专题6 有理数的加减综合混合运算（重难点培优讲义）2026-2027年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数加减综合混合运算核心知识点，系统梳理加法运算定律、加减法则及综合运算方法，从基础运算逐步过渡到简便运算、实际应用、与数轴/绝对值结合及新定义运算，构建递进式学习支架。 该资料以分层设计（A组基础、B组拔高、C组思维拓展）和多元题型为特色，通过温差计算、时间差问题等实际情境培养应用意识，结合数轴与绝对值题型发展几何直观，典例与变式训练助力课中分层教学，课后可帮助学生查漏补缺，有效提升运算能力与推理意识。

专题6 有理数的加减综合混合运算 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型一 有理数加减混合运算 题型二 有理数加减中的简便运算 题型三 省略加法和括号的形式 题型四 有理数加法在生活中的应用 题型五 有理数减法的实际应用 题型六 有理数加减混合运算的应用 题型七 有理数加减法的规律计算 题型八 有理数加减法与数轴结合 题型九 含绝对值的有理数加减法计算 题型十 有理数加减法的实际应用综合 题型十一 有理数加减法的新定义运算 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点1 有理数加法运算定律 2.有理数加法的运算律 ①加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变 用字母表示： ②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 用字母表示： 【针对训练】 例题：计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算：对于有理数加法，首先判断其是属于同号还是异号的两个数相加，然后再根据法则确定符号，并进行绝对值和或差的运算，据此计算求解即可． （1）按照异号两数相加法则进行即可； （2）按照同号两数相加法则进行即可； （3）按照异号两数相加法则进行即可； （4）按照绝对值相等的异号两数相加法则进行即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式训练】 1．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数加法运算 【分析】(1)(2)绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． (3)同号相加，取相同符号，并把绝对值相加． 本题考查了有理数的加法，在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”． 【详解】（1）解：； （2）； （3）． 知识点2 有理数加减法则 1．有理数的加法和减法法则 有理数的运算 运算法则 举例说明 有理数的加法 1．若，则 2． 若，则 3． 若，则 4． 若，则 5．若互为相反数，则 6． 有理数的减法 【针对训练】 例题：计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题的关键． （1）先化简符号，再计算即可； （2）先化简符号，再计算即可； （3）直接加减计算即可； （4）先通分，再计算，再约分即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 【变式训练】 1．计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数加法运算、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数加法运算，有理数加减混合运算，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则． （1）根据有理数加法运算法则进行计算求解，即可解题； （2）根据有理数加法运算法则进行计算求解，即可解题； （3）根据有理数加减混合运算法则进行计算求解，即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 知识点3 有理数综合运算 3.有理数加减混合运算的方法 ①将有理数加减混合运算中的减法转化为加法，转化为加法后的式子是几个正数或负数的和形式. ②运用加法交换律，加法结合律进行计算，使运算简 4.省略和式中的加号和括号 进行有理数的加减混合运算时，利用减法法则将减法转化为加法，将有理数的加减混合运算同一成加法运算，在和式里可以把加号及加数的括号省略不写，以简化书写形式.如可以写成 5.数轴上两点之间的距离：数轴上，点，分别表示数，，则，两点之间的距离为线段的长度， 【针对训练】 例题：对于有理数定义一种新运算，．例：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)2 (2) 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】（1）根据新定义运算法则，把问题转化为基础的绝对值化简，有理数加减混合运算计算即可； （2）根据新定义运算法则，把问题转化为基础的绝对值化简，有理数加减混合运算计算即可． 本题考查了新定义运算，绝对值化简，有理数加减混合运算，理解定义，规范解答时解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式训练】 1. 有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数大小比较、有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】本题考查了数轴与有理数，由数轴可得，，据此逐项判断即可求解，掌握有理数的运算法则和大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，，，故错误， ∵，，， ∴，故正确，错误， 故选：． 2. 老师倡导同学们要多帮助家长做家务，养成热爱劳动的好习惯，下面是小军对于自己的寒假假期的计划，他计划每天做家务一个小时，但放假期间，由于每天的不定因素，小军实际每天做家务的时间和计划有所出入，下面是放假后第一周小军做家务的时间（增加记为，减少记为） 星期 一 二 三 四 五 六 日（天） 增减/分钟 问： (1)做家务时间最长的一天比最短的一天多多少分钟? (2)实际情况较计划时间是较长还是较短，长（/短）了多少分钟? (3)根据记录的数据，小军这周做家务总时长是多少小时? 【答案】(1)14分钟 (2)长了6分钟 (3) 【知识点】有理数加法在生活中的应用、有理数加减混合运算的应用、正负数的实际应用、有理数减法的实际应用 【分析】本题主要考查了正、负数、有理数的加、减法在实际生活中的应用，利用有理数的加法和减法法则计算是解答本题的关键． （1）根据表格找出家务时间最多的一天和最少的一天，再利用有理数的减法求解即可； （2）根据表格中数据列出算式求出结果，再进行判断即可； （2）根据正、负数的意义，运用有理数的加法即可求出该周做家务总时长． 【详解】（1）解：（分钟）， 答：做家务时间最长的一天比最短的一天多14分钟； （2）解：（分钟）， 答：实际情况较计划时间，长了6分钟． （3）解：（小时）， 答：小军这周做家务总时长是小时． 典例精析 题型一 有理数加减混合运算 【例1】将算式中的若干个“”修改成为“”后，会有若干种计算的结果，那么要使该算式的计算结果为，则不同的修改方式一共有（　　）种 A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的加减运算，熟练掌握有理数的加减运算是解题的关键．根据有理数的加减运算可进行求解． 【详解】解：， ∴，，，，，，，， ； ∴不同的修改方式一共有9种； 故选B． 【变式训练】把写成省略括号和加号的形式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把加减法统一成加法，再省略括号和加号即可． 【详解】解： ． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的加减运算，解题的关键是掌握有理数的加减运算法则，必须统一成加法后，才能省略括号和加号． 题型二 有理数加减中的简便运算 【例2】能与相加得0的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算，根据互为相反数的两个数相加得0即可求出这个数． 【详解】解：∵的相反数是， ∴能与相加得0的是， 故选：A． 【变式训练】甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（   ） 甲： 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加减运算，熟练掌握运算律简便运算是解答的关键．先将减法化为加法，再利用有理数加法交换律和结合律对甲、乙两人的算式求解判断即可． 【详解】解： ，故甲计算错误； ，故乙计算正确， 故选：D． 题型三 省略加法和括号的形式 【例3】把算式写成省略括号的和的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数去括号法则即可求解. 【详解】= 故选C. 【点睛】此题主要考查有理数的加减，解题的关键是熟知去括号的方法. 【变式训练】将中的减法改成加法，并写成省略加号和括号的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把减法统一到加法上后，省略加号即可． 【详解】解：∵， ∴省略加号和括号后的形式为， 故选D． 【点睛】本题考查了有理数减法的运算，正确理解减法运算法则是解题的关键． 题型四 有理数加法在生活中的应用 【例4】盒子里有8个黄球，5个红球，至少摸（    ）次一定会摸到红球． A．8 B．5 C．9 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了抽屉原理，考虑最坏的情况：摸出8次，都是摸出的黄球，则再摸出一个一定是红球，据此即可解答． 【详解】解：∵盒子里有8个黄球，5个红球， ∴至少摸次一定会摸到红球， 故选：C． 【变式训练】北京与柏林的时差为7小时，例如，北京时间，同一时刻的柏林时间是，小丽和小红分别在北京和柏林，她们相约在各自当地时间之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的运算，解此题的关键是根据题意写出算式，即把实际问题转化成数学问题．根据柏林时间推出北京时间，找两人重合的时间部分，即可解题． 【详解】解：由题意可得：柏林时间为时，北京时间为， 小丽和小红可以选择的北京时间为， 小丽和小红可以选择的时刻可以是北京时间． 故选：D． 题型五 有理数减法的实际应用 【例5】长汀冬季的某天的最高气温是，最低气温是，则这一天的温差是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了有理数的减法的运算方法，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号减号变加号；二是减数的性质符号减数变相反数 根据有理数的减法的运算方法，用长汀冬季的某天的最高气温减去这天的最低气温，求出这一天的温差是多少即可． 【详解】解： 答：这一天的温差是， 故选：A． 【变式训练】如图，两支温度计的读数分别是某一时刻小明家阳台与室内的气温，那么这一刻阳台的气温比室内气温低（    ） A．5℃ B．12℃ C．7℃ D．℃ 【答案】B 【分析】根据温差=最高气温-最低气温计算即可. 【详解】∵最高气温是7℃，最低气温是-5℃， ∴温差为：7-（-5）=12（℃）， 故选B． 【点睛】本题考查了有理数的减法，理解温差的定义，并准确列式是解题的关键． 题型六 有理数加减混合运算的应用 【例6】支付宝主要提供支付及理财服务，通过该平台购物、生活缴费、金融理财等可以获得相应的积分，然后积分可以兑换礼品．小雅三天内积分的变动情况为：，则这三天后小雅的积分（   ） A．减少了29分 B．减少了95分 C．增加了29分 D．增加了66分 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．将所有数据相加，即可得出结果． 【详解】解：根据题意得，， 即这三天后小雅的积分减少了29分， 故选：A． 【变式训练】某测绘小组的技术员要测量、两处的高度差，他们首先选择了、、、四个中间点，并测得它们的高度差如下表．根据以下数据，可以判断、之间的高度关系为（   ） A．处比处高 B．处比处高 C．、两处一样高 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算的实际应用，计算出，据此代入数值求出的结果即可得到答案． 【详解】解：由题意得， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴处比处高， 故选：B． 题型七 有理数加减法的规律计算 【例7】若，，，…．照此规律试求： (1)_________； (2)计算_________． (3)计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加减运算，正确理解已知规律是解题关键． （1）根据已知规律求解即可； （2）根据已知规律去绝对值符号，再计算加减法即可； （3）根据已知规律去绝对值符号，再计算加减法即可； 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 【变式训练】探究规律，完成相关题目老师说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”老师写出了一些按照※（加乘）运算法则进行运算的式子： （+2）※（+4）=+6；（3）※（4）=+7 （2）※（+3）=5；（+5）※（6）=11 0※（+9）=+9；（7）※0=+7 小明看完算式后说：我知道老师定义的※（加乘）运算法则了，聪明的你看出来了吗？请你运用你找到的※（加乘）运算法则进行计算： （1）计算：（11）※（4）；（+7）※（9） （2）计算：（5）※〔0※（3）〕 【答案】（1）+15；-16；（2）-8． 【分析】（1）由题意可知，※（加乘）运算法则为两数进行※（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加，然后根据※（加乘）运算法则求解即可； （2）由题意可知，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，都等于这个数的绝对值，然后根据※（加乘）运算法则求解即可． 【详解】解：（1）由（+2）※（+4）=+6；（3）※（4）=+7 （2）※（+3）=5；（+5）※（6）=11， 可知，※（加乘）运算法则为两数进行※（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加， ∴（11）※（4）=+15，（+7）※（9）=-16； （2）由0※（+9）=+9；（7）※0=+7，可知，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，都等于这个数的绝对值， ∴（5）※〔0※（3）〕=（5）※（+3）=-8． 【点睛】此题考查了有理数加减运算的新定义问题，解题的关键是根据题意得出※（加乘）运算法则． 题型八 有理数加减法与数轴结合 【例8】如图，数轴单位长度为1，点A、B、C、D所表示的数字分别为a、b，c、d． (1)若点B为原点，求的值是多少？ (2)若A、D表示的数互为相反数，求的值是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查数轴上点所表示的数以及有理数的加法运算，解题的关键是根据点为原点确定A，C，D所表示的数，再进行求和计算． 先根据点为原点确定a、b，c、d的值，然后将其代入进行计算． 【详解】（1）解：当B为原点时，点B表示的数为0，点A表示的数为，点C表示的数为2，点D表示的数为8， 所以 ； （2）解：当A、D表示的数互为相反数时，A，D间的距离为10， 所以点A表示的数为，点D表示的数为5，点B表示的数为，点C表示的数为， 所以． 【变式训练】已知：是最小的两位正整数，且、、满足，若、、在数轴上所对应的点分别为、、，点为数轴上的一个动点，对应的数为． (1)求、两点间的距离； (2)若、两点间的距离是，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查绝对值的非负性、数轴、数轴上两点间的距离公式，熟练掌握数轴知识，正确理解题意，弄清点的位置是解题的关键． （1）由是最小的两位正整数，得出，由绝对值的性质得出，，即可得出结果； （2）由两点间的距离公式即可得出结果． 【详解】（1）解：因为是最小的两位正整数， 所以， 因为， 所以，， 所以，， 所以、两点间的距离为：； （2）解：因为，、两点间的距离是，点在数轴上， 当点在点左边时，； 当点在点右边时，； 所以或． 题型九 含绝对值的有理数加减法计算 【例9】先阅读材料，再回答问题： 因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以，当时，，如，；当时，，如，．根据以上信息完成下列问题： (1) ； ； (2) ； (3)计算： ． 【答案】(1)3，3 (2) (3) 【分析】本题考查化简绝对值，有理数的加减混合计算．熟练掌握有理数的加减运算法则、绝对值的意义是解决本题的关键． （1）根据材料中给出的绝对值的意义求解即可； （2）根据材料中给出的绝对值的意义求解即可； （3）根据材料中给出的绝对值的意义先化简绝对值，再计算加减即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：； （3）解： ． 【变式训练】同学们都知道，表示7与之差的绝对值，实际上也可理解为7与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)求__________； (2)同样道理表示数轴上有理数x所对点到和1005所对的两点距离相等，则__________； (3)类似的表示数轴上有理数x所对点到和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的正整数x，使得，这样的正整数是__________； (4)由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)9 (2) (3)1，2 (4)最小值为3 【分析】本题考查数轴与绝对值，理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）直接计算即可； （2）根据题意得，x所对点为和所对点的中点，根据中点公式即可求解； （3）根据和2所对的两点距离之和为7，和2之间的数均满足，从中找出正整数即可； （4）表示数轴上有理数x所对点到和6对的两点距离之和，结合数轴可知最小值为． 【详解】（1）解：， 故答案为：9； （2）解：由题意知，有理数x所对点到和1005所对的两点距离相等， ， 故答案为：； （3）解：， 结合数轴知，当时，， x是正整数， x的值为1，2， 故答案为：1，2； （4）解：表示数轴上有理数x所对点到和6所对的两点距离之和， 结合数轴可知，当时，有最小值，最小值为． 题型十 有理数加减法的实际应用综合 【例10】某水利勘察队沿着某河流进行野外作业，第一天从出发点向上游走了，第二天又向上游走了，第三天向下游走了，第四天又向下游走了，这时勘察队位于哪里？与出发点相距多少千米？ 【答案】勘察队在出发点上游，距出发点 【分析】本题考查有理数的正负，有理数的加法的应用；规定向上游走为正，将数据相加后，根据结果正负即可判断． 【详解】解：规定向上游走为正，根据题意可得， ∴勘察队在出发点的上游，距出发点． 【变式训练】某工艺厂计划一周生产工艺品2100个，平均每天生产300个，但实际每天生产量与计划相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（单位：个） (1)写出该厂星期一生产工艺品的数量； (2)请求出该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量． 【答案】(1)该厂星期一生产工艺品的数量是305个 (2)本周实际生产工艺品的数量为2110个 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，此类题常常结合生产、生活中的热点问题，是近几年中考的必考题型，认真阅读，理解题意是解此类题的关键． （1）根据表格将300与5相加即可求得周一的产量； （2）由表格中的增减情况，把每天对应的数字与2100相加即可． 【详解】（1）解：（个， 答：该厂星期一生产工艺品的数量是305个； （2）（个 答：本周实际生产工艺品的数量为2110个． 题型十一 有理数加减法的新定义运算 【例11】“”表示一种新的运算，它是这样定义的：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】此题考查了有理数的加法运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． (1)原式利用题中的新定义计算即可求出值； (2)原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】（1）解∶根据题中的新定义得 ； （2）解∶根据题中的新定义得 ． 【变式训练】对于有理数定义一种新运算，．例：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据新定义运算法则，把问题转化为基础的绝对值化简，有理数加减混合运算计算即可； （2）根据新定义运算法则，把问题转化为基础的绝对值化简，有理数加减混合运算计算即可． 本题考查了新定义运算，绝对值化简，有理数加减混合运算，理解定义，规范解答时解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 1．两个数的和是负数，则这两个数（     ） A．同为正数 B．同为负数 C．一正一负 D．至少有一个为负数 【答案】D 【知识点】有理数加法运算、有理数加法中的符号问题 【分析】利用有理数加法的符号规律，结合反例排除错误选项，或从反面推导正确结论． 【详解】解：两个正数的和为正数，故A错误； 取两数为和，和为是负数，但两数一正一负，故B错误； 取两数为和，和为是负数，两数同为负数；取两数为和，和为是负数，有一个数为0，故C错误； 若两个数均为非负数，则它们的和必为非负数，与两数和为负数矛盾，则这两个数至少有一个为负数，故D正确． 2．已知为有理数，且，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数大小比较、有理数加法中的符号问题 【分析】本题考查了有理数比较大小，有理数加法，根据题意得到，进而根据有理数的大小比较法则分析得出结论即可． 【详解】解：， ， ， 故选：D． 3．下列生活实例能解释的意义的是（     ） A．规定水位上升为正，水位先上升3厘米，之后下降2厘米，最后水位为1厘米 B．规定向东为正，小明先向东走3米，再向西走2米，小明现在的位置为向东1米 C．规定收入为正，支出3元，收入2元，最后收入1元 D．规定温度零上为正，温度由零下，上升，结果温度为零下 【答案】D 【知识点】相反意义的量、有理数加法在生活中的应用 【分析】将各选项中的实际量按正负数规定转化为加法算式，与对比判断． 【详解】解：规定正方向后，选项A，B均为第一个变化是正方向3个单位，第二个变化是负方向2个单位，对应算式为，与题干不符． 选项C，支出3元记为，收入2元记为，对应算式为，结果应为支出1元，选项描述为收入1元，与题干不符． 选项D，零下记为，上升记为，对应算式为，结果为零下，与题干相符． 4．小慧同学解题时，先将式子变成，再计算结果，则小慧同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．分配律 【答案】C 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题主要考查了有理数的加法，在进行加法运算时，往往利用加法交换律和结合律，进行凑整计算． 小慧同学将原式中的加数顺序改变，并将后两个加数结合，同时运用了加法交换律和结合律． 【详解】原式为，小慧将其变为， ∵交换了加数4的位置， ∴使用了加法交换律； ∵将和结合， ∴使用了加法结合律， 综上，运用了加法交换律与结合律． 故选：C． 5．已知，，且，则的值为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【知识点】绝对值方程、有理数大小比较、有理数的减法运算 【分析】根据绝对值进行分类讨论，结合筛选取值后进行有理数减法计算即可． 【详解】解：由得或， 由得或， ， 只能取，或， 若，则； 若，则． 综上为或． 6．神舟上天、嫦娥奔月、天问探火，探秘星辰大海的背后离不开超精密加工技术的保驾护航，某飞行器控制设备中精密机械零件的尺寸要求为微米，下列零件尺寸符合要求的是（    ） A．6499.80微米 B．6499.03微米 C．6500.20微米 D．6500.03微米 【答案】D 【知识点】有理数加法在生活中的应用、有理数减法的实际应用 【详解】解：由题意得，合格尺寸（单位：微米）满足，即， ∵，，， ∴A、B、C均不符合要求； ∵，∴D符合要求． 7．不改变原式的值，去括号后，可以写成的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数的加减混合运算、省略加法和括号的形式 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B正确； C、，故C错误； D、，故D错误． 8．计算的结果为（   ） A．2025 B．-2025 C．-1013 D．1013 【答案】D 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查了有理数四则混合运算，数字的规律探索． 解题时先观察数列规律，发现每两个相邻的数为一组，每组和为，总共有组，因此总和为. 【详解】解： 故选：D ． 9． _____． 【答案】4 【知识点】化简多重符号、求一个数的绝对值、有理数加法运算 【详解】解： ． 10．如图，数轴上有A，B两点，点A表示的数为，若，则点B表示的数为___________ ． 【答案】 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、有理数加法运算 【分析】根据数轴上的点所表示数的特征进行计算即可． 【详解】解：由题知，点A表示的数为且， 则， 所以点B表示的数为． 11．如表中列出了国外几个城市与北京的时差，其中带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时数，比如北京的时间是时，东京时间为．则当北京的时间为2024年1月28日时，纽约的时间是______． 城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥 时差/时 【答案】2024年1月27日 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用 【分析】时差的负号表示同一时刻纽约时间比北京时间晚，计算北京时间加上时差，再根据结果调整日期即可得到纽约时间． 【详解】解：已知纽约与北京的时差为，即同一时刻纽约时间比北京时间晚13小时， 所以当北京时间为2024年1月28日时，，结果为负数， 因此纽约时间属于前一天，，日期为2024年1月27日， 故纽约时间为2024年1月27日． 12．如图，这是一个运算程序．若输入，则输出的结果为______． 【答案】3 【知识点】有理数的加减混合运算、程序流程图与有理数计算 【详解】解：，，， 不成立， ，，， 成立，则输出的结果为． 13．高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称，现有一种高斯定义的计算式，已知表示小于或等于的最大整数，例如，现定义，例如，则___________． 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】根据题目给出的新定义，先确定的值，再代入计算即可． 【详解】解：根据定义可得 ∵表示小于或等于的最大整数，而小于或等于的最大整数是， ∴， ∴． 14．计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)18 (2) (3) 【知识点】有理数加法运算律、有理数加法运算 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 15．国庆黄金周到来之际，小明欲开启一段美妙的旅行！为更好地规划行程，他临行前特意查找了某地区一周内（10月1日至10月7日）每日的平均气温情况；若以为标准，超过或不足的气温度数分别用正数、负数来表示，记录如下： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 与标准气温的差值（） 0 (1)这七天内平均气温最高的是几号？是多少度？ (2)这七天内平均气温最低的是几号？ (3)若小明希望气温高于时进行户外活动，那么这七天中有几天适合户外活动？请说明理由． 【答案】(1)平均气温最高的是10月5日，为 (2)平均气温最低的是10月7日 (3)这七天中有3天适合户外活动 【知识点】正负数的实际应用、有理数大小比较的实际应用、有理数加法在生活中的应用 【详解】（1）解：∵， ∴平均气温最高的是10月5日， ∵以为标准， ∴10月5日气温是：； （2）解：∵， ∴平均气温最低的是10月7日； （3）解：∵，，且以为标准， ∴10月3日、10月4日、10月5日气温均高于， ∴这七天中有3天适合户外活动． 16．已知：点在数轴上的位置如图所示，请观察数轴并解答下列问题： (1)点表示的有理数是______，表示有理数的点是______，两点之间的距离为______个单位长度； (2)请你在数轴上标出表示有理数和的点和点． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、有理数的减法运算 【详解】（1）解：观察数轴可知，点表示的数是，点表示的数是，表示有理数的点是， 两点之间的距离为：． （2）略 17．对于有理数，下列说法正确的有（     ） ①若，则与互为相反数； ②若，则一定异号； ③若且两数同号，则； ④若，两数异号，则； ⑤若，则． A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 【答案】A 【知识点】相反数的定义、绝对值的几何意义、有理数加法运算 【分析】通过定义判断、举反例、分类讨论验证每个说法的正误即可． 【详解】解：①若，则与互为相反数，故①正确； ②若，举反例：取，，满足，但、同为负，是同号，故②错误； ③若且两数同号，根据同号两数相加的法则：同号相加取相同符号，若两数同为负，和一定为负，无法满足和大于0，因此两数只能同为正，即，故③正确； ④若且两数异号，举反例：取，，满足且两数异号，，不符合结论，故④错误； ⑤若，因为， 因此可得， 分类讨论：若，则，可得； 若，则，整理得， 因此无论取何值，都有，故⑤正确． 综上，正确的说法共3个． 18．有50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，．．．，49，50．从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上．如图，这五张卡片编号分别记为A，B，C，D，E，相邻两张卡片上的数的和如下表所示，则卡片上的数最大的编号记为（   ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E A，E 两数的和 71 48 54 66 59 A．D B．C C．B D．A 【答案】A 【知识点】有理数加法运算 【分析】将五个相邻两数之和的等式相加，求出五个数的总和，再结合已知条件依次求出各数，比较大小即可． 【详解】解：由题意得：，，，，， 将以上五式相加得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，，， ∵，即， ∴卡片上的数最大的编号记为D． 19．南北走向的潭州大道可视为数轴，自动换电站位于原点O．某智能无人快递车续航为，即换一次电池最多可行驶．某天快递车依次接到7个派送订单，派送顺序为，对应的点位如图所示：（单位长度：），快递车从自动换电站满电出发，最终需回到换电站．在派送过程中，如果续航不足，需返回换电站更换电池（满电）后再继续派送．下列描述中，正确的有（   ） ①快递车在完成C点订单后，需返回换电站换电池； ②第一次回到换电站时，显示剩余续航； ③配送过程中，快递车可以只换1次电池； ④快递车完成所有订单后回到换电站，共行驶． A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 【答案】B 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查数轴上的距离计算与实际应用．通过计算各点间的距离，结合“单次续航”的限制，判断每个描述的正确性即可． 【详解】解：首先确定各点所表示的数：，，，，，，，，配送顺序为． 计算每段行驶距离：， ， ， ， ， ， ， ． ①从出发到，累计行驶，剩余续航．下一段需行驶，，续航不足， ∴必须返回换电站(返回距离)，故①正确； ②由①得第一次回到换电站时，显示剩余续航，故②错误． ③根据题意：第一次换电：完成点后返回(行驶)， 第二次换电：完成点后返回(行驶)， 第三次行程：(无需换电)． 需换电次即可完成所有订单，故③错误； ④分析“配送车完成所有订单后回到换电站，共行驶”： 总行驶距离为：第一次行程， 第二次行程， 第三次行程， 合计，故④正确． 综上，正确的描述为①④， 故选：B． 20．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，如：表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．若，请利用数轴求出所有符合条件的整数的和（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、有理数加法运算 【分析】本题考查了绝对值的几何意义与数轴上的距离问题，关键是理解表示数轴上点到和的距离之和，通过计算两点间距离确定的取值范围，再找出整数解求和． 【详解】解：表示数轴上点到和的距离之和． ∵与的距离为， ∴当且仅当在到之间(包括端点)时，距离之和为． 符合条件的整数为． 计算这些整数的和：． 故选：B． 21．若，且，则的值为（   ） A．或 B．10或2 C．或2 D．10或 【答案】A 【知识点】绝对值的几何意义、有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】根据绝对值的性质得到m、n的所有可能取值，再结合筛选出符合条件的组合，最后分类计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， 当时，，，均不符合条件，舍去； 当时，，符合要求；，符合要求； 分两种情况计算： 当，时，； 当，时，； ∴的值为或，故A正确． 22．已知数轴上的点、分别表示数，其中，，且，若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用数轴上的点表示有理数、绝对值的几何意义、有理数的减法运算 【分析】本题考查数轴与有理数，根据，，且，得到点和点在与0之间，且点在点的左侧，且，进而得到，得到点的位置在中间，即可得出结果． 【详解】解：∵，，且， ∴点和点在与0之间，且点在点的左侧，， ∴， ∴点的位置在中间， 故满足题意的只有选项A； 故选A 23．计算：的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查了有理数的加法．观察每个分母为两个连续整数的乘积，利用裂项法将每个分数拆分为两个分数的差，然后求和时中间项相互抵消，从而简化计算. 【详解】解：∵，，，，， ∴原式. 故选：C． 24．题目：“表示不超过x（x是有理数）的最大整数，例如：，，计算：”该题的答案是2，后来式子中的一个数不小心被墨水污染了，甲、乙、丙三名同学尝试还原被污染的数，给出的结果为：甲，被污染的数是小于但大于的有理数；乙，被污染的数是；丙，被污染的数是大于但小于的有理数．下列判断正确的是（　　） A．甲、乙、丙都对 B．只有甲对 C．只有丙对 D．只有乙和丙对 【答案】D 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】 本题考查了有理数的加减，新定义运算，由题意可得，，再结合运算法则得出，从而即可得出结果，理解新定义是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ∵计算：”该题的答案是2， ∴， ∴， ∴被污染的数是大于等于，小于的有理数， ∴只有乙和丙对， 故选：D． 25．根据下列条件，分别求出相应的值． (1)已知，，且，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】求一个数的绝对值、绝对值非负性、有理数大小比较、有理数加法运算 【分析】（1）根据绝对值的定义求出、的值，根据分两种情况分别计算即可得到答案； （2）根据绝对值非负数的性质求出、的值，再代入进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由得或， 由得或． 若，则要求，与矛盾，这种情况不成立； 若，则时成立，； 时也成立，． 所以或． （2）解：因为，，要使它们的和为，必须同时为， 即，， 所以，， ． 26．如图，，，为数轴（单位长度为上的三点，且满足点到点的距离是9，点到点的距离是3． (1)若原点落在点处，则点表示的数是 ，点表示的数是　　． (2)若，表示的数互为相反数，则此时点表示的数是　　． (3)用表示，，三点表示的数之和，若将原点从点向左移动2个单位，求此时的值． 【答案】(1)3 (2)3 (3) 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、相反数的定义、有理数加法运算 【分析】（1）原点落在B处，则点B表示的数是0，根据B点到C点的距离是3，且C点在B点右侧，可以得出点C表示的数； （2），表示的数互为相反数，则原点在线段的中点，算出线段的长度，可知道，表示的数，点B在点C左侧且距离长度为3，即可得出点表示的数； （3）原点从点向左移动2个单位，可得出点B表示的数，已知线段和线段的长度，在数轴上根据左减右加的原则，即可得出点B和点C表示的数． 【详解】（1）解：原点落在点处，，且C点在B点的右侧 点表示的数是； （2）解：，， ， ，表示的数互为相反数， 点表示的数是6，点表示的数是， 此时点表示的数是； （3）解：将原点从点向左移动2个单位： 点表示的数是2， ，， 点表示的数是，点表示的数是， 表示，，三点表示的数之和， 若将原点从点向左移动2个单位，则． 27．一条东西向的街道可视为数轴，自动换电站位于原点．某智能无人售卖车续航为，即换一次电池最多可行驶．某天售卖车依次接到7个订单，运送顺序为，对应的点位如图所示：（单位长度：） 售卖车从自动换电站满电出发，最终需回到换电站．在售卖过程中，如果续航不足，需返回换电站更换电池（满电）后再继续配送．关于以下描述： ①售卖车在完成点订单后，需返回换电站换电池； ②完成点售卖订单后，显示剩余续航； ③售卖过程中，售卖车需要至少换3次电池； ④售卖车完成所有订单后回到换电站，共行驶． 正确的有（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查数轴上的距离计算与实际应用．通过计算各点间的距离，结合“单次续航”的限制，判断每个描述的正确性． 【详解】解：首先确定各点所表示的数：，，，，，，，，配送顺序为． 计算每段行驶距离：，，，，，，，． ①从出发到，累计行驶，剩余续航．下一段需行驶，，续航不足，因此必须返回换电站(返回距离)，故①正确； ②完成点订单后已返回换电，换电后满电出发前往点，行驶，剩余续航，并非，故②错误． ③分析“售卖过程中，售卖车需要至少换次电池”： 第一次换电：完成点后返回(行驶)； 第二次换电：完成点后返回(行驶)； 第三次行程：(无需换电)． 仅需换电次即可完成所有订单，故③错误； ④分析“售卖车完成所有订单后回到换电站，共行驶”： 总行驶距离为：第一次行程， 第二次行程， 第三次行程， 合计，故④正确． 综上，正确的描述为①④，故选：D． 28．如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是（     ） A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】C 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、有理数加减混合运算的应用 【分析】先根据两点间的距离公式求出点A对应点所表示的数，再利用中点公式求出C表示的数． 【详解】解：，， 当A落在16对应的点时，点C表示的数为：， 当A落在4对应的点时，点C表示的数为：． 综上所述，点点C表示的数为1或． 29．小学时候大家喜欢玩的“幻方”游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏．现在将，，，，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内、外两圆上的个数字的和都相等．如图，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】先算所有数字总和，推出每组和，再分类求与． 【详解】解：如图，设内圈上的数为，外圈上的数为， 所有数字总和：， ∵内外两圆总和相等， ∴每个圆 4 数和为， ∵竖线现有，和为， 又∵竖线 4 数和为 ， ∴，即， ∵内圆总和为， ∴， 解得， ∵外圆总和为， ∴，即， 又∵剩余未填数字为与， ∴或， ∴或． 30．已知数轴上的三个点A，B，C所表示的数分别为a，1，c，其中且，则A，B，C三点在数轴上的位置从左到右的顺序依次为（    ） A．C，A，B B．B，A，C C．C，B，A D．A，B，C 【答案】C 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、绝对值的几何意义、有理数的减法运算 【分析】本题借助绝对值的几何意义与性质，先由推导出与的数量关系，再结合判断、与1的大小关系，从而确定三点在数轴上的排列顺序．熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴或， 若，则，此时，与题干矛盾，故舍去， ∴必有，即， ∴， ∵， ∴， 若，则， 此时，，无论还是，均满足， ∴，即三点从左到右为，，， 若，则，此时化简后矛盾，舍去． 综上，三点在数轴上从左到右的顺序为，，． 故选：C. 31．从这12个数中取若干个数，使得任意两个数之和既不等于也不等于，则这若干数字和的绝对值最大值为______． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、有理数加法运算 【分析】因为所有数均为负数，若干个数和的绝对值等于取出各数的绝对值之和，要使和的绝对值最大，需使取出各数的绝对值之和最大，同时满足任意两个数之和既不为也不为，将数按和为分组，每组最多选取一个数，因此最多选取个数，再选择每组中绝对值更大的数计算即可． 【详解】解：将这个数按两数和为分为组： 由题意，任意两个数之和不能为，因此每组最多只能选取个数，即最多选取个数． 因为所有数都是负数，要使取出数和的绝对值最大，只需每组中选取绝对值更大的数，即选取． 验证：任意两个选中数的和最小为，不存在和为或的两个数，符合条件． ∴这若干数字和的绝对值最大值为． 32．如图所示，在圆环的10个空格内分别填入1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字，将所有相邻两个格子（具有公共边）内的两数之差的绝对值相加，若使这个和最大，则此最大值为___________． 【答案】 【知识点】绝对值的几何意义、有理数的减法运算 【分析】根据已知及要求，1~10的十个数字应大小间隔相排，如10，1，9，2，8，3，7，4，6，5且相邻两个格子(具有公共边)两个数之差的绝对值之和最大． 【详解】解：如图所示： 最大值． 故此最大值为50． 33．【阅读理解】我国数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．如：表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【学以致用】 （1）_____． （2）若，则__________． 【迁移拓展】 （3），则_____． （4）若，所有符合条件的整数的和为_____． 【答案】（1）7；（2）或；（3）；（4） 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、有理数加法运算 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，数轴上两点的距离，有理数的加法运算， （1）根据两点间的距离即可得出结论； （2）结合数轴可找出数轴上离表示的点距离为2的数即可求解； （3）表示数轴上到点1和距离相等的点． （4）表示数轴上到点2和的距离和为7，由此可得出在和2之间（包括端点），进而即可得出的值，然后求和即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：7； （2）表示数轴上离表示的点距离为2的数 ∴或； 故答案为：或； （3）表示数轴上到点1和距离相等的点． ； 故答案为：； （4）表示数轴上到点2和的距离和为7， 在和2之间（包括端点）， 是整数， 的值为：，，，，，，， 它们的和为：． 故答案为：． 34．同学们知道，表示与的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数与数两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数与数_____________两点间的距离； (2)的最小值是_____________； (3)计算的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、有理数的减法运算 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，关键是应用知识点解决问题； （1）根据绝对值的几何意义解答即可； （2）分情况讨论在不同位置时，代数式的值，比较并得出最小值； （3）通过观察可发现在到这段线段的中点时，代数式有最小值，代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得：表示数轴上数与数两点间的距离； 故答案为：； （2）解：当时，，即； 当时，； 当时，，即； 综上：的最小值是； 故答案为：； （3）解：共项， 根据绝对值的几何意义，取中间项时，原式的值最小， 即：当时， 原式 ， ∴的最小值为：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6 有理数的加减综合混合运算 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型一 有理数加减混合运算 题型二 有理数加减中的简便运算 题型三 省略加法和括号的形式 题型四 有理数加法在生活中的应用 题型五 有理数减法的实际应用 题型六 有理数加减混合运算的应用 题型七 有理数加减法的规律计算 题型八 有理数加减法与数轴结合 题型九 含绝对值的有理数加减法计算 题型十 有理数加减法的实际应用综合 题型十一 有理数加减法的新定义运算 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点1 有理数加法运算定律 2.有理数加法的运算律 ①加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变 用字母表示： ②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 用字母表示： 【针对训练】 例题：计算： (1) (2) (3) (4) 【变式训练】 1．计算： (1)； (2)； (3)． 知识点2 有理数加减法则 1．有理数的加法和减法法则 有理数的运算 运算法则 举例说明 有理数的加法 1．若，则 2． 若，则 3． 若，则 4． 若，则 5．若互为相反数，则 6． 有理数的减法 【针对训练】 例题：计算： (1) (2) (3) (4) 【变式训练】 1．计算 (1) (2) (3) 知识点3 有理数综合运算 3.有理数加减混合运算的方法 ①将有理数加减混合运算中的减法转化为加法，转化为加法后的式子是几个正数或负数的和形式. ②运用加法交换律，加法结合律进行计算，使运算简 4.省略和式中的加号和括号 进行有理数的加减混合运算时，利用减法法则将减法转化为加法，将有理数的加减混合运算同一成加法运算，在和式里可以把加号及加数的括号省略不写，以简化书写形式.如可以写成 5.数轴上两点之间的距离：数轴上，点，分别表示数，，则，两点之间的距离为线段的长度， 【针对训练】 例题：对于有理数定义一种新运算，．例：． (1)求的值； (2)求的值． 【变式训练】 1. 有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2. 老师倡导同学们要多帮助家长做家务，养成热爱劳动的好习惯，下面是小军对于自己的寒假假期的计划，他计划每天做家务一个小时，但放假期间，由于每天的不定因素，小军实际每天做家务的时间和计划有所出入，下面是放假后第一周小军做家务的时间（增加记为，减少记为） 星期 一 二 三 四 五 六 日（天） 增减/分钟 问： (1)做家务时间最长的一天比最短的一天多多少分钟? (2)实际情况较计划时间是较长还是较短，长（/短）了多少分钟? (3)根据记录的数据，小军这周做家务总时长是多少小时? 典例精析 题型一 有理数加减混合运算 【例1】将算式中的若干个“”修改成为“”后，会有若干种计算的结果，那么要使该算式的计算结果为，则不同的修改方式一共有（　　）种 A．8 B．9 C．10 D．11 【变式训练】把写成省略括号和加号的形式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二 有理数加减中的简便运算 【例2】能与相加得0的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（   ） 甲： 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 题型三 省略加法和括号的形式 【例3】把算式写成省略括号的和的形式是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】将中的减法改成加法，并写成省略加号和括号的形式是（    ） A． B． C． D． 题型四 有理数加法在生活中的应用 【例4】盒子里有8个黄球，5个红球，至少摸（    ）次一定会摸到红球． A．8 B．5 C．9 D．6 【变式训练】北京与柏林的时差为7小时，例如，北京时间，同一时刻的柏林时间是，小丽和小红分别在北京和柏林，她们相约在各自当地时间之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（    ） A． B． C． D． 题型五 有理数减法的实际应用 【例5】长汀冬季的某天的最高气温是，最低气温是，则这一天的温差是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】如图，两支温度计的读数分别是某一时刻小明家阳台与室内的气温，那么这一刻阳台的气温比室内气温低（    ） A．5℃ B．12℃ C．7℃ D．℃ 题型六 有理数加减混合运算的应用 【例6】支付宝主要提供支付及理财服务，通过该平台购物、生活缴费、金融理财等可以获得相应的积分，然后积分可以兑换礼品．小雅三天内积分的变动情况为：，则这三天后小雅的积分（   ） A．减少了29分 B．减少了95分 C．增加了29分 D．增加了66分 【变式训练】某测绘小组的技术员要测量、两处的高度差，他们首先选择了、、、四个中间点，并测得它们的高度差如下表．根据以下数据，可以判断、之间的高度关系为（   ） A．处比处高 B．处比处高 C．、两处一样高 D．无法确定 题型七 有理数加减法的规律计算 【例7】若，，，…．照此规律试求： (1)_________； (2)计算_________． (3)计算． 【变式训练】探究规律，完成相关题目老师说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”老师写出了一些按照※（加乘）运算法则进行运算的式子： （+2）※（+4）=+6；（3）※（4）=+7 （2）※（+3）=5；（+5）※（6）=11 0※（+9）=+9；（7）※0=+7 小明看完算式后说：我知道老师定义的※（加乘）运算法则了，聪明的你看出来了吗？请你运用你找到的※（加乘）运算法则进行计算： （1）计算：（11）※（4）；（+7）※（9） （2）计算：（5）※〔0※（3）〕 题型八 有理数加减法与数轴结合 【例8】如图，数轴单位长度为1，点A、B、C、D所表示的数字分别为a、b，c、d． (1)若点B为原点，求的值是多少？ (2)若A、D表示的数互为相反数，求的值是多少？ 【变式训练】已知：是最小的两位正整数，且、、满足，若、、在数轴上所对应的点分别为、、，点为数轴上的一个动点，对应的数为． (1)求、两点间的距离； (2)若、两点间的距离是，求的值． 题型九 含绝对值的有理数加减法计算 【例9】先阅读材料，再回答问题： 因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以，当时，，如，；当时，，如，．根据以上信息完成下列问题： (1) ； ； (2) ； (3)计算： ． 【变式训练】同学们都知道，表示7与之差的绝对值，实际上也可理解为7与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)求__________； (2)同样道理表示数轴上有理数x所对点到和1005所对的两点距离相等，则__________； (3)类似的表示数轴上有理数x所对点到和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的正整数x，使得，这样的正整数是__________； (4)由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，请说明理由． 题型十 有理数加减法的实际应用综合 【例10】某水利勘察队沿着某河流进行野外作业，第一天从出发点向上游走了，第二天又向上游走了，第三天向下游走了，第四天又向下游走了，这时勘察队位于哪里？与出发点相距多少千米？ 【变式训练】某工艺厂计划一周生产工艺品2100个，平均每天生产300个，但实际每天生产量与计划相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（单位：个） (1)写出该厂星期一生产工艺品的数量； (2)请求出该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量． 题型十一 有理数加减法的新定义运算 【例11】“”表示一种新的运算，它是这样定义的：． (1)求的值； (2)求的值． 【变式训练】对于有理数定义一种新运算，．例：． (1)求的值； (2)求的值 1．两个数的和是负数，则这两个数（     ） A．同为正数 B．同为负数 C．一正一负 D．至少有一个为负数 2．已知为有理数，且，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．下列生活实例能解释的意义的是（     ） A．规定水位上升为正，水位先上升3厘米，之后下降2厘米，最后水位为1厘米 B．规定向东为正，小明先向东走3米，再向西走2米，小明现在的位置为向东1米 C．规定收入为正，支出3元，收入2元，最后收入1元 D．规定温度零上为正，温度由零下，上升，结果温度为零下 4．小慧同学解题时，先将式子变成，再计算结果，则小慧同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．分配律 5．已知，，且，则的值为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 6．神舟上天、嫦娥奔月、天问探火，探秘星辰大海的背后离不开超精密加工技术的保驾护航，某飞行器控制设备中精密机械零件的尺寸要求为微米，下列零件尺寸符合要求的是（    ） A．6499.80微米 B．6499.03微米 C．6500.20微米 D．6500.03微米 7．不改变原式的值，去括号后，可以写成的是（     ） A． B． C． D． 8．计算的结果为（   ） A．2025 B．-2025 C．-1013 D．1013 9． _____． 10．如图，数轴上有A，B两点，点A表示的数为，若，则点B表示的数为___________ ． 11．如表中列出了国外几个城市与北京的时差，其中带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时数，比如北京的时间是时，东京时间为．则当北京的时间为2024年1月28日时，纽约的时间是______． 城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥 时差/时 12．如图，这是一个运算程序．若输入，则输出的结果为______． 13．高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称，现有一种高斯定义的计算式，已知表示小于或等于的最大整数，例如，现定义，例如，则___________． 14．计算： (1)； (2)； (3)； 15．国庆黄金周到来之际，小明欲开启一段美妙的旅行！为更好地规划行程，他临行前特意查找了某地区一周内（10月1日至10月7日）每日的平均气温情况；若以为标准，超过或不足的气温度数分别用正数、负数来表示，记录如下： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 与标准气温的差值（） 0 (1)这七天内平均气温最高的是几号？是多少度？ (2)这七天内平均气温最低的是几号？ (3)若小明希望气温高于时进行户外活动，那么这七天中有几天适合户外活动？请说明理由． 16．已知：点在数轴上的位置如图所示，请观察数轴并解答下列问题： (1)点表示的有理数是______，表示有理数的点是______，两点之间的距离为______个单位长度； (2)请你在数轴上标出表示有理数和的点和点． 17．对于有理数，下列说法正确的有（     ） ①若，则与互为相反数； ②若，则一定异号； ③若且两数同号，则； ④若，两数异号，则； ⑤若，则． A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 18．有50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，．．．，49，50．从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上．如图，这五张卡片编号分别记为A，B，C，D，E，相邻两张卡片上的数的和如下表所示，则卡片上的数最大的编号记为（   ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E A，E 两数的和 71 48 54 66 59 A．D B．C C．B D．A 19．南北走向的潭州大道可视为数轴，自动换电站位于原点O．某智能无人快递车续航为，即换一次电池最多可行驶．某天快递车依次接到7个派送订单，派送顺序为，对应的点位如图所示：（单位长度：），快递车从自动换电站满电出发，最终需回到换电站．在派送过程中，如果续航不足，需返回换电站更换电池（满电）后再继续派送．下列描述中，正确的有（   ） ①快递车在完成C点订单后，需返回换电站换电池； ②第一次回到换电站时，显示剩余续航； ③配送过程中，快递车可以只换1次电池； ④快递车完成所有订单后回到换电站，共行驶． A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 20．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，如：表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．若，请利用数轴求出所有符合条件的整数的和（    ） A． B． C． D． 21．若，且，则的值为（   ） A．或 B．10或2 C．或2 D．10或 22．已知数轴上的点、分别表示数，其中，，且，若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（   ） A． B． C． D． 23．计算：的值为（  ） A． B． C． D． 24．题目：“表示不超过x（x是有理数）的最大整数，例如：，，计算：”该题的答案是2，后来式子中的一个数不小心被墨水污染了，甲、乙、丙三名同学尝试还原被污染的数，给出的结果为：甲，被污染的数是小于但大于的有理数；乙，被污染的数是；丙，被污染的数是大于但小于的有理数．下列判断正确的是（　　） A．甲、乙、丙都对 B．只有甲对 C．只有丙对 D．只有乙和丙对 25．根据下列条件，分别求出相应的值． (1)已知，，且，求的值； (2)已知，求的值． 26．如图，，，为数轴（单位长度为上的三点，且满足点到点的距离是9，点到点的距离是3． (1)若原点落在点处，则点表示的数是 ，点表示的数是　　． (2)若，表示的数互为相反数，则此时点表示的数是　　． (3)用表示，，三点表示的数之和，若将原点从点向左移动2个单位，求此时的值． 27．一条东西向的街道可视为数轴，自动换电站位于原点．某智能无人售卖车续航为，即换一次电池最多可行驶．某天售卖车依次接到7个订单，运送顺序为，对应的点位如图所示：（单位长度：） 售卖车从自动换电站满电出发，最终需回到换电站．在售卖过程中，如果续航不足，需返回换电站更换电池（满电）后再继续配送．关于以下描述： ①售卖车在完成点订单后，需返回换电站换电池； ②完成点售卖订单后，显示剩余续航； ③售卖过程中，售卖车需要至少换3次电池； ④售卖车完成所有订单后回到换电站，共行驶． 正确的有（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 28．如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是（     ） A．1 B． C．1或 D．1或 29．小学时候大家喜欢玩的“幻方”游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏．现在将，，，，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内、外两圆上的个数字的和都相等．如图，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 30．已知数轴上的三个点A，B，C所表示的数分别为a，1，c，其中且，则A，B，C三点在数轴上的位置从左到右的顺序依次为（    ） A．C，A，B B．B，A，C C．C，B，A D．A，B，C 31．从这12个数中取若干个数，使得任意两个数之和既不等于也不等于，则这若干数字和的绝对值最大值为______． 32．如图所示，在圆环的10个空格内分别填入1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字，将所有相邻两个格子（具有公共边）内的两数之差的绝对值相加，若使这个和最大，则此最大值为___________． 33．【阅读理解】我国数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．如：表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【学以致用】 （1）_____． （2）若，则__________． 【迁移拓展】 （3），则_____． （4）若，所有符合条件的整数的和为_____． 34．同学们知道，表示与的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数与数两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数与数_____________两点间的距离； (2)的最小值是_____________； (3)计算的最小值． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $