第一章三角形第五节等腰三角形（三） 提优特训A·B卷 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 本练习分A卷基础过关与B卷强化提优，通过基础巩固与综合拓展的分层设计，构建从概念理解到动态应用的知识巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A卷基础过关|等边三角形定义、性质、判定及含30°直角三角形性质|选择填空考查基础概念，解答题侧重基本证明与角度线段计算| |B卷强化提优|等边三角形与全等、动点旋转等综合应用|动态问题、辅助线添加考查创新意识，综合题培养逻辑推理与问题转化能力|

数学臻选·2026-2027学年苏科版八年级数学上 《第一章三角形第五节等腰三角形（三）》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.理解等边三角形的定义，熟练掌握等边三角形的性质定理、三条判定方法；分清等边三角形与等腰三角形的从属关系；能够规范书写几何证明过程，会结合等边三角形进行角度、线段长度计算；掌握含30 ° 角的直角三角形性质，并能进行简单综合证明与计算 。 2.经历 “ 猜想 — 证明 — 归纳 ” 的几何探究过程，体会从一般等腰三角形到特殊等边三角形的研究方法；在综合证明题中学会转化思想、分类讨论思想；提升演绎推理、逻辑书写能力，能够独立完成中等难度几何综合题。 3.建立特殊三角形的知识体系，理解等边三角形是特殊的等腰三角形；能从边、角、对称性、特殊线段多角度分析等边三角形；遇到动态、图形叠加问题时，主动寻找等边三角形模型，发展几何直观与符号意识 。 4.感受特殊与一般的辩证关系；在几何证明过程中养成严谨、步步有据的答题习惯；克服复杂几何综合题的畏难情绪，增强几何学习的信心。 ) 二．重点难点 ( （一）学习重点 1.等边三角形的性质：三边相等，三个内角均为60 o ， “ 三线合一 ” ，具有3条对称轴；熟练写出对应的几何符号语言 。 2.等边三角形的三种判定方法，能够根据题目条件灵活选择合适判定定理完成证明。 3.含30 o 角的直角三角形性质：在直角三角形中，30 o 锐角所对直角边等于斜边的一半，可以用来求解线段长度。 4.基础综合题型：等边三角形背景下角度计算、线段相等证明。 （二）难点 1.判定定理二的灵活运用： “ 有一个角是60 o 的等腰三角形是等边三角形 ” ，做题时必须先证明三角形为等腰三角形，再给出一个60 o 内角，两个条件缺一不可，学生容易遗漏等腰这个前提条件 。 2.等边三角形与全等三角形相结合的综合证明题，能够挖掘图形当中隐藏相等线段、60 o 等隐含条件。 3.含30 o 直角三角形性质的前提条件容易遗忘：必须在直角三角形之中，结论才成立。 4.动点、旋转背景下等边三角形模型识别，需要添加辅助线完成证明。 )三．知识清单 ( （一）认识 等边三角形 1.等边三角形的定义： 三边都相等的三角形叫做等边三角形，也称为正三角形。 2.深入理解： （1）从边的角度：三条边都相等。 （2）从角的角度：三个角都相等，且均为60 ° （可通过三角形内角和定理推导）。 （3）从对称性角度：有3条对称轴，远超等腰三角形的1条。 3.从属关系： 等边三角形属于特殊的等腰三角形（腰＝底边），因此等边三角形拥有等腰三角形全部性质。 4.几何语言： ∵ AB=BC=AC， ∴△ ABC为等边三角形。 ) ( （二）等边三角形的性质定理（四大维度：边、角、对称性 、特殊线段 ） 1.活动 画出等边三角形的三条对称轴，你有什么发现？ 【发现】三条对称轴交于一点 2. 等边三角形的性质 (1)边：等边三角形的三条边都相等； (2)角：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60 ° ； (3)对称性：等边三角形是轴对称图形，它有3 条对称轴，分别为三边的垂直平分线； (4)三线合一：各边上的高、中线、对角的角平分线重合，且长度相等. （三） 等边三角形三种判定方法（必考，需要区分使用场景） 1. 判定 ① （定义法：从边出发） （1）内容： 三边都相等的三角形是等边三角形。 （2） 适用：题目直接给出三条边相等，或者可以证出三条线段全部相等。 2. 判定 ② （从角出发） （1） 三个内角都相等的三角形是等边三角形。 （2） 推导：三角形内角和180 o ，三个角相等，可以得到每个内角都是60 o 。 （3） 适用：题干能够证明三个角彼此相等；若已经知道两个角等于60 o ，第三个角自然等于60 o ，同样可以判定。 3. 判定 ③ （高频重难点） （1）内容： 有一个内角等于60 o 的等腰三角形是等边三角形。 （2） 关键：两个前提缺一不可： ① 该三角形是等腰三角形； ② 存在一个内角为60 o 。 分类理解： 情况1：等腰三角形顶角等于60 o ，两个底角均等于60 o ； 情况2：等腰三角形一个底角等于60 o ，另一个底角也是60 o ，顶角等于60 o 。 无论60 o 是顶角还是底角，只要等腰三角形存在一个60 o 内角，一定是等边三角形。 （3） 几何语言： ∵ AB=AC, ∠ A=60 o ， ∴△ ABC是等边三角形。 4. 证明等边三角形的思维导图 ) ( （四）等腰三角形与等边三角形比较 项目 普通等腰三角形（非等边） 等边三角形 边 两条边相等 三条边全部相等 内角 两个底角相等，内角不一定 三个内角均为 三线合一 仅底边上高、中线、顶角平分线重合 三条边上全部满足三线合一 对称轴 1条 3条 判定 两边相等；等角对等边 三边相等；三角相等；有角的等腰三角形 （五） 含30 o 锐角的直角三角形的性质 1.操作：用两个全等的含30 ° 角的直角三角形拼摆成一个等边三角形。 如图，将两个相同的含30 ° 角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt △ ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？ 已知：在Rt △ ABC 中， ∠ C =90 ° ， ∠ A =30 ° . 求证：BC = AB． 方法一：倍长法 证明：延长BC 到D，使BC=CD，连接AD， ∵ 　 ∠ C =90 ° ∴ AC ⊥ BD ∴ AB=AD 又 ∵∠ A =30 ° , ∴∠ B =60 °∴△ ABD 是等边三角形 ∴ AB=BD=2BC ∴ BC = AB． 方法二：截半法 证明：在BA上截取BE=BC，连接EC. ∵ ∠ B= 60 ° ，BE=BC. ∴ △ BCE是等边三角形， ∴ ∠ BEC= 60 ° ，BE=EC. ∵ ∠ A= 30 ° ， ∴ ∠ ECA= ∠ BEC- ∠ A=60 ° -30 ° = 30 °∴ AE=EC， ∴ AE=BE=BC， ∴ AB=AE+BE=2BC. ∴ BC = AB． 2. 结论 ： 含30 ° 角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 3. 几何语言 ： ∵ 　在Rt △ ABC 中， ∠ C =90 ° ， ∠ A =30 ° ， ∴ BC = AB )A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,分别交AB、AC于点D、E,P为线段AE上任意一点.若∠DPE=80°,则∠PDE的度数为(　　) A.20°　　　B.40°　　　C.60°　　　D.100° 【答案】B　 【解析】∵△ABC是等边三角形,∴∠C=60°,∵DE∥BC,∴∠PED=∠C=60°,∵∠DPE=80°, ∴∠PDE=180°-∠PED-∠DPE=40°,故选B. 2.在△ABC中,AB=AC,添加下列条件不能判定△ABC是等边三角形的是(　　) A.∠A=60° B.AC=BC C.∠B的补角等于∠C的补角 D.AB边上的高也是AB边上的中线 【答案】C　 【解析】A.当AB=AC,∠A=60°时,△ABC是等边三角形,故本选项不符合题意;B.当AB=AC, AC=BC时,AB=AC=BC,则△ABC是等边三角形,故本选项不符合题意;∵AB=AC,∴∠B=∠C, ∴∠B的补角等于∠C的补角,∴当∠B的补角等于∠C的补角时,不能判定△ABC是等边三角形,故本选项符合题意;D.当AB边上的高也是AB边上的中线时,CA=CB,∴AB=AC=BC,∴△ABC是等边三角形,故本选项不符合题意.故选C. 3.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,AD⊥BC于D,则BD与BC的数量关系(　　) A.BC=2BD　　　　　B.BC=3BD C.BC=4BD　　　　　D.BC=5BD 【答案】C　 【解析】∵∠BAC=90°,∠C=30°,∴BC=2AB,∠B=180°-∠BAC-∠C=60°, ∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∴∠BAD=180°-∠ADB-∠B=30°,∴AB=2BD,∴BC=4BD.故选C. 4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,BC=4,等边△CDE的顶点E,D分别在线段AB,BC上,则CD的长为(　　) A.1　　　 B.2　　 　C.3　　　 D.4 【答案】B　 【解析】∵△CDE为等边三角形,∴∠ECD=60°,CE=CD,∵∠B=30°,∴∠CEB=180°-60° -30°=90°,∴CE⊥AB,即△CBE为直角三角形,∴CD=CE=BC=×4=2,故选B. 5．如图，过等边△ABC的顶点A作直线．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵△ABC是等边三角形，∴，∵，∴，故选：A 6．如图，等边△ABC的边长为，D，E分别是上的点，将△ADE沿直线折叠，点A落在点处，且点在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵等边△ABC的边长为，∴，∵将沿直线折叠，点A落在点处，∴，∴阴影部分图形的周长为： ．故选：A 7．如图，等边△ABC的边，点是的中点，点为延长线上一点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】等边△ABC的边，点是的中点，，，，，．故选：． 8．如图，等边三角形纸片的边长为7，点E，F是边的三等分点．分别过点E，F沿着平行于的方向各剪一刀，则剪下的的周长是（    ） A．3 B． C．7 D．8 【答案】C 【解析】∵等边三角形的边长为7，∴，∵点E，F是边的三等分点，∴，∵，∴， ∴，∴△DEF为等边三角形，∴，∴△DEF 的周长是：，故选：C． 9．如图，过等边的顶点、、依次作、、的垂线、、，三条垂线围成，若，则的周长为（    ） A．12 B．18 C．20 D．24 【答案】B 【解析】，，是等边三角形，，， ，∵，，同理：，是等边三角形．．在中，，， ，，，在与中，，，，，的周长为．故选：B． 10．如图，等边三角形的三条角平分线相交于点O，，交于点D，，交于点E．图中等腰三角形共有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】B 【解析】①∵为等边三角形，∴，∴为等腰三角形；②∵分别是三个角的角平分线，∴，∴，∴为等腰三角形；③为等腰三角形； ④为等腰三角形；⑤∵，∴， ∵，∴，∴为等腰三角形；⑥∵， ∴，∵，∴∠BOD=∠DBO，∠COE=∠ECO，∴为等腰三角形；⑦为等腰三角形．故选：B． 二．填空题（共30分） 11．如图，在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD＝____°. 【答案】30° 【解析】：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠BAC＝30°. 12．在△ABC中，则的度数为 度． 【答案】60 【解析】∵∴△ABC是等边三角形∴故答案为： 13．在△ABC中，，，，则△ABC的周长是 ． 【答案】12 【解析】，，是等边三角形，，的周长．故答案为：12． 14．如图，在等边△ABC中，，是△ABC的中线，，交于点，则的度数为 ． 【答案】 【解析】∵是等边三角形，，是的中线，∴，，是△ABC的角平分线，∴，∴，∴，故答案为：． 15．如图，△ABC是等边三角形，为上一点，在上取一点，使，且，则的度数是 ． 【答案】 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴，∵， ∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故答案为：． 16．如图，在等边三角形中，，点在边上，当线段的值最小时，的长为 ． 【答案】3 【解析】点在边上，当时，的值最小，又是等边三角形， ，故答案为：3． 17．某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要________. 【答案】150a元 【解析】：如图，作BA边的高CD，设与BA的延长线交于点D，∵∠BAC＝150°，∴∠DAC＝30°，∵CD⊥BD，AC＝30 m，∴CD＝15 m，∵AB＝20 m，∴S△ABC＝AB×CD＝×20×15＝150(m2)，∵每平方米售价a元，∴购买这种草皮的价格是150a元． 18．某等腰三角形的三边长分别为x，3，2x﹣1，则该三角形的周长为________. 【答案】8 【解析】当x=3时，此时2x﹣1=5，∴3+3＞5，能组成三角形，此时三角形的周长为：3+3+5=11，当x=2x﹣1时，此时x=1，∴1+1＜3，不能组成三角形，当2x﹣1=3时，此时x=2∴3+2＞3，能组成三角形，此时三角形的周长为：3+3+2=8， 19.如图，△ABC是等边三角形，点P是三角形内的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为12，则PD+PE+PF=________. 【答案】4 【解析】延长EP、FP分别交AB、BC于G、H，则由PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，可得，四边形PGBD，EPHC是平行四边形，∴PG=BD，PE=HC，又△ABC是等边三角形，又有PF∥AC，PD∥AB可得△PFG，△PDH是等边三角形，∴PF=PG=BD，PD=DH，又△ABC的周长为12， ∴PD+PE+PF=DH+HC+BD=BC=×12=4 20．如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，且交AD于P，如果AP=2，则AC的长为_____. 【答案】6 【解析】∵△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，∴∠ABC=60°．又∵BE是∠ABC的平分线，∴∠EBC=30°，∴∠AEB=∠C+∠EBC=60°，∠C=∠EBC，∴∠AEP=60°，BE=EC．又AD⊥BC，∴∠CAD=∠EAP=60°，则∠AEP=∠EAP=60°，∴△AEP的等边三角形，则AE=AP=2，在直角△AEB中，∠ABE=30°，则EB=2AE=4，∴BE=EC=4，∴AC=CE+AE=6． 三．解答题（共60分） 21.如图,在等边△ABC中,点D在边BC上,过点D作DE∥AB交AC于点E,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F. (1)求∠F的度数; (2)求证:DC=CF. 解:(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°.∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B=60°.∵DE⊥EF, ∴∠DEF=90°,∴∠F=90°-∠EDC=90°-60°=30°. (2)证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,∴∠EDC=∠ECD=60°,∴△DEC是等边三角形,∴CE=CD.∵∠ECD=∠F+∠CEF,∠F=30°,∴∠CEF=∠ECD-∠F=30°=∠F,∴EC=CF, ∴DC=CF. 22．如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，分别以AB，AC为边作等边三角形ABE和等边三角形ACD，连结ED交AB于点F.求证： (1)BC＝AB. (2)EF＝DF. 解：(1)过点E作EG⊥AB于点G.∵△ABE为等边三角形，∴BG＝AB，∠BEG＝∠AEB＝30°，BA＝BE.∵∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，∴∠BCA＝∠BGE，∠BAC＝∠BEG.又∵BA＝BE，∴△BCA≌△BGE(AAS)，∴BC＝BG，∴BC＝AB. (2)∵△BCA≌△BGE，∴AC＝EG.∵△ACD为等边三角形，∴∠CAD＝60°，AC＝AD.∴EG＝DA.∵∠BAC＝30°，∴∠DAF＝∠CAD＋∠BAC＝90°，∴∠EGF＝∠DAF.在△EGF和△DAF中，∵∴△EGF≌△DAF(AAS)，∴EF＝DF. 23.如图1,已知等边△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,连接DE. (1)若DE∥BC,求证:△ADE是等边三角形; (2)如图2,若D、E分别为AB、AC的中点,连接CD、BE,CD与BE相交于点F,请直接写出图中所有等腰三角形.(△ADE与△ABC除外) 图1 图2 解：(1)证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=∠C,∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C, ∴∠A=∠ADE=∠AED,∴△ADE是等边三角形. (2)△BDE,△DEC,△DEF和△BFC为等腰三角形.∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC=BC,∠A=60°,∵D、E分别为AB、AC的中点,∴AD=BD=AB,AE=CE=AC, ∴AD=AE,∴△ADE为等边三角形,∴AD=DE,∴BD=DE,∴△BDE为等腰三角形,同理△DEC为等腰三角形.∵AB=BC,E为AC的中点,∴∠ABE=∠CBE=30°,∵∠ADE=∠ABC=60°, ∴DE∥BC,∴∠DEB=∠EBC=30°,同理∠BCD=∠EDC=30°,∴∠BCD=∠CBE=∠DEB=∠CDE, ∴FB=FC,DF=EF,∴△DEF和△BFC都为等腰三角形. 24.在复习课上,老师布置了一道思考题:如图所示,点M、N分别在等边△ABC的BC、CA边上,且BM=CN,AM、BN交于点Q,求证:∠BQM=60°. (1)请你完成这道思考题; (2)做完(1)后,同学们在老师的启发下进行了反思,提出许多问题,譬如: ①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换,得到的是否仍是真命题? ②若将题中的点M,N分别移动到BC,CA的延长线上,是否仍能得到∠BQM=60°?请你选择其中一个问题,并画出图形,给出证明. 解：(1)证明:∵△ABC为等边三角形,∴AB=BC,∠ABC=∠C=60°,在△ABM和△BCN中,∴△ABM≌△BCN(SAS).∴∠BAM=∠CBN.∵∠QBA+∠CBN=∠CBA=60°, ∴∠QBA+∠BAM=60°.∴∠BQM=60°. (2)任选一个问题回答即可.①是.证明:∵∠BQM=60°,∴∠QBA+∠BAM=60°.∵∠QBA+∠CBN=60°,∴∠BAM=∠CBN.在△ABM和△BCN中,∴△ABM≌△BCN(ASA).∴BM=CN. ②能.证明:如图,∵BM=CN,BC=AC,∴CM=AN.∵∠BAC=∠ACB=60°,∴∠ACM=∠BAN =180°-60°=120°,在△BAN和△ACM中,∴△BAN≌△ACM(SAS). ∴∠NBA=∠MAC,∴∠BQM=∠BNA+∠NAQ=∠BNA+∠CAM=∠BNA+∠ABN=∠BAC=60°. 25. (10分)如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形.BE交AC于F，AD交CE于H，求证： （1）△BCE≌△ACD； （2）CF=CH； （3）△FCH是等边三角形； （4）FH∥BD. 解：（1）证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴∠BCA=∠DCE=60°，BC=AC=AB，EC=CD=ED，∴∠BCE=∠ACD.在△BCE和△ACD中， ∴△BCE≌△ACD（SAS）； （2）∵△BCE≌△ACD，∴∠CBF=∠CAH．∵∠ACB=∠DCE=60°，在△BCF和△ACH中， ∴∠ACH=60°，∴∠BCF=∠ACH， ∴△BCF≌△ACH（ASA）， ∴CF=CH； （3）∵CF=CH，∠ACH=60°，∴△CFH是等边三角形． （4）∵△CHF为等边三角形∴∠FHC=60°，∵∠HCD=60°，∴FH∥BD 26.在△ABC中,AB=AC. (1)如图1,如果∠BAD=30°,AD是BC边上的高,AD=AE,则∠EDC=　　　　;  (2)如图2,如果∠BAD=40°,AD是BC边上的高,AD=AE,则∠EDC=　　　　;  (3)思考:通过以上两题,你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系?请用式子表示:　　　　　　;  (4)如图3,如果AD不是BC边上的高,AD=AE,∠BAD与∠EDC是否仍有上述关系?如有,请你写出来,并说明理由. 图1 图2 图3 解：(1)∵在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,∴∠BAD=∠CAD,∠ADC=90°, ∵∠BAD=30°,∴∠CAD=30°,∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=×(180°-30°)=75°, ∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°. (2)∵在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,∴∠BAD=∠CAD,∠ADC=90°,∵∠BAD=40°,∴∠CAD=40°,∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=×(180°-40°)=70°,∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-70°=20°. (3)∠BAD=2∠EDC. (4)仍有∠BAD=2∠EDC.理由如下:∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED, ∴∠BAD+∠B=∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=(∠EDC+∠C)+∠EDC=2∠EDC+∠C,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠BAD=2∠EDC. B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.如图,直线m∥n,△ABC是等边三角形,顶点B在直线n上,直线m交AB于点E,交AC于点F,若∠1=140°,则∠2的度数是(　　) A.80°　　　　B.100°　　　　C.120°　　　　D.140° 【答案】B　 【解析】如图,∵△ABC是等边三角形,∴∠A=60°.∵∠1=∠A+∠AEF=140°,∴∠AEF= 140°-60°=80°,∴∠DEB=∠AEF=80°.∵m∥n,∴∠2+∠DEB=180°,∴∠2=180°-80°=100°.故选B. 2．如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为(　　) A．4 B．30 C．18 D．12 【答案】D 【解析】：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠AED＝∠B＝∠C＝60°，∴△ADE为等边三角形，∵AB＝10，BD＝6，∴AD＝AB－BD＝10－6＝4，∴△ADE的周长为12. 3．下列推理中，错误的是(　　) A．因为∠A＝∠B＝∠C，所以△ABC是等边三角形 B．因为AB＝AC且∠B＝∠C，所以△ABC是等边三角形 C．因为∠A＝60°，∠B＝60°，所以△ABC是等边三角形 D．因为AB＝AC，∠B＝60°，所以△ABC是等边三角形 【答案】B 【解析】：选项A，根据判定方法可知三个角相等的三角形是等边三角形，因此A是正确的；选项B，由AB＝AC可推出∠B＝∠C，因此它只能判定△ABC是等腰三角形，故B是错误的；选项C，可求出第三个角也是60°，因此有两个角是60°的三角形可判定为等边三角形，故C是正确的；选项D，有一个角为60°的等腰三角形，可判定为等边三角形，故D是正确的． 4．如图是一种落地灯的简易示意图，已知悬杆的部分的长度与支杆相等，且．若的长度为，则此时两点之间的距离为（　　） A．3 B．6 C．6 D．7 【答案】B 【解析】如图，连接，由题意可知，，∵，∴，∴是等边三角形， ∴，即此时两点之间的距离为． 故选：B ． 5．如图，在以BC为底边的等腰△ABC中，∠A＝30°，AC＝8，BD⊥AC，则△ABC的面积是(　　) A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【解析】：∵AB＝AC，AC＝8，∴AB＝8，∵BD是高，∴∠BDA＝90°，∵∠A＝30°，∴BD＝AB＝4，∴△ABC的面积＝×8×4＝16. 6．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于(　　) A．15° B．30° C．45° D．60° 【答案】A 【解析】：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，∴BD＝CD，即：AD是BC的垂直平分线， ∵点E在AD上，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB，∵∠EBC＝45°，∴∠ECB＝45°， ∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠ACE＝∠ACB－∠ECB＝15°. 7．如图，∠MON＝30°，且OP平分∠MON，过点P作PQ∥OM交ON于点Q.若点P到OM的距离为2，则OQ的长为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】如图过点P作PE⊥ON，∵OP平分∠MON，∴∠1＝∠2，∵PQ∥OM，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3＝∠MON＝15°，∴OQ＝PQ，∠4＝30°，∴PQ＝2PE＝4，∴OQ＝PQ＝4. 8.如图,已知:∠MON=30°,点A1、A2、A3、…在射线ON上,点B1、B2、B3、…在射线OM上,△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形,若OA1=,则△A6B6A7的边长为 (　　) A.6 B.12 C.16 D.32 【答案】　C　 【解析】如图,∵△A1B1A2是等边三角形,∴A1B1=A2B1,∠3=∠4=∠12=60°,∴∠2=120°, ∵∠MON=30°,∴∠1=180°-120°-30°=30°,∵∠3=60°,∴∠5=180°-60°-30°=90°,∵∠MON=30°=∠1,∴A1B1=OA1=,∴A2B1=,∵△A2B2A3、△A3B3A4都是等边三角形,∴∠11= ∠10=∠13=60°,A2B2=A3B2,∴∠4=∠10=∠11=∠12=∠13,∴A1B1∥A2B2∥A3B3,B1A2 ∥B2A3,∴∠6=∠7=∠1=30°,∠8=∠5=90°,∴A2B2=2B1A2,B3A3=2B2A3,∴A3B3=4B1A2=2,A4B4=8B1A2=4,A5B5=16B1A2=8,……∴△AnBnAn+1的边长为×2n-1,∴△A6B6A7的边长为×26-1=×25=16.故 9．如图，在△ABC中，，，边上的高，E是边上的一个动点，F是边的中点，则的最小值是（   ） A．3.5 B．5 C．7 D．10 【答案】C 【解析】连接，，∵，，∴△ABC是等边三角形，∵是边上的高，是边上的中线，即垂直平分，，∴，∴当、、三点共线时，值最小 ，最小值为， 等边△ABC中，是边的中点，，的最小值为7，故选：C． 10．如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：；；；；，一定成立的是（　　） A．①②③④ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤ 【答案】B 【解析】和都是等边三角形，，，， ，即：， ，故结论正确，，，即：， 和都是等边三角形，，， ，， ，，，，故结论正确， 又，是等边三角形，，， ，故结论正确，，，故结论正确， ，，， ，是等边三角形，，，故结论不正确， 综上，正确的结论有，故选：B． 二．填空题（共30分） 11．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点E，F.若△AFC是等边三角形，则∠B＝____°. 【答案】30° 【解析】：∵EF垂直平分BC，∴BF＝CF，∴∠B＝∠BCF，∵△AFC为等边三角形，∴∠AFC＝60°，∴∠B＝∠BCF＝30°. 12．如图，直线a，b过等边三角形ABC顶点A和C，且a∥b，∠1＝42°，则∠2的度数为____. 【答案】102° 【解析】：如图，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵∠1＝42°，a∥b，∴∠2＝∠1＋∠BAC＝42°＋60°＝102°. 13．如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，过点D作DE⊥BC于点E，且CE=1.5，则AB的长为_________． 【答案】6 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠C=60°，AB=BC=AC，∵DE⊥BC，∴∠CDE=30°， ∵EC=1.5，∴CD=2EC=3，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴AD=CD=3，∴AB=AC=AD+CD=6． 故答案为：6 14.如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=10，点M、N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=_________. 【答案】4 【解析】作PH⊥MN于H，∵PM=PN，∴MH=NH=MN=1，∵∠AOB=60°，∴∠OPH=30°，∴OH=OP=5，∴OM=OH﹣MH=4， 15．如图，工人在某施工现场作业，地面上有一个长为米的梯子斜靠在墙上，梯子底端与地面的交点为C，梯子与墙面的交点为M，此时梯子的倾斜角为（即），如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，梯子与墙面的交点为N，此时梯子的倾斜角为（即），若连接，那么的长是 米． 【答案】 【解析】根据题意，米，，，∴为等边三角形，米，故答案为：． 16．如图，在等边三角形中，，，交于点F，则 ． 【答案】 【解析】在等边三角形中，，在和中， ，，，，故答案为：． 17.如图,点D,E,F分别为等边△ABC三边AB,BC,AC上的动点,当△DEF为等边三角形时,AD=3,则线段CF的长为　　　　.  【答案】　3 【解析】　∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠C=60°,∴∠ADF+∠AFD=180°-∠A=120°, ∵△DEF是等边三角形,∴DF=EF,∠DFE=60°,∴∠AFD+∠EFC=180°-∠DFE=120°, ∴∠ADF=∠EFC,∴△ADF≌△CFE(AAS),∴CF=AD=3. 18.由于木质衣架没有柔韧性,在挂置衣服的时候不太方便操作.小明设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,套进衣服后松开即可.如图,OA=OB=20 cm,当衣架收拢时,∠AOB=60°,此时A,B两点之间的距离是　　　　cm.  【答案】　20 【解析】　如图,连接AB.∵OA=OB,∠AOB=60°,∴△OAB是等边三角形,∴AB=OA=20 cm.故答案为20. 19.如图,校园内有一棵大树AB,大树旁边有一栋教学楼CD,且CD=6.6米,站在楼顶C处,测得点B的仰角为30°,点A的俯角为30°,AC=BC,AD∥EC,则大树AB的高度为　　　.  【答案】　13.2米 【解析】　∵∠ACB=∠ACE+∠BCE=30°+30°=60°,AC=BC,∴△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∵AD∥EC,∴∠CAD=∠ACE=30°,在Rt△ADC中,∠CAD=30°, CD=6.6米,∴AC=2CD=2×6.6=13.2(米),∴大树AB的高度为13.2米. 20．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=BC，则△ABC的顶角的度数为__20．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=BC，则△ABC的顶角的度数为______． 【答案】30°或150°或90° 【解析】①BC为腰，∵AD⊥BC于点D，AD=BC，∴∠ACD=30°，如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°，如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°，②BC为底，如图3，∵AD⊥BC于点D，AD=BC，∴AD=BD=CD，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，∴∠BAD+∠CAD=×180°=90°，∴顶角∠BAC=90°，综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．故答案为：30°或150°或90°． 三．解答题（共60分） 21.如图,△ABC是等边三角形,BD是AC边上的高,延长BC至E,连接DE,使DB=DE. (1)求∠BDE的度数; (2)求证:△CED为等腰三角形. 解：(1)∵DB=DE,∴∠E=∠DBE,∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=∠ABC=60°,∵BD是AC边上的高,∴∠DBC=30°,∴∠E=∠DBE=30°,∴∠BDE=180°-30°-30°=120°. （2）证明:∵∠ACB=60°,∠E=30°,∴∠CDE=∠ACB-∠E=30°,∴∠CDE=∠E,∴CD=CE, ∴△CED是等腰三角形. 22.如图,在四边形ABCD 中,AB=AD,CB=CD,∠A=60°,点 E 为AD 上一点,连接BD,CE交于点 F,CE∥AB. (1)判断△DEF 的形状，并说明理由. (2)若AD=12,CE=7,求 CF的长. 解：(1)△DEF 是等边三角形.理由:∵AB=AD,∠A=60°,∴ △ABD 为等边三角形,∴∠ADB=∠ABD=60°,∵CE∥AB,∴∠DEF=∠A=60°,∠EFD=∠ABD=60°,∴ △DEF 是等边三角形. (2)如图,连接AC交BD 于点O,∵AB=AD,CB=CD,∴AC垂直平分BD,∴AO⊥BD,∴∠BAO=∠DAO=30°,∵CE∥AB,∴∠ACE=∠BAO=∠DAO,∴AE=CE=7,∴DE=AD-AE=12-7=5,∵△DEF是等边三角形，∴EF=DE=5,∴CF=CE-EF=2. 23.如图,在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分线交 AB 于点 E，垂足为 D，CE 平分∠ACB. (1)求∠A 的度数. (2)若BE=4,求AE的长. 解：(1)∵ ED 垂直平分BC,∴EC=EB,∴∠ECD=∠B=30°,又∵CE平分∠ACB, ∴∠ACE=∠ECB=30°,∴ ∠A=180°-(∠B+∠ACE+∠ECB)= 90°. (2)∵ ED 垂直平分BC,∴EC=EB=4,由(1)知∠A=90°,∠ACE=30°,∴AE=CE=2 24．如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？ （2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？ （3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，x×1+12=2x，解得：x=12； （2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，AM=t×1=t，AN=AB﹣BN=12﹣2t，∵三角形△AMN是等边三角形，∴t=12﹣2t，解得t=4，∴点M、N运动4秒后，可得到等边三角形△AMN． （3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图②，假设△AMN是等腰三角形，∴AN=AM，∴∠AMN=∠ANM，∴∠AMC=∠ANB，∵AB=BC=AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C=∠B，在△ACM和△ABN中，∵，∴△ACM≌△ABN，∴CM=BN，设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，∴CM=y﹣12，NB=36﹣2y，CM=NB，y﹣12=36﹣2y，解得：y=16．故假设成立．∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒． 25.如图，O是等边三角形ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，D是△ABC外一点，且△ADC≌△BOC，连接OD． (1) 求证：ACOD是等边三角形； (2) 当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； (3) 当α为多少度时，△AOD是等腰三角形? 解：(1) ∵△ADC≌△BOC，∴DC=OC，∠DCA=∠OCB．∵△ABC为等边三角形，∴∠OCB+∠ACO=∠ACB=60°．∴∠DCA+∠ACO=∠DCO=60°．∴△COD是等边三角形 （2）当α=150°时，△AOD是直角三角形 理由：∵△ADC≌△BOC，∴∠ADC=∠BOC=150°．又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC=60°．∴∠ADO=90。，即△AOD是直角三角形． (3) ① 要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO．∵∠AOD=190°－α，∠ADO=α－60°，∴190°－α=α－60°，∴α=125°．② 要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO.∵∠OAD=180°－(∠AOD+∠ADO)=180°－(190°－α+α－60°)=50°，∴α－60°－50°．∴α=110°．③要使AD=OD，需∠AOD=∠OAD，∴190°－α=50°．∴α=140°．综上所述，当α为125°，110°或140°时，△AOD是等腰三角形． 26.已知在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC. (1)【特殊情况,探索结论】 如图1,当点E为AB的中点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE　　　　DB(填“>”“<”或“=”).  (2)【特例启发,解答题目】 如图2,当点E为AB边上任意一点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论: AE　　　　DB(填“>”“<”或“=”);理由如下:过点E作EF∥BC,交AC于点F(请你完成后续解答过程).  (3)【拓展结论,设计新题】 在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在线段CB的延长线上,且ED=EC,若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长(请你画出相应图形,并直接写出结果). 图1 图2 解：(1)当E为AB的中点时,AE=DB. （2）AE=DB.理由:如图,过点E作EF∥BC,交AC于点F,∵△ABC为等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°,AB=AC,∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°,∴△AEF为等三角边形,∴AE=AF=EF,∴BE=CF.∵ED=EC,∴∠D=∠ECD. ∵∠DEB=∠ABC-∠D=60°-∠D,∠ECF=∠ACB-∠ECB=60°-∠ECD,∴∠DEB=∠ECF.在△DBE和△EFC中,∴△DBE≌△EFC(SAS),∴DB=EF,∴AE=DB. （3）如图所示,过点E作EF∥BC,交AC的延长线于点F,易得△AEF是等边三角形,且边长为2,∴EB=FC.∵ED=EC,∴∠EDC=∠ECD,∵BC∥EF, ∴∠DCE=∠CEF,∴∠CDE=∠CEF,又∵∠DBE=∠ABC=60°=∠AFE, ∴△DBE≌△EFC,∴DB=EF=2,∵BC=1,∴CD=BC+DB=3. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年苏科版八年级数学上 《第一章三角形第五节等腰三角形（三）》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.理解等边三角形的定义，熟练掌握等边三角形的性质定理、三条判定方法；分清等边三角形与等腰三角形的从属关系；能够规范书写几何证明过程，会结合等边三角形进行角度、线段长度计算；掌握含30 ° 角的直角三角形性质，并能进行简单综合证明与计算 。 2.经历 “ 猜想 — 证明 — 归纳 ” 的几何探究过程，体会从一般等腰三角形到特殊等边三角形的研究方法；在综合证明题中学会转化思想、分类讨论思想；提升演绎推理、逻辑书写能力，能够独立完成中等难度几何综合题。 3.建立特殊三角形的知识体系，理解等边三角形是特殊的等腰三角形；能从边、角、对称性、特殊线段多角度分析等边三角形；遇到动态、图形叠加问题时，主动寻找等边三角形模型，发展几何直观与符号意识 。 4.感受特殊与一般的辩证关系；在几何证明过程中养成严谨、步步有据的答题习惯；克服复杂几何综合题的畏难情绪，增强几何学习的信心。 ) 二．重点难点 ( （一）学习重点 1.等边三角形的性质：三边相等，三个内角均为60 o ， “ 三线合一 ” ，具有3条对称轴；熟练写出对应的几何符号语言 。 2.等边三角形的三种判定方法，能够根据题目条件灵活选择合适判定定理完成证明。 3.含30 o 角的直角三角形性质：在直角三角形中，30 o 锐角所对直角边等于斜边的一半，可以用来求解线段长度。 4.基础综合题型：等边三角形背景下角度计算、线段相等证明。 （二）难点 1.判定定理二的灵活运用： “ 有一个角是60 o 的等腰三角形是等边三角形 ” ，做题时必须先证明三角形为等腰三角形，再给出一个60 o 内角，两个条件缺一不可，学生容易遗漏等腰这个前提条件 。 2.等边三角形与全等三角形相结合的综合证明题，能够挖掘图形当中隐藏相等线段、60 o 等隐含条件。 3.含30 o 直角三角形性质的前提条件容易遗忘：必须在直角三角形之中，结论才成立。 4.动点、旋转背景下等边三角形模型识别，需要添加辅助线完成证明。 )三．知识清单 ( （一）认识 等边三角形 1.等边三角形的定义： 三边都相等的三角形叫做等边三角形，也称为正三角形。 2.深入理解： （1）从边的角度：三条边都相等。 （2）从角的角度：三个角都相等，且均为60 ° （可通过三角形内角和定理推导）。 （3）从对称性角度：有3条对称轴，远超等腰三角形的1条。 3.从属关系： 等边三角形属于特殊的等腰三角形（腰＝底边），因此等边三角形拥有等腰三角形全部性质。 4.几何语言： ∵ AB=BC=AC， ∴△ ABC为等边三角形。 ) ( （二）等边三角形的性质定理（四大维度：边、角、对称性 、特殊线段 ） 1.活动 画出等边三角形的三条对称轴，你有什么发现？ 【发现】三条对称轴交于一点 2. 等边三角形的性质 (1)边：等边三角形的三条边都相等； (2)角：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60 ° ； (3)对称性：等边三角形是轴对称图形，它有3 条对称轴，分别为三边的垂直平分线； (4)三线合一：各边上的高、中线、对角的角平分线重合，且长度相等. （三） 等边三角形三种判定方法（必考，需要区分使用场景） 1. 判定 ① （定义法：从边出发） （1）内容： 三边都相等的三角形是等边三角形。 （2） 适用：题目直接给出三条边相等，或者可以证出三条线段全部相等。 2. 判定 ② （从角出发） （1） 三个内角都相等的三角形是等边三角形。 （2） 推导：三角形内角和180 o ，三个角相等，可以得到每个内角都是60 o 。 （3） 适用：题干能够证明三个角彼此相等；若已经知道两个角等于60 o ，第三个角自然等于60 o ，同样可以判定。 3. 判定 ③ （高频重难点） （1）内容： 有一个内角等于60 o 的等腰三角形是等边三角形。 （2） 关键：两个前提缺一不可： ① 该三角形是等腰三角形； ② 存在一个内角为60 o 。 分类理解： 情况1：等腰三角形顶角等于60 o ，两个底角均等于60 o ； 情况2：等腰三角形一个底角等于60 o ，另一个底角也是60 o ，顶角等于60 o 。 无论60 o 是顶角还是底角，只要等腰三角形存在一个60 o 内角，一定是等边三角形。 （3） 几何语言： ∵ AB=AC, ∠ A=60 o ， ∴△ ABC是等边三角形。 4. 证明等边三角形的思维导图 ) ( （四）等腰三角形与等边三角形比较 项目 普通等腰三角形（非等边） 等边三角形 边 两条边相等 三条边全部相等 内角 两个底角相等，内角不一定 三个内角均为 三线合一 仅底边上高、中线、顶角平分线重合 三条边上全部满足三线合一 对称轴 1条 3条 判定 两边相等；等角对等边 三边相等；三角相等；有角的等腰三角形 （五） 含30 o 锐角的直角三角形的性质 1.操作：用两个全等的含30 ° 角的直角三角形拼摆成一个等边三角形。 如图，将两个相同的含30 ° 角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt △ ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？ 已知：在Rt △ ABC 中， ∠ C =90 ° ， ∠ A =30 ° . 求证：BC = AB． 方法一：倍长法 方法二：截半法 2. 结论 ： 含30 ° 角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 3. 几何语言 ： ∵ 　在Rt △ ABC 中， ∠ C =90 ° ， ∠ A =30 ° ， ∴ BC = AB )A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,分别交AB、AC于点D、E,P为线段AE上任意一点.若∠DPE=80°,则∠PDE的度数为(　　) A.20°　　　B.40°　　　C.60°　　　D.100° 2.在△ABC中,AB=AC,添加下列条件不能判定△ABC是等边三角形的是(　　) A.∠A=60° B.AC=BC C.∠B的补角等于∠C的补角 D.AB边上的高也是AB边上的中线 3.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,AD⊥BC于D,则BD与BC的数量关系(　　) A.BC=2BD　　　　　B.BC=3BD C.BC=4BD　　　　　D.BC=5BD 4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,BC=4,等边△CDE的顶点E,D分别在线段AB,BC上,则CD的长为(　　) A.1　　　 B.2　　 　C.3　　　 D.4 5．如图，过等边△ABC的顶点A作直线．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，等边△ABC的边长为，D，E分别是上的点，将△ADE沿直线折叠，点A落在点处，且点在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为（    ） A． B． C． D． 7．如图，等边△ABC的边，点是的中点，点为延长线上一点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．如图，等边三角形纸片的边长为7，点E，F是边的三等分点．分别过点E，F沿着平行于的方向各剪一刀，则剪下的的周长是（    ） A．3 B． C．7 D．8 9．如图，过等边的顶点、、依次作、、的垂线、、，三条垂线围成，若，则的周长为（    ） A．12 B．18 C．20 D．24 10．如图，等边三角形的三条角平分线相交于点O，，交于点D，，交于点E．图中等腰三角形共有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 二．填空题（共30分） 11．如图，在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD＝____°. 12．在△ABC中，则的度数为 度． 13．在△ABC中，，，，则△ABC的周长是 ． 14．如图，在等边△ABC中，，是△ABC的中线，，交于点，则的度数为 ． 15．如图，△ABC是等边三角形，为上一点，在上取一点，使，且，则的度数是 ． 16．如图，在等边三角形中，，点在边上，当线段的值最小时，的长为 ． 17．某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要________. 18．某等腰三角形的三边长分别为x，3，2x﹣1，则该三角形的周长为________. 19.如图，△ABC是等边三角形，点P是三角形内的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为12，则PD+PE+PF=________. 20．如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，且交AD于P，如果AP=2，则AC的长为_____. 三．解答题（共60分） 21.如图,在等边△ABC中,点D在边BC上,过点D作DE∥AB交AC于点E,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F. (1)求∠F的度数; (2)求证:DC=CF. 22．如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，分别以AB，AC为边作等边三角形ABE和等边三角形ACD，连结ED交AB于点F.求证： (1)BC＝AB. (2)EF＝DF. 23.如图1,已知等边△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,连接DE. (1)若DE∥BC,求证:△ADE是等边三角形; (2)如图2,若D、E分别为AB、AC的中点,连接CD、BE,CD与BE相交于点F,请直接写出图中所有等腰三角形.(△ADE与△ABC除外) 图1 图2 24.在复习课上,老师布置了一道思考题:如图所示,点M、N分别在等边△ABC的BC、CA边上,且BM=CN,AM、BN交于点Q,求证:∠BQM=60°. (1)请你完成这道思考题; (2)做完(1)后,同学们在老师的启发下进行了反思,提出许多问题,譬如: ①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换,得到的是否仍是真命题? ②若将题中的点M,N分别移动到BC,CA的延长线上,是否仍能得到∠BQM=60°?请你选择其中一个问题,并画出图形,给出证明. 25. 如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形.BE交AC于F，AD交CE于H，求证： （1）△BCE≌△ACD； （2）CF=CH； （3）△FCH是等边三角形； （4）FH∥BD. 26.在△ABC中,AB=AC. (1)如图1,如果∠BAD=30°,AD是BC边上的高,AD=AE,则∠EDC=　　　　;  (2)如图2,如果∠BAD=40°,AD是BC边上的高,AD=AE,则∠EDC=　　　　;  (3)思考:通过以上两题,你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系?请用式子表示:　　　　　　;  (4)如图3,如果AD不是BC边上的高,AD=AE,∠BAD与∠EDC是否仍有上述关系?如有,请你写出来,并说明理由. 图1 图2 图3 B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.如图,直线m∥n,△ABC是等边三角形,顶点B在直线n上,直线m交AB于点E,交AC于点F,若∠1=140°,则∠2的度数是(　　) A.80°　　　　B.100°　　　　C.120°　　　　D.140° 2．如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为(　　) A．4 B．30 C．18 D．12 3．下列推理中，错误的是(　　) A．因为∠A＝∠B＝∠C，所以△ABC是等边三角形 B．因为AB＝AC且∠B＝∠C，所以△ABC是等边三角形 C．因为∠A＝60°，∠B＝60°，所以△ABC是等边三角形 D．因为AB＝AC，∠B＝60°，所以△ABC是等边三角形 4．如图是一种落地灯的简易示意图，已知悬杆的部分的长度与支杆相等，且．若的长度为，则此时两点之间的距离为（　　） A．3 B．6 C．6 D．7 5．如图，在以BC为底边的等腰△ABC中，∠A＝30°，AC＝8，BD⊥AC，则△ABC的面积是(　　) A．12 B．16 C．20 D．24 6．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于(　　) A．15° B．30° C．45° D．60° 7．如图，∠MON＝30°，且OP平分∠MON，过点P作PQ∥OM交ON于点Q.若点P到OM的距离为2，则OQ的长为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 8.如图,已知:∠MON=30°,点A1、A2、A3、…在射线ON上,点B1、B2、B3、…在射线OM上,△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形,若OA1=,则△A6B6A7的边长为 (　　) A.6 B.12 C.16 D.32 9．如图，在△ABC中，，，边上的高，E是边上的一个动点，F是边的中点，则的最小值是（   ） A．3.5 B．5 C．7 D．10 10．如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：；；；；，一定成立的是（　　） A．①②③④ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤ 二．填空题（共30分） 11．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点E，F.若△AFC是等边三角形，则∠B＝____°. 12．如图，直线a，b过等边三角形ABC顶点A和C，且a∥b，∠1＝42°，则∠2的度数为____. 13．如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，过点D作DE⊥BC于点E，且CE=1.5，则AB的长为_________． 14.如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=10，点M、N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=_________. 15．如图，工人在某施工现场作业，地面上有一个长为米的梯子斜靠在墙上，梯子底端与地面的交点为C，梯子与墙面的交点为M，此时梯子的倾斜角为（即），如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，梯子与墙面的交点为N，此时梯子的倾斜角为（即），若连接，那么的长是 米 16．如图，在等边三角形中，，，交于点F，则 ． 17.如图,点D,E,F分别为等边△ABC三边AB,BC,AC上的动点,当△DEF为等边三角形时,AD=3,则线段CF的长为　　　　.  18.由于木质衣架没有柔韧性,在挂置衣服的时候不太方便操作.小明设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,套进衣服后松开即可.如图,OA=OB=20 cm,当衣架收拢时,∠AOB=60°,此时A,B两点之间的距离是　　　　cm.  19.如图,校园内有一棵大树AB,大树旁边有一栋教学楼CD,且CD=6.6米,站在楼顶C处,测得点B的仰角为30°,点A的俯角为30°,AC=BC,AD∥EC,则大树AB的高度为　　　.  20．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=BC，则△ABC的顶角的度数为__20．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=BC，则△ABC的顶角的度数为______． 三．解答题（共60分） 21.如图,△ABC是等边三角形,BD是AC边上的高,延长BC至E,连接DE,使DB=DE. (1)求∠BDE的度数; (2)求证:△CED为等腰三角形. 22.如图,在四边形ABCD 中,AB=AD,CB=CD,∠A=60°,点 E 为AD 上一点,连接BD,CE交于点 F,CE∥AB. (1)判断△DEF 的形状，并说明理由. (2)若AD=12,CE=7,求 CF的长. 23.如图,在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分线交 AB 于点 E，垂足为 D，CE 平分∠ACB. (1)求∠A 的度数. (2)若BE=4,求AE的长. 24．如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？ （2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？ （3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 25.如图，O是等边三角形ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，D是△ABC外一点，且△ADC≌△BOC，连接OD． (1) 求证：ACOD是等边三角形； (2) 当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； (3) 当α为多少度时，△AOD是等腰三角形? 26.已知在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC. (1)【特殊情况,探索结论】 如图1,当点E为AB的中点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE　　　　DB(填“>”“<”或“=”).  (2)【特例启发,解答题目】 如图2,当点E为AB边上任意一点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论: AE　　　　DB(填“>”“<”或“=”);理由如下:过点E作EF∥BC,交AC于点F(请你完成后续解答过程).  (3)【拓展结论,设计新题】 在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在线段CB的延长线上,且ED=EC,若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长(请你画出相应图形,并直接写出结果). 图1 图2 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $