山东省2024年冬季普通高中学业水平合格考试数学试题

山东省2024年冬季普通高中学业水平合格考试 数学试题 本试卷共4页，满分为100分，考试时间为90分钟 一、选择题（本题共20小题，每小题3分，共60分.每小题只有一个选项符合题目要求） 1.已知集合A=1,2,3},B={dx>2},则A∩B=() A.{3到 B.{2,3} c.{x21 D.{xx>2} 2.若复数z=i(1-i),则z的共轭复数为() A.1-i B.-1+i C.1+i D.-1-i 3g25-lg(） A.1 B.-1 C.2 D.-2 4.某乒乓球制造厂生产的乒乓球合格率是99.98%，这说明() A.该厂生产的10000个乒乓球中不合格的乒乓球一定有2个 B.该厂生产的10000个乒乓球中合格的乒乓球一定有9998个 C.该厂生产的10000个乒乓球中没有不合格的乒乓球 D.该厂生产的乒乓球合格的可能性是99.98% 5.已知向量a,b,则a=b"是“a=b”的() A充分不必要条件 B必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.下列函数是偶函数，且在区间(0，+∞)上单调递增的是() A.f(x)=2 B.f(x)=log,x c.f(x)=x2 D.f(x)=- 7.在a4BC中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,A=,B=艺，则b 41 A.√5 B.3 C.6 D.2√2 8.已知函数y=f(x),y=g(x)分别由下表给出，则g(f()=() 1 3 f(x) 2 3 g(x) 5 6 A.4 B.5 C.6 D.7 1 9.已知tana=2,aex,2) (3π 则sina=() B、3 cv D、6 ”3 3 3 3 10.用一段长为16cm的铁丝围成一个矩形，则该矩形面积（单位：cm2)的最大值为(） A.64 B.16 c.8 D.4 11,在空间中，m,n是异面直线，其中直线m平行于平面a,则n与a的所有可能的位置关系有() A.n/1a或nca B.nca或n与a相交 c.n/la或n与a相交 D.n/la或nca或n与a相交 12.将一枚质地均匀的六面体骰子连续抛掷两次，观察落地时朝上的面的点数，则事件“两次出现的点数之 和是8”发生的概率为() B了 D31 36 6 36 13.若x∈(0，π），则不等式sinr> 的解集是() 2 A信 c } 14.下列命题是真命题的是() AeR,x+≥2 B.3reR,x2+1=0 x C.VxER,x+ D.3xeR,x3+1=0 5某校高三)班甲、乙两名同学参加“我爱记公式”比赛他们答对每道题的概率分别为}和}现甲 乙各自回答一道题，至少有1人答对的概率为() 12 c D.11 12 16.已知不等式ar2+bx+1<0的解集为{xx>1或x<-3},则a+b=() A.1 B.-1 C.3 D.-9 2 17在“校园安全“知识竞赛中，对某校学生的参赛成绩进行统计得到 频率 如图所示的频率分布直方图.其中样本数据的分布区间为[40,100]. 组距 0.030 分组区间是[40,50)，[50,60)[60,70).70,80.[80,90)，[90,100.概率频 0.020 率分布直方图，估计该校学生参赛成绩的80%分位数是() 0.015 A.75 B.80 0.010 C.85 0.005 D.90 0入 405060708090100成绩/分 18.已知a= A.c<a<b B.c<b<a C.b<a<c D.a<b<c 19.在△ABC中，内角4B,C的对边分别为a,b.c.若a=lb=25,C=交，则AB边上的高为) 4 A B25 C.2 D.2 5 5 20.《九章算术》是中国古代的数学名著，书中将四面皆为直角三角形的三棱锥称为 “整瞒”如图所示的三棱锥P-ABC为“鳖需”，且PA=AC=BC=3,则此“鳖腾” 的外接球的表面积为() 赠 B.27π c.27Br D.36π 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 21.甲、乙两名射击运动员在某次比赛中成绩的方差分别为s品=1,2，s2=2.1,则这次比赛中成绩更稳定 的运动员是 22.已知角a的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(3,4),则sina的值为 23.函数y=2-2x的零点的个数为 24.小明在一次考试中证明命若m>n>0,s<1<0,则(m-s)>(n-1)2”的过程如下： 证明：因为5<1<0，所以-3>-1>0 又因为m>n>0,所以m-s>n-1>0 所以(m-s)>(n-) 上述证明过程中，用到的下列不等式性质的所有序号为 ①如果a>b,那么a+c>b+c; ②如果a>b.c<0,那么ac<bc: 3 ③如是a>b,c>d,那么a+c>b+d: ④如果a>b>0,那么a>b(neN,n≥2) 25.已知△ABC是边长为1的等边三角形，M为平面ABC内一点，则MA·(MB+MC)的最小值是· 三、解答题（本题共3小题，共25分） 26.(本小题满分8分)已知函数f(x)=√5sinx-cosx. 味/（得的值： (2)求f(x)的单调递增区间. 27.(本小题满分8分)如图，在直三棱柱ABC-ABC中，D为AB的中点. (1)求证：BCI/平面ACD (2)若AC=BC=2,AB=2N2，,求证：BC⊥AC 28(本小题满分9分)已知函数f()=m-2 -是定义在R上的奇函数. 1+2 (1)求实数m的值： (2)判断∫(x)的单调性，并用定义证明： (3)若不等式f(k·4-2)+f(k·4-2)<0恒成立，求实数k的取值范围. 4 山东省2024年冬季普通高中学业水平合格考试 数学试卷参考答案 一、选择题（每题3分，共20题） 1答案：A 解析：集合A={1,23,B=xx>2表示大于2的实数. 在A中大于2的元素只有3，故AnB={3 2.答案：A 解析：z=i(1-)=i-i2=i+1=1+i,共轭复数为1-i。 3.答案：C 解析：lg25-lg3=lg25+lg4=lg(25×4)=1g100=2 4.答案：D 解析：合格率是概率，表示“合格的可能性”，不是必然事件，故选D。 5.答案：B 解析：a=b1是模相等，不一定向量相等；a=b则模一定相等。因此是必要不充分条件。 6.答案：C 解析：A:指数函数非偶： B:对数函数非偶： C:f(x)=x2是偶函数，在(0，+o)单调递增： D:在(0，+∞)单调递减。故选C 7答案：C 解所：由正玻定理品品中品应b受-学心 8.答案：C 解析：f(1)=2,9(2)=6,故gf(1)=6。 9答案：D 解析：由tana=V2>0且ae(π，知sina<0。 1 设sina=-9=-9验证：，aa=V2成立。 10.答案：B 解析：设矩形长x、宽y,则2x+y)=16,x+y=8。 面积5=y≤（停）=16，等号成立当x=y=4。最大面积为16。 1答案：D 解析：m与n异面，m‖a,则n可能与a平行、相交或在平面内。 异面直线不共面，所以n与π位置关系三种都可能。 12答案：B 解析：掷两次六面体，总样本点6×6=36。 点数之和为8的情况：(2.6)、(3.5)、(4.4)、(5,3、(6.2)，共5种。 概率品 1B答案：A 解析：sinx>在0，)内的解为：x∈（低） 14.答案：D 解析：A:当x<0时不成立； B:x2+1≥1： C:当x>0时不成立： D:x=-1时成立。真命题是D。 15.答案：D 解析：设甲答对概率P(A)=子乙答对概率P(8)= 至少-人答对的概率为：1-P④P间=1-×1-立=号 16.答案：B 解析：解集为x>1或x<-3,说明a<0且方程ax2+bx+1=0的两根为1和-3。 由韦达定理：1+(-3)=-台→b=2a1×(-3)=君a=-月 则b=2a=-系a+b=--号=-1 17.答案：C 2 解析：由图知40至80所占百分数为(0.005+0.015+0.020+0.030)×10=0.70,80至90分占20%. 因此，80%分位数应为85. 18.答案：A 解析：利用指数函数和幂函数单调性比较 比较a和b:y=原是减函数(0<号<1)，>荐故<，即a<b: 比较a和c:y=x是增函数(x>0),>行故>，即a>c: 综上：c<a<b 19答案：B 解析：由余弦定理：c2=a2+b2-2 abcosC=1+8-2×1×2V2×9=9-4=5 c=v5。 面积S=:absinC=×1×2W2×号=1。 又S=×AB×h=3×V5×h=1 得h=是- 20.答案：B 解析：“整形”即三棱锥的三个侧面为直角三角形，且PA⊥平面ABC,且AC⊥BC。 可补形为长方体，外接球直径等于长方体的体对角线。 设PA=AC=BC=3,则长方体三棱长PA,AC,BC分别为3,33？ 实际应构造：以AC,BC,PA为长方体的三条棱， 则体对角线：d=V32+32+3z=3v3 半径R=,表面积S=4rR2=4r×召=27π。 二、填空题（每题3分，共5题） 21答案：甲 解析：方差越小，成绩越稳定，S1=1.2<sn2=2.1,故甲更稳定。 22答案： 解析：点P(3,4),r=V32+4平=5， sina= 3 23.答案：2 解析：函数y=2x-2x。 令y=0,即2x=2x, 作y=2x与y=2x图像，两交点，故零点个数为2。 24.答案：②③④ 解析：s<t<0→-s>-t>0用性质②（乘以-1反向）： m>n>0与-s>-t>0相加得m-s>n-t>0,用性质③； 由正数不等式平方得(m-s)2>(n-t)2,用性质④。 25答案：- 解析：建立坐标系：设等边△ABC的坐标为A(09,B(-之0)，C(仔0)MK,y)为平面内任意一点。 向量表达式：M丽=(-x兰-)，M丽=（-y),MC=任-0-y)。 计算和向量：ME+M元=(-2x-2y)=-20M(0为原点)。 数量积运算：M☑·M店+MC)=MA·(-20M=-2(-x) 配方化简：2x2+26-9-是。 最小值分析：当x=0,y=时，表达式取得最小值-是。 三、解答题 26解fm=V3sinx-cosx=2(停sinx-cosy）=2sin(x-) 0f(③)=2sin(得-8)=2×2=1 (2)f(x)=2sin (x-. 当2km-≤x-g≤2kn+,keZ 即2kπ-≤x≤2kπ+时，f(x)单调递增， 当2km+号<x-名<2kπ+要，即2kπ+受≤x≤2km+时f冈)为单调递减 所以fx)的单调增区间为2km-号，2kπ+到k∈Z 27.解：(1)证明，如图连接DE,~AA1C1C为直三棱柱的侧面， 四边形AA1C1C为平行四边形， 4 E为A1C的中点， 又D为AB的中点 ∴ED/IBC1, 又DEc平面A,CD,BC1平面A1CD ÷BC1/平面A1CD (2)在△ABC中，AC2+BC2=8,AB2=8,所以AC2+BC2=AB2, 所以△ABC为直角三角形，：AC⊥BC, 又~C1C⊥BC,且ACnC1C=C,AC,CC1c平面ACC1, ÷BC⊥平面ACC1: 又：AC1c平面ACC, BC⊥AC1 28.解1)f(x)为奇函数，f(0)=0: f0=7=0→m=1 （2f倒=器设x<2,则2<2 1-2_1-2-1-2)1+2)-(1-2)1+2) fx)-f0x2)=1+21+2 (1+2x)(1+2x2) 2(2*2-221) 化简得：=2可>0 所以f(x)>f(x2),函数在R上单调递减。 (3)不等式：f(k·4-x-2x)+f(k·4x-2x)<0 由奇函数得：f(k·4-x-2-x)<-f(k·4x-2x)=f(2x-k·4x)x 因为f单调递减，所以：k·4x-2x>2x-k·4 令t=2*>0,则：告->t-kt2 整理：k(侣+t2)>t+月 因为站+t222(当t=1取等)，且t+:22, 要使不等式恒成立，只需k·2>2且对所有t成立，得k>1。 5