2026-2027学年高一上学期第一次月考数学模拟基础卷（河南郑州适用）

**基本信息** 高一数学基础卷聚焦集合、函数核心内容，以“关联二次函数”“性质P”等创新题设计，结合心理学接受能力情境，考查数学抽象与建模能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合关系、充要条件、命题否定|单选夯实基础，多选综合辨析逻辑推理| |填空题|3题15分|分段函数求值、单调性参数范围|小切口深挖掘，考查数学思维严谨性| |解答题|5题77分|集合运算、方程根分布、函数建模与证明|心理学接受能力情境（第17题）体现模型意识，新定义“性质P”（第19题）发展创新意识|

2026-2027学年高一上学期第一次月考（10月） 数 学 基 础 卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版必修第一、二章+第三章第3.1+3.2.1函数的单调性 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用集合的基本运算即可解决. 【详解】由，可知 . 2．“”是“关于的方程有一正一负根”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】方程有一正一负根的等价条件： 对于一元二次方程有一正一负根， 只需满足两根之积（此时判别式会自动成立）. 本题中，因此两根之积为，方程有一正一负根等价于. 由此可知：“”和“方程有一正一负根”可以互相推出，因此是充要条件. 3．已知命题：，，则是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据全称命题的否定形式，前面改变量词，后面否定结论即可. 【详解】根据全称命题的否定形式，前面改变量词，后面否定结论， 所以“”变为“”，否定结论为“”， 即为：，. 4．已知集合，集合，则集合C的子集个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】集合， 所以， 所以集合C的子集个数为. 5．已知在处取得最小值，则的值为（    ） A． B． C．1 D．5 【答案】B 【详解】， 当且仅当时等号成立， 因为， 所以解得时等号成立，取最小值，即. 6．已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可知当时，函数取得最小值2，而，再结合二次函数图象的对称性可求出的取值范围. 【详解】因为， 所以当时，函数取得最小值2， 因为，而函数在闭区间上有最大值3，最小值2， 所以，即的取值范围是. 7．定义在上的“关联二次函数”满足，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用赋值法，得，求和即可. 【详解】已知， 令，代入得到， 已知，则有， 所以 ， . 8．关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将不等式进行变式，将a的取值范围初步求出，再根据初步范围和不等式恰有2个整数解进行分类讨论，最终求出a的范围. 【详解】由恰有2个整数解，即恰有2个整数解， 所以，解得或， ①当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为1和2， 则，即，解得； ②当时，不等式解集为，因为， 故2个整数解为，则， 即，解得， 综上所述，实数的取值范围为或. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中正确的是（    ） A．的最小值为2 B．与是同一个函数 C．函数满足，若，则实数 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】CD 【分析】结合基本不等式，可判定A错误；根据同一函数的判定方法，可判定B错误；根据函数的对应法则，以及函数值的运算法则，可得判定C正确；根据抽象函数定义的计算方法，可判定D正确. 【详解】对于A，当时，可得，当且仅当时，等号成立； 当时，可得，当且仅当时，等号成立， 所以函数没有最小值，所以A错误； 对于B，函数有意义，则满足，解得或， 函数有意义，满足，解得， 所以函数和的定义域不同，所以不是同一个函数，所以B错误； 对于C，由函数满足， 令，即，解得，则，即， 若，可得，所以C正确； 对于D，由函数的定义域为，即，可得， 所以函数的定义域为，所以D正确. 10．下列命题正确的是（    ） A．设，则“是“”的既不充分也不必要条件 B．“关于的不等式恒成立”的一个充分不必要条件是“” C．真包含于 D．命题“，”为假命题 【答案】BC 【详解】A选项，当时，若，则，所以是的不充分条件， 反之，若，则必然成立， 所以是的必要条件，则是的必要不充分条件，所以A选项错误； B选项，关于的不等式恒成立等价于，解得：， 所以是不等式恒成立的充分不必要条件，所以B选项正确； C选项，设集合，集合， ，当时，为奇数， ，当时，为奇数或偶数， 所以真包含于，所以C选项正确； D选项，不妨设，由， 所以恒成立，则，为真命题，所以D选项错误. 11．已知全集U，若对任意的，都有，那么下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据集合的包含关系可判断AB；根据韦恩图可判断CD. 【详解】由题，可得， 对于AB，因为，所以，，故AB正确； 对于C，如图所示，表示①，而①与②无公共部分，故，故C正确； 对于D，表示①和③，故表示②和③部分，表示③，故D错误. 故选：ABC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设函数，，，则________________． 【答案】 【分析】应用已知解析式计算求解函数值. 【详解】当时，，， ． 13．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是_________． 【答案】 【详解】作出函数的图象，如图所示. 由图可知函数的单调递增区间为，， 因为函数在区间上单调递增， 所以或，解得或. 所以的取值范围为 . 14．设实数满足 ，实数满足 ，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【分析】先明确的关系，再根据集合的包含关系求的取值范围. 【详解】因为是的必要不充分条件， 所以是的充分不必要条件， 由，因为，所以； 由. 因为是的充分不必要条件，所以⫋. 所以. 即实数的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知集合，集合． (1)当时，求，； (2)若：是：的必要条件，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题目条件，求出集合，再根据集合的运算，求出结果即可； （2）根据必要条件和集合的关系，判断集合的包含关系，进而根据包含关系分类讨论，求出参数范围. 【详解】（1）当时，，则， 可知或，则. （2）若：是：的必要条件，则， 当时，可得，解得，此时符合条件， 当时，可得，解得， 综上所述，当是：的必要条件时，. 16．(15分）已知关于的一元二次方程，其两实根为，，且． (1)若，求的值； (2)若为整数时，求所有满足条件的整数； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2)，3，4，5，8． (3)可以取所有不等于的实数． 【详解】（1）由题意，，，得， ，． 因为， ，解得：，； （2）显然，这说明与都不为0，所以．因为为整数， 所以，进而，其中符合的有，3，4，5，8． （3）， 因为，所以，且，，， 所以，这等价于，这是恒成立的． 综上可以取所有不等于的实数． 17．(15分）心理学研究表明，学生在课堂上课时间段的接受能力不同.上课开始时，学生的兴趣高昂，接受能力渐强，随后有一段不太长的时间，学生的接受能力保持较理想的状态；渐渐地学生的注意力开始分散，接受能力渐弱并趋于稳定.设上课开始x分钟时，学生的接受能力为（值越大，表示接受能力越强），与x的函数关系为：. (1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？ (2)试比较开讲后5分钟、20分钟、35分钟，学生的接受能力的大小； (3)若一个数学难题，需要至少56的接受能力（即）以及12分钟时间，请问：老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题？说明你的理由. 【答案】(1)开讲后10分钟接受能力最强，且能维持5分钟 (2)接受能力在开讲后5分钟大于20分钟大于35分钟 (3)不能，当时，由解得， 当时，因为，满足要求 ， 当时，由解得， 当时，因为，不满足要求 ， 因为分钟<12分钟 所以老师不能在所需接受能力的状态下讲完这个难题. 【分析】 （1）根据分段函数求最大值； （2）根据分段函数解析式求函数值； （3）分3段求出的解. 【详解】（1）由题意可知，当时，， 所以当时，的最大值为60， 当时，， 当时，，， 当时，， 所以开讲后10分钟接受能力最强，且能维持5分钟. （2），，， 则接受能力在开讲后5分钟大于20分钟大于35分钟. （3）略. 18．(17分）已知函数满足：对任意实数，，，，且当时，． (1)求的值； (2)证明：是上的单调递减函数； (3)若对，，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)任取，且，则， 由条件知， 所以. 所以，故是上的单调递减函数； (3) 【分析】（1）由赋值法求解； （2）由函数单调性的定义求解； （3）由二次不等式恒成立求解． 【详解】（1）令，可得，结合知； （2）略 （3）令，知，，故. 又因为是上的单调递减函数，所以，等价于，， 即对，恒成立． 当时，不恒成立，舍去； 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围是． 19．(17分）已知集合中至少有个元素，且，若存在整数，使得，当时，恒成立，则称集合具有性质. (1)判断集合是否具有性质，是否具有性质；（结论不要求证明） (2)若集合具有性质，求的值； (3)求证：不存在具有性质集合. 【答案】(1)集合具有性质，不具有性质 (2) (3) 证明：假设存在具有性质集合.                            因为集合，所以设集合中最小的元素为， 若，则由于 ，且， 由可知 ，但是中最小的元素且，而， 所以集合不具有性质 ，矛盾. 所以 . 设集合中除以外的最小元素为，则 . 因为 ，且， ，且， 集合中比小的元素只有， 所以，解得， 即集合中除以外的最小元素为， 因为，集合具有性质， 所以， 这与集合中除以外的最小元素为相矛盾， 综上，不存在具有性质集合. 【分析】（1）根据性质的定义，枚举所有满足属于对应集合的正整数对，逐一验证 是否都属于集合，即可完成两个集合是否具有对应性质的判断； （2）对所有满足 的情况分类讨论，结合性质要求 列方程，结合是不等于1的正整数筛选得到的值； （3）先假设存在具有性质的集合，设出集合中的最小正元素，再结合性质推导得出矛盾，即可证明不存在符合要求的集合. 【详解】（1）集合具有性质，不具有性质. 对 ，仅存在正整数和为，此时对应，满足，故具有； 对 ，当正整数和为时仅对应，满足，故 不具有性质. （2）因为集合 具有性质， 所以，且， 所以 ，所以 或， 所以 . 当时，满足以上条件的正整数只有：或 ， 且都满足： . （3）略 ， 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 2026-2027学年高一上学期第一次月考（10月） 数 学 基 础 卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版必修第一、二章+第三章第3.1+3.2.1函数的单调性 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 2．“”是“关于的方程有一正一负根”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知命题：，，则是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．已知集合，集合，则集合C的子集个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知在处取得最小值，则的值为（    ） A． B． C．1 D．5 6．已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．定义在上的“关联二次函数”满足，且，则（  ） A． B． C． D． 8．关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中正确的是（    ） A．的最小值为2 B．与是同一个函数 C．函数满足，若，则实数 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 10．下列命题正确的是（    ） A．设，则“是“”的既不充分也不必要条件 B．“关于的不等式恒成立”的一个充分不必要条件是“” C．真包含于 D．命题“，”为假命题 11．已知全集U，若对任意的，都有，那么下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设函数，，，则________________． 13．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是_________． 14．设实数满足 ，实数满足 ，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知集合，集合． (1)当时，求，； (2)若：是：的必要条件，求的取值范围． ( 16．（15分） 已知关于的一元二次方程，其两实根为，，且． (1)若，求的值； (2)若为整数时，求所有满足条件的整数； (3)求的取值范围． 17． （15分） 心理学研究表明，学生在课堂上课时间段的接受能力不同.上课开始时，学生的兴趣高昂，接受能力渐强，随后有一段不太长的时间，学生的接受能力保持较理想的状态；渐渐地学生的注意力开始分散，接受能力渐弱并趋于稳定.设上课开始x分钟时，学生的接受能力为（值越大，表示接受能力越强），与x的函数关系为：. (1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？ (2)试比较开讲后5分钟、20分钟、35分钟，学生的接受能力的大小； (3)若一个数学难题，需要至少56的接受能力（即）以及12分钟时间，请问：老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题？说明你的理由. 18． （17分） 已知函数满足：对任意实数，，，，且当时，． (1)求的值； (2)证明：是上的单调递减函数； (3)若对，，求实数的取值范围． 19．（17分） 已知集合中至少有个元素，且，若存在整数，使得，当时，恒成立，则称集合具有性质. (1)判断集合是否具有性质，是否具有性质；（结论不要求证明） (2)若集合具有性质，求的值； (3)求证：不存在具有性质集合. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $