第二章 直线和圆的方程（高效培优讲义）数学人教A版高二选择性必修第一册

该高中数学讲义通过表格对比直线五种方程形式，思维导图梳理直线与圆位置关系判定方法，以数形结合为主线构建知识体系，覆盖倾斜角、斜率、圆的方程等核心知识点，突出易错点和内在逻辑联系。 讲义亮点在于“动态问题分层训练”，如“直线与线段交点的斜率范围”典例结合变式，培养逻辑推理与几何直观素养。方法指导强调分类讨论与代数几何法结合，基础题巩固公式应用，综合题提升运算求解能力，助力教师实施分层教学与学生自主复习。

第二章 直线和圆的方程 教学目标 1. 学生能够熟练掌握直线的倾斜角、斜率、直线五种方程形式、两条直线的位置关系、点到直线的距离公式，以及圆的标准方程、一般方程、直线与圆、圆与圆的位置关系等核心基础知识，能独立完成基础公式推导、方程求解、距离计算等基础题型。 2. 通过直线、圆的方程推导与几何问题求解过程，引导学生建立解析几何数形结合的核心思维，掌握用代数方法解决几何问题的解题思路，提升学生运算求解、逻辑推理和几何直观的数学核心素养。 3. 让学生体会解析几何将几何图形代数化的数学思想，感受数形转化、等价转化的数学魅力，培养学生严谨的运算习惯、规范的解题思维，提升学生自主探究、归纳总结几何规律的学习能力。 教学重难点 重点 1. 直线斜率的求解、直线各类方程的书写与灵活选用，熟练运用距离公式、夹角公式判定两条直线的平行与垂直关系。 2. 圆的标准方程与一般方程的互化，根据已知条件快速求解圆的方程，掌握圆心、半径的快速求解方法。 3. 直线与圆的位置关系的判定方法（代数法、几何法），熟练求解直线与圆的相交弦长、切线方程等高频核心题型。 难点 1. 根据不同题干条件，灵活选择直线方程形式，规避斜率不存在、直线过定点等易错特殊情况，分类讨论求解直线问题。 2. 数形结合思想的灵活运用，精准区分代数法与几何法的适用场景，解决直线与圆的综合最值、范围类问题。 3. 圆的综合应用问题，包括圆与圆的位置关系判定、公共弦求解，以及直线与圆结合的含参动态问题、几何最值与轨迹问题的分析求解。 知识点1 直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (3)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 3．直线的方向向量 我们知道,直线P1P2上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量.直线P1P2的方向向量的坐标为. 当直线P1P2与x轴不垂直时,.此时向量也是直线P1P2的方向向量,且它的坐标为,即,其中k是直线P1P2的斜率.因此,若直线l的斜率为k,它的一个方向向量的坐标为(x,y),则. 知识点2 直线的点斜式方程 我们把方程y－y0＝k(x－x0)称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程． 方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 注意点： (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式． (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0. 知识点3 直线的斜截式方程 1．直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距． 2．把方程y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 注意点： (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距． (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. 知识点4 直线的两点式方程 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程 ＝，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式． 注意点： (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示． (2)两点式方程与这两个点的顺序无关． (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等． 知识点5 直线的截距式方程 我们把方程＋＝1叫做直线的截距式方程，简称截距式．直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b. 注意点： (1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程，与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示． (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图． 知识点6 直线的一般式方程 我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 注意点： (1)直线一般式方程的结构特征 ①方程是关于x，y的二元一次方程． ②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列． ③x的系数一般不为分数和负数． (2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质 ①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交； ②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直； ③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直； ④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合； ⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合． 知识点7 两条直线的位置关系 直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一直线，l2与l4是同一直线，l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2)的位置关系如下表： 位置关系 法向量满足的条件 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件 平行 v1∥v2 k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0 垂直 v1⊥v2 k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 相交 v1与v2不共线 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 知识点8 直线的交点与方程组解的关系 (1)两直线的交点 点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标. (2)两直线的位置关系与方程组解的关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 知识点9 距离公式 (1)两点间的距离公式 平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝. 特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. (2)点到直线的距离公式 平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. (3)两条平行线间的距离公式 一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝. 知识点10 对称问题 (1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0，2b－y0). (2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)， 则有可求出x′，y′. 知识点11 圆的定义和圆的方程 定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆 方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0) 圆心C 半径r＝ 知识点12 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外； (2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上； (3)|MC|<r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内. 知识点13 直线与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点． 2、直线与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点． 有两组实数解时，直线与圆C相交；有一组实数解时，直线与圆C相切； 无实数解时，直线与圆C相离． （2）几何法： 由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断：当时，直线与圆C相交； 当时，直线与圆C相切；当时，直线与圆C相离． 知识点14 圆的切线方程 1、点在圆上，如图． 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． 2、点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 知识点15 直线被圆截得的弦长 1、应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． 2、利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． 知识点16 圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系： （1）圆与圆相交，有两个公共点；（2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点； （3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点． 2、圆与圆的位置关系的判定： （1）代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解．有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切；方程组无解时，两圆相离． （2）几何法： 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为． 当时，两圆相交；当时，两圆外切；当时，两圆外离； 当时，两圆内切；当时，两圆内含． 题型01 直线的倾斜角与斜率定义 【典例1】已知平面直角坐标系内两点，． (1)当直线的倾斜角为锐角时，求的取值范围； (2)若直线的一个方向向量为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合两点求斜率，解不等式即可得出答案； （2）根据方向向量得，解方程即可得出答案. 【详解】（1）设直线的倾斜角为，因为倾斜角为锐角， 所以直线的斜率， 又， 即，解得， 即的取值范围为． （2）直线的一个方向向量为， 所以， 解得． 【变式1】已知直线经过两点，直线的倾斜角为，若与平行，则（　　） A． B．2 C．3 D．6 【答案】D 【分析】根据A，B两点坐标得出的斜率，根据直线的倾斜角为得出的斜率，由与平行得出，可解出. 【详解】直线的斜率， 直线的斜率． 与平行， ，即， 解得． 故选：D. 【变式2】若直线的斜率为，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由斜率（直线的倾斜角）求解即可. 【详解】设直线的倾斜角为，因为直线的斜率是，所以， 又因为，所以，即直线的倾斜角为． 故选：C 【变式3】若直线经过点，，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜率公式即可求解. 【详解】由于直线经过点，，故斜率为， 故选：D 题型02 直线斜率的取值范围问题 【典例1】已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【详解】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 【变式1】已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线 、 的斜率后即可求直线/的斜率的范围. 【详解】如图所示： ，而， 故直线的取值范围为. 故选：A. 【变式2】已知点，，直线与线段有公共点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出直线的定点，再求出，数形结合，得出结果. 【详解】如图 由题意知直线过定点， 易求的斜率， 的斜率， 直线的斜率， 所以或， 即或 故选：C. 【变式3】已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线所过定点的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾斜角的取值范围． 【详解】直线的方程可化为，由，可得， 所以，直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 将代入方程： 可得：不成立，不在直线上， 所以，即， 因为所以或 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 题型03 求解直线的方程 【典例1】设A，是轴上的两点，点的横坐标为2，且，若直线的方程为，则直线的方程是（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得P、A两点的坐标，根据，可得点在直线上，从而可得B点的坐标，从而可求得直线的方程. 【详解】由直线PA的方程为， 当时，；当时，，所以， ∵， ∴点在线段的垂直平分线，即直线上， ∴， ∴直线的斜率， ∴直线的方程为，即． 故选：A. 【变式1】已知直线：绕点逆时针旋转得到直线，则的斜截式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线的倾斜角，再根据旋转角度求出直线的倾斜角，进而得到直线的斜率，再根据直线所过的点求出直线方程． 【详解】直线，其斜率，设其倾斜角为，则，又因为倾斜角，所以． 直线绕点逆时针旋转，则直线的倾斜角． 直线的斜率． 又因为直线过点，所以直线的斜截式方程为． 故选：B． 【变式2】（多选）在平面直角坐标系中，已知点，则（    ） A．直线的倾斜角为钝角 B．直线的斜率为 C．若为的重心，则直线的方程为 D．的平分线所在直线的斜率为 【答案】AC 【分析】画图观察判断A，利用斜率公式计算判断BD，根据重心坐标公式和两点式方程判断C； 【详解】对于A，如图，在平面直角坐标系中，描出，，，由图可知直线的倾斜角为钝角．A正确； 对于B，直线的斜率．B错误； 对于C，因为的顶点分别为， 则重心），所以点的坐标为， 则直线的方程为，即．C正确； 对于D，，， 所以为等腰三角形，则的平分线也为中线，边的中点为， 所以的平分线所在直线的斜率为．D错误； 故选：AC. 【变式3】（多选）已知直线，，则下列说法正确的是（    ） A．的充要条件为或 B．若，则 C．若直线不经过第四象限，则 D．若，则将直线绕坐标原点按逆时针方向旋转，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为 【答案】BCD 【分析】利用两直线平行的结论结合充要条件的定义可判断A；.根据两直线垂直的结论可判断B；由直线方程，求得斜率与截距，建立不等式组，求解即可判断；先得到逆时针旋转后的直线方程，再根据左右平移求出平移后的直线方程，即可判断D. 【详解】对于A， 显然直线的斜率存在，若，则，解得或， 经检验时，这两条直线重合，所以，故充要条件不是“或”．故A不正确； 对于B，若，则，解得．故B正确； 对于C，若直线不经过第四象限，则，解得．故C正确； 对于D，若，则直线，将其绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为，故D正确. 故选：BCD 题型04 两条直线的位置关系问题 【典例1】设a，b，c分别是中角A，B，C的对边，则直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．无法确定 【答案】C 【分析】由正弦定理结合两直线方程系数之间的关系进行判断. 【详解】由正弦定理，得， 又两条直线的方程分别为，， 因为两直线的系数满足，所以两直线垂直． 故选：C. 【变式1】“”是“直线：与直线：平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由两直线平行建立方程，根据充分、必要条件的定义，可得答案. 【详解】由，可得，则，解得或， 当时，，则. 综上所述，“”可推出两直线平行，但由两直线平行推不出“", 所以“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式2】直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【分析】由两直线的斜率关系即可判断. 【详解】直线和直线的斜率分别为， 因为，所以． 故选：A． 【变式3】已知直线和直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由题意先求出时a数值，然后根据充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则，解得或 当时，直线，直线，此时， 当时，直线，直线，此时， 综上，则“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 题型05 直线的交点与距离问题 【典例1】已知直线. (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线的斜率可设所求直线方程为，代入点即可求解； （2）联立直线与的方程可得交点坐标，分截距为0和截距不为0两种情况分别求解. 【详解】（1）由直线可得斜率为， 所以根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得， 所以所求直线方程为，整理得； （2）联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为， 代入得，此时； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为， 综上所述：所求直线方程为或. 【变式1】若某直线被两平行线与所截得的线段的长为，则该直线的倾斜角大小为（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】求出平行线间距离，从而求得直线与两平行线间的夹角后可得结论． 【详解】因为直线与平行，所以与之间的距离． 设直线与的夹角为，因为直线被直线与截得的线段长为， 所以，解得． 因为直线的斜率为1，所以其倾斜角均为，所以直线的倾斜角为或． 故选：B． 【变式2】在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点到直线的距离公式得，作图，结合的几何意义求解可得． 【详解】将直线与化为一般式为， 所以到两直线的距离之和为， 所以①． 当时，①式变形为； 当时，①式变形为； 当时，①式变形为； 当时，①式变形为． 则动点的轨迹为如图所示的四边形的边， 的几何意义为四边形边上任意一点与连线的斜率． 由，得， 由，得, ，，，， 所以的取值范围是． 故选：C    【变式3】已知两直线，，若，则与间的距离为___________． 【答案】 【分析】根据直线平行求得，进而求两平行线间距离. 【详解】已知两直线，， 若，则解得，则直线， 则与间的距离为． 故答案为：. 题型06 与直线有关的对称问题 【典例1】已知直线和直线交于点C，直线过点C且原点到的距离等于2． (1)求直线的方程； (2)设直线关于直线对称的直线为，x轴与直线和直线分别交于点A，B，求． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）求出交点，再根据斜率是否存在分类讨论即可； （2）先求出上一点关于直线的对称点，再结合（1）求出的点即可求出直线的方程， 再结合（1）所求的的方程即可求出两点，进而求出． 【详解】（1）联立方程，解得，∴， ①当所求直线的斜率不存在时，直线的方程为，满足原点到的距离为2； ②当所求直线的斜率存在时，设直线的方程为， 即， ∴原点到该直线的距离为，解得， ∴直线的方程为， 综上所述，符合题意的直线的方程为或． （2）如图，在上取一点，设点M关于直线的对称点为，连接MN，      则，解得， ∴， 又，作直线CN， ∴直线CN的方程即为所求直线的方程，即， 化简得， 令中的，得，即， 若为，则， 若为，令中的，得，则， 综上，或． 【变式1】已知P，Q是直线：上两动点，且，点，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】依题意，设点在点的左下方，推得点，利用两点间距离公式计算，利用距离公式将其转化成两定点与一条定直线上的点的距离之和的最小值问题解决． 【详解】不妨设点在点的左边，因为直线的倾斜角为， 且，所以点的坐标为， 则． 记， 则可将理解为直线上一动点到的距离之和， 如图，作出点关于直线的对称点， 则，连接，交直线于点， 则即的最小值， 且， 故的最小值为．    故答案为：. 【变式2】若点M在直线l：上，则点M到点，的距离之和的最小值为________________． 【答案】 【分析】求出点关于直线对称的点为，则，由两点间距离公式计算，可得答案. 【详解】由已知，设关于直线的对称点为， 则解得，即， 所以． 故答案为：. 【变式3】一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为______． 【答案】 【分析】先根据点关于直线对称得出，又点，应用斜率公式求出斜率，最后点斜式写出直线方程即可. 【详解】设点关于直线的对称点为，则解得 所以．又点， 所以，直线的方程为， 由图可知，直线即为入射光线，所以化简得入射光线所在直线的方程为． 故答案为：. 题型07 与直线有关的最值问题 【典例1】边长为1的正三角形ABC的内心为，过的直线与边AB，AC交于P、Q，则的最大值为______. 【答案】 【分析】以为坐标原点，与平行的直线为轴，建立直角坐标系，从而得直线，方程，设直线为，利用直线相交得坐标，从而可得的表达式，根据函数性质得最值. 【详解】如图，以为原点，所在直线为轴，与平行的直线为轴，建立平面直角坐标系， 则，，， 所以直线方程为，直线方程为， 过的直线与边AB，AC交于P、Q，设直线为，且， 所以，， 则， 故， 因为，故当时，取到最大值为. 故答案为：18 【变式1】著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.请你运用数形结合的思想，得出函数的最大值为__________. 【答案】 【分析】函数表示点到点和的距离之差，结合图形即可得解. 【详解】因为， 所以它表示点到点和的距离之差，如图所示： 因为， 所以的最大值为. 故答案为：. 【变式2】函数的最小值是______. 【答案】 【分析】由函数的几何意义为点至和的距离之和，结合图形即可求得. 【详解】函数， 即为点至和的距离之和， 点关于轴对称的点为， 所以, 由图形易得最小值为. 故答案为: . 【变式3】著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如可以转化为平面上点与点的距离.结合上述观点，下列说法正确的是（    ） A．函数的最小值为 B．已知x，y满足，则的最大值为 C．已知x，y满足，则的取值范围是 D．已知x，y满足，则的最大值为0 【答案】A 【分析】函数表示到点和的距离之和，计算距离得到A正确，举反例得到BCD错误，得到答案. 【详解】对选项A：， 表示到点和的距离之和，最小值为， 正确； 对选项B：取，满足条件，此时，错误； 对选项C：取，满足条件，此时，错误； 对选项D：取，满足条件，此时，错误； 故选：A 题型08 求圆的标准方程与一般方程 【典例1】杭州有很多圆拱的悬索拱桥，经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP相距30米的支柱MN的高度约是______米．（注：） 【答案】6.48 【分析】以点P为坐标原点建系，求出圆心和半径得出圆的方程，即可计算. 【详解】以点P为坐标原点，OP所在直线为y轴，过点P且平行于AB的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 由题意可知，点A的坐标为， 设圆拱桥弧所在圆的半径为r，由勾股定理可得， 又，所以，解得， 所以圆心的坐标为，则圆的方程为． 将代入圆的方程得， 又，解得， 所以（米）． 故答案为： 【变式1】曲线的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论写出圆的标准方程，画图得出结论． 【详解】由题意， 曲线，即: 或 或， 作出曲线如图所示：    曲线是以A，B，C，D四个点为圆心，半径为的四个半圆， ∴曲线的周长为． 故选：B. 【变式2】（多选）已知圆及点，则下列说法中正确的是（    ） A．圆心的坐标为 B．点在圆外 C．若点在圆上，则直线PQ的斜率为 D．若是圆上任一点，则｜MQ｜的取值范围为 【答案】BCD 【分析】对于A，将圆方程化为标准形式，可判断选项正误；对于B，将代入圆方程可判断选项正误；对于C，将点代入圆方程可得，然后由斜率计算公式可判断选项正误；对于D，当三点共线时，可得最值，据此可判断选项正误. 【详解】对于A，圆的标准方程为， 所以圆心坐标为，故A错误； 对于B，将代入圆方程，得，所以点在圆外.故B正确； 对于C，若点在圆上，则， 解得，则，所以直线PQ的斜率为．故C正确； 对于D，，因为是圆上任一点， 所以，所以的取值范围为． 故选：BCD 【变式3】已知圆C过点，圆心在轴上，且圆心在直线上，则圆的标准方程为______；设点，若圆上存在两点和，使得，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】由题可得圆心坐标，求出半径即可得到圆的标准方程；由向量的线性运算可得，即，代入点坐标求解即可. 【详解】由解得所以． 设半径为，则， 则圆的标准方程为． ，即， 又，所以， 故点在以点为圆心，以4为半径的圆的内部或圆上， 即，解得， 即实数的取值范围是． 故答案为：，. 题型09 与圆有关的轨迹问题 【典例1】已知圆是圆上一动点，点为线段的中点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，由题设得，代入已知圆方程整理即可得动点M的轨迹方程； 【详解】解：设， M为线段的中点，， ， 而A是圆C上一动点， 故， 整理得：， 即， 故动点M的轨迹方程为. 故选:C. 【变式1】当点P在圆上运动时，连接点P与定点，则线段的中点M的轨迹方程为________. 【答案】 【分析】设点，利用相关点法求点的轨迹方程. 【详解】设点，因M是线段的中点，则点， 可得，即， 所以点M的轨迹方程为. 故答案为：. 【变式2】已知正方形的边长为2，点在以为圆心，1为半径的圆上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立直角坐标系，取点，探讨满足条件的点的轨迹，再结合已知，求出两条线段长度和的最小值作答. 【详解】依题意，以点为原点，直线分别为轴建立平面直角坐标系，则，如图，    取点，设，当时，， 化简整理得，即点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 而点在以为圆心，1为半径的圆上，因此，显然点在圆：外， 则，当且仅当为线段与圆的交点时取等号， 而，所以的最小值为. 故选：D 【变式3】若圆与圆关于直线对称，且过点C（－a，a）的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用对称求得，再根据题意给出的几何特征建立方程化简即可. 【详解】设圆的圆心关于直线y＝x－1的对称点是， 则由题意可得，计算可得， 由题知它是圆的圆心，所以a＝2. 设点P的坐标为（x，y），则有，化简得. 故选：C 题型10 直线与圆的位置关系及应用 【典例1】（多选）已知圆C：和直线l：，则下列说法正确的是（   ） A．当时，直线l被圆截得的弦长为 B．当时，圆上到直线的距离为1的点有3个 C．存在实数，使得直线与圆相切 D．若直线与圆相交，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对于A，利用弦长公式，直接求出弦长，即可求解；对于B，由选项A知圆心到直线的距离为，从而有，，数形结合，即可求解；对于C和D，利用直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】由得，所以圆的圆心为，半径为， 对于A，当时，直线l：，圆心到直线的距离为， 所以直线l被圆截得的弦长为，故A正确， 对于B，由选项A知圆心到直线的距离为，又， 则，， 所以由图可知，圆上到直线的距离为1的点有个，故B错误，    对于C，由，得到，解得或， 所以当或时，圆心到直线的距离等于半径， 即存在实数，使得直线与圆相切，所以C正确， 对于D，因为直线与圆相交，则，整理得到， 解得，所以D正确， 故选：ACD. 【变式1】已知两直线，． (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，， ①判断直线与以A，B为直径的圆D的位置关系； ②动点P在直线运动，求的最小值． 【答案】(1) (2)①相离；② 【分析】（1）求出两直线的交点，利用垂直得出斜率，点斜式可得方程； （2）①根据圆心到直线的距离与半径的大小关系可判断位置关系；②求出点的对称点，利用两点之间线段最短可求答案. 【详解】（1）联立方程，解得； 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即； （2）①以、为直径的圆的方程为， 整理得，故该圆的圆心为，半径为， 故圆心到直线的距离为， 故直线与圆的位置关系为相离. ②设点关于直线对称的点为， 则，解得，即； 则, 故的最小值为. 【变式2】已知直线经过点，且与圆相交于两点，若，则直线的方程为______． 【答案】或 【分析】根据圆的半径、弦长可求出圆心到弦的距离，再利用点到直线的距离公式即可求出直线的斜率，从而得到直线方程. 【详解】圆的圆心，半径，圆心到直线的距离为3， 此直线与圆相切，因此直线的斜率存在． 设直线的方程为，即， 由，得圆心到直线的距离， 于是，解得或，所以直线的方程为或． 故答案为：或． 【变式3】已知平面内有两点和，且该平面内的点满足，若点的轨迹关于直线对称，则（    ） A．0 B．2 C．5 D．7 【答案】B 【分析】设点的坐标为，根据已知求出轨迹为圆，依题意圆心在直线上即可得解. 【详解】设点的坐标为，因为， 所以，即， 整理得点的轨迹方程为，此方程表示一个圆． 因为点的轨迹关于直线对称， 所以圆心在此直线上，代入得． 故选：B 题型11 圆的弦长及中点弦问题 【典例1】（多选）已知圆与直线，下列选项正确的是（    ） A．直线过定点 B．直线与圆必相交 C．圆截轴所得弦长为 D．直线被圆截得的最短弦长为 【答案】BCD 【分析】由直线过定点判断A，由定点在圆内判断B，由弦长的计算判断CD即可. 【详解】对于A，由直线，整理可得， 令解得则直线过定点，所以A错误； 对于B，圆的圆心为，半径，由定点到圆心的距离为，得直线与圆必相交（当直线经过圆内一点时，直线与圆必相交；当直线经过圆上一点时，直线与圆必有公共点，即相交或相切），所以B正确； 对于C，由圆心为，得圆心到轴的距离为1，所以圆截轴所得弦长为，所以C正确； 对于D，当定点与圆心的连线垂直于直线时，截得的弦是最短的， 此时最短弦对应的弦心距为， 所以最短弦长为，所以D正确. 故选：BCD. 【变式1】（多选）已知圆，下列说法正确的是（    ） A．圆心为 B．圆与轴、轴都相切 C．过点的直线被圆截得的最短弦长为 D．的最大值为 【答案】ABC 【分析】将圆的方程化成标准方程得圆心坐标可判断A；再根据直线与圆的位置关系判断B；先求得圆心到直线的距离的最大值，再用求得最短弦长即可判断C；令，由直线与圆有公共点求得的范围即可判断D. 【详解】列表解析｜直观解疑惑 选项 正误 原因 A √ 由，得，圆心为． B √ 因为圆的半径为2，圆心为，所以圆与轴、轴都相切． C √ 因为，所以点在圆内．设圆心到过点的直线的距离为，则，而被截得的弦长为，则弦长最短为. D × 令，则直线与圆有公共点，所以，解得，所以的最大值为． 故选：ABC. 【变式2】（多选）已知圆O：，点是圆O上的点，直线l：，则（    ） A．圆O上恰有3个点到直线l的距离等于1 B．直线l与圆O相交弦长 C．过点P的圆O的切线方程是 D．过点P向圆M：引切线，A为切点．则最小值为 【答案】ABD 【分析】根据点到直线的距离判断弦长及圆上的点到直线的距离即可判断AB，根据圆上切线特点即可判断C，再根据切线长的计算公式可得最值，即可判断D. 【详解】A选项：如图所示，由已知圆，则圆心，半径， 圆心到直线的距离， 则，，所以圆上恰有个点到直线的距离等于，A选项正确； B选项：由A知弦长为，B选项正确； C选项：当直线的斜率存在且不为0时，此时斜率为， 则切线斜率为，此时切线方程为， 即，即， 当直线的斜率不存在或为0时，切线方程适合上式， 故过点P的圆O的切线方程是，故C错误； D选项：由圆可知圆心，半径， 由切线长可知， 所以当取得最小值时，取最小值， 又，即的最小值为， 当三点共线，且P在O，M之间时取等号， 所以的最小值为，D选项正确； 故选：ABD. 【变式3】直线被圆截得的弦长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用圆的弦长公式计算，即可求解. 【详解】由圆，则圆心为，半径为， 由圆心为到直线的距离， 所以直线被圆截得的弦长为. 故选：B. 题型12 圆的切线方程及切线长问题 【典例1】（多选）已知圆，直线过点，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆上 B．若直线过原点，则圆截直线所得弦长为 C．若与圆相切，则的方程为 D．若与圆相交于A，B两点，且为直角三角形，则的方程为 【答案】AC 【分析】对于A，将点的坐标代入圆的方程验算即可判断；对于B，求得圆心到直线的距离，再结合弦长公式即可验算；对于C，由直线与圆的位置关系即可验算；对于D，由题意得圆心到的距离为，故只需求出的斜率即可验算. 【详解】A（√）：因为，所以点在圆上． B（×）：若经过原点，设的方程为，由得，则的方程为． 圆，可得圆心，半径． 圆心到直线的距离， 所以弦长为． C（√）：因为点在圆上，轴，所以直线的方程为． D（×）：因为为直角三角形，且，所以， 则圆心到的距离为． 由题意易得的斜率一定存在，所以可设的方程为， 即．由，解得或－1， 故的方程为或． 故选：AC. 【变式1】已知圆的圆心为，且经过点，过点作圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意求得其中一个切点的坐标，并求出的斜率即可求解. 【详解】由题意，圆的半径为圆的标准方程为． 当斜率不存在时，过点的直线为，与圆相切于点． 由圆的切线的性质可知，， 直线AB的方程为，即． 故选：A. 【变式2】（多选）已知圆，过点作圆的两条切线，，切点分别是，，则（   ） A． B．直线，的方程为和 C．四边形的面积为27 D． 【答案】ACD 【分析】根据两点间距离求出的长度，计算出的长度判断A；根据直线斜率存在和不存在别设出直线的方程，再根据直线与圆相切求出方程判断B；根据与是全等的直角三角形求出四边形面积判断C；根据求出判断D. 【详解】圆的圆心为，半径为，因为，， 所以，故A正确； 过且斜率不存在的直线方程为， 圆心到直线的距离，故与圆相切， 设过点且斜率存在的直线方程为， 即，若与圆相切， 则，即，即， 所以直线，的方程为和，故B错误； 因为与是全等的直角三角形， 所以四边形的面积为，故C正确； 因为，所以四边形的面积为， 解得，故D正确. 故选：ACD. 【变式3】平面直角坐标系中，点，圆与轴正半轴交于点. (1)求过点且斜率为的直线被圆截得的弦长； (2)求过点与圆相切的直线方程； (3)过点的直线与圆交于不同的两点，判断直线QA，QB的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由. 【答案】(1) (2)和 (3)定值， 【分析】（1）计算出圆心到直线的距离，然后根据半径、圆心到直线的距离、半弦长之间的关系求解出弦长； （2）先直接分析直线斜率不存在的情况，当直线斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求解出切线方程，由此结果可知； （3）设以及直线的方程，联立直线与圆的方程，得到坐标的韦达定理形式，然后将化简至用韦达定理表示的形式，代入计算可得结果. 【详解】（1）过点斜率为的直线方程为， 圆心到该直线的距离为， 所以该直线被圆截得的弦长为. （2）圆的圆心为，半径为2， 若过点的直线垂直于轴，则方程为，显然与圆相切，符合题意； 若过点的直线不垂直于轴，设直线的斜率与， 则直线方程为，即， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离，解得， 所以切线方程为； 综上所述，切线方程为和. （3）由题意知点，显然直线的斜率存在，设直线方程为， 联立，得， 设，则， 且， 所以 ， 所以是定值，定值为． 题型13 圆与圆的位置关系 【典例1】圆：与圆的公切线条数是______． 【答案】3 【分析】分析圆心距和两圆半径的关系，可知两圆外切，即可得到两圆公切线条数. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径． 因为，所以两圆外切， 所以圆与圆的公切线有3条． 【变式1】已知圆和圆，M，N分别是圆C，D上的动点，为直线上的动点，则的最小值是______． 【答案】 【分析】先得到，设关于直线的对称点为，求出的最小值，进而得到的最小值． 【详解】的圆心为，半径为1. ，圆心为，半径为2． 因为，所以两圆相离，如图所示． 则， 当且仅当三点共线，三点共线且在之间，在之间时，等号成立． 设关于直线的对称点为， 连接，与直线交于点，此时， 故即为的最小值， 故的最小值为． 故答案为：. 【变式2】（多选）点在圆上，点在圆上，则（    ） A．两个圆的公切线有2条 B．的取值范围为 C．两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在对应圆上 D．到两个圆的公共弦所在直线的距离为 【答案】BC 【分析】根据题意确定圆心及半径，根据两圆位置关系逐项判断即可. 【详解】易知圆的圆心为，半径， 将圆化为，可知圆心为，半径， 对于A，易知，可知两圆外离，所以两个圆的公切线有4条，故A错误； 对于B，易知的最小值为，最大值为， 所以｜PQ｜的取值范围为，故B正确； 对于C，显然两圆圆心都在直线上， 因此直线为两圆对称轴，故C正确； 对于D，由选项A可知两圆外离，即不存在公共弦，故D错误. 【变式3】已知圆：的面积被直线平分，圆：，则圆与圆的位置关系是（ ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】D 【分析】根据题意，圆：的面积被直线平分，即直线经过圆的圆心，由此求出两圆的圆心和半径，然后判断两个圆的位置关系即可． 【详解】根据题意，圆：， 即，其圆心为，半径， 圆：的面积被直线平分， 即直线经过圆的圆心， 则有，解可得， 即所以圆的圆心，半径为1， 圆的标准方程是，圆心，半径为4， 其圆心距， 所以两个圆外切， 故选：D. 题型14 两圆的公共弦问题 【典例1】已知圆，圆交于两点，在第二象限． (1)求以为直径的圆的方程； (2)若过点的直线（斜率存在）交圆于点，交圆于点，且，求直线CD的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两圆方程相减得公共弦所在直线方程，再根据已知两圆心得出中点坐标（即所求圆圆心坐标），求出半径后可得圆方程； （2）设直线的方程是，由几何法求弦长，再由弦长相等求得，从而得直线方程． 【详解】（1）根据题意，圆，圆心为，半径为3， 圆，圆心为，半径为4，两圆方程相减得，所以直线的方程为． 所以所求圆的圆心为，半径为， 所以以为直径的圆的方程为． （2）A在第二象限，由（1）可得， 如图，不妨设点分别在圆和圆上，易知直线的斜率存在，设直线的方程是，即，则点到直线的距离为，点到直线的距离为． 因为，所以，解得， 所以直线的方程为． 【变式1】若圆，圆的两交点分别为A，B，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：求得相交弦方程，由圆的圆心为，半径为2即可求解；方法二：联立两圆的方程把两点坐标求出来即可. 【详解】方法一  将两圆的方程作差，可得，即直线AB的方程为，圆的圆心为，半径为2， 则到直线的距离为，故． 方法二  联立解得或 所以． 故选：B. 【变式2】已知圆C的圆心在直线上，且经过点，． (1)求圆C的方程； (2)求圆C与圆M：的公共弦长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由线段的中垂线与圆心所在的直线的交点求出圆心坐标，再由两点间距离公式求出半径，可得圆的标准方程； （2）两圆相减得到圆的公共弦方程，再由点到直线的距离公式求出圆心M到直线的距离，最后由勾股定理求弦长即可； 【详解】（1）记点，线段的中垂线方程为：， 圆C经过A，B，所以圆心C在直线上，又因为圆心C在直线上， 所以圆心C的坐标为（2，－2）， 半径，所以圆C的方程为：. （2）设圆C与圆M相交与E，F两点，则直线EF的方程为： ， 即：， 圆心M到直线的距离， 所以，，即公共弦长为. 【变式3】已知圆，圆． (1)证明两圆相交，并求两圆公共弦长； (2)已知过点的直线l与圆交于A，B两点，且，求直线l的斜率． 【答案】(1)证明见解析， (2)或． 【分析】（1）确定两圆的圆心和半径，根据圆心距与半径和差的关系确定两圆的位置关系；两圆方程相减，可得公共弦所在的直线方程，根据“几何法”可求两圆的公共弦长. （2）先讨论直线斜率不存在的情况，再研究直线斜率存在时，可设直线，代入圆的方程，根据韦达定理得到，，进而表示出，由就是可求的值. 【详解】（1）如图： 圆化成标准方程为，圆心，半径， 圆化成标准方程为，圆心，半径， 由，所以两圆相交， 两圆方程作差得． 即公共弦所在直线的方程为． 圆的圆心到公共弦所在直线的距离为：， 所以公共弦长为：. （2）由题可知，设，， ①当直线斜率不存在时，直线与交点在y轴上，显然不满足题意. ②当直线斜率存在时，设直线l方程为：， 将代入，得， 整理得，，， 由一元二次方程根与系数的关系得，， ． 由可得， 化简得，即，解得或． 题型15 两圆的公切线问题 【典例1】（多选）已知点，圆，则（    ） A．点在直线上 B．点可能在圆上 C．圆上至少有2个点与点的距离为1 D．过点作圆的切线，则切点弦过点 【答案】AD 【分析】对选项A将点代入验证即可；对于选项B则求圆心到直线的距离可知直线与圆外离，即可得结果；对于C点P到圆上一点的最小值为1；对于D根据选项构造以线段为直径的圆，求出圆和圆的公共弦方程进而求解. 【详解】对A,点，代入直线方程得，故点在直线上．故A正确； 对B，圆心到直线的距离为（为圆的半径），故直线与圆相离，因此点不可能在圆上．故B错误； 对C，因为，所以圆上只有1个点与点的距离为1．故C错误； 对D,构造以线段为直径的圆，则线段为圆和圆的公共弦． 圆的直径式方程为， 整理得  ①． 圆方程化为一般式为，与①作差变形得的方程为．整理得，令解得即直线经过点．故D正确 故选：AD 【变式1】已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 【答案】(1) (2)相交；或 【分析】（1）设，根据题意得到，利用两点间距离公式列式化简即可得解； （2）利用两圆的位置关系判断得和的位置关系，再利用公切线的性质，结合点线距离公式列式即可得解. 【详解】（1）依题意，设，则，即， 所以，则，整理得， 故动点的轨迹的方程为. （2）由（1）知，动点的轨迹是一个圆，其圆心，半径为， 圆：的圆心，半径为， 所以，显然，则圆和圆相交， 所以圆和圆的公切线有两条，且斜率都存在， 不妨设为，即， 则有，则，解得或， 当时，得，解得或， 当时，，此时公切线方程为； 当时，，此时公切线方程为； 当时，得，方程无解； 综上，公切线方程为或. 【变式2】已知圆与圆 (1)若圆与圆有两个不同的交点，求的取值范围; (2)若，且圆与圆有两个不同的交点求线段DE的长; (3)若r=1，求圆与圆的公切线方程. 【答案】(1)； (2)； (3)，，. 【分析】（1）求出两圆的圆心距，再利用两圆相交的充要条件列式求解即得. （2）求出公共弦所在直线的方程，再利用圆的弦长公式计算即得. （3）设出公切线方程，利用点到直线的距离公式列出方程组并求解即可. 【详解】（1）圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径为4， 由圆与圆有两个不同的交点，得，而， 因此，解得， 所以的取值范围是. （2）当时，圆，此时圆与圆相交，两圆方程相减得直线方程， 点到直线的距离， 所以. （3）当时，，即圆与圆外切，圆与圆有1条内公切线，2条外公切线， 显然切线的斜率存在，设方程为，则， 整理得或，解，得 解，得或， 因此内公切线的方程为，即； 外公切线的方程为，的方程为，即， 所以圆与圆的公切线方程为，，. 【变式3】若直线是与的公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线与圆相切的关系及点到直线的位置关系即可求解. 【详解】已知的圆心，半径是的圆心是，半径是2． 由题知直线是和的公切线， 当时，直线为，此时直线与圆不相切，所以， 由，解得， 则有． 故选：A． 题型16 与圆有关的最值问题 【典例1】已知点是圆上任意一点． (1)求点到直线的距离的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为． 【分析】（1）先求圆心到直线的距离，进而求点到直线距离的最大值和最小值； （2）方法一：设，转化为直线与圆有公共点；方法二：利用三角换元求最值． 【详解】（1）由题意，圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为． 点到直线的距离的最大值为，最小值为． （2）方法一：设，则直线与圆有公共点， ，解得， 则，即的最大值为，最小值为． 方法二：设，则， 其中，则， 即的最大值为，最小值为． 【变式1】已知圆，圆，分别是圆的动点，为直线上的动点，则的最小值为（    ） A．6 B．10 C．13 D．16 【答案】B 【分析】求出两圆的圆心和半径，数形结合得到的最小值为的最小值，求出关于直线的对称点的坐标，从而得到的最小值，进而得到的最小值. 【详解】的圆心为，半径， 的圆心为，半径， 如图所示，的最小值为的最小值， 设点关于直线的对称点为， 则，解得， 故，连接，则即为的最小值， 故的最小值为， 故的最小值为. 故选：B 【变式2】（多选）已知点，动点满足，则下面结论正确的为（    ） A．点的轨迹方程为 B．点到原点的距离的最大值为5 C．面积的最大值为4 D．的最大值为18 【答案】ABD 【分析】设动点，根据两点之间的距离公式结合条件化简即可判断A选项，再由圆外一点到圆上一点的距离范围判断B和C选项，利用向量的数量积公式和代入消元法即可判断D选项. 【详解】设动点，则由得：， 即， 化简得：，即，所以A选项正确； 所以点轨迹是圆心为，半径为的圆， 则点到原点的距离最大值为，所以B选项正确； 又，和点轨迹的圆心都在轴上，且， 所以当圆的半径垂直于轴时，面积取得最大值，所以C选项错误； 又， 因为（）， 所以（）， 则，所以D选项正确； 故选：ABD. 【变式3】（多选）已知点分别是直线和圆上的动点，则（    ） A．点到直线的最大距离为7 B．当直线被圆所截得的弦长最大时，的值为1 C．若直线与圆相切，则的值为 D．若直线与被圆截得的弦长为，则的值为 【答案】ACD 【分析】对于A项，利用定点到动直线的距离最值，结合圆上动点到直线的距离最值判定即可；对于B项，利用圆中最长弦为直径计算即可；对于C项，利用直线与圆的相切的几何法计算即可；对于D项，利用弦长公式计算即可. 【详解】对于A项，由，可知过定点，圆的圆心为坐标原点，半径r=2，设圆心到直线的距离为， 如图所示，当时，， 当与直线不垂直时，， 从而可知点到直线的最大距离为，此时Q、O、M三点共线，故A正确；    若直线被圆所截得的弦长最大，则直线经过圆心，则，解得，故B错误； 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离，解得，故C正确； 若直线被圆截得的弦长为，如图设为弦CD， 则圆心到直线的距离为，    解得，故D正确. 故选：ACD. 1．（多选）已知，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点与不重合），则以下说法正确的是（　　） A． B．为定值 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】A选项，将两直线的一般式化为点斜式，求出定点A,B，得到的绝对值；B选项，利用两直线斜率关系，证得，从而利用直角三角形三边关系求出为定值；C选项，用基本不等式，计算三角形面积最大值；D选项，引进角为变量，实质是通过三角换元，解决两个变量的最值问题. 【详解】列表解析  直观解疑惑 选项 正误 原因 A √ 因为可化为，所以直线恒过定点．又因为可化为，所以直线恒过定点．故． B √ 对于直线，因为，所以，可得，因此，为定值． C × ，当且仅当时等号成立（点拨  注意等号成立的条件是否满足），所以的最大值为． D √ 设，因为，所以为锐角，，所以，其中，所以当时，取得最大值． 故选：ABD. 2．已知直线，，其中为实数． (1)当时，求的值； (2)当时，求过直线的交点，且垂直于直线的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线平行，列出关于m的方程，即可求得答案； （2）解方程组求出直线的交点，再根据直线的垂直关系，利用直线的点斜式，即可求得答案. 【详解】（1）由得，解得，经检验，符合题意, 故； （2）当时，，联立，解得， 即直线的交点为， 又直线的斜率为， 故过直线的交点，且垂直于直线的直线方程为，即． 3．已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 【答案】(1)证明：将直线的方程整理得， 令，解得所以直线恒过点． 则定点到直线的距离为． (2)， 【分析】（1）将直线的方程整理得，令，解出即可定点，由点到直线的距离公式即可求解； （2）由（1）可得直线过定点，设定点为，当时，点到直线的距离最大，且最大距离，由两点间的距离公式即可求最大距离，又由斜率公式即可求. 【详解】（1）略 （2）由（1）可得直线过定点，设定点为． 当时，点到直线的距离最大，且最大距离， 即点到直线的最大距离为． 此时，而直线的斜率， 所以，解得． 4．已知点，直线的方程为，若直线以为法向量，且点在直线上，则______． 【答案】 【分析】先根据直线方程求得直线所过定点，方法一由直线的法向量可求得直线的方向向量，结合直线的斜率公式解得参数；方法二由题意直接求出直线的点法式方程.再代入点解得参数. 【详解】直线的方程为，即，所以直线过定点． 方法一  则直线的一个方向向量的坐标为．又直线过定点， 且点在直线上，所以，解得． 方法二  又直线过定点，所以直线的方程为， 化简得．将点代入，得，解得． 故答案为：. 5．（多选）已知直线，则下列结论正确的是（　　） A．直线可能与轴垂直 B．当时，直线的倾斜角为 C．当时，直线与直线平行 D．当时，直线与直线垂直 【答案】BD 【分析】由直线的方程得其斜率，由点A、B的坐标得直线的斜率，逐项判断即可. 【详解】因为直线的方程为，所以直线的斜率存在且为，不可能与轴垂直，A错误； 当时，直线的斜率为，故其倾斜角为，B正确； ，当时，直线的斜率为2，故直线与直线不平行，C错误； 当时，直线的斜率为，因为，故此时直线与直线垂直，D正确. 故选：BD. 6．我国后汉时期的数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，这种利用面积出入相补证明勾股定理的方法巧妙又简便．对于勾股定理，我国历史上有多位数学家创造了不同的面积证法，如三国时期的刘徽、清代的华蘅芳等．下图1为一种证明勾股定理时构造的图形（由一个直角三角形和三个正方形构成），若图中，，，现以点C为原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，建立平面直角坐标系，如图2所示，以AB的中点D为圆心作圆D，使得图中三个正方形的所有顶点恰有2个顶点在圆D外部，则圆D的一个标准方程为______．（写出一个即可）    【答案】（答案不唯一，满足均可） 【分析】计算点D到三个正方形顶点的距离，再数形结合即可求出半径的范围. 【详解】由题图可得，，，，，， 所以，． 连接DC，DE，DF，DM，DN，DQ，DP， 在中，，则， ，， ，， 则点D到三个正方形顶点的距离分别为，，，，，，，， 因为恰有2个顶点在圆D外部， 所以圆D的方程为． 故圆D的一个标准方程可以为．    故答案为：（答案不唯一，满足均可） 7．已知正方形ABCD中心的坐标为，若直线AB的方程为，写出一条与AB边垂直的边所在的直线方程：______． 【答案】（或） 【分析】根据直线AB的方程可设出所求直线的方程，再利用正方形的中心到四条边所在直线的距离相等建立等式，求解即得参数，从而得出所求方程． 【详解】由，可得， 则与AB边垂直的边所在直线的斜率为， 其方程可设为，即． 由正方形的性质，可知点到直线的距离等于它到直线的距离， 故有，解得或， 故与AB边垂直的边所在直线的方程为或． 故答案为：（或）. 8．如图，已知直线过点，且与直线垂直，与轴、轴的正半轴分别交于两点，点为线段上一动点，且，交于点． (1)求线段的垂直平分线方程； (2)若的面积与四边形的面积满足，请你确定点在上的位置，并求出线段的长； (3)判断在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点为线段的中点， (3)存在，或或 【分析】1）由题意求出直线的方程，即可求得的坐标，从而得中点坐标，利用点斜式即可得的垂直平分线方程，再化成一般式即可； （2）由，可得，由，得与相似，从而得，即可得答案； （3）假定在轴上存在满足题意的点，分、和分别求解即可. 【详解】（1）因为直线与直线垂直， 所以直线的斜率， 又直线过点， 所以直线的方程为， 即． 令，得，即； 令，得，即． 则线段的中点坐标为， 又直线的斜率， 所以线段的垂直平分线方程为， 即； （2）由（1）知直线的方程为，， 因为， 所以， 又， 则与相似， 于是有， 即，得， 此时点为线段的中点， 所以时，点为线段的中点，且； （3）假定在轴上存在点，使为等腰直角三角形， 由（1）知直线的方程为， 如图1，当时，而点在轴上，点在轴的正半轴上，则点必与原点O重合， 设，因为， 所以， 于是有， 解得，此时满足题意； 如图2，当时， 由，， 知四边形为正方形， 设， 则，， 于是有， 解得，此时满足题意； 如图3，当时， 由，, 得，即， 设， 则，， 显然直线QM斜率为，则直线PM斜率必为1， 即， 解得，此时满足题意． 综上，y轴上存在点或或，使为等腰直角三角形． 9．已知直线与圆交于不同的两点，是坐标原点，且有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点为，根据已知条件求得的范围，利用点到直线距离公式将其转化为关于的不等式，求解得到的取值范围. 【详解】如图，设的中点为，连接OC，则． ∵，∴， ∴．又（弦心距d、半径r和弦长的一半构成直角三角形）， ∴，即． 又∵直线与圆交于不同的两点A，B， ∴，故，则． ∵，∴． 故选：B. 10．已知两条平行直线与间的距离为4，则C的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用平行直线间的距离公式建立方程，通过解绝对值方程并结合条件确定正确选项. 【详解】根据两平行直线的距离公式可得，解得或，又因为，所以． 故选：B. 11．若动点，分别在直线与上移动，则的中点到原点的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据动点满足的关系式，结合中点公式可得中点满足的方程，利用点到直线的距离求解. 【详解】设的中点的坐标为，则有， 又，分别在直线与上， ∴联立得，两式相加得， ∴，即， 即的中点在直线上移动， ∴到原点距离的最小值即原点到直线的距离． 故选：A. 12．已知圆C过点，圆心在y轴上，且______． 在①圆心C在直线上；②圆C的半径为2；③圆C过点这三个条件中任选一个，补充在问题中的横线上，并解答下列问题． (1)求圆C的标准方程； (2)设点，满足存在圆C上的两点P和Q，使得，求实数t的取值范围． 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选条件①：先求出圆心的坐标，然后求出圆的半径，即可得到圆的方程；选条件②：根据圆的半径求出圆心坐标即可得到圆的方程；选条件③：根据圆过点的坐标即可求得圆的方程. （2）根据已知条件求出点的位置，然后根据点和圆的位置关系列出不等式求出的范围. 【详解】（1）若选条件①，设圆心， 由题意得，解得， 所以．设半径为r，则． 则圆C的标准方程为． 若选条件②，设圆心，由题意知，解得， 所以圆心，半径为2， 所以圆C的标准方程为． 若选条件③，设圆心，由题意知， 即，解得， 所以圆心，且半径为， 所以圆C的标准方程为． （2），即， 又，所以， 故点T在以点为圆心，以4为半径的圆的内部或圆上， 即，解得， 即实数的取值范围是.    13．已知，，． (1)若点在轴上，且满足，求直线的方程； (2)若点在轴上，且，求直线的倾斜角． 【答案】(1)； (2)90°. 【分析】（1）利用垂直关系及斜率的两点式列方程求得，再由直线的两点式求直线方程； （2）设，根据已知有，应用斜率的两点式列方程求得，即可得倾斜角. 【详解】（1）设，而，， 所以，故，得，即． 所以直线的方程为，即； （2）设，因为，所以， 而，即得，所以，即． 结合，故轴，故直线的倾斜角为90°. 14．若直线与直线的交点位于第一象限，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】解方程组求得交点坐标，再结合已知建立不等式并求解. 【详解】由，解得，即直线与直线交于点， 依题意，，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为： 15．在中，，边BC的中点在轴上，点在轴上，且． (1)求AD的长； (2)求角的平分线与直线的交点坐标． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设，由边BC的中点在轴上，点在轴上，可得D坐标，据此可得答案； （2）设角的平分线与直线的交点为，由到直线AB，BC的距离相等，验证后可得答案. 【详解】（1）设，因为边BC的中点在轴上，所以，解得． 因为点在轴上，且，所以，解得． 所以，所以．则． （2）设角的平分线与直线的交点为，则易知． 直线BC的方程为，即． 直线AB的方程为，即． 由到直线AB，BC的距离相等，可得，即． 即，解得或． 则交点可能为或， 将坐标代入，，可得， 将坐标代入，，可得， 则在BC，AB 之间满足题意，在BC，AB 同侧，不满足题意. 所以角的平分线与直线的交点坐标为． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直线和圆的方程 教学目标 1. 学生能够熟练掌握直线的倾斜角、斜率、直线五种方程形式、两条直线的位置关系、点到直线的距离公式，以及圆的标准方程、一般方程、直线与圆、圆与圆的位置关系等核心基础知识，能独立完成基础公式推导、方程求解、距离计算等基础题型。 2. 通过直线、圆的方程推导与几何问题求解过程，引导学生建立解析几何数形结合的核心思维，掌握用代数方法解决几何问题的解题思路，提升学生运算求解、逻辑推理和几何直观的数学核心素养。 3. 让学生体会解析几何将几何图形代数化的数学思想，感受数形转化、等价转化的数学魅力，培养学生严谨的运算习惯、规范的解题思维，提升学生自主探究、归纳总结几何规律的学习能力。 教学重难点 重点 1. 直线斜率的求解、直线各类方程的书写与灵活选用，熟练运用距离公式、夹角公式判定两条直线的平行与垂直关系。 2. 圆的标准方程与一般方程的互化，根据已知条件快速求解圆的方程，掌握圆心、半径的快速求解方法。 3. 直线与圆的位置关系的判定方法（代数法、几何法），熟练求解直线与圆的相交弦长、切线方程等高频核心题型。 难点 1. 根据不同题干条件，灵活选择直线方程形式，规避斜率不存在、直线过定点等易错特殊情况，分类讨论求解直线问题。 2. 数形结合思想的灵活运用，精准区分代数法与几何法的适用场景，解决直线与圆的综合最值、范围类问题。 3. 圆的综合应用问题，包括圆与圆的位置关系判定、公共弦求解，以及直线与圆结合的含参动态问题、几何最值与轨迹问题的分析求解。 知识点1 直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角_________. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即_________. (2)斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (3)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为_________. 3．直线的方向向量 我们知道,直线P1P2上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量.直线P1P2的方向向量的坐标为. 当直线P1P2与x轴不垂直时,.此时向量也是直线P1P2的方向向量,且它的坐标为,即,其中k是直线P1P2的斜率.因此,若直线l的斜率为k,它的一个方向向量的坐标为(x,y),则. 知识点2 直线的点斜式方程 我们把方程y－y0＝k(x－x0)称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程． 方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 注意点： (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式． (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0. 知识点3 直线的斜截式方程 1．直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在__________________． 2．把方程y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 注意点： (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距． (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. 知识点4 直线的两点式方程 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程 _________，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式． 注意点： (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示． (2)两点式方程与这两个点的顺序无关． (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于_________，也就是同一条直线的_________． 知识点5 直线的截距式方程 我们把方程＋＝1叫做直线的截距式方程，简称截距式．直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b. 注意点： (1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程，与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示． (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图． 知识点6 直线的一般式方程 我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 注意点： (1)直线一般式方程的结构特征 ①方程是关于x，y的二元一次方程． ②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列． ③x的系数一般不为分数和负数． (2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质 ①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交； ②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直； ③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直； ④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合； ⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合． 知识点7 两条直线的位置关系 直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一直线，l2与l4是同一直线，l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2)的位置关系如下表： 位置关系 法向量满足的条件 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件 平行 v1∥v2 k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0 垂直 v1⊥v2 k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 相交 v1与v2不共线 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 知识点8 直线的交点与方程组解的关系 (1)两直线的交点 点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到__________________. (2)两直线的位置关系与方程组解的关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 知识点9 距离公式 (1)两点间的距离公式 平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝. 特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离__________________. (2)点到直线的距离公式 平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. (3)两条平行线间的距离公式 一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离_________. 知识点10 对称问题 (1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0，2b－y0). (2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)， 则有可求出x′，y′. 知识点11 圆的定义和圆的方程 定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆 方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0) 圆心C 半径r＝ 知识点12 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外； (2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上； (3)|MC|<r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在_________. 知识点13 直线与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点． 2、直线与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点． 有两组实数解时，直线与圆C相交；有一组实数解时，直线与圆C_________； 无实数解时，直线与圆C相离． （2）几何法： 由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断：当时，直线与圆C相交； 当时，直线与圆C相切；当时，直线与圆C相离． 知识点14 圆的切线方程 1、点在圆上，如图． 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． 2、点在圆外，则设切线方程：__________________，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 知识点15 直线被圆截得的弦长 1、应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． 2、利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． 知识点16 圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系： （1）圆与圆相交，有两个公共点；（2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点； （3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点． 2、圆与圆的位置关系的判定： （1）代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解．有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切；方程组无解时，两圆相离． （2）几何法： 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为． 当时，两圆相交；当时，两圆外切；当时，两圆_________； 当时，两圆内切；当时，两圆_________． 题型01 直线的倾斜角与斜率定义 【典例1】已知平面直角坐标系内两点，． (1)当直线的倾斜角为锐角时，求的取值范围； (2)若直线的一个方向向量为，求的值． 【变式1】已知直线经过两点，直线的倾斜角为，若与平行，则（　　） A． B．2 C．3 D．6 【变式2】若直线的斜率为，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式3】若直线经过点，，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 题型02 直线斜率的取值范围问题 【典例1】已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式2】已知点，，直线与线段有公共点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 题型03 求解直线的方程 【典例1】设A，是轴上的两点，点的横坐标为2，且，若直线的方程为，则直线的方程是（ ）． A． B． C． D． 【变式1】已知直线：绕点逆时针旋转得到直线，则的斜截式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）在平面直角坐标系中，已知点，则（    ） A．直线的倾斜角为钝角 B．直线的斜率为 C．若为的重心，则直线的方程为 D．的平分线所在直线的斜率为 【变式3】（多选）已知直线，，则下列说法正确的是（    ） A．的充要条件为或 B．若，则 C．若直线不经过第四象限，则 D．若，则将直线绕坐标原点按逆时针方向旋转，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为 题型04 两条直线的位置关系问题 【典例1】设a，b，c分别是中角A，B，C的对边，则直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．无法确定 【变式1】“”是“直线：与直线：平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【变式3】已知直线和直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型05 直线的交点与距离问题 【典例1】已知直线. (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. 【变式1】若某直线被两平行线与所截得的线段的长为，则该直线的倾斜角大小为（　　） A． B．或 C． D．或 【变式2】在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知两直线，，若，则与间的距离为___________． 题型06 与直线有关的对称问题 【典例1】已知直线和直线交于点C，直线过点C且原点到的距离等于2． (1)求直线的方程； (2)设直线关于直线对称的直线为，x轴与直线和直线分别交于点A，B，求． 【变式1】已知P，Q是直线：上两动点，且，点，则的最小值为______． 【变式2】若点M在直线l：上，则点M到点，的距离之和的最小值为________________． 【变式3】一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为______． 题型07 与直线有关的最值问题 【典例1】边长为1的正三角形ABC的内心为，过的直线与边AB，AC交于P、Q，则的最大值为______. 【变式1】著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.请你运用数形结合的思想，得出函数的最大值为__________. 【变式2】函数的最小值是______. 【变式3】著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如可以转化为平面上点与点的距离.结合上述观点，下列说法正确的是（    ） A．函数的最小值为 B．已知x，y满足，则的最大值为 C．已知x，y满足，则的取值范围是 D．已知x，y满足，则的最大值为0 题型08 求圆的标准方程与一般方程 【典例1】杭州有很多圆拱的悬索拱桥，经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP相距30米的支柱MN的高度约是______米．（注：） 【变式1】曲线的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）已知圆及点，则下列说法中正确的是（    ） A．圆心的坐标为 B．点在圆外 C．若点在圆上，则直线PQ的斜率为 D．若是圆上任一点，则｜MQ｜的取值范围为 【变式3】已知圆C过点，圆心在轴上，且圆心在直线上，则圆的标准方程为______；设点，若圆上存在两点和，使得，则实数的取值范围为______． 题型09 与圆有关的轨迹问题 【典例1】已知圆是圆上一动点，点为线段的中点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】当点P在圆上运动时，连接点P与定点，则线段的中点M的轨迹方程为________. 【变式2】已知正方形的边长为2，点在以为圆心，1为半径的圆上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】若圆与圆关于直线对称，且过点C（－a，a）的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 题型10 直线与圆的位置关系及应用 【典例1】（多选）已知圆C：和直线l：，则下列说法正确的是（   ） A．当时，直线l被圆截得的弦长为 B．当时，圆上到直线的距离为1的点有3个 C．存在实数，使得直线与圆相切 D．若直线与圆相交，则实数的取值范围为 【变式1】已知两直线，． (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，， ①判断直线与以A，B为直径的圆D的位置关系； ②动点P在直线运动，求的最小值． 【变式2】已知直线经过点，且与圆相交于两点，若，则直线的方程为______． 【变式3】已知平面内有两点和，且该平面内的点满足，若点的轨迹关于直线对称，则（    ） A．0 B．2 C．5 D．7 题型11 圆的弦长及中点弦问题 【典例1】（多选）已知圆与直线，下列选项正确的是（    ） A．直线过定点 B．直线与圆必相交 C．圆截轴所得弦长为 D．直线被圆截得的最短弦长为 【变式1】（多选）已知圆，下列说法正确的是（    ） A．圆心为 B．圆与轴、轴都相切 C．过点的直线被圆截得的最短弦长为 D．的最大值为 【变式2】（多选）已知圆O：，点是圆O上的点，直线l：，则（    ） A．圆O上恰有3个点到直线l的距离等于1 B．直线l与圆O相交弦长 C．过点P的圆O的切线方程是 D．过点P向圆M：引切线，A为切点．则最小值为 【变式3】直线被圆截得的弦长为（   ） A． B． C． D． 题型12 圆的切线方程及切线长问题 【典例1】（多选）已知圆，直线过点，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆上 B．若直线过原点，则圆截直线所得弦长为 C．若与圆相切，则的方程为 D．若与圆相交于A，B两点，且为直角三角形，则的方程为 【变式1】已知圆的圆心为，且经过点，过点作圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）已知圆，过点作圆的两条切线，，切点分别是，，则（   ） A． B．直线，的方程为和 C．四边形的面积为27 D． 【变式3】平面直角坐标系中，点，圆与轴正半轴交于点. (1)求过点且斜率为的直线被圆截得的弦长； (2)求过点与圆相切的直线方程； (3)过点的直线与圆交于不同的两点，判断直线QA，QB的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由. 题型13 圆与圆的位置关系 【典例1】圆：与圆的公切线条数是______． 【变式1】已知圆和圆，M，N分别是圆C，D上的动点，为直线上的动点，则的最小值是______． 【变式2】（多选）点在圆上，点在圆上，则（    ） A．两个圆的公切线有2条 B．的取值范围为 C．两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在对应圆上 D．到两个圆的公共弦所在直线的距离为 【变式3】已知圆：的面积被直线平分，圆：，则圆与圆的位置关系是（ ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 题型14 两圆的公共弦问题 【典例1】已知圆，圆交于两点，在第二象限． (1)求以为直径的圆的方程； (2)若过点的直线（斜率存在）交圆于点，交圆于点，且，求直线CD的方程． 【变式1】若圆，圆的两交点分别为A，B，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知圆C的圆心在直线上，且经过点，． (1)求圆C的方程； (2)求圆C与圆M：的公共弦长． 【变式3】已知圆，圆． (1)证明两圆相交，并求两圆公共弦长； (2)已知过点的直线l与圆交于A，B两点，且，求直线l的斜率． 题型15 两圆的公切线问题 【典例1】（多选）已知点，圆，则（    ） A．点在直线上 B．点可能在圆上 C．圆上至少有2个点与点的距离为1 D．过点作圆的切线，则切点弦过点 【变式1】已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 【变式2】已知圆与圆 (1)若圆与圆有两个不同的交点，求的取值范围; (2)若，且圆与圆有两个不同的交点求线段DE的长; (3)若r=1，求圆与圆的公切线方程. 【变式3】若直线是与的公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 题型16 与圆有关的最值问题 【典例1】已知点是圆上任意一点． (1)求点到直线的距离的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值． 【变式1】已知圆，圆，分别是圆的动点，为直线上的动点，则的最小值为（    ） A．6 B．10 C．13 D．16 【变式2】（多选）已知点，动点满足，则下面结论正确的为（    ） A．点的轨迹方程为 B．点到原点的距离的最大值为5 C．面积的最大值为4 D．的最大值为18 【变式3】（多选）已知点分别是直线和圆上的动点，则（    ） A．点到直线的最大距离为7 B．当直线被圆所截得的弦长最大时，的值为1 C．若直线与圆相切，则的值为 D．若直线与被圆截得的弦长为，则的值为 1．（多选）已知，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点与不重合），则以下说法正确的是（　　） A． B．为定值 C．的最大值为 D．的最大值为 2．已知直线，，其中为实数． (1)当时，求的值； (2)当时，求过直线的交点，且垂直于直线的直线方程． 3．已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 4．已知点，直线的方程为，若直线以为法向量，且点在直线上，则______． 5．（多选）已知直线，则下列结论正确的是（　　） A．直线可能与轴垂直 B．当时，直线的倾斜角为 C．当时，直线与直线平行 D．当时，直线与直线垂直 6．我国后汉时期的数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，这种利用面积出入相补证明勾股定理的方法巧妙又简便．对于勾股定理，我国历史上有多位数学家创造了不同的面积证法，如三国时期的刘徽、清代的华蘅芳等．下图1为一种证明勾股定理时构造的图形（由一个直角三角形和三个正方形构成），若图中，，，现以点C为原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，建立平面直角坐标系，如图2所示，以AB的中点D为圆心作圆D，使得图中三个正方形的所有顶点恰有2个顶点在圆D外部，则圆D的一个标准方程为______．（写出一个即可）    7．已知正方形ABCD中心的坐标为，若直线AB的方程为，写出一条与AB边垂直的边所在的直线方程：______． 8．如图，已知直线过点，且与直线垂直，与轴、轴的正半轴分别交于两点，点为线段上一动点，且，交于点． (1)求线段的垂直平分线方程； (2)若的面积与四边形的面积满足，请你确定点在上的位置，并求出线段的长； (3)判断在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．已知直线与圆交于不同的两点，是坐标原点，且有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．已知两条平行直线与间的距离为4，则C的值为（    ） A． B． C． D．或 11．若动点，分别在直线与上移动，则的中点到原点的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 12．已知圆C过点，圆心在y轴上，且______． 在①圆心C在直线上；②圆C的半径为2；③圆C过点这三个条件中任选一个，补充在问题中的横线上，并解答下列问题． (1)求圆C的标准方程； (2)设点，满足存在圆C上的两点P和Q，使得，求实数t的取值范围． 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 13．已知，，． (1)若点在轴上，且满足，求直线的方程； (2)若点在轴上，且，求直线的倾斜角． 14．若直线与直线的交点位于第一象限，则实数的取值范围是______． 15．在中，，边BC的中点在轴上，点在轴上，且． (1)求AD的长； (2)求角的平分线与直线的交点坐标． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $