专题02 特殊平行四边形中的三种几何变换题型（四川成都专用，压轴题专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形翻折、旋转、平移三大变换，以题型模版提炼思想方法，构建“性质-变换-应用”逻辑链条，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|核心解法提炼|几何综合能力|特殊四边形性质与变换原理结合| |题型归纳|翻折/旋转/平移各1典例+3变式|方程思想、勾股定理、将军饮马模型|从基础变换到复杂综合，渗透分类讨论与数形结合| |压轴挑战|10道综合题|多变换综合应用|对接中考压轴，提升空间观念与模型意识|

专题02 特殊平行四边形中的三种几何变换题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、特殊四边形翻折问题 题型二、特殊四边形旋转问题 题型三、特殊四边形平移问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 特殊平行四边形几何变换问题是初中数学图形压轴题，所有题型均围绕菱形、矩形、正方形几何变换展开，解题贯穿基本底线原则：是几何综合能力。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、特殊四边形翻折问题 典例1 如图，已知正方形边长为，为中点，将沿翻折得到，分别为边，上一点，将沿翻折使点对应点落在边上，若，则________． 题型模版 1.特征：特殊四边形翻折问题. 2.方法：注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用 变式1-1 如图，在边长为6的正方形中，点在上，，点为上的动点，连接，将沿翻折，得到，连接、，当时，的长为（     ） A． B． C． D． 变式1-2如图，在矩形纸片中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，连接，，则当是以为腰的等腰三角形时，的长是_____． 变式1-3【操作发现】 如图，正方形纸片，点是边上一点，将沿翻折，点的对应点落在正方形内部，延长交边于点，连接，易知； 【深入探究】 (1)如图，将正方形纸片对折，使与重合，折痕为，再把纸片展平，然后继续进行上面的操作，将沿翻折，点的对应点恰好落在折痕上，其它条件不变，把纸片展开，连接，求的度数； 【类比迁移】 (2)如图，将矩形纸片对折，使与重合，折痕为，再把纸片展平，点在线段上，把沿翻折，点的对应点刚好落在直线上，，，求的长； 【拓展应用】 (3)如图，在菱形中，，边长为，点是边上一点，点是边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在菱形的边上，且，直接写出的长． 类型二、特殊四边形旋转问题 典例2 综合探究 (1)如图1，已知正方形和正方形中，点，，在同一直线上，连接，，则和的数量关系为__________，位置关系为__________； (2)如图2，将图1中的正方形绕点按顺时针方向旋转一定角度，旋转角为，和交于点．试判断和的数量和位置关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，，，则长为__________． 题型模版 1.特征：矩形存在性问题. 2.方法：利用勾股定理，列方程求解. 变式2-1如图，菱形的对角线，交于点，菱形的顶点与点重合，，，连接，取其中点，连接，将菱形绕点旋转一周，则的最小值为_______． 变式2-2已知正方形边长为1，对角线相交于点O，过点O作射线，分别交于点E，F，且． (1)如图1，当时，求证：四边形是正方形； (2)如图2，将射线绕着点O进行旋转． ①在旋转过程中，判断线段与的数量关系，并给出证明； ②四边形的面积为 ； (3)如图3，在四边形中，，连接．若，请直接写出四边形的面积． 变式2-3【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点O转动． 【问题发现】 （1）①线段，之间的数量关系是______． ②在①的基础上，连接，则线段之间的数量关系是______． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，矩形可绕着点O旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，直角的顶点D在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点E，F，可绕着点D旋转，当时，请直接写出的面积． 题型三、特殊四边形平移问题 典例3 【模型感知】 （1）她把边长为3的正方形纸片沿着对角线剪开，如图1．然后固定纸片，把纸片沿剪痕的方向平移得到，如图2．连接，，，在平移过程中： ①四边形的形状始终是________（点与点重合时除外）； ②求的最小值． 【拓展探究】 （2）如图3，她把正方形改为边长为1的菱形，，将沿射线的方向平移得到，连接，，，请直接写出的最小值． 题型模版 特征：特殊四边形平移问题； 方法：利用全等，构造将军饮马模型求解。 变式3-1如图，在菱形中，对角线，的长分别为，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为________．      变式3-2综合与实践课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动． 【操作判断】 操作一：将两个完全一样的等腰直角三角板的斜边重合，按图1放置； 操作二：将三角板沿方向平移（两三角板始终接触）至图2位置． (1)根据以上操作，可知：图1中四边形的形状是_____．图2中与的数量关系是_____，四边形的形状是_____． 【迁移探究】 (2)奋斗小组受到启发，将两个完全一样的等腰直角三角板换成两个完全一样的含角的直角三角板，继续探究． 如图3，，将三角板按操作一、二进行摆放和平移，在平移过程中，四边形能否是菱形？若能，请说明理由，并求出此时的长： 【拓展应用】 (3) 在（2）的探究过程中的最小值是_____． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图①把正方形沿对角线剪开，得两个等腰直角三角形和． (1)问题呈现 我们把剪下的两个三角形一个放大另一个缩小拼成如图②所示的图形 ①若点P是平面内一动点，，，则线段的取值范围是 ．（直接写答案） ②直接写出线段与的关系是 ．（直接写答案） (2)我们把剪下的其中一个三角形放大与正方形组合如图③④⑤所示，点E在直线上，交直线于M． ①当点E在上时，如图③所示，求证：； ②当点E在的延长线上时，如图④所示，则线段具有的数量关系为 ；（直接写答案） 当点E在的延长线上时，如图⑤所示，则线段具有的数量关系为 ；（直接写答案） 2．如图1，平面直角坐标系中，点，点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，四边形是矩形． (1)直接写出点，点的坐标及的长； (2)过点的直线交直线于点，，求点的坐标； (3)如图2，将沿水平方向平移，直线与直线交于点，连接．的面积是否发生变化，若不变求出其面积，若变化，请说明理由． 3．我们知道平行四边形有很多性质，如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现其中还有更多的结论． 【发现与证明】 如图中，，将沿翻折至，连接． 结论1：与重叠部分的图形是等腰三角形； 结论2：； 【应用与探究】 (1)证明上面两个结论． (2)在中，已知，，将沿翻折至，若以，，，为顶点的四边形是正方形，请画出图形并求的长． (3)如图，已知矩形，，，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，连接．求线段的长． 4．发现探索 (1)如图1，已知的对角线，，交于点，将沿翻折得到，连接．若，则四边形的形状为__________． 深入探究 (2)如图2，已知的对角线，交于点，将沿翻折得到，连接．若，判断四边形的形状？并给出证明． 拓展应用 (3)已知的对角线，交于点，且，，将沿翻折得到，记的一边和的一边交于点，当和不重叠部分的形状是以点为直角顶点的直角三角形时，请直接写出的长． 5．在矩形中，，，点P为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点E处）． (1)【问题解决】如图①，当点E落在边上时，可求得的长为____________； (2)【尝试应用】如图②，与相交于点F，与相交于点G，且， ①求证：； ②求的长． (3)【拓展提升】如图③，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点B恰好落在直线上的点处，直接写出的长． 6．已知正方形，点、分别在、上 (1)若． ①如图1，点是的中点，与的数量关系是____________； ②如图2，点在上，满足，求证：； (2)如图3，若，将向右平移到得到矩形．射线交于点，交于点O，当，且是中点时，直接写出的值是____________． 7．探究图像中线段之间的关系，并完成以下问题 (1)问题发现：如图1，与均为等腰直角三角形，．则线段、的数量关系为__________，、所在直线的位置关系为__________； (2)深入探究：在（1）的条件下，若点，，在同一直线上，为中边上的高，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)解决问题：如图3，已知中，，，，以为直角边作等腰直角，，，连接，则的长为__________． 8．综合与实践 【问题情境】 如图1，在菱形中，点在边上，，点在上，． 【初步探究】 (1)求证：． 【深入探究】 (2)将图1中的绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，． ①如图2，当线段经过点时，直线分别与边，交于点，，求证：． ②已知，，在旋转过程中，交于点，所在直线交于点，延长交于点，若，请在图3中画出示意图并求线段的长． 9．已知：如图①，在长方形中，，，于点，点是点关于的对称点，连接、．    (1)求和的长； (2)若将沿着射线方向平移，设平移的距离为（平移距离指点沿方向所经过的线段长度）.当点分别平移到线段、上时，直接写出相应的的值． (3)在第（2）问中将沿着线段方向平移，记平移后的为．设平移的距离为，求为多少时，是为等腰三角形． 10．某数学兴趣小组利用矩形硬纸片开展了一次活动，请阅读下面的探究片段，完成所提出的问题． 【探究1】 (1)如图1，点E是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点C刚好落在边上的点F处，若，，长是______． 【探究2】 (2)操作：如图2，点E是正方形上一动点，连接，将沿翻折，点C落在正方形内一点F处，小明延长交于点M，过点B、点M作射线，则射线是的角平分线，请你判断小明的作法是否正确，并说明理由． 【探究3】 (3)如图3，点E是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点C落在矩形外一点F处，连接，若，，，则的面积是______． 【探究4】 (4)如图4，点E是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点C落在点F处，的角平分线与的延长线交于点M，若，，当点E从点C运动到点D时，点M运动的路径长是______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 特殊平行四边形中的三种几何变换题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、特殊四边形翻折问题 题型二、特殊四边形旋转问题 题型三、特殊四边形平移问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 特殊平行四边形几何变换问题是初中数学图形压轴题，所有题型均围绕菱形、矩形、正方形几何变换展开，解题贯穿基本底线原则：是几何综合能力。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、特殊四边形翻折问题 典例1 如图，已知正方形边长为，为中点，将沿翻折得到，分别为边，上一点，将沿翻折使点对应点落在边上，若，则________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，折叠的性质以及勾股定理等知识．连接，作于点，由正方形的性质可得， ，由折叠的性质可得， ， ，，进而可得，，，从而得到四边形是矩形．设，则，，根据勾股定理列方程求出x的值即可得解． 【详解】解：如图，连接，作于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，则 ∵将沿翻折使点对应点落在边上， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 题型模版 1.特征：特殊四边形翻折问题. 2.方法：注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用 变式1-1 如图，在边长为6的正方形中，点在上，，点为上的动点，连接，将沿翻折，得到，连接、，当时，的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，为等腰三角形，过点作的垂线，可以得到，结合矩形的性质，，在中，由勾股定理得，设，在中，，列出一元一次方程，最后求解出． 【详解】解：如图所示，过点作的垂线交于点，交于点，过点作的垂线交于点， ，为的垂线，， ． 在正方形中，， 又， 四边形为矩形． ， ， ， ， 四边形为矩形． 在矩形中，， ． 在中，， 设，则，， ． 在矩形中，． 在中，， ，解得， ． 变式1-2如图，在矩形纸片中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，连接，，则当是以为腰的等腰三角形时，的长是_____． 【答案】或 【分析】当时，连接，利用勾股定理可以求得的长，可判断三点共线，根据勾股定理即可求解；当时，可以证得四边形是正方形，即可求解． 【详解】解：①当时，连接，如图， ∵点E是的中点，，，四边形是矩形， ∴， 由勾股定理可得，， ∵将沿所在直线翻折，得到， ∴， ∵， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴； ∴ ②当时，如图， ， 点在线段的垂直平分线上， 点在线段的垂直平分线上， 点是的中点， 是的垂直平分线， ， 将沿所在直线翻折，得到， ， 四边形是正方形， ； 综上所述，的长为或． 变式1-3【操作发现】 如图，正方形纸片，点是边上一点，将沿翻折，点的对应点落在正方形内部，延长交边于点，连接，易知； 【深入探究】 (1)如图，将正方形纸片对折，使与重合，折痕为，再把纸片展平，然后继续进行上面的操作，将沿翻折，点的对应点恰好落在折痕上，其它条件不变，把纸片展开，连接，求的度数； 【类比迁移】 (2)如图，将矩形纸片对折，使与重合，折痕为，再把纸片展平，点在线段上，把沿翻折，点的对应点刚好落在直线上，，，求的长； 【拓展应用】 (3)如图，在菱形中，，边长为，点是边上一点，点是边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在菱形的边上，且，直接写出的长． 【答案】(1)；(2)或10；(3)的长为或． 【详解】（1）解：连接， 由折叠的性质得垂直平分，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 四边形是正方形， ， ∴， 四边形是正方形， ，， 由折叠的性质得， ，， ∵， ∴， ∴； （2）①点在线段的垂直平分线上， ，， 由折叠的性质得：，， 在中，由勾股定理得：， 由折叠的性质得， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； ②如图， 同理得，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即，解得：，即的长为； （3）①当点落在边上时，如图， ∵，， ∴是等边三角形， ∴； ②当点落在边上时，如图，过点作于点，过点D作， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 由翻折得：， 设，则， 在中，， ∴， 解得： ， 即； 综上，的长为或． 类型二、特殊四边形旋转问题 典例2 综合探究 (1)如图1，已知正方形和正方形中，点，，在同一直线上，连接，，则和的数量关系为__________，位置关系为__________； (2)如图2，将图1中的正方形绕点按顺时针方向旋转一定角度，旋转角为，和交于点．试判断和的数量和位置关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，，，则长为__________． 【答案】(1)， (2)解：，，理由如下： ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，设和交于点， 由对顶角相等得：， ∴，即， ∴． (3) 【分析】（1）先证出，则，，再延长，交于点，得出，由此即可得； （2）先证出，则，，再设和交于点，得出，由此即可得； （3）先求出的长，，再得出点在上，点与点重合，则，在中，利用勾股定理可得的长，进而可得的长，然后根据即可得． 【详解】（1）解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，延长，交于点， 由对顶角相等得：， ∴，即， ∴， ∴和的数量关系为，位置关系为． （2）解：略． （3）解：如图，连接，交于点， ∵四边形和四边形都是正方形，，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴如图，点在上，此时点与点重合， ∴， ∴在中，， ∴， 同理可得：， ∴． 题型模版 1.特征：矩形存在性问题. 2.方法：利用勾股定理，列方程求解. 变式2-1如图，菱形的对角线，交于点，菱形的顶点与点重合，，，连接，取其中点，连接，将菱形绕点旋转一周，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】过点作于点，根据菱形的性质可证是等边三角形，根据等腰三角形的三线合一定理可证为的中位线，根据三角形的中位线定理可知，利用勾股定理可以求出，根据三角形三边关系可得当点、、三点共线时，取最小值，最小值为． 【详解】解：如下图所示，过点作于点， 四边形是菱形， ， 又， 是等边三角形， ， 点是的中点， 又点是的中点， 为的中位线， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， 当点、、三点共线时，取最小值， 最小值为． 变式2-2已知正方形边长为1，对角线相交于点O，过点O作射线，分别交于点E，F，且． (1)如图1，当时，求证：四边形是正方形； (2)如图2，将射线绕着点O进行旋转． ①在旋转过程中，判断线段与的数量关系，并给出证明； ②四边形的面积为 ； (3)如图3，在四边形中，，连接．若，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1) 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形； (2) ①， 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ② (3) 【分析】（1）根据正方形的性质证明四边形是矩形，再得，即可解决问题； （2）①证明，可得即可； ②先根据正方形的性质得，则，，所以，由得，则，即可证明，于是得，根据四边形的面积的面积正方形的面积，即可解决问题； （3）延长至点G，使，连接，证明，可得，，所以为等腰直角三角形，所以四边形的面积等腰直角三角形的面积，进而可以解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积的面积， ∴四边形的面积的面积正方形的面积； （3）解：如图，延长至点G，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴四边形的面积等腰直角三角形的面积． 【点睛】此题是四边形的综合题，考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，根据正方形性质求出三角形全等的条件是解题的关键． 变式2-3【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点O转动． 【问题发现】 （1）①线段，之间的数量关系是______． ②在①的基础上，连接，则线段之间的数量关系是______． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，矩形可绕着点O旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，直角的顶点D在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点E，F，可绕着点D旋转，当时，请直接写出的面积． 【答案】（1）①；② （2），理由如下：连接， ∵O为矩形中心， ∴， 延长交于， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵矩形， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵在中， ∴； （3）或 【分析】（1）①证明，可得结论；②根据全等三角形的性质，结合勾股定理即可得出结论； （2）猜想：，连接，延长交于，证明，再利用勾股定理证明即可； （3）设分两种情形：①当点E在线段上时，②当点E在延长线上时，分别利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：（1）①∵四边形是正方形， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略； （3）解：当点E在上时， 过点B作，交的延长线于点M，连接 ∵， ∴；， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 由勾股定理，得， 故． ∵，， ∴，， 设，则， ∴， ， ∴， ∴， ∴ 当点E在的延长线上时， 过点B作，交的延长线于点N，连接 ∵，， ∴；， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 由勾股定理，得， 故． ∵，， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，线段的垂直平分线的判定和性质是解题的关键． 题型三、特殊四边形平移问题 典例3 【模型感知】 （1）她把边长为3的正方形纸片沿着对角线剪开，如图1．然后固定纸片，把纸片沿剪痕的方向平移得到，如图2．连接，，，在平移过程中： ①四边形的形状始终是________（点与点重合时除外）； ②求的最小值． 【拓展探究】 （2）如图3，她把正方形改为边长为1的菱形，，将沿射线的方向平移得到，连接，，，请直接写出的最小值． 【答案】（1）①平行四边形；②；（2） 【分析】（1）①根据平移的性质以及平行四边形的判定定理，即可得到结论； ②作点关于的对称点，连接，，当共线时，有最小值，再证明是等腰直角三角形，且共线，在直角中，利用勾股定理即可求解． （2）同理可得是等边三角形，且共线，进而利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）①∵纸片沿剪痕的方向平移得到， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 故答案是：平行四边形； ②∵四边形是平行四边形， ∴， ∴=， 作点关于的对称点，连接，， 当共线时，有最小值， 此时的最小值， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵关于的对称点， ∴，， ∴是等腰直角三角形，且共线， ∴在直角中，， ∴的最小值=． （2）如图所示，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴=， 作点关于的对称点，连接，， 当共线时，有最小值，此时的最小值， ∵，，∴四边形是平行四边形，∴， ∵关于的对称点， ∴，， ∴是等边三角形，且共线， ∴在直角中，， ∴的最小值=． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，平移和轴对称的性质，作出点关于的对称点，是解题的关键． 题型模版 特征：特殊四边形平移问题； 方法：利用全等，构造将军饮马模型求解。 变式3-1如图，在菱形中，对角线，的长分别为，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为________．      【答案】 【分析】连接与交于点，延长到，使得，连接，由平移性质知，，则，，当点、、三点共线时，的值最小，勾股定理即可求解． 【详解】解：连接与交于点，延长到，使得，连接，   四边形是菱形， ，，， ， 由平移性质知，， ，，， ， 当点、、三点共线时，的值最小， 的最小值为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平移的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的添加辅助线是解题的关键． 变式3-2综合与实践课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动． 【操作判断】 操作一：将两个完全一样的等腰直角三角板的斜边重合，按图1放置； 操作二：将三角板沿方向平移（两三角板始终接触）至图2位置． (1)根据以上操作，可知：图1中四边形的形状是_____．图2中与的数量关系是_____，四边形的形状是_____． 【迁移探究】 (2)奋斗小组受到启发，将两个完全一样的等腰直角三角板换成两个完全一样的含角的直角三角板，继续探究． 如图3，，将三角板按操作一、二进行摆放和平移，在平移过程中，四边形能否是菱形？若能，请说明理由，并求出此时的长： 【拓展应用】 (3)在（2）的探究过程中的最小值是_____． 【答案】(1)正方形；；平行四边形 (2)解：四边形可以是菱形，理由如下： ∵在中，，，， ，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； 由平移的性质可得，，， ∴ ∴四边形为平行四边形， 当时，四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， ； (3) 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，，则可证明四边形是正方形；根据平移的性质，，，则可证明，则四边形是平行四边形． （2）根据四边形为菱形可以得到，从而得到为等边三角形，即可求解； （3）作点A关于直线的对称点N，连接，连接交直线于P，连接，过点N作直线于点E，由轴对称的性质得到，求出，得到，则；证明，得到，则，即可求出，可证明当三点共线时，有最小值，最小值为的长，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图1所示，∵，都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵ ∴矩形是正方形， ∴； 如图2所示，根据平移的性质可得，，， ∴ ∴四边形是平行四边形． （2）略 （3）解：如图所示，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵将三角板沿方向平移， ∴， ∴， 如图所示，作点A关于直线的对称点N，连接，连接交直线于P，连接，过点N作直线于点E， ∵点A，点N关于直线对称， ∴， ∵， ∴； 在中，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长， ∴的最小值为． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图①把正方形沿对角线剪开，得两个等腰直角三角形和． (1)问题呈现 我们把剪下的两个三角形一个放大另一个缩小拼成如图②所示的图形 ①若点P是平面内一动点，，，则线段的取值范围是 ．（直接写答案） ②直接写出线段与的关系是 ．（直接写答案） (2)我们把剪下的其中一个三角形放大与正方形组合如图③④⑤所示，点E在直线上，交直线于M． ①当点E在上时，如图③所示，求证：； ②当点E在的延长线上时，如图④所示，则线段具有的数量关系为 ；（直接写答案） 当点E在的延长线上时，如图⑤所示，则线段具有的数量关系为 ；（直接写答案） 【答案】(1)①；②，； (2)①见解析；②；； 【分析】（1）①由点是平面内一动点，，可知点在以点为圆心，1为半径的圆上，当点在上时，有最小值，点在的延长线上时，有最大值，即可求解； ②由“”可证，即可求解； （2）①由“”可证，可得，，即可得结论； ②如图④，过点作，交的延长线于点，如图⑤，过点作于点，分别利用全等三角形的性质证明即可． 【详解】（1）解：①点是平面内一动点，， 点在以点为圆心，以1为半径的圆上， 当点在线段上时，有最小值，此时， 当点在线段的延长线上，有最大值，此时， ； ②如图②，设与的交点为， 和是等腰直角三角形， ，，， ， ， ， ，， ，， ， ， 故答案为：；，； （2）①证明：如图③，过点作，交的延长线于点，连接， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ，， 四边形是正方形， ， 又， 四边形是矩形， ， ，， ， 又， 四边形是正方形， ， ， ； ②解：如图④，过点作，交的延长线于点， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 又， ， ， ， 同理①可得四边形是正方形， ， ； 如图⑤，过点作于点， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ， ， 同②可得四边形是正方形， ， ； 故答案为：，． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 2．如图1，平面直角坐标系中，点，点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，四边形是矩形． (1)直接写出点，点的坐标及的长； (2)过点的直线交直线于点，，求点的坐标； (3)如图2，将沿水平方向平移，直线与直线交于点，连接．的面积是否发生变化，若不变求出其面积，若变化，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)或 (3)的面积不发生变化，其面积为36 【分析】（1）根据矩形的性质得出，，，根据，求出，，根据勾股定理求出； （2）分两种情况：当在内部时，当在外部时，分别画出图形，进行求解即可； （3）设直线向右平移m个单位，此时，，求出直线的解析式为，直线的解析式为：，联立，求出点G的坐标为，根据三角形面积公式求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴，， ∵点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，当在内部时，设交轴于点K，过点K作于点H， ∵，即， ∴平分， ∵，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， ∴点N的坐标为； 如图，当在外部时，点与点N关于x轴对称，则此时点的坐标为； 综上，点N的坐标为：或． （3）解：的面积不发生变化； 设直线向右平移m个单位，此时，， 设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为：， 联立， 解得：， ∴点G的坐标为， ∴， 即的面积不发生变化，其面积为36． 3．我们知道平行四边形有很多性质，如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现其中还有更多的结论． 【发现与证明】 如图中，，将沿翻折至，连接． 结论1：与重叠部分的图形是等腰三角形； 结论2：； 【应用与探究】 (1)证明上面两个结论． (2)在中，已知，，将沿翻折至，若以，，，为顶点的四边形是正方形，请画出图形并求的长． (3)如图，已知矩形，，，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，连接．求线段的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ，， ， 由折叠可知，， ， ，即是等腰三角形．     ， ，即． ， ， ， (2)解：画图如下： ，或2． (3) 【分析】（1）利用平行四边形的性质结合轴对称的性质证明是等腰三角形，进一步利用等腰三角形的性质与三角形的定理证明，可得； （2）分两种情况先画图，再结合平行四边形的性质与轴对称的性质求解即可； （3）如图，过作于．由（1）可知，设，则，进一步利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：分两种情况： ①如图所示，∵四边形是正方形， ， ． ，． 由勾股定理得，即， ； ②如图所示，∵四边形是正方形， ， ． ， ． 综上所述，的长为或2． （3）解：如图，过作于． 由（1）可知，设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得，， ， ． 在中，， ； 在中，． 4．发现探索 (1)如图1，已知的对角线，，交于点，将沿翻折得到，连接．若，则四边形的形状为__________． 深入探究 (2)如图2，已知的对角线，交于点，将沿翻折得到，连接．若，判断四边形的形状？并给出证明． 拓展应用 (3)已知的对角线，交于点，且，，将沿翻折得到，记的一边和的一边交于点，当和不重叠部分的形状是以点为直角顶点的直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)平行四边形 (2)四边形是平行四边形， 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质，可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； (3)或 【分析】（1）根据翻折的性质可知，再根据平行四边形的性质推出，即可得出结论； （2）由平行四边形的性质结合，得出，由折叠的性质，可得，进而得到，即可证明结论； （3）根据①当的边与交于点时；②当的边与交于点时，分两种情况讨论，求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵将沿翻折得到， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：平行四边形； （2）略； （3）解：由题意，可分以下两种情况进行讨论， 如图所示，当的边与交于点时， 由题意，可知，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， 如图所示，当的边与交于点时， 由题意，可知，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， 综上所述，的长为或． 5．在矩形中，，，点P为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点E处）． (1)【问题解决】如图①，当点E落在边上时，可求得的长为____________； (2)【尝试应用】如图②，与相交于点F，与相交于点G，且， ①求证：； ②求的长． (3)【拓展提升】如图③，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点B恰好落在直线上的点处，直接写出的长． 【答案】(1)1 (2)①证明：四边形是矩形， ， 由翻折的性质知，、， ， 在和中， ， ， ； ② (3)的长为或 【分析】（1）由矩形的性质可得、，利用折叠的性质可得，再运用勾股定理求解即可； （2）①由矩形的性质、折叠的性质证明，再利用全等三角形的性质即可证明结论；②设，则，进而得到、，再在中，利用勾股定理列方程求解即可； （3）分点Q在线段上和点Q在线段的延长线上两种情况，分别利用矩形的性质、折叠的性质、勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，，， 将沿直线翻折至的位置， ， 在中，， ∴； （2）①略 ②解：， ， 设，则， ， 、， 在中，， ， 解得：， ． （3）的长为1或9        解：分两种情况讨论： 情况1：当点在线段上时，如图所示： 由翻折的性质知，、、、， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ； 情况2：当点在线段的延长线上时，如图所示： 由翻折的性质知，、、， ， 设，则、， ， 在中，， ，解得：，即， 综上，的长为或 6．已知正方形，点、分别在、上 (1)若． ①如图1，点是的中点，与的数量关系是____________； ②如图2，点在上，满足，求证：； (2)如图3，若，将向右平移到得到矩形．射线交于点，交于点O，当，且是中点时，直接写出的值是____________． 【答案】(1)①； ②证明：延长至M，使，连接，延长交于点N， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）①根据正方形的性质得到，，延长至I，使，连接并延长至点K，使，可知是的中位线，即，，，得到，证明，即可求出与的数量关系； ②延长至M，使，连接，延长交于点N，则，证明，得到，证明，得到，进而得到，可知，进而证明四边形是平行四边形，得到，即可证明； （2）根据正方形的性质得到，，，证明，得到，进而可知，连接，根据等边对等角得到，则，根据矩形的性质证明，根据可知，取，连接，根据等边对等角可知，根据三角形外角的性质求出，可知，设，则，，可知，即可求出的值． 【详解】（1）①解：∵正方形， ∴，， 如图，延长至I，使，连接并延长至点K，使，连接， 可知是的中位线， 即，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②略； （2）解：∵正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵矩形， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 取，连接， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴， ∴． 7．探究图像中线段之间的关系，并完成以下问题 (1)问题发现：如图1，与均为等腰直角三角形，．则线段、的数量关系为__________，、所在直线的位置关系为__________； (2)深入探究：在（1）的条件下，若点，，在同一直线上，为中边上的高，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)解决问题：如图3，已知中，，，，以为直角边作等腰直角，，，连接，则的长为__________． 【答案】(1)， (2)解：，；理由如下： ∵为等腰直角三角形，为中边上的高， 为中边上的中线，， ，即， 由（1）知，， ， ， ∵点，，在同一直线上， ， ∴； (3)或 【分析】（1）先证明，得出，延长交于点H，交于点O，证明，得出； （2）先证明，，根据得出，进而得出结论； （3）分两种情形分别画出图形，构造全等三角形解决问题即可； 【详解】（1）解：∵与均为等腰直角三角形，， ， ， 延长交于点H，交于点O， ， ，即， ； （2）略 （3）解：分两种情况： 情况1：如下图：在外部，以点A为直角顶点作，且，连接， ∵等腰直角，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 情况2：如下图：作，交延长线于点E，则， ， ， ， ∵等腰直角，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的长为或． 8．综合与实践 【问题情境】 如图1，在菱形中，点在边上，，点在上，． 【初步探究】 (1)求证：． 【深入探究】 (2)将图1中的绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，． ①如图2，当线段经过点时，直线分别与边，交于点，，求证：． ②已知，，在旋转过程中，交于点，所在直线交于点，延长交于点，若，请在图3中画出示意图并求线段的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2)①证明：∵是菱形的对角线，， ∴，，， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； ②， 【分析】（1）根据菱形的性质及垂直的定义得，，，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）①根据菱形的性质及垂直的定义得，，，根据旋转的性质得，继而得到，，，，证明得，即可得证； ②如图，过点作于点，连接，，根据菱形的性质及垂直的定义得，，，进一步得，，，，证明得，证明得，推出，根据旋转的性质得，继而得到，，，推出，然后根据等角对等边及勾股定理得，可得答案． 【详解】（1）略 （2）①略； ②解：如图，过点作于点，连接，设， 由（1）知：，， ∵是菱形的对角线，，，， ∴，，， ∴，， ， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．已知：如图①，在长方形中，，，于点，点是点关于的对称点，连接、．    (1)求和的长； (2)若将沿着射线方向平移，设平移的距离为（平移距离指点沿方向所经过的线段长度）.当点分别平移到线段、上时，直接写出相应的的值． (3)在第（2）问中将沿着线段方向平移，记平移后的为．设平移的距离为，求为多少时，是为等腰三角形． 【答案】(1) (2)点平移到线段的值为3，点平移到线段的值为 (3)的值为或6或5 【分析】（1）利用矩形的性质、勾股定理及三角形面积公式求解； （2）依题意画出图形，利用平移的性质，确定图中的等腰三角形，分别求出的值； （3）分三种情形：当时，当时，当时，分别求解即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，，， ， ， ， 在中，， ； （2）解：设平移中的三角形为，如图所示： ， 由对称的性质可知，， 由平移的性质可知，，， 当点落在上时， ， ， ， ，即， 当点落在上时， ， ， ， ， 由平移的性质可知， 为等腰三角形， ， ，即， 综上所述，点平移到线段的值为3，点平移到线段的值为； （3）解：如图，设交于， ， 当时， ， ， ， ， 平移距离， 当时， 在中，， ， 平移距离， 当时，四边形是菱形， ， 平移距离， 综上所述，满足条件的的值为或6或5． 【点睛】本题主要考查了平移变换、矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握平移的性质、矩形的性质、等腰三角形的性质，采用分类讨论的思想解题是解题的关键． 10．某数学兴趣小组利用矩形硬纸片开展了一次活动，请阅读下面的探究片段，完成所提出的问题． 【探究1】 (1)如图1，点E是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点C刚好落在边上的点F处，若，，长是______． 【探究2】 (2)操作：如图2，点E是正方形上一动点，连接，将沿翻折，点C落在正方形内一点F处，小明延长交于点M，过点B、点M作射线，则射线是的角平分线，请你判断小明的作法是否正确，并说明理由． 【探究3】 (3)如图3，点E是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点C落在矩形外一点F处，连接，若，，，则的面积是______． 【探究4】 (4)如图4，点E是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点C落在点F处，的角平分线与的延长线交于点M，若，，当点E从点C运动到点D时，点M运动的路径长是______． 【答案】(1) (2)正确； 理由：∵四边形是正方形， ， ∵将沿翻折，点落在正方形内一点处， ， ， 在和中， ， ， ， ∴射线是的角平分线； (3) (4)4 【分析】（1）根据矩形的性质可得，由翻折的性质可得，再根据勾股定理即可求得的长； （2）延长交于点，过点、点作射线，则射线是的角平分线．理由：根据正方形的性质可得，根据翻折的性质得到，然后证明，根据全等三角形的性质可得结论； （3）延长交的延长线于点，过点作于点，设，根据矩形的性质可得，，由平行线的性质得到，根据翻折的性质得到，，可得，根据等角对等边有，，在中，，得到，然后由，求得，最后根据三角形的面积公式可得结论； （4）过点作，交的延长线于点，延长交的延长线于点，设，证明四边形是矩形，结合翻折的性质证明，从而证明四边形是正方形，，当点与点重合时，点运动的路径是线段，则，在中，，根据，解得：，可得答案． 【详解】（1）解：在矩形中，，， ∵将沿翻折，点刚好落在边上的点处， ， ∴在中，， ∴的长为； （2）略 （3）解：延长交的延长线于点，过点作于点，设， ∵在矩形中，， ， ， ∵将沿翻折，点落在矩形外一点处，， ， ， ， ，即， ， 在中，， 即：， ， 解得：， ， ， ，即， ， ． （4）解：过点作，交的延长线于点，延长交的延长线于点，设， ， ∵四边形是矩形，， ， ∴四边形是矩形， ， ， ∵将沿翻折，点落在点处， ， ， ∵的角平分线与的延长线交于点， ， 在和中， ， ， ， ∴四边形是正方形， ， ∴当点与点重合时，， 此时在中，， ， 即：， 解得：， ， ∴当点从点运动到点时，点运动的路径是线段，长度为4． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $