1.4 二次函数与一元二次方程的关系 课时作业 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

1.4 二次函数与一元二次方程的关系  课时作业

班级__________  姓名__________  学号__________  完成用时__________

一、学习目标

1．理解二次函数图象与x轴交点的横坐标和一元二次方程根之间的关系．

2．会用b²-4ac的符号判断抛物线与x轴交点的个数，会求抛物线与坐标轴的交点坐标．

3．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．

4．能借助二次函数的图象，确定函数值大于（或小于）0时自变量的取值范围．

二、知识点梳理

知识点1  抛物线与x轴的交点和一元二次方程的根

二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程ax²+bx+c=0的根． 反过来，一元二次方程ax²+bx+c=0的根，就是抛物线y=ax²+bx+c与x轴交点的横坐标．

 

抛物线与y轴的交点坐标为(0，c)．

知识点2  b²-4ac与抛物线和x轴交点个数的关系

图1 抛物线与x轴位置关系的三种情况

 

若抛物线与x轴交于(x₁，0)，(x₂，0)，则两交点之间的距离为|x₁-x₂|，对称轴为直线x=，抛物线的表达式可以写成y=a(x-x₁)(x-x₂)．

知识点3  利用图象求一元二次方程的近似解

步骤：（1）画出函数y=ax²+bx+c的图象，确定图象与x轴交点的大致位置（在哪两个整数之间）；

（2）在这两个整数之间取值，列表计算函数值，观察函数值的符号由负变正（或由正变负）的位置；

（3）逐步缩小范围，直到达到要求的精确度．

知识点4  利用图象确定函数值的正负

图2 y=x²-2x-3的图象

如图2，抛物线y=x²-2x-3与x轴交于(-1，0)，(3，0)：

当x<-1或x>3时，图象在x轴上方，y>0；当-1<x<3时，图象在x轴下方，y<0；当x=-1或x=3时，y=0．

知识点5  抛物线与直线的交点

求抛物线y=ax²+bx+c与直线y=kx+n的交点坐标，就是解由这两个表达式组成的方程组．消去y后得到一元二次方程，方程的根就是交点的横坐标．

三、典型例题

例1  求抛物线y=x²-2x-3与x轴、y轴的交点坐标．

【解析】令y=0，得x²-2x-3=0，即(x-3)(x+1)=0，所以x₁=3，x₂=-1．

所以抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0)．令x=0，得y=-3，所以与y轴的交点坐标为(0，-3)．

例2  若抛物线y=x²-2x+m与x轴有两个交点，求m的取值范围．

【解析】抛物线与x轴有两个交点，则方程x²-2x+m=0有两个不相等的实数根，

所以b²-4ac=(-2)²-4×1×m=4-4m>0，解得m<1．

例3  利用图象求方程x²-2x-1=0的近似解（精确到0.1）．

【解析】画出函数y=x²-2x-1的图象（草图），可知图象与x轴有两个交点，一个在2和3之间，另一个在-1和0之间．

先求2和3之间的根，列表计算：

 

当x=2.4时y<0，当x=2.45时y>0，所以这个根在2.4与2.45之间，精确到0.1，x₁≈2.4．

抛物线的对称轴为直线x=1，由对称性，另一个根x₂≈2-2.4=-0.4．

例4  抛物线y=x²与直线y=x+2交于A，B两点，求点A，B的坐标．

【解析】解方程组：y=x²，y=x+2．消去y，得x²=x+2，即x²-x-2=0，(x-2)(x+1)=0，

所以x₁=-1，x₂=2．当x=-1时y=1；当x=2时y=4．所以A(-1，1)，B(2，4)．