13.3.1 三角形的内角 教案 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦三角形内角和定理及直角三角形性质与判定，通过大小三角形“内角和谁大”的拟人对话设疑导入，衔接小学认知，以剪拼内角成平角实验为支架，引导学生从直观验证过渡到作辅助线严谨证明，构建完整知识脉络。 此设计突出实验探究与逻辑推理结合，拼图操作培养几何直观，多种辅助线证法发展推理能力，例题融入方位角等实际情境体现数学眼光，助力学生养成推理习惯与应用意识，为教师提供从具象到抽象的分层教学支持，提升课堂效率。

13.3.1　三角形的内角　教学设计 课题 第十三章　三角形·13.3 三角形的内角与外角 学科 数学 年级 八年级 教材版本 人教版（2024） 课时 13.3.1 三角形的内角 课型 新授课 教学目标 1. 掌握三角形的内角和定理，能熟练地应用三角形内角和定理解决问题； 2. 探索并掌握直角三角形的两个锐角互余； 3. 掌握有两个角互余的三角形是直角三角形； 4. 在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展合情推理能力，逐步养成数学推理习惯。 教学重点 三角形的内角和定理及其运用；直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形。 教学难点 探索并证明三角形内角和定理；会用“两锐角互余的三角形是直角三角形”这一判定方法判定直角三角形。 教学方法 讲授法、探究法、动手操作、合作学习 教学准备 多媒体课件、三角形纸片、剪刀、量角器 课后练习 教科书第13页第1,2题 板书设计 见板书设计部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、创设情境 导入新课 1. 情境对话 教师出示问题：大的三角形对小的三角形说：“我比你大，所以我的内角和肯定比你大。”小三角形不服气地说：“不对不对，我的内角和和你的一样大！” 教师：大的三角形与小的三角形谁说得对呢？通过这一节课的学习我们就能解决这个问题。 观看大、小三角形“谁的内角和大”的对话，提出猜想并带着问题进入探究。 以拟人化的大小三角形对话设疑，激发认知冲突和学习兴趣，自然引出“三角形内角和”课题。 二、探究归纳 活动一 拼图实验 活动一：用拼图实验验证内角和 我们小学已学过，任意一个三角形的内角和都等于 180°，怎么说明这个结论的正确性呢？让学生在纸上画一个三角形，将它的内角剪下，试着拼拼看。 【问题】把一个三角形的两个角剪下，拼在第三个角的顶点处，用量角器量出 ∠BCD 的度数，可得到∠A+∠B+∠ACB=180°。想一想，还可以怎样拼？ ①剪下 ∠A，按图 2 拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=180°； ②把 ∠B 和 ∠C 剪下按图 3 拼在一起，可得到∠BAC+∠B+∠C=180°。 点拨：由拼图的方法可得三角形的内角和等于 180°。由刚才拼合而成的图形，试谈谈你是如何说明三角形的内角和等于 180°的。 动手剪下三角形内角并按三种方式拼合，用量角器验证三个角拼成平角，体会“拼成一个平角”说明内角和为180°。 通过剪拼操作把“三个内角拼成平角”直观呈现，让学生从实验角度初步确认内角和定理，为逻辑证明作铺垫。 二、探究归纳 活动二 定理证明 活动二：证明三角形的内角和等于180° 如图（方法一）：已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°。 证明：延长 BC 到 D，过点 C 作 CE∥AB。 ∵CE∥AB（已知），∴∠2=∠B（两直线平行，同位角相等），∠1=∠A（两直线平行，内错角相等）。 又∵（平角定义），∴ （等量代换）。 总结：三角形内角和定理——三角形的内角和等于 180°。 由图 2、图 3 你又能想到什么证明方法？请说说证明过程。 方法二： 过点 A 作 EF∥BC，则 ∠B=∠2、∠C=∠1（两直线平行，内错角相等）。∵∠2+∠1+∠BAC=180°，∴∠B+∠C+∠BAC=180°。 方法三： 过点 A 作 AE∥BC，则 ∠B=∠BAE（内错角）、∠EAB+∠BAC+∠C=180°（同旁内角互补），∴∠B+∠C+∠BAC=180°。 点拨：在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫作辅助线。在平面几何里，辅助线通常画成虚线。为了证明三个角的和为 180°，转化为一个平角或同旁内角互补，这种转化思想是数学中的常用方法。 思考如何把三个内角“搬”到一起，学习作辅助线（延长边、过顶点作平行线），按方法一规范书写证明，并尝试说出方法二、方法三的思路。 把拼图实验提升为严格的几何证明，示范作辅助线并利用平行线性质把三内角转化为平角或同旁内角，渗透转化思想。 二、探究归纳 活动三 直角三角形性质 活动三：探索直角三角形的性质 【问题】在△ABC 中，若 ∠C=90°，你能求出 ∠A、∠B 的度数吗？为什么？你能求出 ∠A+∠B 的度数吗？利用上面的结果，你能得出什么结论？ 答案：在 Rt△ABC 中，∵（三角形内角和定理），而 ，∴ 。 所以直角三角形的两个锐角互余。 总结：直角三角形的两个锐角互余。几何推理格式：在 Rt△ABC 中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°。 应用：（1）Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=28°，则 ∠A=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（2）Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=36°，则 ∠B=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 答案：（1）62°；（2）54°（两锐角互余）。 在直角三角形中由内角和定理计算两个锐角及两锐角之和，归纳“两锐角互余”，并完成两题求未知锐角的练习。 由内角和定理在直角三角形中的特殊化自然得出“两锐角互余”，建立推理格式并用其求未知角，渗透从一般到特殊。 二、探究归纳 活动四 直角三角形判定 活动四：探索直角三角形的判定定理 【问题】我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形两锐角互余。反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？请你说说理由。 理由：在△ABC 中，（三角形内角和定理），∵（已知），∴，所以△ABC 是直角三角形（直角三角形定义）。 总结：直角三角形判定定理——有两个角互余的三角形是直角三角形。 思考“有两角互余的三角形是直角三角形”是否成立，并用内角和定理说明理由，归纳判定定理。 通过与性质互逆的设问引导学生自主发现判定定理，体会“性质与判定互为逆命题”的关系，并认识判定的广泛应用。 二、探究归纳 活动五 应用举例 活动五：应用举例 【例1】已知△ABC 中，∠ABC=∠C=2∠A，BD 是 AC 边上的高，求 ∠DBC 的度数。 分析：根据三角形内角和定理与 ∠C=∠ABC=2∠A 列方程求出三个内角，再在△BCD 中由内角和定理求 ∠DBC。 解：设 ，则 ，所以 （三角形内角和定理），解得 ，故 。 在△BDC 中，∵（三角形高的定义），∴ 。 点拨：利用三角形内角和定理，借助方程求三角形内角的度数是一种重要方法。 【例2】如图，C 岛在 A 岛的北偏东 50° 方向，B 岛在 A 岛的北偏东 80° 方向，C 岛在 B 岛的北偏西 40° 方向。从 B 岛看 A、C 两岛的视角 ∠ABC 是多少度？从 C 岛看 A、B 两岛的视角 ∠ACB 是多少度呢？ 分析：把实际方向问题转化为方向线构图，利用“AD∥BE”及同旁内角、内角和求角。 解：；∵ AD∥BE，∴ ， ∴ ，；。 答：从 B 岛看 A、C 两岛的视角 ；从 C 岛看 A、B 两岛的视角 。 学生思考别的解法，教师订正： 如图，过点 C 作 CF∥AD。则 ∠ACF=∠DAC=50°（两直线平行，内错角相等）；又因为 AD∥BE，所以 CF∥BE，得 ∠BCF=∠CBE=40°，所以 ∠ACB=∠ACF+∠BCF=50°+40°=90°。 又因为 ∠BAC=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°，所以 ∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC=180°-90°-30°=60°。 【例3】如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点 D，∠ACD 与 ∠B 有什么关系？为什么？ 分析：根据同角的余角相等解答。 解：相等。∵，，所以 ，，所以 。 变式3：如图，若 ∠C=90°，∠AED=∠B，△ADE 是直角三角形吗？为什么？ 答案：是。有两个角互余的三角形是直角三角形。 【例4】如图所示，AB∥CD，直线 EF 分别交 AB、CD 于点 E、F，∠BEF 的平分线与 ∠DFE 的平分线相交于点 P，求证：△EPF 是直角三角形。 分析：由 AB∥CD 知 ∠BEF 与 ∠DFE 互补，由角平分线性质得 ∠PEF+∠PFE=90°，再由内角和定理得 ∠P=90°。 证明：∵ AB∥CD，所以 。∵ EP、FP 分别平分 ∠BEF、∠DFE，所以 ，。 所以 ，故 ，所以△EPF 是直角三角形。 点拨：要判定一个三角形是直角三角形，只需证得一个角是直角即可。 【例5】如图，∠C=∠D=90°，AD、BC 相交于点 E，∠CAE 与 ∠DBE 有什么关系？为什么？ 分析：∠CAE 与 ∠DBE 不在同一三角形中，它们分别是两个不同直角三角形中的锐角，只要找另外两个锐角的关系即可。 解：在 Rt△AEC 中，∵，所以 ；在 Rt△BDE 中，∵，所以 。 ∵（对顶角相等），所以 （等角的余角相等）。 逐例思考：例1列方程求内角；例2把方位角转化为三角形内角借助平行线性质求角；例3、例5找同角（等角）余角；例4由角平分线与内角和判定直角三角形，并规范书写推理过程。 通过五个由生活到图形的例题，综合运用内角和定理与直角三角形性质/判定，体现方程、转化、建模等思想，突破应用难点。 三、交流反思 课堂小结 1. 通过这节课的学习，掌握探索的步骤：观察——归纳——猜想——证明。 2. 通过本节课探索得到三角形的内角和定理：三角形的内角和等于 180°（证明时常作平行线或延长边转化平角、同旁内角互补）。 3. 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。 4. 直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。 方法：求三角形内角常用方程（设未知角并列内角和方程）和“同角（等角）的余角相等”。 回顾观察—归纳—猜想—证明的探索步骤，复述内角和定理、直角三角形两锐角互余及互余判定，交流求内角与证直角的方法。 系统梳理本节定理、性质、判定及求角方法，沟通内角和定理与直角三角形性质的从属关系，形成完整认知结构。 四、检测反馈 1. 在△ABC 中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则 ∠B=（　　） A. 30°　　B. 60°　　C. 90°　　D. 120° 答案：B（设三内角为 x、2x、3x，则 6x=180°，x=30°，∠B=60°。） 2. 在△ABC 中，∠A=50°，∠B=80°，则 ∠C=（　　） A. 40°　　B. 50°　　C. 10°　　D. 110° 答案：B（∠C=180°-50°-80°=50°。） 3. 在△ABC 中，∠A=80°，∠B=∠C，则 ∠B=（　　） A. 50°　　B. 40°　　C. 10°　　D. 45° 答案：A（2∠B=180°-80°=100°，∠B=50°。） 4. 如图，AB∥DE，∠ACB=90°，若 ∠BCE=35°，则 ∠A 的度数为（　　） A. 35°　　B. 45°　　C. 55°　　D. 65° 答案：C（∵ AB∥DE，所以 ；∵ ，所以 。） 5. 如图，∠A=35°，∠B=∠C=90°，则 ∠D 的度数是（　　） A. 35°　　B. 45°　　C. 55°　　D. 65° 答案：A（∠A+∠B=90°→在Rt中，∠D 与 ∠A 相等，∠D=35°。） 6. 在△ABC 中，∠A=90°，∠B=3∠C，求 ∠B、∠C 的度数。 答案：∠B+∠C=90°，又 ，所以 ，，。 7. 如图，在直角△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，∠BCD=35°，求 ∠A 与 ∠EBC 的度数。 答案：（同角的余角相等）；。 8. 如图，在△ABC 中，∠B、∠C 的平分线交于点 O，若 ∠BOC=132°，求 ∠A 的度数。 答案：90°+，由 ，得 。 9. 如图，在△ABC 中，CD 平分 ∠ACB，DE∥BC，∠A=70°，∠ADE=50°，求 ∠BDC 的度数。 答案：∠B=∠ADE=50°（DE∥BC），∠C=180°-70°-50°=60°，∠DCB=30°，∠BDC=180°-50°-30°=100°。 10. 如图：已知在△ABC 中，EF 与 AC 交于点 G，与 BC 的延长线交于点 F，∠B=45°，∠F=30°，∠CGF=70°，求 ∠A 的度数。 答案：在△CGF 中，∠C=180°-70°-30°=80°，故 ，。 独立完成求角选择与内角和/互余的解答题，重点交流检测7同角余角求 ∠A、检测8“角平分线夹角”公式、检测9、10借助平行线与外角综合求角。 通过选择和解答综合题，即时检验内角和定理、直角三角形性质与判定的应用，突出同角余角、方程与由角平分线/平行线求角等易错点。 五、布置作业 必做： 教科书第13页第1、2题。 记录作业内容。 通过课后练习巩固内角和定理与直角三角形性质、判定的应用，检验当堂学习效果。 板书设计 13.3.1　三角形的内角 一、三角形内角和定理 三角形的内角和等于180° 证明的关键：作辅助线（平行线、延长边） 二、直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余 三、直角三角形的判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 例题板演　例1～例5 学生板演区 教学反思 三角形内角和是在学生认识了三角形的特点和分类的基础上，进一步对三角形内角之间关系的学习和探究。学生已经掌握了三角形的概念、分类，熟悉了钝角、锐角、平角等角的知识。对于三角形的内角和是多少度，学生并不陌生，但往往只知道结论而不知道结论是怎样得出的。因此本节课把研究重点放在验证“三角形的内角和是180°”上。 本节课主要让学生在小组中合作探索，可采用量一量、剪一剪、折一折等方法，选择一种或几种来验证三角形的内角和是180°，并运用所得的结论解决实际问题。让学生进行实验、动手操作、自主探索，使学生主动积极地参与到数学活动当中。直角三角形的性质是三角形内角和定理的延伸，也是以后学习“解直角三角形”的基础；直角三角形的判定是平面几何中证明垂直问题的一个常用工具。两个命题的探究形式体现了由几何实验到几何论证的研究过程，采取了创设情境、提出问题、动手操作、实验观察、得出结论、综合应用这样的过程。 学科网（北京）股份有限公司 $