23.6 用样本推断总体 课时作业 2026-2027学年冀教版数学 九年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础概念到综合应用再到拓展探究，梯度递进，强化用样本推断总体的核心能力，培养数据观念与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|单一知识点（概念辨析、调查方式选择、基础计算）|选择填空考总体样本等概念，解答题练平均数估计，夯实抽象能力| |B组|综合应用（抽样合理性、平均数方差估计）|解答题评价抽样偏差，计算题用样本估计总体，发展推理意识| |C组|跨情境探究（品种对比、决策分析）|综合题分析玉米品种产量与稳定性，融合数据观念与应用意识|

23.6 用样本推断总体 冀教版九年级上册 第二十三章 数据分析与统计估计 课时作业 一、学习目标 1．理解总体、个体、样本、样本容量的意义，会指出具体问题中的总体与样本； 2．了解全面调查（普查）与抽样调查的特点，能根据实际选择合适的调查方式； 3．理解抽样的随机性与样本的代表性，知道样本容量对推断结果的影响； 4．会用样本的平均数、方差、百分比去估计总体的相应特征，解决实际问题。 二、知识清单 知识点 1 几个基本概念 总体：所要考察的对象的全体； 个体：组成总体的每一个考察对象； 样本：从总体中抽取的一部分个体； 样本容量：样本中个体的数目（样本容量不带单位）。 【举例】为了解全校 名学生的视力，抽取 名学生进行检测： 总体是 名学生的视力情况；个体是每一名学生的视力情况；样本是抽取的 名学生的视力情况；样本容量是 。 【强调】总体、个体、样本指的都是数据（考察的指标），而不是"人"或"物"本身。 图 23.6-1 用样本推断总体的基本思路 知识点 2 两种调查方式 调查方式 含 义 优 点 缺 点 适用情形 全面调查（普查） 对总体中每一个个体都进行调查 结果准确、全面 费时、费力、成本高 总体个数少；结果要求精确 抽样调查 只抽取一部分个体进行调查，再推断总体 省时、省力、经济 结果是估计值，有误差 总体个数多；调查具有破坏性 【特别提醒】凡是具有破坏性的调查（如灯泡寿命、炮弹射程、食品保质期检测），只能采用抽样调查。 知识点 3 样本的代表性 用样本推断总体是否可靠，关键取决于样本是否具有代表性。为此要注意： ① 随机性：总体中每个个体被抽到的机会均等，常用抽签法、随机数法等； ② 广泛性：样本应覆盖总体的各个部分，不能只集中在某一类个体上； ③ 足够的样本容量：样本容量太小，偶然性大，误差大；样本容量越大，估计一般越可靠，但成本也越高。 【常见的不合理抽样】只在校门口调查、只调查某一个班、只在网上调查、只问自己的朋友等，都会使样本缺乏代表性。 知识点 4 用样本估计总体的三个常用结论 设样本容量为 ，总体中个体总数为 ， ① 用样本的平均数估计总体的平均数：； ② 用样本的方差估计总体的方差：； ③ 用样本中某类个体所占的百分比估计总体中该类个体所占的百分比，从而 【总量估计】总体的总量 。 易错警示 ① 描述总体时要说清楚考察的是什么指标，如" 名学生的视力情况"，不能只说" 名学生"； ② 样本容量只是一个数，不带单位； ③ 用样本推断总体得到的是估计值，答案中应写"约""估计"等字样； ④ 抽样必须随机，否则再大的样本也可能得出错误结论。 三、典例精析 例 1 辨析总体、个体、样本与样本容量 为了解某市 名初中生的体重情况，从中随机抽取 名学生测量体重。指出本问题中的总体、个体、样本和样本容量。 【解】总体：该市 名初中生的体重情况； 个体：每一名初中生的体重情况； 样本：抽取的 名初中生的体重情况； 样本容量：。 【点拨】"总体"后面必须跟上考察的指标（体重情况），否则表述不完整。 例 2 选择调查方式 下列调查中，哪些适合全面调查？哪些适合抽样调查？为什么？ （1）了解一批灯泡的使用寿命； （2）了解本班同学的视力情况； （3）了解某市空气质量； （4）选拔参加奥运会的运动员； （5）了解全国中学生的睡眠时间。 【解】（1）抽样调查。测试寿命具有破坏性，全查会把整批灯泡毁掉。 （2）全面调查。本班人数少，容易逐一检测，且需要每位同学的准确结果。 （3）抽样调查。空气是连续变化的，无法全面测量每一处、每一刻。 （4）全面调查。选拔关系到每位候选人，必须逐一测试，结果要求准确。 （5）抽样调查。全国中学生人数极多，普查费时费力、成本过高。 例 3 用样本的平均数、方差估计总体 图 23.6-2 样本中 100 名学生课外阅读时间 为了解某校 名学生每天课外阅读的时间，随机抽取 名学生进行调查，结果如图 23.6-2。 （1）指出本问题中的样本容量； （2）利用组中值估计样本的平均阅读时间； （3）估计该校学生每天课外阅读的平均时间和总时间； （4）估计该校每天课外阅读时间不少于 小时的学生人数。 【解】（1）样本容量为 。 （2）各组组中值依次为 ，对应人数为 ， （3）用样本平均数估计总体平均数：该校学生每天课外阅读平均约 小时； 总时间约为 （4）样本中不少于 小时的有 （人），所占比例为 估计该校此类学生约有 例 4 评价抽样的合理性 小明想了解全校学生对学校午餐的满意度，他在午餐时间站在食堂门口调查了 名正在就餐的学生，结果 的人表示满意，于是他得出"全校 的学生对午餐满意"的结论。你认为这个结论可靠吗？请说明理由并提出改进建议。 【解】不可靠。 理由：小明只在食堂门口调查正在就餐的学生，而那些因为不满意午餐而选择自带饭菜、回家吃饭或到校外就餐的学生完全没有被调查到。这样的样本只包含"愿意在食堂就餐"的群体，缺乏代表性，抽样不具有随机性，因而所得的满意度会明显偏高。 改进建议： ① 用抽签或随机数的方法，从全校学生名册中随机抽取样本； ② 使样本覆盖各年级、各班级、男女生等各类学生（可采用分层抽取）； ③ 适当增大样本容量，例如抽取 名学生，使估计更可靠。 四、课时作业 A 组 基础达标 （一）选择题（每小题 4 分，共 24 分） 1．为了解某校 名学生的身高，从中抽取 名学生进行测量，这个问题中的样本容量是（ ） A． B． C． 名学生 D． 名学生的身高 2．下列调查中，最适合采用全面调查的是（ ） A．了解一批炮弹的射程 B．了解某市中学生的视力 C．了解本班同学的生日 D．了解全国青少年的上网时间 3．下列抽样方法中，最合理的是（ ） A．在学校图书馆调查学生的课外阅读时间 B．只调查九年级（1）班的同学 C．从全校学生名册中用随机数方法抽取若干名 D．只调查在校门口遇到的男同学 4．某厂检验一批产品的合格率，从 件产品中随机抽取 件，发现有 件次品，估计这批产品的次品数约为（ ） A． 件 B． 件 C． 件 D． 件 5．下列说法正确的是（ ） A．样本容量越大，估计结果一定越准确 B．只要样本容量足够大，抽样方式就无关紧要 C．抽样调查得到的结果是估计值，可能与实际有误差 D．总体就是被调查的所有人 6．为估计一个鱼塘中鱼的数量，先捞出 条做上标记后放回，几天后再捞出 条，发现其中有 条带标记，则估计鱼塘中约有鱼（ ） A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 （二）填空题（每小题 4 分，共 24 分） 7．为了解某市 名初中生的睡眠时间，抽取了 名学生进行调查，则总体是 ，样本容量是 。 8．检测一批饮料是否符合卫生标准，应采用 调查。 9．某样本中 类个体占 ，若总体有 个个体，则估计总体中 类个体约有 个。 10．若样本的平均数为 ，则估计总体的平均数约为 。 11．抽样调查中，样本要具有 性，才能较好地反映总体的情况。 12．某养鸡场有 只鸡，随机抽取 只称重，平均每只重 kg，估计这批鸡的总质量约为 kg。 （三）解答题（共 32 分） 13．（8 分）指出下列问题中的总体、个体、样本和样本容量： （1）为了解某品牌电池的使用寿命，从 节中抽取 节进行测试； （2）为了解某县 名初中生的体育成绩，抽取了 名学生的成绩进行统计。 14．（10 分）某中学为了解九年级学生每周做家务的时间，随机抽取了 名学生，统计结果如下表： 时间 / 小时 0.5 1 1.5 2 2.5 3 人数 6 10 14 11 6 3 （1）求样本的平均数、中位数和众数； （2）若该校九年级共有 名学生，估计九年级学生每周做家务的总时间； （3）估计该校九年级每周做家务时间不少于 小时的学生人数。 15．（14 分）某市为了解九年级学生的体育测试成绩（满分 分），随机抽取了 名学生的成绩进行统计，结果如下表： 成绩分组 组中值 24 32 40 47 人数 16 54 92 38 （1）用组中值估计样本的平均成绩； （2）若该市九年级共有 名学生，估计该市九年级学生体育测试的平均成绩； （3）成绩不低于 分为优良，估计全市优良的学生人数； （4）若把样本容量由 增加到 ，估计结果会有什么变化？为什么？ B 组 能力提升 16．（5 分）下列调查中，样本最具有代表性的是（ ） A．调查某校学生的近视率时，只调查戴眼镜的同学 B．调查某市家庭的收入时，只调查市中心的居民 C．调查某校学生的体育成绩时，按学号每隔 号抽取 名 D．调查某校学生的体重时，只调查篮球队队员 17．（5 分）为估计某林区树木的总材积量，随机测量了 棵树，平均每棵材积 m³。若该林区共有树木约 棵，则总材积量约为（ ） A． m³ B． m³ C． m³ D． m³ 18．（5 分）为估计一个池塘中鲫鱼的数量，先捞出 条鲫鱼做标记后放回，一周后再捞出 条，其中有 条带标记，则估计该池塘中鲫鱼约有 条。 19．（5 分）某校随机调查了 名学生的课外阅读情况，其中喜欢科普类的有 人。若全校有 名学生，估计全校喜欢科普类的学生约有 名。 20．（12 分）某公司生产一批新型节能灯，为了解其使用寿命，随机抽取 只进行测试，测得使用寿命（单位：千小时）如下： （1）本问题能否采用全面调查？为什么？ （2）求样本的平均数、中位数、众数和方差； （3）估计这批灯的平均使用寿命； （4）若该公司承诺"使用寿命低于 千小时可免费更换"，估计每生产 只灯，需要准备多少只用于更换？ 21．（12 分）甲、乙两个课题组同时调查本校学生对"每周开展一次劳动课"的支持率。甲组在学校劳动实践基地随机询问了 名正在劳动的同学，支持率为 ；乙组从全校学生名册中随机抽取 名同学发放问卷，支持率为 。 （1）指出两个课题组调查中的总体、样本和样本容量； （2）两组结果相差较大，你认为哪一组的结论更可靠？为什么？ （3）若全校有 名学生，请用你认为更可靠的数据估计支持的学生人数； （4）请为这类调查提出两条改进建议。 C 组 拓展探究 22．（16 分）某农场引进甲、乙两个玉米新品种进行对比试验。在土壤、水肥等条件相同的若干块试验田中，各随机抽取 块统计亩产量（单位：kg）： 甲： 乙： （1）指出本试验中的总体、样本与样本容量； （2）分别求两个样本的平均数与方差； （3）用样本估计总体，分别估计两个品种的平均亩产量与稳定性； （4）若农场有 亩地，分别估计种植两个品种的总产量； （5）如果你是农场负责人，你会选择哪个品种？请从产量水平、稳定性和风险三个角度说明理由。 五、参考答案与解析 A 组 1．B 【解析】样本容量是样本中个体的数目，为 ，且不带单位。故选 B。 2．C 【解析】A 具有破坏性，B、D 总体数量庞大，都宜用抽样调查；本班同学人数少，适合全面调查。故选 C。 3．C 【解析】A 中在图书馆调查会偏向爱读书的学生；B 只调查一个班，覆盖面太窄；D 只调查男生且不随机。只有 C 从全校名册中随机抽取，保证了随机性和广泛性。故选 C。 4．C 【解析】样本次品率为 ，估计次品数为 故选 C。 5．C 【解析】A 错：样本容量大只是一般更可靠，若抽样不随机，再大也可能有偏差；B 错：抽样方式至关重要；D 错：总体指的是考察对象的某项指标的全体，而不只是"人"。故选 C。 6．C 【解析】设鱼塘中共有鱼 条。带标记的鱼在总体中所占比例约等于在第二次捕捞样本中所占比例： 交叉相乘得 ，所以 。故选 C。 7．该市 名初中生的睡眠时间（情况）； 8．抽样 【解析】卫生标准检测会破坏饮料，只能抽样。 9． 【解析】（个）。 10． 【解析】用样本平均数估计总体平均数。 11．代表 12． 【解析】（kg）。 13． （1）总体：这 节电池的使用寿命；个体：每一节电池的使用寿命；样本：抽取的 节电池的使用寿命；样本容量：。 （2）总体：该县 名初中生的体育成绩；个体：每一名初中生的体育成绩；样本：抽取的 名学生的体育成绩；样本容量：。 14． （1）平均数（以人数为权）： 中位数：共 个数据，取第 、 个。累计人数 ，第 、 个都落在 小时一档，故中位数为 小时。 众数： 小时有 人最多，故众数为 小时。 （2）用样本平均数估计总体平均数，总时间约为 （3）样本中不少于 小时的有 （人），比例为 ， 估计人数约为 （名）。 15． （1）用组中值计算样本平均数： （2）用样本平均数估计总体平均数，该市九年级学生体育测试平均成绩约为 分（约 分）。 （3）样本中优良（不低于 分）的人数为 （人），比例为 估计全市优良人数约为 （名）。 （4）一般来说估计结果会更可靠、误差更小。因为样本容量增大后，抽样带来的偶然性减小，样本的平均数、比例更接近总体的真实值。 但要注意：样本容量增大的前提是抽样仍然保持随机性；同时调查成本会明显增加，实际中需要在精度与成本之间权衡。 B 组 16．C 【解析】A、B、D 都只调查了总体中某一特殊部分，缺乏代表性；C 按学号等间隔抽取，覆盖全校各班，具有较好的随机性与代表性。故选 C。 17．B 【解析】总材积量约为 （m³）。故选 B。 18． 【解析】设池塘中共有鲫鱼 条，则 得 ，所以 （条）。 19． 【解析】样本中比例为 ，估计人数为 （名）。 20． （1）不能采用全面调查。测试使用寿命必须让灯一直工作到损坏，具有破坏性，若全部检测，这批灯就全毁了，无法销售。所以只能抽样调查。 （2）平均数：各数减去 得 ，其和为 ， 所以 （千小时）。 排序得 ， 中位数为第 、 个数的平均数 （千小时）； 出现 次最多，众数为 （千小时）。 方差（对减去 后的数据计算，"加减不变"）： （3）用样本平均数估计总体平均数，这批灯的平均使用寿命约为 千小时。 （4）样本中寿命低于 千小时的有 与 共 只，比例为 ， 估计每生产 只需准备 用于更换。（说明：样本容量只有 ，这一估计的误差可能较大，实际生产中应增大样本容量。） 21． （1）两组的总体相同：全校学生对"每周开展一次劳动课"的支持情况。 甲组的样本是那 名正在劳动的同学的支持情况，样本容量为 ； 乙组的样本是随机抽取的 名同学的支持情况，样本容量为 。 （2）乙组的结论更可靠。 ① 甲组在劳动实践基地调查"正在劳动"的同学，这些同学本身就对劳动有较高兴趣，样本明显偏向支持者，缺乏代表性； ② 乙组从全校名册中随机抽取，每位同学被抽到的机会均等，样本更具代表性； ③ 乙组样本容量 大于甲组的 ，偶然性更小。 （3）用乙组数据估计： 即估计全校约有 名学生支持。 （4）建议：① 抽样时必须从全体学生名册中随机抽取，避免在特定场所、特定人群中调查；② 样本应覆盖各年级、各班级、男女生，必要时按年级人数比例分层抽取；③ 适当增大样本容量；④ 问卷设计应中立，避免诱导性语言。（写出两条即可） C 组 22． （1）总体：甲（乙）品种玉米在该农场所有试验田上的亩产量； 样本：各抽取的 块试验田的亩产量；样本容量：。 （2）甲：各数减去 得 ，和为 ， 乙：各数减去 得 ，和为 ， 方差：用各数据减去平均数 计算。 甲的偏差为 ， 乙的偏差为 ， （3）用样本估计总体：两个品种的平均亩产量都约为 kg； 甲品种亩产量的方差约为 ，乙品种约为 ，，说明甲品种的产量更稳定，乙品种波动大。 （4）种植 亩的总产量估计： 两个品种的估计总产量相同，都约为 kg（即 吨）。 （5）应选甲品种。理由： ① 产量水平：两品种的平均亩产量相同，都是 kg，在产量高低上没有差别； ② 稳定性：甲的方差 远小于乙的 ，甲各块田的产量集中在 kg 之间，乙则从 到 kg 波动，甲明显更稳定； ③ 风险：乙品种虽然出现过 kg 的高产，但也出现过 kg 的低产。农业生产还会受天气、病虫害等影响，产量波动大意味着歉收风险大，不利于稳定收入和安排收购、储运。 综上，在平均产量相同的情况下，应选择更稳定的甲品种。（若农场有充足的抗风险能力并追求高产上限，也可小面积试种乙品种，答案需说明理由。） 六、学法小结 ① 描述总体、样本时，一定要带上考察的指标；样本容量是不带单位的数； ② 破坏性调查、总体庞大 → 抽样调查；总体小且要求精确 → 全面调查； ③ 抽样三要素：随机、广泛、容量足够；判断某种抽样是否合理，就看它是否偏向了总体中的某一部分； ④ 估计三板斧：用样本平均数估总体平均数，用样本方差估总体波动，用样本百分比估总体数量。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $