专题 矩形在直角坐标系中的存在性问题专项训练（含与一次函数结合）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦坐标系中矩形存在性问题，覆盖从基础格点构造到综合动态探究的全题型，以题链形式构建"性质应用-坐标计算-分类讨论"的知识逻辑体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础构造|1-6题|给定两点/三点确定矩形顶点坐标|矩形性质与坐标系点坐标特征结合，培养几何直观| |综合应用|7-23题|结合一次函数、旋转、动点探究矩形存在性|从静态计算到动态分析，渗透分类讨论思想，发展推理能力与模型观念|

矩形在坐标系中的存在性问题专项训练 1．如图，A，B为5×5的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，在此图中以A，B为顶点的格点矩形共可以画出（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知平面直角坐标系内有三点A（2，2），B（5，2），C（5，），请确定一个点D，使四边形ABCD为矩形，则点D的坐标是 　 　 ． 3．在坐标平面内，A，B两点的坐标分别是（1，5），（4，1），点C在y轴上，点D在坐标平面内，以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，则点D的坐标为 　 　 ． 4．在平面直角坐标系上，有点A（﹣2，﹣2），B（2，2），C（0，4），当点D的坐标为　 　 时，四边形ABCD是矩形． 5．如图，在平面直角坐标系中，有点A（3，0），点B（3，5），射线AO上的动点C，y轴上的动点D，平面上的一个动点E，若∠CBA＝∠CBD，以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，则AC的长为　 ． 6．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣1），点B（2，3），点C（2，﹣1），在平面直角坐标系中找一点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形为矩形，则BD的长为 　 　 ，点D的坐标为 　 　 ． 7．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，直线y＝2x﹣6经过线段OA的中点D，与y轴交于点G，E是线段CG上一点，作点E关于直线DG的对称点F，连接BE，BF，FG．设点E的坐标为（0，m）． （1）写出点B的坐标是（ 　 　 ，　 　 ）； （2）当S四边形BEGF时，求点E的坐标； （3）在点E的整个运动过程中， ①当四边形BEGF为菱形时，求点E的坐标； ②若N为平面内一点，当以B，E，F，N为顶点的四边形为矩形时，m的值为 　 　 ．（请直接写出答案） 8．如图，直线l1：分别与x轴，y轴交于A、B两点，与直线l2：y＝kx﹣6交于点C（4，2）． （1）点A坐标为（　 　 ，　 　 ），B为（　 　 ，　 　 ）； （2）点E在直线l1上移动，过点E作y轴的平行线交直线l2于点F，设点E的横坐标为m．当m为何值时，点O、B、E、F能构成平行四边形； （3）若点P为坐标轴上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得P、Q、A、B四个点能构成一个矩形，若存在，求出所有符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过（0，1），（1，﹣3），点E是线段AB的中点． （1）求一次函数y＝kx+b的函数解析式； （2）若点F是线段BC上的一个动点，求△OEF周长的最小值； （3）若点D是x轴上的一个动点，在一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象上是否存在点G，使得以O、D、E、G为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点G的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点C，且与正比例函数y＝2x的图象交于点B（2，4）． （1）求一次函数y＝ax+b（a≠0）的解析式； （2）点M在x轴上，当MB+MC最小时，求点M的坐标； （3）若D是直线AB上一点，E是平面内一点，以O、C、D、E四点为顶点的四边形是矩形，请直接写出点E的坐标． 11．如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，点M（m，3）在第一象限． （1）求A，B两点的坐标； （2）若△ABM的面积与△ABO的面积相等，求m的值； （3）在平面直角坐标系中存在一点N，使得以A，B，M，N四个点为顶点的四边形为矩形，求点N的坐标． 12．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x+4的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将△AOB绕点O顺时针旋转90°得△COD（点A与点C对应，点B与点D对应）． （1）求直线CD的解析式； （2）点E为线段CD上一点，过点E作EF∥y轴交直线AB于点F，作EG∥x轴交直线AB于点G，当EF+EG＝AD时，求点E的坐标； （3）如图2，若点M为线段AB的中点，点N为直线CD上一点，点P为坐标系内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A，交y轴于点B，OA，OB（OA＜OB）的长是一元二次方程2x2﹣3x+1＝0的两个实数根，点B关于原点的对称点为点C，过点C作直线AB的垂线交AB于点D，交x轴于点P． （1）求直线AB的解析式； （2）点Q的坐标为（x，0），设△PDQ的面积为S，求S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）若点E在直线AB上，F为坐标平面内任意一点，是否存在以B，C，E，F为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x+2的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将△AOB绕点O顺时针旋转90°得△COD（点A与点C对应，点B与点D对应）． （1）求直线CD的解析式； （2）点E为线段CD上一点，过点E作EF∥y轴交直线AB于点F，作EG∥x轴交直线AB于点G，当EF+EG＝AD时，求点E的坐标； （3）如图2，若点M为线段AB的中点，点N为直线CD上一点，点P为平面内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出其中一种求解点N的坐标的过程． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点D（0，﹣6）在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． （1）求直线CD的函数解析式； （2）在直线AB上是否存在一点P，使得△PBO与△ADC相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点M为直线AD上一点，在平面直角坐标系内，是否存在点N，使以点B、E、M、N为顶点的四边形为矩形，若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 16．如图，在平面直角坐标系中，菱形AOCB的边OC在x轴正半轴上，∠AOC＝60°，OC的长是一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的根，过点C作x轴的垂线，交对角线OB于点D，直线AD分别交x轴和y轴于点E和点F，动点N从点E出发，以每秒2个单位长度的速度沿EF向终点F运动，设运动时间为t秒． （1）求直线AD的函数解析式； （2）若△OBN的面积为S（S≠0），在点N运动过程中，求出S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； （3）点N在运动的过程中，坐标平面内是否存在一点M，使得以A，C，N，M为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 17．如图，直线l1：yx+b分别与x轴、y轴交于A、B两点，与直线l2：y＝kx﹣3交于点C（2，1）． （1）点A坐标为（　 　 ，　 　 ）； （2）在直线BC上有一点E，过点E作y轴的平行线交直线l2于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，S△OEF； （3）若点P为直线l1上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得P、Q、O、B四个点能构成一个矩形，若存在，直接写出所有符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由． 18．如图，直线l1：分别与x轴、y轴交于A、B两点，与直线l2：y＝kx﹣3交于点C（2，1）． （1）点A坐标为（ 　 　 ，　 　 ）； （2）在直线BC上有一点E，过点E作y轴的平行线交直线l2于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，以O、B、E、F为顶点四边形是平行四边形； （3）若点P为直线l1上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得P、Q、O、B四个点能构成一个矩形．若存在，直接写出所有符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由. 19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x+4的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，直线CD分别与x轴正半轴，y轴正半轴于点D，C两点，且CD⊥AB，OC＝OA． （1）直接写出点A的坐标为　 　 ； （2）求出直线CD的解析式； （3）如图2，点M为线段AB的中点，点N为直线CD上一点，点P为坐标系内一点，若以O，M，N，P为顶点且OM为边的四边形为矩形，请求出点N的坐标． 20．如图，直线AB经过点A（﹣3，0）和B（0，2），经过点D（0，4）并且与y轴垂直的直线CD与直线AB交于第一象限内点C． （1）求直线AB的表达式； （2）在x轴上有一点Q，若△AQC的面积为8，求点Q的坐标； （3）点P在x轴上，在平面内是否存在点H，使得以点A、C、P、H为顶点的四边形是矩形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 21．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，0），点C（0，3），点B与点A、点D与点C分别关于直线x＝1对称． （1）求直线AD解析式； （2）若点E为直线AD上一点，且满足S△BCE＝S△OBC，求出满足条件的E点坐标； （3）点M（1，4），点P是y轴上一点，Q是坐标平面内一点，如果以A、M、P、Q为顶点的四边形是矩形，请直接写出该矩形的顶点Q的坐标． 22．如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是由△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是2和4； （1）求直线BD的表达式； （2）求△OFH的面积； （3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 23．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数yx的图象交于点C（m，6）． （1）求m的值和一次函数y＝kx+b（k≠0）的表达式； （2）求△OBC的面积； （3）在x轴上是否存在点M，平面内是否存在一点P，使得四边形ABMP是矩形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案与试题解析 以AB为对角线的格点矩形有3个， 以AB为边的格点矩形有1个， ∴以A，B为顶点的格点矩形共可以画出4个， 故选：D． 2．【解答】解：如图， ∵A（2，2），B（5，2），C（5，）， ∴AB∥x轴，AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， 当DC∥AB，AD∥BC时，四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是矩形，DC∥x轴， ∴∠ADC＝90°， ∴AD⊥CD， ∴点D的坐标为（2，）， 故答案为：（2，）． 3．【解答】解：如图， 当AB为对角线时，观察图象可知D（5，3）． 当AB为矩形的边时，观察图象可知D2（﹣3，2）， ∴直线AD2的解析式为yx， ∴C1（0，）， ∵AC1＝BD1， ∴D1（3，）， 综上所述，满足条件的点D的坐标为（5，3）或（﹣3，2）或（3，）． 故答案为（5，3）或（﹣3，2）或（3，）． 4．【解答】解：把点B向左平移2个单位，再向上平移2个单位到点C， 由点A到点D也是同样， ∴点D的横坐标为：﹣2﹣2＝﹣4，纵坐标为：﹣2+2＝0， ∴D（﹣4，0）； 故答案为：（﹣4，0）． 5．【解答】解：存在三种情况： ①如图1，延长BA和DC交于点F， ∵点A（3，0），点B（3，5）， ∴AB⊥x轴，OA＝3， ∵四边形DCBE是矩形， ∴∠DCB＝90°， ∴∠BCF＝∠DCB＝90°， ∵∠CBD＝∠CBF， ∴∠BDC＝∠BFC， ∴BD＝BF， ∴CD＝CF， 在△DCO和△FCA中， ， ∴△DCO≌△FCA（AAS）， ∴OC＝AC， ∵ACOA． ②如图2，过点B作BM⊥y轴于M，则∠BMD＝90°， ∵四边形CDBE是矩形， ∴∠CDB＝90°， ∵∠CBA＝∠CBD，∠CAB＝90°， ∴BD＝BA＝5，AC＝CD， ∵BM＝3， ∴DM＝4， ∴CD＝5﹣4＝1， 设AC＝x，则OC＝3﹣x，CD＝x， 由勾股定理得：CD2＝OD2+OC2， 即x2＝12+（3﹣x）2， 解得：x， ∴AC； ③如图3，过点D作NL∥x轴，交AB的延长线于L，过C作CN⊥NL于N，则∠N＝∠L＝90°， ∵∠CDB＝∠CBA＝90°，∠CBA＝∠CBD， ∴CD＝AC， 设AC＝b，则CD＝b，OC＝DN＝b﹣3， ∵AB＝BD＝5， ∵DL＝3， ∴BL＝4， ∴CN＝AL＝5+4＝9， 由勾股定理得：CN2+DN2＝CD2， 即92+（b﹣3）2＝b2， 解得：b＝15， 综上，AC的长为或或15； 故答案为：或或15． 6．【解答】解：∵点A（﹣2，﹣1），点B（2，3），点C（2，﹣1）， ∴AC＝4，BC＝4，∠ACB＝90°， ∵点A，B，C，D为顶点的四边形为矩形， ∴BD∥AC，AD∥BC， ∴点D（﹣2，3）， ∴BD＝4， 故答案为：4，（﹣2，3）． 7．【解答】解：（1）对于y＝2x﹣6，令y＝0，即2x﹣6＝0，解得x＝3， 故点D、G的坐标分别为（3，0）、（0，﹣6）， 则点A（6，0），即正方形的边长为6，故点B（6，6）， 故答案为6，6； （2）对于y＝2x﹣6，令x＝0，则y＝﹣6， ∴G（0，﹣6）， ∵点E关于直线DG的对称点F， ∴S△BGE＝S△BGF， ∴S四边形BEGF＝2S△BGF＝2EG•CB， 设点E的坐标为（0，m）， ∴EG＝m+6， ∵S四边形BEGFS正方形OABC，B（6，6）， ∴S正方形OABC＝6×6＝36， ∴四边形BEGF＝2S△BGF＝2EG•CB＝6（m+6）36， 解得m＝2， ∴点E的坐标为（0，2）； （3）①若四边形BEGF为菱形，则EG∥BF． ∴BF⊥x轴，即BF在BA的延长线上， 根据菱形的性质知：BE＝GF＝BF＝EG， ∵点E的坐标为（0，m）， ∴BE2＝EG2，BE2＝BC2+CE2， ∴62+（6﹣m）2＝（m+6）2， 解得：m， ∴E（0，）； ②如图，当B，E，F，N四点构成的四边形为矩形时， ∵BE＝BF，则该矩形为正方形，则∠EBF为直角， 故点F作x轴的平行线交BA的延长线于点T， ∵∠CBE+∠EBA＝90°，∠EBA+∠FBA＝90°， ∴∠CBE＝∠FBA， ∵∠BCE＝∠BTF＝90°，BE＝BF， ∴△BCE≌△BTF（AAS）， ∴CE＝TF＝6﹣m，BT＝BC， 故点A、T重合，则点F在x轴上，则AF＝CE＝6﹣m， 故点F（12﹣m，0）， ∵GE＝GF， ∴（m+6）2＝（12﹣m）2+（﹣6）2， 解得：m＝4， 故答案为：4． 8．【解答】解：（1）将点C的坐标代入， 得：， 解得：b＝4， ∴， 当y＝0时，得：， 解得x＝8； 当x＝0时，得：y＝4， ∴A（8，0），B（0，4）， 故答案为：8；0；0；4 （2）由（1）得， 将点C的坐标代入得：2＝4k﹣6， 解得：k＝2， ∴l2：y＝2x﹣6， ∵在直线l1上有一点E， 过点E作y轴的平行线交直线l2于点F， 设点E的横坐标为m， ∴E，F（m，2m﹣6）， ∵B（0，4），O（0，0）， ∴EF∥BO， ∵点O、B、E、F能构成平行四边形； ∴EF＝BO＝4， ∴， ∴， ∴， 故或， 解得：或， 故当m为或时，点O、B、E、F能构成平行四边形． （3）当点P在x轴上时，如图，四边形ABPQ是矩形， 设P（n，0）， 则AP2＝（8﹣n）2，BP2＝16+n2， 由勾股定理可得AB2＝OA2+OB2＝80， ∵∠ABP＝90°， ∴AB2+BP2＝AP2， 即80+16+n2＝（8﹣n）2， 解得n＝﹣2， ∴P（﹣2，0）， ∴点B向左平移2个单位，向下平移4个单位得到点P， 由矩形性质可知点A向左平移2个单位，向下平移4个单位得到点Q， ∴Q（6，﹣4）； 当点P在y轴上时，如图，四边形ABQP是矩形， 设P（0，n）， 则BP2＝（4﹣n）2，AP2＝OA2+OP2＝64+n2， ∵∠BAP＝90°， ∴AB2+AP2＝BP2， ∴80+64+n2＝（4﹣n）2， 解得n＝﹣16， 此时P（0，﹣16）， 此时点A向左平移8个单位，向下平移16个单位得到点P， 则点B向左平移8个单位，向下平移16个单位得到点Q， ∴Q（﹣8，﹣12）； 当点P在原点时，如图，四边形APBQ是矩形， 此时点Q（8，4）； 综上，点Q坐标为（6，﹣4）或（﹣8，﹣12）或（8，4）． 9．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象过点（0，1），（1，﹣3），将两点的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为y＝﹣4x+1； （2）如图1，边长为2的正方形OABC的顶点O为坐标原点，作E点关于直线BC的对称点E′，连接OE′与线段BC相交于点F，此时△OEF的周长最小为OE+OE′， ∴A（2，0），B（2，2）， ∵E是线段AB的中点， ∴E（2，1）， ∴， ∵点E、E′关于直线BC对称， ∴E′（2，3）， ∴， ∴， ∴△OEF的周长最小为； （3）在一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象上存在点G，使得以O、D、E、G为顶点的四边形是矩形；理由如下： ①当以OE为矩形的对角线时，如图2，过点E作OA的平行线交y轴于点G， ∵正方形OABC，边长为2， ∴∠COA＝∠BAO＝90°， ∵OA∥GE， ∴∠COA＝∠OGE＝90°，∠GEA＝∠BAO＝90°， ∴四边形OGEA是矩形， ∵四边形OGED是矩形， ∴点D与点A重合， ∴OG＝DE， ∵由（1）得E（2，1）， ∴DE＝OG＝1， ∴G（0，1）， ∵直线y＝﹣4x+1经过（0，1）， ∴G（0，1）满足条件，存在； ②当以OE为矩形的边时，如图3，过点E作OE的垂线交x轴于点D，过点D作OE的平行线、过点O作OE的垂线，两线交于点G，过点G作GH垂直于OD交OD于点H． 由作图可知，四边形OGDE是矩形， ∵四边形OGDE是矩形， ∴∠OED＝90°，ED＝OG，ED∥OG， ∴∠EDO＝∠GOD， 在△EDA和△GOH中， ， ∴△EDA≌△GOH（AAS）， ∴OH＝DA， 设DA＝OH＝x， 在Rt△DEA中，由勾股定理得：DE2＝AE2+AD2＝1+x2， 在Rt△ODE中，由勾股定理得： 即1+x2＝x2+4x﹣1， 解得：， ∴ ∵将代入y＝﹣4x+1可知：在直线y＝﹣4x+1上， ∴满足条件，存在； 综上所述，点G的坐标为（0，1）或． 10．【解答】解：（1）将点A（﹣2，0），B（2，4）代入y＝ax+b， ∴， 解得， ∴直线AB的解析式为y＝x+2； （2）作C点关于x轴的对称点C'，连接BC'与x轴交于点M，连接MC'、MC， ∵MC＝MC'， ∴MC+MB＝MC'+MB≥BC'，此时MC+BM的值最小， 当x＝0时，y＝2， ∴C（0，2）， ∴C'（0，﹣2）， 设直线BC'的解析式为y＝k'x+b'， ∴， 解得， ∴直线BC'的解析式为y＝3x﹣2， ∴M（，0）； （3）当CO为矩形的边时，DO⊥CO， ∴D点与A点重合， ∴E（﹣2，2）； 当CO为矩形的对角线时，过O点作OD⊥AC交于D点， ∵OA＝OC＝2， ∴∠OCA＝45°， ∴△OCD是等腰直角三角形， ∴D（﹣1，1）， ∴E（1，1）； 综上所述：E点坐标为（﹣2，2）或（1，1）． 11．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4， ∴B（0，4）， 当y＝0时，x＝﹣3， ∴A（﹣3，0）； （2）∵△ABM的面积与△ABO的面积相等， ∴M点在直线yx上， ∴m， ∴M（，3）； （3）设N（x，y）， 当∠ABM＝90°时，AM2＝AB2+BM2，即9+（﹣3﹣m）2＝25+m2+1， 解得m， ∴M（，3）； ∵AM、BN为矩形的对角线， ∴x＝﹣3，y＝﹣1， ∴N（，1）； 当∠BAM＝90°时，BM2＝AB2+AM2，即m2+1＝9+（﹣3﹣m）2+25， 解得m＝﹣7（舍）； 当∠AMB﹣90°时，9+（﹣3﹣m）2+m2+1＝25， 解得m， ∴M（，3）或（，3）（舍）； ∵AB、MN为对角线， ∴﹣3＝x，4＝3+y， ∴x，y＝1， ∴N（，1）； 综上所述：N点坐标为（，1）或（，1）． 12．【解答】解：（1）一次函数y＝2x+4，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝﹣2， ∴A（﹣2，0），B（0，4），即OA＝2，OB＝4， ∵将△AOB绕点O顺时针旋转90°得△COD， ∴OC＝OA＝2，OD＝OB＝4， ∴C（0，2），D（4，0）， 设直线CD的解析式为y＝kx+b， 则， 解得， ∴直线CD的解析式为； （2）设，则F（a，2a+4）， ∵EG∥x轴， ∴点G的纵坐标为， 将代入一次函数y＝2x+4得：， ∴，即点G的横坐标为， ∴，， ∵A（﹣2，0），D（4，0）， ∴AD＝6， ∵EF+EG＝AD， ∴， ∴， ∴点E的坐标为，； （3）①OM为矩形的边时，如图，分别过点O、M作ON⊥OM交直线CD于N，作MN′⊥OM交直线CD于N′，在分别过点N、N′作NP⊥ON交直线MN′于P，作N′P′⊥MN′交直线ON于P′，则四边形MONP、四边形MN′P′O均为矩形， ∵A（﹣2，0），B（0，4），点M为线段AB的中点， ∴M（﹣1，2），， ∵将△AOB绕点O顺时针旋转90°得△COD， ∴△AOB≌△COD， ∴OA＝OC＝2，∠OAB＝∠OCD，AB＝CD， ∵ON⊥OM， ∴∠MON＝90°， ∵∠AOB＝90°， ∴∠AOM＝∠CON， ∴△AOM≌△CON（ASA）， ∴ON＝OM，CN＝AM， ∴， ∴点N为线段CD的中点， ∵C（0，2），D（4，0）， ∴N（2，1）； 设直线ON的解析式为y＝mx，则2m＝1， ∴， ∴直线ON的解析式为， ∵MN′⊥OM，ON⊥OM， ∴MN'∥ON， ∴可设直线MN′的解析式为， 将M（﹣1，2）代入得，， ∴， ∴直线MN′的解析式为， 联立直线得， 解得， ∴，； 综上，OM为矩形的边时，点N的坐标为（2，1）或，； ②OM为矩形的对角线时，如图， ∵M（﹣1，2），C（0，2）， ∴MC⊥y轴， ∵四边形MNOP为矩形， ∴MN⊥y轴， ∴点N与点C重合， ∴N（0，2）． 综上，以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形时，点N的坐标为（2，1）或，或（0，2）． 13．【解答】解：（1）2x2﹣3x+1＝0， （2x﹣1）（x﹣1）＝0， 解得x或x＝1， ∵AO＜OB， ∴B（0，﹣1），A（，0）， 设直线AB的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴直线AB的解析式为y＝2x﹣1； （2）∵点B关于原点的对称点为点C， ∴C（0，1）， ∵BD⊥CP， ∴∠OBA＝∠CPO， ∵tan∠OBA， ∴tan∠CPO， ∴OP＝2， ∴P（2，0）， ∵点Q的坐标为（x，0）， ∴PQ＝|2﹣x|， 设直线CP的解析式为y＝k'x+1， ∴2k'+1＝0， 解得k'， ∴直线CP的解析式为yx+1， 当x+1＝2x﹣1时，x， ∴D（，）， ∴S|2﹣x||2﹣x|，x≠2； （3）存在以B，C，E，F为顶点的四边形是矩形，理由如下： ①当BC为矩形的边时，CE⊥BC，BC＝EF＝2， ∴E（1，1）， ∴F（1，﹣1）； ②当BD为矩形的对角线时，CE⊥BE，OEBC， 设E（m，2m﹣1）， ∴2， 解得m＝0（舍）或m， ∴E（，）， ∴F（，）； 综上所述：F点坐标为（1，﹣1）或（，）． 14．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝2， ∴B（0，2）， ∴OB＝8， 当y＝0时，x＝﹣1， ∴A（﹣1，0）， ∴OA＝1， ∵△AOB绕点O顺时针旋转90°得△COD， ∴CO＝OA＝1，BO＝DO＝2， ∴C（0，1），D（2，0）， 设直线CD的解析式为y＝kx+1， ∴2k+1＝0， 解得k， ∴直线CD的解析式为yx+1； （2）设E（m，m+1）， ∴EF∥y轴， ∴F（m，2m+2）， ∵EG∥x轴， ∴G（m，m+1）， ∴EF＝2m+2﹣（m+1）m+1，EG＝m﹣（m）m， ∵EF+EG＝AD，且AD＝OA+OD＝3， ∴m+1m3， 解得m， ∴E（，）； （3）①OM为矩形的边时，如图， 分别过点O、M作ON⊥OM交直线CD于N，作MN′⊥OM交直线CD于N′， 再分别过点N、N′作NP⊥ON交直线MN′于P，作N′P′⊥MN′交直线ON于P′，则四边形MONP、四边形MN′P′O均为矩形， ∵A（﹣1，0），B（0，2），点M为线段AB的中点， ∴M（，1），OM＝AM＝BMAB， ∵将△AOB绕点O顺时针旋转90°得△COD， ∴△AOB≌△COD， ∴OA＝OC＝1，∠OAB＝∠OCD，AB＝CD， ∵ON⊥OM， ∴∠MON＝90°， ∵∠AOB＝90°， ∴∠AOM＝∠CON， ∴△AOM≌△CON（ASA）， ∴ON＝OM，CN＝AM， ∴ON＝CNCD， ∴点N为线段CD的中点， ∵C（0，1），D（2，0）， ∴N（1，）； 设直线ON的解析式为y＝mx，则m， ∴直线ON的解析式为yx， ∵MN′⊥OM，ON⊥OM， ∴MN'∥ON， ∴可设直线MN′的解析式为yx+n， 将M（，1）代入得，1（）+n， ∴n， ∴直线MN′的解析式为yx， 联立直线得， 解得， ∴N（，）； 综上，OM为矩形的边时，点N的坐标为（1，）或（，）； ②OM为矩形的对角线时，如图， ∵M（，1），C（0，1）， ∴MC⊥y轴， ∵四边形MNOP为矩形， ∴MN⊥y轴， ∴点N与点C重合， ∴N（0，1）． 综上，以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形时，点N的坐标为（1，）或（，）或（0，1）． 15．【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， 当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝3， ∴A（3，0），B（0，4）， ∴， ∵将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处， ∴AB＝AC＝5， ∴OC＝3+5＝8， ∴C（8，0）， 设直线CD的表达式为y＝kx+b（k≠0），将C（8，0），D（0，﹣6）代入得： ， 解得：， ∴直线CD的函数解析式为． （2）在直线AB上存在一点P，使得△PBO与△ADC相似，理由如下： 由折叠得∠PBO＝∠ACD，∠BDA＝∠ADC， ①当OP∥AD时，△PBO∽△ACD，如图所示： ∵OP∥AD， ∴∠BOP＝∠BDA， ∴∠BOP＝∠ADC， ∴△PBO∽△ACD， 设直线AD的表达式为y＝kx+b（k≠0），将A（3，0），D（0，﹣6）代入得： ， 解得：， ∴直线AD的函数解析式为y＝2x﹣6， ∵OP∥AD， ∴直线OP的函数解析式为y＝2x， 将直线OP的函数解析式与直线AB解析式联立： ， 解得：， ∴， ②当∠OPB＝∠ADC时，△PBO∽△DCA，如图所示： ∵∠OPB＝∠ADC，∠PBO＝∠ACD， ∴△PBO∽△DCA， ∵直线CD的函数解析式为，直线AB解析式为， ∴AB⊥CD， ∵OD⊥AO， ∴O、E关于直线AD对称， ∴OE⊥AD， ∴∠ADC+∠DAE＝90°， ∴∠OPB+∠DAE＝90°， ∴OP⊥AD， 又∵点P、E都在直线AB上， ∴点P、E重合， 将直线CD的函数解析式与直线AB解析式联立： ， 解得：， ∴． 综上：点P坐标为或． （3）当BE为对角线时，BE、MN相交于点F，如图所示： 由翻折可得OD＝DE＝6， ∴， ∵四边形BNEM为矩形， ∴F为BE、MN中点， ∴， ∵B（0，4），， ∴， ∵点M为直线AD上一点， ∴设M（m，2m﹣6）， ∴， 解得：或（舍去） ， ∴， ∵F为MN中点， ∴，即， 当BM为对角线时，BM、NE相交于点F， ∵BE⊥CD， ∴∠BED＝90°， ∵四边形BNME为矩形， ∴∠BEM＝90°， ∴ED、EM共线， 又∵点M为直线AD上一点， ∴点D、M重合， ∵四边形BNME为矩形， ∴F为BM、NE中点， ∴F（0，﹣1）， ∴，即， 当BN为对角线时，BN、ME相交于点F， ∵BE⊥CD， ∴∠BEC＝90°， ∵四边形BENM为矩形， ∴∠BEN＝90°， ∴EC、EN共线， ∴点N在直线CD上， 设， ∵点M为直线AD上一点， 设M（m，2m﹣6）， ∵四边形BENM为矩形， ∴F为BN、ME中点， ∴， 解得：， ∴，即． 综上：若点M为直线AD上一点，在平面直角坐标系内，存在点或或，使以点B、E、M、N为顶点的四边形为矩形． 16．【解答】解：（1）OC的长是一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的根，解方程x2﹣4x﹣12＝0， 解得：x1＝6，x2＝﹣2（不合题意，舍去）， ∴OC＝6， ∵四边形AOCB是菱形，∠AOC＝60°， ∴OA＝OC＝6，， ∵CD⊥OC， ∴∠OCD＝90°， ∴，即2CD＝OD， 在直角三角形COD中，由勾股定理得：OD2﹣CD2＝3CD2＝OC2＝36， 解得：（负值已舍去）， ∴， 如图1，过点A作AH⊥OC于H， ∵∠AOH＝60°，∠AHO＝90°， ∴∠OAH＝30°， ∴， 在直角三角形AOH中，由勾股定理得：， ∴， 设直线AD的解析式为y＝kx+b（k≠0），将点A，点D的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线AD的解析式为； （2）连接AC交BD于点T， ∵四边形AOCB是菱形，∠AOB＝30°，OA＝6， ∴AC⊥BD， ∴AT＝2OA＝3， 在直角三角形AOT中，由勾股定理得：， ∴， ∵直线AD分别交x轴和y轴于点E和点F， 当y＝0时，得：， 解得：x＝12； 当x＝0时，得：， ∴， ∴， ∵， ∴为EF的中点， 在Rt△EFO中，由勾股定理得：， ∴， ∴△ODF是等边三角形， ∴∠ODF＝∠BDE＝60°， 当时，即点N在线段ED上运动时，过点N作NK⊥OB于K，连接ON，BN，如图2， 则EN＝2t， ∴， ∵∠BDE＝60°，∠NKD＝90°， ∴∠KND＝30°， ∴， ∴， ∴△OBN的面积； 当时，N，D两点重合，则O，N，B三点共线，不存在△OBN，不符合题意； 当时，即点N在线段DF上运动时，如图3， 则EN＝2t， ∴， 同理得， ∴△OBN的面积； 综上所述，S与t的函数关系式为； （3）坐标平面内存在一点M，使得以A，C，N，M为顶点的四边形是矩形，点M的坐标为或；理由如下： ①如图4，当AN是矩形AMCN的边时，则CN⊥EF，过点N作NT⊥CF于T， ∵∠NEC＝30°，∠NCT＝∠AOC＝60°， ∴∠CNE＝90°，即点N为BC与EF的交点， ∵CE＝OE﹣OC＝12﹣6＝6， ∴， ∵∠NCT＝60°，∠NTC＝90°， ∴∠CNT＝30°， ∴， ∴， ∴将点N向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点C， ∴将点A向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点M， ∵， ∴； ②如图5，当AN是矩形ACNM的对角线时，则∠ACN＝90°，过点N作NL⊥CF于L， ∵OA＝OC，∠AOC＝60°， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠ACO＝60°， ∴∠NCE＝180°﹣60°﹣90°＝30°＝∠NEC， ∴，2NL＝CN， ∴， ∴， ∴将点C向右平移3个单位长度，再向上平移个单位长度得到点N， ∴将点A向右平移3个单位长度，再向上平移个单位长度得到点M， ∵， ∴； ∴存在一点M，使得以A，C，N，M为顶点的四边形是矩形，点M的坐标是或． 17．【解答】解：（1）∵点C（2，1）在直线l1：上， ∴， 解得：b＝2， ∴， 当y＝0时，可得：， 解得：x＝4， ∴A（4，0）； 故答案为：4，0； （2）∵点C（2，1）在直线l1：y＝kx﹣3上， 可得：2k﹣3＝1， 解得：k＝2， ∴y＝2x﹣3， 设点E的横坐标为m，则点E的坐标为，点F的坐标为（m，2m﹣3）， ∴， 当x＝0时，， ∴点B的坐标是（0，2）， ∴OB＝2， ∴S四边形OBEF＝S△OBE+S△OEF， ∵， ∴， ∴S△OBE＝S△OEF， ∵EF∥y轴， ∴EF＝OB， ∴， 解得：或， ∴当或时，； （3）已知点O的坐标是（0，0），点B的坐标是（0，2）， 如下图所示，当OB为矩形OPBQ的对角线时， ∵OB＝2，OA＝4， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵OQ∥BC， 则直线OQ的解析式为， 设点Q的坐标是， ， 整理得：25x2+40x+16＝0， 解得：， 当时，， ∴Q； 如下图所示，当BQ∥OA时， 可得：BQ＝OA＝4，AQ＝OB＝2， ∴点Q的坐标是（4，2）； 综上所述，点Q的坐标是或（4，2）． 18．【解答】解：（1）将点C（2，1）代入直线得： ， 解得b＝2， ∴直线l1的解析式为， 将y＝0代入一次函数得：，解得x＝4， ∴点A坐标为（4，0）； 故答案为：4，0； （2）将x＝0代入直线得：y＝2， ∴B（0，2）， ∴OB＝2， 将点C（2，1）代入直线l2：y＝kx﹣3得： 2k﹣3＝1， 解得k＝2， ∴直线l2的解析式为y＝2x﹣3， 由题意得：点E的坐标为，点F的坐标为F（m，2m﹣3）， ∴， ∵EF∥OB， ∴要使以O、B、E、F为顶点四边形是平行四边形，则EF＝OB， ∴， 解得或， ∴当m为或时，以O、B、E、F为顶点四边形是平行四边形； （3）存在一点Q，使得P、Q、O、B四个点能构成一个矩形；此时点Q的坐标为或（4，2）．理由如下： ∵A（4，0），OB＝2， ∴OA＝4， 在直角三角形AOB中，由勾股定理得：， ∵点P为直线l1上一点，且在Rt△AOB中，∠OBA＜90°，∠AOB＝90°， ∴分以下两种情况： ①以P、Q、O、B四个点构成的是矩形OPBQ，如图1，过点P作PM⊥x轴于点M， ∴OP⊥BP，PQ＝OB＝2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点Q的坐标为Q（s，t）， ∵矩形OPBQ的对角线PQ，OB互相平分，O（0，0），B（0，2）， ∴， 解得， ∴此时点Q的坐标为； ②如图2，以P、Q、O、B四个点构成的是矩形OPQB，此时点P与点A重合，则OP＝OA＝4， ∴PQ⊥OP，PQ＝OB＝2， ∴此时点Q的坐标为（4，2）； 综上所述，存在一点Q，使得P、Q、O、B四个点能构成一个矩形；此时点Q的坐标为或（4，2）． 19．【解答】解：（1）在y＝2x+4中，令y＝0，则2x+4＝0， ∴x＝﹣2， ∴点A的坐标为（﹣2，0）， 故答案为：（﹣2，0）； （2）令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝﹣2， ∴A（﹣2，0），B（0，4），即OA＝2，OB＝4． ∴OC＝OA＝2， ∴C（0，2）， ∵AO⊥BO， ∴∠BAO+∠ABO＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠BAO+∠CDO＝90°， ∴∠ABO＝∠CDO， ∵∠AOB＝∠COD＝90°，OC＝OA， ∴△AOB≌△COD（AAS）， ∴OD＝OB＝4， ∴C（0，2），D（4，0）； 设直线CD的解析式为y＝kx+b，则， 解得， ∴直线CD的解析式为； （3）如图，分别过点O、M作ON⊥OM交直线CD于N，作MN′⊥OM交直线CD于N′，在分别过点N、N′作NP⊥ON交直线MN′于P，作N′P′⊥MN′交直线ON于P′， 则四边形MONP、四边形MN′P′O均为矩形， ∵A（﹣2，0），B（0，4），点M为线段AB的中点，∠AOB＝90°， ∴， ∵△AOB≌△COD（AAS）； ∴OA＝OC＝2，∠OAB＝∠OCD，AB＝CD， ∵ON⊥OM， ∴∠MON＝90°， ∵∠AOB＝90°， ∴∠AOM＝∠CON， ∴△AOM≌△CON（ASA）， ∴ON＝OM，CN＝AM， ∴， ∴点N为线段CD的中点， ∵C（0，2），D（4，0）， ∴N（2，1）， 设直线ON的解析式为y＝mx，则2m＝1， ∴． ∴直线ON的解析式为， ∵MN′⊥OM，ON⊥OM， ∴MN′∥ON， ∴可设直线MN′的解析式为， 将M（﹣1，2）代入得，， ∴， ∴直线MN′的解析式为， 联立和得， 解得， ∴ 综上，以O，M，N，P为顶点且OM为边的四边形为矩形时，点N的坐标为（2，1）或（，）． 20．【解答】解：（1）直线AB经过点A（﹣3，0）和B（0，2），设直线AB解析式为y＝kx+b，将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得：， 则直线AB解析式为； （2）如图1，设Q（q，0），过C作CH⊥AQ， 直线AB与经过点D（0，4）且与y轴垂直的直线CD交于第一象限内点C． 当y＝4时，得：x+2＝4， 解得：x＝3， ∴C（3，4）， ∴AQ＝|q+3|，CH＝4， ∴，即|q+3|＝4， 解得：q＝1或q＝﹣7， 则Q坐标为（1，0）或（﹣7，0）； （3）设P（m，0），分两种情况考虑， ①当AP为对角线时，如图2： ∵以点A、C、P、H为顶点的四边形是矩形， ∴∠ACP＝90°， ∴AC2+PC2＝AP2， ∴（﹣3﹣3）2+（0﹣4）2+（3﹣m）2+（4﹣0）2＝（﹣3﹣m）2， 解得， ∴． ②当AP为边时，如图3： ∵以点A、C、P、H为顶点的四边形是矩形， ∴∠APC＝∠HCP＝90°， ∴m＝3， ∴P（3，0）． 综上可知，点P的坐标为或（3，0）． 21．【解答】解：（1）∵点D与点C（0，3）关于直线x＝1对称， ∴D（2，3）， 设直线AD解析式为y＝kx+b， 把A（﹣1，0），D（2，3）代入得：， 解得， ∴直线AD解析式为y＝x+1； （2）∵点B与点A（﹣1，0）关于直线x＝1对称， ∴B（3，0）， ∴S△OBC3×3， 设E（t，t+1）， 当E在BC上方时，连接OE，如图： ∵S△BCE＝S△OCE+S△OBE﹣S△OBC， ∴S△BCE3t3（t+1）， ∵S△BCE＝S△OBC， ∴3t3（t+1）， 解得t， ∴E（，）； 当E在BC下方时，连接OE，如图： ∵S△BCE＝S△OCE+S△OBC﹣S△OBE， ∴S△BCE3（﹣t）3（t+1）， ∵S△BCE＝S△OBC， ∴3（﹣t）3（t+1）， 解得t， ∴E（，）； 综上所述，E的坐标为（，）或（，）； （3）设P（0，p），Q（m，n）， 又M（1，4），A（﹣1，0）， 当AQ，PM为对角线时，AQ，PM的中点重合，且AQ＝PM， ∴， 解得， ∴Q（2，）； 当AP，MQ为对角线时，AP，MQ中点重合，AP＝MQ， ∴， 解得， ∴Q（﹣2，）； 当AM，PQ为对角线时，AM，PQ的中点重合，且AM＝PQ， ∴， 解得或， ∴Q（0，2）或（0，2）； 综上所述，Q的坐标为（2，）或（﹣2，）或（0，2）或（0，2）． 22．【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，BC＝2，OC＝4， ∴B（﹣2，4）， ∵△ODE是由△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的， ∴OD＝OC＝4， ∴D（4，0）， 设直线BD的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴直线BD的解析式为yx； （2）∵直线BD的解析式为yx， ∴F（0，）， 由旋转可知，△ODE≌△OCB， ∴ED＝AO＝2， ∴E（4，2）， ∴直线OE的解析式为yx， 当xx时，x， ∴H（，）， ∴S△OFH； （3）存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形，理由如下： 当M点在x轴负半轴上时， ∵MF⊥FD，FO⊥MD， ∴FO2＝MO•DO，即（）2＝4MO， 解得OM， ∴M（，0）， ∵F点平移到M点，D点平移到N点， ∴N（，）； 当M点在y轴负半轴上时，OD2＝MO•FO，即42MO， 解得MO＝6， ∴M（0，﹣6）， ∵D点平移到M点，F点平移到N点， ∴N（﹣4，）； 当M点与原点重合时，此时FD为矩形的对角线， ∴N（4，）； 综上所述：N点坐标为（，）或（﹣4，）或（4，）． 23．【解答】解：（1）∵将点C（m，6）代入yx， ∴6m， ∴m＝3， ∴C（3，6）， 将A（﹣3，0），C（3，6）代入一次函数的解析式为y＝kx+b得： ， 解得， ∴一次函数y＝kx＝b（k≠0）的表达式为yx+3； （2）在yx+3中，令x＝0得y＝3， ∴B（0，3）， ∴S△OBCOB•|xC|3×3； （3）在x轴上存在点M，平面内存在一点P，使得四边形ABMP是矩形， 设M（m，0）， ∵四边形ABMP是矩形 ∴∠ABM＝90°， ∴AB2+BM2＝AM2， ∴（3）2+32+m2+32＝（m+3）2， ∴m， ∴点M的坐标为（，0）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/9/20 17:57:42；用户：贾老师；邮箱：18700475953；学号：68421402 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 矩形在坐标系中的存在性问题专项训练 1．如图，A，B为5×5的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，在此图中以A，B为顶点的格点矩形共可以画出（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知平面直角坐标系内有三点A（2，2），B（5，2），C（5，），请确定一个点D，使四边形ABCD为矩形，则点D的坐标是 　 　 ． 3．在坐标平面内，A，B两点的坐标分别是（1，5），（4，1），点C在y轴上，点D在坐标平面内，以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，则点D的坐标为 　 　 ． 4．在平面直角坐标系上，有点A（﹣2，﹣2），B（2，2），C（0，4），当点D的坐标为　 　 时，四边形ABCD是矩形． 5．如图，在平面直角坐标系中，有点A（3，0），点B（3，5），射线AO上的动点C，y轴上的动点D，平面上的一个动点E，若∠CBA＝∠CBD，以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，则AC的长为　 ． 6．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣1），点B（2，3），点C（2，﹣1），在平面直角坐标系中找一点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形为矩形，则BD的长为 　 　 ，点D的坐标为 　 　 ． 7．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，直线y＝2x﹣6经过线段OA的中点D，与y轴交于点G，E是线段CG上一点，作点E关于直线DG的对称点F，连接BE，BF，FG．设点E的坐标为（0，m）． （1）写出点B的坐标是（ 　 　 ，　 　 ）； （2）当S四边形BEGF时，求点E的坐标； （3）在点E的整个运动过程中， ①当四边形BEGF为菱形时，求点E的坐标； ②若N为平面内一点，当以B，E，F，N为顶点的四边形为矩形时，m的值为 　 　 ．（请直接写出答案） 8．如图，直线l1：分别与x轴，y轴交于A、B两点，与直线l2：y＝kx﹣6交于点C（4，2）． （1）点A坐标为（　 　 ，　 　 ），B为（　 　 ，　 　 ）； （2）点E在直线l1上移动，过点E作y轴的平行线交直线l2于点F，设点E的横坐标为m．当m为何值时，点O、B、E、F能构成平行四边形； （3）若点P为坐标轴上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得P、Q、A、B四个点能构成一个矩形，若存在，求出所有符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过（0，1），（1，﹣3），点E是线段AB的中点． （1）求一次函数y＝kx+b的函数解析式； （2）若点F是线段BC上的一个动点，求△OEF周长的最小值； （3）若点D是x轴上的一个动点，在一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象上是否存在点G，使得以O、D、E、G为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点G的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点C，且与正比例函数y＝2x的图象交于点B（2，4）． （1）求一次函数y＝ax+b（a≠0）的解析式； （2）点M在x轴上，当MB+MC最小时，求点M的坐标； （3）若D是直线AB上一点，E是平面内一点，以O、C、D、E四点为顶点的四边形是矩形，请直接写出点E的坐标． 11．如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，点M（m，3）在第一象限． （1）求A，B两点的坐标； （2）若△ABM的面积与△ABO的面积相等，求m的值； （3）在平面直角坐标系中存在一点N，使得以A，B，M，N四个点为顶点的四边形为矩形，求点N的坐标． 12．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x+4的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将△AOB绕点O顺时针旋转90°得△COD（点A与点C对应，点B与点D对应）． （1）求直线CD的解析式； （2）点E为线段CD上一点，过点E作EF∥y轴交直线AB于点F，作EG∥x轴交直线AB于点G，当EF+EG＝AD时，求点E的坐标； （3）如图2，若点M为线段AB的中点，点N为直线CD上一点，点P为坐标系内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A，交y轴于点B，OA，OB（OA＜OB）的长是一元二次方程2x2﹣3x+1＝0的两个实数根，点B关于原点的对称点为点C，过点C作直线AB的垂线交AB于点D，交x轴于点P． （1）求直线AB的解析式； （2）点Q的坐标为（x，0），设△PDQ的面积为S，求S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）若点E在直线AB上，F为坐标平面内任意一点，是否存在以B，C，E，F为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x+2的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将△AOB绕点O顺时针旋转90°得△COD（点A与点C对应，点B与点D对应）． （1）求直线CD的解析式； （2）点E为线段CD上一点，过点E作EF∥y轴交直线AB于点F，作EG∥x轴交直线AB于点G，当EF+EG＝AD时，求点E的坐标； （3）如图2，若点M为线段AB的中点，点N为直线CD上一点，点P为平面内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出其中一种求解点N的坐标的过程． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点D（0，﹣6）在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． （1）求直线CD的函数解析式； （2）在直线AB上是否存在一点P，使得△PBO与△ADC相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点M为直线AD上一点，在平面直角坐标系内，是否存在点N，使以点B、E、M、N为顶点的四边形为矩形，若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 16．如图，在平面直角坐标系中，菱形AOCB的边OC在x轴正半轴上，∠AOC＝60°，OC的长是一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的根，过点C作x轴的垂线，交对角线OB于点D，直线AD分别交x轴和y轴于点E和点F，动点N从点E出发，以每秒2个单位长度的速度沿EF向终点F运动，设运动时间为t秒． （1）求直线AD的函数解析式； （2）若△OBN的面积为S（S≠0），在点N运动过程中，求出S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； （3）点N在运动的过程中，坐标平面内是否存在一点M，使得以A，C，N，M为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 17．如图，直线l1：yx+b分别与x轴、y轴交于A、B两点，与直线l2：y＝kx﹣3交于点C（2，1）． （1）点A坐标为（　 　 ，　 　 ）； （2）在直线BC上有一点E，过点E作y轴的平行线交直线l2于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，S△OEF； （3）若点P为直线l1上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得P、Q、O、B四个点能构成一个矩形，若存在，直接写出所有符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由． 18．如图，直线l1：分别与x轴、y轴交于A、B两点，与直线l2：y＝kx﹣3交于点C（2，1）． （1）点A坐标为（ 　 　 ，　 　 ）； （2）在直线BC上有一点E，过点E作y轴的平行线交直线l2于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，以O、B、E、F为顶点四边形是平行四边形； （3）若点P为直线l1上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得P、Q、O、B四个点能构成一个矩形．若存在，直接写出所有符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由. 19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x+4的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，直线CD分别与x轴正半轴，y轴正半轴于点D，C两点，且CD⊥AB，OC＝OA． （1）直接写出点A的坐标为　 　 ； （2）求出直线CD的解析式； （3）如图2，点M为线段AB的中点，点N为直线CD上一点，点P为坐标系内一点，若以O，M，N，P为顶点且OM为边的四边形为矩形，请求出点N的坐标． 20．如图，直线AB经过点A（﹣3，0）和B（0，2），经过点D（0，4）并且与y轴垂直的直线CD与直线AB交于第一象限内点C． （1）求直线AB的表达式； （2）在x轴上有一点Q，若△AQC的面积为8，求点Q的坐标； （3）点P在x轴上，在平面内是否存在点H，使得以点A、C、P、H为顶点的四边形是矩形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 21．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，0），点C（0，3），点B与点A、点D与点C分别关于直线x＝1对称． （1）求直线AD解析式； （2）若点E为直线AD上一点，且满足S△BCE＝S△OBC，求出满足条件的E点坐标； （3）点M（1，4），点P是y轴上一点，Q是坐标平面内一点，如果以A、M、P、Q为顶点的四边形是矩形，请直接写出该矩形的顶点Q的坐标． 22．如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是由△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是2和4； （1）求直线BD的表达式； （2）求△OFH的面积； （3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 23．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数yx的图象交于点C（m，6）． （1）求m的值和一次函数y＝kx+b（k≠0）的表达式； （2）求△OBC的面积； （3）在x轴上是否存在点M，平面内是否存在一点P，使得四边形ABMP是矩形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $