22.1.1 成比例线段-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（华东师大版·新教材）

第22章1 图形的相似 22.1 成比例线段 ©22.1.1成比例线段 》基础在线 ,知识要点分类练 8已知号--子求'的值， 之 知识点1线段的比 1.已知线段AB,在BA的延长线上取一点C,使CA =3AB,则线段CA与线段CB的比为( A.3:4 B.2:3 C.3:5 D.1:2 2.（教材P65习题T1变式)在一幅地图上，用 2.6cm表示甲、乙两地的实际距离26km,则 这幅地图的比例尺为 知识点2成比例线段 3,下列各组中的四条线段成比例的是( ) A.6 cm,2 cm,1 cm,4 cm 知识点4线段黄金分割 B.4 cm,5 cm,6 cm,7 cm 9.已知点C把线段AB分成两条线段AC和 C.3 cm,4 cm,5 cm,6 cm BC,下列说法错误的是 () D.6 cm,3 cm,8 cm,4 cm 4.已知a、b、c、d是成比例线段，若a=2cm,b= A若S-C,则线段AB被点C黄金分剂 5cm,c=5cm,则d的长为 ( B.若AC=AB·BC,则线段AB被点C黄金 A.8 cm B.10 cm 分割 C.12.5cm D.25 cm C.若线段AB被点C黄金分割，则AC与AB 知识点3比例的基本性质 的比叫做黄金比 5.已知2x=3y(y≠0)，则下列结论成立的是（) D.一条线段有两个黄金分割点 A.2=3 y 2 B学月 10.(南阳月考)生活中到处可见黄 C.=2 D岩 金分割的美，很多叶片本身都蕴 yΓ3 含着黄金分割的比例，在大自然 6.(教材P58练习T3变式)已知号-名，则“) 中呈现出优美的样子.如图，点 的值是 P是AB的黄金分割点(AP>PB),如果AB A B. C.3 n 长为8cm,那么BP的长约为 () 7.(中考·成都)若号=3，则古的值为 A.m B.(12-4√5)cm C.(4√5-4)cm D.(8√5-8)cm 第22章46 易错点未确定成比例线段的顺序时，部分情16.如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥ 况讨论导致漏解 AB,垂足为点D,已知AC=3,BC=4.问线 11.已知三条线段的长分别为1cm,2cm,W2cm, 段AD、CD、CD、BD是不是成比例线段？写 如果另外一条线段与它们是成比例线段，那么 出你的理由. 另外一条线段的长为 能力在线少方法规律综合练 12,若一台则下列等式中不一定成立的是(） A.a十b=c+d B.a十c=a b d “b+db c第- D.ad=bc 13.题目：“已知数x、y、之、m满足x十义=y十之= 17设a,6c是△ABC的三边长，且。_6 c x 之=m,求m的值.”对于其答案，甲答：m =c一a,判断△ABC为何种三角形，并说明 y =2;乙答：m=丙答：m=-1,则正确的是 理由. ( A.甲的答案正确 B.甲、乙的答案合在一起才完整 C.乙、丙的答案合在一起才完整 D.甲、丙的答案合在一起才完整 14.(郑州期中)“黄金比例分割法”是启功先生研 究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金 分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四 3 拓展在线沙路优拔尖凝升然… 条与边平行的线的交点都是黄金分割点)，汉 18.采用如下方法可以得到黄金分割点：如图所 字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美 观.若正方形“黄金格”的边长为4cm,四个 示，设AB是已知线段，以AB为边作正方形 黄金分割点组成的正方形的边长为（注：黄金 ABCD;取AD的中点E,连结EB;延长DA 分割比是5，马) 至点F,使EF=EB;以线段AF为边作正方 2 形AFGH,则H就是AB的黄金分割点.你 左线右线 赞金分 能说说这种作法的道理吗？ 下线 A.(2√5-2)cm B.(45-8)cm C.(6-2√5)cm D.(12-4√5)cm 15,(教材P55习题T6变式)已知后-音- 一d≠0)，则a二c b-d 47探究在线 九年级数学（上）·HD代入数值计算，得 核心素养提升 m3n+mm3=-8×[22-2×(-8)]=-160. 16.(1)60(2)144 （3)x-2十=一k+3可化为工-1-2+2=一k+2, (3)(60-2x)平方步(4)(60-2x)2=14424 x-1 x-1 第22章图形的相似 设=x-1,则原方程可化为一2(+2》=一十2， t 22.1成比例线段 即+二2kk+2=(-2k)+(k+2), 22.1.1成比例线段 能力在线 由于x1>x2,k>0,可得>t2, 1.A2.1:10000003.D4.C5.A6.D7.4 且t=k十2，t2=-2k, .x1=k十3，x2=-2k+1. 8设号=学==x=3y=5,2=4 因此，-3=+3-3 义=3h5--2k=- 4k 4k 2… 单元综合复习（二）一元二次方程 号的值为一宁 热门考点突破 1.B2.D3.54.D5.D 9.C10.B1.22cm或 cm或，√2cm 6.(1)分解因式，得(x-1)(x一5)=0， 基础在线 .x一1=0或x-5=0, .x1=1,x2=5. 12.B13.D14.B15号 (2)2x2+x-2=0, 16.在Rt△ABC中， .a=2,b=1,c=-2, ∠ACB=90°，AC=3,BC=4,.AB=5. ∴.b2-4ac=12-4X2×(-2)=17. “x=-b士YB-4ac=-1±7 Sc=2AB.CD-号BC·AC 2a 4 :.CD-BC-AC-2.4. x1=-1+17 4 ,2=1-17 AB 4 在Rt△ADC中，AD=√AC-CD=1.8, 7.有两个不相等的实数根8.一29.2910.C11.A .BD=3.2, 12.(1)△=b-4ac=22-4X1×(3-k)=-8+4k, .AD:CD=CD:BD, ,方程有两个不相等的实数根， ∴.线段AD、CD、CD、BD是成比例线段， ∴-8+4k>0. 17.△ABC为等边三角形.理由如下： 解得>2. a、b、c是△ABC的三边长，.a十b+c≠0. (2)方程的两个根为α、B, .a-b_b-c-c-a a明=3-k.k2=3-k+3k, b a, 解得k1=3,k2=一1. k>2,∴.k=3. 9-6。-2-a6t6t-2=0, a a+b+c 13.B ∴.a-b=0,b-c=0,c-a=0. 14.设小路的宽度为xm,由题意，得 a=b=c.∴△ABC为等边三角形 (20-4x)(14-4x)=24×9,整理，得2x2-17x+8=0, 能力在线 解得x=号或工=8（舍去， 18.设AB=AD=x, :E是AD的中点，∴AE= x. 答：小路的宽度为2m 15.(1)2x(40-x) 由勾殷定理，得BE=√AB+A区-√2+（合） (2)设每件服装降价x元时，商家平均每天能盈利1200 √5 x,则AH=AF= W51 元，依题意，得 2 (40-x)(20+2x)=1200, AH=5-1, 整理，得x2-30x十200=0， AB 2 解得1=10，x2=20. ∴H就是AB的黄金分割点. 又，需要扩大销售量， 22.1.2平行线分线段成比例 .x=20. 能力在线 答：每件服装降价20元时，商家平均每天能赢利1200元： 1.D2.B3.C (3)商家不能达到平均每天盈利1800元，理由如下： 假设每件服装降价y元，商家能达到平均每天盈利1800 ha,0-器 元，依题意，得 62 (40-y)(20+2y)=1800, ·BC-3BC=9. 整理，得y2-30y+500=0. ,.AC=AB+BC=6+9=15. .△=(-30)2-4×1×500=-1100<0， 5.A6.D .此方程无解， 7.EG∥BC,EBGC AE AG .商家不可能达到平均每天盈利1800元. 一探究在线·九 GF/Dc,2瓷S .AB'-B'C' 瓷或瓷% 铝部即品 300-200004-202 30 30 FD=4. 解得x=1.5或9. ∴AD=AF+FD=10. 故当x=1.5或9时，矩形ABCD与A'B'CD'相似. 8.12或6 拓展在线 能力在线 15.(1)22 9.C10.C11.B12.12 (2)设A1纸的长和宽分别为x,y,则A2纸的长和宽分别 13.(1)1∥2∥13， 怨即360 4 为…号=之∴号-厄 y 22 解得AC=12. 即该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比为√2：1. ②4%%器-咒号 (3),一张A纸的质量为a克，A纸是A纸面积的一半， AB=4,AC=12,.BC=8, 六一张A,纸的质量为弓0克，同理，一张A纸的质量是 0B-28器-是-合 4a克，… 14.(1)该证明的剩余部分： 则0∠2-∠AcE,∠1-∠E -张A纸的质量是（合）》'a克。 22.3相似三角形 AD平分∠BAC,∴∠1=∠2， 22.3.1相似三角形 ∠ACE=∠EAE=AC,8是-80 基础在线 1.A2.D3.A (2)3⑤ 4.(1)∠BAC=45°，∠C=40°， 2 ∠B=180°-45°-40°=95. 拓展在线 ,'△ABCp△ADE, 15.如图，过点C作CF∥DE,交AB ∴.∠AED=∠C=40°，∠ADE=∠B=95. 于点F ME/CF,2器-光 (2:△ABC△ADE怎-e :点M为AC边的中点， 即-S,部得DE-总 ∴.AM=MC..AE=EF. :AB=4MEEF=-子AB,BF-7AB∴BF=2ER DE的长为習cm 5.C6.B CF/DE,器- =2.∴.BC=2CD. 7.△ADE∽△ABC,△EFC∽△ABC,△ADE∽△EFC 能力在线 22.2相似图形 8.C9.C10.1511.15 基础在线 12.图中的相似三角形是△ADE∽△ABC. 1.C2.B3.D4.B5.16 AD=2,EC=3AD,∴.EC=6. 6.设矩形水池的宽为工m,由两矩形相似，得9- 设AE=x, x DB=x+1,AC=AE+EC=x+6, 解得x-号 ∴.AB=AD+DB=2+(x+1)=x十3. ,DE∥BC,.△ADE∽△ABC. ∴矩形水袍的周长为(9+5）×2=2(m),面积为号×5 能品腮异認 由千6异得2+红12-0… 7.两个五边形相似，它们的对应角相等，由此可得∠3=65°， 解得x1=3,x2=一4（不符合题意，舍去）， ∠a=540°-(115°+95°+155°+65)=110°； ∴.AE=3,DB=4. 两个五边形相似，它们的对应边的比相等，由此可得a:12 =27=316=c5,解得a=兰，6=头c=9 ∴△ADE与△ABC的相似比为铝=2异4=号 8.C9.甲与丙 由相似比为日品-日解得BC=4.8 能力在线 拓展在线 10.A11.D12.108013.2√3 13.(1)40 14.(1)不相似.理由：：AB=30,A'B'=28,BC=20,B'C'= (2)△ABD是等腰三角形，分情况讨论： 18,而器≠8，故矩形ABCD与ABCD'不相似. 若BD=AD,则∠ABD=∠BAD=42. ,AD是△ABC的完美分割线， (2),矩形ABCD与A'B'C'D'相似， ∴.△ADC∽△BAC.∴∠CAD=∠B=42°. 年级数学（上）·HD一 21