23.3 四分位数与箱线图 课时作业 2026-2027学年冀教版数学 九年级上册

**基本信息** 该同步练习通过A、B、C三级分层设计，以“概念理解—能力提升—拓展探究”为主线，系统巩固四分位数、四分位距及箱线图知识，培养数据分析观念与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|四分位数计算、箱线图基础|选择填空巩固概念，解答题训练五数概括与绘图，适配课时目标1-3| |B组|四分位距应用、数据比较|变式题深化奇数/偶数数据处理，综合题分析两组数据稳定性，提升推理能力| |C组|实际情境数据分析|结合空气质量、产量等真实数据，探究异常值判断与规律总结，发展数据观念|

23.3 四分位数与箱线图 冀教版九年级上册 第二十三章 数据分析与统计估计 课时作业 一、学习目标 1．理解四分位数的意义，掌握求第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数的方法； 2．理解四分位距的含义，会用四分位距描述数据的离散程度； 3．会由一组数据的"五数概括"画出箱线图，会从箱线图中读取信息； 4．能利用箱线图对两组数据进行比较与分析，发展数据分析观念。 二、知识清单 知识点 1 四分位数 把一组数据按从小到大的顺序排列后，用三个数把它分成四等份，这三个数依次叫做这组数据的第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数，分别记作 。 其中 就是这组数据的中位数。 【求法】设有 个数据，按从小到大排列： ① 先求中位数 ； ② 是左半部分（不含 ，当 为奇数时）数据的中位数； ③ 是右半部分数据的中位数。 【意义】约有 的数据小于 ，约有 的数据小于 ，约有 的数据小于 。 知识点 2 四分位距 第三四分位数与第一四分位数的差叫做这组数据的四分位距，记作 ，即 【意义】四分位距刻画了**中间 的数据**的离散程度。四分位距越小，中间一半数据越集中；越大则越分散。 【优点】四分位距不受两端极端值的影响，比极差更稳定。 知识点 3 五数概括与箱线图 一组数据的**最小值、、、、最大值这五个数称为该组数据的五数概括**。 用一个"箱子"和两条"须"把五数概括直观地表示出来的统计图叫做箱线图（也称箱形图、盒须图）。 【画法】 ① 画一条水平（或竖直）数轴，标出适当的刻度； ② 在 与 处画出矩形的两条边，构成"箱子"，箱子的长度就是四分位距； ③ 在 处画一条竖线，把箱子分成两部分； ④ 从箱子两端分别引出线段（"须"）到最小值和最大值。 图 23.3-1 箱线图的"五数概括" 知识点 4 从箱线图读信息 ① 箱子的位置反映数据的集中位置：箱子整体靠右，说明数据整体偏大； ② 箱子的长度（即 ）反映中间一半数据的离散程度：箱子越短越集中； ③ 中位线的位置反映数据的对称性：中位线居中则中间一半数据分布大致对称，偏左则数据偏向较小值一侧密集； ④ 须的长度反映两端数据的分散程度； ⑤ 两组数据的箱线图画在同一坐标下，可以直观比较水平高低与波动大小。 易错警示 ① 求四分位数必须先排序； ② 当数据个数 为奇数时，求 时不把中位数计算在内； ③ 箱线图中"箱子"内部包含的是中间约 的数据，**不是 的数值范围**； ④ 箱子长不代表数据个数多——每一段（须、半箱）都约含 的数据，只是它们占据的数值跨度不同。 三、典例精析 例 1 求四分位数（数据个数为偶数） 求下列 个数据的五数概括与四分位距： 【解】数据已按从小到大排列，共 个（偶数）。 最小值为 ，最大值为 。 中位数 为第 、 个数据的平均数： 左半部分为前 个数 ，其中位数为 右半部分为后 个数 ，其中位数为 所以五数概括为 ，四分位距为 例 2 求四分位数（数据个数为奇数） 求数据 的四分位数。 【解】共 个数据（奇数），已排好序。 中位数为第 个数，即 。 去掉中位数后，左半部分为 （ 个），其中位数为 右半部分为 （ 个），其中位数为 故 ，四分位距 。 【点拨】 为奇数时，中位数本身既不归入左半部分，也不归入右半部分。 例 3 画箱线图并比较两组数据 甲、乙两班各抽取 名同学的数学成绩（单位：分）如下： 甲班： 乙班： （1）分别求两班成绩的五数概括； （2）在同一数轴上画出两班成绩的箱线图； （3）比较两班成绩的特点。 【解】（1）甲班：最小值 ，最大值 。 五数概括为 ，。 乙班：最小值 ，最大值 。 五数概括为 ，。 （2）箱线图如图 23.3-2 所示。 图 23.3-2 甲、乙两班数学成绩箱线图 （3）① 两班的中位数都是 分，中等水平相当； ② 甲班的四分位距 略大于乙班的 ，中间一半同学的成绩两班都比较接近； ③ 甲班成绩范围为 （极差 ），乙班为 （极差 ），乙班两端更分散：既有更高的高分，也有更低的低分； ④ 综合看，甲班成绩更整齐稳定，乙班成绩两极分化更明显。 例 4 由箱线图作决策 图 23.3-3 两台机床日产废品数箱线图 某厂两台机床连续 天生产的废品数（单位：件）的箱线图如图 23.3-3。若要选一台机床承担精度要求高的订单，应选哪一台？说明理由。 【解】从箱线图可以看出： 甲机床的数据跨度约为 ，箱子较长，说明日废品数波动大； 乙机床的数据跨度约为 ，箱子很短，说明日废品数比较稳定。 虽然甲机床的最小值比乙机床小（有的日子废品更少），但它的最大值明显更大，稳定性差。 精度要求高的订单需要生产过程稳定，因此应选乙机床。 四、课时作业 A 组 基础达标 （一）选择题（每小题 4 分，共 24 分） 1．一组数据的第二四分位数 就是这组数据的（ ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．极差 2．数据 的第一四分位数是（ ） A． B． C． D． 3．若一组数据的 ，则它的四分位距是（ ） A． B． C． D． 4．在箱线图中，"箱子"的长度表示（ ） A．极差 B．四分位距 C．中位数 D．数据个数 5．关于箱线图，下列说法错误的是（ ） A．箱子内部大约包含了 的数据 B．箱子越短说明中间一半数据越集中 C．中位线越靠近箱子左端，说明较小的一半数据分布越密集 D．须越长说明该端的数据个数越多 6．两组数据的箱线图中，甲的箱子明显比乙的短，且两者中位线位置相同，则（ ） A．甲的中等水平更高 B．乙的中等水平更高 C．甲中间一半数据比乙更集中 D．甲的数据个数比乙少 （二）填空题（每小题 4 分，共 24 分） 7．数据 的 ， ， 。 8．一组数据的五数概括为 ，则它的极差是 ，四分位距是 。 9．数据 的第三四分位数是 。 10．某组数据共 个，则小于第一四分位数的数据大约有 个。 11．一组数据的 ，，则 。 12．在箱线图中，从箱子右端到最大值的那条"须"所对应的数据大约占全部数据的 。 （三）解答题（共 32 分） 13．（10 分）求下列各组数据的五数概括与四分位距： （1）； （2）。 14．（10 分）某小组 名同学一次跳远成绩（单位：cm）如下： （1）求这组数据的五数概括； （2）求四分位距； （3）画出这组数据的箱线图（在下方数轴上完成）。 15．（12 分）某电商平台统计了甲、乙两家店铺连续 天的日订单量（单位：单），五数概括如下表： 店铺 最小值 最大值 甲 30 45 58 70 96 乙 42 52 58 64 78 （1）分别求两家店铺日订单量的极差与四分位距； （2）哪家店铺的日订单量更稳定？说明理由； （3）若平台要选一家店铺参加"稳定供货"评选，你推荐哪一家？ B 组 能力提升 16．（5 分）一组数据共 个，从小到大排列后，第一四分位数是（ ） A．第 个数 B．第 、 个数的平均数 C．第 个数 D．第 、 个数的平均数 17．（5 分）已知一组数据的箱线图中，箱子左端到中位线的距离明显大于中位线到箱子右端的距离，则（ ） A．，较小的一半数据更分散 B．，较小的一半数据更集中 C．，较大的一半数据更分散 D．无法判断 18．（5 分）数据 的四分位距为 ，则数据 的四分位距为 。 19．（5 分）一组数据共 个，其五数概括为 ，则数据落在 内的大约有 个。 20．（12 分）某校对九年级 名学生的体育测试成绩（满分 分）进行统计，得到五数概括为： 最小值 ，，，，最大值 。 （1）估计成绩低于 分的学生人数； （2）估计成绩在 分到 分之间的学生人数； （3）从箱线图的形状看，该校学生体育成绩的分布有什么特点？ 21．（12 分）某农场对甲、乙两个品种的番茄各选 株统计单株产量（单位：kg），数据如下： 甲： 乙： （1）分别求两个品种单株产量的五数概括； （2）分别求四分位距，并比较两个品种的稳定性； （3）若追求高产，应选哪个品种？若追求产量稳定，又应选哪个品种？ C 组 拓展探究 22．（16 分）某城市统计了 年 月至 月每月的空气质量优良天数，数据如下（单位：天）： （1）求这组数据的五数概括与四分位距； （2）画出箱线图； （3）该市规定：若某月优良天数小于 或大于 ，则称该月为"异常月"。判断这 个月中有没有"异常月"，并说明理由； （4）结合数据分布特点，说说这一年该市空气质量的变化规律。 五、参考答案与解析 A 组 1．B 【解析】第二四分位数把数据分成个数相等的两部分，即中位数。故选 B。 2．B 【解析】共 个数据，。左半部分为 ，其中位数为 故选 B。 3．B 【解析】。故选 B。 4．B 【解析】箱子的两端分别是 与 ，其长度为 ，即四分位距。故选 B。 5．D 【解析】须的长度反映的是该端数据的数值跨度，而不是数据的个数。事实上每条须所对应的数据都约占 。故 D 错误，选 D。 6．C 【解析】箱子长度即四分位距，甲的箱子短说明甲的 小，中间一半数据更集中；中位线位置相同说明中等水平相当。故选 C。 7．；； 【解析】共 个数据，；左半部分 的中位数 ；右半部分 的中位数 。 8．； 【解析】极差 ；四分位距 。 9． 【解析】共 个数据（奇数）， 为第 个数 。右半部分为 （不含中位数），其中位数 。 10． 【解析】第一四分位数把数据分成 与 两部分，故小于 的约占 ，即 （个）。 11． 【解析】由 得 。 12． 【解析】 到最大值之间约含全部数据的 。 13． （1）共 个数据（偶数），最小值 ，最大值 。 左半部分 （ 个），； 右半部分 （ 个），。 五数概括：；。 （2）共 个数据（奇数），最小值 ，最大值 ， 为第 个数 。 去掉中位数，左半部分 ，； 右半部分 ，。 五数概括：；。 14． （1）共 个数据，最小值 ，最大值 。 左半部分为前 个数 ， 右半部分为后 个数 ， 五数概括：。 （2）（cm）。 （3）作图要点：数轴刻度取 ，每 cm 一格；在 与 处画箱子的两端，在 处画中位线；左须从 拉到 ，右须从 拉到 。注意右须明显比左须长，说明高端成绩（如 cm）较为突出。 15． （1）甲：极差 ，； 乙：极差 ，。 （2）乙更稳定。两家中位数相同（均为 单），但乙的极差与四分位距都明显小于甲，说明乙的日订单量波动小、分布集中；甲既有低到 单的日子，也有高到 单的日子，起伏很大。 （3）推荐乙。"稳定供货"看重的是波动小，乙的四分位距只有甲的一半左右，供货更有保障。 B 组 16．B 【解析】共 个数据，中位数是第 、 个数的平均数；左半部分是前 个数据，其中位数是第 、 个数的平均数，即 。故选 B。 17．A 【解析】箱子左端是 ，中位线是 ，右端是 。左段较长说明 。 由于 到 与 到 各含约 的数据，数据个数相同而数值跨度更大，说明较小的那一半（ 段）分布更分散。故选 A。 18． 【解析】数据同时乘 再加 ，顺序不变，因此新的 ，， 即加常数不改变四分位距，乘常数 使四分位距变为原来的 倍。 19．约 个 【解析】 恰是箱子所对应的范围，其中约含全部数据的 ，即 （个）。 20． （1）低于 分的约占 ，人数约为 （2） 分到 分即 到 之间，约占 ，人数约为 （人）。 （3），，箱子左段略长于右段； 左须长 ，右须长 ，左须明显更长。 这说明高分段学生成绩集中（接近满分，受满分 分限制），而低分段相对分散，存在少数成绩明显偏低的学生。整体上该校体育成绩偏高，分布呈现"左偏"（向低分方向拖尾）的特点。 21． （1）甲（ 个数据）：最小值 ，最大值 ， 为第 个数 。 左半部分 ，；右半部分 ，。 五数概括：。 乙（ 个数据）：最小值 ，最大值 ， 为第 个数 。 左半部分 ，；右半部分 ，。 五数概括：。 （2）甲：（kg）；乙：（kg）。 乙的四分位距更小，且极差（）也远小于甲的极差（），所以乙品种的单株产量更稳定。 （3）若追求高产，应选甲：甲的最大值 kg 明显高于乙的 kg， 也更大（），高产植株更多。 若追求产量稳定，应选乙：乙的四分位距和极差都更小，单株产量差异小，便于统一管理和预测总产量。 C 组 22． （1）先排序： 共 个数据，最小值 ，最大值 。 左半部分 ，； 右半部分 ，。 五数概括：；。 （2）作图要点：数轴刻度取 ；箱子两端在 与 ，中位线在 ；左须拉到 ，右须拉到 。可以看出中位线偏右，箱子右半部分较短。 （3）计算判定界限： 所有数据都在 与 之间（最小 ，最大 ），所以这 个月中没有"异常月"。 （4）结合原始顺序（ 月到 月）看：优良天数从 月的 天逐月上升，到 月达到最高的 天，随后逐月下降， 月降至最低的 天。 由箱线图看，中位线偏向箱子右侧（），且左须较长，说明优良天数较多的月份比较集中（夏秋季节稳定在 天），而优良天数少的冬春月份数值更分散。 总体规律：该市空气质量呈现明显的季节性——夏秋季好且稳定，冬春季差且波动大。 六、学法小结 ① 四分位数三步走：**排序 → 求 → 左右两半各求中位数得 **；数据个数为奇数时中位数不参与两半； ② 四分位距 ，衡量中间一半数据的离散程度，不受极端值影响； ③ 五数概括（最小值、、、、最大值）是画箱线图的依据； ④ 读箱线图：看位置比高低，看箱长比稳定，看中位线看对称，看须长看两端。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $