河南省郑州市2026-2027学年高一上学期第一次月考数学模拟拔高卷

**基本信息** 高一上学期数学拔高卷聚焦集合、不等式、函数单调性等核心内容，通过基础巩固与创新应用的梯度设计，考查逻辑推理与数学建模能力，适配月考阶段性能力评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合关系（第1题）、充分条件（第2题）、抽象函数单调性（第8题）|第8题以抽象函数性质解不等式，强化数学思维的逻辑性| |填空题|3题/15分|集合参数范围（第12题）、不等式恒成立（第14题）|第14题结合二次不等式恒成立求参数最小值，考查运算能力| |解答题|5题/77分|几何建模（第18题）、新定义“保值函数”（第19题）|第18题以半圆与梯形结合构建函数求周长最值，体现数学建模；第19题新定义问题培养创新意识|

2026-2027学年高一上学期第一次月考（10月） 数 学 拔 高 卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围： 人教A版必修第一、二章+第三章第3.1+3.2.1函数的单调性 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B．⫋ C．⫋ D． 【答案】C 【详解】由题意可得，且（）为非负偶数， 又，故⫋. 2．已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【详解】根据充分不必要条件的定义，可知区间是区间的真子集， 则有且等号不能同时成立，解得. 故实数的取值范围是. 3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合抽象函数定义域的意义，列出不等式求解作答. 【详解】函数的定义域为，则，因此在中，， 函数有意义，必有，解得， 所以函数的定义域为. 故选：C 4．已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C． D． 【答案】D 【详解】已知，，整理，得， 则，，， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为. 5．设函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若，即，即或； 若，即； 所以， 画出函数图象如下图所示： 由图可知当时，； 当时，可得， 因此则的值域是. 6．已知函数的定义域为，，，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令判断A；令，判断B；利用得，令判断，令判断，然后可判断C；利用，结合判断D. 【详解】对A，令，则，又，所以，错误； 对B，令，则，即，，错误； 对C，令，得，所以， 令，则，即，所以 令，则，所以，即， 所以，错误； 对D，因为，所以， 又，所以，正确. 7．若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】， ， 当且仅当，即时取等号， 所以. 8．已知函数的定义域为，对任意的，都有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，根据其单调性，可得，解不等式即可. 【详解】因为对任意的，都有， 即对任意的，都有， 令，所以对任意的，都有， 所以为上的减函数， 又，即， 即，所以，解得， 即不等式的解集是． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设集合或，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据集合包含的定义即可判断AB；根据交集并集结果求出参数范围可判断CD. 【详解】对于A，若，则，则，故A正确； 对于B，若，则显然任意，则，则，故，故B正确； 对于C，若，则，解得，故C正确； 对于D，若，则，不等式无解，故D错误. 故选：ABC. 10．已知，，，则下列选项正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为2 D．最小值为 【答案】ACD 【分析】将题设等式化成，可判断A项；将代入，利用基本不等式可判断B项；再将其化成，可利用基本不等式判断C项；将代入，利用换元后，利用基本不等式判断D项. 【详解】对于A，由去分母，整理得，因，， 则，且，因，则有，故A正确； 对于B，由A得，则， 因，则，当且仅当， 即时取等号，此时的最小值为，故B错误； 对于C，由去分母，得，即得， 因，，则，当且仅当时等号成立， 由解得，即当时，取得最小值为2，故C正确； 对于D，由A得，代入，得， 设，则， 当且仅当，即，也即时，等号成立，此时取得最小值，故D正确. 11．有限集合中元素的个数记做，设都为有限集合，则下列命题真命题是（    ） A．的充要条件是 B．的必要不充分条件是 C．的充分不必要条件是 D．的充要条件是 【答案】AB 【分析】根据集合的基本关系和充要条件的定义，再结合有限集合元素个数公式可得. 【详解】对于A：因为等价于， 又， 所以等价于， 故的充要条件是，故A正确； 对于B：只是说明集合和集合元素个数的关系，不能得到； 说明集合中的元素都是集合中的元素， 则， 即的必要不充分条件是，故B正确； 对于C：只是说明集合和集合元素个数的关系，不能得到； 如，则，满足， 但是集合、没有任何关系，故推不出， 即充分性不成立，故C错误； 对于D：集合中的元素与集合中的元素完全相同，则， 但两个集合的元素个数相同，并不意味着它们的元素相同， 如，则， 显然集合没有包含关系，故D错误. 故选：AB 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．集合，集合，若，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【分析】可先求解时参数的取值范围，再取其补集得到时的范围. 【详解】先求解的情况： 当集合为空集时，则， 解得，此时. 当集合非空时，需满足，若， 分析可得在右侧，即，解得. 综上，时，或， ∴ 时，的取值范围是. 13．已知，则的取值范围为______ 【答案】 【分析】利用不等式待定系数配凑求解 【详解】设 展开得 对比系数列方程得，解得 所以 因为， 所以，即 ，两不等式相加得，即 14．当时，关于的不等式恒成立，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】先分和进行讨论，当时根据不等式讨论分析可知：为的零点，可得，结合基本不等式求解. 【详解】由可得. 当时，由可得，因为关于的不等式恒成立，所以， 因为是开口向上的抛物线，所以不恒成立，故舍去； 当时，则有当时，；当时，. 因为在时恒成立， 所以当时，；当时，. 即是 的零点. 所以，化简可得， 所以，当且仅当， 即等号成立. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知命题 ： ， 为假命题． (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“ ”是“ ”的必要条件，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用特称命题为假，分 和 ，结合一元二次方程无实根的判别式条件求解即可. （2）先求出集合，再根据必要条件对应集合包含关系，分为空集和非空两类讨论求解即可. 【详解】（1）命题 ： ， 为假命题， 当 时，方程为 ，解得，此时命题 为真命题，不符合题意； 当 时， ， 为假命题等价于一元二次方程 无实根， 所以 ，解得 . 故实数的取值集合. （2）由 ，得 ，即. 因为“ ”是“ ”的必要条件，所以 . 当 时， ，解得 ； 当 时，，解得 . 综上所述，实数的取值集合为或. 16．（15分）函数． (1)若不等式的解集是空集，求实数的取值范围； (2)已知，且． （i）若不等式恒成立，求实数的取值范围； （ii）证明：． 【答案】(1) (2)（i）; （ii） ， 故，当且仅当时取等号. 【分析】（1）分类讨论取绝对值后可得，即可得实数的取值范围； （2）（i）利用基本不等式计算可得，则，再分类讨论即可得；（ii）化简后借助基本不等式计算即可得. 【详解】（1）因为， 所以，因此时不等式的解集是空集， 故实数的取值范围是； （2）（i）因为， 所以， 即，当且仅当时取等号， 因此的最小值是，即有， 所以，当时，有，解得，又，故； 当时，有恒成立，故； 当时，有，解得，又，故； 综上可知，实数的取值范围是； （ii）略 17．（15分）已知函数，． (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可知，不等式对任意的恒成立，分、两种情况讨论，在时直接检验即可，在时，根据二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围； （2）将所求方程变形为，由题意得出，且，结合韦达定理得出，再由韦达定理得出，结合不等式的基本性质可求得的取值范围； （3）令，则，依题意可得关于的方程有四个不等实根，令，则，问题转化为存在使得关于的方程有两个不同正根，利用二次方程根的分布可得出关于实数的不等式，结合主元法可求出实数的取值范围. 【详解】（1）由得恒成立， 故不等式对任意的恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. （2）由可得，整理得， 由题意可知，且，解得或， 由韦达定理可得，，可得，故， 所以， 因为，所以，所以， 故的取值范围是. （3）当时，令，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时取等号， 依题意可得关于的方程有四个不等实根， 令，则，则问题转化为存在使得关于的方程 有两个不同正根、， 所以， 因为，则，由可得， 由可得或，故， 由知，存在使不等式成立， 把看成主元代入，可得，即， 解得或，综合可得， 故实数的取值范围是. 18．（17分）如图1，有一个半径为2的半圆，一个等腰梯形的下底是的直径，上底的端点在圆周上，记线段的长度为x，梯形的周长为y． (1)写出y与x的函数关系式，并求出周长y的最大值； (2)当梯形的周长取得最大值时，如图2所示建立平面直角坐标系，记梯形位于直线（）左侧的图形的面积为，请写出函数的解析式． 【答案】(1)，；. (2) 【分析】（1）根据题意，过点作于点，连接，由题中条件，表示出，进而可得出周长的函数关系式；令，由换元法，结合二次函数的性质，即可求出周长y的最大值. （2）由（1）知，等腰梯形的各边长，由的不同取值范围，求出梯形位于直线左侧的图形的面积. 【详解】（1）由题意可得，过点作于点，连接， 因为半圆的半径为2，线段的长度为x， 则，，，所以， 因此， 所以这个等腰梯形的周长为，其中， 即，； 令，因为，所以， 则， 所以， 当且仅当，即时，取得最大值， 因此梯形周长的最大值为. （2）由（1）知，当梯形的周长取得最大值时，， 等腰梯形的下底，腰， 等腰梯形的高， 则当时，； 当时，； 当时，； 所以，. 19．（17分）对于定义域为D的函数，如果存在区间，其中，同时满足： ①在内是单调函数； ②当定义域是时，的值域也是，则称函数是区间上的“保值函数”，区间称为“保值区间”． (1)求证：函数不是定义域上的“保值函数”； (2)函数. (i)若不等式对恒成立，求实数a的取值范围． (ii)若函数是区间上的“保值函数”，求的取值范围； 【答案】(1) ，时，， 根据“保值函数”的定义可知，函数不是定义域上的“保值函数”. (2)(i)且；(ii) 【分析】（1）求解函数的值域，由“保值函数”的定义判断； （2）(i)首先进行转化可得对恒成立，根据恒成立思想分别求最值即可得解； (ii)由定义域和值域都是，将问题等价于方程有两个不等的实数根，根据判别式大于零计算求解. 【详解】（1）略 （2）(i)，， ， 即为对恒成立. 令，易证在单调递增， 同理在单调递减. 因此，，， 所以 解得，又， 所以且； (ii)因为在上单调递增， 结合题意易知在内单调递增，且定义域和值域都是， 所以或，， 因此是方程的两个不等实数根， 等价于方程有两个不等的实数根， 即，解得或， 当时，，所以，满足； 当时，，所以，满足； 所以实数的取值范围为． ， 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 2026-2027学年高一上学期第一次月考（10月） 数 学 拔 高 卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版必修第一、二章+第三章第3.1+3.2.1函数的单调性 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（    ） A． B．⫋ C．⫋ D． 2．已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C． D． 5．设函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的定义域为，，，，且，则（   ） A． B． C． D． 7．若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 8．已知函数的定义域为，对任意的，都有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设集合或，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知，，，则下列选项正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为2 D．最小值为 11．有限集合中元素的个数记做，设都为有限集合，则下列命题真命题是（    ） A．的充要条件是 B．的必要不充分条件是 C．的充分不必要条件是 D．的充要条件是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．集合，集合，若，则实数m的取值范围是______． 13．已知，则的取值范围为______ 14．当时，关于的不等式恒成立，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知命题 ： ， 为假命题． (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“ ”是“ ”的必要条件，求实数的取值集合． ( 16．（15分） 函数． (1)若不等式的解集是空集，求实数的取值范围； (2)已知，且． （i）若不等式恒成立，求实数的取值范围； （ii）证明：． 17． （15分） 已知函数，． (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 18． （17分） 如图1，有一个半径为2的半圆，一个等腰梯形的下底是的直径，上底的端点在圆周上，记线段的长度为x，梯形的周长为y． (1)写出y与x的函数关系式，并求出周长y的最大值； (2)当梯形的周长取得最大值时，如图2所示建立平面直角坐标系，记梯形位于直线（）左侧的图形的面积为，请写出函数的解析式． 19．（17分） 对于定义域为D的函数，如果存在区间，其中，同时满足： ①在内是单调函数； ②当定义域是时，的值域也是，则称函数是区间上的“保值函数”，区间称为“保值区间”． (1)求证：函数不是定义域上的“保值函数”； (2)函数. (i)若不等式对恒成立，求实数a的取值范围． (ii)若函数是区间上的“保值函数”，求的取值范围； 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $