1.2 集合间的基本关系 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦集合间的基本关系，涵盖子集、相等、真子集、空集等核心知识点。课堂导入类比实数研究过程，通过具体实例引导观察，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接上一节集合概念。 其亮点在于以数学眼光观察实例抽象概念，用数学思维类比推理，通过文字、符号、图形语言表达关系。小组合作探究子集个数规律，分层例题培养逻辑推理，小结问题引导反思。助力学生提升抽象能力与推理意识，为教师提供清晰教学路径和丰富素材。

1.2　集合间的基本关系 上一节我们学习了集合，对于这个新的研究对象，接下来该如何研究呢？比如要研究些什么问题？用什么方法研究？ 导 我们类比实数的研究过程，发现我们在学习实数的时候，学习了实数间的关系，实数的运算等，所以关于集合，我们也要研究集合的关系，集合的运算. 我们知道，两个实数之间有相等关系、大小关系等等，那两个集合之间是否也有类似的关系呢？ 导 观察 观察下面几个例子，类比实数间的相等关系、大小关系，你能发现下面两个集合之间的关系吗？ （1）A={1,2,3}，B={1,2,3,4,5}； （2）C为立德中学高一（2）班全体女生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合； （3）E={x|x是有两条边相等的三角形}，F={x|x是等腰三角形} 问题一：你从哪个角度来分析每组两个集合间的关系？ 问题二：请用集合的语言归纳概括上述三个具体例子的共同特点； 问题三：上述三组集合中，前两组集合间的关系与第三组的两个集合间的关系有什么不同之处？ 一、子集 1、文字语言：一般地,对于两个集合A和B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集. 2、符号语言： 读作“A包含于B”（或“B包含A”） 3、图形语言： A B 二、集合相等 1、文字语言：一般地,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等 3、图形语言： A （B） 2、符号语言：若A⊆B,且B⊆A,则 A=B 请你举出几个具有包含关系、相等关系的集合实例. 三、真子集 1、文字语言：如果集合A⊆B,但存在x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集. 3、图形语言： A B 2、符号语言： 读作“A真包含于B”（或“B真包含A”） （或“B A”） 子集和真子集的区别与联系是什么？ 与实数中的结论“若a≥b,且b≥a，则a=b”相类比，你对集合间的基本关系有什么体会？根据实数关系的其他结论，你还能猜想出哪些集合间关系的结论？ 议 四、空集 1、定义：一般地,我们把不含任何元素的集合,叫做空集. 2、符号：∅ 3、规定：空集是任何集合的子集. 空集是任何非空集合的真子集. 思考 例1 写出集合{a,b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集. 解： 集合 {a,b} 的所有子集：∅，{a}，{b}，{a,b} 真子集：∅，{a}，{b} 说明： 子集包含集合本身；真子集不包含集合本身。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 例2 判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由. （1）A={1,2,3}，B={x|x是8的约数}； （2）A={x|x是长方形}，B={x|x是两条对角线相等的平行四边形} （1） 先求集合 B，8 的约数有 1，2，4，8，所以 B={1,2,4,8}。 3 属于 A，但 3 不属于 B，所以 A 不是 B 的子集。 （2） 长方形的定义就是对角线相等的平行四边形，所有长方形都满足 B 集合的条件。 A 中任意元素都属于 B，所以 A 是 B 的子集。 练习 1.写出集合{a,b,c}的所有子集. 2.用适当的符号填空： (1)a {a,b,c}；(2)0 {x|x2=0}；(3)∅ {x∈R|x2+1=0}； (4){0,1} N；(5){0} {x|x2=x}；(6){2,1} {x|x2-3x+2=0} 集合 {a,b,c} 的所有子集： ∅，{a}，{b}，{c}，{a,b}，{a,c}，{b,c}，{a,b,c} ∈ ∈ = ⊆ ⊆ = 3.判断下列两个集合之间的关系 （1）A={x|x<0}，B={x|x<1} 练习 A={x|x<0}，B={x|x<1} 所有小于 0 的数都小于 1，A 的全部元素都在 B 内。 所以 A⫋B 3.判断下列两个集合之间的关系 （2）A={x|x=3k,k∈N}，B={x|x=6z,z∈N} 练习 （2） A 是所有 3 的自然数倍数，B 是所有 6 的自然数倍数。 6 的倍数一定是 3 的倍数，但 3 的倍数不一定是 6 的倍数。 所以 B⫋A 3.判断下列两个集合之间的关系 （3）A={x∈N+|x是4与10的公倍数}，B={x|x=20m,m∈N+}. 练习 （3） 4 和 10 最小公倍数是 20，正整数范围内 4 与 10 的公倍数就是 20 的正整数倍。 集合 A 与集合 B 元素完全相同。 所以 A=B 子集有2n个, 真子集有(2n-1)个, 非空子集有(2n-1)个, 非空真子集有(2n-2)个. 小组合作：观察例1和练习1，猜测若集合A中有n个元素，则集合A有多少个子集? 小结 回顾本节知识，并回答以下问题： 1.两个集合间的基本关系有哪些？如何判断两个集合间的关系？ 2.你是如何研究集合间的基本关系的？ 3.包含关系与属于关系有什么区别？ 合作探究·释疑解惑 【例1】已知集合A={x|1≤x<4},B={x|x<a},若A⊆B,求实数a的取值范围. 解:将集合A表示在数轴上,如图所示, 要满足A⊆B,表示数a的点必须在表示4的点处或在表示4的点的右边,即a的取值范围为a≥4. 【例2】 已知集合A={x|x<-1,或x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若B⊆A,求实数a的取值范围. 解:当B=⌀时,只需2a>a+3,即a>3; 当B≠⌀时,将集合A,B在数轴上表示出来,如图所示, 综上可得,实数a的取值范围为{a|a<-4,或a>2}. 【探究1】 已知集合A={x|-1<x<4},B={x|2a≤x≤a+3},若B⊆A,求实数a的取值范围. 解:当B=⌀时,只需2a>a+3,即a>3; 当B≠⌀时,根据题意,在数轴上表示出集合A,B,如图所示,可得 解:A={x|-1<x<2},B={x|2a≤x≤a+3}. 若A⊆B,在数轴上表示出集合A,B,如图, 【探究2】 已知集合A={x|-1<x<2},B={x|2a≤x≤a+3},若A⊆B,求实数a的取值范围. 【变式训练】 已知集合A={x|ax2-2x+2=0},集合B={y|y2-3y+2=0},如果A⊆B,求实数a的取值集合. 下 课 $