1.4 二次函数与一元二次方程的关系 课时作业 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 分层递进设计，覆盖二次函数与一元二次方程关系全知识点，从基础巩固到综合应用再到拓展探究，适配新授课差异化教学需求，培养数学抽象、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组基础达标|单一知识点（交点坐标、判别式、近似解等）|基础题型（选择、填空、解答）巩固概念与运算，落实数学抽象与几何直观| |B组能力提升|综合应用（函数性质、面积计算、参数范围等）|结合函数性质与几何应用，提升推理能力与运算能力，体现数学思维| |C组拓展探究|拓展探究（方程根的个数、跨知识综合等）|开放探究题（如含参方程根的讨论），发展创新意识与模型观念，强化数学语言表达|

浙教版九年级上册数学·第1章 二次函数 1.4 二次函数与一元二次方程的关系 课时作业 1.4 二次函数与一元二次方程的关系 课时作业 班级__________ 姓名__________ 学号__________ 完成用时__________ 一、学习目标 1．理解二次函数图象与x轴交点的横坐标和一元二次方程根之间的关系． 2．会用b²-4ac的符号判断抛物线与x轴交点的个数，会求抛物线与坐标轴的交点坐标． 3．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解． 4．能借助二次函数的图象，确定函数值大于（或小于）0时自变量的取值范围． 二、知识点梳理 知识点1 抛物线与x轴的交点和一元二次方程的根 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程ax²+bx+c=0的根． 反过来，一元二次方程ax²+bx+c=0的根，就是抛物线y=ax²+bx+c与x轴交点的横坐标． 抛物线与y轴的交点坐标为(0，c)． 知识点2 b²-4ac与抛物线和x轴交点个数的关系 图1 抛物线与x轴位置关系的三种情况 b²-4ac的符号 方程ax²+bx+c=0的根 抛物线与x轴的交点 b²-4ac>0 有两个不相等的实数根 有两个交点 b²-4ac=0 有两个相等的实数根 有一个交点（顶点在x轴上） b²-4ac<0 没有实数根 没有交点 若抛物线与x轴交于(x₁，0)，(x₂，0)，则两交点之间的距离为|x₁-x₂|，对称轴为直线x=，抛物线的表达式可以写成y=a(x-x₁)(x-x₂)． 知识点3 利用图象求一元二次方程的近似解 步骤：（1）画出函数y=ax²+bx+c的图象，确定图象与x轴交点的大致位置（在哪两个整数之间）； （2）在这两个整数之间取值，列表计算函数值，观察函数值的符号由负变正（或由正变负）的位置； （3）逐步缩小范围，直到达到要求的精确度． 知识点4 利用图象确定函数值的正负 图2 y=x²-2x-3的图象 如图2，抛物线y=x²-2x-3与x轴交于(-1，0)，(3，0)： 当x<-1或x>3时，图象在x轴上方，y>0；当-1<x<3时，图象在x轴下方，y<0；当x=-1或x=3时，y=0． 知识点5 抛物线与直线的交点 求抛物线y=ax²+bx+c与直线y=kx+n的交点坐标，就是解由这两个表达式组成的方程组．消去y后得到一元二次方程，方程的根就是交点的横坐标． 三、典型例题 例1 求抛物线y=x²-2x-3与x轴、y轴的交点坐标． 【解析】令y=0，得x²-2x-3=0，即(x-3)(x+1)=0，所以x₁=3，x₂=-1． 所以抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0)．令x=0，得y=-3，所以与y轴的交点坐标为(0，-3)． 例2 若抛物线y=x²-2x+m与x轴有两个交点，求m的取值范围． 【解析】抛物线与x轴有两个交点，则方程x²-2x+m=0有两个不相等的实数根， 所以b²-4ac=(-2)²-4×1×m=4-4m>0，解得m<1． 例3 利用图象求方程x²-2x-1=0的近似解（精确到0.1）． 【解析】画出函数y=x²-2x-1的图象（草图），可知图象与x轴有两个交点，一个在2和3之间，另一个在-1和0之间． 先求2和3之间的根，列表计算： x 2.3 2.4 2.45 2.5 y -0.31 -0.04 0.1025 0.25 当x=2.4时y<0，当x=2.45时y>0，所以这个根在2.4与2.45之间，精确到0.1，x₁≈2.4． 抛物线的对称轴为直线x=1，由对称性，另一个根x₂≈2-2.4=-0.4． 例4 抛物线y=x²与直线y=x+2交于A，B两点，求点A，B的坐标． 【解析】解方程组：y=x²，y=x+2．消去y，得x²=x+2，即x²-x-2=0，(x-2)(x+1)=0， 所以x₁=-1，x₂=2．当x=-1时y=1；当x=2时y=4．所以A(-1，1)，B(2，4)． 四、课时作业 A组 基础达标 一、选择题（每小题只有一个正确选项） 1．抛物线y=x²-5x+6与x轴的交点坐标是（　　） A．(2，0)，(3，0) B．(-2，0)，(-3，0) C．(0，2)，(0，3) D．(0，6) 2．下列抛物线中，与x轴没有交点的是（　　） A．y=x²-1 B．y=x²-2x+1 C．y=x²+x+1 D．y=-x²+3x 3．抛物线y=2x²-4x+2与x轴的交点个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为(-1，0)，则方程ax²+bx+c=0的解是（　　） A．x=-1 B．x=3 C．x₁=-1，x₂=2 D．x₁=-1，x₂=3 5．若抛物线y=x²-6x+k与x轴只有一个公共点，则k的值为（　　） A．9 B．6 C．3 D．36 6．根据下表中二次函数y=ax²+bx+c的自变量x与函数y的对应值，判断方程ax²+bx+c=0的一个解x的范围是（　　） A．3<x<3.23 B．3.23<x<3.24 C．3.24<x<3.25 D．3.25<x<3.26 x 3.23 3.24 3.25 3.26 y -0.06 -0.02 0.03 0.09 7．抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，则△ABC的面积为（　　） A．6 B．3 C．4 D．12 8．已知二次函数y=x²-2x-8，当y<0时，x的取值范围是（　　） A．x<-2 B．x>4 C．-2<x<4 D．x<-2或x>4 二、填空题 9．抛物线y=x²+4x-5与x轴的交点坐标是________________，与y轴的交点坐标是________． 10．若抛物线y=x²+2x+m与x轴没有公共点，则m的取值范围是________． 11．已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点为(-2，0)，(4，0)，则它的对称轴是直线________． 12．抛物线y=x²-2x-8与x轴的两个交点之间的距离是________． 13．若二次函数y=(k-1)x²+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是________________． 14．抛物线y=x²与直线y=-x+6的交点坐标是________________． 三、解答题 15．已知二次函数y=-x²+4x+5． （1）求抛物线与x轴、y轴的交点坐标； （2）求抛物线的顶点坐标； （3）当y>0时，求x的取值范围． 16．下图是函数y=x²+2x-2的图象，利用图象求方程x²+2x-2=0的近似解（精确到0.1）． 17．已知二次函数y=x²-(m+1)x+m． （1）求证：无论m取何值，该函数的图象与x轴总有公共点； （2）若该函数图象与x轴的两个交点之间的距离为3，求m的值． 18．如例4图，抛物线y=x²与直线y=x+2交于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB的面积． B组 能力提升 19．二次函数y=ax²+bx+c中，自变量x与函数y的部分对应值如下表： A．抛物线开口向上 B．当x>1时，y随x的增大而增大 C．方程ax²+bx+c=0的正根在2与3之间 D．当x=-2时，y>0 x -1 0 1 2 3 y -2 1 2 1 -2 下列说法正确的是（　　） 20．已知抛物线y=x²+bx+c与x轴交于(1，0)，(3，0)两点，则关于x的方程x²+bx+c=-1的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 21．已知抛物线y=ax²+bx+c（a<0）的对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点为(1，0)，则当y>0时，x的取值范围是________． 22．若二次函数y=x²-4x+c的图象与x轴的一个交点是(1，0)，则另一个交点的坐标是________． 23．抛物线y=x²-2x+k与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C(0，-3)． （1）求k的值及点A，B的坐标； （2）若点D在抛物线上（点D不与点C重合），且S△ABD=S△ABC，求点D的坐标． 24．已知二次函数y=x²-2mx+m²-1（m为常数）． （1）求证：该函数的图象与x轴总有两个交点； （2）若该函数图象与x轴的两个交点都在y轴的右侧，求m的取值范围． C组 拓展探究 25．已知抛物线y=x²-3x+2与直线y=x+m． （1）若抛物线与直线有两个交点，求m的取值范围； （2）当m=-2时，抛物线与直线有几个公共点？求出公共点的坐标． 26．已知二次函数y=x²-4x+3． （1）利用函数图象，讨论关于x的方程x²-4x+3=k的实数根的个数与k的关系； （2）若关于x的方程x²-4x+3=k在1≤x≤4范围内有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 五、参考答案及解析 A组 基础达标 1．【答案】A 【解析】令y=0，得x²-5x+6=0，即(x-2)(x-3)=0，所以x₁=2，x₂=3．交点坐标为(2，0)，(3，0)．故选A． 2．【答案】C 【解析】分别计算b²-4ac：A为0+4=4>0；B为4-4=0；C为1-4=-3<0；D为9-0=9>0．只有C中b²-4ac<0，与x轴没有交点．故选C． 3．【答案】B 【解析】b²-4ac=(-4)²-4×2×2=0，所以抛物线与x轴只有一个交点．故选B． 4．【答案】D 【解析】点(-1，0)关于直线x=1的对称点为(3，0)，所以抛物线与x轴的交点为(-1，0)，(3，0)，方程的解为x₁=-1，x₂=3．故选D． 5．【答案】A 【解析】只有一个公共点，则b²-4ac=36-4k=0，所以k=9．故选A． 6．【答案】C 【解析】当x=3.24时，y=-0.02<0；当x=3.25时，y=0.03>0．所以y=0时对应的x在3.24与3.25之间．故选C． 7．【答案】A 【解析】令y=0，得-x²+2x+3=0，x₁=-1，x₂=3，所以AB=4．令x=0，得y=3，所以OC=3．S△ABC=×4×3=6．故选A． 8．【答案】C 【解析】令y=0，得x²-2x-8=0，x₁=-2，x₂=4．抛物线开口向上，两交点之间的部分在x轴下方，所以当-2<x<4时y<0．故选C． 9．【答案】(-5，0)，(1，0)；(0，-5) 【解析】令y=0，得x²+4x-5=0，(x+5)(x-1)=0，x₁=-5，x₂=1．令x=0，得y=-5． 10．【答案】m>1 【解析】没有公共点，则b²-4ac=4-4m<0，所以m>1． 11．【答案】x=1 【解析】对称轴为直线x==1． 12．【答案】6 【解析】令y=0，得x₁=-2，x₂=4，两交点之间的距离为4-(-2)=6． 13．【答案】k≤2且k≠1 【解析】由二次函数得k-1≠0；图象与x轴有交点，则b²-4ac=4-4(k-1)≥0，解得k≤2．所以k≤2且k≠1． 14．【答案】(-3，9)，(2，4) 【解析】由x²=-x+6，得x²+x-6=0，(x+3)(x-2)=0，x₁=-3，x₂=2．对应y₁=9，y₂=4． 15．【答案】（1）与x轴交于(-1，0)，(5，0)，与y轴交于(0，5)；（2）(2，9)；（3）-1<x<5． 【解析】（1）令y=0，得-x²+4x+5=0，即x²-4x-5=0，(x-5)(x+1)=0，所以x₁=-1，x₂=5．令x=0，得y=5． （2）y=-(x²-4x+4)+4+5=-(x-2)²+9，顶点坐标为(2，9)． （3）抛物线开口向下，与x轴交于(-1，0)，(5，0)，两交点之间的图象在x轴上方，所以当-1<x<5时，y>0． 16．【答案】x₁≈0.7，x₂≈-2.7 【解析】由图象可知，抛物线与x轴的两个交点分别在0与1之间、-3与-2之间． 对于0与1之间的根：当x=0.7时，y=0.49+1.4-2=-0.11<0；当x=0.75时，y=0.5625+1.5-2=0.0625>0，所以根在0.7与0.75之间，x₁≈0.7． 抛物线的对称轴为直线x=-1，由对称性，另一个根x₂≈-2-0.7=-2.7． （检验：当x=-2.7时，y=7.29-5.4-2=-0.11<0；当x=-2.75时，y=7.5625-5.5-2=0.0625>0，所以x₂≈-2.7．） 17．【答案】（1）见解析；（2）m=4或m=-2． 【解析】（1）b²-4ac=[-(m+1)]²-4m=m²+2m+1-4m=m²-2m+1=(m-1)²≥0，所以无论m取何值，图象与x轴总有公共点． （2）令y=0，得x²-(m+1)x+m=0，即(x-1)(x-m)=0，所以x₁=1，x₂=m． 由题意得|m-1|=3，所以m=4或m=-2． 18．【答案】3 【解析】由例4知A(-1，1)，B(2，4)．设直线y=x+2与y轴交于点E，则E(0，2)，OE=2． S△AOB=S△AOE+S△BOE=×2×1+×2×2=1+2=3． B组 能力提升 19．【答案】C 【解析】由表可知，x=0与x=2时函数值相等，对称轴为直线x=1，顶点为(1，2)，且在对称轴左侧函数值随x增大而增大，所以开口向下，A错误；当x>1时，y随x增大而减小，B错误； 当x=2时y=1>0，当x=3时y=-2<0，所以方程的正根在2与3之间，C正确；点(-2，y)与(4，y)对称，由增减性可知x=-2时y<-2<0，D错误．故选C． 20．【答案】B 【解析】抛物线为y=(x-1)(x-3)=x²-4x+3=(x-2)²-1，最小值为-1．直线y=-1与抛物线只有一个公共点（顶点）， 所以方程x²+bx+c=-1有两个相等的实数根x₁=x₂=2．故选B． 21．【答案】-3<x<1 【解析】点(1，0)关于直线x=-1的对称点为(-3，0)．a<0，抛物线开口向下，两交点之间的图象在x轴上方，所以当-3<x<1时，y>0． 22．【答案】(3，0) 【解析】把(1，0)代入，得1-4+c=0，c=3．令x²-4x+3=0，得x₁=1，x₂=3，所以另一个交点为(3，0)． （或：对称轴为直线x=2，点(1，0)关于x=2的对称点为(3，0)．） 23．【答案】（1）k=-3，A(-1，0)，B(3，0)；（2）D(2，-3)或(1+，3)或(1-，3)． 【解析】（1）把C(0，-3)代入，得k=-3．令x²-2x-3=0，得x₁=-1，x₂=3，所以A(-1，0)，B(3，0)． （2）AB=4，S△ABC=×4×3=6．S△ABD=S△ABC，则点D到x轴的距离为3，即点D的纵坐标为3或-3． 当y=-3时，x²-2x-3=-3，得x=0（与C重合，舍去）或x=2，所以D(2，-3)； 当y=3时，x²-2x-3=3，即x²-2x-6=0，x==1±，所以D(1+，3)或(1-，3)． 24．【答案】（1）见解析；（2）m>1． 【解析】（1）b²-4ac=(-2m)²-4(m²-1)=4m²-4m²+4=4>0，所以函数图象与x轴总有两个交点． （2）令y=0，得(x-m)²=1，所以x₁=m-1，x₂=m+1．两个交点都在y轴右侧，则较小的一个m-1>0，所以m>1． C组 拓展探究 25．【答案】（1）m>-2；（2）1个，(2，0)． 【解析】（1）由x²-3x+2=x+m，得x²-4x+2-m=0．有两个交点，则b²-4ac=16-4(2-m)=8+4m>0，所以m>-2． （2）当m=-2时，方程为x²-4x+4=0，b²-4ac=0，有两个相等的实数根x₁=x₂=2，此时y=2-2=0． 所以抛物线与直线只有1个公共点，坐标为(2，0)． 26．【答案】（1）见解析；（2）-1<k≤0． 【解析】（1）y=x²-4x+3=(x-2)²-1，最小值为-1．方程x²-4x+3=k的实数根，就是抛物线y=x²-4x+3与直线y=k交点的横坐标． 当k>-1时，方程有两个不相等的实数根；当k=-1时，方程有两个相等的实数根；当k<-1时，方程没有实数根． （2）在1≤x≤4范围内：当x=1时y=0，当x=2时y=-1（最小值），当x=4时y=3． 图象在1≤x≤2时从0下降到-1，在2≤x≤4时从-1上升到3． 要使直线y=k与这段图象有两个交点，则直线要与左、右两段各交一次，所以-1<k≤0． 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $