24.2.2 频率与概率 课件 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦随机事件的概率计算，涵盖理论分析（列表、树状图）与频率估计。通过复习概率定义及必然、不可能事件，结合掷硬币、掷骰子等问题回顾等可能结果，搭建从简单到复杂情境的学习支架。 其亮点在于以生活实例（扑克游戏、转盘、图钉试验）引导学生用数学眼光观察现实，通过列表、树状图培养逻辑推理的数学思维，用频率估计概率渗透数据意识的数学语言。如扑克游戏用列表法呈现36种结果，图钉试验通过重复数据统计估计概率，小结明确方法适用场景，助力学生构建知识体系，也为教师提供清晰教学路径。

24.2 随机事件的概率 2 频率与概率 第24章 随机事件的概率 九年级上册数学（华师版） 概率的定义： 一个事件发生的可能性就叫做该事件 A 的概率，记作P(A). 0≤P(A)≤1. 必然事件的概率是 1，不可能事件的概率是 0. 复习回顾 问题1 掷一枚硬币，落地后会出现几种结果？ 正面、反面向上 2 种，可能性相等 问题2 抛掷一个骰子，它落地时向上的数有几种可能？ 6 种等可能的结果 问题3 从分别标有 1，2，3，4，5的 5 根纸签中随机抽取一根，抽出的签上的标号有几种可能？ 5 种等可能的结果 用列表或画树状图分析随机事件的等可能结果 1 问题1：在第148 页的“试验”中，我们发现：抛掷两枚硬币，“出现两个正面”的频率稳定在 25% 附近，怎样运用理论分析的方法求抛掷两枚硬币时出现两个正面的概率呢？ 情境导入 分析：从下表和下图中可以看出，抛掷两枚硬币共 有 4 个机会均等的结果：“出现两正”“出现反”“出现一正一反”“出现一反一正”. 因此 硬币1 硬币2 正 反 正 正正 正反 反 反正 反反 硬币1 硬币2 正 反 正 正 反 反 P(出现两个正面) = . 由此，我们可以看出：理论分析与重复试验得到的结论是一致的. 在图中，从上至下每条路径就是一个可能的结果，我们把它称为树状图. 硬币1 硬币2 正 反 正 正 反 反 知识要点 这个游戏对小亮和小明公平吗？ 例1 小明和小亮做扑克游戏，桌面上放有两堆牌，分别是红桃和黑桃的1，2，3，4，5，6，小明建议:我从红桃中抽取一张牌，你从黑桃中取一张，当两张牌数字之积为奇数时，你得 1 分，为偶数我得 1 分，先得到 10 分的获胜”.如果你是小亮，你愿意接受这个游戏的规则吗? 你能求出小亮得分的概率吗? 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 红桃 黑桃 用表格表示 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 总结经验: 当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏的列出所有可能的结果，通常采用列表的办法. 解：由表中可以看出，在两堆牌中分别取一张，它可能出现的结果有 36 个，它们出现的可能性相等，满足两张牌的数字之积为奇数(记为事件 A)的有 (1，1)(1，3)(1，5)(3，1)(3，3)(3，5)(5，1)(5，3)(5，5) 这 9 种情况，所以 P(A) = . 例2 现有 A、B、C 三盘包子，已知 A 盘中有两个酸菜包和一个糖包，B 盘中有一个酸菜包和一个糖包和一个韭菜包，C 盘中有一个酸菜包和一个糖包以及一个馒头.老师就爱吃酸菜包，如果老师从每个盘中各选一个包子（馒头除外），那请你帮老师算算选的包子全部是酸菜包的概率是多少？ A B C 酸 酸 糖 韭 酸 糖 酸 糖 酸 糖 韭 酸 糖 韭 酸 糖 酸 糖 酸 糖 酸 糖 酸 糖 酸 糖 酸 糖 酸 糖 解：画树状图： 由树状图，得所以可能出现的结果有 18 种，它们出现的可能性相等.选的包子全部是酸菜包的结果有 3 种，故 P(全是酸菜包) = 问题2：用力旋转下图所示的转盘甲和转盘乙的指针，如果想让指针停在蓝色区域，那么选哪个转盘成功的概率比较大？ 思考：(1) 有同学说：转盘乙大，相应地，蓝色区域的面积也大，所以选转盘乙成功的概率比较大，你同意吗？ (2) 还有同学说：每个转盘只有两种颜色，指针不是停在红色区域就是停在蓝色区域，成功的概率都是50%，所以随便选哪个转盘都可以，你同意吗？ 请你和同学一起重复试验，并将结果填入表，在图中用不同颜色的笔分别画出相应的两条折线。 表两个转盘指针停在蓝色区域的频数、频率统计表 两个转盘指针停在蓝色区域的频率随试验次数变化趋势图 分析：观察两个转盘，我们可以发现：转盘甲中的 蓝色区域所对的圆心角为 90°，说明它占整个转盘的四分之一；转盘乙尽管大一些，但蓝色区域所对的圆心角仍为 90°，说明它还是占整个转盘的四分之一，你能预测指针停在蓝色区域的概率吗？ 结合重复试验与理论分析的结果，我们发现 P (转盘甲指针停在蓝色区域) = ， P (转盘乙指针停在蓝色区域) = . 思考 （1）从重复试验结果中你得出了哪些结论？ 转盘问题的概率计算公式： P (A) ＝ 或 事件A的份数 总份数 事件A的圆心角度数 360° （2）如果不做试验，你能预测图所示的转盘指针停在红色区域的概率吗？ P (转盘指针停在红色区域) = 问题3：将一枚图钉随意向上抛起，求图钉落定后钉尖触地的概率. 分析：虽然一枚图钉被抛起后落定的结果只有两种：“钉尖朝上”或“钉尖触地”，但由于图钉的形状比较特殊，我们无法用分析的方法预测 P(钉尖朝上)与 P(钉尖触地) 的数值. 因此，只能借助重复试验来帮忙. 用频率估计概率 2 通过小组合作，分别记录抛掷 40 次、80 次、120次、160 次、200 次、240 次、280 次、320 次、360 次、400 次、440 次、480 次后出现钉尖触地的频数和频率，列出统计表，绘制折线图. 思考：如果你和同伴使用的图钉形状分别是如图所示的两种，那么这两种图钉钉尖触地的概率相同吗？能把你们两个人的试验数据合起来进行统计吗？ 那么，总共要做多少次试验才能认为得出的结果比较可靠呢？ 从上面的问题可以看出： (1) 通过重复试验用频率估计概率，必须要求试验是在相同条件下进行的，比如，以同样的方式抛掷同一种图钉； (2) 在相同条件下，试验次数越多，就越有可能得到较好的估计值，但不同小组试验所得的估计值也并不一定相同. 钉尖触地的频数、频率表 钉尖触地的频率随抛掷次数变化趋势图 可以看出，当试验进行到 720 次以后，所得频率值就在 46.0% 上下浮动，且浮动的幅度不超过 0.5%，我们可以取 46% 作为这个事件发生概率的估计值，即 P(钉尖触地)≈46%. 当我们只需粗略地知道该事件发生的概率时，就可以在试验 200 次后，得到“概率大约是百分之四十几”的粗略估计. 为了节省时间，我们可以把小组内 10 个成员的试验数据累加起来，每人做 50 次，一共就做了 500 次，此时频率就已经比较稳定了. 当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们一般可以通过统计频率来估计概率. 在同样条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件发生的频率逐渐稳定到的常数，可以估计这个事件发生的概率． 利用频率估计概率 归纳 1.经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左或向右转，如果这三种可能性的大小相同．三辆汽车经过这个十字路口，（画树状图）求下列事件的概率： （1）三辆汽车继续直行的概率； （2）两辆车向右转，一辆车向左转的概率； （3）至少有两辆车向左转的概率． 当堂练习 解：画树状图得：                                                                                                                                        ∴一共有 27 种等可能的情况. （1）∵三辆汽车继续直行的有 1 种情况， ∴三辆汽车继续直行的概率为：      ； （2）两辆车向右转，一辆车向左转的有 3 种， ∴两辆车向右转，一辆车向左转的概率为          ； （3）至少有两辆车向左转的有 7 种：直左左，右左左，左直左，左右左，左左直，左左右，左左左， 则至少有两辆车向左转的概率为：      ． 2.如图，甲、乙用 4 张扑克牌玩游戏，他俩将扑克牌洗匀后背面朝上，放置在桌面上，每人抽一张，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回．甲、乙约定：只有甲抽到的牌面数字比乙大时甲胜；否则乙胜．请你用树状图或列表法说明甲、乙获胜的机会是否相同．  解：画树状图得：                                                                      ∵共有 12 种等可能的结果，甲抽到的牌面数字比乙大的有 5 种情况，小于等于乙的有 7 种情况， ∴P(甲胜) =      ，P(乙胜) =      . ∴甲、乙获胜的机会不相同． 当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏的列出所有可能的结果，通常采用列表的办法. 当一次试验要涉及两个以上因素，并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏的列出所有可能的结果，通常采用画树状图的办法. 当堂小结 当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，常常是通过统计频率来估计概率，即在同样条件下，大量重复试验所得到的随机事件发生的频率的稳定值来估计这个事件发生概率. $