专题07 菱形、矩形、正方形中新定义型问题的三类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 聚焦菱形、矩形、正方形新定义问题，构建“定义转化—性质结合—推理计算”三阶解题体系，通过典例变式实现方法迁移，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1|精读定义转条件，结合性质列方程，特殊情形试解|新定义概念→数学化转化→性质应用| |菱形新定义|1典例+3变式|定义转化为距离/面积比，结合菱形性质列方程|“折中线”等概念→菱形边/角性质→计算推理| |矩形新定义|1典例+3变式|新规则转线段/角度关系，用矩形性质论证|“特别三角形”等概念→矩形直角/对边性质→分类讨论| |正方形新定义|1典例+3变式|定义转垂直/全等关系，构造模型求解|“直等补”等概念→正方形四边/直角性质→综合证明| |压轴挑战|12题|综合应用三类方法，突破多解与动态问题|新定义综合→跨图形性质融合→高阶思维训练|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07菱形、矩形、正方形中新定义型问题的三类综合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、菱形中的新定义型问题 题型二、矩形中的新定义型问题 题型三、正方形中的新定义型问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 夙解题通法一明晰核心解法，功力能力迁移 *题型特征*：现场定义一个特殊四边形或变换规则（如“等邻边四边形”“中心对称点”)，要求判 定、作图或计算，考查即时迁移能力。 -*解题方法*：精读定义，将其转化为数学条件（如边等、角等、垂直）；结合已有性质定理进行推理 或列方程：必要时从特殊情形（如中点、顶点）入手尝试。 。*易错提醒*：忽略定义中的所有约束条件；将新定义条件与常规性质混淆；未理解定义即套用常见模 型，证明时循环论证或缺少逻辑链。 夙题型归纳一精讲臭型题法，奔失解题根基 题型一、菱形中的新定义型问题 典例1(25-26八年级上：四川成都期末)定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形 成的折线，叫做菱形的折中线，例如，如图1，在菱形ABCD中，E是CD的中点，连接AE,BE,则折 线AEB叫做菱形ABCD的折中线，折线AEB的长叫做折中线的长. 已知，在菱形ABCD中，AB=a,E是CD的中点，连接AE,BE, 1/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (I)如图I,已知折中线AEB将菱形的面积分为了三部分，△ADE、△AEB、△BEC的面积之比为_； (②)如图2，若a=6,∠C=60°，求折中线AEB的长； (3)若a=4,且折中线AEB中的AE或BE与菱形ABCD的一条对角线相等，求折中线的长. 题型模版 1特征：给出菱形相关的新概念（如“中心距”)，要求按新定义推理计算，重阅读理解。 2方法：透彻理解新定义，将文字转化为数学关系（如距离、面积比），结合菱形性质列方程或不等式。 变式1-1(25-26八年级下·全国课后作业)如图1，若顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形EFGH 是菱形，则称原四边形ABCD为“中母菱形”.定义：若四边形的对角线相等，那么这个四边形是中母菱 形 图1 图2 图3 (1)请写一个你学过的特殊四边形中是中母菱形的图形的名称. (2)如图2有等边三角形ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE,猜想图中哪个四边形是中母 菱形，并加以证明 (3)如图3，在等边三角形ABC中，若D、E不是AB、AC的中点，且BD=AE,探究满足上述条件的图 形中是否存在中母菱形，并证明你的结论 变式1-2(2425八年级下湖北武汉期中)定义：如图1，在四边形ABCD中，若AB=AD,BC=CD, 则称这样的四边形为筝形. 2/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B B 图1 图2 图3 (I)如图2，在口ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，且AE=AF,∠AEB=∠AFD,求证：四边形 ABCD为筝形： (2)在图1中，筝形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,若AB=AD=13,BC=CD=15,AC=14,求 筝形ABCD的面积： (3)如图3，在筝形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,过点D作DM⊥LBC于点M,交AC于点N, 若AO=OW=CN=3,请直接写出BM的长. 变式1-3(25-26八年级下·青海西宁·期中)定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线 的平方，则称这个四边形为“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边. B O B B 图1 图2 图3 (1)概念理解 ①你所知道的特殊四边形中，是“勾股四边形”的有_ (一个即可)： A(3,0)B(0,4) ②如图1， 请你在图中画出以格点为顶点，OA,OB为勾股边，且对角线相等的所有“勾 股四边形”OAMB: (2)知识运用 如图2，菱形ABCD是“勾股四边形”，对角线AC、BD交于点O,AD=4,OE⊥OF,则四边形 OEBF的面积是 (3)拓展应用 3/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图3，△ABD是正三角形，∠CBE=60°，且BE=BC,∠DCB=30°.求证：DC2+BC2=AC2,即四边 形ABCD是“勾股四边形”· 类型二 矩形中的新定义型问题 典例2(2026黑龙江哈尔滨·二模)定义：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，则称这个三角 形为“特别三角形” E D 图1 图2 (I)如图1，△ABC为“特别三角形”，点D为BC的中点，BC=2AD,当AB=4,AC=3时，求△ABC的 面积： (②)如图2，在矩形EFMN中，FM=4,EF=3,EQ=2FO,点P为直线FM上一点，若△PON为“特 别三角形”，请直接写出FP的长. 题型模版 1.特征：给出矩形相关的新概念（如“半角点”)，按新规则判断或求值，重理解迁移。 2方法：读懂新定义，转化为几何条件（如线段相等、角度关系)，利用矩形性质列方程或推理论证。 变式2-1(25-26八年级下·上海期中)我们给出定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫 做“等对角四边形”， D B 图1 图2 4/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C,∠A=75°，∠B=80°，求∠C,∠D的 度数、 (②)在探究“等对角四边形”性质时，小红画了一个“等对角四边形”ABCD(如图2)，其中 ∠ABC=∠ADC,AB=AD,此时她发现CB=CD成立.请你证明此结论. (3)已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=7,AD=5.求对角线AC的 长 变式2-2(2026黑龙江哈尔滨·一模)定义：连接四边形的一条对角线，若四边形被分成一个直角三角形和 一个等腰三角形，则称这个四边形是奇特四边形，这条对角线叫做奇特线. E D 图1 图2 (I)如图1，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,BE∥AC,CE∥BD,求证：四边形ABEC是奇特 四边形： (②)如图2，菱形ABCD中，AB=I0,AC=12,点O是对角线的交点，在AB左侧有一点E,使得四边形 OAEB为奇特四边形，且AB为奇特线.若四边形OAEB的面积为74，直接写出AE的长。 变式2-3(25-26八年级下辽宁大连期中)定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形. D B F M B A 图1 图2 图3 (I)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,四边形ABCD是垂美四边形吗？ (是、否) (2)如图1，四边形ABCD是垂美四边形，请证明AD+BC2=AB2+CD2」 5/14 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图3，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点F为斜边BC的中点，分别以AB,AC为底边，在Rt△ABC外部 作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE,连接FD,FE,分别交AB,AC于点M,N.试猜想四边形FMAN的 形状，并说明理由. 题型三、正方形中的新定义型问题 典例3，(25-26九年级上·陕西西安·期中)定义：若一个四边形满足三个条件①有一组对角互补，②一组 邻边相等，③相等邻边的夹角为直角，则称这样的四边形为“直角等邻对补”四边形，简称为“直等补” 四边形.根据以上定义，解答下列问题 B 图1 图2 (I)如图I,四边形ABCD是正方形，点E在CD边上，点F在CB边的延长线上，且DE=BF,连接AE, AF,请根据定义判断四边形AFCE是否是“直等补”四边形，并说明理由， (②)如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB=AD,若AB=20,CD=4,求BC的长. 题型模版 1特征：给出正方形相关的新定义（如“等距点”），要求按规则判断或计算，重转化能力。 2方法：将新定义转化为几何条件（如距离相等、垂直关系），利用正方形性质列方程或构造全等求解。 变式3-1(25-26八年级下江西赣州期中)定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的 新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形 叫做“中方四边形”.某兴趣小组围绕该定义进行探究活动，请解决下列问题： 6/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 连接BD, EH是△ABC 由已知条件 的中位线 EH4 BD (依据1) EHLFG 四边形EFGH 是平行四边形 同理 FG4TBD (依据2) 图1 图2 图3 (I)如图L,点E,F,G,H分别为任意四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.该小组发现任意四边形的中 点四边形都是平行四边形，证明思路如下： 请指出上述解题思路中的“依据1”、“依据2”分别是什么？ 依据1：；依据2： (2)该小组从特殊四边形出发，判断以下图形中，一定属于“中方四边形”的是一（填序号）. ①平行四边形：②矩形：③菱形；④正方形 (3)如图2，该小组深入探究发现，要使得四边形ABCD为“中方四边形”，则其对角线AC与BD应满足特 殊的数量关系和位置关系，请写出AC与BD应满足的条件，并证明你的结论， (4)如图3，以锐角△ABC的两边AB,AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG,连接 BE,GC,EG BCEG 求证：四边形 是“中方四边形”， 变式3-2(2425八年级下江西宜春期末)定义引入： 定义：如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么我们称这个四边形为“对垂”四边形. (1)问题1：举例：写一个你学过的特殊四边形是“对垂”四边形的图形的名称：一 猜想与验证： (2)①如图1，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于点O,下列结论正确的是(). A.AB2+BC2 CD2+AD2 B.SAMEAN=7ACx BD C.ABXCD=BCx AD 2 ②证明①中正确的结论： 拓展思考： 7/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图2，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别是3cm和5cm,连接AE,AG,CE,且AE=7cm, △ADG的面积和△DCE的面积会相等吗？如果会，请证明并求△DCE的面积，如果不会，请说明理由. D B 图1 图2 变式3-3(24-25八年级下·江苏盐城期中)【定义】 在学习了“中心对称图形平行四边形”这一章后，小明同学对特殊四边形的探究产生了浓厚的兴趣，他 发现除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形.勇于创新的他大胆地作出这样的定义： 有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”，并进行了以下问题的探究. 【理解】(I)如图①，正方形ABCD中，点E,F分别在边AB,AD上，连接CE,DE,EF,CF, 若DE=CF,求证：四边形CDFE为“双直四边形” E B 图① 【应用】(2)如图②，双直四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3,BC=4,对角线AC与BD相交于 点O,且∠DAC=45°，求四边形ABCD的面积. D O B 图② 【拓展】 (3)如图③，双直四边形ABCD中，∠ABC=90°，AD‖BC,且AD=4BC,若AB=4,求线段AD的 8/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 长度 D B 图③ 同压轴桃战一支克离难压轴，突破思维上保 一、单选题 1.(25-26九年级上山东枣庄·期中)定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形，则下列四 边形中是垂等四边形的是() A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 2.(25-26八年级下·河南濮阳期中)新定义：若矩形的长宽之比是√2，我们称这个矩形是“完美矩形” AD 如图，将矩形ABCD(AB<BC)按照如图所示的方式折叠，若得到的矩形EDMN是“完美矩形”，则AB 1Ix(Nm-n√m-√n 的值是()（提示：Vm+√n(Nm+√n)(Wm-√n)m-n) A E D A.2 B.V2+1 2 c D.2 3.(25-26八年级下福建厦门期中)定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称 9/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三角形为智慧三角形.如图，在平面直角坐标系x0中，矩形01BC的边01=3,0C=4,点M(2,0) 在边AB存在点P,使得△CMP为智慧三角形，则点P的坐标为() B OMA A.(3,1)或3,3) D（a) 二、填空题 m 4.(2025山东菏泽·一模)将菱形的两个相邻的内角记为m和n(m>n),定义n为菱形的“接近度”， 则当“接近度”为_时，这个菱形就是正方形. 5.(2425八年级下山东淄博期中)定义：一条对角线所在直线垂直平分另一条对角线的四边形叫做筝 形.如图，在筝形ABCD中，AB=CB=2,AB<AD,∠ABC=60°.将△ABD沿射线BD的方向平移得到 △AB'D',分别连接AC,B'C,则AC+B'C的最小值为 B 6.(25-26九年级上河南阶段检测)定义：有一个内角的度数是另一个内角度数的2的钝角三角形叫做 “半钝三角形”.如图，在矩形1BCD中，BC=5+14C=2V5+2 B为对角线1C的中点，P是射 线CD上一动点.若△CEF是“半钝三角形”，且∠ECF不是其最小的内角，则CF的长为 10/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 三、解答题 7.(25-26八年级上四川攀枝花期末)探究与实践.【抽象定义】定义：有一组对角都是直角的四边形叫 做对直四边形， (1)【问题解决】写出一个你知道的对直四边形：-· (2)如图1，四边形ABCD是对直四边形，若∠D=90,AD=3,CD=,BC=2,则边AB的长是_ D 图1 (3)如图2、3在5×5方格纸中，AB两点在格点上，请画出两个符合条件的不全等的对直四边形ABCD,且 点C、D都在格点上.（提示：先用铅笔直尺画图，确定无误之后再用中性笔加粗描绘） B 图2 图3 (4【拓展探究】 如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点E,F分别在BC,AB上，且点E为BC的中点，AF=3,试说 明四边形AFED是对直四边形. D F B 图4 8.(25-26八年级下江苏盐城期中)新定义题型构思巧妙，立意新颖，重在考查学生的学习能力，实践 能力及创新精神，让我们试试吧！我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫作“等邻角四边形”， 11/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图① 图② 图③ 【定义理解】 (1)如图①，己知四边形ABCD为等邻角四边形，且∠A=1269,∠D=120°，求∠C的度数. 【定义运用】 ()②如图②，在五边形ABCDE中，DE∥BC,对角线BD平分∠ABC,求证：四边形ABDE为等邻角四边 形 【定义拓展】 (3)如图③，在等邻角四边形ABCD中，∠B=∠C=60°，BC=6.点P为边BC边上的一动点，过点P作 PM⊥AB,PW⊥CD,垂足分别为M,N,在点P的运动过程中，PM+PW的值是否是定值？若是，请求 出这个值；若不是，说明理由 9.(25-26八年级下·湖南长沙阶段检测)定义：若四边形有一组对角互补，有一组邻边相等，且相等邻 边的夹角为直角，像这样的图形定义为“郡外四边形”. D 图1 图2 (1)如下：①平行四边形；②矩形；③菱形：④正方形，一定是“郡外四边形”的是： (2)如图点P是正方形ABCD对角线AC上一点，点O是线段AC中点，点E是射线BC上一点，且 PE=PB,连接PD ①如图1，当点P在线段AO上时，求证：四边形PECD为“郡外四边形”； ②如图2，当点P在线段CO上时，试用等式来表示PB,BC,CE的数量关系，并证明. 10.(2026·河南周口模拟预测)综合与实践 在以往的学习过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“豫式四边形”进行研究. 定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“豫式四边形”. 12/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)初步判断 下列初中阶段常见的四边形中，一定属于“豫式四边形”的是 (填序号). ①矩形②正方形③菱形④平行四边形 (2)性质探究 根据定义可得出“豫式四边形”的边、角的性质.下面继续进行相关探究. ①如图1， “豫式四边形”ABCD中，AB=AD,∠B=∠D.写出图中除条件外相等的线段，并说明理由： ②如图2，在四边形ABCD中，∠B+∠ADC=180°，AC平分∠BCD,若BC>CD,求证：四边形ABCD 为“豫式四边形”： (3)拓展应用 如图3，△ABC中∠B=90°，AB=BC=1,在直线AC的右上方存在点D,使得四边形ABCD为“豫式四 边形”，当该“豫式四边形”中有一内角为60°时，请直接写出CD的长. B 图1 图2 图3 11.(25-26八年级上山东淄博期末)定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹 角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形. 根据以上定义，解决下列问题： A 图① 图② 备用图 (I)如图①，正方形ABCD中，E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应 点F在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？ (2)如图②，己知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB=BC=5,CD=L,AD>AB,过点B作 BE⊥AD于点E,作BF⊥DC交DC延长线于点F ①试判断四边形BFDE的形状，证明你的结论，并求出BE的长. 13/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②若点M是AD边上的动点，求△BCM周长的最小值. 12.(2025河南模拟预测)【定义学习】 定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对直四边形”. 【判断尝试】 (1)在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“对直四边形”的是一；（填序号） ABCD )是对直四边形，若4=90,4B=5,D=2,CD=,则边BC的长是 BC (2)如图1，四边形 【操作探究】 如图2，在菱形ABCD中，AB=6,∠B=60°，AE⊥BC于点E,请在边CD上找一点F,使得以点A、E、 C、F组成的四边形为“对直四边形”，画出示意图，并直接写出EF的长是一： 【拓展延伸】 如图3，在正方形ABCD中，AB=6,点E、F、G分别从点B、B、C同时出发，并分别以每秒1、1、2个 单位长度的速度，分别沿正方形的边BA、BC、CD方向运动（保持CG≤CD),再分别过点E、F作AB、 BC的垂线交于点H,连接AH、HG.试说明：四边形AHGD为对直四边形. 【实践应用】 某加工厂有一批四边形板材，形状如图4所示，其中AB=2米，BC=6米，∠B=∠C=90°，∠D=45° 现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对直四边形”板材，且 这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余，请直接写出分割后得到的等腰三角形的腰长是 B 图1 2 3 图4 备用图 14/14 专题07 菱形、矩形、正方形中新定义型问题的三类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、菱形中的新定义型问题 题型二、矩形中的新定义型问题 题型三、正方形中的新定义型问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - **题型特征**：现场定义一个特殊四边形或变换规则（如“等邻边四边形”“中心对称点”），要求判定、作图或计算，考查即时迁移能力。 - **解题方法**：精读定义，将其转化为数学条件（如边等、角等、垂直）；结合已有性质定理进行推理或列方程；必要时从特殊情形（如中点、顶点）入手尝试。 - **易错提醒**：忽略定义中的所有约束条件；将新定义条件与常规性质混淆；未理解定义即套用常见模型；证明时循环论证或缺少逻辑链。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、菱形中的新定义型问题 典例1 （25-26八年级上·四川成都·期末）定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫做菱形的折中线，例如，如图1，在菱形中，E是的中点，连接，，则折线叫做菱形的折中线，折线的长叫做折中线的长． 已知，在菱形中，，E是的中点，连接，． (1)如图1，已知折中线将菱形的面积分为了三部分，、、的面积之比为 ； (2)如图2，若，，求折中线的长； (3)若，且折中线中的或与菱形的一条对角线相等，求折中线的长． 【答案】(1) (2)折中线的长为 (3)或 【分析】（1）根据E是菱形的边的中点，即可解决问题； （2）连接，根据题意证得为等边三角形，利用勾股定理求出，，即可解答； （3）当时，过点E作，交的延长线于点F，过点B作于点G，利用勾股定理即可解答；当时，过点C作，过点E作，交的延长线于点G，过点C作于点H，交的延长线于点F，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：在菱形中， ∵E是的中点， ∴， ∴、、的面积之比为， （2）解：如图，连接， 在菱形中，，， ∴为等边三角形， ∵点E为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴折中线的长为； （3）解：由已知得折中线中的或只能与菱形中较短的对角线相等， 当时，如图，过点E作，交的延长线于点F，过点B作于点G， 则四边形是矩形， 在菱形中，，E是的中点， ， ∴，， ∴， 在中， ， 在中， ， ∵，， 在中， ， ∴； 当时，如图，过点C作，交的延长线于点F，过点E作，交的延长线于点G，过点C作于点H， ∴四边形是平行四边形，四边形是矩形， ∴，，， ∴是等腰三角形， ∵， ∴H是的中点，即， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，折中线的长为或． 题型模版 1.特征：给出菱形相关的新概念（如“中心距”），要求按新定义推理计算，重阅读理解。 2.方法：透彻理解新定义，将文字转化为数学关系（如距离、面积比），结合菱形性质列方程或不等式。 变式1-1（25-26八年级下·全国·课后作业）如图1，若顺次连接四边形各边中点所得四边形是菱形，则称原四边形为“中母菱形”．定义：若四边形的对角线相等，那么这个四边形是中母菱形． (1)请写一个你学过的特殊四边形中是中母菱形的图形的名称． (2)如图2有等边三角形中，、分别是、的中点，连接，猜想图中哪个四边形是中母菱形，并加以证明． (3)如图3，在等边三角形中，若、不是、的中点，且，探究满足上述条件的图形中是否存在中母菱形，并证明你的结论． 【答案】(1)矩形 (2)四边形是中母菱形，见解析 (3)四边形是中母菱形，见解析 【分析】（1）从学过的特殊图形中，寻找对角线相等的图形(正方形，矩形，等腰梯形等)； （2）欲证明四边形是中母菱形，只需证明该四边形的对角线即可； （3）通过全等三角形的判定定理证得，然后根据全等三角形的对应边相等的性质推知四边形的对角线，所以四边形是中母菱形. 【详解】（1）解：∵矩形、正方形的对角线相等， 故答案为：矩形； （2）四边形是中母菱形， 证明：连接， ∵ ， 分别是 ，的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是中母菱形； （3）四边形是中母菱形， 证明：连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴  四边形是中母菱形. 变式1-2（24-25八年级下·湖北武汉·期中）定义：如图1，在四边形中，若，，则称这样的四边形为筝形． (1)如图2，在中，点，分别在边，上，且，，求证：四边形为筝形； (2)在图1中，筝形的对角线，相交于点，若，，，求筝形的面积； (3)如图3，在筝形中，对角线，相交于点，过点作于点，交于点，若，请直接写出的长． 【答案】(1) 证明：∵在中， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴四边形是菱形 ∴ ∴四边形为筝形； (2)168 (3) 【分析】（1）根据题意证明出，得到，证明出四边形是菱形，得到，即可证明出四边形为筝形； （2）根据筝形的性质得到，，设，则，根据勾股定理求出，得到，然后利用筝形的面积代数求解即可； （3）首先由（2）得，，然后得到，证明出四边形是菱形，然后利用勾股定理求出，得到，然后利用等面积法求出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）∵四边形是筝形 ∴， ∴垂直平分 ∴， ∵，，， ∴设，则 ∵ ∴ 解得 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴筝形的面积； （3）如图所示，连接 ∵四边形为筝形 ∴由（2）得， ∵ ∴ ∴ ∴四边形是菱形 ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴解得（负值舍去） ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 变式1-3（25-26八年级下·青海西宁·期中）定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)概念理解 ①你所知道的特殊四边形中，是“勾股四边形”的有________（一个即可）； ②如图1，，请你在图中画出以格点为顶点，，为勾股边，且对角线相等的所有“勾股四边形”； (2)知识运用 如图2，菱形是“勾股四边形”，对角线、交于点，，，则四边形的面积是________． (3)拓展应用 如图3，是正三角形，，且，．求证：，即四边形是“勾股四边形”． 【答案】(1)①正方形；②见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）①根据正方形相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，即可求解，②根据勾股定理计算出对角线，再根据情况画出即可； （2）根据菱形的性质及“勾股四边形”的定义得出四边形是正方形，根据正方形的性质及角的和差关系得出，即可证明，根据全等三角形的性质得出，根据即可得出答案； （3）根据等边三角形的性质得出，，根据，得出是等边三角形，可得，，进而证明，得出，根据得出，利用勾股定理即可得出，进而可得答案． 【详解】（1）解：①∵正方形相邻两边的平方和等于一条对角线的平方， ∴正方形是“勾股四边形”． ②∵，， ∴， ∵，为勾股边，且对角线相等， ∴， ∴如图，四边形， （2）解：∵菱形是“勾股四边形”， ∴， ∴相邻两边的平方和相等， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）证明：∵是正三角形， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形，，， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即四边形是“勾股四边形”． 类型二、矩形中的新定义型问题 典例2 （2026·黑龙江哈尔滨·二模）定义：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，则称这个三角形为“特别三角形” (1)如图1，为“特别三角形”，点D为的中点，，当，时，求的面积； (2)如图2，在矩形中，，，，点P为直线上一点，若为“特别三角形”，请直接写出的长． 【答案】(1)6 (2)1或或3或 【分析】（1）先得出，根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理得出，最后根据三角形面积公式求解即可． （2）设，则，由为“特别三角形”得出为直角三角形，然后分三种情况求解即可． 【详解】（1）解：为的中点 ， ， ， ， ， ， ． （2）解：∵矩形， ∴，， ∵，， ∴，， 设，则， ∵为“特别三角形”， ∴为直角三角形， 分三种情况： 当时，， 即， 解得：，即， 当时，， 即， 解得，即． 当时，， 即， 解得或， ∴为1或3 综上：的长1或或3或． 题型模版 1.特征：给出矩形相关的新概念（如“半角点”），按新规则判断或求值，重理解迁移。 2.方法：读懂新定义，转化为几何条件（如线段相等、角度关系），利用矩形性质列方程或推理论证。 变式2-1（25-26八年级下·上海·期中）我们给出定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． (1)已知：如图1，四边形是“等对角四边形”，，，，求，的度数． (2)在探究“等对角四边形”性质时，小红画了一个“等对角四边形”（如图2），其中，，此时她发现成立．请你证明此结论． (3)已知：在“等对角四边形”中，，，，．求对角线的长． 【答案】(1)； (2) 证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴； (3)或 【分析】（1）根据“等对角四边形”的定义，由推出相等的对角只能是和，先得出，再利用四边形内角和为，减去、、的度数，即可求出的度数； （2）由根据等边对等角得，结合已知，通过等式性质两边同时减去相等的角，推出，最后根据等角对等边即可证明； （3）根据“等对角四边形”的定义分两种情况讨论，第一种是，第二种是，两种情况均通过过点作和的垂线，构造直角三角形和矩形，利用直角三角形的性质求出相关线段长度，再结合勾股定理分别计算出两种情况下对角线的长，最后综合即可得出结果． 【详解】（1）解：∵四边形是“等对角四边形”，， ， ∴， ∴； （2）略 （3）解：分两种情况讨论： ①如图，当时， 过点作于点，作于点， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得，即 ∴， 在中，； ②如图，当时，， 过点作于点，作于点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 在中，； 综上，对角线的长为或． 变式2-2（2026·黑龙江哈尔滨·一模）定义：连接四边形的一条对角线，若四边形被分成一个直角三角形和一个等腰三角形，则称这个四边形是奇特四边形，这条对角线叫做奇特线． (1)如图，矩形的对角线、交于点，，，求证：四边形是奇特四边形； (2)如图，菱形中，，，点是对角线的交点，在左侧有一点，使得四边形为奇特四边形，且为奇特线．若四边形的面积为，直接写出的长． 【答案】(1)证明：如图，连接， 在矩形中，，即为直角三角形， 由矩形的性质可得，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， 四边形是奇特四边形； (2)的长为10或或 【分析】（1）证得且，判定为奇特四边形； （2）分情况讨论，当，，时，分别求长度即可． 【详解】（1）略 （2）解：在菱形中，为直角三角形， ， ， ∴， ， ， ①当时，如图，作交于点， ， ， 为等腰三角形， ， ； ②如图，设底边的高为， 当时， 解得， ， 为底边的高， ， ； ③如图，设底边的高为， 当时， 解得， 即为的高， ． 变式2-3（25-26八年级下·辽宁大连·期中）定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)如图2，在四边形中，，四边形是垂美四边形吗？______（是、否） (2)如图1，四边形是垂美四边形，请证明． (3)如图3，在中，，点F为斜边的中点，分别以为底边，在外部作等腰三角形和等腰三角形，连接，分别交于点．试猜想四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)是 (2)证明见解析 (3)四边形是矩形，理由见解析 【分析】（1）连接、，根据垂美四边形的判定定理证明即可； （2）根据垂美四边形的定义和勾股定理证明即可； （3）根据点为斜边的中点，可得，再根据和是等腰三角形，可得，，再由（1）可得，，从而判定四边形是矩形． 【详解】（1）解：连接、，如图： ， ∴点在线段的垂直平分线上， ， ∴点在线段的垂直平分线上， ， ∴四边形是垂美四边形； （2）证明：， ， ，， ； （3）解：四边形是矩形，理由如下： 如图，连接， ∵点为斜边的中点， ， 和是等腰三角形， ，， 由（1）可得，，， ， ， ∴四边形是矩形． 题型三、正方形中的新定义型问题 典例3 （25-26九年级上·陕西西安·期中）定义：若一个四边形满足三个条件①有一组对角互补，②一组邻边相等，③相等邻边的夹角为直角，则称这样的四边形为“直角等邻对补”四边形，简称为“直等补”四边形．根据以上定义，解答下列问题． (1)如图1，四边形是正方形，点E在边上，点F在边的延长线上，且，连接，，请根据定义判断四边形是否是“直等补”四边形，并说明理由． (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，若，，求的长． 【答案】(1)四边形是“直等补”四边形，理由见解析． (2)28． 【分析】（1）本题考查了对于“直等补”四边形定义的理解，要判断四边形是否是“直等补”四边形，关键在于根据定义，找到满足定义的三个条件即可．根据已知可证，由此可得到，，，即证明四边形是“直等补”四边形． （2）本题同样考查了“直等补”四边形定义的理解，作辅助线构造直角三角形是解决问题的关键．根据“直等补”四边形定义，可得到，然后利用勾股定理即可求得的长． 【详解】（1）解： 四边形是正方形， ，， ， 在与中， （）， ，， ， ， ， 四边形满足三个条件：①一组对角和互补，②一组邻边，③相等邻边夹角． 故四边形是“直等补”四边形； （2）连接，如下图所示 四边形是“直等补”四边形，， ， ， ， ， ， ， ． 故的长为28． 题型模版 1.特征：给出正方形相关的新定义（如“等距点”），要求按规则判断或计算，重转化能力。 2.方法：将新定义转化为几何条件（如距离相等、垂直关系），利用正方形性质列方程或构造全等求解。 变式3-1（25-26八年级下·江西赣州·期中）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．某兴趣小组围绕该定义进行探究活动，请解决下列问题： (1)如图1，点分别为任意四边形的边的中点．该小组发现任意四边形的中点四边形都是平行四边形，证明思路如下： 请指出上述解题思路中的“依据1”、“依据2”分别是什么？ 依据1：______；依据2：______； (2)该小组从特殊四边形出发，判断以下图形中，一定属于“中方四边形”的是______（填序号）． ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形 (3)如图2，该小组深入探究发现，要使得四边形为“中方四边形”，则其对角线与应满足特殊的数量关系和位置关系．请写出与应满足的条件，并证明你的结论． (4)如图3，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，求证：四边形是“中方四边形”． 【答案】(1)三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边长的一半；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 (2)④ (3)解：，证明如下： ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴； (4)证明：如图所示，连接，设分别交于点H，点O， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴且， ∴由（3）可得四边形是“中方四边形”． 【分析】（1）根据三角形中位线定理和平行四边形的判定定理可得答案； （2）只需要四边形是否是正方形即可得到结论； （3）根据定义可得四边形是正方形，则，据此可得； （4）连接，设分别交于点H，点O，可证明，得到，，再证明，得到，由（3）可得四边形是“中方四边形”． 【详解】（1）解：由题意得，依据1是三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边长的一半； 依据2是一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （2）解：如图所示，连接， 同理可得， 当四边形是平行四边形时，与不一定垂直， 故此时与不一定垂直， ∴四边形不一定是正方形，即此时四边形不是“中方四边形”； 当四边形是矩形时，与不一定垂直， 故此时与不一定垂直， ∴四边形不一定是正方形，即此时四边形不是“中方四边形”； 当四边形是菱形时，与不一定相等， 故此时与不一定相等， ∴四边形不一定是正方形，即此时四边形不是“中方四边形”； 当四边形是正方形时，， 故此时， ∴四边形是正方形，即此时四边形是“中方四边形”； （3）略 （4）略 变式3-2（24-25八年级下·江西宜春·期末）定义引入： 定义：如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么我们称这个四边形为“对垂”四边形． （1）问题1：举例：写一个你学过的特殊四边形是“对垂”四边形的图形的名称：______； 猜想与验证： （2）①如图1，在四边形中，对角线于点，下列结论正确的是（    ）． A．         B．      C． ②证明①中正确的结论： 拓展思考： （3）如图2，正方形和正方形的边长分别是和，连接，且，的面积和的面积会相等吗？如果会，请证明并求的面积，如果不会，请说明理由． 【答案】（1）菱形或正方形； （2）①B； ②证明如下：， ； （3）会，面积为： 【分析】（1）由“对垂”四边形定义，结合菱形、正方形性质即可得到答案； （2）①由“对垂”四边形定义，根据勾股定理、三角形面积公式求解即可得到答案；②由“对垂”四边形定义，即可证明； （3）连接，连接交于点，过点作于点，过点作交延长线于点，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到，进而由三角形面积公式即可得到的面积和的面积相等，代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1）菱形的对角线相互垂直， 菱形是“对垂”四边形； 正方形的对角线相互垂直， 正方形是“对垂”四边形； 故答案为：菱形或正方形； （2）①A、， 在中，由勾股定理可得；在中，由勾股定理可得； ； 在中，由勾股定理可得；在中，由勾股定理可得； ； 当时，； 而题中并未明确与是否相等，该选项不一定正确，不符合题意； B、，选项正确，符合题意； C、由题中四边形的任意性，无法保证，选项错误，不符合题意； 故选：B； ②略 （3）的面积和的面积相等， 证明如下： ∵正方形和正方形的边长分别是和， ， 连接，连接交于点，过点作于点，过点作交延长线于点，如图所示： ， ，即， 又， ， ， 又，， 的面积和的面积相等； ， 即， 又， ， ， 又， ， ， ∴四边形AECG是“对垂”四边形， ， 又， ， ， 的面积为． 变式3-3（24-25八年级下·江苏盐城·期中）【定义】 在学习了“中心对称图形--平行四边形”这一章后，小明同学对特殊四边形的探究产生了浓厚的兴趣，他发现除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形．勇于创新的他大胆地作出这样的定义：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”，并进行了以下问题的探究． 【理解】（1）如图① ，正方形中，点，分别在边，上，连接，，，，若，求证：四边形为“双直四边形” 【应用】（2）如图② ，双直四边形中，，，，对角线与相交于点，且，求四边形的面积． 【拓展】 （3）如图③ ，双直四边形中，，，且，若，求线段的长度． 【答案】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， （）， ， ， ， ， 四边形为“双直四边形”； （2）； （3） 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握勾股定理是解决此题的关键． （1）证明，由“双直四边形”的定义可得出结论； （2）由勾股定理求出，，根据三角形面积可得出答案； （3）过作交延长线于点，由双直四边形可得，证明，设，则，，得出方程，求出，则可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：由题意知， ，，， ， ， ， ， ， ， 四边形的面积； （3）解：过作交延长线于点， ，， 四边形是矩形， ，， 由双直四边形可得， ，， ， 同理可得， ， 设，则，， ， （负值舍）， ， ． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26九年级上·山东枣庄·期中）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形，则下列四边形中是垂等四边形的是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】D 【分析】本题考查了正方形、矩形、菱形的性质，平行四边形的性质，准确理解新定义的垂等四边形的性质是解题的关键． 垂等四边形的定义是对角线互相垂直且相等，根据各四边形的性质，正方形对角线互相垂直且相等，满足定义． 【详解】解：A．平行四边形的对角线互相平分但不垂直且不相等，故不是垂等四边形； B．矩形对角线相等但不垂直，故不是垂等四边形； C．菱形的对角线互相垂直但不相等，故不是垂等四边形； D．正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形； 故选：D． 2．（25-26八年级下·河南濮阳·期中）新定义：若矩形的长宽之比是，我们称这个矩形是“完美矩形”．如图，将矩形按照如图所示的方式折叠，若得到的矩形是“完美矩形”，则的值是（   ）（提示：） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：矩形是“完美矩形”， 设，则， 折叠， ， ， ， ， ． 3．（25-26八年级下·福建厦门·期中）定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为智慧三角形．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边存在点，使得为智慧三角形，则点的坐标为（   ） A．或 B．或或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】由题意可知，智慧三角形是直角三角形，或，设，则，；分两种情况：①若，②若，根据勾股定理分别求出、、，并根据图形列出关于的方程，解得的值，则可得答案． 【详解】解：由题意可知，智慧三角形是直角三角形，或， 设，则，； ①若，在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， 又， ， ， 解得：或， 或； ②若，在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 解得：， ． 综上，或或． 二、填空题 4．（2025·山东菏泽·一模）将菱形的两个相邻的内角记为和，定义为菱形的“接近度”，则当“接近度”为______时，这个菱形就是正方形． 【答案】1 【分析】本题主要考查了正方形的判定，菱形的性质，有一个角是直角的菱形就是正方形，且菱形相邻的两个内角互补，据此可得当菱形相邻的两个内角都为90度时，该菱形是正方形，由此可得答案． 【详解】解：∵有一个角是直角的菱形就是正方形，且菱形相邻的两个内角互补， ∴当菱形相邻的两个内角都为90度时，该菱形是正方形， ∴， ∴当时，这个菱形就是正方形， 故答案为：1． 5．（24-25八年级下·山东淄博·期中）定义：一条对角线所在直线垂直平分另一条对角线的四边形叫做筝形．如图，在筝形中，，，．将沿射线的方向平移得到，分别连接，，则的最小值为 ________________ ． 【答案】 【分析】先在上取点H，使得为菱形，平移后的点为，过点C作直线的对称点M，交于点N，证明，则当三点共线时，的值最小，结合菱形性质，得，证明是等边三角形，运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：如图： 在上取点H，使得为菱形，平移后的点为，过点C作直线的对称点M，交于点N ∴ 由平移可得 在和中 ∴ ∴ 当三点共线时，的值最小 ∵， 且四边形为菱形 ∴ ∴， ∵， ， ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵为的直角三角形， ∴ ∴ ∴ ∴则的最小值为 故答案为： 6．（25-26九年级上·河南·阶段检测）定义：有一个内角的度数是另一个内角度数的的钝角三角形叫做“半钝三角形”．如图，在矩形中，，，E为对角线的中点，F是射线上一动点．若是“半钝三角形”，且不是其最小的内角，则的长为____________________． 【答案】或 【分析】由题意四边形是矩形可得，从而求得，由是“半钝三角形”，且不是其最小的内角，可分或两种情况来讨论，分别过点F作于点G，在上取点H，连接，使，连接，再通过三角形内角和证明求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， ， 为对角线的中点， ， 是“半钝三角形”，且不是其最小的内角， 最小的内角度数为，故分或两种情况来讨论； 当时，如图（1），过点F作于点G，在上取点H，连接，使，则，， ， ， 设，则， ，解得：，即 ； 当时，如图（2），连接，则， ，， ， ； 综上可知，的长为或． 故答案为：或． 三、解答题 7．（25-26八年级上·四川攀枝花·期末）探究与实践.【抽象定义】定义：有一组对角都是直角的四边形叫做对直四边形． (1)【问题解决】写出一个你知道的对直四边形： ． (2)如图1，四边形是对直四边形，若，则边的长是 ． (3)如图2、3在方格纸中，两点在格点上，请画出两个符合条件的不全等的对直四边形，且点C、D都在格点上．（提示：先用铅笔直尺画图，确定无误之后再用中性笔加粗描绘） (4)【拓展探究】 如图4，在边长为4的正方形中，点E，F分别在上，且点E为的中点，，试说明四边形是对直四边形． 【答案】(1)长方形（矩形）或正方形 (2) (3) 如图所示，画两个不全等的即可； (4) 证明：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴在中，由勾股定理得：， ∵点E是的中点，， ∴，． ∴在中，， 在中，， ∵， ∴； ∴四边形是对直四边形． 【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质等内容，正确理解题意是解答本题的关键． （1）根据定义直接得解； （2）连接，在中求出，进而在中求出； （3）依据题意画图即可； （4）由题易得，进而利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：根据定义可知长方形（矩形）或正方形符合题意， 故答案为：长方形（矩形）或正方形； （2）解：如图，连接， 在中，， 在中，， 故答案为：． （3）略 （4）略 8．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）新定义题型构思巧妙，立意新颖，重在考查学生的学习能力，实践能力及创新精神，让我们试试吧！我们定义∶有一组邻角相等的凸四边形叫作“等邻角四边形”． 【定义理解】 (1)如图① ，已知四边形为等邻角四边形，且，求的度数． 【定义运用】 (2)如图② ，在五边形中，，对角线平分，求证∶四边形为等邻角四边形； 【定义拓展】 (3)如图③ ，在等邻角四边形中，．点P为边BC边上的一动点，过点P作，垂足分别为M，N，在点P的运动过程中，的值是否是定值？若是，请求出这个值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)证明：∵， ∴， ∵对角线平分， ∴． ∴． ∴四边形为等邻角四边形． (3)的值为定值，定值为． 【分析】（1）根据“等邻角四边形”的定义，再结合已知条件和四边形内角和定理求解即可； （2）根据两直线平行，内错角相等，再结合角平分线的定义和“等邻角四边形”的定义证明即可． （3）作垂足为Q，作垂足为R，易得四边形是矩形可得且，再证明可得，进而得到，再利用含30度直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为等邻角四边形，且， ∴、均不可能与、中的任意一个角相等，否则总内角和大于． ∴． ∵， ∴， 解得：． （2）略 （3）解：的值是定值，定值为． 如图，作垂足为Q，作垂足为R， ∵， ∴四边形是矩形． ∴且， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴ 在点P的运动过程中，的值为定值． 9．（25-26八年级下·湖南长沙·阶段检测）定义：若四边形有一组对角互补，有一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形定义为“郡外四边形”．    (1)如下：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，一定是“郡外四边形”的是：______． (2)如图点P是正方形对角线上一点，点O是线段中点，点E是射线上一点，且，连接． ①如图1，当点P在线段上时，求证：四边形为“郡外四边形”； ②如图2，当点P在线段上时，试用等式来表示的数量关系，并证明． 【答案】(1)正方形 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据“郡外四边形”定义求解即可； （2）①通过证明可得，由得出，证出即可；②从两方面分析：当点E与点C重合时，点P恰好在中点处，此时，；当点E在的延长线上时，连接，由，得，由正方形性质可得，利用勾股定理即可证明． 【详解】（1）解：平行四边形：相等邻边的夹角不是直角，故平行四边形不是“郡外四边形”； 矩形：没有一组邻边相等，故矩形不是“郡外四边形”； 菱形：相等邻边的夹角不是直角，故菱形不是“郡外四边形”； 正方形：有一组对角互补，有一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，故正方形是“郡外四边形”； （2）证明：①∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由四边形内角和为， ∴， ∵， ∴， ∴且， ∴四边形为“郡外四边形”； 证明：② ； ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （i）当点E与点C重合时，点P恰好在中点处，此时，， 则由勾股定理有：； （ii）当点E在的延长线上时，如图，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 连接，如图，    ∵且， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴； 综上，有． 10．（2026·河南周口·模拟预测）综合与实践 在以往的学习过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“豫式四边形”进行研究． 定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“豫式四边形”． (1)初步判断 下列初中阶段常见的四边形中，一定属于“豫式四边形”的是________（填序号）． ①矩形  ②正方形  ③菱形  ④平行四边形 (2)性质探究 根据定义可得出“豫式四边形”的边、角的性质．下面继续进行相关探究． ①如图1，“豫式四边形”中，，．写出图中除条件外相等的线段，并说明理由； ②如图2，在四边形中，，平分，若，求证：四边形为“豫式四边形”； (3)拓展应用 如图3，中，，在直线的右上方存在点D，使得四边形为“豫式四边形”，当该“豫式四边形”中有一内角为时，请直接写出的长． 【答案】(1)② (2)①，理由如下： 四边形为“豫式四边形”， ， ， ， ，， ， ； ②证明：如图，过点作，交于点， 平分， ， ，， ， ，， ， ， ， 四边形为“豫式四边形”； (3)或 【分析】（1）根据“豫式四边形”的定义判断即可； （2）①根据“豫式四边形”的定义可得，再根据“”证明，可得； ②过点作，交于点，证明，推出，即可证明四边形为“豫式四边形”； （3）分两种情况，即或，作出图形，计算的长即可． 【详解】（1）解：①矩形对角互补，但邻边不一定相等，故矩形不一定属于“豫式四边形”； ②正方形对角互补，邻边相等，故正方形一定属于“豫式四边形”； ③菱形对角相等，不一定互补，邻边一定相等，故菱形不属于“豫式四边形”； ④平行四边形对角相等，不一定互补，邻边不一定相等，故平行四边形不属于“豫式四边形”； 即答案为②； （2）①略 ②略 （3）解：要使四边形为“豫式四边形”，则， ， ， 当时，如图，作，连接， ，， ，， ， ， ， ， 设，则，， ， 根据勾股定理可得， 可得， 解得， 当时，，不符合直角三角形边长关系，故舍去， ； 当时，如图，作，连接， 同理可得， 设，则，， ， 根据勾股定理可得， 可得， 解得， 当时，，不符合直角三角形边长关系，故舍去， ， 综上，的值为或． 11．（25-26八年级上·山东淄博·期末）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． 根据以上定义，解决下列问题： (1)如图①，正方形中，E是上的点，将绕B点旋转，使与重合，此时点E的对应点F在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？ (2)如图②，已知四边形是“直等补”四边形，，，过点B作于点E，作交延长线于点F． ①试判断四边形的形状，证明你的结论，并求出的长． ②若点M是边上的动点，求周长的最小值． 【答案】(1) 证明：∵在正方形中，， 又绕B点旋转得到，且与重合， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为“直等补”四边形； (2)①四边形是正方形，； 证明：∵，， ∴； ∵四边形是“直等补”四边形，， ∴， ∴， 即， ∴四边形是矩形； ∴； 即， ∴； 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； ∴； 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：（舍去）， ∴； ②周长的最小值为 【分析】（1）由旋转可得，由全等三角形的性质则可得四边形符合“直等补”四边形的条件，因而问题解决； （2）①由已知可得四边形是矩形，现证明，则易得是正方形；设，由勾股定理建立方程即可求得x的值； ②作点C关于的对称点H，连接，交于点N，则当M与N重合时，的周长最小，即可求得周长的最小值． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②如图，作点C关于的对称点H，连接，交于点N， 则， ∵， ∴当M与N重合时，取得最小值，最小值为线段的长； ∵的周长为， ∴的周长最小值为； ∵， ∴由勾股定理得：， ∴周长的最小值为． 12．（2025·河南·模拟预测）【定义学习】 定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对直四边形”． 【判断尝试】 （1）在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“对直四边形”的是______；（填序号） （2）如图1，四边形是对直四边形，若，，，，则边的长是______； 【操作探究】 如图2，在菱形ABCD中，，，于点E，请在边上找一点F，使得以点A、E、C、F组成的四边形为“对直四边形”，画出示意图，并直接写出的长是______； 【拓展延伸】 如图3，在正方形中，，点E、F、G分别从点B、B、C同时出发，并分别以每秒1、1、2个单位长度的速度，分别沿正方形的边、、方向运动（保持），再分别过点E、F作、的垂线交于点H，连接、．试说明：四边形为对直四边形． 【实践应用】 某加工厂有一批四边形板材，形状如图4所示，其中米，米，，．现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对直四边形”板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余．请直接写出分割后得到的等腰三角形的腰长是______． 【答案】（1）②④； （2）； 操作探究：； 拓展延伸： 证明：如图， 延长，交于， 四边形是正方形， ，， ，， ， 四边形是矩形， 点、、分别从点、、同时出发，并分别以每秒、、个单位长度的速度运动， ， 四边形 是正方形， ， ， 同理可得：四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， 四边形为对直四边形； 实践应用：或4． 【分析】（1）矩形和正方形的对角是直角； （2）连接，根据勾股定理求得结果； 操作探究：连接，则，是等边三角形，故取的中点，进而得出结果； 拓展延伸：延长，交于，可证得，从而，进而得出，进一步得出结论； 实践应用：作于，作于，可得四边形是矩形，和是腰长相等的等腰直角三角形；另一种情形：作，同上可知：四边形是“对直四边形”，和是腰长相等的等腰直角三角形． 【详解】解：（1）∵矩形和正方形的四个角都是直角， ∴矩形和正方形是“对直四边形”， 故答案为：； （2）如图， 连接，， ， ， ， 故答案为：； 操作探究：解：如图， 取的中点，连接， 则四边形是“对直四边形”，， 故答案为：； 拓展延伸：略 实践应用：解：如图， 作于，作于， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 四边形是“对直四边形”，和是腰长相等的等腰三角形， ， 如图， 作于，作于， 同上可知：，四边形是“对直四边形”，和是腰长相等的等腰三角形，， 综上所述：等腰三角形的腰长为：或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $