1.2 集合间的基本关系-【突破课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册基础提升练（人教A版）

**基本信息** 本同步练习按A组（基础）、B组（单一知识点）、C组（综合）分层，梯度清晰，从概念记忆到综合应用，适配新授课知识巩固需求，培养数学眼光、思维与语言能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|集合关系基本概念（子集、真子集等）、教材原题改编|含数学与生活情境题（如造纸厂产品合格问题）、填空记忆与判断对错题，限时20分钟，夯实基础| |B组|子集与真子集、集合相等、空集、参数问题等单一知识点|设置知识点专项训练（如求集合子集个数）、变式题（如变条件求参数范围），限时30分钟，突破重点| |C组|跨知识点综合应用、新定义运算、高考真题|含新定义集合运算（A-B）、伙伴关系集合等创新题，融入高考真题改编，限时20分钟，提升综合能力|

1.2　集合间的基本关系 A组　教材夯基础限时20分钟 　　　　　　　　　　　　　　　 1.(数学与生活)某造纸厂生产练习本用纸,当纸的白度和不透明度都合格时,该产品才合格.若用A表示练习本用纸合格的产品组成的集合,B表示纸的白度合格的产品组成的集合,C表示纸的不透明度合格的产品组成的集合,则下列包含关系哪些成立? A⊆B,B⊆A,A⊆C,C⊆A. 试用Venn图表示这三个集合的关系. 2.(填一填,记一记) (1)子集:如果集合A中　　　　元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集.任何一个集合是它本身的　　　　,即A⊆A;对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么　　　　.  (2)真子集:如果集合A⊆B,但存在元素　　　　　　　,就称集合A是集合B的真子集.  (3)集合相等:如果集合A的　　　　元素都是集合B的元素,同时集合B的　　　　元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等.  (4)空集:不含　　　　元素的集合叫做空集,记为　　　　.空集是　　　　的子集.  (5)与子集、真子集个数有关的结论:假设集合A中含有n(n∈N*)个元素,则A的子集的个数为　　　　;A的真子集的个数为　　　　;A的非空真子集的个数为　　　　. 3.(判对错) (1)“∈”“⊆”的意义是一样的.(　　) (2)集合{0}是空集.(　　) (3)空集是任何集合的真子集.(　　) (4)若a∈A,集合A是集合B的子集,则必定有a∈B.(　　) (5)集合A={a,b,c,d}的子集共有8个.(　　) (6){1}是集合{1,2,3}的元素.(　　) 4.(教材P9习题1.2T1改编)(多选)已知集合A={x|x>},则下列表示正确的是(　　) A.2∈A B.2∉A C.{2}∈A D.{2}⊆A 5.(教材P9习题1.2T3改编)已知集合A={1,2},则集合A的子集有(　　) A.7个 B.6个 C.4个 D.3个 6.(教材P9练习T3改编)写出下列两个集合之间的关系: (1)A={1,2,3,4,5},B={1,3,5}; (2)C={x|x2=1},D={x||x|=1}; (3)E={-1,1},F={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}; (4)G={等腰三角形},H={等边三角形}. 7.(教材P9习题1.2T5)(1)设a,b∈R,P={1,a},Q={-1,-b},若P=Q,求a-b的值; (2)已知集合A={x|0<x<a},B={x|1<x<2},若B⊆A,求实数a的取值范围. B组　单一知识点限时30分钟 　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点1　子集与真子集问题 8.(2025浙江衢州期中)若集合P={0,1},则集合M={A|A⊆P}可用列举法表示为(　　) A.{0,1} B.{⌀,0,1} C.{⌀,{0},{1}} D.{⌀,{0},{1},{0,1}} 9.(2025江苏常州期中)满足{1}⊆A⫋{1,2,3}的集合A的个数为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 10.(2025山西大同月考)若集合A={x|(a-1)·x2+3x-2=0}有且仅有1个子集,则a的值可以为(　　) A.1 B. C.-1 D.- 11.(2024广东河源期末)已知集合U,S,T,F的关系如图所示, ①S∈U;②F⊆T;③S⊆T;④S⊆F;⑤S∈F;⑥F⊆U. 上述关系正确的是　　　　.(填写正确关系的序号)  知识点2　集合相等及其应用 12.(2025河南新乡月考)(多选)下列各组中M,N表示不同集合的是(　　) A.M={4,-3},N={(4,-3)} B.M={(3,2)},N={(2,3)} C.M={y|y=2k+1,k∈Z},N={x|x=2k-1,k∈Z} D.M={y|y=x-2,x≥2},N={(x,y)|y=x-2,x≥2} 13.(2024江西抚州期末)下列集合与集合{2 021,2 022}相等的是(　　) A.{(2 021,2 022)} B.{x|(x-2 022)(x-2 021)=0} C.{x|2 021<x<2 022} D.{(x,y)|x=2 021,y=2 022} 14.(2024重庆外国语学校月考)若集合A=,B=,,则集合A,B之间的关系表示最准确的为(　　) A.A⊆B B.B⊆A C.A=B D.A与B互不包含 15.明易错(2025河南新乡期中)设a,b∈R,集合P={a2+1,2},Q={a+1,b},若P=Q,则a-b=　　　　.  知识点3　空集的定义及性质 16.(2025四川成都期中)下列四个集合中,是空集的是(　　) A.{0} B.{x|x>8,且x<5} C.{x∈N|x2-1=0} D.{x|x>4} 17.()(多选)给出下列四个集合,其中为空集的是(　　) A.{⌀} B.{x∈R|x2+x+3=0} C. D.{x∈R||x|<0} 18.(2024山东聊城期末)已知集合Q={x|k+1≤x≤2k-1}=⌀,则实数k的取值范围是　　　　.  知识点4　由集合间的关系求参数 19.(2025河北师大附中月考)已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x<a},若A⫋B,则实数a的取值范围是(　　) A.{a|a≥2} B.{a|a<2} C.{a|a≤2} D.{a|a>2} 20.(2025安徽宿州期中)已知集合A={9,3m},B={m2,9},且A⊆B,则实数m=(　　) A.0 B.3 C.±3 D.3或0 21.()已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⫋A,求实数m的取值范围. 　　　　　　　　　　　　　　　　 变式21-1　(变条件)若条件“A={x|-2≤x≤5}”改为“A={x|-2<x<5}”,其他条件不变,求实数m的取值范围. 变式21-2　(变条件)若条件“B⫋A”改为“A⊆B”,其他条件不变,求实数m的取值范围. C组　综合知识点限时20分钟 　　　　　　　　 22.(2025上海月考)下列关系式错误的个数为(　　) ①0∈⌀;②⌀⊆{0};③0∈N;④{0}⊆{⌀}. A.1 B.2 C.3 D.4 23.(2024陕西西安期末)已知集合A={x|x<-1或x≥3},B={x|ax+1≤0},若B⊆A,则实数a的取值范围为(　　) A. B. C.{a|a<-1或a≥0} D. 24.(2025甘肃多校联考)定义集合运算:A-B={x|x∈A且x∉B},若集合A={x∈Z|-2<x<4},B={0,3,5},则集合A-B的真子集的个数为(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 25.(2025河北石家庄二中月考)若x∈A,-x∈A,则称A是伙伴关系集合,集合M={-2,-1,0,1,2,3}的所有非空子集中为伙伴关系集合的个数是(　　) A.31 B.7 C.3 D.1 26.(2025湖北十堰期末)若集合M={x|x=5k-2,k∈Z},P={x|x=5n+3,n∈Z},S={x|x=10m+3,m∈Z},则集合M,P,S之间的关系表示最准确的是(　　) A.S⊆P⊆M B.S=P⊆M C.S⊆P=M D.P=M⊆S 27.(2025广东佛山月考)设集合P={x|-2<x<3},Q={x|3a<x≤a+1},若Q≠⌀且Q⊆P,则实数a的取值范围为　　　　.  28.()已知集合A={x∈R|ax2-3x+2=0,a∈R}. (1)若A是空集,求a的取值范围; (2)若A中只有一个元素,求a的值,并把这个元素写出来. 29.(2023新课标Ⅱ)设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A⊆B,则a=(　　) A.2 B.1 C. D.-1 30.(2021全国乙改编)已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n∈Z},则下列结论正确的是(　　) A.S⊆T B.T⊆S C.T⫋S D.S=T 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2　集合间的基本关系 1.解题思路　由题意知,A⊆B,A⊆C成立,它们的关系可用如图所示的Venn图表示. 2.(1)任意一个　子集　A⊆C　(2)x∈B,且x∉A　(3)任何一个　任何一个　(4)任何　⌀　任何集合　(5)2n　2n-1　2n-2 3.(1)✕　(2)✕　(3)✕　(4)√　(5)✕　(6)✕ 4.AD　由A={x|x>},得2∈A,{2}⊆A.故选AD. 5.C　因为集合A={1,2},所以集合A的子集有⌀,{1},{2},{1,2},共4个.故选C. 6.解题思路　(1)由于B中的每个元素都属于A,而4∈A且4∉B,故B⫋A. (2)由于C和D包含的元素都是1和-1,故C=D. (3)集合E中的元素是数,集合F中的元素是实数对,因此两集合之间无包含关系. (4)由于等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故H⫋G. 7.解题思路　(1)因为P=Q,所以a=-1,-b=1,所以a-b=0. (2)因为A={x|0<x<a},B={x|1<x<2},且B⊆A,所以a≥2,即实数a的取值范围为{a|a≥2}. 8.D　因为A⊆P,所以A=⌀,{0},{1},{0,1}, 所以M={A|A⊆P}={⌀,{0},{1},{0,1}}.故选D. 9.B　集合A可以是{1},{1,2},{1,3},共3个.故选B. 10.C　由集合A有且仅有1个子集可知,A是⌀, 当a=1时,A=,不符合题意; 当a≠1时,由Δ=9+8(a-1)<0可得a<-.故选C. 11.答案　③⑥ 12.ABD　对于A,集合M中有两个元素,是数,集合N中只有一个元素,是点,所以两个集合不同,故A符合题意; 对于B,两个集合中都只有一个元素,是点,但点的坐标不一样,所以两个集合不同,故B符合题意; 对于C,两个集合都是表示所有奇数构成的集合,所以两个集合相同,故C不符合题意; 对于D,集合M中的元素是数,集合N中的元素是点,所以两个集合不同,故D符合题意.故选ABD. 13.B　{(2 021,2 022)},{(x,y)|x=2 021,y=2 022}都是单元素集合,而题干中给出的集合有两个元素,A,D不符合题意;{x|2 021<x<2 022}是无限集,C不符合题意;{x|(x-2 022)(x-2 021)=0}={2 021,2 022},B符合题意.故选B. 14.C　对于集合A,当k=2n(n∈Z)时,A=,当k=2n-1(n∈Z)时,A=,所以A=B.故选C. 15.答案　-2 解题思路　已知集合P={a2+1,2},Q={a+1,b},P=Q, 若则或 当时,P=Q={1,2},此时a-b=-2. 当时,a+1=b,不符合集合中元素的互异性. 若则a+1=b,不符合集合中元素的互异性. 故答案为-2. 易错警示　根据集合相等列出关于参数的方程,解得参数的值后要根据集合中元素的互异性进行验证,否则会出现多解的情况. 16.B　A中集合有元素0,不为空集;B中集合没有任何元素,为空集;C中集合有元素1,不为空集;D中集合的元素是大于4的实数,不为空集.故选B. 17.BCD　对于A,{⌀}中的元素是⌀,故A中的集合不是空集; 对于B,Δ=12-4×3=-11<0,∴关于x的方程x2+x+3=0无实根,故B中的集合为空集; 对于C,方程x=-无实数解,故C中的集合为空集; 对于D,不等式|x|<0的解集是空集,故D中的集合为空集.故选BCD. 18.答案　{k|k<2} 解题思路　∵Q={x|k+1≤x≤2k-1}=⌀,∴2k-1<k+1,解得k<2,因此实数k的取值范围是{k|k<2}. 19.D　A={x|x2-3x+2=0}={1,2},又B={x|x<a},A⫋B,所以a>2,即实数a的取值范围是{a|a>2},故选D. 20.A　因为A⊆B,且A,B的元素个数相等,所以A=B,所以3m=m2,解得m=3或m=0, 当m=3时,3m=9,不满足集合中元素的互异性,舍去. 当m=0时,A=B={0,9},满足条件.故选A. 21.解题思路　当B≠⌀时,如图所示. 由图可得或解得2≤m≤3. 当B=⌀时,由m+1>2m-1,得m<2. 综上,实数m的取值范围是{m|m≤3}. 解后反思　(1)利用数轴处理不等式表示的集合间的关系问题时,可化抽象为直观,要注意端点值的取舍,“含”用实心点表示,“不含”用空心圈表示. (2)涉及“A⊆B”或“A⫋B且B≠⌀”的问题时,一定要分A=⌀和A≠⌀两种情况讨论,不要忽视A为空集的情况. 变式21-1　当B=⌀时,由m+1>2m-1,得m<2. 当B≠⌀时,如图所示. 由图可得解得2≤m<3. 综上,实数m的取值范围是{m|m<3}. 变式21-2　当A⊆B时,如图所示,此时B≠⌀. 由图可得解得 ∴m不存在,即不存在实数m使A⊆B. 22.B　对于①,空集不含任何元素,故①中关系式错误; 对于②,空集是任何集合的子集,故②中关系式正确; 对于③,0是自然数,故③中关系式正确; 对于④,0∉{⌀},故{0}⊆{⌀}错误,故④中关系式错误. 故选B. 23.A　当B=⌀,即ax+1≤0无解时,a=0,满足题意. 当B≠⌀,即ax+1≤0有解时,a≠0, 若a>0,则B=,所以要使B⊆A,需满足解得0<a<1; 若a<0,则B=,所以要使B⊆A,需满足解得-≤a<0. 综上,实数a的取值范围为. 故选A. 24.B　A={x∈Z|-2<x<4}={-1,0,1,2,3},又B={0,3,5},所以A-B={-1,1,2}, 故集合A-B的真子集的个数为23-1=7.故选B. 25.B　若x=-2,则-x=2,若x=-1,则-x=1,若x=0,则-x=0,则{-2,2},{-1,1},{0},{-2,2,0},{-1,1,0},{-2,2,-1,1},{-2,2,0,-1,1}为伙伴关系集合,共7个,故选B. 26.C　任取a∈M,则a=5k1-2=5(k1-1)+3,k1∈Z, 所以a∈P,所以M⊆P, 任取b∈P,则b=5n1+3=5(n1+1)-2,n1∈Z, 所以b∈M,所以P⊆M,所以M=P, 任取c∈S,则c=10m1+3=5×2m1+3,m1∈Z, 所以c∈P,所以S⊆P,易知8∈P,8∉S, 所以S≠P,所以S⊆P=M,故选C. 27.答案　 解题思路　因为Q≠⌀且Q⊆P, 所以解得-≤a<, 故实数a的取值范围为. 28.解题思路　(1)若A是空集,则关于x的方程ax2-3x+2=0无解,故a≠0且Δ=9-8a<0,解得a>,故a的取值范围为. (2)若A中只有一个元素,则a=0或a≠0,Δ=9-8a=0,解得a=0或a=. 当a=0时,-3x+2=0,解得x=.此时A中的元素为. 当a=时,x2-3x+2=0,解得x=.此时A中的元素为. 29.B　∵A⊆B,0∈A,∴0∈B. 当a-2=0,即a=2时,A={0,-2},B={1,0,2},不满足A⊆B,舍去;当2a-2=0,即a=1时,A={0,-1},B={-1,0,1},满足A⊆B.综上,a=1,故选B. 解题关键　根据包含关系分a-2=0和2a-2=0两种情况讨论. 30.C　解法一:(元素分析法)两个集合分别是由除以2余1,除以4余1的整数组成的集合,故T⫋S,故选C. 解法二:(列举法)分别列举集合S={…,-3,-1,1,3,5,7,9,…},T={…,-3,1,5,9,…},可以发现T⫋S,故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $