4.4 数据的离散程度 第1课时 方差（课件）2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“数据的离散程度”第1课时方差与标准差，通过体育竞技选拔等现实问题导入，联系已学的集中趋势知识，引导学生思考数据波动的刻画方法，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点是以问题链驱动探究，从“差的和”到“方差”逐步推理，体现数学思维。结合射击成绩实例计算方差，培养数据意识和模型观念。课堂练习涵盖实际决策问题，学生能理解概念本质，教师可高效开展教学。

授课老师： 授课时间：202X.X 第4章　数据的集中趋势和离散程度 4.4 数据的离散程度 第1课时 方差 更多模板请关注：https：//haosc.taobao.com 导入新课 问题1：前面学习了数据的集中趋势，知道可以用平均数、中位数、众数来表示一组数据的平均水平.在体育竞技比赛中，除了平均成绩，还有什么因素会影响运动员的选拔？在教材章头活动中，甲、乙两个射击运动员的平均成绩相同，那么应该选谁参加比赛？为什么？ 关注“数据稳定性”这一关键因素. 问题2：用平均数描述了数据的平均水平，那么如何用一个“数”来描述数据的波动大小呢？ 用平方或绝对值来刻画波动大小. 2 任务一：探究数据离散程度的刻画方法 新知探究 问题1：要刻画数据相对于平均数的波动情况，可以从“每个数据与平均数的差”入手.请思考：甲、乙两名选手的射击成绩与平均数9的差分别是多少？ 甲的差为－2，0，0，…，0，0； 乙的差为1，－2，1，…，－1，1. 3 新知探究 问题2：有人提出，用“每个数据与平均数的差的和”来表示离散程度，这个方法可行吗？为什么？ 两组数据的差的和均为0，无法区分甲、乙的波动情况，从而意识到“差的和”存在缺陷(正负抵消). 问题3：为了避免正负抵消，有同学建议用“每个数据与平均数的差的绝对值的和”，这个方法可行吗？请计算甲、乙中每个数据与平均数的差的绝对值的和. 甲的和为4，乙的和为12，能区分波动大小，但绝对值计算不方便. 4 新知探究 问题4：还有没有更方便的方法？教材中提到“一般用平方和”，为什么用“差的平方和”？它有什么优点？ 平方和既能避免正负抵消，又比绝对值计算更方便，且能放大较大偏差的影响，更能体现数据的波动大小. 5 任务二：生成离差平方和与方差的概念 新知探究 统计学中，把一组数据中各数据与平均数的差的平方和称为离差平方和. 问题1：能写出离差平方和的计算公式吗？ 设n 个数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么，这组数据的离差平方和为：S2＝(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2. 6 新知探究 问题2：教材中提到两组数据个数不同的销量数据，A 种产品10 天销量的离差平方和为62，B 种产品15 天销量的离差平方和也为62，它们的离散程度一样吗？为什么？ 数据个数不同，离差平方和无法直接比较离散程度，需要对离差平方和进行标准化处理. 7 新知探究 问题3：如何对离差平方和进行标准化？教材中用“离差平方的平均数”来刻画离散程度，这个统计量就是方差.请写出方差的计算公式. 8 新知探究 为了比较两组数据的离散程度，在统计中，一般采用离差平方的平均数代替这组数据的总偏差， 即用一组数据x1，x2，…，xn与它们的平均数的差的平方的平均数 s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2] 来描述这组数据的离散程度，并把s2叫作这组数据的方差. 9 新知探究 问题4：结合章头问题中甲、乙射击成绩，计算它们的方差，并比较大小，能得出什么结论？ 在章头问题中，甲、乙射击成绩的平均数为： ＝＝9，＝＝9. 方差为： ＝＝0.6， 10 新知探究 ＝＝1.6. 由<知，虽然甲、乙两位选手的平均成绩相同，但甲的射击成绩离散程度小，甲的射击水平比较稳定，所以建议选甲参加正式比赛. 归纳总结：方差实际上反映了各个数据与平均数之间的平均偏差程度.方差是刻画数据离散程度的常用统计量，一组数据的方差越大，说明这组数据的离散程度越大. 11 任务三：认识标准差 新知探究 自主学习教材“阅读”的内容. (1)方差的算术平方根叫什么？它通常用哪个字母表示？ (2)标准差的计算公式是什么？公式中各字母分别表示什么？ (3)标准差与方差相比，在单位上有什么不同？这一区别有什么实际意义？ 12 新知探究 在方差的基础上，统计学中常用方差的算术平方根来描述一组数据的离散程度，并把它叫作标准差.标准差的计算公式为 s＝. 其中，s表示标准差，n为数据的个数，为这组数据的平均数. 13 新知探究 标准差的实质就是方差的算术平方根，它与方差都能刻画数据的离散程度，但二者的重要区别在于——标准差的单位与原始数据的单位相同. 例如，当原始数据为身高(单位：cm)时，标准差的单位也为“cm”，因此在实际问题中，标准差能更直观地反映数据相对于平均值的平均偏离程度，解释起来也更符合人们的日常理解. 14 D 1. 一组数据：5，－4，3，4，6，－8，这组数据的极差是(　　) A．10 B．11 C．13 D．14 课堂练习 15 2. A 一组数据：2，3，4，5，6，则方差s2为(　　) A．2 B．3 C．5 D．4 3. C 某跳远队准备从甲、乙、丙、丁4名运动员中选取1名成绩优异且发挥稳定的运动员参加比赛，他们成绩的平均数和方差如下：甲＝ 丁＝5.75， 乙＝ 丙＝6.15，s2甲＝s2丙＝0.02，s2乙＝s2丁＝0.45，则应选择的运动员是(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 C 5. 甲 遂宁中考体育老师要在甲和乙两人中选择1人参加篮球投篮大赛，下表是两人5次训练成绩，从稳定的角度考虑，老师应该选________参加比赛． 甲 8 8 7 9 8 乙 6 9 7 9 9 6. 7 甲、乙两名同学进行射击练习，在相同条件下各射击10次，结果如下：   (1)甲同学10次射击命中环数的中位数是______环，乙同学10次射击命中环数的众数是______环； 命中的环数/环 5 6 7 8 9 10 甲命中次数/次 1 2 4 2 1 0 乙命中次数/次 1 4 2 1 1 1 6 (2)求甲同学10次射击命中环数的平均数和方差； 21 解：甲、乙两名同学射击命中环数的平均数均为7环，成绩一样，从离散程度看，s甲2＜s乙2，所以甲的成绩比乙更加稳定；从集中趋势看，甲的众数比乙大，甲的中位数也比乙大，所以甲的射击水平更好一些．(答案合理即可) (3)经过计算可知，乙同学10次射击命中环数的平均数是7环，方差是2.2.根据所学的统计知识，评价甲、乙两名同学的射击水平． 22 7. 若一组数据1，3，5，7，x的方差比另一组数据11，13，15，17，19的方差小，则x不可以是(　　) A．10 B．8 C．6 D．4 A 8. D 已知一组数据3，4，4，5，若添加一个数4，得到一组新数据，则前后两组数据的统计量会变小的是(　　) A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 9. 5 已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数为2，方差为10. (1)数据x1＋3，x2＋3，…，xn＋3的平均数为________，方差为________； (2)数据3x1，3x2，…，3xn的平均数为________，方差为________； (3)数据3x1－1，3x2－1，…，3xn－1的平均数为________，方差为________． 10 6 90 5 90 25 10. 淮安中考张老师早上开车到学校上班有两条路线，路线一经城市高架，路线二经市区道路．为了解上班路上所用时间，张老师记录了20个工作日的上班路上用时(单位：分钟)，其中10个工作日走路线一，另外10个工作日走路线二．根据记录数据绘制成如下统计图． 26 18 (1)根据以上数据把表格补充完整；   平均数 中位数 众数 方差 极差 路线一   18   2.4 5 路线二 15.6   11 18.04   18 15 11 27 解：选择路线二．理由：路线二的平均数小于路线一，路线二的中位数小于路线一，路线二的众数小于路线一，所以选择路线二．(答案合理即可) (2)请你帮助张老师选择其中一种上班路线，并利用以上至少2个统计量说明理由． 28 11. 5 综合与探究： (1)一组数据2，3，5，7，8的平均数是5，方差是5.2；如果再加入一个数据5，那么这组新数据的平均数为________，方差为________． 29 2 (2)一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是3，如果再加入一个数据2，那么这组新数据的平均数为________，方差为________． 30 (3)若a1，a2，…，a20这20个数据的平均数是x，方差为0.2，则数据a1，a2，…，a20，x这21个数据的平均数是多少？方差是多少？写出你的计算过程； 31 (4)若a1，a2，…，an这n个数据的平均数是x，方差为s2，则数据a1，a2，…，an，x这(n＋1)个数据的平均数是多少？方差是多少？(请直接写出答案) 33 课堂总结 1.通过本节课的学习，你学到了哪些刻画数据离散程度的统计量？它们之间有什么关系？ 2.方差的计算公式是什么？它反映了数据的什么特征？ 3.如何运用方差解决实际决策问题？需要结合哪些因素进行分析？ 34 4．烟台中考求一组数据方差的算式为：s2＝×[(6－x)2＋(8－x)2＋(8－x)2＋(6－x)2＋(7－x)2]．由算式提供的信息，下列说法错误的是(　　) A．n的值是5 B．该组数据的平均数是7 C．该组数据的唯一众数是6 D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 解：甲同学10次射击命中环数的平均数为×(5＋6×2＋7×4＋8×2＋9)＝7(环)， 方差为×[(5－7)2＋2×(6－7)2＋4×(7－7)2＋2×(8－7)2＋(9－7)2]＝1.2. 解：∵＝，∴a1＋a2＋…＋a20＝20. ∴＝＝. ∵＝0.20， ∴(a1－x)2＋(a2－x)2＋…＋(a20－x)2＝4. ∴＝＝. ∴这21个数据的平均数是x，方差是. 解：平均数是，方差是. $