换为标准方程．例如，一般形式为： Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0 【解题方法点拨】 1．完成平方：通过变换将一般形式的方程转化为标准方程： 2．提取参数：从标准方程中提取椭圆的参数a和b． 【命题方向】 ﹣给定椭圆的一般方程，转换为标准方程． ﹣利用完成平方的方法确定标准方程． 【典例1】已知方程表示椭圆，则实数m的取值范围是（　　） A． B．（2，3） C． D．（1，2）∪（2，3） 【变式1】已知曲线，设p：2＜m＜6，q：曲线C是焦点在坐标轴上的椭圆，则p是q的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型5 求椭圆的焦点和焦距 解｜题｜知｜识 椭圆的焦点位于，焦距c可以通过公式计算： 【解题方法点拨】 1．计算焦距：使用公式． 2．确定焦点位置：焦点坐标为． 【命题方向】 ﹣给定a和b，计算焦点和焦距． ﹣利用焦距和长短轴计算焦点位置． 【典例1】椭圆2x2+y2＝8的焦点坐标为（　　） A．（4，0），（﹣4，0） B．（2，0），（﹣2，0） C．（0，2），（0，﹣2） D．（0，4），（0，﹣4） 【变式1】椭圆的焦距为（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知椭圆的一个焦点坐标为（0，﹣1），则实数m＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型6 由椭圆的焦点焦距求解椭圆方程或参数 解｜题｜知｜识 已知焦点位置和焦距c，可以通过公式c2＝a2﹣b2计算a和b． 【解题方法点拨】 1．计算a和b：使用c2＝a2﹣b2计算a和b． 2．代入标准方程：用计算出的a和b确定椭圆的标准方程． 【命题方向】 ﹣给定焦点和焦距，求椭圆的标准方程． ﹣根据焦距和焦点位置推导椭圆的参数． 【典例1】已知椭圆的焦距为2，则k＝（　　） A．2 B．2或10 C．5 D．5或7 【变式1】已知椭圆的焦距为6，则k的值为 　 ． 题型7 椭圆上的点与焦点的距离 解｜题｜知｜识 椭圆上任意点（x1，y1）到焦点的距离可以用以下公式计算： 【解题方法点拨】 1．计算距离：代入点坐标和焦点位置计算距离． 【命题方向】 ﹣给定椭圆上的点和焦点，计算距离． ﹣利用椭圆的几何性质计算点到焦点的距离． 【典例1】已知椭圆C：，左、右焦点分别为F1、F2，点P是C上的动点，点，则下列结论正确的是（　　） A．若为F1、F2直径的圆经过点P，则满足条件的点P有2个 B．的最小值为 C．|PF1|+|PM|的最小值为5 D．被点M平分的弦所在直线的斜率为 【变式1】已知椭圆的两个焦点F1，F2，点P在椭圆上，且∠F1PF2＝60°，则 　 　 ． 题型8 椭圆的范围 解｜题｜知｜识 椭圆的范围 【解题方法点拨】 描述范围：基于标准方程确定椭圆几何区域． 【命题方向】 ﹣根据标准方程描述椭圆的范围． ﹣给定方程，确定椭圆的范围． 【典例1】已知点M（x，y）在椭圆上运动，则x﹣y的最大值为　 　 ． 【变式1】已知椭圆，则该椭圆上的点到焦点距离的最小值为　 　 ． 题型9 椭圆的顶点 解｜题｜知｜识 椭圆的顶点是长轴上的点．对于标准方程，顶点坐标为和． 【解题方法点拨】 1．确定顶点位置：从标准方程中直接得到顶点坐标． 【命题方向】 ﹣给定长轴和短轴，求椭圆的顶点坐标． ﹣利用标准方程确定椭圆的顶点位置． 【典例1】已知椭圆的离心率为，且左顶点A与上顶点B的距离|AB|＝3． （1）求椭圆C的标准方程； （2）不经过坐标原点O的直线l交椭圆C于P，Q两点（P，Q两点不与椭圆上、下顶点重合），当△OPQ的面积最大时，求kOP•kOQ的值． 题型10 椭圆的长短轴 解｜题｜知｜识 长轴长度为2a，短轴长度为2b．长轴和短轴分别是椭圆的主要和次要轴． 【解题方法点拨】 1．提取轴长：从标准方程中直接得到长轴和短轴长度． 【命题方向】 ﹣给定标准方程，计算椭圆的长轴和短轴长度． ﹣从方程中提取轴的长度． 【典例1】已知椭圆的一个焦点是圆x2+y2﹣6x+8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的长轴长为（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 【变式1】在手工课上，老师带领同学们一起制作了一个近似北京鸟巢体育场的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为8cm，则小椭圆的长轴长为（　　） A．20cm B．16cm C．12cm D．10cm 【变式2】（多选）关于椭圆，下列结论正确的是（　　） A．半长轴长为2 B．半短轴长为2 C．焦距为 D．离心率为 题型11 椭圆的离心率 解｜题｜知｜识 椭圆标准方程的两种形式： （1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c； （2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c． 两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2 两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同． 标准方程 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上 图形 离心率 e（0＜e＜1） e（0＜e＜1） 【典例1】（多选）已知椭圆C：x2+4y2＝16的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的任意一点，则（　　） A．C的离心率为 B．|PF1|+|PF2|＝8 C．|PF1|的最大值为 D．使∠F1PF2为直角的点P有4个 题型12 求椭圆的离心率 解｜题｜知｜识 椭圆的离心率e由公式计算，其中． 【解题方法点拨】 1．计算离心率：使用公式计算离心率． 【命题方向】 ﹣给定a和b，求椭圆的离心率． ﹣计算椭圆的离心率，并分析其含义． 【典例1】已知点F1，F2是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆E上一点，点F1关于∠F1MF2的角平分线的对称点N也在椭圆E上，若，则椭圆E的离心率为（　　） A． B． C． D． 【变式1】记椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，下顶点为B，直线BF2与E相交于另一点A，若，则E的离心率为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（多选）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经该椭圆反射后，反射光线经过另一个焦点．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2c（c＞0），一条光线从F1出发，经过椭圆的若干次反射，第二次经过点F2时光线走过的路程为7c，则该椭圆的离心率可能为（　　） A． B． C． D． 题型13 由椭圆的离心率求解方程或参数 解｜题｜知｜识 已知椭圆的离心率e和长轴a，可以计算b和焦距c： c＝ae 【解题方法点拨】 1．计算参数：利用离心率和长轴计算短轴b和焦距c． 2．代入标准方程：得到椭圆的标准方程． 【命题方向】 ﹣给定离心率和长轴，求椭圆的方程或参数． ﹣利用离心率计算椭圆的标准方程． 【典例1】若椭圆的离心率为，则a的值为（　　） A．2 B． C．2或 D．2或 【变式1】已知椭圆的离心率为，若椭圆E上的点到直线x+y+5＝0的最短距离不小于，则长半轴长a的取值范围为（　　） A．（0，2] B． C． D． 【变式2】已知椭圆C：1（a＞b＞0）上存在两点M，N关于直线x﹣y﹣1＝0对称．若椭圆离心率为，则MN的中点坐标为（　　） A．（5，4） B．（4，3） C．（3，2） D．（2，1） 题型14 椭圆的离心率与椭圆形状的关系 解｜题｜知｜识 离心率e表示椭圆的形状，离心率越大，椭圆越“扁”． 【解题方法点拨】 1．分析形状：离心率e越接近于1，椭圆的形状越接近于长轴方向的直线． 2．形状分析：离心率e越接近于0，椭圆越接近于圆形． 【命题方向】 ﹣讨论离心率对椭圆形状的影响． ﹣通过离心率分析椭圆的形状特征． 【典例1】人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：如图，卫星在以地球的中心为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地心的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设该椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c某同学根据所学知识，得到下列结论： ①卫星向径的取值范围是[a﹣c，a+c]； ②卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁； ③卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间； ④卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大． 其中正确的结论是（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．①③④ 题型15 椭圆相关动点轨迹 解｜题｜知｜识 动点在椭圆上的轨迹问题通常涉及到椭圆的参数和方程的变换． 【解题方法点拨】 1．求解轨迹：设定动点的运动规律，找到对应的椭圆方程或参数． 2．方程变换：通过变换确定动点的轨迹方程． 【命题方向】 ﹣给定动点的运动规律，求椭圆的轨迹． ﹣分析动点在椭圆上的运动特征． 【典例1】一动圆与圆x2+y2+4x＝0外切，同时与圆x2+y2﹣4x﹣60＝0内切，则动圆圆心的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【变式1】若动点P（x，y）满足方程，则动点P的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 题型16 直线与椭圆的位置关系及公共点个数 解｜题｜知｜识 直线与椭圆的位置关系包括相交、相切和不相交三种情况．公共点个数可以通过代入直线方程到椭圆方程中求解． 【解题方法点拨】 1．代入直线方程：将直线方程代入椭圆方程，形成二次方程． 2．分析解的个数：根据二次方程的判别式判断公共点的个数（0、1、2）． 【命题方向】 ﹣由直线与椭圆的交点个数，确定它们的位置关系． ﹣解直线与椭圆的方程，计算交点个数． 【典例1】已知曲线，直线l与曲线C交于A，B两点，且点P（2，1）是线段AB的中点，则直线l的斜率为（　　） A． B． C． D． 【变式1】直线与椭圆的位置关系为（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【变式2】已知椭圆及其上点，过右焦点F的直线l与椭圆C交于不同两点M，N（均异于点P）．若直线PM，PN的斜率互为相反数，则直线l的方程是（　　） A．x+2y﹣1＝0 B．x+2y+1＝0 C．x﹣2y+1＝0 D．x﹣2y﹣1＝0 题型17 由直线与椭圆位置关系及公共点个数求解方程或参数 解｜题｜知｜识 根据直线与椭圆的公共点个数可以推导出直线的方程或椭圆的参数． 【解题方法点拨】 1．利用方程个数：由交点个数推导直线方程或椭圆参数． 2．计算交点：解方程组，确定交点个数． 【命题方向】 ﹣根据公共点个数，求直线方程或椭圆的参数． ﹣利用直线与椭圆的交点情况推导相关方程． 【典例1】已知椭圆内一点P（1，2），则以P为中点的弦所在直线的斜率为（　　） A． B． C．﹣8 D．8 【变式1】已知O为坐标原点，动直线l与椭圆M：1（a＞b＞0）相切，与圆O：x2+y2＝a2相交于A、B两点，若△OAB的面积的最大值为，则椭圆离心率的取值范围为 　 ． 【变式2】已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，离心率，点P，Q分别是椭圆的右顶点和上顶点，△POQ的边PQ上的中线长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点H（﹣2，0）的直线交椭圆C于A，B两点，若AF1⊥BF1，求直线AB的方程； （3）直线l1，l2过右焦点F2，且它们的斜率乘积为，设l1，l2分别与椭圆交于点C，D和E，F．若M，N分别是线段CD和EF的中点，求△OMN面积的最大值． 题型18 椭圆的切线方程及性质 解｜题｜知｜识 椭圆的切线方程可以用点的坐标和椭圆的方程来表示．标准方程的切线方程为： 【解题方法点拨】 1．代入点坐标：用切点（x0，y0）代入切线方程公式． 2．验证性质：检查切线的性质，如与椭圆的切点唯一性． 【命题方向】 ﹣给定椭圆和切点，求切线方程． ﹣分析切线的性质及其与椭圆的关系． 【典例1】定义：若点P（x0，y0）在椭圆上，则以P为切点的切线方程为：1．已知椭圆C：1，点M为直线x﹣2y﹣6＝0上一个动点，过点M作椭圆C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，则直线AB恒过定点（　　） A． B． C． D． 题型19 椭圆的弦及弦长 解｜题｜知｜识 椭圆的弦是连接椭圆上两点的线段，弦长可以用椭圆的参数和弦的方程计算． 【解题方法点拨】 1．计算弦长：利用椭圆的参数和弦的方程计算弦长． 2．联立方程，通过二次方程根与系数关系，求得弦长． 【命题方向】 ﹣给定直线方程，计算弦长． ﹣利用椭圆方程计算弦的长度． 【典例1】设F是椭圆的左焦点，P是椭圆上的动点，A是直线3x+4y+25＝0上的动点，则|PA|﹣|PF|的最小值为（　　） A． B． C． D．3 【变式1】（多选）椭圆的两个焦点分别为F1，F2，则下列说法正确的是（　　） A．若0＜m＜1，过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点，则△ABF1的周长为16 B．若直线kx﹣y﹣2＝0与C恒有公共点，则m的取值范围为[2，+∞） C．若C上存在点P，使得0，则m的取值范围为[4，+∞） D．若，P为C上一点，Q（1，1），F1为左焦点，则|PF1|+|PQ|的最小值为 题型20 椭圆的焦点弦及焦半径 解｜题｜知｜识 焦点弦是通过椭圆的焦点并且与椭圆交于两点的弦．焦半径是焦点到椭圆上某点的距离． 【解题方法点拨】 1．计算焦点弦长度：焦点弦的长度与焦点到弦中点的距离有关． 2．应用焦半径公式：利用焦点和椭圆的标准方程计算焦半径． 【命题方向】 ﹣给定焦点和弦所在直线，计算焦点弦长度． ﹣分析焦点弦的性质及其计算方法． 【典例1】已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，定点A（1，4），若点P是椭圆E上的动点，则|PA|+|PF1|的范围是 　 ． 【变式1】已知椭圆的焦点为F1、F2，M为椭圆上一点，N是MF1的中点，若，则MF1的长等于 　 　 ． 题型21 椭圆的焦点三角形 解｜题｜知｜识 焦点三角形是由椭圆的两个焦点和椭圆上的一点形成的三角形．三角形的面积和其他性质可以通过椭圆的参数计算． 【解题方法点拨】 1．计算三角形面积：使用焦点坐标和椭圆上的点计算三角形的面积． 2．应用公式：三角形面积公式为： 【命题方向】 ﹣给定焦点和椭圆上的点，计算焦点三角形的面积． ﹣分析焦点三角形的几何特征． 【典例1】已知椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射后，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线，经C上的点A反射后，反射光线再经C上的点B反射．若经过这两次反射后，AF2⊥BF2，且，则C的离心率为（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知椭圆C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，短轴长是长轴长的倍，则直线AF2的斜率为　 　 ；过点F1且垂直于AF2的直线与椭圆C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是　 　 ． 【变式2】如图，点F1，F2分别是椭圆C：的左、右焦点，A，B是C上两点，，且，则C的离心率为 ． 题型22 椭圆的中点弦 解｜题｜知｜识 中点弦是指经过椭圆内部某点P的弦，且点P为弦的中点． 【解题方法点拨】 1．设出弦所在直线的方程． 2．联立方程并得到二次方程，根根与系数的关系，结合中点条件解决问题． 【命题方向】 ﹣给定椭圆方程，求中点弦的长度． ﹣分析中点弦的性质及其计算方法． 【典例1】（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，直线l交椭圆于P，Q两点，则（　　） A．△PQF2的周长为8 B．若直线l经过点F1，则|PQ|的最小值是1 C．若线段PQ中点坐标为，则直线l的方程为2x+8y﹣5＝0 D．若点M是椭圆C上的任意一点，点N是圆D：x2+（y﹣2）2＝1上的任意一点，则|MN|的最大值为 题型23 椭圆与平面向量 解｜题｜知｜识 椭圆与平面向量的关系涉及椭圆的参数、平面向量的方向和椭圆的标准方程． 【解题方法点拨】 1．使用向量：利用向量表示椭圆的长轴和短轴． 2．计算夹角：利用平面向量计算椭圆的参数和方程． 【命题方向】 ﹣利用平面向量求椭圆的标准方程． ﹣分析向量与椭圆的关系． 【典例1】若P为椭圆1上任意一点，EF为圆（x﹣1）2+y2＝4的任意一条直径，则•的取值范围是 ． 题型24 椭圆的定点及定值问题 解｜题｜知｜识 定点问题涉及椭圆上的某点到固定点的距离、角度等特性．定值问题通常要求解决椭圆上的点的距离问题． 【解题方法点拨】 1．计算定点距离：利用椭圆的标准方程计算定点的距离． 2．应用定值：解决与定值相关的几何问题． 【命题方向】 ﹣给定椭圆的定点和定值，求解相关问题． ﹣分析定点问题的几何特征． 【典例1】已知O为坐标原点，点M（x0，y0）（x0≠0）在椭圆上，过点M且与椭圆E相切的直线与直线y＝m（m＞b），y＝﹣m分别交于A，B两点． （1）已知椭圆E的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4． ①求椭圆E的方程． ②是否存在定值m，使得∠AOM＝∠BOM？若存在，求出定值m；若不存在，说明理由． （2）求△AOM面积的最小值（用a，b，m表示）． 【变式1】极点与极线是射影几何学研究中的重要理论，对于椭圆，极点M（x0，y0）（不是坐标原点）对应椭圆C的极线为.已知F1，F2为椭圆C的左右焦点，点M为C上动点，若，则M对应椭圆C的极线经过点． （1）求椭圆C的方程； （2）若动点M对应椭圆C的极线lM交x＝±a于A，B两点，求证：以AB为直径的圆恒过F1，F2； （3）若P（xP，yP）为曲线上的动点，且点P对应椭圆C的极线lP交椭圆C于Q，R两点，判断四边形OQPR的面积是否为定值，如果是定值，求出该定值；如果不是定值，说明理由． 过 关 验 收 1．（多选）已知两椭圆x2+4y2＝1和4x2+y2＝4，则（　　） A．两椭圆有相同的焦点 B．两椭圆的离心率相等 C．两椭圆有相同的顶点 D．两椭圆有相同的对称轴和对称中心 （多选）2．已知椭圆C：，下列选项正确的是（　　） A．当时，C的焦点在y轴上 B．C的长轴长为 C．C的短轴长与长轴长的平方和为定值 D．当时，C的焦点在x轴上 3．为迎接第十四届中国双黄鸭蛋节，组委会设计了鸭蛋型图徽．图徽外框由半圆和半椭圆组成（如图），半圆的直径为10，椭圆的离心率为，且短轴与半圆的直径重合，图徽内有一矩形区域ABCD用于绘画图案，矩形关于椭圆的长轴对称，且顶点在图徽外框上． （Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求出半圆的方程和半椭圆的方程； （Ⅱ）根据美学知识，当时达到最佳美观的效果，求达到最佳美观的效果时AB的长． 4．设椭圆的左右两个焦点分别为F1，F2，若点P在椭圆上，且PF1⊥PF2． （1）求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率； （2）求△F1PF2的面积． 5．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，经过点F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AF1|＝10，|AB|＝12，则椭圆C的离心率为 　 ． 6．若椭圆的离心率为，左顶点为A，点P、Q为C上任意两点且关于y轴对称，则直线AP和直线AQ的斜率之积为（　　） A． B． C． D． （多选）7．（多选）已知椭圆上存在关于直线l：y＝﹣2x+n对称的点，则实数n的值可以是（　　） A．0 B．1 C． D．﹣1 8．已知椭圆C：的离心率为，右顶点为B（2，0）． （1）求C的方程； （2）过点P（1，0）的直线l交C于M，N两点（B不在l上），过N作直线MB的垂线，垂足为Q． ①求|MN|的最小值； ②求|BM|•|BQ|的最大值． 9．已知椭圆1的离心率为，且焦点在x轴上． （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆左焦点的直线l斜率为，l与椭圆交于A、B两点，求线段AB的长度． （3）斜率为k的直线l过点E（0，1），与x轴交于点F，与椭圆相交于C，D两点．若，求k的值． 学科网（北京）股份有限公司 $