2026-2027学年高一上学期第一次月考数学模拟能力卷（河南郑州适用）

**基本信息** 聚焦集合、函数与不等式核心内容，通过分层设问与情境化设计，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养，适配高一上学期阶段性能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算、充要条件、函数定义域|基础概念辨析，如第4题结合抽象函数定义域考查数学抽象| |多选|3/18|分段函数零点、新定义函数|选项分层设计，第10题通过新定义函数值域考查创新思维| |填空|3/15|不等式应用、函数最值|第14题结合二次方程根与恒成立问题，考查数学运算| |解答|5/77|集合综合、函数建模、抽象函数|第17题以长方形折叠为情境，考查数学建模与几何直观；第19题二次函数综合题，体现逻辑推理能力|

2026-2027学年高一上学期第一次月考（10月） 数 学 能 力 卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版必修第一、二章+第三章第3.1+3.2.1函数的单调性 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，, 其中组成了所有整数， 则, 2．若a，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】充分性：由“”可得，但当时，，不满足“”，因此充分性不成立； 必要性：由“”可得，所以，即“”，可知必要性成立． 因此“”是“”的必要不充分条件，故选B． 3．若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（ ） A． B． C．1或-1 D．4 【答案】B 【分析】根据不等式的解集为，利用根与系数的关系，结合题意，列出方程，即可求解. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以，且，解得， 因为，所以，解得或（舍去）. 所以实数的值为. 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的定义域得的定义域，进而得，解出即可求解. 【详解】由函数的定义域为，所以， 所以的定义域为，所以， 则的定义域为，故A正确. 故选：A. 5．已知函数，若对于任意的，且，都有成立，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由和可以得到， 构造函数，则有，由，可以得到在是单调递增函数， 由求出，由在是单调递增函数，列出关于的不等式组，则此不等式组的解就是的取值范围. 【详解】，， ，， ，， ， 设，， ，，在是单调递增函数， ， ， 在是单调递增函数， ，， ，的取值范围为. 故选：A 6．已知函数满足，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别将替换为和，即可联立方程求解. 【详解】当时，（1） 在（1）中将替换为，则   （2） 在（1）中将替换为，则  （3） 可得：且 故选：B. 7．已知实数满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意设求得的值，利用题设条件和不等式的性质即可求得. 【详解】设， 则，解得，所以； 又，， 所以， 所以. 故选：B. 8．若实数x，y满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知等式化为，令，把目标分式转化齐次式，，再用基本不等式求出最大值. 【详解】由可得， 令，则，， 所以，. 因为求最大值，所以，又， 所以， 当且仅当时取等号，结合可得， 进一步可得或， 所以的最大值为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则的最小值为4 C．关于的不等式的解集为 D．是关于的不等式的一个解 【答案】ACD 【详解】选项A，因为方程有两不等实根，所以，解得， 因为，所以，即取，A正确； 选项B，由韦达定理，则，由A选项可知，且，所以， ，当时，单调递增，因此，则，无法取到最小值4，B错误； C选项，令，代入原方程得，即若为原方程两根，则为的两根，又因为， 所以，已知，所以不等式解集为，C正确； D选项，将代入得，因为，因此， 即是不等式的一个解，D正确. 10．定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】本题为新定义分段函数值域问题，先化简函数，再利用数形结合分析自变量范围，即可确定区间长度的范围. 【详解】解：由， 当时，若，即，解得或； 当时，若，即，解得或，此时. 所以，，作出函数的图像，如下图： 因为函数在区间上的值域为， 则当时，区间的长度取最小值1； 当时，区间的长度取最大值3. 所以，区间的长度的取值范围是. 11．已知， 且， 则（   ） A．x的最小值是 B．z的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】利用变量大小顺序，结合放缩系数，构造不等式求范围，判断选项A, B；结合，采用增量换元统一变量判断选项C，D． 【详解】对于A：由，故，故A错误； 对于B：则，故，故B正确； 对于C：令，则， 且， 则依题意 ， 因此，当时取等号，故C正确； 对于D： ， 即，当且仅当时取等号，故D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设，表示不大于的最大整数，例如，，则使得成立的的取值范围是________． 【答案】 【分析】由题意，根据所给的定义可将转化为，解此绝对值不等式即可求出的取值范围 【详解】由题意，则 或 解得或 所以使成立的的取值范围是. 13．已知，，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】利用，结合基本不等式可求最小值. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 14．已知．当时，的两根为，则的最小值为___________；当时，恒成立，则的最小值为___________． 【答案】 6 【分析】第一空：由韦达定理结合配方法即可求解；第二空，通过，讨论的符号，得到时，，再结合基本不等式即可求解. 【详解】当时，， 则， 当时等号成立， 故的最小值为． 由，可知函数在上单调递增， 易知当时， 当时，． 由在时恒成立， 则当时，； 当时，， 所以当时，，即， 所以有，即， 故， 从而，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为6． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，写出集合，利用并集的定义可得出集合； （2）由题意可得，分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围； （3）分、两种情况讨论，根据可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 又因为，故. （2）因为，则，且，． 当时，则，解得，满足； 当时，由题意可得，无解， 综上所述，实数的取值范围是. （3）因为，且， 当时，则，解得，满足； 当时，由题意可得或，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 16．（15分）已知，． (1)求出与的函数解析式； (2)，用表示，中的最大者，记为：例如，当时，．请用解析法表示函数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）换元法求，构造方程组求解； （2）做差比较与，得到. 【详解】（1）令，则， 所以， 所以. 因为①， 所以②， 得，所以. （2）由， 解得或， 由， 解得， 所以或时，；时，， 所以. 17．（15分）如图，长方形的周长为10． (1)若点在线段上运动，点在线段上运动，且，则面积的最大值是多少？ (2)沿折叠使点到点位置，交于点. （i）求证:的周长是定值，并求出该定值； （ii）判断的面积是否存在最大值，若存在，求出该最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)（i）5；（ii）的面积存在最大值. 【分析】（1）根据周长得到边长，再根据基本不等式得到面积的最值； （2）（i）根据两个三角形全等可得到三角形的周长；（ii）先根据已知条件得到边长之间的关系， 再根据基本不等式求得最值. 【详解】（1）当，，设， 则，根据基本不等式得， ，当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值是； （2）（i）沿折叠使点到点位置，交于点， 所以，所以， 所以， 所以的周长， 故的周长是定值，为5； （ii）设，则， 由（i）知，， 在中，有， 解得， 则， 根据基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的面积存在最大值． 18．（17分）已知定义在的函数满足以下条件： ①对任意实数，恒有； ②当时，；③ (1)求，的值； (2)若对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）令，则，解得；令，可得，解得； （2）对任意x恒成立对任意恒成立，先探讨的取值范围，原不等式等价于：在恒成立，进而分离参数，通过基本不等式求解即可. 【详解】（1）令，则， 解得：或 又当时，，所以， 令，可得，即； （2）对任意恒成立对任意x恒成立， 令，以下探讨的取值范围． 令可得， 当时，，则， 时， 原不等式等价于：在恒成立， 即 ，当时取等号． 19．（17分）设二次函数，且的两个实根满足. (1)若函数的图象关于对称，求的解集； (2)若. （i）求证：； （ii）设函数在区间上的最大值为，求的表达式. 【答案】(1)当时，的解集为； 当时，的解集为； (2)（i）由得，则， 得，则； （ii）. 【分析】（1）求出两根，再分类讨论解不等式； （2）（i）根据韦达定理化简； （ii）化简，求出对称轴，分、、三种情况讨论即可. 【详解】（1）由题意得，则，则， 当时，的解集为； 当时，的解集为； （2）（i）略 （ii）由，得或. 设， 则 的零点分别为和，对称轴为 ①当时，， 则在上递增，在上递减， 所以； ②当时，， 则在上递减， 则； ③当时，， 则在上递减，在上递增， 则； 综上. ， 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 2026-2027学年高一上学期第一次月考（10月） 数 学 能 力 卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版必修第一、二章+第三章第3.1+3.2.1函数的单调性 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． 2．若a，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（ ） A． B． C．1或-1 D．4 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，若对于任意的，且，都有成立，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 6．已知函数满足，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 7．已知实数满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若实数x，y满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则的最小值为4 C．关于的不等式的解集为 D．是关于的不等式的一个解 10．定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可能为（    ） A． B． C． D． 11．已知， 且， 则（   ） A．x的最小值是 B．z的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设，表示不大于的最大整数，例如，，则使得成立的的取值范围是________． 13．已知，，则的最小值为__________． 14．已知．当时，的两根为，则的最小值为___________；当时，恒成立，则的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 16．（15分） 已知，． (1)求出与的函数解析式； (2)，用表示，中的最大者，记为：例如，当时，．请用解析法表示函数 17． （15分） 如图，长方形的周长为10． (1)若点在线段上运动，点在线段上运动，且，则面积的最大值是多少？ (2)沿折叠使点到点位置，交于点. （i）求证:的周长是定值，并求出该定值； （ii）判断的面积是否存在最大值，若存在，求出该最大值，若不存在，请说明理由． 18． （17分） 已知定义在的函数满足以下条件： ①对任意实数，恒有； ②当时，；③ (1)求，的值； (2)若对任意恒成立，求的取值范围. 19．（17分） 设二次函数，且的两个实根满足. (1)若函数的图象关于对称，求的解集； (2)若. （i）求证：； （ii）设函数在区间上的最大值为，求的表达式. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $