22.1.1成比例线段 专项训练 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

**基本信息** 以比例概念为基础，通过性质推导与分层题型训练，系统构建成比例线段的解题方法体系，强化抽象能力与运算能力 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |比例|性质5类|基本性质/设参数法|从比例项定义到合比、等比性质推导| |比例线段|6题|乘积判断法/分类讨论|比例概念延伸到线段长度比的应用| |比例性质应用|7题|比例尺计算/实际建模|性质与现实情境结合，发展应用意识| |黄金分割|10题|定义应用/双分割点讨论|特殊比例线段的几何意义与审美价值|

第22章22.1.1 成比例线段 【新教材华东师大版】 知识点1 比例 1、比例的项：在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足． 2、性质： 基本性质： 合比性质：, 反比性质： 合分比性质： 等比性质： 知识点2 比例线段 1.定义：如果（或），那就说成比例。两条线段的长度的比叫做两条线段的比. 对于四条线段如果 （或表示为），那么叫做成比例线段，简称比例线段．这时，线段是比例外项，线段是比例内项. 知识点3 黄金分割 如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中， ，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．） 【题型1 成比例线段】 1．下列四条线段是成比例线段的是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．下列各组线段中，、、、成比例的一组是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 3．已知线段，，，为成比例线段，其中，，，则是（     ） A． B． C． D． 4．已知线段a、b、c的长度分别为3、6、9，再选取一条线段d，使得这四条线段成比例，这条线段的长度不能是（     ） A．2 B．4.5 C．18 D．8 5．已知三条线段的长分别是，和，如果再加上一条线段，使这四条线段成比例，那么这条线段的长是________． 6．若线段、、、是成比例线段，且，则的值为______． 【题型2 比例的性质】 1．若，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 2．若，则下列各式中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 3．若成立，则下列等式不成立的是（     ） A． B． C． D． 4．对于线段和，若，则下列式子一定正确的是（     ） A． B． C． D． 5．已知，则下列各式成立的是（     ） A． B． C． D． 6．若，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知a，b，c，d，e，f六条线段满足，若，那么的值为（     ） A．10 B．5 C． D． 8．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．已知，，则b的值为（　　） A．2 B．8 C．10 D． 10．已知，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 11．已知，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 12．若，则的值是______． 13．若，则的值是________ ． 14．已知，则的值是____________． 15．已知三条线段a，b，c，其中b是a，c的比例中项，如果，，则b的值为______． 16．已知，，则________． 17．若线段，，则、的比例中项_____． 18．如果，那么______． 19．已知，则的值为______． 20．解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知a，b，c是的三边，且满足，，请你探索的形状． 21．已知，满足，求、、的值． 22．已知，求的值，且． 23．已知． (1)求的值； (2)当时，求的值． 24．（1）已知，求； （2）已知，求证：． 25．（1）已知，求的值． （2）已知，求证：． 【题型3 比例性质的应用】 1．在地图上量得甲、乙两地的距离是，甲、乙两地的实际距离是，则该张地图的比例尺为（     ） A． B． C． D． 2．小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为∶的矩形．若墙上投影画面的短边长为，则投影画面的长边长为（     ） A． B． C． D． 3．我们知道“若，则”，下列生活场景可以用这个知识解释最贴切的是（   ） A．小明买了2支钢笔花了16元，买5支同样的钢笔花了40元，计算每支钢笔的单价 B．配制一种盐水，盐和水的质量比是，现在往盐水中再加入1克盐和8克水，判断新盐水的浓度是否不变 C．一辆汽车3小时行驶180千米，照这样的速度，计算行驶300千米需要的时间 D．一个长方形的长和宽的比是，若长增加2厘米、宽增加3厘米，判断新长方形的长和宽的比是否不变 4．在比例尺是的地图上，，两地间的距离为，则，两地间的实际距离是（  ） A． B． C． D． 5．已知线段，点是线段的黄金分割点，且，那么的长为________． 6．甲、乙两地的实际距离是600千米，在比例尺为的地图上，甲乙两地的距离是________． 7．已知一塔影长为，若此时物高与影长的比为，则该塔的高度为______． 【题型4 】 1．已知C是线段的黄金分割点，则 （     ） A． B． C． D． 2．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（     ） A． B． C． D． 3．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C． D． 4．已知，线段，点，是线段的两个黄金分割点，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．黄金分割是汉字结构最基本的审美规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 6．一般认为，一个人的上半身（肚脐以上的高度）与下半身（肚脐以下的高度）的比例中，如果下半身与身高的比为黄金比，则这个人好看．某位参加空姐选拔的选手身高160厘米，上半身长65厘米，那么她应穿______厘米的鞋子才能好看．（精确到1厘米） 7．地球表面的纬度范围是，对其进行黄金分割，黄金分割点之间的部分是地球的舒适黄金地带，世界古文明的金字塔、巴比伦王国、三星堆以及玛雅文化也都诞生于此，那么黄金地带纬度的范围是：______~______（黄金比为） 8．中国纸扇历史悠久，其设计中多处暗合黄金分割，能使扇子展开时线条更加流畅、美观．如图，已知，点为线段的黄金分割点，则______（结果保留根号）． 9．音乐家发现，当音乐作品的高潮部分位于全曲的黄金分割点位置时，往往能呈现最和谐的艺术效果．已知《青藏高原》共27小节，其高潮位于后半部分，则按照黄金分割比例，理论上高潮应在第___________小节附近．（计算结果四舍五入保留整数） 10．古希腊数学家毕达哥拉斯发现的黄金分割被誉为“最优美的比例”，C是线段的黄金分割点，，则的长为______． 第22章22.1.1 成比例线段答案与详细解析 【题型1 成比例线段】 1．D 【分析】根据成比例线段的定义，若最短线段与最长线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则这四条线段是成比例线段，据此逐项判断即可． 【详解】解：、，不是成比例线段，故选项不符合题意； B、，不是成比例线段，故选项不符合题意； C、，不是成比例线段，故选项不符合题意． D、，是成比例线段，故选项符合题意． 2．B 【分析】利用比例的基本性质，通过验证与是否相等判断四条线段是否成比例． 【详解】解：A、， ，， ， 该组线段不成比例； B、， ，， ， 该组线段成比例； C、， ，， ， 该组线段不成比例； D、， ，， ， 该组线段不成比例． 3．C 【分析】按成比例线段的给定顺序列比例式计算的值即可． 【详解】解：∵，，，是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴． 4．D 【分析】根据比例基本性质，两内项之积等于两外项之积，分三种情况计算出线段d的所有可能值，即可判断出不可能的取值． 【详解】解：情况1：若，则，解得，对应选项C，可能； 情况2：若，则，解得，对应选项B，可能； 情况3：若，则，解得，对应选项A，可能； ∴d的可能取值为2，4.5，18，不可能为8，故D不可能． 5．或或 【分析】分类讨论求出比例的值，分别计算即可． 【详解】解：设所求的线段是，根据题意得到， ， 解得． ， 解得． ， 解得． 6．6 【分析】根据成比例线段的顺序写出比例式，再根据比例的基本性质求解即可． 【详解】解：若线段、、、是成比例线段， ∴ ∵， ∴． 【题型2 比例的性质】 1．C 【分析】将拆分，可得，然后将代入求解即可． 【详解】解：， 将，代入得：． 2．D 【分析】根据比例的基本性质，可通过设参数法结合比例性质化简，逐一判断选项即可. 【详解】解：由可设，（）． 选项A，，仅当时等于，不恒成立，故A错误； 选项B，由交叉相乘得，与不符，故B错误； 选项C，，仅当时等于，不恒成立，故C错误； 选项D，，等式恒成立，故D正确． 3．D 【分析】将各选项的比例式转化为等积式，与已知推导的对比，判断等式是否成立； 【详解】解：∵， ∴，且均不为0. ∵， ∴ ，与已知一致， ∴ A成立； 设，则，， 当时， ∴， ∴ B成立； ∵，，， ∴， ∴C成立； ∵， ∴，与不一定相等， ∴ D不成立； 4．D 【分析】根据比例性质逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴设，（）， A选项：，，，错误； B选项：，不一定为1，错误； C选项：，错误； D选项：，正确，符合题意． 5．D 【分析】可根据已知条件得到a和b的关系，再通过代入或比例变形判断各选项是否成立． 【详解】解：∵，， ∴， 选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：代入得左边，仅当时等式成立，不是恒成立，C错误； 选项D：将等式交叉相乘得 ， 展开得， 化简得，与已知条件一致，等式恒成立，D正确． 6．A 【详解】解：∵，， ∴设，， A．，故A正确； B．若，则无意义，故B错误； C．，，，故C错误； D．，故D错误． 7．C 【详解】解：∵， ∴，，． ∵， ∴． 8．B 【分析】本题将所求分式拆分变形后，代入已知比例即可计算结果，用到分式的基本运算性质． 【详解】解：∵ ． 又∵ ． ∴ ． 9．B 【分析】本题可利用设参数法表示出a，b，c，再代入已知等式求出参数值，即可得到b的值，用到比例的基本性质． 【详解】∵ ， ∴设（）， 可得，，， ∵， ∴ ， 整理得 ， 解得 ， ∴ ． 10．B 【分析】本题可利用比例的性质，通过将a、c用b、d表示，再代入所求式子化简计算． 【详解】解：∵，， ∴，， 将，代入得：， ∵， ∴， 故选：B． 11．A 【分析】本题考查比例的性质和分式的化简，正确掌握比例的性质是解题的关键． 根据比值为3，可得，，，再代入原式的倒数，化简为1，即可求解． 【详解】解： ，，， ， 与互为倒数， 的值为1． 故选：A． 12． 【分析】根据已知比例关系，设、，其中，代入所求分式化简计算即可． 【详解】解： 可设，，其中 将，代入得： ． 13．4 【详解】解：设， ∴， ∴． 14． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ∴． 15．12 【分析】根据比例中项的定义可得，代入，的值计算，结合线段长度为正，即可得到的值． 【详解】解：线段是，的比例中项 将，代入得 线段长度为正数 16． 【分析】本题考查了比例的性质，通过设比例常数为，将、、 用表示，再代入所求表达式进行化简计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴设， 则，，， 则，， ∴， 故答案为： 17．6 【分析】本题主要考查了比例的性质．根据比例中项的定义，c 是 a 和 b 的比例中项，则，代入数据计算即可． 【详解】解：∵线段，，c 是 a、b 的比例中项， ∴， ∴（负值舍去）． 故答案为：6 18． 【分析】此题考查了比例的性质．通过设参数将x和y用含同一参数的式子表示，再代入所求比例式化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴设， 则． 故答案为：． 19． 【分析】本题考查了比例的性质，根据已知可得，即，即可求解． 利用分式的性质，将方程变形求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴ 故答案为：． 20．(1) (2)直角三角形 【分析】（1）把所求分式拆开，利用已知条件求出的值，代入直接计算． （2）利用设参数k的方法表示三边，再根据三边之和列方程求出k，得到三边长，最后用勾股定理逆定理判定三角形形状． 【详解】（1）解：， ． ； （2）解：令． ，，， ，，． 又． ， ． ，，， ，， 是直角三角形． 21．，， 【分析】设，则，，，求出的值，即可求出、、的值． 【详解】解：设，则，，， ∵， ∴， 解得， ∴，，． 22．3 【分析】本题考查了分式求值．通过转化思想，将转化为含有相同比值的量是解题的关键．设公共比例系数为k，将转化成用k表示的量，再代入所求分式，化简计算，即可得到结果. 【详解】解：设，则， ， ， 原式． 23．(1) (2) 【分析】本题考查了比的基本性质，熟练掌握设未知数法表示比值是解题的关键． （1）设，代入化简计算即可； （2）由，得，解得，代入化简计算即可． 【详解】（1）解：∵， 设， ∴； （2）解：∵， 设， ∵， ∴， 解得， ∴． 24．（1）2； （2）证明：设，则，， ∴， ∴． 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是利用参数解决问题． （1）设，且，然后代入计算即可． （2）设，则，，然后代入计算即可得证． 【详解】（1）解：设，且， ∴； （2）略 25．（1）； （2）证明：设，则． 将代入等式左右两边，得左边，右边， 左边右边，即． 【分析】分析片段 已知，将变形为，即，求得，将变形为，即可求解. 设，分别计算左边和右边，可以解决问题. 【详解】解：（1）， ． （2）略 【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是利用参数解决问题. 【题型3 比例性质的应用】 1．D 【分析】解题关键是先统一长度单位. 【详解】解：，该地图比例尺为. 2．B 【分析】投屏后形状不变，投影矩形与原屏幕矩形是相似图形，对应边成比例，根据原矩形边长比列比例式即可求出投影长边长． 【详解】解：∵投屏后画面形状保持不变， ∴投影矩形与原屏幕矩形相似，对应边成比例， ∵原矩形相邻两边长之比为，即长边短边，设投影长边长为， 可得， 解得， 即投影画面长边长为． 3．B 【分析】结合各选项的实际场景，判断哪一场景符合题中给出的性质即可． 【详解】解：题中给出性质：若，则，即两个比值相等时，前项和与后项和的比值仍等于原比值，据此分析各选项： ∵ 选项A是计算单价，通过总价除以数量得到结果，没有用到上述性质，不符合题意； 选项B中，设原盐水中盐质量为，水质量为，得，新加入盐，水，得，满足，根据性质得，盐和水的比不变，因此浓度不变，完全符合题中知识，符合题意； 选项C是根据速度不变列比例求时间，没有用到上述合比性质，不符合题意； 选项D中，原长宽比，增加的长和宽的比是，不满足的前提，不符合题意． 4．C 【分析】本题考查比例线段实际应用，核心知识点是比例尺的定义：比例尺图上距离实际距离．先根据比例尺公式列等式求出实际距离的厘米数，再将单位换算为千米，从而得到最终结果． 【详解】解：设、两地的实际距离为， ∵已知比例尺为，图上距离为， ∴， 解得； ， 故选：C． 5． 【详解】解：由题意得，， ∵黄金分割比为，且， 即 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解， 即的长为． 6．120 【分析】本题考查了比例尺，图上距离等于实际距离乘以比例尺，将实际距离单位统一为厘米即可． 【详解】解：实际距离千米厘米， 图上距离厘米． 故答案为：120． 7． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据物高与影长的比值为，利用比例关系直接计算塔高，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设塔高为米，由题意得， 解得， 故答案为：． 【题型4 】 1．A 【分析】利用黄金分割的性质可直接得到对应比值． 【详解】∵ 点是线段的黄金分割点，且， 根据黄金分割的定义可得 ， ∴ ． 2．A 【分析】根据黄金分割点的定义：将一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比等于较短部分与较长部分的比，比值为 ,根据题意计算即可． 【详解】解：根据黄金分割点的定义，当点为的黄金分割点（）时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．C 【分析】本题考查黄金分割的定义，矩形的性质．首先根据矩形的性质得到，根据黄金分割的定义得到的长度，继而得到的长度． 【详解】解：四边形为正方形，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ， “远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点处，且， ， ． 4．D 【分析】根据黄金分割比例求出的长，再根据列式求解即可． 【详解】解：∵线段，点，是线段的两个黄金分割点， ∴， ∴． 5．C 【分析】由黄金分割的定义求出，再由计算即可得出结果． 【详解】解：∵点恰好是线段的黄金分割点，， ∴， ∴． 6．10 【分析】设应穿厘米的鞋子，根据黄金分割的比例关系列方程求解即可． 【详解】解：设她应穿厘米高的鞋子，原下半身长为厘米，穿鞋子后下半身长为 厘米，总身高为厘米， ∵ 黄金分割要求下半身长与总身高的比为黄金比， ∴ ， ∴ ， 去括号，整理得， 解得， 经检验是原方程的根，结果符合题意． 答：她应穿10厘米的鞋子才能好看． 7． 【分析】根据黄金分割率，用，可得结论． 【详解】解：由题意得，，， 黄金地带纬度的范围是：． 8．/ 【分析】根据黄金分割点的定义，较长线段与全长的比值为，结合图形判断出为较长线段，代入的长度进行计算即可． 【详解】解：点为线段的黄金分割点，且由图可知 为较长线段 ． 9． 【分析】根据高潮位于全曲后半部分的黄金分割点，用总小节数乘黄金分割比，计算后四舍五入即可得到结果． 【详解】解：黄金分割比为， 由题意可得：． 10．或 【分析】点C是线段的黄金分割点，需分两种情况讨论：即为较长线段或为较短线段，根据黄金分割的定义计算即可得到结果． 【详解】解：由黄金分割的定义可知，黄金分割比为， ∵， ∴分两种情况讨论： ①当为较长线段时.； ②当为较短线段时，此时为较长线段：， 则， 综上可得：的长为或． 学科网（北京）股份有限公司 $